Matematización horizontal Mate en Holanda

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  LA CONTEXTUALIZACIÓN DE LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA PRIMARIA DE HOLANDA Flavia Irene Santamaria 

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LA CONTEXTUALIZACIN DE LA MATEMTICA EN LA ESCUELA PRIMARIA DE HOLANDA

FlaviaIreneSantamaria

TesisdeMaestra enEnseanzadelasCienciasExactasyNaturales conorientacinenMatemtica

LA CONTEXTUALIZACIN DE LA MATEMTICA EN LA ESCUELA PRIMARIA DE HOLANDAFlaviaIreneSantamaria

Direccin Prof.AnaMaraPortadeBressanDra.BetinaZolkower FacultaddeIngeniera UniversidadNacionaldelComahue Julio2006

ndiceINTRODUCCIN1 iMetodologadetrabajo3 iiEsquemageneraldeltrabajo4 iiiPertinenciadeestetrabajoparalaEnseanzadelaMatemticaenlaArgentina4 Bibliografa6 CAPTULOILamatemticarealistaholandesa7 1.1CmosurgilaEducacinMatemticaRealista(EMR)?7 1.2EnquconsistelaEMR?11 1.3.LabordelInstitutoFreudenthal13 1.4PrincipiosenquesebasalaEMR14 1.4.1Principiodeactividad16 1.4.2Principioderealidad17 1.4.3Principiodeniveles17 1.4.3.1Matematizacinhorizontalyvertical18 1.4.3.2LosmodelosparalaEMR19 1.4.3.3Losdiferentesnivelesdecomprensinquepuedeatravesarunalumno19 1.4.4Principiodereinvencinguiada21 1.4.5Principiodeinteraccin21 1.4.6Principiodeinterrelacinointerconexin22 Bibliografa23 CAPTULOIIElsistemaeducativoenHolanda25 2.1OrganizacingeneraldelsistemaeducativoenHolanda25 2.1.1Educacinobligatoriaygratuita25 2.1.2Niveleseducativos25 2.1.2.1Educacinpreprimaria(anterioralos4aos)25 2.1.2.2EducacinprimariaBasisonderwijs(de412aos)27 2.1.2.3Educacinsecundariaypostsecundaria(apartirdelos12aos)31 2.1.3Tiposdeescuelasprimarias34 2.1.4Otrascaractersticasobservadas34 2.1.5Evaluacionestomadasalosalumnos35 2.2LaEducacinMatemticaenlaEscuelaPrimariaenHolanda35 2.2.1Unaperspectivamacrodidcticasobreeldesarrollomatemtico35 2.2.1.1Elrolinfluyentedeloslibrosdetexto36 2.2.1.2ElProve38 2.2.1.3Losobjetivosdebaseparalaeducacinmatemtica38 2.2.1.4Trayectoriasdeenseanzaaprendizaje40 2.2.1.4.1QuesunaTAL?41 2.2.1.4.2Caractersticas42 Bibliografa43 CAPTULOIIIAnlisisdeloslibrosdetexto(primeraparte)45 3.1ElpapeldeloscontextosenlaEMR45 3.1.1Problemasescolares,problemascontextualesyproblemasenlaescuela45

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3.2ContextosenHolanda49 3.3LoslibrosdetextoquesiguenelenfoquedelaEMR53 3.3.1Caractersticasdeloslibrosdetexto53 3.3.1.1ColeccinWisenRekenEditorialBekadidact53 3.3.1.2ColeccinRekenRijkEditorialWoltersNoordhoff54 3.3.2Loscontextosylassituacionesenloslibrosdetexto55 3.3.2.1Qucontextosysituacionesaparecenconmayorfrecuenciaenloslibrosdetextos?55 3.3.2.1.1Libro:WisenReken55 3.3.2.1.2Libro:RekenRijk58 3.3.2.2Loscontextospertenecenalmundorealoalfantasioso?Sonricosy significativos?61 3.3.2.2.1Libro:WisenReken61 3.3.2.2.2Libro:RekenRijk62 3.3.2.3Aquculturas,gneros,clasessocialesyetniasaludenestoscontextosy situaciones?63 3.3.2.3.1Algunasconsideracionesacercadelgnero66 3.3.2.4Sevuelvesobrelosmismoscontextosysituacionesdeunaleccinaotraode uncaptuloaotroydeungradoaotro?Ysisevuelve,cmo?67 3.3.2.5Qufuncincumplenlasilustracionesenrelacinconlapresentacindelos contextosylassituacionesyenrelacinconlaresolucindelosproblemas?Qutipode ilustracionesaparecenconmayorfrecuencia?70 3.3.2.5.1Prcticareproductivayproductiva72 Bibliografa74 CAPTULOIVAnlisisdeloslibrosdetexto(segundaparte)77 4.1Cmosetrabajaelnmeroenlosprimerosgrados?Quusosselesdaalnmero?Cmo setrabajanlosalgoritmosconvencionales?77 4.1.1Elnmeroparanombrar77 4.1.2Elnmerodecontar78 4.1.3Elnmerodecardinalizar79 4.1.4Elnmerodecompararyordenar82 4.1.5Elnmerodemedir83 4.1.6Elnmerodecalcular86 4.1.6.1Descomposicionesaditivasdeunnmeronatural87 4.1.6.2Problemasdesumayrestaqueimpliquenlacomposicindedosmedidasyenlas queunatransformacinoperasobreunamedida88 4.1.6.3Problemasdemultiplicacin95 4.1.6.4Problemasdedivisin100 4.2CmosetrabajanloscontenidosdeGeometra?102 4.2.1Miraryproyectar102 4.2.2Orientarseyubicar103 4.2.3Razonaracercadelespacio104 4.2.4Trabajarcontransformaciones105 4.2.5Construirydibujar106 4.2.6Medirycalcular107 4.3Laperspectivamicrodidcticaelprogresoenlacomprensin109 4.3.1Losdiagramas,losesquemasylosmodelosmatemticos109 4.3.1.1ElcollarLalneanumrica109 4.3.1.2Elcolectivo114 4.3.1.3Lamquinadegaseosas117

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4.3.1.4Descomposicinaditivadesumasdenmerosnaturales117 4.3.1.5Elrekenrek118 4.3.2Laesquematizacinprogresiva119 4.3.3Modelosconectadoscomolacolumnavertebraldelprogreso122 4.3.4LosManipulables124 4.3.4.1LosbloquesDienes125 4.4Cualeslaproporcinentreellenguajepictricoyellenguajeverbalenlaspginasdel librodetexto?Lamismaesconstante?127 Bibliografa131 CAPTULOVConclusiones133 5.1Interrogantesqueseabren135 Bibliografa137 APNDICE139

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Introduccin

IntroduccinEstatesisbuscadescribirelmodoenqueunateoradidctica,laEducacinMatemtica Realista (EMR), se materializa en los textos escolares de matemtica utilizados en Holanda. Asimismoestostextos,alalcancedirectodedocentesyalumnos,sirvendevehculoparala realizacinprctica(ulica)deesateora. La EMR es una perspectiva que se desarroll en Holanda desde fines de los aos setentaentornoaltrabajodelmatemticoHansFreudenthal(19051990).Desdeentoncesse ha publicado numerosa literatura que refleja los resultados positivos de esta teora. Por ejemplo, en los EE.UU, el enfoque de la EMR fue adoptado en los libros de textos de la coleccin Matemtica encontexto (MICEnciclopedia Britnica)para los grados5a8. Una investigacindemostrquelosalumnosdevariosdistritosescolaresdediversosestadosque utilizaronestaseriedelibrosdetexto,lograronmejorarnotablementesurendimientoenlas pruebas nacionales (Romberg y De Lange, 1998). Esta corriente ha inspirado muchas de las ideasparalareformaenlaenseanzadelamatemticaenvariospasestalescomoInglaterra, Alemania,Dinamarca,Espaa,Portugal,Sudfrica,EE.UU.,Japn,MalasiayPuertoRico(De Lange,1996). Adems, en los Pases Bajos hay resultados internacionales positivos1 que se pueden utilizarcomoindicadoresdelxitodelaEMRenlareformadelaeducacinmatemtica.Los resultadosdelTercerEstudioInternacionaldeMatemticayCiencia(porsussiglaseningls, TIMSS) demuestran que los alumnos en los Pases Bajos obtuvieron altos logros en la educacin de las matemticas (Mullis, Martin, Beaton, Gonzalez, Kelly y Smith, 1997). Internacionalmente la EMR es reconocida como un muy efectivo enfoque para ensear matemtica(TIMSS2003)yresolverproblemasmatemticos(PISA22001). Por otro lado, en Indonesia se han realizado pruebas piloto obteniendo excelentes resultados al aplicar la EMR especficamente en la enseanza de la geometra. Las investigaciones exploratorias han mostrado que a pesar de que la EMR es un enfoque desarrollado en Holanda se podra implementar satisfactoriamente en este pas (Fauzan, 2002). Fauzan nos aclara que para poder utilizar la EMR en su pas de manera integra, es necesario un gran esfuerzo en las reas de desarrollo del currculum, evaluacin, entrenamientodocenteenservicio,etc.Todoestodebeestarapoyadodesdeinvestigaciones endesarrolloyevaluacionesformativasparaasegurarquelamejoralocalseaobtenida. En la transformacin de la enseanza en Holanda a travs de la implementacin de estalneadidctica,lacualseestllevandoacabodesdehacemsde20aosseleasignaun papel fundamental a los libros de texto (Anghileri, 2001; Seegers y Gravemeijer, 1997; Gravemeijer,1994yJong,1986).Loslibrosdetextohansidocentralesparaeldesarrollodel currculum(Anghileri,2001:9).Losnuevoslibrosdetextopropicianlasmejoraspropuestas en la educacin matemtica, ya que son las herramientas ms importantes para guiar la enseanza de los profesores (tanto con respecto a los contenidos como a los mtodos de enseanza).Adiferenciadeloqueocurrenenotrospasesoccidentales,dondehansurgido numerosascrticasconrespectoalusodeloslibrosdetexto,enHolandalosmismosocupan unlugarprivilegiado(HeuvelPanhuizen,2001)dadoqueexisteunclimareceptivohacia los mismos (Gravemeijer, 1994: 138). Los textos en Holanda han sido desarrollados bajo la sombrilladeunaagenciadeorientacinparaayudaratrasladarlasideasinvestigadasauna prcticafactibleytodosasumirasunainstruccininteractiva(Anghileri,2001:9).EnestosComounejemplosepuedenmencionarlasinvestigacionesllevadasacaboporTreffers(1987)yRengerink (1983),entreotros,endondenosmuestranqueobtuvieronmejoresresultadosaltrabajarseladivisinconel enfoquerealistaqueconelenfoquetradicionaldeenseanza. 2 PISA:ProgramaInternacionaldeEvaluacindeEstudiantes.1

