matemáticas y representaciones del sistema natural.

MATEMTICAS Y REPRESENTACIONES DEL SISTEMA NATURAL

El tular de los derechos de esta obra esla Secretara de Educacin Pblica.

Queda prohibida su reproduccin o difusin por cualquier medio sin el permiso escrito de esta Secretara.

MATEMTICAS Y REPRESENTACIONES DEL SISTEMA NATURAL

Secretara de Educacin PblicaJos ngel Crdova Villalobos

Subsecretara de Educacin Media SuperiorMiguel ngel Martnez Espinosa

Direccin General del BachilleratoCarlos Santos Ancira

AutorCsar Augusto Vzquez Peredo

Apoyo tcnico pedaggicoLiliana del Carmen Snchez PachecoAraceli Hernndez Cervantes

Revisin tcnico pedaggicaPatricia Gonzlez Flores

Coordinacin y servicios editorialesEdere S. A. de C. V.Jos ngel Quintanilla DAcosta Mnica Lobatn Daz

Diseo y diagramacinVisin Tipogrfica Editores, S.A. de C.V.

Material fotogrfico e iconograf aShutterstock Images, LLC Martn Crdova SalinasIsabel Gmez CaravantesCsar Augusto Vzquez Peredo

Primera edicin, 2012D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2012Argentina 28, Centro,06020, Mxico, D. F.

ISBN 9786078229383

Impreso en Mxico

5Tabla de contenido

Presentacin general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Cmo utilizar este material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Tu plan de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Con qu saberes cuento? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

UNIDAD 1 DINMICA DE FLUIDOS

Qu voy a aprender y cmo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Seccin 1 Qu es un fluido? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Caractersticas de los fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 El Sistema Internacional de Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Calculando volmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Seccin 2 Propiedades de fluidos en reposo: Hidrosttica . . . . . . . . . . . 30 Relaciones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Propiedades de los fluidos y sus funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 El enorme potencial del agua: las presas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Calculando propiedades de los fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Por qu flota una lancha? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Experimentando con fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Seccin 3 Fluidos en movimiento: Hidrodinmica . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Anlisis del consumo de agua de riego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Conservacin de la energa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Ecuaciones cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Conversin de energa mecnica en elctrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Autoevaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

UNIDAD 2 ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

Qu voy a aprender y cmo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Seccin 1 Con los pelos de punta: electricidad esttica . . . . . . . . . . . . . 80 Qu es la electricidad? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Propiedades elctricas de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 El electroscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Relaciones de proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Seccin 2 Los circuitos elctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 La electrodinmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

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6Tabla de contenido

Circuitos elctricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99Seccin 3 De dnde viene la electricidad? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Electricidad y desarrollo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Electricidad + Magnetismo = Electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 La energa elctrica en Mxico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 La luz y otras ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112Autoevaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115

UNIDAD 3 LEYES DE LOS GASES

Qu voy a aprender y cmo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117Seccin 1 Lo que el viento se llev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Parques elicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 El aire y las propiedades de los gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Leyes de los gases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 La mquina de viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Seccin 2 Una imagen dice ms que mil palabras . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Analizando montones de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 El plano cartesiano y la elaboracin de grficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Hacia donde soplen los vientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Seccin 3 Realmente puede hacer calor? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Calentamiento global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Diferencia entre temperatura y calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Ni fro, ni caliente: cero grados! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 El efecto invernadero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168Autoevaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

Ya estoy preparado(a)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Apndices Apndice 1. Clave de respuestas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Apndice 2. La consulta en fuentes de informacin por Internet . . . . . . . . . 207 Apndice 3. Mi ruta de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Apndice 4. Tabla de equivalencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211

Fuentes consultadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213


7Presentacin general

Este libro fue elaborado para ayudarte a estudiar el mdulo Matemticas y repre-sentaciones del sistema natural del plan de estudios de la Preparatoria Abierta que ha establecido la Secretara de Educacin Pblica (SEP), pero tambin est disea-do para utilizarse en otras modalidades no escolarizadas y mixtas. Sabiendo que trabajars de manera independiente la mayor parte del tiempo este libro te brinda orientaciones muy precisas sobre lo que tienes que hacer y te proporciona la infor-macin que requieres para aprender.

Los estudios que iniciars tienen como sustento un enfoque de educacin por competencias por lo que se busca que trabajes en adquirir nuevos conocimientos, habilidades, actitudes y valores, as como en recuperar otros para transformarlos en capacidad para desempearte de forma eficaz y eficiente en diferentes mbitos de tu vida personal, profesional y laboral.

Para facilitar tu estudio es importante que tengas muy claro qu implica apren-der por competencias, cmo se recomienda estudiar en una modalidad no escola-rizada y cmo utilizar este libro.

Qu es una competencia?En el contexto educativo, hablar de competencias no es hacer referencia a una contienda o a una justa deportiva. En el contexto educativo una competencia es la capacidad que una persona desarrolla para actuar integrando conocimientos, habi-lidades, actitudes y valores.

La meta de la formacin como bachiller es que desarrolles las competencias que han sido definidas por la SEP como perfil de egreso para la Educacin Media Superior1. No se pretende que te dediques a memorizar informacin o que de-muestres habilidades aisladas. El objetivo es que logres aplicar de manera efectiva tus conocimientos, habilidades, actitudes y valores en situaciones o problemas concretos.

La cantidad de informacin disponible en la poca actual provoca que busque-mos formas diferentes de aprender pues memorizar contenidos resulta insuficien-te. Ahora se requiere que aprendas a analizar la informacin y te apropies de los conocimientos hacindolos tiles para ti y tu entorno.

Por eso cuando estudies, orienta tus esfuerzos a identificar los conceptos ms importantes, a analizarlos con detenimiento para comprenderlos y reflexionar cmo se relacionan con otros trminos. Busca informacin adicional. Pero no te quedes all, aprende cmo aplicar los saberes en situaciones y contextos propuestos en las actividades. Haz lo mismo con las habilidades, las actitudes y los valores. De manera concreta, es recomendable que para aprender sigas estos pasos:

1 De acuerdo con el Marco Curricular Comn, el estudiante de bachillerato deber desarrollar tres tipos de competencias: genricas, disciplinares y profesionales.



En este libro, adems de leer y estudiar textos y procedimientos, encontrars pro-blemas a resolver, casos para analizar y proyectos a ejecutar. Estos te ofrecern evidencias sobre las capacidades que desarrollars y podrs valorar tus avances.

Para acreditar el mdulo Matemticas y representaciones del sistema natural es necesario que demuestres que eres capaz de analizar y resolver situaciones, pro-blemas y casos que te exigen la unin de conocimientos, habilidades, actitudes y valores.

Estudiar en una modalidad no escolarizadaUna modalidad educativa no escolarizada como la que ests cursando tiene como ventaja una gran flexibilidad. T decides a qu hora y dnde estudias, y qu tan rpido avanzas. Puedes adecuar tus horarios a otras responsabilidades cotidianas que tienes que cubrir como el trabajo, la familia o cualquier proyecto personal.

Pero, en esta modalidad educativa, tambin se requiere que t: Seas capaz de dirigir tu proceso de aprendizaje. Es decir que: tDefinas tus metas personales de aprendizaje, considerando el propsito

formativo de los mdulos. t Asignes tiempo para el estudio y procures contar con el espacio adecuado

y los recursos necesarios. t Regules tu ritmo de avance. t Aproveches los materiales que la SEP ha preparado para apoyarte. tUtilices otros recursos que puedan ayudarte a profundizar tu aprendizaje. t Identifiques tus dificultades para aprender y busques ayuda para superarlas. Te involucres de manera activa en tu aprendizaje. Es decir que: t Leas para comprender las ideas presentes y construyas significados. t Recurras a tu experiencia como punto de partida para aprender.

Reconoce lo que ya sabes

Identifica la informacin relevante

Analiza y comprende

Aplica lo aprendido en tareas especficas

Complementa

Sigue aprendiendo!

Mejora el proceso

Mide tu desempeo

Reflexiona y busca relaciones



t Realices las actividades propuestas y revises los productos que generes. t Reconozcas tus fortalezas y debilidades como estudiante. t Selecciones las tcnicas de estudio que mejor funcionen para ti. t Emprendas acciones para enriquecer tus capacidades para aprender y po-

tenciar tus habilidades. Asumas una postura crtica y propositiva. Es decir que: t Analices de manera crtica los conceptos presentados. t Indagues sobre los temas que estudies y explores distintos planteamientos

en torno a ellos. t Plantees alternativas de solucin a los problemas. t Explores formas diversas de enfrentar las situaciones. t Adoptes una postura personal en los distintos debates. Seas honesto(a) y te comprometas contigo mismo(a). Es decir que: t Realices t mismo(a) las actividades. t Consultes las respuestas despus de haberlas llevado a cabo. t Busques asesora en los Centros de Servicios de Preparatoria Abierta. tDestines el tiempo de estudio necesario para lograr los resultados de apren-

dizaje. Evales tus logros de manera constante. Es decir que: t Analices tu ejecucin de las actividades y los productos que generes utili-

zando la retroalimentacin que se ofrece en el libro. t Identifiques los aprendizajes que alcances utilizando los referentes que te

ofrece el material. t Reconozcas las limitaciones en tu aprendizaje y emprendas acciones para

superarlas. t Aproveches tus errores como una oportunidad para aprender. Reflexiones sobre tu propio proceso de aprendizaje. Es decir que: t Te preguntes de manera constante: Qu estoy haciendo bien?, qu es lo

que no me ha funcionado? t Realices ajustes en tus estrategias para mejorar tus resultados de aprendi-

zaje. Como puedes ver, el estudio independiente es una tarea que implica el desarrollo de muchas habilidades que adquirirs y mejorars a medida que avances en tus estudios. El componente principal es que ests comprometido con tu aprendizaje.


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Cmo utilizar este material

Este libro te brinda los elementos fundamentales para apoyar en tu aprendizaje. Lo constituyen diver-sas secciones en las que se te proponen los pasos que es recomendable que sigas para estudiar.

1. En la seccin Tu plan de trabajo encontrars el propsito general del mdulo, las competencias que debers desarrollar y una explicacin gene-ral de las unidades. Es importante que sea lo pri-mero que leas de tu libro para hacer tu propio plan de trabajo.

