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Libro para el estudiante Matemáticas 1 (Álgebra)

Nivel Medio Superior del

Instituto Politécnico Nacional

Academia Institucional de Matemáticas del Nivel Medio Superior del Instituto Politécnico Nacional

Libro para el estudiante

Introducción 1. Secuencia de Aprendizaje (Contenido y referencia de su

ubicación) Unidad 1 ‘De la Aritmética al Álgebra’ Unidad 2 ‘Polinomios’ Unidad 3 ‘Ecuaciones y funciones lineales’ Unidad 4 ‘Ecuaciones y funciones cuadráticas’ Unidad 5 ‘Sistemas de ecuaciones’ Unidad 6 ‘Funciones polinomiales y racionales’

2. MAPOA 3. Problemas

I. Problemas II. Problemas con guía

III. Proyectos

4. Ejercicios

5. Lecturas 6. Autoevaluaciones

7. Bibliografía

‘Álgebra’ Libro para el Estudiante Hoja 3

Introducción

El marco institucional En el Simposio ‘La Prospectiva del IPN y los Desafíos para el Siglo XXI’, que tuvo lugar a fines del siglo pasado, se destacó que el quehacer institucional se debe orientar hacia la creación de un sistema educativo capaz de colocar a todo individuo en la posibilidad de adquirir, actualizar y usar adecuadamente el conocimiento pertinente con un sentido de solidaridad. En particular, al IPN le corresponde atender a las necesidades del país para sustentar su desarrollo científico y tecnológico, por lo que deberá convertirse en un espacio de socialización que integre en sus propuestas formativas la ciencia, la tecnología y el conocimiento con una ética de responsabilidad profesional, en donde el currículo, la pedagogía, la organización, el diseño y la aplicación de las políticas ins titucionales, tengan la capacidad para actuar consistentemente frente a los escenarios del siglo que comienza. Para lograr estas metas, el IPN debe mantener un esquema dinámico de acción que lo haga un espacio de formación, aprendizaje, actualización e investigación de alta calidad; un espacio y una comunidad en los que la permanencia y el apoyo se hagan posibles en función del mérito intelectual, la competencia demostrada y el potencial de contribución social, a donde la sociedad y sus instituciones puedan dirigirse para obtener respuestas confiables a sus cuestionamientos. Las nuevas exigencias de acreditación de carreras y de certificación de egresados, imponen una sistematización del desarrollo curricular que obliga a que la reforma académica se constituya en un ejercicio permanente que garantice a los egresados el perfil profesional requerido para los tiempos por venir. Así, la educación que el IPN ofrezca tendrá que superar la imagen tradicional de la adquisición de conocimientos como un fin en sí, para insistir en el desarrollo de aptitudes en el nivel de métodos, de procedimientos y de estrategias de intervención; por lo que habrá que mejorar los programas educativos y de investigación, adecuar las instalaciones, los recursos humanos y la infraestructura, y fomentar el desarrollo tecnológico. En atención a las demandas que la sociedad le plantea, el IPN tiene como eje de su transformación un nuevo perfil profesional que orienta el diseño y la instrumentación de nuevos modelos educativos que proponen una relación adecuada entre los conocimientos, las habilidades práctico-productivas y las actitudes que dotarán a los estudiantes de capacidad emprendedora, responsabilidad, creatividad y flexibilidad en su desempeño profesional. En su prospectiva 2000-2015 hacia el nuevo Modelo Educativo Politécnico se señala que el reto no considera cambios radicales pero sí contundentes en: ♦ la reorientación del enfoque y los contenidos de tal manera que el IPN eduque para

o vivir, o aprender, o emprender, o crear o y saber ser;

♦ la presencia de un esquema cultural que amplíe los horizontes de la ciencia y la tecnología nacionales;


♦ dar un valor social, económico y ético a los conocimientos resultantes, para estar presente en los circuitos de la distribución mundial de los saberes;