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Introduccin

textos se presta mucha atencin al entrelazado de varios ejes de aprendizaje (Treffers y Beishuizen,1999:citadoporAnghileri,2001) Es sabido que a los docentes les cuesta apropiarse de manera sustantiva de las directivas y las recomendaciones de aquellos que proponen las reformas pedaggicas y curriculares(Dussel,2001;CTERA,2001).Estosdocumentoslessuelenpareceralosdocentes demasiado tericos y distantes de su realidad ulica y de las necesidades especficas a su prctica.Porlotanto,ellibrodetextoocuparaentoncesunlugarintermedioentrelateoray laprcticacercanotantoalosqueproponenlasreformascomoalarealidadcotidianadelos docentesquesonlosllamadosallevaracaboestareforma.Enesoradicaengranmedidael xitodelareformadelainstruccinmatemticarealizadaenHolanda(verelapartadoque serdiscutidoenelCaptulo2).Debidoaloanterior,mirardecercadequmodolaEMRse hace realidad en los libros de texto ayudara a apreciar modos efectivos de mejorar la enseanzadelamatemticaypoderincorporaralgunasdeestasideasaltrabajoquesehace enlaArgentina.EnArgentinaloslibrosdetextopasarondeserportadoresdelasreformas educativas, contando con la aprobacin del Estado y respetando las normas pedaggicas vigentes,aserdependientesenmuchoscasosdelasleyesdelmercado. EnelsigloXX,hastalosaos80,lasreformaseducativasenlaArgentinasellevabana cabo a travs de los libros de texto. Los mismos, adems de responder a las normas pedaggicas en vigencia necesitaban de una aprobacin del Estado (mediante sus instituciones oficiales) para evitar, como ocurre en la actualidad, la dependencia de las publicaciones a las leyes del mercado. Esta ltima dependencia ha dado lugar en muchos casos a situaciones que relegan las cuestiones polticas y pedaggicas a problemas de marketing (Pineau, 2006; 2) o lo que importa es escribir lo que vende, no lo que es importanteensear(GirFreixesyParcerisa,2000;139). Los docentes, de manera individual o institucionalmente en la menor cantidad de casos,hacenlaeleccindeltextoescolarparasusalumnosguiadosporsuspropioscriterios, frente a una multiplicidad de libros a su alcance (actualmente existen ms de 30 editoriales queeditantextosescolaresyalgunasdeellaspublicanunavariedaddeellos)3 Sin embargo, es importante reconocer que los textos constituyen otra instancia de la transposicindidcticapuesintroducennuevasmodificacionesenlosobjetosdeenseanza, constituyenunanuevaymsfinadelimitacindelalcancedeloscontenidos(Pineau,2006). Yqueenalgunoscasos,loslibrosdetextoseconstituyenparalosprofesores,enunafuente de abrevar en la bsqueda de un parmetro de comparacin de sus propios conocimientos disciplinares, de una clarificacin respecto del tipo de actividades a realizar, de propuestas innovadorasenlaarticulacinyorganizacindeloscontenidosaensear(Chemello,2002; 70). ComosediceenFreixesyParcerisa(2000),senecesitadeundocentecapazdehacerun usoreflexivodelostextosyestodemandaunacapacitacinydesarrollodeapoyosparalos mismosquelespermitataleleccinenfuncindelasnormascurricularesylarealidaddesu alumnado, debido a que muchos textos encierran slo cambios formales y no implican las modificacionesdefondonecesariasparaadaptarsealasreformasdecontenidosquetuvieron lugarenladcadadelos90.EnHolanda,porejemplo,sehanecesitadoincluirmaterialpara los docentes con el enfoque de la EMR, con ejemplos muy prcticos para ensearles cmo debenenseareinterpretarelmaterialdeloslibrosdetexto.

Estasmsde30editorialesqueproducenlibrosescolaresmanejanunmercadoquerondalos100millonesde pesosyquepor1999erade120millonesalao.Sinembargo,unconjuntodeempresasfuertes(Santillana, PuertodePalos,Estrada,Aique,KapeluszyAzEditora),lamayorapertenecienteaGruposmultinacionales, renecasiel80%delasventas(Laino,2003).

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En los captulos siguientes se centrar en dar las bases tericas en que se sustenta el cambio en la enseanza de la matemtica en las escuelas holandesas y en analizar cmo se llevaesteenfoquealaescuelaatravsdeunaseleccindelibrosdetexto. Esimportanteaclararquelejosdequererpresentaresteenfoqueparaserreplicadoen formaexactaenlaArgentinaloquesebuscaestratardeestudiarendetalleloquepasen Holanda para ver qu se puede aprender de este fenmeno. Querer replicar el enfoque realistaseraimposibledadaslascaractersticastandiferentesentrenuestropasyHolanda:a nivel demogrfico, de la formacin y capacitacin de los docentes, de la forma y el funcionamiento del sistema escolar, y de la estructura y las dimensiones de la industria editorialdelibrosdetexto. Toda innovacin propone diferente educacin y diferentes resultados de aprendizaje. Gravemeijer(1994:138)proponequenosplanteemosdoscuestionesparaevaluarelcurrculo realista:HasidoimplementadalaEMR?yLaEMRconducealosresultadosdeaprendizaje deseados? Dado que la reforma ha sido puesta en prctica principalmente a travs de los libros de texto es que esta tesis se centrar en su anlisis, teniendo en cuenta que las diferenciasenloslibrosdetextoconducenadiferentesformasdeenseanzaylasdiferentes formasdeenseanzaconducenadiferentesresultadosdeaprendizaje. iMetodologadetrabajo Este trabajo consiste en un anlisis descriptivo de los libros de texto para la escuela primariaqueseutilizanenHolanda.Dadoquelacorrientedidcticadominanteenesepases la EMR, los criteriosque utilizaremoscomo herramienta para elanlisis de estos textos son losprincipiosfundamentalesdeestacorriente,esdecir,laconcepcindelamatemticacomo actividad humana, la distincin entre matematizacin horizontal y vertical, el uso de construcciones y producciones libres como punto de partida para los procesos de esquematizacin y formulacin progresiva, el uso de modelos, una gran importancia a la interaccinentrelosactoresdelprocesoeducativodentrodelaulayunafuerteinterrelacin entrelosdiferentesejescurriculares. Esenbaseaestosprincipiosqueelaboramoslassiguientespreguntas. 1Qucontextosysituacionesaparecenconmayorfrecuenciaenloslibrosdetexto?Hay algncontextoosituacinqueaparezcaconmayorprominencia? 2Loscontextospertenecenalmundorealoalfantasiosodelosnios?Sonlosmismosricos ysignificativosentantodespiertansuintersymuevenaltrabajoconellos?4 3 A qu culturas, prcticas, gneros, clases sociales y etnias, aluden estos contextos y situaciones?Losmismossonsloexperienciablesporniosholandeses? 4 Se vuelve o no sobre los mismos contextos y situaciones de una leccin a otra o de un captuloaotroydeungradoaotro?Ysisevuelve,cmo? 5Qufuncincumplenlasilustracionesenrelacinconlapresentacindeloscontextosy situaciones y en relacin con la resolucin de los problemas? Qu tipo de ilustraciones aparecenconmayorfrecuencia? 6 Cmo se trabaja el nmero en los primeros grados? Qu usos se les da al nmero? Cmo se trabajan (presentan, explican, practican, interrelacionan) los algoritmos convencionales?

Cabeaclararquepararesponderestaltimacuestintengoencuentaloqueheobservadoensituacionesde juegosconniosinformales,observacionesenlabibliotecadeDelft,etc.Larespuestaadichacuestintieneun altocomponentepersonal.4

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7CmosetrabajanloscontenidosdeGeometra? 8Sehaceusodediagramas,esquemas,modelosmatemticos?Cmosevinculanestoscon los contextos y las situaciones? Se nota la esquematizacin progresiva, la abreviacin, descontextualizacin de tales esquemas, diagramas y modelos? Cmo se trabaja sobre los diagramas,esquemasymodelos?Sevuelvesobreellossistemticamente?Cmo? 9 Cul es la proporcin entre el lenguaje pictrico y el lenguaje verbal en las pginas del librodetexto?Esconstantelamisma? iiEsquemageneraldeltrabajo Estetrabajoestorganizadoenunaintroduccinycincocaptulos,siendoelltimoel correspondientealasconclusiones. En el captulo I se narra la historia del nacimiento y el desarrollo de la Educacin MatemticaRealistaylosprincipiosenlosquesebasaestacorriente. EnelcaptuloIIsedescribelaestructurayelfuncionamientodelsistemaeducativoen Holanda. Primeramente el enfoque es general, de todos los niveles, y posteriormente se comenta la enseanza de la matemtica en la Escuela Primaria en ese pas. En ese mismo captulo se desarrolla la perspectiva macrodidctica y en el Captulo III y IV, la microdidctica. La primera trata sobre el progreso en la comprensin de contenidos matemticosenunlargoperiododetiempo,centrndosesobrelastrayectoriasdeenseanza aprendizajequesirvencomoundiseolongitudinalparalaenseanzadelamatemtica.La perspectiva microdidctica, en cambio, muestra cmo pueden suceder cambios en la comprensin y habilidades del alumno en una o dos lecciones. Desde la EMR, se considera fundamentalqueunateoradeeducacinmatemticatengaencuentaestasdosperspectivas (HeuvelPanhuizen,2002). LoscaptulosIIIyIVincluyenelanlisisdeunaseleccindelibrosdetextoenbasea las preguntas listadas ms arriba. El foco de nuestro anlisis son los textos de mayor circulacin para los grados inferiores de la escuela primaria, Grado 3 y 4, que en nuestro sistemaeducativocorrespondenal1roy2dogradodelaEGB1.Enelanlisisdeestostextos, se presta particular atencin al abordaje del nmero y las operaciones, la geometra y la medida,temascentralesenlainstruccinmatemticaanivelprimario. De las seis editoriales diseadas desde la lnea realista en Holanda Wis en Reken, RekenRijk, Talrijk, Wereld in Getallen, Alles Telt y Pluspunt se seleccionaron para un trabajo detalladolasdosprimeras,quesonlasmsutilizadasenlasescuelasholandesasquesiguen estacorrientedidctica.Estasseiseditorialesseconsideranlasmsrepresentativas,demayor accesibilidad y las que, en su conjunto, representan la variedad de enfoques de la EMR (HeuvelPanhuizen,2002). iiiPertinenciadeestetrabajoparalaEnseanzadelaMatemticaenlaArgentina En base al anlisis anterior, esta tesis intenta ofrecer tres aportes: dar a conocer la educacinmatemticarealista,mostrarelpesoqueposeelaeleccindeunlibrodetextoen unareformaeducativaydestacarlaposibilidaddecrearinterrogantesenbasealalneaque conllevanlosdiseoscurricularesparaorientaralosdocentesenlaeleccindeloslibrosde textoenmatemtica. Zolkower(1999)afirmaqueelinstrumentarunapropuestadesarrolladaenHolandaen laArgentina,pasconunarealidaddiversa,resultaserunaportevaliosohaciaeltratamiento reflexivo (y afectivo) de problemticas que aquejan al campo de la enseanza de la matemtica en todo el mundo. Entre ellas est la significacin de los objetos y operaciones

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Introduccin

matemticas, el problema de la adquisicin de algoritmos como automatismos carentes de sentido, la dificultad de transferir lo aprendido en situaciones didcticas a la resolucin de problemasensituacionesadidcticasy,finalmente,eldebateacercadelvalorhumano,social ypolticodelaenseanzadelamatemtica. En vista de lo anterior, en 1999 se cre el Grupo Patagnico de Didctica de la Matemtica (proyecto de capacitacin, estudio e investigacin/accin, cuyas siglas son GPDM) coordinado por la Prof. Ana Bressan y la Dra. Betina Zolkower en San Carlos de Bariloche,Prov.deRoNegro.Estegruposeabocaalatareaderevisarlamaneradeensear lamatemticasiguiendolaslneasdelaEMR.As,losresultadosdeestatesiscontribuirnal desarrollodelainvestigacinenelGPDM.