2. En la seccin Con qu saberes cuento? hay una primera actividad de evaluacin con la que pue-des valorar si posees los saberes requeridos para estudiar con xito el mdulo. Es oportuno que identifiques desde el inicio si necesitas aprender o fortalecer algn conocimiento o habilidad an-tes de comenzar.

3. Despus de la seccin anterior, se presentan las unidades en el orden sugerido para su estudio. Cada una de ellas contiene actividades de apren-dizaje e informacin necesaria para realizarlas;

Matemticas y representaciones del sistema natural

43

Para que puedas conocer los esfuerzos que realizan las instituciones pblicas encargadas del manejo y distribucin del agua potable, visita el portal de Internet de la Comisin

Nacional del Agua (Conagua) .

Tambin puedes consultar el sitio del organismo especializado en tu localidad.

Ms informacin en...

acumulndola primero en el tinaco y llevndola a tra-vs de la tubera a todas las llaves de la instalacin. El tinaco se debe ubicar en el punto ms alto para que la energa potencial sea mxima, de forma que la presin hidrosttica sea lo suficientemente grande para empu-jar el agua y que as, salga por una llave abierta.

El mismo principio que se emplea para el funcio-namiento de una presa o de un tinaco, se utiliza tam-bin el inodoro, uno de los avances tecnolgicos ms benficos para nuestra salud.

Inodoro: se dice especialmente del aparato que se coloca en los escusados de las casas y en los evacuato-rios pblicos para impedir el paso de los malos olores.Tambin quiere decir sin olores, o que no despide olores.

glosario

UN MOMENTO DE REFLEXIN

A partir de la explicacin del funcionamiento de una presa, aunado a lo que has aprendido hasta ahora, intenta explicar cmo funciona el inodoro.

Al jalar la palanca, que es como se conoce al proceso por el cual un inodoro se pone en marcha, se levanta una pequea tapa dentro del tanque (conocida como sapo) y deja pasar el agua a la taza. El agua se acumula

en la taza, hasta que alcanza el nivel necesario para que su presin hidrosttica rompa el equilibrio que la mantiene ah, por lo que comienza a

salir por la tubera. El proceso contina hasta que de nuevo se alcanza un equilibrio entre la presin a ambos lados de la tubera de salida de la taza.

Cuantitativo: que denota cantidad.

glosarioCalculando propiedades de los fluidosAhora bien, adems de dar descripciones cualitativas adecuadas, el mundo de la f sica y la ingeniera requiere de un trabajo cuantitativo preciso. Por esta razn, es necesario aprender a manipular expresiones matemticas complejas para evaluar la informacin que en un momento dado sea requerida.

6 Completa el siguiente cuadro, para conocer, qu magnitudes fsicas intervie-nen en el clculo de la energa potencial y la presin hidrosttica?, y cul es la

expresin matemtica que permite calcularlas?

Concepto Variables Expresin matemtica

Energa potencial

Presin hidrosttica

Podrs corroborar tus respuestas en el cuadro que se presenta en el Apndice 1.

Ests trabajando para comprender

las expresiones matemticas (W= m/V, P=

F/A, PH = Wgh, E= WLVLg) que representan conceptos y

principios que describen el comportamiento de los

fluidos, para aplicarlos en problemas prcticos o

experimentos relacionados con estos fenmenos fsicos,

presentes en tu ciudad, pas o en el mundo.

Indicador de desempeo Enuncia la tarea que debes aprender a realizar como resultado del estudio. Utilzalos como referente conforme realizas las actividades y valora de manera continua la medida en la cual vas dominando esos desempeos.

Actividad Encontrars una gran diversidad de actividades que te ayudarn a desarrollar competencias. Las actividades de aprendizaje, las cuales podrs identificar cada vez que aparezca una libreta en color azul y las experimentales, que ubicars mediante una libreta en color verde. Lee las instrucciones con atencin en cada actividad y ejectalas para aprender.

Alto Te sugiere dnde detenerte sin dejar un proceso de aprendizaje incompleto.


67

En el caso en el que una tubera cambie de rea, la ecuacin de continuidad se puede escribir como: A1v1=A2v2. Al multiplicar el rea transversal de la tubera por la rapidez del fluido, estamos calculando una especie de rapidez con la que se des-plaza el volumen, que es equivalente al flujo de la tubera. Esta interpretacin se puede hacer de forma ms simple si se analizan las unidades que resultan de mul-tiplicar el rea transversal de la tubera (A) por la rapidez del fluido (v), cuyas uni-dades son m2 y m/s respectivamente, resulta en m3/s, que es la unidad que se utiliza para medir el flujo.

As, podemos ver que al modificar el rea transversal de una tubera, se modi-fica tambin la rapidez del fluido; un fluido se mover con mayor rpidez si pasa a una tubera cuya rea transversal sea menor, y se mover ms lentamente si lo hace a una con rea mayor. En dnde has visto este fenmeno?

Al tapar parte de la boquilla de una manguera con tu dedo pulgar, reduces al rea transversal de la manguera, haciendo que el agua salga con mayor rapidez. Si retiras tu dedo, el rea aumenta y el agua sale con menor rapidez.

Una de las ecuaciones bsicas para describir el comportamiento de fluidos en movimiento es la ecuacin de Bernoulli.

La ecuacin de Bernoulli relaciona distintas variables de un fluido en movi-miento:

P: la presin del fluido (Pa)D: la densidad del fluido (kg/m3)v: la rapidez del fluido (m/s)g: la aceleracin de la gravedad (9.8 m/s2)h: la altura del fluido (m)Todas estas variables se agrupan dentro de una ecuacin que establece que la

energa que posee el fluido en movimiento, sin friccin ni viscosidad, permanece constante a lo largo de su recorrido. La ecuacin se escribe como sigue:

P2 + Dv2

+ Dgh = constante2 ,

Podemos separar los trminos de la ecuacin para analizarlos con mayor dete-nimiento: P se refiere a la presin del fluido.

Dv2

2 es un trmino que se asemeja a la energa cintica del fluido pero entre el volumen, as que podemos interpretarlo como la energa cintica que tendra 1 m3 de fluido.

Daniel Bernoulli fue un fsico y matemtico ho-lands que naci en 1700 y muri en 1782. Fue miem-bro de una clebre familia de cientficos, quienes con-tribuyeron con un sinn-mero de aportaciones al rea de las matemticas. Su obra principal, Hidrodin-mica, se public en 1738 y en la cual desarrolla la idea de lo que ms tarde se co-noci como teorema de Bernoulli, as como los fundamentos de la moder-na teora cintica de los gases.

Para saber ms Brinda informacin interesante, curiosa o novedosa sobre el tema que se est trabajando y que no es esencial, sino complementaria.

Concepto clave Resalta los conceptos esenciales para la situacin que ests analizando. Identifcalos y presta especial atencin para comprenderlos y problematizarlos. Se indican con letra azul.


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sin embargo se sugiere continuamente que con-sultes fuentes adicionales a este libro.

4. Para que puedas corrobar las respuestas de las ac-tividades est el primer Apndice del libro. No de-jes de consultarlo despus de haberlas realizado.

5. Tambin encontrars una seccin de evaluacin final del mdulo. Su resolucin te permitir va-lorar si ya lograste los aprendizajes propuestos y si ests en condiciones de presentar tu examen para acreditar el mdulo ante la SEP. Es muy im-portante que califiques honestamente tus res-

puestas y una vez que tengas los resultados pienses sobre lo que s te funcion y lo que no a lo largo del estudio para que adoptes mejoras en tu proceso de aprendizaje..

Con frecuencia se te recomienda buscar infor-macin por medio de Internet, o acceder a algunas pginas electrnicas pero no te limites a dichas reco-mendaciones, busca otras; en ocasiones, dada la ve-locidad con que se actualiza la informacin encontrars que algunas direcciones ya no estn dis-


U3 LEYES DE LOS GASES

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y2VTVDFEFFOMBTQBSFEFTEFMBDBKB

y2VEJGFSFODJBOPUBTFO MBTQBSFEFTEF MBDBKBBMBHJUBS MBDBKB MFOUBNFOUFZEFTQVTIBDFSMPSQJEP

Esta sencilla actividad pretende que te familiarices con los procesos que se dan a nivel molecular para que puedas entender ms fcilmente los conceptos que estudiare-mos a continuacin. Conserva tu laboratorio de gas, pues recurriremos de nuevo a l ms adelante. Puedes consultar las respuestas en el Apndice 1 para verificar la validez de tus ideas.

En la unidad 1 conociste algunos conceptos que vamos a retomar en esta unidad, as que a modo de repaso, tendrs que elaborar un mapa conceptual en el que el concepto central sea gases y se incluyan como subordinados la masa, volumen, densidad y presin, adems de las definiciones y las unidades de medida.

Gestin del aprendizaje

Los mapas conceptuales son esquemas que pre-sentan la informacin de manera jerrquica; sirven para organizar y estructu-rar la informacin y para determinar el nivel de re-lacin que existe entre un concepto y otro.

Sobre los mapas conceptuales, revisa tus

notas y el libro del mdulo De la informacin al

conocimiento.

Ms informacin en...

Compara tu mapa conceptual con el que se muestra en el Apndice 1 para identifi-car posibles errores. Despus de este repaso de los conceptos bsicos, casi estamos listos para el estudio de las leyes que rigen el comportamiento de los gases.

Gestin del aprendizaje Incluyen algunos comentarios del autor que se relacionan con el tema estudiado y te permiten profundizar el aprendizaje.

Ms informacin en Recomienda otros recursos para ampli-ar informacin sobre un tema.


129

Figura Esquema Permetro rea

Crculo Pp r A = p r

3FDUOHVMP Pa b A = a x b

Tringulo P = L1 + L + b A ab

Polgono regular P = L (nmero de lados) A Pa

Otro concepto que es importante analizar es la temperatura. Aunque ms adelante encontraremos una seccin dedicada al estudio de la temperatura y fenmenos trmicos, por el momento nos centraremos en decir que la temperatura es una medida que indica que tan rpido se mue-ven las molculas de un gas: para una tem-peratura grande, las molculas se mueven ms rpidamente que si la temperatura fuera menor. La temperatura tiene claros efectos sobre la materia, recuerdas que no fue lo mismo agitar tu caja lento o rpi-do en la actividad del laboratorio de ga-ses? Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Kelvin (K).