♦ proveer de servicios y haberes a la población del país; ♦ y de contribuir a mantener la equidad, la unidad y el bienestar nacionales. Estos son los desafíos que, en palabras de la propia institución, el IPN reconoce para el presente y el futuro inmediatos. ¿Qué entendemos por enseñar y aprender en el área de matemáticas? Cuando una persona adopta el papel de estudiante y se encuentra con sus profesores y con sus compañeras en el salón de clases hay un acuerdo implícito, el estudiante está ahí para aprender y el profesor para enseñar. Tu experiencia en la escuela te ha formado una noción intuitiva de lo que estas dos ideas y prácticas significan y de lo que puedes esperar de una clase. Sin embargo, el sistema educativo que hemos heredado no se diseñó para que aprendieras a actuar en forma adaptativa en un ambiente complejo inundado por la tecnología. Sus objetivos no consideraron que fuera necesario, o siquiera posible, que pudieras aprender a interpretar textos no familiares con propósitos variables, construir argumentos convincentes atendiendo varios niveles, comprender sistemas complejos, desarrollar diversos enfoques a los problemas o llevar a buen fin la solución de un problema trabajando en grupo. Pero la sociedad requiere cada vez más una educación que se centre en las llamadas habilidades intelectuales de orden superior. Estas habilidades, de nombre tan elegante, son las que aplicas cuando tomas decisiones, resuelves problemas, organizas tu propio aprendizaje o haces aportaciones creativas en tus trabajos y actividades. Pero si quieres aprender a resolver problemas tienes que enfrentarte a verdaderos problemas, si quieres aprender a tomar decisiones, tienes que tomarlas y asumir las consecuencias... Todo esto es complicado, pero es lo que haces, y vas a seguir haciendo cada vez más, dentro y, sobre todo, fuera de la escuela. Resnick, conocida investigadora en educación matemática, quien ha estudiado este pensamiento de orden superior, lo caracteriza señalando que

♦ no es algorítmico, porque las vías por las que circula no están bien definidas previamente,

♦ es complejo, porque no basta una perspectiva, ♦ da lugar a soluciones diversas, cada una con sus costos y beneficios, ♦ requiere de la aplicación de criterios múltiples, en ocasiones contradictorios, que

al aplicarse producen juicios matizados, ♦ va acompañado de una fuerte carga de incertidumbre, no se suele conocer todo

lo que se necesita, ♦ debe auto-regularse, ♦ comprende la asignación de un significado, encontrando la estructura que

subyace al desorden aparente ♦ y exige un esfuerzo considerable, un trabajo intelectual con propósitos definidos

en diversos niveles. De la Prospectiva del IPN podemos retomar la orientación que se debe dar al quehacer institucional hacia la creación de un sistema educativo capaz de colocar a todo individuo en la posibilidad de adquirir, actualizar y usar adecuadamente el conocimiento pertinente con un sentido de solidaridad. Esto es una invitación para contribuir a una reforma educativa imaginativa y muy exigente, que requiere una reconceptualización de lo que


significa «tener clase». Para nosotros, tus profesoras, «enseñar matemáticas» significará crear las condiciones que, con tu indispensable participación protagónica, producirán la apropiación del conocimiento, el desarrollo de las habilidades y la formación de las actitudes. «Aprender matemáticas» significará involucrarse en una actividad intelectual exigente, cuya consecuencia final será la disponibilidad de un conocimiento dual: como instrumento y como objeto. Así, «saber matemáticas» significará el desarrollo de estos dos aspectos del conocimiento: ♦ Como instrumento, el conocimiento matemático está inscrito en un contexto. En este

caso es necesario usar las nociones y teoremas matemáticos que considera el programa de la materia para resolver problemas e interpretar situaciones nuevas.

♦ Como objeto, el conocimiento está descontextualizado y es atemporal. Debes ser capaz de formular definiciones, enunciar y demostrar teoremas e identificarlos como elementos de una disciplina: la matemática.

Los tres pensamientos siguientes nos señalan aspectos que debemos considerar en nuestro aprendizaje:

Oigo y olvido, veo y recuerdo,

hago y comprendo. (Un viejo proverbio chino)

Hacer . . . y reflexionar acerca de lo que se hace.

(Seymour Papert)

No hay conocimiento verdadero si no se es capaz de comunicarlo (Así decían los griegos)

Es decir, oyendo, viendo, haciendo... pero además reflexionando y comunicando. Así nuestro modelo se puede sintetizar, de manera esquemática, en la tríada

Hacer – Reflexionar - Comunicar El desarrollo de la clase ya no puede ser responsabilidad exclusiva del profesor, sino que debe contar con una nueva actitud del estudiante, que también se responsabiliza y se compromete con su aprendizaje. Juntos podrán discutir y definir las distintas maneras de desarrollar las actividades de aprendizaje, con sus razones, sus ventajas, sus desventajas y sus riesgos.