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Bibliografa Anghileri, J. (2001). Principles and Practices in Arithmetic Teaching. Innovative approaches for the primaryclassroom.Buckingham:OpenUniversityPress.Philadelphia. ChemelloG.(2002):Laenseanzadelamatemticaylaformacindelpensamiento.Unestudiosobre lademostracinennivelmedio.TesisdeMaestraenDidcticadirigidaporlasDras.Camillioni,A.y Gysin,L.DptodeCienciasdelaEducacin.FacultaddeFilosofayLetras.UBA CTERA(2001):Consultanacional.Muestrade3030casos(abarcatodaslasprovincias,nivelestipode escuelaseleccindocente)Encuestarealizadaenel2000. De Lange, J. (1996): Using and Applying Mathematics in Education En International handbook of mathematicseducation,deBishop,A.J.(eds).ParteI.Pgs:4997.Utrecht:Kluweracademic. Dussell, I. (2001): Los cambios curriculares en los mbitos nacional y provinciales en la Argentina (19902000).Elementosparasuanlisis.ProyectoAlcanceyResultadosdelasReformasEducativasen Argentina,ChileyUruguay.MinisteriosdeEducacindeArgentina,ChileyUruguay.GrupoAsesorde laUniversidaddeStandford/BID Fauzan, A. Plomp, T., y Slettenhaar, D. (2002): Traditional Mathematics Education vs. Realistic Mathematics Education: Hoping for Changes. Proceedings of the 3rd International Mathematics Education and Society Conference. Pgs 14. Copenhagen: Centre for Research in Learning Mathematics. GirFreixes,N.yParcerisa,A.(2000):Evaluacinenlaeducacinsecundaria.Barcelona:Grao.Pgs: 138140. Gravemeijer, K (1994): Developing Realistic Mathematics Education. Freudenthal Institute. UniversidaddeUtrecht.Holanda. HeuvelPanhuizen, M. (2001): Realistic mathematics education in Netherlands. En Principles and Practices in Arithmetic Teaching. Innovative approaches for the primary classroom, de Anghileri, J. Philadelphia:Buckingham,OpenUniversity. HeuvelPanhuizen, M. (2002): Realistic Mathematics Education as Work in Progress. En: Common sense in Mathematics education, de FouLai Lin (Eds.). Proceedings of 2001 The Netherlands and Taiwan Conference on Mathematics Education. Pgs: 143. Taiwan: National Taiwan Normal University. Jong,R.de(1986):Wiskobasinmethoden.Utrecht:OW&OC. Laino,G.(2003):ArtculorealizadoparaAdministracindelaEmpresaEditorial,ctedraacargode FernandoEstevesFrosdirectoreditorialdeAlfaguaraS.A.UBA. Mullis,I.,Martin,M.,Beaton,A.,Gonzalez,E.,Kelly,D.,ySmith,T.(1997):MathematicsAchievement inthePrimarySchoolYears.IEA.ThirdInternationalMathematicsandScienceStudy(TIMSS).Boston: ChestnutHill. Pineau,P.(2006):Ellibrocomoobjeto.Perspectivahistricadelaproduccindetextosescolares.Elrol delEstadoenlaproduccindetextosescolares.Analesdelaeducacincomn.Filosofapolticadela enseanzaTercersiglo.Ao2.Nmero3.DireccinGeneraldeCulturayEducacindelaProvinciade BuenosAires. Rengerink,J.(1983):Destaartdeling,eengentegreerdeaanpakvolgenshetprincipevanprogressieve schematisering.Utrecht:VakgroepOnderwijskunde/IPAW,RijksuniversiteitUtrecht. Romberg, A. y Lange J. de (1998): Mathematics in Context: Teacher Resource and Implementation Guide.EE.UU:BritannicaMathematicssystem. Seegers, G. y Gravemeijer, K. (1997): Implementation and effect of realistic curricula. En The role of contextsandmodelsinthedevelopmentofmathematicalstrategiesandproceduresdeBeishuizen,M., Gravemeijer,K.yVanLieshout,E.Pgs:255272.Culemborg:Technipress. Treffers, A. (1987): Three Dimensions. A Model of Goal and Theory Description in Mathematics Education:TheWiskobasProject.Dordrecht:Reidel. Zolkower,B.(1999).Elsentidocomnenlaresolucindeproblemasmatemticos.Nmero108.Pgs: 4447.BuenosAires:NovedadesEducativas.

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CaptuloI:LaMatemticaRealistaHolandesa

CAPTULOILamatemticarealistaholandesa1.1CmosurgilaEducacinMatemticaRealista(EMR)? Para poder contestar a esta pregunta debemos remontarnos, segn las palabras de la renombradainvestigadoraitaliana Castelnuovo(1997),alosaosanterioresala dcada del 60. A fines de la Segunda Guerra Mundial, se instituy en varios pases la educacin obligatoria e igualitaria hasta una edad determinada por cada gobierno. A pesar de que numerosos educadores, matemticos y psiclogos hicieron notar las dificultades para la comprensin matemtica que se presentaba entre los alumnos dificultades que se acrecentaban si el alumno no tena el apoyo de una familia con recursos econmicos no se llegaron a hacer cambios sustanciales en los modos habituales de ensear esta disciplina. Estasdificultadesseatribuanaquelosmtodosdeenseanzaeranpocoapropiadosparalas posibilidadesintelectualesypsicolgicasdelosalumnosyalhechodequeloscontenidos,tal comoestabanorganizadosenloscurrculos,erandemasiadosabstractos. A raz del lanzamiento del primer satlite artificial sovitico Sputnik, en 1957, los gobiernos de los pases occidentales y en especial el de EE.UU. se dieron cuenta que no podranalcanzaraltosnivelesentecnologasinmejorarlaenseanzadelasmatemticasenla educacinsecundaria.Paraellos,unpascapazdesemejanteavanceespacialdebacontarcon cientficosconunaelevadaformacinenmatemticas(Castelnuovo,1997).Elgranproblema era definir qu tipo de enseanza de la matemtica era la ms adecuada para lograr el objetivo de contar con cientficos que pudieran alcanzar una formacin capaz de igualar o superaraladelaURSS. Para poder resolver este problema, el gobierno de EE.UU. impuls a la OECE1 a convocar un seminario internacional para especialistas de la disciplina y profesores de escuelas secundarias. El objetivo de esta iniciativa fue recoger informacin y comparar los programasvigentesenbsquedadeelementosquepudieranorientarcambiosenelsistema educativo. Este seminario se llev a cabo en Royamont (Francia), en 1957. Para los matemticos Choquet, Stone y Dieudonn el problema principal radicaba en la brecha existente entre la escuela secundaria y la Universidad debido a que los programas de la escuelasecundariaquesedesarrollabanenlosdiferentespasesestabanmuyalejadosdelas concepcionesdelamatemticamoderna2.Lasolucinquesepropuso,yqueadoptaronvarios pases,fuedejardeensearlageometraeuclidianaeincorporarensulugarunaenseanza basadaenlateoradeconjuntosyestructuras.En1961,Papy(matemticobelga)introdujoel uso de flechas para representar relaciones binarias en una leccin demostrativa en la Conferencia Anual de AT(A)M3. Esta nueva representacin dio origen a un nuevo y estimulante enfoque de algunos temas bastantes abstractos (Tahta, 2004). Papy redact una serie de libros de texto sobre la introduccin didctica de temas relativos a conjuntos y estructuras que fue la base de otros muchos libros interesantes, desde un punto de vista matemtico, pero didcticamente muy rgidos. Estas publicaciones provocaron que muchos pasescayeran,segnpalabrasdeCastelnuovo,eneltorbellinoconjuntistaoenpalabrasde Freudenthal,secayenelconjuntoatodacosta.Estoscambiosnobuscabanacabarconlas dificultades de comprensin que se presentaban en la educacin matemtica sino acortar la brechaentrelaescuelasecundariaylaUniversidad(Castelnuovo,1997).OrganizacinEuropeadeCooperacinEconmica. Por matemtica moderna se entendi el movimiento de enseanza que incluy el enfoque conjuntista estructuralistaenlaeducacinmatemticadelaescuelaprimariaysecundaria 3 SiglasdeAssociationforTeaching(Aids)inMathematics.1 2

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CaptuloI:LaMatemticaRealistaHolandesa

Entre las principales caractersticas y consecuencias del movimiento hacia la matemticamodernasepuedencontarlossiguientes(Guzmn,1993): Se subrayaron las estructuras abstractas en diversas reas, especialmente en el lgebra. Se pretendi profundizar en el rigor lgico y en la comprensin, contraponiendo staalosaspectosoperativosymanipulativosdeladisciplina. Lo anterior condujo al nfasis en la fundamentacin a travs de las nociones inicialesdelateoradeconjuntosyenlgebra,dondeelrigoresfcilmentealcanzable. Como consecuencia, sufrieron un gran detrimento la enseanza de la geometra elemental y el desarrollo de la intuicin espacial dado que estos resultan ms difciles de fundamentarrigurosamente. Con respecto a las actividades fomentadas, la consecuencia natural de estos cambios fue el vaciamiento de la enseanza de problemas interesantes (propios de la geometraelemental)ylasustitucindelosmismosporejerciciosrepetitivos(unamismaidea expresadademuchasmanerasdestintas)muycercanosalameratautologayreconocimiento denombres(quees,enbuenaparte,loqueellgebrapuedeofreceraestenivelelemental). Loanteriorprovocquelamatemticasealejaraanmsdelarealidad,dadoquesi eraabstractalageometradeEuclides,lateoradeconjuntoseraanmsdifcildepoderser comprendida por los alumnos, no tanto en su fase inicial, pero si en el tratamiento de las estructurasnumricas,porejemplo.Laprioridadeducativaseconcentrensatisfaceralos pocosalumnosquetenanposibilidadesdeaccederaestudiossuperioresylagranmayora debi seguir los pasos a un mundo ms desigual y abstracto (Keitel, 1997). El sistema de enseanza de la matemtica pareca concebido como si su funcin exclusiva fuera la preparacin de futuros matemticos y el desarrollo de habilidades y disposiciones para la poblacin estudiantil en su conjunto. En otras palabras, se tratde una propuesta didctica que de facto funcionaba como elitista lo contrario del slogan de una matemtica para todos. En1970,segnGuzmn(1993),secomenzapercibirqueloscambiospropuestosno dabanlos resultados esperados y recin en 1980 hubo un reconocimiento general dequese habaexageradoconsiderablementeenlastendenciashacialamatemticamoderna,enlo querespectaalnfasispuestoenlasestructurasabstractasdelamatemtica.Erafundamental revertirlasituacinenqueseencontrabalaenseanzadelamatemtica.ParaGuzmn(1993) eranecesariocuidarycultivarlaintuicinengeneral,lamanipulacinoperativadelespacioy de los mismos smbolos. Se tena que empezar a recuperar la comprensin sobre lo que se haca,peroporsupuesto,sinpermitirqueeseesfuerzoporentendertrasladaraaunsegundo planoloscontenidosintuitivosdelamenteensuacercamientoalosobjetosmatemticos.No esciertoqueloqueerabuenoparalafundamentacin,dentrodelacienciamatemtica,sea considerado tambin bueno para la transmisin de conocimientos. Para l, la formalizacin rigurosanodebaabordarseenlasexperienciasiniciales.Lasconsecuenciasdelacorrientede lamatemticamodernafueronmalasengeneral,peroresultaronespecialmentenefastaspara el desarrollo del pensamiento geomtrico de los alumnos. Aunque inicialmente las modificaciones impuestas por la misma se planteaban para la enseanza secundaria, los cambios poco a poco fueron abarcando todos los niveles del sistema educativo. Guzmn expresaquedadoquelageometraanivelelementalesdifcildeformalizaradecuadamente sedejirporelmismoagujeroelpensamientogeomtrico,laintuicinespacialylafuente ms importante de verdaderos problemas y resultados interesantes abordables con un nmeropequeodeherramientasfcilmenteasimilables(Guzmn,1993).

