Matemática / 6° año A / Profesor Oscar Paes Rodriguez
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Colegio José Hernández / Plan de Continuidad Pedagógica - SEGUNDA PARTE.
Matemática / 6° año A / Profesor Oscar Paes Rodriguez
Definición:
Los números complejos son expresiones ( a bi ), donde a y b son números Reales.
El número a se llama parte Real.
El número b se llama parte Imaginaria.
Casos especiales:
Real puro: son aquellos complejos cuya parte imaginaria es nula, es decir 0Z a i
Ejemplo: 𝑍 = 3 + 0𝑖, es lo mismo que decir 𝑍 = 3
Imaginario Puro: Cuando la parte nula es la Real, es decir 0Z bi , ejemplo: 𝑍 = 0 − 3𝑖, que es lo
mismo que decir 𝑍 = −3𝑖
Complejo cero: Son nulas ambas partes, es decir 0 0Z i
Conjugado de un número complejo: 𝑠𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑖𝑧𝑎(�̅�)
Se llama conjugado de Z a bi al número definido por Z a bi (se cambia el signo a la unidad imaginaria)
Es decir, el conjugado de 3 4Z i es 3 4Z i
Opuesto de un número Complejo: Se define el opuesto de un complejo Z a bi como el número complejo
Z a bi se simboliza Z , ejemplo: 𝑍 = 2 + 5𝑖, el opuesto es 𝑍 = −2 − 5𝑖
La unidad imaginaria:
Llamamos unidad imaginaria ( i ) de un complejo al número 1
1i 2
2 1 1i
Con la unidad imaginaria se pueden realizar operaciones, como si se tratara de la variable x de los
polinomios.
Teniendo en cuenta que:
Modulo y argumento de un complejo:
El módulo de un complejo Z a bi es la longitud del vector posición, desde el origen hasta las
coordenadas del punto en cuestión.
Se designa entre barras z a bi y se calcula con el teorema de Pitágoras: 2 2Z a bi Z a b
El Argumento de un complejo Z a bi , es el ángulo que forma el eje X con el vector posición de Z.
Se calcula mediante la expresión:𝑍 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ⟹ (𝛼) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑏
𝑎), se lee: arco tangente de b sobre a
Calcular el módulo y el argumento de 𝑍 = 3 + 2𝑖
Módulo |𝑍| = √𝑎2 + 𝑏2√32 + 22 = √13
Argumento (ángulo)
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (2
3) en la calculadora apretar las
teclas de
𝛼 = 33,69006753 este resultado está en forma
decimal, entonces apretamos la tecla
𝛼 = 33°41´24,24´´
Operaciones Básicas:
Suma y resta de números complejos: Para sumar dos números complejos tenemos que sumar
por separado las partes reales y las partes Imaginarias.
Multiplicación: Para multiplicar Complejos, se aplica la propiedad distributiva como si se tratara de
números Reales o expresiones algebraicas, teniendo en cuenta que 2 1i
División: Para dividir un número complejo por otro número complejo, se debe multiplicar al numerador y al
denominador del cociente por el conjugado del denominador
Ejemplos:
𝑍1 = 2 − 3𝑖 𝑍2 = 4 + 5𝑖 𝑍3 = −3 + 2𝑖
𝑍1 + 𝑍3 = (2 − 3𝑖) + (−3 + 2𝑖)
(2 − 3) + (−3𝑖 + 2𝑖) parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria
−1 − 1𝑖
𝑍2 − 𝑍1 = (4 + 5𝑖) − (2 − 3𝑖)
(4 − 2) − (5𝑖 − 3𝑖)
2 − (2𝑖)
2 − 2𝑖
𝑍3. 𝑍1 = (−3 + 2𝑖). (2 − 3𝑖) hacemos distributiva
(−3). 2 + (−3). (−3𝑖) + 2𝑖. 2 + 2𝑖. (−3𝑖)
−6 + 3𝑖 + 4𝑖 − 6𝑖2 recordar que 𝑖2 = −1
−6 + 7𝑖 − 6. (−1)
−6 + 7𝑖 + 6
0 + 7𝑖
𝑍1: 𝑍3 =𝑍1
𝑍3=
2−3𝑖
−3+2𝑖.