Asesora

$PNPCJFOTBCFTFYJTUFONVDIBTVOJEBEFTEFNFEJEB

QBSBMBTEJTUJOUBTWBSJBCMFTRVFFTUBNPTFTUVEJBOEPQPSMPRVFGSFDVFOUFNFOUFTFSOFDFTBSJPRVFSFBMJDFTDPOWFSTJPOFTEF

VOJEBEFT&YJTUFOBMHVOBTIFSSBNJFOUBTFOMOFBRVFUF

QVFEFOBZVEBSDPOMBDPOWFSTJOQPSFKFNQMPMPTTJUJPTIUUQXXXDPOWFSU-

XPSMEDPNFTZIUUQNFUSJDDPOWFSTJPOCJ[FT

DPOWFSTJPOEFVOJEBEFTIUNM4JOFNCBSHPFTSFDPNFOEBCMFRVFDVFOUFTUBNCJODPOVOBUBCMBEFFRVJWBMFODJBTRVFUF

QFSNJUBIBDFSMBTDPOWFSTJPOFTTJOOFDFTJEBEEFSFDVSSJSBVOB

DPNQVUBEPSB

1VFEFTDPOTVMUBSMBUBCMBEFFRVJWBMFODJBTRVFTFQSPQPS-

DJPOBFOFM"QOEJDF

En algunos de los problemas en los que intervenga la presin, ser necesario calcular el rea sobre la cual dicha presin se aplica. A continuacin se incluye un cuadro que te permitir tener referentes para calcular el rea de algunas figuras geomtricas, as como su permetro.

Materia: SFBMJEBEQSJNBSJBEFMBRVFFTUOIFDIBTMBTDPTBT

glosario

r

a

b

a

b

L

a

L1 -

Glosario Destaca aquellos trminos que pueden ser difciles de comprender. En el margen encontrars la definicin correspondiente. No avances si no entiendes algn trmino! Es uno de los atributos de un buen lector.

Asesora Son sugerencias para que el estudiante recurra a otras personas de su entorno para intercam-biar o enriquecer puntos de vista sobre un tema.


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ponibles, por lo que saber buscar (navegar) te ser muy til. Si tienes alguna duda sobre cmo hacerlo, consulta el Apndice 2 La consulta en fuentes de informacin en Internet.

Conforme avances identificars cules de estos recursos te resultan ms tiles segn tus capacida-des para aprender y tu estilo de aprendizaje. Apro-vchalos para sacar el mayor beneficio de este libro!


U2 ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

104

Actualmente, con el desarrollo de la tecnologa satelital es fcil orientarse; bas-ta comprarse un aparato conocido como GPS (Sistema de Geoposicionamiento Global, por sus siglas en ingls) para poder trazar una ruta, incluso aunque no se cuente con alguna referencia visual. Sin embargo, desde hace siglos, los seres hu-manos han realizado largusimos viajes sin tener satlites, ayudados nicamente de un invento muy ingenioso: la brjula.

Y t, sabes cmo funciona una brjula? Explcalo en las siguientes lneas.

A lo largo de esta unidad hemos revisado la teora bsica de la electricidad, as que ahora nos dedicaremos al estudio de los fenmenos magnticos. El descubri-miento del magnetismo data de hace miles de aos y se document por primera vez en una regin de Asia conocida como Magnesia. Los habitantes de esa regin observaron que haba rocas que se atraan unas a otras; actualmente sabemos que estas rocas estn formadas de xidos de hierro y se conocen comnmente como imanes (o magnetos, haciendo honor a su lugar de origen). El magnetismo fue es-tudiado por algunas civilizaciones antiguas, como los griegos, pero solo como una curiosidad; fueron los chinos, sin embargo, quienes encontraron que es posible orientarse geogrficamente haciendo uso de un imn y desarrollaron un invento que se conoce como la brjula.

Como veremos ms adelante, el magnetismo est ntimamente relacionado con nuestra vida diaria, as que procederemos a estudiar la teora bsica.

Ests trabajando para describir el

concepto: campo magntico, y las leyes de

Ampere y Faraday que explican el comportamiento de

la electricidad y el magnetismo, para

representarlos sistemticamente mediante la

aplicacin de relaciones y funciones al observar

y analizar la presencia de estos en la vida cotidiana.

Brjula:JOTUSVNFOUPDPOTJTUFOUFFOVOBDBKBFODVZPJOUFSJPSVOBBHVKBJNBOUBEBHJSBTPCSFVOFKFZTFBMBFMOPSUFNBHOUJDPRVFTJSWFQBSBEFUFSNJOBSMBTEJSFDDJPOFTEFMBTVQFSGJDJFUFSSFTUSF

glosario

Lmites del conocimiento

En el ao 2007 los fsicos Peter Grnberg y Albert Fert ganaron el Premio Nobel de Fsica por descubrir un efecto magntico que permiti a las compaas de computadoras desarrollar discos du-ros con mayor capacidad de almacenamiento. El fenmeno se conoce como magnetorresistencia gigante y es un tema de estu-dio actual en el mundo de la fsica y la ingeniera.


Seguramente tienes algunas nociones respecto a lo que sucede cuando dos imanes interactan, as que escrbelo.

U3 LEYES DE LOS GASES

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La teora molecular establece que la materia est formada por molculas que estn en constante movimiento; esa es la razn por la que el agua se mezcl con el colo-

rante en la actividad anterior. Puedes visualizarlo de la si-guiente forma: imagina que tienes un frasco lleno de arroz (molculas de agua) y pones algunos frijoles hasta arriba (molculas de colorante); el arroz y los frijoles no pueden moverse por s mismos, por lo que debemos imaginar unas manos invisibles que agiten el frasco Qu observas des-pus de unos segundos? Esperaras que los frijoles sigan estando exactamente donde los colocaste? Claro que no. Al cabo de unos segundos de agitar el frasco encontrars un frijol por aqu, otro por all, uno ms al fondo del recipiente, es decir, arroz y frijoles, agua y colorante se habrn mezcla-do. Ahora, es evidente que no obtendremos el mismo resul-tado si las manos invisibles agitan el frasco lentamente o lo hacen rpido. Recuerdas cmo se llama la variable f sica que nos dice que tan rpido se mueven las molculas? La temperatura.

La temperatura de un objeto se define como el promedio de la energa cinti-ca (el concepto de energa cintica se abord en la unidad 1) de las molculas que componen el objeto. Debido a que la energa cintica de una molcula est relacio-nada con su rapidez, podemos interpretar a la temperatura como una medida que nos indica qu tan rpido se mueven las molculas en promedio. Esto no quiere decir que las molculas se mueven todas con la misma rapidez, habr las que se muevan ms lentamente o rpidamente, el promedio solo da un valor representa-tivo de la rapidez de todo el conjunto de molculas.

Por otro lado, el concepto de calor involucra por fuerza la interaccin de dos objetos con temperatura distinta, y se refiere a un intercambio de energa.

*OWPMVDSBSBCBSDBSJODMVJSDPNQSFOEFSIBDFSQBSUJDJQBS

glosario


Imagina que ests a punto de comer, por lo que te sirves la sopa caliente que recientemente estaba en la estufa y un vaso de agua fra que acabas de sacar del refrigerador sobre la mesa. Justo en ese momento, tienes la mala suerte de recibir una llamada telefnica importante que dura cerca de 15 minutos. Qu habr sucedido con tu comida despus

de ese tiempo? Tu sopa estar ya fra y el agua estar al tiempo. Si lo vemos desde el punto de vista de las molculas, las de la sopa que en

un principio se movan rpidamente habrn perdido algo de su energa cintica, mientras que, por otro lado, las del agua, que se movan

lentamente, ganaron algo de energa cintica pues ahora se mueven ms rpido. Sabemos que la energa no aparece ni desaparece por arte

de magia, as que debi de ir a algn lado, al aire para ser precisos. Esta energa que se transfiri entre los alimentos y el aire es

justamente lo que se denomina calor.

Reflexin Ofrece una serie de cuestionamientos que buscan sacar a flote la experiencia previa del estudiante para aplicarla a ms situaciones cotidianas, de tal forma que genere el cimiento sobre el cual se consoliden conocimientos posteriores.

Lmites del conocimiento Brinda una visin de que el conocimiento est en constante construccin y cambio.


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El propsito del mdulo Matemticas y representaciones del sistema natural es que analices situaciones de la vida cotidiana en las cuales se presentan fenmenos relacionados con el comportamiento de los fluidos, la electricidad, el magnetismo, el calor y las leyes de los gases mediante el uso de herramientas matemticas, como las relaciones y funciones, que permiten comprenderlos y resolver problemas rela-cionados con los mismos, desde diferentes enfoques.

Matemticas y representaciones del sistema natural se ubica en el tercer nivel del plan de estudios de bachillerato de las modalidades no escolarizada y mixta, denominado Mtodos y contextos, en el cual se consolida el aprendizaje del m-todo cientfico en su aplicabilidad para las Humanidades y Ciencias sociales as como para para las Ciencias experimentales.

En este sentido es que este libro busca orientarte para que interpretes, analices y comprendas tu entorno a partir del planteamiento de situaciones problemticas, que resolvers utilizando conceptos y leyes de la f sica, as como herramientas ma-temticas. Este material se desarrolla entorno a la problemtica que plantea la ge-neracin de energa elctrica en nuestro pas mediante procesos no contaminantes. Para su trabajo, el mdulo se conforma en tres unidades: En la primera unidad estudiars el comportamiento de los fluidos (en reposo y en movimiento) mediante los conceptos y las leyes respectivas, utilizando las herramientas matemticas que permitan su anlisis con rigor cientfico. Apli-cars estos conocimientos para estudiar el funcionamiento de una central hi-droelctrica, en particular, la planta hidroelctrica conocida como La Yesca, ubicada en el estado de Nayarit. En la segunda unidad enfocars tu atencin en los conceptos vinculados con electricidad, magnetismo y electromagnetismo, as como el uso adecuado de los modelos matemticos que los describen. Aplicars estos conocimientos para entender , entre otras cosas, cmo convierte un generador para convertir electricidad mecnica en energa elctrica. Por ltimo, en la tercera unidad analizars los principios fundamentales de las leyes de los gases para vincularlos a situaciones cotidianas mediante la aplica-cin de herramientas y modelos matemticos. De forma paralela, analizars el funcionamiento de una central capaz de convertir la energa del viento en ener-ga elctrica, estudiando el caso de la central Eoloelctrica La Venta.Conforme avances en el estudio de este mdulo desarrollars las competencias

que se requieren para acreditarlo. Encontrars una serie de apoyos o recursos para completar tu aprendizaje de forma independiente, pon atencin en ellos y aprov-chalos al mximo.