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En la dcada de los aos sesenta, Holanda observ al movimiento de la Matemtica Modernaconreticencia.Estaactitudcrticafueelimpulsoinicialdelmovimientodereforma que dio origen, en 1968, al proyecto Wiskobas (iniciado por Wijdeveld y Goffree). Este proyecto fue llevado a cabo por un grupo conformado por educadores en matemtica del nivel primario y secundario4 bajo la direccin de Hans Freudenthal. Ellos trabajaban en el departamento conocido como IOWO, (Instituto para el Desarrollo de la Educacin Matemtica)enlaUniversidadestataldeUtrecht.Esteproyectoseimpusoentre1970y1977, desterrandodelasescuelasloslibrosdetextobasadosenlaMatemticaModerna.Elmismo constituy un proyecto curricular para la enseanza elemental de las matemticas, con el objetivodeinnovarlaeducacindeestadisciplinaanivelnacionalymediantelaformacin deprofesoresenejerciciocomomotoresdelcambio. El enfoque actual de la llamada Educacin Matemtica Realista5 fue determinado mayormente por las ideas de Freudenthal acerca de las matemticas, su aprendizaje y su enseanza(HeuvelPanhuizen,2002).Lasinvestigacionesquesecontinuaronllevandoacabo enelIOWOsefocalizaroneneldesarrolloeducativoenconsultaconeleducador.Estose refiere al enfoque de innovacin basado en la incorporacin al desarrollo del currculum (antes y durante la carrera docente) de investigaciones educativas, y de conversaciones continuas con las escuelas. El diseo y la discusin de ejemplos inspiradores (prototipos o ejemplos paradigmticos, usando un termino que ocupa un lugar central en la teora de Freudenthal,1991)formelcorazndelaestrategiadeinnovacin.Losprototiposquefueron desarrollados por el IOWO sirvieron como fuente de inspiracin a los autores de libros de texto.Estodiolugaracuatroseriesdelibrosdetextoenloscualesestasnuevasideasfueron tomando forma concreta (De Jong, 1986). Posteriormente, el IOWO fue cerrado y las actividadesdeinvestigacinsecontinuaronrealizandoenelGrupodeInvestigacinsobrela EducacinMatemticayCentroEducacionaldeComputacin(OW&OC),queen1992fue renombradocomoInstitutoFreudenthalenhonorasufundador(Gravemeijer,1994). Elenfoquetecnolgico(quenacidelresultadodelproyectoOSM6enRotterdam)enla educacin impulsa que se incluya una descripcin completa de las metas educacionales en trminos de objetivos instruccionales. Sin embargo, en la filosofa basada en los aportes de Freudenthal,losobjetivosinstruccionalesnosonlomsimportante;lafinalidadprincipales establecerunaciertaformadeprcticaeducacional.Elnfasisestcolocadoenelproceso(de diseo curricular) ms que en el producto (conjunto de saberes a adquirir). El tener que alcanzar metas pas a ser menos importante que la manera en que dichas metas son alcanzadas.Msaun,seaspiraobjetivosmsabstractosyglobalesreferidos,porejemplo,al desarrollo de una actitud matemtica. Freudenthal (1980: 3538) entiende que el trmino educacinencierratantoellogrodelosobjetivosdelainstruccinformalcomoeldesarrollo de actitudes de toda la clase: morales, sociales, emocionales, religiosas y cognitivas, todo lo cual har del ser humano un hombre culto, formado, que es uno de los objetivos ms relevantesdelaeducacinmatemticarealista. Estos objetivos no se ajustaban al enfoque instruccional tecnolgico propuesto por GagnyBriggs(1974)yBloom(1976)paralaeducacinmatemtica.Esdecir,lasestrategias dediseoinstruccionalnoparecanaplicablesaestetipodeeducacinmatemtica.Estalucha entrelainstruccintecnolgicayestafilosofaeducacionalquenoselecorresponda,fuela

ElproyectoparasecundariafueposterioryseconocecomoWISKIVONyestacargodeI.DeLangeyA. Treffers 5 GravemeijeraclaraqueeltrminorealistaconectadoalenfoquedelosPasesBajosnoimplicaquenose hayatrabajadoconsimilaresenfoquesenotrapartedelmundo.CitacomoejemploseltrabajodeKamii(1993) yWhitney(1988). 6 OSMsonlassiglasdeEducationandSocialEnvironment.4

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que inici la bsqueda de una alternativa para el enfoque tecnolgico del desarrollo curricularenladcadadelsetenta(Gravemeijer,1994). Nuestra sociedad tecnolgica demanda que los ciudadanos aprendan a tratar con conceptos abstractos y relaciones formales. Segn Sierpinska y Lerman (1996), Streefland (1997)ySchoenfeld(1994),esimportanteguiaralosalumnosenlasestrategiasrequeridasde simbolizacin, modelado, abstraccin, formalizacin y generalizacin para capacitarlos a participarcomomiembroscompetentesdesucomunidadyparaquepuedanhacerfrentea los elementos claves dominantes en la matematizacin7 del mundo (Keijzer, 2004). De estas necesidadessociales,surgequelapsicologaeducativasehayafocalizadofuertementeenlos procesos cognitivos y en las estrategias de resolucin de problemas (Greeno, Collins y Resnick, 1996; Keijzer, 2004). Como sugiere Alsina citando a De Lange (2000: 1): se debera prestar especial atencin al desarrollo de grandes competencias o habilidades como son el pensar matemticamente, saber argumentar, saber representar y comunicar, saber resolver, saberusartcnicasmatemticaseinstrumentosysabermodelizar.Aprenderamodelizares saber estructurar el contexto, matematizar y reinterpretar los resultados de esta matematizacin,revisarelmodelo,modificarlo,etc. En 1993, Guzmn escribe que ya era tiempo de que se reaccionara al abandono injustificadodelageometraintuitivaennuestrosprogramasdelquefueculpablelacorriente denominada Matemtica Moderna. l consideraba una necesidad ineludible, desde un punto de vista didctico, cientfico e histrico, volver a recuperar el contenido espacial e intuitivo en toda la matemtica, no ya slo en lo que se refiere a la geometra sino en un aspectomsgeneral.Sehabaperdidoelcultivodeaquellasporcionesdelamatemticaque tratandeestimularlacapacidaddelossereshumanosparaexplorarracionalmenteelespacio fsicoenelqueviven,lafigura,laformafsica(Guzmn,1993:83). En relacin a lo anterior, debemos destacar los trabajos influyentes de los esposos holandesesDinayPierrevanHieleacercadelaenseazadelageometra.Ensusclasescomo profesores de enseaza secundaria, ellos observaron que, a pesar de explicar temas de geometra numerosas veces y de manera distintas a sus alumnos, los mismos no los entendan. Adems comprobaron que todos los aos los alumnos presentaban los mismos conflictos;enocasioneslosalumnosnosabanseguirelprocesoderesolucindeunejercicio yenotroscasos,noentendanloqueelprofesorlespeda.Apartirdedichasobservaciones, losvanHieledisearonloquehoyseconocecomoelmodeloderazonamientogeomtrico de van Hiele (Jaime, 1994). Ambos presentaron sus trabajos en sus respectivas tesis doctoralesen1957,bajoladireccindeFreudenthal,mientrasPierrefueeldiseadorterico del modelo, su esposa desarroll una aplicacin prctica de ste en la enseanza de la geometra.En1959sepublicaelartculoLapensedelenfantetlageomtrieenelBulletin de l A.P.M.E.P.8, que representa la primera exposicin pblica a nivel internacional del modelodevanHiele.ApesardelosesfuerzosdeFreudenthalydelosvanHiele,elmodelo nologrcaptarlaatencindelmundooccidental.Mientrastanto,esteartculoresultdegran inters para los educadores soviticos, quienes se hallaban inmersos en un proyecto de reforma curricular. Tras unos aos de intensas investigaciones y experimentaciones, se incorporaelmodelodevanHielecomobasetericadelaelaboracindelnuevocurrculum deenseanzadelageometraenlaU.R.S.S.,cuyaimplantacindefinitivaseproduceen1964. Lo increble de la historia es que hasta 1974 la comunidad educativa de los pases occidentales,conexcepcindeHolanda,siguiignorandoelmodelodevanHielehastaque

Para Gravemeijer, matematizar significa literalmente hacer matemtica. En este contexto ms matemtica puederelacionarseconlascaractersticasdelamatemticamisma:generalidad,certeza,exactitudyconcisin. 8 RevistadelaAsociacinFrancesadeProfesoresdeMatemticasdelaEnseanzaPblica.7

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WirszupdiounaconferenciaenlareuninanualdelN.C.T.M.9ypublicen1976unartculo (Wirszup, 1976) con un contenido similar. Wirszup hizo una descripcin del currculum soviticoydelmodelodevanHieleyalertalosprofesoresdesupasanteelhechodequeel currculumdegeometrasoviticoeramseficazdadoquelosalumnossoviticosaprenden antes, ms y mejor que en EE.UU. (Guilln, Gutirrez, Jaime y Cceres; 1992: 5). Actualmente, el inters por este modelo, tanto desde el punto de vista de la investigacin educativacomodeldelaprcticadocente,hacrecidoentalenvergadura,quecasitodaslas investigacionesengeometralotienenencuenta(Jaime,1994). 1.2EnquconsistelaEMR? Hacemsdetreintaaosquelaconcepcindelamatemticacomoactividadhumana es la base de la educacin realista holandesa de las matemticas (Freudenthal, 1971, 1973 y 1991; Treffers, 1987; De Lange, 1987; Gravemeijer y Terwel, 2000). En dicha concepcin la matematizacin fue establecida como una importante actividad de los educandos (Gravemeijer,1994;DeCorte,GreeryVerschaffel,1996;Gravemeijer,2001). La EMR es un enfoque en el cual se utilizan situaciones del mundo real o problemas contextuales como un punto inicial para aprender matemtica. Estas situaciones significativas, al tiempo, son matematizadas para formar relaciones ms formales y estructurasabstractas(HeuvelPanhuizen,1996)(verpunto1.4.3).Alorganizarunproblema y tratar de identificar los aspectos matemticos, descubriendo las regularidades y las relacionesconotrosproblemasyatrabajados,losalumnoshacenusodeloqueTreffers(1987) denomina matematizacin horizontal. Posteriormente se utiliza la matematizacin vertical para desarrollar conceptos matemticos por medio del uso de modelos (ver punto 1.4.3)ymediantelaparticipacinenlasdiscusionesdelaclasecompleta10(verpunto1.4.5). LaEMRseapoyaendospilaresfundamentales:elusodemodelos,mediadoresentrelo abstractoyloconcreto,ylainteraccinenelaulaentrelosalumnosyentreeldocenteconlos alumnos.Estainteraccin,quedebeserintensa,permitiralosdocentesconstruirsusclases teniendoencuentalasproduccionesdelosalumnos(Fauzan,PlompySlettenhaar;2002). Otraideaclavedeestacorrienteesquealosalumnosselesdeberadarlaoportunidad dereinventarlasmatemticasbajolaguadeunadultoenlugardeintentartrasmitirlesuna matemtica preconstruida. En otras palabras, se trata de crear oportunidades para que los alumnos puedan abocarse a actividades similares a la de los matemticos; a estructurar contextos ricos que inviten a ser organizados por medio de herramientas matemticas. (Struik,1987;DeCorte,GreerYVerschaffel,1996).Freudenthalreconociquelahumanidad haba desarrollado a la matemtica para resolver todo tipo de problemas prcticos. As mismosostenaquelosalumnosdeberanserguiadosparapoderrecorrerunprocesosimilar alqueconduciraalamatemticaformalquehoyconocemosprocesomuylargoeneltiempo quesereduciraaalgunosaosenlaescuela,dondeenalgunoscasosperdieronmuchasde lasrelacionesobviasconlavidacotidiana(Struik,1987;DeCorte,GreerYVerschaffel,1996).