Hacer

Reflexionar

Comunicar


Las Competencias Básicas y su dimensión matemática Nuestro marco de referencia lo establece la SEP en sus competencias básicas del estudiante de bachillerato. Las competencias básicas se refieren al dominio, por parte del estudiante, de los conocimientos, habilidades, valores y actitudes que son indispensables tanto para la comprensión del discurso de las ciencias, las humanidades y la tecnología, como para su aplicación en la solución de los problemas de su vida escolar, laboral o cotidiana, por lo que se considera que deben ser comunes a todos los bachilleratos del país. Se considera que las competencias básicas que se deben desarrollar durante el paso del educando por el bachillerato son: ♦ Expresarse correcta y eficientemente en español, tanto en forma oral como escrita, así

como interpretar los mensajes en ambas formas. ♦ Manejar la información formulada en distintos lenguajes y discursos (gráficos,

matemáticos, simbólicos, de cómputo, etc.). ♦ Utilizar los instrumentos culturales, científicos, metodológicos y técnicos, básicos para

la resolución de problemas en su dimensión individual y social, con actitud creativa y trabajando individualmente o en grupos.

♦ Comprender, criticar y participar racional y científicamente, a partir de los conocimientos asimilados, en los problemas ecológicos, socioeconómicos y políticos de su comunidad, región y del país.

♦ Aprender por sí mismo, poniendo en práctica métodos y técnicas eficientes para propiciar su progreso intelectual.

♦ Evaluar y resolver las situaciones inherentes a su edad y desarrollo, incluso en lo que se refiere al conocimiento de sí mismo, su autoestima y autocrítica, salud física y formación cultural y estética, a efecto de tomar decisiones que lo beneficien en lo individual y en lo social.

♦ Desempeñarse individual o grupalmente de manera independiente en su vida escolar y cotidiana.

♦ Integrar los conocimientos de los diferentes campos, en una visión global del medio natural y social, como paso normativo hacia la inter y multidisciplinariedad.

En cada una de las competencias anteriores hay una componente matemática, por lo que en el área de matemáticas se trata de lograr los conocimientos, las habilidades y las actitudes que al articularse con los de las otras áreas te permitan desarrollar significativamente estas competencias. Estos objetivos, que sin duda quieres lograr tanto como nosotros, exigen nuevas modalidades de trabajo, a las que quizás no estás acostumbrado, y pueden causarte conflictos, cierta desesperación, algo de presión, pero, según afirman los expertos como Resnick, los aprendizajes complejos no se logran aislando las componentes visibles, desarrollándolas e integrándolas posteriormente, sino mediante experiencias que ponen en juego, simultáneamente, tanto las habilidades de índole general, como los conocimientos específicos, junto con tu disposición para embarcarte en situaciones con una fuerte carga de riesgo e incertidumbre. Estos ‘buenos propósitos’ son más complejos, lograrlos es una tarea más difícil pero también, creemos, más atractiva e interesante. La experiencia básica en nuestras clases se definirá por nuestra relación con los problemas. La resolución de un problema en la clase es un proceso muy complejo cuando los


problemas que enfrentas son verdaderos problemas. Debido a esta complejidad, los factores que intervienen para que logremos resolver exitosamente un problema, y comprender algo significativo como resultado de la interacción con el problema, son muchos y de distintos niveles. La desatención de uno, o varios, de estos factores puede entorpecer y a veces hacer imposible la solución de un problema o la comprensión que se deriva de la interacción fecunda con el problema. Una componente que influye de manera determinante corresponde a la forma en que las personas interactúan durante la resolución de un problema. Piensa en un laboratorio en el que se realizan algunos procesos complejos, los factores que intervienen en los procesos se administran, se registran continuamente y algunos de ellos se controlan. Así, si queremos crear un ambiente propicio para el desarrollo de las habilidades intelectuales de orden superior es necesario que aprendamos a participar en cada modalidad de trabajo: individual, equipo y grupo completo. El desarrollo de la tecnología, verdaderamente impresionante en la actualidad, ha perfilado el mundo en que vivimos. Nuestra cultura cuenta ya con una componente matemática que no sólo atañe al especialista sino al ciudadano. Las matemáticas están tan inevitablemente incorporadas a nuestra vida cotidiana que, si hemos sobrevivido, es porque, de alguna manera, hacemos un buen uso de las pocas o muchas matemáticas que sabemos. La herramienta tecnológica por excelencia es la matemática, pero la matemática es una herramienta dinámica porque para cada problema nuevo hay que diseñar una herramienta nueva; basta revisar la gran cantidad de matemáticas nuevas que se han hecho, especialmente en la segunda mitad del siglo pasado, y el papel que han desempeñado en la solución de los problemas importantes de todas las áreas. Anteriormente, los objetivos que perseguía una sociedad, o una institución, cambiaban cada dos o tres generaciones. Actualmente, los objetivos se revisan constantemente y el cambio forma parte de nuestra realidad cotidiana. Los conocimientos que hace veinte años estaban vigentes en la electrónica, por poner un ejemplo, hoy son casi totalmente obsoletos. Más que conocimientos específicos, que, por supuesto, en cierta medida siguen siendo necesarios, lo que se trata de lograr en la educación de hoy es la capacidad para ser autosuficiente cuando se organiza el aprendizaje que nos exige la profesión. Para organizar uno mismo su aprendizaje es necesario desarrollar: ♦ las habilidades para usar el conocimiento y articular los conocimientos en pos de un

