Estudis d’Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia

Matemàtiques per a Multimèdia I

Prova d’avaluació continuada 2 Jordi Llonch Esteve

Per a dubtes i aclariments sobre l'enunciat, heu de dirigir-vos al consultor responsable de la vostra aula.

Les respostes a les tres primeres preguntes, així com l'explicació de la quarta, han de lliurar-se com un únic document de Microsoft Word o OpenOffice.org, o com un document (X)HTML (comprimit juntament amb qualsevol altre fitxer usat en ell).

Tots els arxius de la pràctica han de lliurar-se com un únic arxiu comprimit, .zip o .rar.

Cal lliurar la solució en un missatge en l'espai Lliurament i registre d'AC.

La data límit de lliurament és el 29 d'abril fins a les 24 hores.

No s'acceptarà com a resposta textos copiats literalment del material docent de l'assignatura. En cas d'usar-se altres fonts, la còpia literal tampoc serà acceptada i haurà de citar-se la font.

Propietat intel·lectual

Amb freqüència és inevitable, en produir una obra multimèdia, fer ús de recursos creats per terceres persones. És per tant comprensible fer-ho en el marc d'una pràctica dels estudis del Grau en Multimèdia, sempre i això es documenti clarament i no suposi plagi en la pràctica.

Per tant, en presentar una pràctica que faci ús de recursos aliens, haurà de presentar-se juntament amb ella un document en què es detallin tots ells, especificant el nom de cada recurs, el seu autor, el lloc en què es va obtenir i el seu estatus legal: si l'obra està protegida pel copyright o s'acull a alguna altra llicència d'ús (Creative Commons, llicència GNU GPL...). L'estudiant haurà d'assegurar-se que la llicència que sigui no impedeix específicament el seu ús en el marc de la pràctica. En cas de no trobar la informació corresponent haurà d'assumir-se que l'obra està protegida pel copyright.

A més, hauran d’adjuntar-se els arxius originals quan les obres usades siguin digitals, i el seu codi font si correspon.

Un altre punt a considerar és que qualsevol pràctica que faci ús de recursos protegits pel copyright no podrà en cap cas publicar-se a Mosaic, la revista del Grau en Multimèdia, tret que els propietaris dels drets intel·lectuals donin la seva autorització explícita.

Presentació i competències

La primera prova d'avaluació continuada cobreix els mòduls 2 i 3 del programa de l'assignatura.

La prova està estructurada en un total de 3 exercicis teòrics i 1 exercici pràctic. La valoració de cada exercici està indicada al costat de l'enunciat del mateix.

Les competències que s'han de dominar en acabar la prova són:

- Conèixer els conceptes de simetria. - Reconèixer les isometries presents en una imatge. - Compondre isometries. - Aprendre a realitzar isometries en Flash. - Aprendre a dibuixar mosaics en Flash. - Conèixer els conceptes de simetria i fractals - Reconèixer les isometries que té una imatge. - Compondre isometries.

Criteris d'avaluació

Exercicis teòrics

Tots els exercicis han de ser presentats de forma raonada i clara, especificant tots i cadascun dels passos que s'hagin dut a terme per a la seva resolució. No s'acceptarà cap resposta que no estigui clarament justificada.

Exercici pràctic

Quant a la pregunta número 4, la pregunta pràctica, han de seguir-se les següents indicacions:

Cada objecte (arbre, rosassa,...) ha d'estar en una capa diferent i ser símbols clip de pel·lícula, perquè en obrir el .fla i seleccionar l'objecte, anant a propietats pugui saber les proporcions per comprovar si són les que diu la documentació explicativa adjunta (quedem que les dimensions de cada objecte són les del rectangle que engloba l'objecte) Compte, les dimensions han d'aparèixer en l'informe.

L'estil del dibuix i color pot imitar al del pintor André Derain (1880-1954) durant la seva producció de moviment fauvisme (colors purs, sovint aplicats directament sobre la tela, pinzellades irregulars i despreocupació per la perspectiva o per la representació realista).

No es pot utilitzar en l'escenari cap imatge obtinguda d'Internet o importada de Photoshop. És a dir, tots els objectes han d'haver estat dibuixats en el Flash.

Una vegada dibuixat un objecte i convertit a clip de pel·lícula, podeu crear còpies i modificar les seves mesures.

És necessari documentar en cada apartat de l'exercici pràctic què s'ha fet i com s'ha fet. Això implica que s'ha d'enviar, a més del fitxer .fla un altre .doc amb la documentació corresponent a cada apartat.

Una creativitat excel·lent, ja sigui en programació i/o estil gràfic pot atorgar un punt extra a la nota.

Enunciats

Exercici 1:

Trobeu el grup de simetria de la lletra X majúscula Arial Narrow . Per a fer-ho: a) Creeu la taula de composició d'isometries. (3 punts)

Per començar, he identificat les isometries que deixen la “X” invariant: la identitat, la simetria respecte a la recta r, la simetria respecte a la recta S i el gir de 180º respecte del punt O.