SiglaseninglsdeAsociacinNacionaldeProfesoresdeMatemticasdeEE.UU. Freudenthalnousaraeltrminoconceptoenlaoracinanterior,sinoeldeobjetomental.Paral,existe unacrecientedistanciaentreelconceptodeXyX(porejemploentreelconceptodenmeroynmerooel conceptodetringuloyeltringulo,etc.).ElconceptodeXparecesignificarcmounoconcibealobjetoX en una determinada perspectiva, por ejemplo, por intuicin, inspeccin, reflexin, etc. La cognicin no comienza con conceptos, ms bien al revs: los conceptos son el resultado de procesos cognitivos. La enseanza del concepto de X no es la manera apropiada para ensear X. Para l y otros investigadores, el objetivofinaldelaenseanzayaprendizajeeslaconstruccinoconstitucindeobjetosmentales,endondela distancia entre los conceptos y los objetos mentales depender del tema, pero an ms del individuo y su situacinparticular(paraampliareltemaverFreudenthal,1991:1819).9 10

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Freudenthal enfatiz que la mejor forma de aprender y ensear matemtica es en grupospequeosyheterogneosenloquehacealashabilidadesdelosalumnos.Trabajando de este modo, los alumnos, guiados por el docente, organizan situaciones problemticas y reflexionanacercadesuactividadmatematizadora.Deestamanerasepuedenidentificaren lasproduccioneslibresdelosalumnosdiferentesnivelesdematematizacin,dadoqueesun grupoheterogneo,quemarcarnelcaminoaseguirhaciaunnivelmayordeabreviaciny esquematizacinatravsdeunprocesodenominadomatematizacinprogresiva(verfigura 1).Laactividadmatematizadorasetraducedidcticamenteenreinvencinguiada11(desdeel punto de vista del alumno) que, desde el punto de vista del observador, se denomina matematizacin progresiva (Freudenthal, 1991). El desarrollo de modelos favorece la matematizacinverticalquesehacepresenteatravsdelareinvencinguiada,endondelos alumnos pueden experimentar un proceso similar al proceso por el cual las matemticas fueron inventadas histricamente. Esto se logra mediante trayectorias de enseanza aprendizaje en donde las estrategias de enseanza necesitan ser adecuadamente elaboradas enbasealosdesarrollosdelosalumnos(lasconstruccionesyproduccionesespontneasde losalumnosylapropiahistoriadelamatemticasondosfuentesimportantesdelasquese obtiene material para guiar las reinvenciones de los alumnos) para que finalmente los alumnospuedanserestimuladosautilizarsuspropiasestrategias(Zulkardi,2005). Figura 1: Ejemplo de una produccin libre de una alumna al trabajar el contexto del colectivo (Bressanyotros,2005)

InicialmentelaEMRmsqueserunateoraclaraysencilladeeducacinmatemtica, consisti en ideas bsicas divididas entre el cmo y el qu de la enseanza matemtica. La acumulacinyrevisinrepetidadeestasideas,enlosltimos35aos,handadoalugaralo queahoraconocemosporEMR.DondeeldesarrollodelaEMResconsideradoanhoya pesardeltiempotranscurridountrabajoenconstruccin(HeuvelPanhuizen;2002). Gravemeijer (2000) sostiene que Freudenthal no ha desarrollado una teora didctica completa,sinoquesehadetenidoespecialmenteenelprocesodematematizacin,esdeciren describirelpasodelconocimientoinformalalmatemtico(procesoqueresultalaboriosode seguirparalamayoradelosdocentesenrazndesuescasoconocimientodeladisciplinay de los alcances de los distintos contextos y modelos que lo facilitan), pero muchos de los pensamientos que hoy son de dominio pblico a travs de documentos curriculares, textos sobre la enseanza de las matemticas y entre acadmicos y docentes de matemtica encuentransusracesenlasideasporldesarrolladas. 11 Freudenthalusaeltrminodereinvencinguiadaparaexpresarelhechodelrolimportantedelos docentesylibrosdetextosescolaresenelprocesodeaprendizaje.

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1.3.LabordelInstitutoFreudenthal ElInstitutoFreudenthaltieneladobletareadefomentarmejorasenlaenseanzadela matemticaenlasescuelasholandesasycontinuarrealizandoinvestigacionesyproyectosde diseo curricular en el campo de la didctica de la matemtica. Es decir, por un lado, el Institutoactacomocentronacionalexpertoparalaeducacinmatemticadesempeandoun papel central en la innovacin educativa en el rea de matemtica en las escuelas al desarrollar,porejemplo,materialesdeinstruccin,teorasyplanesdeestudiosquesegestan conjuntamente entre profesores, educadores de profesores, autores de libros de texto, investigadores, etc. a travs de reuniones, conferencias, publicaciones e informacin en Internet. Por otra parte el Instituto es tambin un instituto de investigacin con base en la UniversidaddeUtrecht.Deestamaneraseinvestigaparaquelateorasurjadeltrabajoenla prcticay,asuvez,semejorelaprcticaapartirdenuevasideasymaterialescurriculares. LamayoradelasinvestigacionesllevadasacaboporelInstitutoFreudenthaltienenel carcterdeinvestigacionesdediseooinvestigacinparaeldesarrollo.Elobjetivoprincipal deestetipodeinvestigacionesesdesarrollarunateoradeenseanzadedominioespecfico para la educacin realista de las matemticas (Drijvers, 2004). Los investigadores buscan desarrollarsecuenciasinstruccionalesprototpicasquepuedanserutilizadasporlosautores deloslibrosdetexto.Elinvestigadorpuedehacerusodetodosuconocimientodeldominio especfico concerniente a la educacin matemtica: experiencias de clases, conocimientos sobrelibrosdetexto,actividadeseducacionales,etc.Amododehandymanobricoleur (Gravemeijer,1994),elinvestigadorponejuntaslaspiezasdeconocimientoylassugerencias paralasactividadesdetalmaneraqueseencastrensegnsupropsito,queenestecasoes desarrollarunasecuenciainstruccionalqueseajustealafilosofaeducacionaldelaEMR.Esta manera de desarrollar prototipos puede tomar la forma de una actividad de investigacin denominadainvestigacinparaeldesarrollo12Gravemeijer(1994). Qu significa investigar para el desarrollo? Para Freudenthal (1991: 161) es experimentar el proceso cclico de desarrollo e investigacin tan conscientemente, reportndolo tan cndidamente que ste se justifique por s mismo, y que esta experiencia puedasertransmitidaaotrosparaconvertirseensupropiaexperiencia Elncleodelainvestigacindedesarrolloseencuentraenlaalternanciacclicaentre experimentospensadosyexperimentosenseados.Enelprimero,elinvestigadorintenta anticipar o prever cmo una actividad se desarrollar en la clase. Luego el investigador pondr a prueba el experimento pensado, en un experimento enseado. Mientras tanto, buscar evidencias que justifiquen refutarla o confirmarla, sin dejar de prestar atencin a nuevas posibilidades que se le presenten. Posteriormente, los resultados del experimento enseado alimentarn al siguiente experimento pensado, el cual ser seguido por otro experimentoenseadoyassucesivamente(verfigura2).Parapodercumplirconloanterior, elinvestigadordebetenerenmenteunprocesodeenseanzadelargaduracin.Esdecir,su objetivo no debe ser resolver un problema inmediato sino que debe impulsar un proceso iterativoyacumulativodediseo,experimentacin,reflexinyrediseoqueresultedeuna teoralocaldeinstruccin(Gravemeijer,1997).Comoejemplospodemosconsiderar:lalnea numrica,elcontextodelcolectivo,etc.(verpunto4.3.1). Existeunarelacinreflexivaentreestosexperimentosenseadosypensados(tericosy prcticos) en el micronivel, y la teora de instruccin local en la que estos experimentos se enmarcan. En este sentido es que se puede decir que los ciclos de enseanza matemtica sirvenaldesarrollocontinuodelasteoraslocalesdeinstruccin.Dadoquelosexperimentos enseadossubsecuentes son llevadosacabo conlosmismosalumnos, cada experimento de12

Traduccin de developmentalresearch.

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enseanza comienza con el residuo de los experimentos de enseanza precedentes (Gravemeijer,1997)Teoradeinstruccinlocalconjeturada

Experimentos pensados

Experimentos pensados

Experimentos pensados

Experimentos pensados

Experimentos pensados

Experimentos de instruccin

Experimentos de instruccin

Experimentos de instruccin

Experimentos de instruccin

Figura2:Reflexinentrelateoraylaexperimentacin(Gravemeijer,1997:23)

Laproduccindeunsoloexperimentodediseoesunateoralocaldeenseanza(de un tpico especfico). Una coleccin de teoras locales de enseaza forma la base para una teora ms amplia de la enseanza de dominio especfico. La teora de dominio especfico alternadamenteseretroalimentaeneldesarrollodelasteoraslocalesdeenseaza.Lateora globaloteoradedominioespecficoescentralizadaenmuchosprototiposquerepresentan teoraslocales(porejemplo,lateoralocaldeinstruccindefracciones,adicinysustraccin, algoritmos escritos, matrices, exponenciales). Es decir, la EMR es una constelacin de una teora global (cuyos pilares son: matematizacin progresiva, reinvencin guiada, modelos de/para,niveles,interaccin,reflexineintegracindelosejescurriculares)yunconjuntode teoras locales (para la enseanza del lgebra: Streefland y van Ameron; de las fracciones: Streefland; de las razones y proporciones: Broekman, van der Valk y Wijers; geometra De Moor, etc.). Estas teoras son dinmicas, abiertas al cambio. Nuevas demandas sociales, nuevosdesarrollostecnolgicosounaatencinalasnecesidadesdeunsubgrupoespecfico delapoblacinestudiantil(ej.lasminorastnicas),creanlanecesidaddeajustesloscuales sernllevadosacabopormediodelainvestigacindedesarrollo(Drijvers,2004). 1.4PrincipiosenquesebasalaEMR Ensuetapainicial(dcadadel70),eldiseocurriculardesdelaperspectivadelaEMR sesustentenlassiguientescaractersticas: El uso de contextos como vehculos para el crecimiento entre lo concreto y lo abstracto; Elusodemodeloscomolacolumnavertebraldelprogreso; Elusodelasconstruccionesyproduccioneslibresoabiertasdelosalumnosenlos procesosdeenseanza/aprendizaje; Elcarcterinteractivodelosprocesosdeenseanza/aprendizaje Elentrelazadodelosvariosejesenelcurrculodematemtica DeLange(1996)yFauzen(2002)remarcanqueestascaractersticasresultarondeuna combinacindelostresnivelesdevanHiele,lafenomenologadidcticadeFreudenthalyla matematizacinprogresivadeTreffers.