Algunos de estos apoyos son las diversas cpsulas que te dan la posibilidad de consultar informacin adicional, enterarte de un dato curioso o ampliar la explica-

Tu plan de trabajo


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cin sobre un tema o concepto, no las pases por alto y considralas como parte importante en tu estudio.

Este mdulo tiene una duracin de 70 horas, con un tiempo de estudio estima-do para cada unidad como se muestra a continuacin:

Unidad Tiempo de estudioDinmica de fluidos 25 horasElectricidad y Magnetismo 25 horasLeyes de los Gases 20 horas

Si estudias 10 horas por semana, podrs completar el mdulo en 12 semanas, aproximadamente. Si tu ritmo de trabajo es diferente a ste, elabora tu propio cro-nograma y estima el tiempo de estudio por unidad.

Entonces, es momento de comenzar!

Tu plan de trabajo


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Con qu saberes cuento?

En este mdulo estudiars algunos conceptos bsicos de f sica y aprenders la for-ma de relacionarlos con diversas herramientas matemticas, sin embargo, es nece-sario que domines una serie de conceptos y procedimientos fundamentales de aritmtica, lgebra y geometra, como los nmeros reales y sus operaciones, enten-der el lenguaje algebraico, notacin cientfica, resolver ecuaciones sencillas y cono-cer elementos geomtricos bsicos como el punto, la recta y el plano.

Para que valores tus fortalezas y debilidades, responde la siguiente evaluacin diagnstica.

Instrucciones: Contesta las siguientes preguntas. Escribe la respuesta en este libro, pero

utiliza hojas para registrar el procedimiento que sigues en cada caso. Con-serva tus anotaciones para que puedas analizar los pasos que seguiste al revisar tus respuestas.

I. Aritmtica: Resuelve las siguientes operaciones con nmero reales.

1. 3 7 ( 9) =

2. 3 (35 9) ( 28 ) + 4 =4 3. ( 4 ) ( 3 ) =5 8 4. 5 7 =

9 12

II. lgebra: 5. Una persona gasta 10 pesos en transporte para ir al mercado a comprar

naranjas. Adems, cada kilogramo de naranjas se vende en 4 pesos. Si lla-mamos x a los kilogramos de naranja que compra la persona, escribe la ecuacin que permite conocer el costo total del viaje al mercado, y.

Encuentra el valor de x que satisface las siguientes igualdades: 6. 4x 20 = 0

7. 6x + 4 = 5x 7

8. 4x 3 = 25

9. 4 x 1 = 05 2


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Con qu saberes cuento?

Escribe las siguientes cantidades en notacin cientfica: 10. 7040000

11. 0.00000000549

III. Geometra: 12. Cuntos puntos se necesitan como mnimo para trazar una recta que pase

por ellos en un plano?Traza los elementos que se solicitan a continuacin: 13. Dos rectas que formen un ngulo de 45

14. Dos planos que formen un ngulo de 90

Cuando termines, consulta el Apndice 1 para revisar tus respuestas. Tus erro-res te mostrarn aquellas competencias matemticas bsicas que necesitas reforzar antes de iniciar este mdulo. Identifica en qu te equivocaste y repasa estos temas antes de iniciar. Para ello, consulta tu libro y apuntes del mdulo: Representaciones simblicas y algoritmos, o bien, revisa la siguiente bibliograf a y sitios de Internet:

Fuenlabrada de la Vega, S. (1994). Matemticas I: aritmtica y lgebra. Mxico: McGraw-Hill. Baldor, A. (1974). Aritmtica terico prctica; con 7008 ejercicios y problemas, Bogot: Cultural colombiana. Quijano, J. (1964). Aritmtica y nociones de lgebra y geometra. Mxico: Porra. http://docente.ucol.mx/grios/aritmetica/numenatu.htm http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Ecua-ciones_primer_grado_resolucion_problemas/index.htm http://www.geoka.net/ http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/notacion-cientifica.htmlRecuerda que puedes buscar el apoyo de alguien cercano a ti que cuente con

conocimientos de matemticas y ciencias experimentales, o bien acudir a algn Cen-tro de Servicios de Preparatoria Abierta y solicitar el servicio de Asesora Acadmica.


Qu voy a aprender y cmo?

Diariamente tilizas regaderas, lavabos, coladeras y drenajes, etctera; adems, ves objetos que pueden flotar en el agua o en el aire tales como lanchas, aviones, helicpteros. Te has pregunta-do cmo y por qu funcionan?

En esta unidad denominada Dinmica de fluidos podrs dar una respuesta al respecto; pero requieres dominar algunos conceptos y he-rramientas matemticas, tales como las funciones y ecuaciones de primero y segundo grado. Asi-mismo, estudiars que el aire es una mezcla de gases y el agua, un lquido; dado que gases y lqui-dos se comportan de forma similar, estos se agru-pan dentro de un mismo concepto: fluidos.

1Dinmica de fluidos

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U1 DINMICA DE FLUIDOS

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Entorno: ambiente, lo que rodea.

glosario

Con qu propsito?El propsito de esta unidad es que comprendas el comportamiento de los fluidos (en reposo y en movimiento) con el estudio de los conceptos y las leyes respectivas, para que puedas relacionarlos con situaciones de tu entorno y/o vida cotidiana. Para analizarlos utilizars herramientas matemticas como las ecuaciones de primer y segundo grado, los despejes y las proporciones directas e inversas.

Qu saberes trabajar?En esta unidad abordars saberes de fsica y matemticas de manera articulada para comprender, los fenmenos cotidianos ms comunes de tu entorno relacionados con el comportamiento de los fluidos.Los conocimientos se contextualizan a travs del estudio del proceso mediante el cual la energa potencial del agua en una presa se aprovecha para generar energa elctrica. Adicionalmente, se pretende que obtengas elementos para realizar reparaciones sencillas en el hogar, o por lo menos, entender las causas de las fallas. Como puedes ver, la idea central es que puedas constatar la importancia y aplicacin de los conceptos bsicos de esta unidad.

Los saberes estarn relacionados con situaciones que vives en el entorno cotidiano, pues diariamente convives con fluidos como el agua y el aire. Podrs conocer el beneficio que se obtiene de comprender las propiedades de los fluidos en el desarrollo tecnolgico, conociendo el funcionamiento de una planta hidroelctrica. Adems, favorece el desarrollo de habilidades en el manejo de herramientas matemticas que se utilizan frecuentemente en el mbito cientfico.

Cmo organizar mi estudio?La unidad comprende tres secciones, a travs de las cuales irs construyendo t propio aprendizaje tomando como base los contenidos y herramientas metodolgicas que se te proporcionarn. Vers que podrs adquirir aprendizajes que te permitirn entender los fenmenos o situaciones que observas diariamente.

r Caractersticas de los fluidos.

r El Sistema Internacional de Medidas.

r Calculando volmenes.

r Relaciones y funciones.

r Propiedades de los fluidos y sus funciones.

r El enorme potencial del agua: las presas.r Calculando propiedades de los fluidos.r Por qu flota una lancha?r Experimentando con fluidos.

r Anlisis del consumo de agua de riego.

r Conservacin de la energa.r Ecuaciones cuadrticas.r Conversin de energa

mecnica en elctrica.

Dinmica de fluidos

Fluidos en movimiento: HidrodinmicaPropiedades de fluidos en reposo: HidrostticaQu es un fluido?

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La unidad est diseada para cubrirse en un total de 25 horas. Te proponemos que distribuyas este tiempo de la manera siguiente:

SeccinTiempo sugerido

(horas)

1. Qu es un fluido? 7

2. Propiedades de fluidos en reposo: Hidrosttica 10

3. Fluidos en movimiento: Hidrodinmica 8

Se sugiere que sigas el orden dispuesto debido a que te permitir ir construyendo saberes cada vez ms complejos, pero que se basan en lo que has ido aprendiendo con anterioridad.

Para la resolucin de la unidad necesitars tu libro, hojas sueltas, lpiz, bolgrafo, borrador, sacapuntas, calculadora, material para los experimentos y muchas ganas para realizar las actividades de la unidad.

Durante las tres secciones es indispensable utilizar una computadora conectada a Internet. Si no tienes una, busca dnde podrs tener acceso a ella.

Cules sern los resultados de mi trabajo?Los resultados que obtendrs son los siguientes:

En la Seccin 1, denominada Qu es un fluido?, aprenders a:

r 3FDPOPDFSEFNBOFSBBVUOPNBMBTVOJEBEFTEFNFEJDJOEFMPTDPODFQUPTSFMBDJPOBEPTDPOMPTfluidos en los Sistema Ingls e Internacional, para realizar conversiones de un sistema a otro.

En la Seccin 2, denominada Propiedades de fluidos en reposo: Hidrosttica, comprenders:

r -PTDPODFQUPTEFOTJEBEQSFTJOZGMVKPWPMVNUSJDPQBSBSFQSFTFOUBSMPTTJTUFNUJDBNFOUFNFEJBO-te la aplicacin de relaciones y funciones.

r -PTDPODFQUPTEFQSFTJOIJESPTUUJDBQSFTJOBUNPTGSJDBQBSB SFQSFTFOUBSMPTTJTUFNUJDBNFOUFmediante la aplicacin de relaciones y funciones al observar y analizar la presencia de stos en tu vida cotidiana.

r -BTFYQSFTJPOFTNBUFNUJDBTW m/V, P F/A, PH Wgh, E WLVLg) que representan conceptos y principios que describen el comportamiento de los fluidos, para aplicarlos en problemas prcticos o experimentos relacionados con estos fenmenos fsicos, presentes en tu ciudad, pas o en el mundo.

r %FTQFKBSWBSJBCMFTSFMBDJPOBEBTDPOMPTDPODFQUPTEFOTJEBEQSFTJOQSFTJOIJESPTUUJDBEFNBOF-ra analtica y sistemtica en la solucin de problemas de tu entorno.

r -PTQSJODJQJPTEF"SRVNFEFTZEF1BTDBMRVFEFTDSJCFOFMDPNQPSUBNJFOUPEFMPTGMVJEPTQBSBSF-presentarlos sistemticamente mediante la aplicacin de relaciones y funciones al observar y analizar la presencia de stos en tu vida cotidiana.