propósito más complejo; ♦ las actitudes que nos permiten enfrentar situaciones con una compone nte importante de

incertidumbre; ♦ la capacidad para transferir, es decir, aplicar en una situación distinta a aquélla en la que

aprendimos, los conocimientos que adquirimos. El conocimiento debe ser uno de los principales elementos que determinen la relación entre un profesor y sus alumnos. Pero la clase también es un sitio de interacción de costumbres y creencias de cada uno de sus participantes, es conveniente contar con un lenguaje común que nos permita tener un ambiente que propicie la enseñanza y el aprendizaje desde la perspectiva descrita. Así, cada una de nuestras experiencias de aprendizaje dentro del salón de clases tendrá un doble propósito: aprender a crear un ambiente de trabajo y aprender matemáticas. El ambiente estará dirigido a promover la independencia del estudiante y la responsabilidad que debe tener en su aprendizaje, a través de:

♦ El trabajo individual y en equipo.


♦ La realización de actividades matemáticas. ♦ La discusión matemática. ♦ La evaluación de tu trabajo y del trabajo de tus compañe ros en el equipo y en el

grupo. Cuando se lee sobre el pensamiento de orden superior, sobre tener una actitud participativa, crítica y creativa, se suele decir, “sí, parece deseable y necesario, quiero lograrlo, pero ¿cómo lo hago?”. En la Academia de Matemáticas hemos reconocido la gran dificultad que hay para lograr estos objetivos y, junto con los Clubes de Matemáticas de varias escuelas, hemos diseñado y adaptado una serie de materiales auxiliares para la organización del aprendizaje, que te servirán para traducir en acciones cotidianas este importante propósito. Estos auxiliares sirven como marcos de referencia compartidos que se usan y comentan constantemente durante las experiencias de aprendizaje. En la medida en que, tanto el profesor como los alumnos, se familiaricen con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje común, en el que se pueden expresar algunas de las dimensiones de aprendizaje más importantes. En una sección de este Libro se tiene un comentario un poco más amplio de estos ‘Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje (MAPOA)’. En términos generales, estos auxiliares concretan la expresión «responsabilizarse de su aprendizaje» y contribuyen al logro de la autonomía de los alumnos en la organización de sus propios aprendizajes. El curso de Álgebra El IPN tiene fama de ser uno de los mejores bachilleratos en matemáticas de México. La gran mayoría de ustedes seguramente se enorgullece de tener cierta facilidad para las matemáticas. El primer curso del área de matemáticas se llama Álgebra. Al escuchar el título, lo que viene a nuestra mente es, quizás, un conjunto de operaciones con letras y unas ecuaciones, a veces con puras letras. Sin embargo, conforme realices las actividades que te propondremos te darás cuenta de la clase de conocimiento que queremos que logres, un conocimiento que se asocia con la calidad de su uso. Esto quiere decir que no se trata de padecer cursos, para aprobarlos, que nos exigen realizar operaciones para las que no tenemos ningún significado inmediato, con la promesa de que en un futuro indeterminado acabaremos por aplicarlas. No se trata entonces de que ingenieros titulados no sean capaces de resolver los problemas que se les presenten si no tienen una receta, o alguien que los dirija, para hacerlo. Nadie contrata hoy a un profesional para que resuelva un problema que ya está resuelto. Queremos que el criterio básico para juzgar la calidad de nuestro aprendizaje, sea la medida en que somos capaces de darle sentido a las conclusiones que obtenemos al aplicar nuestros conocimientos a la resolución de un problema, ya sea familiar o nuevo; que seamos capaces de descubrir los patrones que relacionan las características de un proceso, de imponer un modelo matemático, si es necesario; y de evaluar los resultados de su aplicación en función de criterios propios de la situación en la que se originó nuestro problema. Por supuesto que este tipo de aprendizaje es más difícil. Así como el espacio de nuestra experiencia básica tiene varias dimensiones, una longitud, una anchura, una profundidad y un tiempo, el aprendizaje que queremos lograr tiene varias dimensiones: los conocimientos, las habilidades, las actitudes y la transferencia. Necesitamos aprender a identificar y lograr objetivos en varias dimensiones, a vivir este aprendizaje multidimensional en la escuela, particularmente en nuestras clases de matemáticas.