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DeacuerdoalateoradenivelesdevanHiele(citadoenDeLange,1996),elprocesode aprendizajeprocedeatravsdetresnivelesdelpensamiento.Unalumnoalcanzar: elprimerniveldelpensamientocuando,atravsdelaexperimentacin,lleguea establecercaractersticasfundamentalesdelobjetodeestudio(sinrelacionarlasentresi).Por ejemplo: en este nivel el alumno llega a establecer que un tringulo posee tres lados, que existen distintos tipos de tringulos segn la longitud de los lados o considerando la amplituddelosngulos,etc. elsegundonivel,tanprontocomoaprendaaestablecerinterrelacionesentreesas caractersticas (en este nivel puede encontrar que no existen tringulos equilteros rectngulos,oquetodotringuloequilteroesequingulo,oqueexisteunarelacinentrelos ladosylosngulosdeuntringulo,porejemplo);y el tercer nivel, cuando el alumno sea capaz de justificar esas relaciones o interrerelacionesapartirdesuspropiedadesydelusodelmtodomatemtico(Escapazde demostrarquesiuntringuloesequilteroentoncesesequingulo,oqueenuntringuloal ngulomayorlecorrespondeelladomayorolallamadapropiedadtriangular,etc.) UnadiferenciaimportanteentrelainstruccintradicionalylaEMResque,mientrasen laprimerasecomienzaatrabajardesdeelsegundootercernivel,laEMRempiezadesdeel primero(DeLange,1996).ParaDeLange,yenlneaconlasideasdeFreudenthal(1983),se debera comenzar con una exploracin fenomenolgica de los aspectos reales de los conceptos13 y estructuras matemticas en el primer nivel y continuar lentamente desde all hastalasoperacionesformalesenelsegundonivelyentonces,recinavanzarconeltercero (loquedesdelaEMRsedenominamatematizacinprogresiva). Treffers(enDeLange,1996)indicaquevanHiele,tantoensutrabajotericocomoen los resultados de los libros de textos, no responde completamente a las siguientes dos cuestiones: Cmodeberaserconcretizadalaexploracinfenomenolgica? Quaccionesdidcticassonnecesariasparaayudaralosalumnosapasardeun ciertonivelalsiguiente? DeLange(1996)subrayaqueladidcticafenomenolgicadeFreudenthal(1973,1983) responde la primera de las dos cuestiones anteriores. Freudenthal propone usar la realidad comounpuntodepartidaparalamatematizacindeacuerdoalostresnivelesdevanHiele, dandoasunaprimeraideaparaunmarcodelateoraeducacional.Parapoderresponderala segundacuestinfuenecesarioincluirlosaportesdeTreffers(1991). Treffersindicaquelasrelacionesentrelosaspectosdelaprendizajeydelaenseanza de la EMR forman un patrn complejo de principios de aprendizajeenseanza: (L1) el concepto de aprendizaje como reinvencin, (I1) comenzar con una base de orientacin concreta,(L2)lacaracterizacindelosdistintosnivelesenelaprendizaje,(I2)laprovisinde modelosquesirvendepuenteparaelpasodeunnivelalotro,(L3)elaspectoreflexivodelos procesos de aprendizaje, (I3) las producciones y construcciones libres o abiertas de los alumnos,(L4)elaprendizajecomounaactividadsocial,(I4)lainstruccininteractiva,(L5) el carcter estructural y esquemtico del aprendizaje y (I5) el entrelazado de ejes de contenidodeaprendizajedelamatemtica. Lafigura3muestracomoalgunosdelosprincipiosdelaEMRestnmsconectadosa laenseanzayotrosmsalaprendizaje,yladistincinyamencionadaenelpuntoanterior entreunateoraglobalyunateoralocalparadiferentesdominiosdecontenidos.13

Comoyasemencionaenlareferencia9,Freudenthalhabladeobjetosmentalesynodeconceptos.

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Teora generaldelaRME Que Como EnseanzaPrincipiodelarealidad Principiodeinterconexin Principiodereinvencin AprendizajePrincipiodelaactividad Principiodeniveles Principiodeinteraccin

Actividadhumanasignificativa Matematizacinhorizontalyvertical Bajoyaltoniveldehabilidades

Que Clculoconnmerosenteros

Teora localdelaRME Como Comprensindelosnmeroscomounabase Esquematizacinprogresiva Estrategiaconectadas Prcticaproductiva

Etc.

Etc. Figura3:DiseotericodelenfoquedelaEMR(HeuvelPanhuizen,2002)

1.4.1Principiodeactividad La filosofa educacional de la EMR, como se expresara anteriormente, se basa en la nocindeFreudenthaldelamatemticacomoactividadhumanacuyafinalidadesorganizar (matematizar)elmundoquenosrodeaincluyendoalapropiamatemtica(Freudenthal:1971, 1973,1991). Freudenthal (1971) explica que la matematizacin entendida como actividad de organizacinesunaactividadderesolucindeproblemas,debsquedadeproblemas,pero tambin es una actividad de organizacin de un tema. Esto puede ser un asunto de la realidadlacualtienequeserorganizadadeacuerdoapatronesmatemticossilosproblemas de la realidad tienen que ser resueltos. Tambin puede ser un tema matemtico, resultados nuevos o viejos, los vuestros o los de otros, los cuales tienen que estar organizados de acuerdo a nuevas ideas, para comprenderlos mejor, en un contexto ms amplio o por un enfoqueaxiomtico.(413414) ParaFreudenthalelobjetivoesmatematizarlarealidadcotidiana.Freudenthalveesto comounaactividadgeneralquecaracterizatantoalamatemticapuracomoalaaplicaday porlotantomatematizarinvolucramatematizartantolamatemticacomolarealidad. En la EMR matematizar involucra principalmente generalizar14 y formalizar15. Formalizarimplicamodelizar,simbolizar,esquematizarydefinir,ygeneralizaresentendidoGeneralizarimplicaparaFreudenthalunconceptodistintodetransferir.Cuandosehabladegeneralizaren la EMR no se entiende como la aplicacin de un procedimiento conocido a situaciones nuevas (esto sera aplicar o transferir segn su caracterstica de novedad para el alumno) sino que implica conectar varias situacionesreconociendocaractersticassimilaresquepermitenqueselasclasifiquedentrodeundeterminado tipo. Al mismo tiempo el proceso de solucin (abarcativo) puede ser estructurado y por lo tanto la generalizacin toma forma de una actividad de organizacin, como una forma de matematizacin (Gravemeijer,1994:104).Porejemplo,unavezquelosalumnossehanfamiliarizadoconlaflechadeparadas decolectivos,estasflechassontambinusadasendiferentessituaciones(verElColectivo;Brink,1974).Este contextoesdesarrolladoenelpunto4.3.1.2delcaptuloIV.Elprocesodegeneralizacinesacompaadopor14

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enunsentidoreflexivo.DadoqueparalaEMRsoncentraleslareflexinylajustificacin,el probarpierdeimportancia(Gravemeijer,1994). ParaFreudenthal(enGravemeijeryDoorman,1999)lamatematizacinesunproceso claveenlainstruccinmatemticapordosrazones:primero,lamatematizacinfamiliarizaa losalumnosconunacercamientomatemticoalassituacionesdelavidadiaria.Gravemeijer (1994) se refiere con lo anterior a la actividad matemtica de bsqueda de problemas, que implicaunaactitudmatemtica,comprendersabiendolasposibilidadesylaslimitacionesde un enfoque matemtico, saber si la solucin hallada es la apropiada y cuando no lo es. La segunda razn est relacionada a la idea de la reinvencin. Freudenthal argumenta que el proceso por el cul los matemticos llegan a sus conclusiones es invertido en el enfoque axiomticodelainstruccin.Elserefiereaestefenmenocomoinversinantididctica,la cual se debe a la falsa premisa de que el pensamiento matemtico puede ser trasmitido directamente a los alumnos. El punto final en las matemticas no debera ser punto inicial paralaenseanzadelasmatemticas. 1.4.2Principioderealidad DesdelaperspectivadelaEMR,aprendermatemticassignificahacermatemticas,una actividad mental reflexiva (Freudenthal, 1991) en la que resolver problemas situados16 en contextos realistas, en el sentido de realizables o imaginables, es central a la tarea de matematizacin. Sin embargo, la palabra realista, no se refiere slo a la conexin con el mundoreal,sinoquetambinserefierealassituacionesproblemticasquesonrealesenla mente de los alumnos (HeuvelPanhuizen, 2001). El contexto de los problemas a ser presentadosalosalumnospuedeserdelmundoreal,peroestonoesnecesariamentesiempre as(Zulkardi,2005). Segn HeuvelPanhuizen (2002), la confusin que existe con la palabra realista se origina con la traduccin del verbo imaginar que en holands es zich REALISEren. El nfasispuestoenhaceralgorealenlamenteesloqueledaelnombrealaEMR.Elmundo fantstico de los cuentos de hadas y el mundo formal de las matemticas pueden ser contextos convenientes para un problema, mientras sean reales en la mente del alumno. Aunqueinicialmenteloscontextoselegidosenlosproblemascorrespondernaunasituacin delavidacotidiana,esnecesarioqueposteriormentesedesprendandeestaparaasadquirir uncarctermsgeneral,osea,paratransformarseenmodelosmatemticos. 1.4.3Principiodeniveles Comoyahemosmencionado,lassituacionesdelmundorealoproblemascontextuales sirven de punto de partida para aprender matemtica. Con el tiempo, estas situaciones significativas son matematizadas para formar relaciones ms formales y estructuras abstractas(procesoqueenlaEMRdenominaronesquematizacinprogresiva,desdeelpunto

unaciertaformalizacindellenguaje.Lasmarcasquerepresentanlossignosdelaparadadesaparecenylas flechasnosonmsinterpretadascomoeventosdelaparadadeloscolectivos(Gravemeijer,1994). 15 La formalizacin concierne al proceso de cambio desde el lenguaje cotidiano al lenguaje formal de las matemticas.Enelcasodeloscolectivosdelaciudad,primeroelnmerodepasajerosfuerepresentadoenun lenguajeordinario,yposteriormenteseincluyensignosdelasparadasdelcolectivoyunalneadecolectivoso cadenadecolectivos.Elcambioessubsecuentementeesquematizadocomounlenguajedefechadesnuda. Unavezquelosalumnossefamiliarizaronconelsignoigual,ellosestnenposicinparamanejarunlenguaje formal en el cual ha desaparecido hasta la ltima referencia visible a los eventos o situaciones dinmicas. Ahoraellenguajeformalestambinadecuadoparaladescripcindesituacionesestticas(Gravemeijer,1994). 16 Los trminos situado y situaciones se usan en un sentido restringido, refiriendo al tipo de situaciones dondelosalumnosdesarrollanestrategiasinformales;comoporejemplo,situacionesquesonpersonalmente significantesparalosalumnos.