Després, he emplenat les isometries fàcils, les que es fan amb la identitat, que les deixen igual, i les isometries amb si mateixes, que equivalen a la identitat. Per finalitzar, he emplenat les caselles restants tenint en compte que la composició de dues isometries no sempre és la mateixa en un ordre que en l’invers. En aquest cas es tracta d’un grup commutatiu, així que l’ordre de les composicions no importa.

º Id Sr Ss GO180

Id Id Sr Ss GO180

Sr Sr Id GO180 Ss

Ss Ss GO180 Id Sr

GO180 GO

180 Ss Sr Id

El grup de simetria (GF) està format per:

La identitat Simetria axial Sr Simetria axial SS Gir de 180º en O

Exercici 2.

Respon les següents preguntes:

a) En calcular la dimensió D d’un fractal hem arribat a l’equació D712 . Quina és doncs la dimensió d’aquest fractal? (1 punt)

El càlcul de la dimensió d’un fractal es realitza mitjançant la següent equació matemàtica:

풏 = 풌푫

on

n = nombre d’objectes que s’obtenen després de fer cada ampliació k = factor d’ampliació, vegades que s’amplia el fractal D = dimensió

Per tant, per aclarir la D, farem:

푫 =풍풐품(풏)풍풐품(풌)

I en el nostre cas concret:

푫 =풍풐품(ퟏퟐ)풍풐품(ퟕ) = ퟏ,ퟐퟕퟔퟗퟖퟗ…

b) Observant el triangle de Sierpinsky, quants triangles s’han obtingut després de fer la 7ª iteració? (1 punt)

Si suposem que el primer triangle de color blau és la figura inicial, veiem que la imatge “Primeres iteracions” disposa de les sis primeres iteracions, a part de la figura inicial.

Així doncs, si volem calcular quants triangles s’han obtingut després de fer la setena iteració hem d’esbrinar el següent triangle de la sèrie. Per fer-ho hem de tenir en compte que després de cada iteració, cada triangle blau es descompon en tres triangles blaus més. D’aquí podem extreure que haurem de multiplicar per si mateix el número 3 tantes vegades com iteracions vulguem esbrinar.

Per tant,

ퟑퟕ = ퟑ ∗ ퟑ ∗ ퟑ ∗ ퟑ ∗ ퟑ ∗ ퟑ ∗ ퟑ = ퟐퟏퟖퟕ

Hem obtingut 2187 triangles després de fer la setena iteració.

Exercici 3:

Observeu la següent iteració fractal:

Comencem amb un segment rectilini. La iteració que apliquem és la següent: cada segment que tinguem a la figura es divideix en tres parts iguals, i la part central se substitueix per tres segments de la mateixa longitud de manera que formin un quadrat amb el tros de segment que hem suprimit.

a) Trobeu quants segments té la sisena iteració. (1 punt)

Tal com he explicat a l’exercici anterior, s’ha d’elevar a 6 el nombre d’elements que apareixen després de cada iteració. En aquest cas, cada iteració implica generar 5 segments.

56 = 15625

b) I en la iteració 30, quants segments tindrem? Quantes segments tindrem si realitzem infinites iteracions? (2 punts)

Segons el mateix principi:

530 = 931322574615478515625 segments 5∞ = ∞ segments

c) Trobeu la longitud total de la corba després de 50 iteracions tenint en compte que el segment inicial mesura 1 unitat. (1 punt)

A cada iteració dividim la recta inicial en tres segments iguals i afegim un quadrat de costat igual a aquests segments en el segment del mig. Eliminem la línia inferior del quadrat del mig i ens queda una línia formada per cinc segments de longitud 1/3 de la corba inicial. Això vol dir que la longitud després de la primera iteració seria: 5 x 1/3 = 5/3. Si volem saber la longitud total després de 50 iteracions només cal repetir aquesta operació 50 vegades per a cada segment: (5/3)50 = 123719307607,4428 unitats

d) Expliqueu que és la dimensió fractal i atreviu-vos a intentar calcular la dimensió fractal de la corba. (2 punts)

La dimensió fractal es pot explicar partint d’un exemple senzill i seguir amb altres de més complexes.

Suposem que tenim una línia (en una dimensió) i dupliquem la seva escala. La línia resultant està formada per dues línies inicials.

Així doncs, duplicar la seva escala equival a un total de 2 línies, o expressat d’una altra manera 2=21, dimensió 1.

A continuació, fem el mateix amb un objecte en dues dimensions, un quadrat. En duplicar la seva escala, el quadrat resultant està format per 4 quadrats inicials.

En aquest cas, duplicar la seva escala equival a un total de 4 quadrats, 4=22, dimensió 2.

Per acabar, repetim l’operació amb un cub, un objecte en tres dimensions. En duplicar la seva escala, el resultat serà un cub format per 8 cubs inicials.

En aquest cas, duplicar la seva escala equival a un total de 8 quadrats, 8=23, dimensió 3.