El objetivo del curso, según lo estipula tu programa, es “Al término del curso el alumno generará modelos algebraicos de situaciones problemáticas que se le presenten, en donde, para sus soluciones, haga uso de polinomios, transformaciones elementales de expresiones algebraicas, planteamiento y resolución de ecuaciones, sus representaciones gráficas y una primera aproximación a las funciones lineales y cuadráticas, lo que le permitirá analizar situaciones y problemas surgidos en su entorno, así como tener el fundamento para el desarrollo posterior de conceptos y métodos matemáticos.” El método de trabajo se basa en la problematización continua, la formulació n de conjeturas y la revisión sistemática de los conocimientos adquiridos, utilizando técnicas grupales para el análisis y la discusión, así como técnicas expositivas y de indagación, apoyadas con recursos audiovisuales y tecnológicos (computadora, calculadora, etc.), procurando que la relación entre el alumno y el objeto sea constructiva. Durante todo el desarrollo del curso, se promoverán el análisis, la solución y la discusión de problemas en clase, en un ambiente que favorezca en los alumnos la apreciación de su propio trabajo personal, el de sus compañeros y el de su docente. Deberá tenerse presente que la resolución de problemas es la que permite generar e integrar conocimiento, favorece su asimilación y ayuda a distinguir lo esencial de lo menos importante. En este proceso el docente es el organizador de las experiencias de aprendizaje que problematiza, proporciona información y crea códigos de instrucción, de manera que sus alumnos puedan interactuar con los problemas planteados y, mediante esta interacción, avanzar hacia nuevos conocimientos. Es importante que, a lo largo de las actividades, los alumnos desarrollen su capacidad para comunicar su pensamiento y se acostumbren gradualmente a los diversos medios de expresión matemática: lenguajes natural, simbólico y gráfico, así como al uso de tablas y diagramas. En términos generales, la enseñanza de los temas no debe seguir la exposición magistral, sino fomentar el trabajo en equipos y la exposición de las experiencias logradas por parte de sus integrantes a través de una adecuada planeación de las actividades de aprendizaje. El Álgebra que aquí estudiaremos debe ser algo más que la manipulación de expresiones simbólicas. Se debe convertir en una herramienta de modelación en el estudio de situaciones reales, generalmente con el objeto de predecir y de controlar, cuando es éticamente aceptable, algunas de sus características pero, primordialmente, con el objeto de contribuir a explicarnos mejor los fenómenos del mundo en que vivimos. La organización de l ‘Libro para el Estudiante’ En este Libro se incluyen varios tipos de actividades de aprendizaje. Cada actividad tiene un objetivo dentro de toda la red de experiencias consideradas en el curso y se presenta como un apartado en este Libro: ♦ Problemas

o Problemas o Problemas con guía o Proyectos

♦ Lecturas ♦ Ejercicios ♦ Tareas ♦ Autoevaluaciones


El Libro va acompañado de un disco compacto que incluye algunos paquetes y actividades que contribuirán a tu aprendizaje del Álgebra. Las actividades se desarrollan en un ambiente que favorece el autoaprendizaje, la autoevaluación, el trabajo en equipo, el manejo de la incertidumbre, la apropiación de estrategias personales para el manejo de situaciones no familiares, el empleo de formas de pensamiento lógico y el uso de tecnología como una herramienta. Las actividades están planeadas para que estudiantes y profesores interactúen con diferentes elementos (los problemas, los problemas con guía, los algoritmos, los ejercicios, las lecturas y las exposiciones) que brindan las experiencias complementarias que son necesarias para el logro de los objetivos del programa. La cátedra, o exposición magistral del profesor, merece un comentario aparte. El profesor sólo hará matemáticas frente a ti en ocasiones bien planeadas, cuando estás preparado para beneficiarte de sus explicaciones y participar con preguntas y comentarios, pero en general serás tú quien haga matemáticas con tus compañeros al realizar las actividades de aprendizaje. Las explicaciones del profesor, en general, tendrán como punto de partida el trabajo del grupo. En algunos casos resolverás completamente un problema (es un decir, un problema nunca termina, siempre engendra otros) pero en otras, quizás lo que obtengas de tus afanes sean preguntas bien formuladas, que no es algo desdeñable, sino, por el contrario, algo indispensable para lograr un aprendizaje profundo y duradero, porque le da un sentido personal a una situación que, en principio, nos puede resultar ajena. Una descripción del tipo de actividades que se desarrollarán durante el curso de Álgebra se resume en el cuadro siguiente: Actividad de aprendizaje

¿En qué consiste?