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de vista del observador, y reinvencin guiada, desde el punto de vista del alumno; Freudenthal, 1991). Lo anterior significa que los alumnos atraviesan distintos niveles de comprensin, desde un nivel de razonamiento matemtico msinformala uno ms formal. Este punto lo desarrollaremos con ejemplos concretos en el Captulo IV. En el proceso anteriorsedistingueelusodemodeloscomopuentesdeconexinentrelosdistintosniveles decomprensin.Paracompletaresteprincipiodeniveles,asuvez,seretomarladistincin entrematematizacinhorizontalyvertical(Freudenthal,1991yTreffers,1987). 1.4.3.1Matematizacinhorizontalyvertical Dentro del proceso de matematizacin horizontal, los alumnos generalizan herramientas matemticas, las cuales los ayudan a organizar y a solucionar una situacin problemtica presentada dentro de un contexto de la vida real. Identificar o describir la matemticaespecficaqueesrelevantedentrodeuncontextogeneral,esquematizar,formular y visualizar un problema de diversas maneras, descubrir relaciones y regularidades, reconocer un aspecto isomorfo en diversos problemas son ejemplos de actividades de matematizacin horizontal. Para Treffers (1987) lo anterior implica convertir un problema contextualenunproblemamatemtico. Lamatematizacinverticaleselprocesodereorganizacindentrodelmismosistema matemtico.Representarunarelacincomofrmula,probarregularidades,mejorar,ajustar, combinareintegrarmodelos,formularunmodelomatemticoygeneralizarsonejemplosde lasactividadesdematematizacinvertical.Porestaraznsedicequelamatemticavertical estomarunasituacinmatemticayelevarlaaunnivelmsaltodeabstraccin.Alproponer en la clase problemas que admitan soluciones en diferentes niveles matemticos, se puede inducir a los alumnos a realizar este tipo de matematizacin vertical (Freudenthal, 1991; GravemeijeryTerwel,2000). Freudenthal(1991)explicaquelamatematizacinhorizontalimplicairdelmundodela vida al mundo de los smbolos, mientras que la matematizacin vertical significa moverse dentro del mundo de los smbolos matemticos. l agrega a su vez que la diferencia entre estos dos mundos no es siempre clara, sus fronteras estn vagamente marcadas. Lo cual provoca una dificultad debido a que no es fcil determinar lo que uno comprende por realidad. Elcontextodelautobsocolectivodedospisos(Brink,1989)permiteejemplificarlos dos tipos de matematizacin arriba mencionados. Se trata de una historia acerca de colectivos de dos pisos el cual se hace real en el aula mediante puestas en escena. La matematizacin horizontal se har presente cuando los alumnos comiencen a trabajar los diagramas y dibujos del colectivo (modelos iniciales de este contexto) y, en particular, las posiblesdistribucionesdepasajerosenlosdospisos.Estopermitequeenlainstruccinenlos gradosinicialessetrabajecondobles(porejemplo,14pasajeros,7arribay7abajo)yconlas distintas maneras de estructurar un nmero dado. Por otro lado, estaremos transitando el procesodematematizacinverticalcuando,despusdelusofrecuentedelosdiagramasdel colectivo dedoble piso, ste se descontextualizay comienzaafuncionar como modelo para argumentacioneslgicasacercadelasrelacionesnumricas.(Gravemeijer,1994).Lafigura4 ilustra cmo al principio el relato est conectado al contexto del colectivo de dos pisos (a), despuslailustracinseesquematizadetalmaneraquesloapareceelnmerodepasajeros decadaunodelospisosdelcolectivo(b)yfinalmentesellegaaunaexpresinconnmeros puros(c).

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a

b c

Figura4:elcolectivodedospisos(obtenidodeloslibrosWisenReken,EditorialBekadidact)

Estecontextoayudaatrabajarlapropiedaddelasuma.Altrabajarconestecontexto, losnioscomprendenqueunnmerodepasajerospuedeserorganizadoenunnmerode pasajeros que se ubican en el piso superior del colectivo, que denominaremos x, y un nmero de pasajeros que se queda en el piso inferior, que denominaremos y, pero que tambinpuedeserposibleelcasoinverso.Lapropiedadconmutativaseharvisiblecuando el contexto es interpretado como una adicin que involucra a x e y. Es decir cuando el educandoresuelvex+ypormediodey+x. 1.4.3.2LosmodelosparalaEMR Dentro de la EMR, los modelos son vistos como representaciones de situaciones problemticas que necesariamente reflejan aspectos esenciales de conceptos y estructuras matemticasquesonrelevantesparalasituacinproblema,peroquepuedentenerdiferentes manifestaciones. Pueden servir como modelos los materiales, situaciones paradigmticas, esquemas,diagramas,smbolos,etc.(HeuvelPanhuizen,2003) Como dicen Gravemeijer y Doorman (1999; citado en Cachafeiro, 2003), la enseanza de la matemtica debiera tender a superar la dicotoma entre el conocimiento formal e informaldemaneraquelosalumnosveanalconocimientoqueadquierencomopartedesu propioconocimientopersonaldelquesonresponsablesyesenestesentidoquelosmodelos delaEMRsonpensados. En el punto 4.3.1 del Captulo IV explicaremos el uso de varios modelos muy trabajadosenlaEMR,comoporejemplo:elcollar(queesunmaterialfsico),elcolectivo(que esunasituacinparadigmtica)olalneanumricaabierta(queesunesquemanotacional)17. 1.4.3.3Losdiferentesnivelesdecomprensinquepuedeatravesarunalumno En la figura 5 se esquematizan, a la izquierda, los diferentes niveles de comprensin que puedenatravesar losalumnos. Elprimer nivelestasociado con actividades de la vida cotidiana,quenoincluyetrabajosescritosporpartedelosalumnos.Losalumnosintroducen suconocimientoyestrategiassituacionalesylasaplicanenlasituacin.Porejemplo,sepuede considerarelcontextoyamencionadodelcolectivodedospisos.Elsegundonivelsealcanza cuando la misma suma de pasajeros es presentada como una tarea escrita y la suma es modelada de forma escrita. Para resolver el problema, los alumnos crean un modelo de la situacin:enestecaso,porejemplo,lafigura4bpuedeserconsideradacomounmodelodelo que pasa en el colectivo de doble piso. En el contexto del colectivo igualmente aparece implcitoelprocedimientodesolucin.Eneltercernivel,elfocodeatencinyreflexinpasa aserlasestrategiasusadasdesdeunpuntodevistamatemticoysellegaaunmodeloms general y descontextualizado, el cual puede servir para organizar matemticamente otras situacionesdesumatransformndoseenunmodelopara.Altrabajarenestenivel,elalumno slo trata con nmeros (figura 4c), sin pensar en la situacin al buscar, por ejemplo, como

17 Clasificacin obtenida de Bressan, Zolkower y Gallego (2005). El colectivo, por ejemplo, es una situacin paradigmticasegnlaclasificacindeestasautoras.

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hacer ms sencilla la suma y resolverla casi automticamente. Finalmente, el ltimo nivel consisteenelalgoritmoescritoconlaformaestndardelasuma. En el enfoque realista se busca que los alumnos construyan los modelos por ellos mismos, en interaccin con sus pares y bajo la gua del docente, durante la resolucin de problemas18 y que esos modelos sirvan como base para el desarrollo del conocimiento matemticoformal.Lanocindemodeloincluyemodelossituacionalesymatemticos19.Por ejemplo,lasustraccinrepetidapuedeservistacomounmodeloenladivisinlarga. Formal Conocimientoformal yentrminos Modelopara General msgenerales Modelode Referencial Situaciones Situacional

Figura5:Losnivelesdecomprensin(Gravemeijer,1994)

Losnivelesdecomprensintambinpuedenserdescritosentrminosmsgenerales, comomuestralapartederechadelafigura5: elniveldelasituacinendondeeldominioespecfico,conocimientosituacional yestrategiassonusadasdentrodelcontextodelasituacin; el nivel referencial en donde los modelos y estrategias refieren a la situacin esquematizada en el problema. Este nivel incluye los modelos, descripciones, conceptos, procedimientosyestrategiasqueserefierenasituacionesconcretasoparadigmticas; el nivel general en donde lo que domina la referencia al contexto es un foco matemtico sobre las estrategias. Como resultado de la generalizacin, exploracin y reflexin, el nivel anterior se desarrolla reflexionando acerca de las estrategias ms dominantesysuscaractersticas; el nivel formal en donde uno trabaja con procedimientos estndares y notacin convencional.Elnivelgeneralfuncionacomoelnivelreferencialparaelnivelformal,donde elnivelformalpuedeservistocomounaformalizacindelnivelgeneral. Un requerimiento importante para que los mismos funcionen de la manera aqu descripta, es que estn enraizados en situaciones concretas y que adems sean lo suficientemente flexibles como para ser altamente utilizables en niveles ms altos en las actividadesmatemticas.Estosignificaquelosmodelosproveernalosalumnosdeunabase duranteelprocesodematematizacinvertical,sinobstruirelcaminoderegresoalafuente (HeuvelPanhuizen,2002).

AqusepuedesealarunaimportantediferenciadelaEMRconelenfoqueestructuralista,dadoquepara lossegundoslosmanipulables(omaterialdidcticoconcreto)sonpresentadoscomomodelospreexistentes. Aunqueenunprimermomentolosmodelosconstituyeronunpuntodepartidaconcretoparaeldesarrollode la matemtica formal, no se hacen explcitas las conexiones con el conocimiento informal del alumno (Gravemeijer,1994). 19 Otradiferenciaconelenfoqueestructuralistaesquelapalabramodeloserefiereamodelosconcretostales comomanipulablesydiagramas(Gravemeijer,1994).18

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1.4.4Principiodereinvencinguiada Ya hemos mencionado que las estrategias informales de los alumnos pueden frecuentemente ser interpretadas como anticipadoras de procedimientos ms formales. En general, uno necesita encontrar problemas contextuales que brinden una variedad de estrategias de solucin, lo cual permitir a los alumnos comparar y explicar sus soluciones dando lugar a discusiones relacionadas sobre la conveniencia y eficacia de las mismas, prefiriendounaposiblerutadeaprendizajehaciaunprocesodematematizacinprogresiva (GravemeijeryDoorman,1999) Asuvez,eltrabajoconproblemasquesonsimilaresentreellosofrecelaoportunidad para el proceso de reinvencin. La resolucin de un problema similar a otro ya antes realizadoinduceaesteproceso.Ladescripcindelproblemadalugaralusodeunlenguaje informal,elcualevolucionaaunlenguajemsformalyestandarizadodebidoaunproceso desimplificacinyformalizacin(Gravemeijer,1994).Enlafigura6podemosverelproceso de reinvencin; proceso de aprendizaje por medio del cual el conocimiento matemtico formalensmismopuedeserreconstruido. conocimiento matemtico formal lenguaje matemtico algoritmo

resolver

describir

problemas contextualesFigura6:Representacinesquemticadelprocesodereinvencin(Gravenmeijer,1994:94)

ParaFreudenthal(1991:9)elprocesodereinvencinguiadaes: unbalancesutilentrelalibertaddeinventarylafuerzadeguiar Los alumnosdeberan serinvitadosa producir de forma concreta. DeLange (1995) enfatizaelhechodequelasproduccioneslibresfuerzanalosalumnosareflexionarsobrela trayectoria que ellos mismos han realizado en su proceso de aprendizaje. Los alumnos pueden,porejemplo,serinvitadosescribirunensayo,hacerunexperimento,recogerdatosy a dibujar conclusiones, disear ejercicios que puedan ser utilizados en otra evaluacin o a disear una prueba para otros compaeros en el aula (Zulkardi, 2005). Las producciones librespuedentambinformarparteesencialenlasevaluaciones.Estepuntoserampliadoen elCaptuloIV. 1.4.5Principiodeinteraccin La interaccin entre los alumnos y entre los alumnos y los profesores es un aspecto esencialenladidcticarealista(DeLange,1996,Gravemeijer,1994).Lanegociacinexplcita, laintervencin,ladiscusin,lacooperacin,ylaevaluacinsonelementosesencialesenun proceso de aprendizaje constructivo en el cual los mtodos informales del estudiante son