Asimismo:

r 6UJMJ[BSEFNBOFSBDPSSFDUBMPTJOTUSVNFOUPTEFNFEJDJODPSSFTQPOEJFOUFTBDBEBDPODFQUPGTJDPestudiado en esta unidad para determinar los valores numricos en situaciones especficas.

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r %FTQFKBSWBSJBCMFTSFMBDJPOBEBTDPOMPTDPODFQUPTEFOTJEBEQSFTJOZQSFTJOIJESPTUUJDBZQSJO-cipios: Arqumedes y Pascal de manera analtica y sistemtica en la solucin de problemas de tu entorno.

En la Seccin 3, denominada Fluidos en movimiento: Hidrodinmica, aprenders a:

r %JGFSFODJBSGVODJPOFTNBUFNUJDBTEFQSJNFSZTFHVOEPHSBEPVUJMJ[BOEPMPTDPODFQUPTZQSJODJQJPTde los fluidos que se abordan en esta unidad, para apoyar su comprensin

r $PNQSFOEFSMPTDPODFQUPTEFGMVKPWPMVNUSJDPZQSJODJQJPT#FSOPVMMJZ5PSSJDFMMJRVFEFTDSJCFOFMcomportamiento de los fluidos, para representarlos sistemticamente mediante la aplicacin de re-laciones y funciones al observar y analizar la presencia de stos en la vida cotidiana.

r Comprender las expresiones matemticas Ec mv 2

2,

f1a1

, f2a2

, v 2 2gh que representan conceptos

y principios que describen el comportamiento de los fluidos, para aplicarlos en problemas prcticos o experimentos relacionados con estos fenmenos fsicos, presentes en tu ciudad, pas o el mundo.

r %JGFSFODJBSGVODJPOFTNBUFNUJDBTEFQSJNFSZTFHVOEPHSBEPVUJMJ[BOEPMPTDPODFQUPTEFOTJEBEpresin, presin hidrosttica, presin atmosfrica, flujo volumtrico) y principios (Arqumedes, Pas-DBM#FSOPVMMJZ5PSSJDFMMJEFMPTGMVJEPTRVFTFBCPSEBOFOFTUBVOJEBEQBSBBQPZBSTVDPNQSFOTJO

r 6UJMJ[BSEFNBOFSBBVUOPNBMPTDPODFQUPTZQSJODJQJPTEFMPTGMVJEPTEFTBSSPMMBEPTFOFTUBVOJEBEen la explicacin de situaciones de la vida cotidiana, para proponer lneas de accin que ayuden a mejorar tu comunidad, estado, regin, pas o el mundo.

6OBWF[RVF UFFODVFOUSBT MJTUPQBSB JOJDJBSFM SFDPSSJEPQPSFMNBSBWJMMPTPNVOEPEF MB GTJDBZ MBTmatemticas. Abrocha tus cinturones porque arrancamos. Adelante!

INICIO

Observa la imagen. Describe brevemente lo que ves en ella.

Es probable que cerca de tu comunidad encuentres una instalacin como sta. Sabes que es? la Presa Leonardo Rodrguez Alcaine, mejor conocida como El Cajn, ubicada en el municipio de Santa Mara del Oro, Nayarit. Segn el diccionario, presa es un muro grueso de piedra u otro material que se cons-

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Sobre la Presa El Cajn y las otras hidroelctricas del pas visita el portal electrnico Energas renovables < portal electrnico renovables.gob.mx: http://www.renovables.gob.mx/Default.aspx?id=1653&lang=1> [Consulta: 12/02/2012].

truye a travs de un ro, arroyo o canal, para almacenar agua a fin de derivarla o regular su curso fuera del cauce. Ahora bien, vamos a concentrar nuestra aten-cin en un tipo particular de presas, aquellas construdas con la intensin de generar energa elctrica.

Distingues en la fotograf a las instalaciones en la parte baja del muro de con-creto que forma la presa? Estn ah para generar energa elctrica a partir del apro-vechamiento del agua, por lo que al complejo se denomina planta hidroelctrica.

De acuerdo con la Secretara de Energa del gobierno federal, en agosto de 2010, la generacin de electricidad por medio de las hidroelctricas represent el 18% de la generacin total en el pas, ocupando el segundo lugar, detrs de la pro-duccin termoelctrica.

Actualmente, la Comisin Federal de Electricidad (CFE) trabaja en el proyecto de La Yesca, una central hidroelctrica que entrar en operacin a finales de 2012 y tendr una capacidad instalada de 750 MW. Se lo-caliza sobre el ro Santiago, dentro de la Sierra Ma-dre Occidental, entre los lmites de los estados de Jalisco y Nayarit. Este proyecto forma parte del Siste-ma Hidroelctrico del ro Santiago, constituido por un grupo de once plantas hidroelctricas, las cuales aprovechan el caudal del ro Santiago, que tiene un potencial hidroenergtico de 4,300 MW (millones de vatios, es una unidad de medida de potencia que indica cunta energa se podra producir a cada se-gundo).

Es probable que hayas ledo que: La energa no se crea, ni se destruye, slo se transforma, as que valdra la pena preguntarse: Qu tipo de energa es la que se transforma en energa elctrica en una planta hidroelctrica? El mismo nombre, hi-droelctrica, nos da una muy buena pista de la res-puesta; el secreto parece residir en el agua, cierto? En esta unidad estudiaremos algunas propiedades del agua as como los mecanis-mos responsables del aprovechamiento del vital lquido para la generacin de ener-ga elctrica. Todo con el fin de responder tres preguntas: Cules son las caractersticas bsicas de los lquidos? Por qu se construyen presas para generar energa elctrica? Cmo se aprovecha el agua almacenada en una presa para generar electrici-dad?Podras responder alguna de estas preguntas? Construye las respuestas a par-

tir de lo que estudies.Adelante!

Si deseas conocer ms acerca del proyecto

hidroelctrico de La Yesca o del Sistema Hidroelctri-

co Santiago, visita el sitio de Internet de la Comisin

Federal de Electricidad: . [Consulta:

17/02/2012].

Ms informacin en...

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SECCIN 1 Qu es un fluido?El agua y el gas son elementos que usamos de forma cotidiana, por lo que en la ma-yor parte de las construcciones se incluyen instalaciones especiales para su distribu-cin. Te has preguntado, qu propiedades f sicas comparten el agua y el gas?

En f sica, se le denomina fluido a toda la materia en estado lquido o gaseoso. Pero, qu peculiaridad caracteriza a los fluidos?, en qu se parecen lquidos y gases? Ambos son fludos. Piensa en algn tipo de lquido que conozcas, por ejemplo, agua, alcohol o aceite; ahora, piensa en algn gas, como el aire o el humo que sale de algo que se quema. Si agitars la mano en la superficie del lquido o gas (fluidos) podras mover no slo la superficie, sino todo el material. Esto es lo que se conoce como fluir.

Es sencillo observar que los fluidos no tienen una forma propia; la leche que es contenida en un envase tiene forma de paraleleppedo, cuando se sirve en un vaso su forma es cilndrica y si cae al suelo, toma una forma plana irregular. Algo similar sucede con el aire; imagina un globo alargado que, en manos de un payaso experi-mentado, puede tomar la forma que se quiera: un perrito, un elefante, una jirafa, etctera. Los fluidos son sustancias cuya interaccin molecular (la forma en la que sus molculas se atraen unas a otras) es tan dbil que no pueden mantener una forma definida, sino que adoptan la forma del recipiente que los contiene. En el caso particular de los gases, la interaccin es tan dbil que no son capaces siquiera de mantener un volumen constante; el espacio que ocupan cambia por s solo y llenan el espacio de todo el recipiente que los contienen. As el humo que sale de la cocina cuando algo se quema puede esparcirse por toda la casa.

Estado de la materia

Forma Volumen

Slido Constante Constante

FluidosLquido Adopta la forma del recipiente que lo contiene Constante

Gaseoso Adopta la forma del recipiente que lo contieneLlena todo el espacio del recipiente que lo contiene

DESARROLLO

Peculiar: propio o privativo de cada persona o cosa.

Superficie: magnitud que expresa la extensin de un cuerpo en dos dimensiones, largo y ancho.

Paraleleppedo: slido limitado por seis paralelogramos, cuyas caras opuestas son iguales y paralelas.

Interaccin: accin que se ejerce recprocamente entre dos o ms objetos, agentes, fuerzas, funciones, etctera.

glosario

El hecho de que un gas no posea volumen propio, afecta enormemente a las personas que viven en ciudades, o cerca de centros industriales, debido a que la emisin de gases contaminantes se dis-persa por el aire, sin restringirse nicamente a la zona de produccin de dicha contaminacin.

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Caractersticas de los fluidosPensemos por unos instantes, cmo se puede describir a una persona? Segura-mente te ha sucedido que despus de platicarle a un amigo que tienes una prima muy alta, cuando por fin la conoce te dice: no es tan alta, me la imaginaba dife-rente. Si quieres evitar este tipo de confusiones, resultara ms conveniente de-cir, tengo una prima que mide 1.72 m de estatura, es decir, tendras que asociar la estatura de tu prima con un nmero que permita formarse una imagen precisa. Lo mismo ocurre en el contexto de la ciencia: vale ms hablar de sistemas en trminos de nmeros para obtener una descripcin exacta. Los fluidos tienen tres atributos: compresibilidad, viscosidad y densidad.

Se dice que un fluido es compresible si disminuye su volumen al aplicarle una fuer-za, es decir, si se hace ms pequeo al apre-tarlo; los gases son ejemplos de fluidos muy compresibles. Para poder observar la com-presibilidad, toma una jeringa sin aguja, le-vanta el mbolo para que el interior quede lleno con aire, cubre la salida fuertemente con un dedo (procurando que el contenido de la jeringa no pueda salir) y aprieta el m-bolo lo ms que puedas, tratando de bajar-lo; como pudiste experimentar, el aire en el interior de la jeringa se comprime (reduce su volumen) al aplicarle una fuerza, lo que demuestra que el aire es un fluido compre-sible. Ahora repite el procedimiento llenan-do la jeringa con agua; al hacerlo, podrs observar que es imposible mover el mbolo por ms fuerza que le apliques, indicativo de que el agua es un fluido no compresible, es decir, incompresible. Ms adelante estudiaremos que esta propie-dad del agua hace posible que se pueda generar electricidad con ella.