Resolución de problemas

Una actividad e la que se vinculan las herramientas matemáticas con algunos conceptos utilizando un contexto. Se trata de propiciar la interacción del estudiante con una situación, familiar o no, en la que se usan las matemáticas y se formulan o responden preguntas que contribuyen a la conceptualización de los objetos matemáticos. En la clase, se propone a los estudiantes un problema, que puede contener un cuestionario guía o no, para resolverlo, generalmente, en equipo. El profesor orienta a los estudiantes en la solución del problema. Los alumnos presentan y validan la solución.

Desarrollo de Proyectos

Es una tarea extraclase de varias etapas que requiere de un esfuerzo coordinado durante varios días o semanas, de la consulta a fuentes de información actualizada como periódicos, revistas o entrevistas a personas vinculadas con alguna situación problemática propicia para un análisis matemático. Los estudiantes investigan, buscan y organizan su trabajo. Consultan con su profesor, quien los orienta y retroalimenta en cada una de las etapas del proyecto. Se produce un informe que se presenta y discute en el grupo.

Resolución de ejercicios

Se trata de profundizar en el conocimiento de los algoritmos, de comprender por qué funcionan y practicarlos, de ser posible con el auxilio de herramientas tecnológicas, de ser capaces de generarlos, a partir de la solución de los problemas, de explorarlos y


generalizarlos. Los estudiantes trabajan, generalmente, en forma individual exponen y validan la solución. El profesor dirige y orienta, reformula e introduce las convenciones de la disciplina.

Lecturas Se trata de que el alumno interactúe con un texto con el objeto de generar una interpretación global, de identificar la estructura del texto, de reformular sus ideas principales, de comentarlo y conectarlo con el curso, de formular y resolver dudas, todo desde la perspectiva del desarrollo de una cultura matemática. Se realiza generalmente fuera de la clase, dejando sólo la discusión para la clase y, de ser posible, su prolongación en un foro de discusión en la red.

Cátedra Consiste en retomar o conducir el trabajo de los estudiantes mediante anotaciones pertinentes. Formula nuevos problemas, comenta definiciones, teoremas o demostraciones y su papel en la organización del conocimiento matemático. El profesor retoma las soluciones de sus estudiantes para presentar y discutir nuevos temas así como para formalizar el conocimiento.

Autoevaluación Es un cuestionario diseñado para que el alumno pueda evaluar sus avances con respecto a un objetivo bien definido. Aquí se encuentran organizadas por unidad. El alumno mismo puede contrastar sus respuestas con las que se incluyen para medir sus logros.

Las secciones están organizadas según el tipo de actividad de aprendizaje. En la primera sección encontrarás la secuencia que corresponde a cada unidad del programa de Álgebra. La organización de las actividades que aquí se presenta constituye una propuesta flexible y fundamentada que puede ser modificada por el profesor. En cuanto al uso de las herramientas tecnológicas en las actividades de aprendizaje, hay que destacar que, en el área de Matemáticas, se reconoce como un aspecto natural de nuestra sociedad y, por consiguiente, debe estar presente, en la medida de lo posible, con el doble propósito de contribuir a fortalecer la comprensión de los alumnos y de permitir que se familiaricen con la interacción mediada por estos dispositivos que caracteriza el ejercicio de las profesiones en la actualidad. Así, en particular, se considera el uso responsable, pero cotidiano, de las calculadoras con poder de graficación y con sistemas de cálculo algebraico y los programas de computadora diseñados para el aprendizaje y el uso del Álgebra. Los programas vigentes de matemáticas en el IPN reconocen que un examen escrito no permite evaluar todos los tipos de aprendizajes señalados antes, por ello incorpora la llamada “evaluación continua”, en la cual se ponderan habilidades y actitudes que se van desarrollando paulatinamente.


Programa de Álgebra Versión del alumno Objetivo general Al término del curso el alumno generará modelos algebraicos de situaciones problemáticas que se le presenten, en donde, para sus soluciones, haga uso de polinomios, transformaciones elementales de expresiones algebraicas, planteamiento y resolución de ecuaciones, sus representaciones gráficas y una primera aproximación a las funciones lineales y cuadráticas, lo que le permitirá analizar situaciones y problemas surgidos en su entorno, así como tener el fundamento para el desarrollo posterior de conceptos y métodos matemáticos. Las cuatro líneas indispensables que se desarrollan en el curso de álgebra:

Este programa de álgebra contempla cuatro grandes líneas de desarrollo, que se deberán ir tratando y desplegando a lo largo de todo el curso:

• Lenguaje algebraico.

• Modelación.

• Ecuaciones.

• Funciones.

Es importante hacer notar que no es conveniente que haya largos períodos dedicados exclusivamente a la ejercitación de la operatividad, sino que a medida que los alumnos hayan aprendido nuevos procedimientos algebraicos, los utilicen en la resolución de problemas y aplicaciones.

