MatematicasDiscretas-El Triángulo de Pascal
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20/3/2015 El triángulo de Pascal
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El triángulo de Pascal
Una de las pautas de números más interesantes el es triángulo dePascal (llamado así en honor de Blaise Pascal, un famosomatemático y filósofo francés).
Para construir el triángulo, empieza con "1" arriba, ypon números debajo formando un triángulo.
Cada número es la suma de los dos números que tieneencima, menos los extremos, que son siempre "1".
(Aquí está remarcado que 1+3 = 4)
Pautas en el triángulo
Diagonales
La primera diagonal es, claro, sólo "unos", y lasiguiente son todos los númerosconsecutivamente (1,2,3, etc.)
La tercera diagonal son los números triangulares
(La cuarta diagonal, que no hemos remarcado,son los números tetraédricos.)
Pares e impares
Si usas distintos colores para los números parese impares, obtienes un patrón igual al delTriángulo de Sierpinski
Sumas horizontales
¿Notas algo en las sumas horizontales? ¿Hayalgún patrón? ¡Es increíble!
Se dobla cada vez (son las potencias de 2).
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Sucesión de Fibonacci
Prueba esto: empieza con un 1 de laizquierda, da un paso arriba y uno allado, suma los cuadrados donde caigas(como en el dibujo)... las sumas quesalen son la sucesión de Fibonacci.
(La sucesión de Fibonacci se hacesumando dos números para conseguir elsiguiente, por ejemplo 3+5=8, después5+8=13, etc.)
Simetría
El triángulo es simétrico, esto quiere decir que se ve igual desde la derechaque desde la izquierda
Usar el triángulo de Pascal
Caras y cruces
El triángulo de Pascal te dice cuántas combinaciones de caras y cruces de pueden salir tirando monedas. Asípuedes averiguar la "probabilidad" de cualquier combinación.
Por ejemplo, si tiras una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tresmaneras de sacar dos caras y una cruz (CCX, CXC, XCC), también tres de sacar una cara y dos cruces (CXX,XCX, CXX) y sólo una de sacar tres cruces (XXX). Esta es la pauta "1,3,3,1" en el triángulo de Pascal.
Tiradas Resultados posibles (agrupados) Triángulo de Pascal
1 HT
1, 1
2HHHT THTT
1, 2, 1
3
HHHHHT, HTH, THHHTT, THT, TTH
TTT
1, 3, 3, 1
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HHHHHHHT, HHTH, HTHH, THHH
HHTT, HTHT, HTTH, THHT, THTH, TTHHHTTT, THTT, TTHT, TTTH
TTTT
1, 4, 6, 4, 1
... etc ...
¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras con 4 monedas?
Hay 1+4+6+4+1 = 16 (o 4×4=16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente doscaras. Así que la probabilidad es 6/16, o 37.5%
Combinaciones
El triángulo también muestra cuántas combinaciones de objetos son posibles.
Por ejemplo, si tienes 16 bolas de billar, ¿de cuántas maneras puedes elegir tres de ellas (sin hacer diferenciadel orden en que las eliges)?
Respuesta: baja a la fila 16 (la primera es la fila 0), y mira 3 lugares a la derecha, allí está la respuesta, 560.Aquí tienes un trozo del triángulo en la fila 16:
1 14 91 364 ...1 15 105 455 1365 ...
1 16 120 560 1820 4368 ...
Polinomios
El triángulo de Pascal también te da los coeficientes en la expansión de un binomio:
Potencia Expansión polinomial Triángulo de Pascal
2 (x + 1)2 = 1x2 + 2x + 1 1, 2, 1
3 (x + 1)3 = 1x3 + 3x2 + 3x + 1 1, 3, 3, 1
4 (x + 1)4 = 1x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1 1, 4, 6, 4, 1
... etc ...
Las 15 primeras líneas
Como referencia, aquí tienes las filas 0 a 14 del triángulo de Pascal
1 1 1
1 2 1 1 3 3 1
1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1
1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1
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Los chinos ya lo conocían
Este dibujo se titula "El antiguo gráfico del método de los sietecuadrados multiplicadores". Ver imagen completa
Esto es de la portada del libro de Chu ShiChieh "Ssu Yuan YüChien" (Espejo precioso de los cuatro elementos), escrito en1303 (¡hace más de 700 años!), y en el libro se dice que eltriángulo ya era conocido más de dos siglos antes.
El quincunceEsta asombrosa máquina creada por Sir Francis Galton es untriángulo de Pascal hecho con palos. Se llama quincunce.
Las bolas se dejan caer sobre el primer palo y rebotan hasta abajodel triángulo donde caen en pequeños contenedores.
Parece completamente aleatorio (y lo es)pero después de un rato verás que las bolascaen en un bonito patrón: la distribuciónnormal.
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