La viscosidad se refiere a la dificultad que tiene un fluido de moverse libre-mente. Imagina que eres una pequea porcin de fluido, podras moverte con la misma facilidad a travs de una alberca llena de agua que una llena de miel?, qu tal si la alberca en lugar de miel tuviese de chapopote (asfalto)? la viscosidad de la miel es mayor que la del agua y el chapopote es un lquido mucho ms viscoso to-dava. Sorprendido(a)? El material que recubre las calles y carreteras es en reali-dad una mezcla de un fluido muy viscoso combinado con grava; el chapopote es tan viscoso, que incluso parece un material slido.

La densidad de un objeto se define como la relacin que existe entre su masa y el volumen que ocupa. Dicho de otra manera, la densidad nos dice qu tan compacta o extendida se encuentra la materia de cierto cuerpo; una densi-

Contexto: entorno fsico o de situacin, ya sea poltico, histrico, cultural o de cualquier otra ndole, en el cual se considera un hecho.

Sistema: conjunto de reglas o principios sobre una materia racionalmen-te enlazados entre s.

glosario

El chapopote o asfalto constituye la fraccin ms

pesada del petrleo. En Mxico, la explotacin y

produccin de petrleo y sus derivados es desarro-

llada por Petrleos Mexicanos (Pemex),

empresa pblica creada en 1938. Visita el sitio de Inter-

net de la empresa para conocer su estructura,

actividades y productos: "http://www.pemex.com."

[Consulta: 17/02/2012].

Ms informacin en...

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dad mayor indica que a nivel atmico las partculas se encuentran muy amonto-nadas, como un racimo de uvas, pero si la densidad es pequea, las partculas estn ms separadas entre s. Puedes pensarlo as: para celebrar un evento im-portante, como terminar de estudiar la preparatoria, puedes planear una gran fiesta en tu casa, con familiares, amigos y vecinos; si imaginamos que las perso-nas son tomos, observamos que tenemos muchos de ellos dentro de cierto es-pacio, por lo que el material formado por esas personas tendr una densidad mayor. Por el contrario, si organizas una pequea reunin un fin de semana, con tres o cuatro amigas y amigos, habr un nmero menor de tomos distribuidos en el mismo espacio, por lo que eliminar la densidad ser menor que en una fiesta concurrida.

Ms adelante profundizaremos en el estudio de la densidad. Por el momento nos concretaremos a definir las dos variables f sicas que posee todo objeto en nuestro universo (no slo los fluidos): masa y volumen. La masa se refiera a la can-tidad de materia que tiene un cuerpo, lo que quiere decir que nos da una medida aproximada de la cantidad de partculas subatmicas (protones, neutrones y elec-trones) que tiene un objeto. Las unidades de medida que se utilizan comnmente para la masa son los kilogramos, kg. Por otro lado, el volumen corresponde a la medida del espacio en tres dimensiones que ocupa un cuerpo. Las dimensiones se refieren a lo largo, lo ancho y lo alto, por lo que la unidad de medida del volumen es metro elevado al cubo, m3.


Es importante tener en cuenta que aunque en el uso cotidiano llamemos peso a la masa, en el lenguaje de la fsica son conceptos distintos. Masa se refiere a la materia contenida en un cuerpo, mientras que el peso lo hace a la fuerza con la que los objetos son atrados a la Tierra (la razn por la cual estamos pegados al piso). Hoy se habla de la masa corporal del paciente y no de su peso.

Tanto en la vida cotidiana, como en la f sica, medir es muy importante para analizar fenmenos y procesos. Piensa cuntas veces utilizaste unidades de medida el da de hoy, viste la hora en tu reloj, fuiste al mercado a comprar ali-mentos?

Detengmonos un instante a repasar algunas ideas importantes sobre la me-dicin.

El Sistema Internacional de MedidasLa comunidad cientfica internacional se ha puesto de acuerdo para definir un sis-tema de unidades que se use en todo el mundo, llamado Sistema Internacional de

Fenmeno: toda manifestacin que se hace presente a la consciencia de un sujeto y aparece como objeto de su percepcin.

glosario

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Unidades, tambin denominado Sistema Internacional de Medidas. Este sistema incluye las siguientes unidades fundamentales de medida.

Magnitud fsica Unidad fundamental Smbolo de la unidad

Longitud metro m

Tiempo segundo s

Masa kilogramo kg

Intensidad de corriente elctrica amperio A

Temperatura kelvin K

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad luminosa candela cd

1 Consulta la pgina de Internet del Centro Nacional de Metrologa, http://www.cenam.mx, organizacin mexicana encargada de la administracin de los pa-

trones de medida. Dentro del sitio del CENAM encontrars una pestaa que dice Infor-macin sobre metrologa y en el men que se despliega al colocar el puntero sobre ella TFFODVFOUSBVOBPQDJORVFEJDFi4JTUFNB*OUFSOBDJPOBMEF6OJEBEFTu3FWJTBFMDPOUF-nido de la pgina y completa el siguiente cuadro con las definiciones de cada una de las unidades fundamentales del Sistema Internacional de Medidas; en caso de que no pue-das consultar el sitio electrnico del CENAM, puedes utilizar cualquier buscador de In-ternet con las palabras Sistema Internacional de Medidas y buscar informacin referente a la definicin de las unidades de medida. Tambin puedes recurrir a algn libro de texto de fsica, qumica o biologa. Es probable que no comprendas del todo la definicin, sin embargo, lo importante es que tengas un primer acercamiento con la importancia de tener unidades de medida bien definidas.

6UJMJ[BFMTJHVJFOUFDVBESPQBSBPSHBOJ[BSMBJOGPSNBDJOMPDBMJ[BEBFTDSJCJFOEPMBdefinicin formal de cada unidad de medida.

Unidad fundamental Definicin

Metro

Segundo

Kilogramo

Amperio

Kelvin

Mol

Candela

Consulta el Apndice 1 para cotejar tus respuestas.

Desplegar: desdoblar, extender lo que est plegado.

glosario

Ests trabajando para reconocer de

manera autnoma las unidades de medicin de los conceptos relacionados con

los fluidos en los sistemas ingls e internacional para

realizar conversiones de un sistema a otro.

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Anteriormente se ha mencionado que las unidades de medicin utilizadas en Mxico forman parte del Sistema Internacional de Medidas, sistema adoptado por casi la totalidad del mundo, excepto, los pases angloparlantes, como Inglaterra y Estados Unidos de Amrica (EUA). Dado que muchos de los avances tecnolgicos proceden de estos pases, es necesario conocer un mecanismo que nos permita hacer la con-versin entre unidades de medicin de los distintos sistemas.

El mecanismo ms simple de conversin de unidades es el siguiente:Paso 1: Identifica la equivalencia que existe entre las unidades que quieres cam-

biar, por ejemplo, si quieres convertir una masa de 150 libras (lb) a kilogramos (kg), debers ubicar la equivalencia entre libras y kilogramos. En este caso particular,

1lb 0.4536 kgPaso 2: Divide las unidades que son equivalentes, dividiendo la unidad que quie-

res obtener (en este caso 0.4536kg) entre la unidad que tenas originalmente (1lb). Para el ejemplo que estamos trabajando, debemos realizar la siguiente operacin:

0.4536 kg 0.4536 kg/lb1 lb

Paso 3: Multiplica la cantidad que acabas de calcular por la medida que quieres convertir. En nuestro caso, 150 lb (0.4536 kg/lb) 68.04 kg.

De esta forma puedes convertir cualquier tipo de unidades, lo nico que debes conocer es la equivalencia entre ellas. Es muy importante cuidar que las unidades que se van a convertir se refieran a la misma variable f sica, es decir, una unidad de longitud en el Sistema Ingls slo puede convertirse en una unidad de longitud del Sistema Internacional.

2 %FCJEPBMBDFSDBOBRVFFYJTUFFOUSFOVFTUSPQBTZMPT&TUBEPT6OJEPTGSFDVFOUF-mente nos encontramos que las unidades de medida se expresan en el Sistema

Ingls, por lo que es necesario saber convertir unidades. Pon a prueba tus conocimientos y habilidades! Completa el siguiente cuadro convirtiendo unidades al Sistema Internacional y al Sistema Ingls, segn corresponda. Si requieres algn apoyo sobre las equivalencias consulta el Apndice 4, Tabla de conversiones. Comprueba tus resultados en el Apndice 1.

Medida Convertir a:

30 yardas metros

58 kilogramos libras

0.7 pulgadas milmetros

5.4 galones litros

0.8 kilmetros pies

450 gramos onzas


Vale la pena reflexionar por qu son necesarias unidades

de medicin precisas. Imagina que se toma la decisin de medir distancias tomando

como unidad de medida la longitud del brazo de cada

persona. Compara el tamao de tu brazo con el de alguien

que tengas cerca, son iguales o diferentes?, cmo podran ponerse de acuerdo en el tamao de un objeto si

cada quin mide algo diferente? Esta es la razn

por la que la definicin de las unidades de medida es tan

minuciosa.

Mecanismo: proceso, conjunto de las fases sucesivas de un fenmeno natural o de una operacin artificial.

glosario

Asesora

Puedes practicar el proceso de conversin de unidades

echando mano de sitios en Internet que tienen programas

que hacen la conversin de manera automtica. Prueba a

visitar el sitio: http://www.convertworld.com/es/ para que

practiques las habilidades que has adquirido en los clculos

necesarios.

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Puedes comprobar tus resultados comparndolos con los del cuadro que se incluye en el Apndice 1.

`3FDVFSEBRVFFOFMFYBNFOQBSBBDSFEJUBSFTUFNEVMPEFCFSTSFBMJ[BSDPOWFSTJP-nes sin la ayuda de herramientas informticas! Prctica las operaciones con calculadora o en su caso realzalas sin apoyo de herramienta alguna.

Calculando volmenesDado que un fluido tiende a ocupar la totalidad del recipiente que lo contiene es necesario calcular el volumen de diversos cuerpos geomtricos simples, para po-der resolver problemticas relacionadas con fluidos contenidos en envases. Estu-diaremos volmenes como cubos, ortoedros, esferas, cilindros, conos y prismas.

En la siguiente tabla descriptiva encontrars informacin necesaria para iden-tificar algunos cuerpos geomtricos regulares y la manera de calcular el volumen de ellos.

Cuerpo Esquema Descripcin Volumen

Esfera Slido delimitado por una superficie curva, cuyos puntos equidistan todos de otro interior, llamado centro.