El programa deberá cumplirse hasta sus últimas unidades, pues éstas preparan a los alumnos para los siguientes cursos. Lo anterior será posible si el docente distingue siempre lo esencial de lo accesorio y no insiste en la ejercitación excesiva de temas de poca importancia para los cuales bastará resolver uno o dos ejemplos en el salón de clases y dejar otros como tarea. También deberán evitarse aquellos tratamientos teóricos superfluos o innecesarios, o tratar de agotar un tema desde el principio, pues el programa ha sido diseñado de tal manera que los conocimientos esenciales puedan utilizarse a lo largo de todo el curso.

Unidad 1. De la Aritmética al Álgebra Al término de la unidad el alumno resolverá diferentes problemas incorporando de manera paulatina la notación literal y la s reglas de escritura algebraica, lo que le permitirá reafirmar sus conocimientos sobre las fracciones y sus diferentes significados, así como el uso de exponentes y su aplicación en la notación científica. Esto le permitirá desarrollar habilidades para abordar el estudio de los polinomios, las ecuaciones y las expresiones racionales. 1. Problemas para revisar la noción de fracción y sus distintas interpretaciones: - como parte de un todo,


- como razón (comparación de dos cantidades), - como representación de porcentajes, - como equivalencia de fracciones decimales.

2. Revisión de razones y proporciones a través de problemas. 3. Problemas que den lugar al uso de potencias con exponentes enteros y notación científica. Unidad 2. Polinomios Al término de la unidad el alumno manejará la notación algebraica y realizará las operaciones de adición y multiplicación de polinomios, a partir del planteamiento de problemas matemáticos aplicados a situaciones cotidianas, desarrollando además sus habilidades para traducir el lenguaje coloquial al lenguaje simbólico-abstracto y para la elaboración de modelos con polinomios. 1. Problemas que den lugar al uso y significado del lenguaje algebraico, así como a la

traducción del lenguaje coloquial al algebraico. 2. Adición de polinomios. 3. Multiplicación de polinomios. Unidad 3. Ecuaciones y funciones lineales Al término de la unidad el alumno resolverá problemas de contextos matemáticos y extramatemáticos -de lo cotidiano y de otras áreas del conocimiento-, que conduzcan a una ecuación lineal y para lo cual hará uso del método tabular como medio para explorar y establecer la expresión analítica de la función, obtendrá la ecuación, la resolverá por el método algebraico y/o gráfico e interpretará el resultado. 1. Problemas que den lugar a ecuaciones de primer grado con una incógnita.

- Solución algebraica. 2. Noción de función lineal y su gráfica.

- Solución gráfica de ecuaciones lineales de una incógnita. 3. Problemas que den lugar a variación directamente proporcional: - representación gráfica. Unidad 4. Ecuaciones y funciones cuadráticas Al término de la unidad el alumno planteará y resolverá problemas de contextos matemáticos y extramatemáticos -de lo cotidiano y de otras áreas del conocimiento-, que conduzcan a la formulación de ecuaciones de segundo grado, las resolverá por el método algebraico y/o gráfico -asociado con funciones cuadráticas- e interpretará los resultados. 1. Problemas generales que den lugar a ecuaciones de segundo grado con una incógnita: - Métodos de solución algebraica. - Factorizaciones simples.

2. Noción de función cuadrática y su gráfica. -Método de solución gráfica de ecuaciones cuadráticas. Unidad 5. Sistemas de ecuaciones Al término de la unidad el alumno construirá modelos matemáticos que incluyan sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas provenientes de contextos matemáticos y extramatemáticos de lo cotidiano y de otros campos del conocimiento, además resolverá correctamente los sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas utilizando los métodos


tabular, algebraico y gráfico y comprobará su solución. Así mismo construirá, interpretará y vinculará las representaciones tabular, algebraica y gráfica mediante el uso de calculadoras con poder de graficación y software matemático. 1. Problemas que generen sistemas de ecuaciones lineales: - revisión de los métodos básicos de resolución de sistemas lineales.

2. Problemas que generen sistemas de ecuaciones cuadráticas: - una cuadrática y una lineal, - solución gráfica del caso parábola y recta.

Unidad 6. Funciones polinomiales y racionales Al término de la unidad el alumno resolverá problemas de variación proporcional inversa entre dos variables y aquellos que den lugar a ecuaciones fraccionarias reducibles a lineales o cuadráticas para que se familiarice con las propiedades básicas de fracciones algebraicas racionales y con algunas funciones racionales simples. Así mismo, analizará cualitativamente el comportamiento de la gráfica de funciones polinomiales simples. 1. Funciones polinomiales: - raíces o ceros de un polinomio, - teorema del residuo, - teorema del factor, - división sintética.