En el nostre exercici la dimensió de la corba és:

퐷 =log(5)log(3) = 1,465 …

Exercici 4

Construeix en Flash el plànol (vista frontal) d'un passatge en dues dimensions, amb les següents condicions:

4.1. - El carrer ha de contenir un mur.

A la part central del mur, hi ha una rosassa formada per un patró que es repeteix vuit vegades. Cada patró ha de contenir com a mínim un triangle equilàter, un triangle isòsceles i una estrella de 5 puntes, de manera que el patró sigui simètric respecte l’eix que passa pel seu vèrtex. (2 punts)

La meva rosassa està composada pel següent patró, el qual conté tres triangles equilàters, un triangle isòsceles format per tres més, i una estrella de cinc puntes. El patró és simètric respecte l’eix S.

A costat i costat de la rosassa s’hi ha de veure una sanefa formada per dos elements qualsevol que pateixin una translació i simetria respecte l’eix central de la banda. (2 punts)

Els elements escollits han estat un quadrat girat i un triangle. Amb el triangle es nota la simetria, mentre que amb el quadrat no s’aprecia ja que la figura resultant és ella mateixa.

Elements Translació Translació + Simetria

4.2. – Darrera el mur hi sobresurten dos arbres que segueixen un model fractal.

L’arbre de la dreta, segueix un patró fractal tal que la següent iteració fa que cada branca perdi la tercera part i apareixin dues noves branques de la punta de mesures iguals a la mesura que acaba de desaparèixer formant entre elles un angle de 60º. En la següent iteració desapareix la tercera part d'aquestes noves branques i apareixen dues noves branques de cada branca d'igual mesura que el segment desaparegut formant entre sí un angle de 60º. I així tantes

vegades fins a la quarta iteració, de la qual en lloc de dues branques en surten dues fulles la forma de les quals deixem al vostre gust. ( 2 punts)

L’arbre de la dreta parteix de la iteració 0, que equival a una mida de 600 píxels. La següent taula mostra el procés de les iteracions:

Mida inicial (600 píxels) Tronc de 600 píxels

Iteració 1 (400 + 200 píxels)

El tronc es divideix en 3 segments i en perd un: 600/3=200; 200 x 2 =400. D’aquesta iteració surten 2 branques separades entre si per 60º.

Iteració 2 (133,33 + 66,67 píxels)

La primera iteració es divideix en 3 segments i en perd un: 200/3=66,67; 66,67 x 2 = 133,33. D’aquesta iteració surten 2 branques separades entre si per 60º.

Iteració 3 (44,44 + 22,22 píxels)

La segona iteració es divideix en 3 segments i en perd un: 66,67/3= 22,22; 22,22 x 2 = 44,44. D’aquesta iteració surten 2 branques separades entre si per 60º.

Iteració 4 (14,82 + 7,41 píxels)

La tercera iteració es divideix en 3 segments i en perd un: 22,22/3=7,41; 7,41 x 2 = 14,82. D’aquesta iteració surten 2 fulles separades entre si per 60º.

L’arbre de l’esquerra segueix un patró fractal tal que cada branca perd la tercera part i apareixen noves branques seguint la sèrie de Fibonacci (1,1, 2, 3, 5, 8, 13...) distribuïdes entre elles de manera que reparteixen l’arc de 180º centrat en la branca de la iteració anterior en parts iguals.

Exemple: 1 tronc vertical que es divideix en dues branques que divideixen els 180º centrats en el tronc en 3 espais de 60º. Això vol dir que cada branca distarà 30º de la prolongació vertical del tronc. Les següents tres branques que sortiran de cada una des les dues branques anteriors dividiran els 180º centrats en la branca en 4 parts iguals formant entre elles un angle de 45º. (2 punts)

Aquest arbre és de fulla caduca i encara no ha brotat. Les branques més curtes que té l’arbre surten després de fer la tercera iteració.

L’arbre de l’esquerra parteix de la iteració 0, que també equival a una mida de 600 píxels. La següent taula mostra el procés de les iteracions:

Mida inicial (600 píxels) Tronc de 600 píxels

Iteració 1 (400 + 200 píxels)

El tronc es divideix en 3 segments i en perd un: 600/3=200; 200 x 2 =400 D’aquesta iteració surten 2 branques separades entre si per 60º.

Iteració 2 (133,33 + 66,67 píxels)

La primera iteració es divideix en 3 segments i en perd un: 200/3=66,67; 66,67 x 2 = 133,33 D’aquesta iteració en surten 3 branques separades entre si per 60º.

Iteració 3 (44,44 + 22,22 píxels)

La segona iteració es divideix en 3 segments i en perd un: 66,67/3= 22,22; 22,22 x 2 = 44,44 D’aquesta iteració en surten 5 branques separades entre si per 30º.

Ambdós arbres tenen un tronc principal la llargada del qual manté una proporció 2 amb l’alçada del mur.

Per aplicar la proporció √2 s’ha de complir que:

푎푏 = √2

En el meu cas,

a = 400 píxels, llargada del tronc, després de la primera iteració.

b = 282,84 píxels, alçada del mur.

De tal manera que:

400282,84 = √2