V = 4 U r3 3

CuboSlido regular limitado por seis cuadrados iguales. V = lado3

Ortoedro

Slido limitado por seis caras opuestas que son rectangulares y forman ngulos rectos entre s.

V = largo ancho alto

Cilindro

Cuerpo limitado por una superficie cilndrica cerrada y dos planos que la cortan.

V = U radio2 altura

Cono

Cuerpo generado por el giro de un tringulo rectngulo alrededor de uno de sus catetos.

V U radio2 altura3

Prisma Slido determinado por dos polgonos paralelos llamados bases y por tantos paralelogramos como lados tengan las bases.

V = rea de la base altura

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Una tabla descriptiva es un tipo de modelado de informacin. En ella, los contenidos se organizan en filas y columnas. Los elementos que se ubican sobre la misma fila comparten un atributo comn, lo mismo su-cede con las columnas. Esta configuracin te puede ayudar para identificar las relaciones que hay entre distintos conceptos de manera ms fcil.

Ejemplo:

MaterialCalor especfico

(cal/gC)Calor latente de fusin

(cal/g)Calor latente de evaporacin

(cal/g)

Agua 1.00 80 540

Mercurio 0.033 2.8 65

Vamos a detallar paso a paso el proceso de resolucin de problemas relativos al clculo de volmenes analizando un ejemplo:

Es probable que en tu casa, o en casa de alguien conocido encuentres un tan-que de gas LP.

Este tipo de tanques cilndricos (aunque no es un cilindro exactamente, se pue-de aproximar a uno) se utilizan para almacenar el combustible que permite encen-

der la estufa o calentar el agua con ayuda del calentador. Podras calcular el volumen de gas que puede almacenar un tanque de gas LP si tiene un radio aproximado de 0.15 m y una altura aproximada de 1.4 m?

Solucin:Paso 1: Relaciona el objeto cuyo volumen

quieres calcular con uno de los cuerpos del geomtrico. En este caso, la tarea es muy sim-ple pues el tanque tiene forma cilndrica, al menos aproximadamente.

Paso 2: Identifica las variables necesarias para calcular el volumen del cuerpo, por ejem-plo, su altura, su radio, su longitud, etctera; es posible que para obtener esa informacin debas realizar algunos clculos adicionales.

En nuestro problema, para calcular el volumen de un cilindro, es necesario conocer su radio y su altura, informacin que se da de manera explcita en el problema. El radio tiene un valor r = 0.15 m y una altura de h = 1.4 m.

Paso 3: Sustituye los valores de las variables conocidas en la ecuacin correspon-diente y realizar los clculos necesarios para obtener el valor de la variable desconocida:

V = U r2 h = 3.14 (0.15 m)21.4 m = 0.099 m3

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Paso 4: Expresa el resultado en las unidades de medida segn el tipo de variable que se calcula; El tanque de almacenamiento de gas tiene una capacidad de 0.099 m3, o lo que es lo mismo, despus de poner en prctica nuestras habilidades para convertir unidades, 99 litros.

Siguiendo estos pasos encontrars que resolver este tipo de problemas resulta una tarea bastante fcil.

Pon a prueba tus conocimientos y habilidades!

3 3FTVFMWFMPTTJHVJFOUFTQSPCMFNBTBQMJDBOEPMPBQSFOEJEPTPCSFFMDMDVMPEFvolmenes.

1) Calcula el volumen de una habitacin que tiene 5 m de largo, 4 m de ancho y 2.5 m de alto.

2) Un tanque de almacenamiento de agua tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de pro-fundidad. Cuntos litros de agua sern necesarios para llenarlo?

3) En un almacn de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos guardar cajas con las dimensiones 100 cm de largo, 60 cm de ancho y 40 cm de alto. Cuntas cajas podremos almacenar?

4) Calcula la altura de un prisma que tiene como rea de la base 12 dm2 y 48 l de capacidad. Para este problema, te resultar til saber que 1 dm3 es equivalente a un litro (l).

Sustituir: poner a alguien o algo en lugar de otra persona o cosa.

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5) A qu altura deber llegar el agua que se vierte en una probeta de 3 cm de radio para que su volumen sea igual al volumen de cuatro cubitos de hielo de 4 cm de lado?

Para evaluar tu capacidad de calcular volmenes, revisa tus respuestas consultando el Apndice 1.

Al decidir el lugar de instalacin de una presa, los ingenieros deben determinar el volumen de almacenamiento que podra alcanzar. Por ejemplo, de acuerdo con datos proporcionados por la Comisin Nacional del Agua, la presa El Cajn tiene una capacidad de almacenamiento de 2069 millones de metros cbicos de agua.

Hasta el momento, hemos estudiado algunas de las caractersticas bsicas de los fluidos. Recuerda que los fluidos abarcan tanto a lquidos, como a gases, as que evidentemente el agua en una presa es un fluido. La densidad del agua dulce (sin sales) a nivel del mar y a una temperatura de 4C es de 1000 kg/m3, lo que quiere decir que un metro cbico de agua tendr una masa de 1000 kg. Un metro cbico equivale al volumen de un cubo cuyos lados miden un metro, as que, te puedes imaginar la masa del agua que se almacena en una presa como El Cajn? Si esa enorme cantidad de agua se soltara de golpe podra destruir poblaciones enteras a su paso, sin embargo, aprovechndola racionalmente puede servir para la genera-cin de electricidad. Continuemos.

SECCIN 2. Propiedades de fluidos en reposo: HidrostticaEl trabajo de generacin elctrica que se realiza en una instalacin como la planta hidroelctrica de El Cajn requiere calcular la cantidad de agua almacenada, la cantidad de agua que pasa a travs de la presa, la energa generada, etctera. Para que los ingenieros puedan conocer con precisin los datos necesarios para un p-timo funcionamiento de la planta, es evidente que tienen que relacionar algunas variables f sicas: el volumen de agua almacenada, el volumen de lquido que pasa por la presa, la potencia de los generadores, etctera. En f sica existen una infini-dad de relaciones entre variables, por lo que vale la pena profundizar en el tema, comenzando por definir qu es una relacin.

La Comisin Nacional del Agua, CONAGUA, es un

organismo pblico cuyo objetivo es administrar y

preservar las aguas nacionales, con la

participacin de la sociedad, para lograr el uso

sustentable del recurso. Si requieres informacin referente a cuerpos de

agua en el pas (ros, lagos, presas, aguas subterrneas,

etctera), visita el sitio:

Ms informacin en...


los conceptos densidad, presin y flujo

volumtrico para representarlos

sistemticamente mediante la aplicacin de relaciones y

funciones.

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Relaciones y funcionesProbablemente al elegir la ropa que vas a usar tienes ya ciertas combinaciones hechas previamente; por ejemplo, si vas a usar un pantaln negro, de antemano sabes que debers usar tal o cual camisa. Al tomar este tipo de decisiones, esta-mos formando parejas de elementos que estn relacionados. Susana, una estu-diante de preparatoria como t, tiene formadas las siguientes parejas de ropa:

La blusa blanca con el pantaln de mezclilla La blusa gris, tambin con el pantaln de mezclilla La blusa lila con el pantaln azul.Susana est tomando una blusa, a la que le asocia un pantaln, es decir, rela-

ciona las blusas con los pantalones.En el lenguaje de las matemticas, se define el trmino conjunto como una

agrupacin de elementos que tienen una propiedad comn. Usualmente, los con-juntos se representan con letras maysculas y los elementos se agrupan dentro de llaves, se separan con comas. Por ejemplo:

M = {perro, gato, canario} se refiere al conjunto llamado M que incluye a los elementos perro, gato y canario.

Por otro lado, una relacin entre el conjunto A (llamado dominio) y el con-junto B (llamado contradominio) se define como el conjunto de pares ordenados (a, b) que se forman con los elementos de A puestos en primer lugar y los de B en segundo.

En el caso de la ropa de Susana podemos decir que se establece una relacin entre el conjunto de blusas (el dominio), al que llamaremos B = {blusa blanca, blusa gris, blusa lila} y el conjunto de pantalones (el contradominio), P = {pantaln de mezclilla, pantaln azul}. Los elementos de estos conjuntos tienen una propiedad en comn: en el caso del conjunto B, todos los elementos son blusas de Susana, mientras que en el conjunto P, todos los elementos son pantalones de Susana. La relacin que mencionamos entre ellos se escribe como el conjunto R = {(blusa blan-ca, pantaln de mezclilla), (blusa gris, pantaln de mezclilla), (blusa lila, pantaln azul)} y corresponde a las posibles combinaciones. En ocasiones, es ms fcil visua-lizar las relaciones utilizando diagramas sagitales.


Es necesario tener en cuenta que aunque defini-mos el concepto de rela-cin entre el conjunto A y el conjunto B, en realidad, A y B son letras que repre-sentan cualquier conjun-to. Podemos hablar de la relacin entre el conjunto R y S, o el conjunto J y A; la nica restriccin es que al formar los pares ordena-dos, el primer elemento pertenezca al primer con-junto que se menciona en la relacin y el segundo al otro.Recuerda lo que aprendis-te acerca del lenguaje al-gebraico en el mdulo Representaciones simbli-cas y algoritmos.

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Un diagrama sagital es: Una representacin grfica que facilita el anlisis de las relaciones. Las partes que lo conforman son: Dominio: se escriben los elementos del dominio dentro de un crculo que sirve para representar el conjunto. Contradominio: se escriben los elementos del contradominio dentro de un crculo que se coloca al lado derecho del dominio. Flechas: se utilizan flechas para representar cada una de las parejas de la rela-cin; la flecha sale de los elementos del dominio y terminan en los elementos que les corresponden en el contradominio. Para elaborarlo necesitamos:Trazar el dominio y contradominio, para despus dibujar la flecha correspon-

diente para cada elemento de la relacin.El diagrama sagital de la relacin R que definimos entre las blusas y los panta-

lones de Susana, se presenta de la siguiente manera:

Blusa blanca

Blusa gris

Blusa lila

Pantaln de mezclilla

Pantaln azul

B PR

Sabemos que los elementos de un conjunto tienen una propiedad comn; en el caso de la relacin esa propiedad es la regla que se sigue para definirla. Por ejemplo, en el caso de la relacin R, cuyo diagrama acabamos de construir, las parejas se relacionan debido a que son prendas de vestir que combinan entre ellas. Cada una de las flechas que se dibujaron en el diagrama se podran interpretar como un combina con, es decir, podemos interpretar que:

la blusa blanca combina con el pantaln de mezclillala blusa gris combina con el pantaln de mezclillala blusa lila combina con el pantaln azul

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En cambio, como la pareja de blusa lila y pantaln de mezclilla no existe, se puede decir que la blusa lila NO combina con el pantaln de mezclilla.