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usados como una palanca para alcanzar los formales. En esta instruccin interactiva, los estudiantessonestimuladosaexplicar,justificar,convenirydiscrepar,cuestionaralternativas yreflexionar. DentrodelaRME,laenseanzadelamatemticaesconsideradaunaactividadsocial y,comoyahemoscomentado,alosestudiantesdeberadrseleslaoportunidaddemostrar susestrategiaseinvencionesaotros.Alescucharyobservarloqueotroshandesarrolladoy discutirlasdistintasmanerasderesolverunproblema,selespermitetomaralgunasdeesas ideasparamejorarnaturalmentesusestrategias.Estainteraccinentreellospuedeprovocar queellosreflexionenyaspuedanalcanzarnivelesmsaltosdecomprensin. CuandoenlaRMEnosreferimosalaclasecompleta,noestamosdiciendoquetodos losestudiantesprocedancolectivamentearesolverunproblema,siguiendolamismasenday alcanzando el mismo nivel de desarrollo al mismo tiempo. En la RME los chicos son considerados como individuos, cada uno sigue una senda de aprendizaje individual. Contrariamenteaotrosenfoques,enlaRMEseintentamanteneralgrupodealumnosjuntos no buscando separarlos en pequeos grupos de trabajo de acuerdo a sus habilidades y adoptando problemas que puedan ser resueltos en los diferentes niveles de comprensin (HeuvelPanhuizen,2002).Esms,laRMEproponequelomejorparaposibilitarprocesosde matematizacinprogresiva/reinvencinguiadaestrabajarenclasesheterogneas,estoes,con gruposdealumnosqueposeandistintoniveldehabilidades(Freudenthal1991). 1.4.6Principiodeinterrelacinointerconexin Lafuerteinterrelacindeloscontenidosdevariosejesounidadesdelasmatemticas esotroaspectoesencialdelaEMR(DeLange,1996;Gravemeijer,1994).Estoimplicaquelos ejes de contenidos de aprendizaje no pueden ser tratados como entidades separadas; el entrelazado de los contenidos de varios ejes de aprendizaje debe ser incluido en las situacionesproblemticas.Usualmentepararesolverunproblemaunonecesitamsqueslo estrategias propias del lgebra o de la geometra. El permitirle a un alumno desarrollar sus propias estrategias hace que mientras algunos resuelvan un problema de una manera geomtrica, otros lo hagan de una forma aritmtica. El mundo actual exige que un alumno puedaprepararsearesolverunproblemadesuentornodemanerascadavezmsingeniosas. ParaFreudenthal(1991)lainterrelacinentreejesdebedarsetanpronto,tantotiempoytan fuertementecomoseaposible. EnelcaptuloIIsehahechohincapienelorigendelaEducacinMatemticaRealista, porquFreudenthalysugrupodeinvestigacinfueroncrticosalaMatemticaModerna,los principiosenlosquesebasalaEMRylosresultadosquesehanobtenidoenlneasgenerales. Sinembargo,parapodercomplementarlacomprensinquefundamentalaEMRenlosPases Bajos, es necesario comentar las caractersticas del sistema educativo vigente en Holanda. Primeramenteseharunapresentacingeneral,detodoslosniveles,yluegosecomentarla enseanzadelamatemticaenlaescuelaprimariaholandesa.Estoayudaraconocermejor elmbitoenquesetrabajaconelenfoquedelaEMR.

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CaptuloII:ElsistemaeducativoenHolanda

CAPTULOIIElsistemaeducativoenHolanda2.1OrganizacingeneraldelsistemaeducativoenHolanda 2.1.1Educacinobligatoriaygratuita En los Pases Bajos la educacin es obligatoria para todos los nios cuyas edades estn comprendidas entre los 5 y 1718 aos, aunque segn la edad se presentan diferencias en el nmero de horas obligatorias de asistencia. Para los chicos cuyas edades estn comprendidas entre 5 y 16 aos es obligatoria la jornada completa, mientras que a los 1718 aos slo es obligatorialamediajornada.Igualmente,comosevermsadelante,estodependedeltipode educacinsecundaria. La educacin es gratuita desde los 4 y hasta los 16 aos (momento en que finaliza el periodo de jornada completa obligatoria). Actualmente el porcentaje de participacin de alumnos en la educacin secundaria es de alrededor del 100% (Die, 2001) Igualmente las escuelas pueden pedir que los padres contribuyan con el coste de ciertas actividades actividades deportivas no obligatorias, visitas, material ldico, etc. pero tales contribuciones son voluntarias y no pueden ser causa para impedir la admisin de un estudiante. Quedan exceptuadas las escuelas denominadas internacionales para la poblacin de origen no holands1.Cuandounalumnosuperalos16aos(oconcluyeel4aodeeducacinsecundaria) pasaapagarunamatrculaobligatoriaquedeterminaelMinisterio.Esdecir,losalumnosque siganestudiandoparapoderingresaralauniversidad,luegodecumplir18aos,olosalumnos queasistenalaescuelaespecial,entreotros,debenpagarunmontoqueseajustaanualmenteen basealndicedecostodevida.Porejemplo,loshonorariosporelaoescolar2004/2005paraun alumnoconmsde16aossefijen936euros(quedebeserabonadoenlamismainstitucina laque elalumno asiste) y en 1550 euros paraunalumno que asiste aun niveleducativo ms alto. EnHolandaaproximadamenteel70%delaschicasyel63%deloschicosnohanrepetido nuncaenlosaosdeeducacinobligatoria. 2.1.2Niveleseducativos 2.1.2.1Educacinpreprimaria(anterioralos4aos) ElPasesBajosnoestprevistaunaeducacinformalparalosniosmenoresde4aos (edad en la que pueden empezar la escuela primaria). Sin embargo, fuera del sistema de educacinformalhayinstalacionesespacialmentepreparadasparaelcuidadodelosniosms pequeos.Dichoscentrossontambinasequiblesparalosniosenedadescolar. Todoslosdas,msde300.000niosutilizandichasinstalacionesenmsde3.500centros distribuidosentodoelpas2.Loscostossonabonadosporlospadres,empleadoresyelEstado (aunque ltimamente los cambios en las polticas sociales han disminuido considerablemente lasayudasporpartedeesteltimo).SehaconvertidoenunapolticadeEstadoelincrementar la disponibilidad de estos establecimientos y mejorar la calidad de los mismos, dado que permitequelospadressesientansegurosypuedancombinarlapaternidadconsuvidalaboral.

Estasescuelasserigenporlasleyesdesupasdeprocedenciaynoesobligatorialaenseanzadelalengua holandesa. 2 Datoscorrespondientesal2004obtenidosdelEurydice.1

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CaptuloII:ElsistemaeducativoenHolanda

Lassiguientesopcionessonlasqueactualmenteestndisponibles: Guarderasinfantilesdedaparachicosentre6mesesy5aos(llamadascrche), Nieras,y Centrodecuidadoelegidoporelempleador. Las Guarderas infantiles de da estn abiertas de lunes a viernes desde las 8.00 a las 17.00,salvoalgunasexcepciones.Lasmismassonunserviciocarsimo.Generalmentehaydos personastituladasporgrupodenios(elnmerodeniosporgrupodependedelaedaddelos mismos).Tambinhayguarderasinfantilesdemedioda.Aunqueloshorariosydasparecen seramplios,noesaslaposibilidaddequeunoconsigaunaplazadejornadacompletapor8 horas o de media jornada, 4 horas. Al 4to 6to mes de gestacin, los padres comienzan a movilizarse para conseguir alguna plaza en una de estas guarderas, pero recin sern notificados de haber sido aceptados un mes antes de terminrsele a la madre la licencia materna. Esto genera momentos de angustia, dado que las opciones cercanas al domicilio o lugardetrabajosonmuypocas. Lasnierascuidanalosniosensuspropiascasasysuelenserencontradaspormedio de agencias especializadas. Cuidan a chicos de entre 6 semanas y 4 aos, 8 horas por da y desdelos4alos12aos,hasta5horasporda. Loslugaresdecuidadofinanciadosporelempleador(grandesempresas,universidades, etc.) son previstos para los hijos de los empleados. Ellos pueden ofrecer centros de cuidado internosallugardelempleadororeservandolugaresenguarderasinfantilessubsidiadasyno subsidiadas.Loscostosdeestosserviciossonigualmentealtsimosoequivalentesalosqueno cuentanconstafacilidad. Porsupuestotambinexistelaposibilidaddequelosniosseancuidadosporunamigo opariente(aunquesloocurreenrarsimasexcepciones). Aunquelaeducacinprimariarecinesobligatoriaalos5aos,laraznprincipalpara quelospadresnoesperenaesaedadsedebealadiferenciadecostosentrelamismaylacrche (el98%comienzalaescuelaprimariaalos4aos9).Estaltimatienecostosaltsimos(msde 1.100 euros la jornada completa de 8 horas por 4 das). Lo anterior motiva a que sea muy habitualquelospadresoptenportrabajar4dasalasemanac/uyasslonecesitenpagartres jornadas en la crche. Es muy difcil y carsimo conseguir cubrir las 5 jornadas completas, puestoque,antelafaltadevacantes,seconsideraqueelpadreolamadredebenhacersecargo desushijosporunoodosdas.Estesistemafuncionaporqueladificultadporconseguiruna vacanteyloscostossontenidosencuentaporlosempleadoresyelpersonalintentaadaptarse de manera de conseguir que todos puedan cuidar a sus hijos, sin dejar de trabajar para ello. Muchasmujerestrabajan3jornadascompletaso5mediasjornadashastaqueloschicosentrena lo escuela bsica cuando un matrimonio quiere tener ms de un hijo. Dado que tampoco uno puede conseguir fcilmente que su hijo se quede ms de 8 horas por da en la crche, nadie puede obligar al empleado a trabajar despus de su horario (para terminar de hacer alguna tareaantesdevolverasucasaotrabajarhorasextras).Sesabequeesresponsabilidaddelpadre ir a buscar a su hijo y que tampoco podr dejrselo a otra persona. La madre y el padre compartenlasresponsabilidadesyobligaciones.Cuandounnioseenferma,sumadreopadre deben turnarse para cuidarlo y pedirse las vacaciones necesarias cuando las licencias no sean suficientes. En los Pases Bajos no existe, salvo en las poblaciones de inmigrantes, la idea de la abuela/oquenosotrosconocemosenArgentinayenAmricaLatina.Losabueloscumplenun rolmuydistanteynosuelenencargarsedelcuidadodesusnietos(salvosituacionesespeciales). Ellostienensupropiavidaysusactividadespersonales:viajes,aprendernuevosidiomas,hacer trabajos sociales, hacer deporte, etc. Es por eso que las familias tipo estn formadas por el

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matrimonioyloshijosdeelloshastaquecumplanlaedadparaindependizarse(cercadelos18 20aos).Elgobiernocuentaconpropiedadesquepermitenquelosjvenesconsiganunlugar dondeviviryseindependicendelospadressinnecesidaddeformarunafamilia. En los Pases Bajos, tendencia que es comn en toda Europa Occidental, la edad de concepcin del primer hijo supera los 27 aos (salvo en poblaciones inmigrantes). El Estado tiene una fuerte poltica de concepcin responsable y existen muchos planes para evitar embarazosnoqueridos(enlasescuelasseenseaeducacinsexualobligatoriamentedesdelos6 aos,laobrasocialcubreloscostosdelosmtodosanticonceptivos,etc.)ylasociedadimpulsa alosjvenesaquenoseapurenentomarunadecisinqueimplicargrandessacrificiosdela pareja. Un ejemplo claro de lo mencionado, es que es prcticamente imposible ver a una adolescenteojovenmujerembarazada(salvoengrupostnicosminoritarios). Enjuniodelao2000,elMinistrodeEducacin,CulturayCiencia,elMinistrodeSalud, Bienestar Social y Deporte y el Ministerio de polticas urbanas y de integracin de minoras publicaron una carta sobre las polticas en la educacin preescolar (VVE). En dicha carta brindanunaideageneralsobrelaspolticasdelgobiernoylistanmedidasconcretasatrabajarse afuturo.Unadeesasmedidasproponeempezaraguiaralosniosqueestnensituacinde riesgo, cuyas edades estn comprendidas entre los 2 y 5 aos, y que por dicha causa en un futuro tendrn una desventaja educativa. En Holanda el 10% de su poblacin es de origen extranjero. Se estn revirtiendo el sistema de escuelas especiales para chicos de padres no holandeses dado que se demostr que este tipo de polticas no favorece la integracin social, sino todo lo contrario. En estas escuelas los chicos reciban una instruccin en su lengua materna,ademsdecumplirunhorarioendondesehablabaholands. 2.1.2.2EducacinprimariaBas