−3−2𝑖
−3−2𝑖 multiplicamos por el conjugado de denominador 𝑍3 = −3 + 2𝑖 |𝑍3| = −3 − 2𝑖
hacemos distributiva
−6−4𝑖+9𝑖+6𝑖2
9+6𝑖−6𝑖+4𝑖2 =−6+5𝑖+6.(−1)
9+4.(−1)=
−6+5𝑖−6
9−4=
−12+5𝑖
5= −
12
5+
5
5𝑖 = −
12
5+ 1𝑖
shift tan 23⁄
° ´ "
Formas de expresar un complejo:
Forma Binómica: Z a bi
Forma Vectorial o cartesiana: ( ; )Z a b
Forma Polar: Z Z
Forma Trigonométrica: . .Z Z Cos i Sen
Ejemplo:
Forma binómica: 𝑍 = 4 + 3𝑖
Forma vectorial o cartesiana: 𝑍 = (4; 3) sin la letra 𝑖
Para las siguientes dos formas precisamos saber el módulo y el argumento del complejo
Módulo |𝑍| = √𝑎2 + 𝑏2
|𝑍| = √42 + 32 = √25 = 5
Argumento 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑏
𝑎)
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (3
4)
𝛼 = 36.86989765
𝛼 = 36°52´11,63´´
una vez que tenemos estos dos datos procedemos a expresar al complejo en las otras dos formas que faltan
Forma polar:536°52´11,63´´
Forma trigonométrica: 5. [cos(36°52´11,63´´) + 𝑖. 𝑠𝑒𝑛(36°52´11,63´´)]
Bloque Temático: NÚMEROS COMPLEJOS
Link de apoyo: https://www.youtube.com/watch?v=LqyBrrgmIro;
ACTIVIDAD 001
Hallar el valor de cada una de las siguientes raíces.
a. 9 b. 100 10𝑖 c. 1 b. 3 8
ACTIVIDAD 002
Unan con una flecha cada número complejo con su expresión binómica.
(−1; 1) −𝑖
(−1; 0) 1 + 𝑖
(1; −1) −1 − 𝑖
(1; 1) −1
(0; −1) 1 − 𝑖
−1 + 𝑖
ACTIVIDAD 003
Completar la siguiente tabla.
Número
Complejo
Expresión
Binómica
Expresión
Cartes iana
Expresión
Binómica del
Opuesto
Expresión
Binómica del
Conjugado
Z 14 41i (14; −41) −14 + 41𝑖 14 + 14𝑖
W 6 2i
U 4 i
V 123i
T 15;0
S 3
A 2. 1i
B 11; 13
C 2 445i
D 12i
ACTIVIDAD 004
Escriba la expresión binómica correspondiente a cada uno de los siguientes
números complejos
𝑧1 = −2 + 5𝑖
𝑧2=
𝑧3=
𝑧4=
𝑧5=
𝑧6 = 0 − 2𝑖
𝑧7=
𝑧8=
ACTIVIDAD 005
Escriba la expresión cartesiana correspondiente a cada uno de los siguientes
números complejos.
𝑧1=
𝑧2=
𝑧3=
𝑧4 = (1; −1)
𝑧5=
𝑧6=
𝑧7=
𝑧8 = (0; 5)
ACTIVIDAD 006 Link de apoyo:
https://www.youtube.com/watch?v=nudZJB-wQGk;
https://www.youtube.com/watch?v=dhqYIyCD7rQ
Dados los siguientes números complejos…
...calcular:
a. 1 10Z Z b. 9 2 4Z Z Z c. 9 8Z Z
d. 5 1Z Z e. 3 4.Z Z f. 3 5 82. 3 6.Z Z Z
g. 2 110.Z Z h. 5 5Z Z i. 1 2 3.Z Z Z
i2Z1
i210Z2
523 3Z i )5(Z
4 5 1 10Z i
i612Z6
i2Z7
i15Z8 i26Z
9 i311Z
10
j. 8 3 4Z Z Z k. 82. 4Z i l. 9 92. 2.Z Z
m. 3 5
1. 5.
5Z Z n. 9 1 72. 2. 2.Z Z Z o. 4 8 1. .Z Z Z
ACTIVIDAD 007 Link de apoyo:
https://www.youtube.com/watch?v=C_VQmF6sc08;
https://www.youtube.com/watch?v=NEVNJ3ryQ7U
Resuelva los siguientes productos notables.
a. 2 13 . 2 13i i b. 2
2 6i c. 2
1 29i
d.2
15
2i
e.
32 i f.
2 4 2 4.
3 7 3 7i i
g. 3
3 2i h. 11 2 . 11 2i i i. 2
10 10i
j. 3
5 2i k. 2
4 3i l.2
5
2i
ACTIVIDAD 008 Link de apoyo:
https://www.youtube.com/watch?v=XV5buDdtUEU
Resolver las siguientes divisiones.
a.
i24
i24 b.
i23
i2 c.
i41
i35
d. 2
5 2
i
i
e.
i5
i7 f.
2 3
2 3
i
i
g. 10 2
1
i
i
h.
12
2 3i
i
i.
5 32 2
4 6i
i
j. 7
1 2
i
i
k.
i24
i21
21
l. i210
1
m. 10
4 5
i
i
n.
10
4 5i
o.
100 20
5
i
i
FECHA DE ENTREGA
VIERNES 10 DE ABRIL [email protected]