Es muy importante darle siempre una interpretacin real a todos los elementos que manejes en matemticas, de lo contrario, podr parecer una disciplina abstrac-ta, ajena a ti, cuando en realidad es una herramienta til para entender el mundo que te rodea.

Veamos un ejemplo de cmo construir una relacin y su respectivo diagrama sagital. Se tiene la siguiente informacin: Dominio: A = {1,2,4}. Contradominio: B = {3,5}. La relacin R se forma con los elementos del dominio que son menores que los elementos del contradominio.

Veamos el proceso que debemos seguir paso a paso:En este ejemplo vamos a definir que la relacin R est formada por todas las pa-

rejas de nmeros que se pueden lograr entre los conjuntos A y B siempre que el ele-mento de A sea menor que el elemento de B, recuerda que pueden existir otras reglas para poder definir una relacin. Un primer ejemplo se tiene con los nmeros 1 y 3, ya que 1


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4 Identifica los elementos de las siguientes relaciones y elabora un diagrama sagital que represente a cada una de ellas:

1) Dominio: C = 1,2,3. Contradominio: D = 4,5,6. La relacin se forma con los elementos del dominio que son la mitad de algunos de los elementos del contradominio.

2) Dominio: E = 5,9. Contradominio: F = 6,7,10. La relacin se forma con los elementos del dominio que son mayores que los elementos del contradominio.

3) Dominio: G = 1,2,4. Contradominio: H = 1,4,9. La relacin se forma con los elementos del dominio elevados al cuadrado que se encuentran en el contradominio.

4) Dominio: J = a,b. Contradominio: K = 6,9,100. Todos los elementos del dominio se relacionan con todos los elementos del contradominio.

3FWJTBUVTSFTVMUBEPT.BSDBDPOVOBi9uFOMBDPMVNOBS si los resultados cum-plen, y en la columna No, segn corresponda:

Aspectos relevantes S No

El primer elemento de las parejas en la relacin pertenece al dominio

El segundo elemento de las parejas en la relacin pertenece al contradominio

Todas las parejas satisfacen la regla de relacin

En el diagrama sagital aparecen todos los elementos del dominio y contradominio

Todas las parejas de la relacin estn representados en el diagrama

Puedes expresar claramente la relacin que existe entre cualesquiera par de elementos (x,y)?

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En caso de haber marcado S todos los elementos de la lista, puedes seguir adelante con la confianza de haber comprendido plenamente las generalidades de las relacio-nes. De lo contrario, revisa tu proceder hasta encontrar el origen de la equivocacin; vuelve al ejemplo que hemos desarrollado y consulta las respuestas que se incluyen en el Apndice 1. Si todava tienes dudas busca el apoyo de una persona cercana a ti que cuente con conocimientos de matemticas y fsica, o bien acude a los Centros de Servicios de Preparatoria Abierta, en los que podrs solicitar el servicio de asesora acadmica.

Ahora bien, existe un tipo especial de relacin llamada funcin, la cual satisface un par de requisitos adicionales:

1) Todos los elementos del dominio estn relacionados. 2) Los elementos del dominio se relacionan solamente con un elemento del

contradominio.En una relacin: En una funcin:

Se forman parejas ordenadas (a,b), en las que a es un elemento del dominio y b del contradominio.

Se forman parejas ordenadas (a,b), de tal forma que todos los elementos del dominio estn relacionados solamente con un elemento del contradominio.

Es importante conocer el lenguaje especial que se emplea para denotar las funcio-nes. Usualmente, las funciones se representan con las letras f, g, h; para decir que existe una funcin (f) entre los elementos de un conjunto A y los de un conjunto B, escribimos:

Tambin es frecuente encontrar una expresin algebraica explcita para las funciones, por ejemplo, una funcin f, definida entre dos conjuntos de nmeros reales, puede escribirse como f(x) = 2x + 1. Esta expresin quiere decir que para

abc

123

abc

123

abc

abc

123

123

Es una funcin.Todos los elementos del dominio estn relacionados con slo un elemento del con-tradominio.

No es una funcin.Aunque todos los ele-mentos del dominio estn relacionados, uno de ellos lo hace con dos elemen-tos del contradominio.

No es una funcin.No todos los elementos del dominio estn relacionados.

Es una funcin.En los requisitos no se excluye el caso de que todos los elementos del dominio se relacionen con el mismo del con-tradominio..

A B A B

A B A B

A manera de ejemplo se muestran en la siguiente imagen los diagramas sagitales de algunas relaciones que pueden considerarse como funciones y otras que no.

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encontrar a los elementos de la funcin f, es necesario multiplicar por 2 a los ele-mentos del dominio y sumarle 1 al producto.

Seguramente ya te diste cuenta que existen muchas relaciones y funciones que se pueden encontrar al analizar el funcionamiento de una presa, por ejemplo, hay una relacin entre la altura de la cortina de concreto que la forma y el volumen de agua que puede almacenar: en el mismo lecho de captacin de agua, una cortina de poca altura almacenar poca agua, pero mientras ms alta sea la cortina, mayor capacidad tendr. Por otro lado, hay una funcin entre la cantidad de energa pro-ducida por la presa y el tiempo transcurrido en que se produce la energa bajo las mismas condiciones, pues para cada intervalo hay un solo valor de energa produ-cida, incluso si no hay produccin (en ese caso el valor sera cero). Aunque en este momento solamente hemos hablado de relaciones y funciones en general, confor-me vayamos avanzando en el estudio de la unidad iremos familiarizndonos con el concepto y estudiaremos la forma ms adecuada de trabajar con ellas.


En ocasiones diversas encontrars conceptos fsicos que se definen como una funcin, aunque no se cum-pla con todo el formalismo del que acabamos de hablar. Esto se debe a que es ms prctico no hacerlo, sin embargo, debes estar al tanto de todo lo que hay detrs. Por ejemplo, al definir la densidad, el concepto se asocia con la ecuacin: M = D V, en donde M se refiere a la masa, D a la densidad y V al volumen. Formal-mente, se debera escribir como una funcin M definida del conjunto de todos los valores posibles de volu-men hacia el conjunto de todos los valores posibles de masa, M (V) = D V, aunque por ser ms sencillo, escribimos solo M = D V.

Propiedades de los fluidos y sus funcionesLas funciones resultan herramientas indispensables para en el estudio de los siste-mas naturales pues permiten establecer la dependencia entre diversas variables. Veamos algunos ejemplos de funciones entre variables que hacen referencia a los fluidos.

Existen dos variables bsicas en el estudio de sistemas f sicos: la densidad y la presin.

En primer lugar, estudiemos la densidad. La densidad relaciona la masa con el volumen de un objeto, sin embargo, vamos a darle un enfoque distinto al concepto. La densidad de un mismo material es siempre la misma, sin importar la forma o ta-mao del objeto, por ejemplo, la densidad de un pequeo tornillo de cobre es exac-tamente la misma que la de un enorme tubo del mismo material. Si consideramos entonces que la densidad es un parmetro constante que relaciona la masa y el volu-men, encontramos nuestro primer ejemplo de una funcin. Por un lado, tenemos el conjunto de valores de masa que puede tener un cuerpo y, por el otro, el conjunto de

Dependencia: relacin de origen o conexin.

Parmetro: variable que, incluida en una ecuacin, modifica el resultado de sta.

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los conceptos: densidad, presin y flujo

volumtrico para representarlos sistemticamente mediante la

aplicacin de relaciones y funciones.

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valores de volumen; para todo valor de masa, corresponde un volumen, puesto que todo cuerpo material ocupa un espacio en el universo. Adems, cada valor de masa, est relacionado con solo un valor de volumen, por lo que podemos concluir que para cualquier objeto, la masa es una funcin del volumen.

Comprueba lo anterior con el siguiente experimento. Levanta una pequea botella con medio litro de agua, despus, levanta un envase con cinco litros de agua y por ltimo un garrafn con 18 litros de agua. Qu diferencia encontraste? Aho-ra, qu pensaras si alguien tratara de venderte un garrafn de agua y al levantarlo pareciera que ests levantando una pequea botella de medio litro? Seguramente concluiras que esa persona intenta engaarte, puesto que un volumen grande de agua se corresponde con una masa grande.

Las funciones se representan generalmente en forma de ecuaciones como es el caso de la densidad. Si M representa la masa, V el volumen y D la densidad, pode-mos escribir entonces la funcin:

M = D V

Uno de los mate-riales ms densos que encontramos en el pla-neta es el Iridio, tenien-do una densidad de 22,500 kg/m3. Por el contrario, uno de los materiales ms ligeros es llamado aerogel, sus-tancia compuesta casi en su totalidad por aire, con una densidad de 3 kg/m3.

En el lenguaje mate-mtico existe una nota-cin especial para escribir las funciones. Es probable que hayas visto este tipo de notacin: y = f(x), que significa que existe una funcin entre los elemen-tos del dominio, repre-sentados por x, con los elementos del contrado-minio, representados por y. La funcin se represen-ta con la letra f. Si quere-mos aplicar esta notacin al ejemplo del texto, el que la masa es una fun-cin del volumen, escribi-ramos: M = f(V).

Esta ecuacin se comprende si tomamos en cuenta que la densidad se refiere a la relacin de la masa de un objeto entre su volumen, as que si queremos conocer la masa del objeto, deberemos multiplicar la densidad por el volumen.

Ms adelante aprenderemos a manipular este tipo de expresiones para utilizar-las en la solucin de problemas. Por lo pronto, vale la pena conocer las distintas posibilidades que se derivan de la ecuacin anterior, por ejemplo, si lo que se busca es conocer la densidad de un material se utiliza:

D MV

Pero, si se quiere conocer el volumen del objeto, entonces se utiliza:

V MD


Un agujero negro es, en teora, la materia ms densa que existe en el universo. Se refiere a una regin del espacio caracterizada por una gran concentracin de masa dentro de un volumen muy pequeo. La canti-dad de masa es tan grande, que genera un campo gravitatorio tal que ninguna partcula m

matemáticas y representaciones del sistema natural.

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