2. Problemas que den lugar a variación inversamente proporcional: - representación gráfica.

3. Problemas que den lugar a ecuaciones fraccionarias reducibles a lineales o cuadráticas y a funciones racionales:

- fracciones algebraicas equivalentes y sus propiedades Bibliografía Autor Título Editorial Fecha Phillips, Elizabeth et al

Álgebra con aplicaciones

Editorial Harla México, 1988.

Gustafson R. David

Álgebra intermedia Thomson Editores México, 1996

Smith, Stanley A. et al

Álgebra y Trigonometría

Addison-Wesley Iberoamericana

EE. UU., 1997

O’Daffer, et al Preálgebra Addison-Wesley Iberoamericana

EE. UU., 1997

Calter, Paul Fundamentos de matemáticas I y II

Mc Graw-Hill México, 1996


EVALUACIÓN ASPECTO A EVALUAR DEFINICIÓN OPERATIVA FORMA DE EVALUACIÓN INDIRECTA DIRECTA

Potencia matemática

Habilidad y capacidad de usar la matemática para resolver problemas en diferentes áreas de estudio

− Exámenes escritos − Exposición y resolución

de problemas − Trabajos extraclases

X X X

X

Resolución de Problemas

Capacidad para resolver problemas y plantearlos, considerando diversas alternativas para resolver problemas, un plan para resolver el problema, interpretar y comprobar resultados, y generalizar soluciones.

− Exámenes escritos − Exposición y resolución

de problemas − Trabajos extraclases

X X X

X

Razonamiento Capacidad de reconocer patrones, estructuras comunes y formular conjeturas

− Exámenes escritos − Exposición − Interrogatorios − Entrevistas

X X X X

X

Comunicación

Capacidad del alumno para expresar ideas matemáticas en diversas formas: hablada, escrita y gráfica.

− Exámenes escritos − Interrogatorios − Trabajos extraclases

X X X

X

Actitud Matemática

Confianza en el uso de las matemáticas para resolver problemas; comunicar ideas y razonar, probar métodos alternativos para la resolución de problemas; la perseverancia de llegar hasta el fin de la tarea matemática; el interés, la curiosidad, la inventiva de los alumnos para hacer matemáticas; el reconocer el valor que tienen las matemáticas en nuestra cultura, como herramienta y como lenguaje.

− Exámenes escritos − Observación − Entrevistas − Interrogatorios − Trabajo en equipo

X X X X X

X X

PERIODO UNIDADES TEMÁTICAS

PLAN DE EVALUACIÓN

1 1 y 2 Examen departamental 60% Evaluación continua 40%



El examen departamental estará conformado por problemas que se evaluarán tomando en cuenta:

1. la comprensión del problema 2. la planeación de una solución 3. la obtención de una respuesta En la evaluación continua se tomará en cuenta el modelo PER para propiciar que los alumnos se responsabilicen de su propio aprendizaje

1. Secuencias de Actividades de Aprendizaje

del Curso de Álgebra


Unidad 1. De la aritmética al álgebra Al término de la unidad el alumno resolverá diferentes problemas incorporando de manera paulatina la notación literal y las reglas de escritura algebraica, lo que le permitirá reafirmar sus conocimientos sobre las fracciones y sus diferentes significados, así como el uso de exponentes y su aplicación en la notación científica. Esto le permitirá desarrollar habilidades para abordar el estudio de los polinomios, las ecuaciones y las expresiones racionales.

Horas Problemas Problemas con guía Actividades Internet

Ejercicios Lecturas Proyectos

1-2 Las caritas de don Cubo

La zorra y el perro Una introducción a las representaciones

gráficas

3- 4 Y el hermoso Nireo, el más hermoso ...

Las ballenas de Alaska

Lee haciendo pp. 10-22 Resuelve los ejercicios pares del 48-60 de las pp.23-25 de ‘Álgebra con aplicaciones’ de

Phillips et al

Ética y matemáticas

5-7 La tribu y los tribunos

Sucesiones La función de proporcionalidad

Calendario del siglo XXI

8-9 Gastroenteritis

Los ubicuos porcentajes

Lee haciendo pp. 71-79. Resuelve los ejercicios

de la forma 5n de las pp. 79-82

9-12 El vendedor de enciclopedias

Los peluqueros atribulados


Unidad 2. Polinomios Al término de la unidad el alumno manejará la notación algebraica y realizará las operaciones de adición y multiplicación de polinomios, a partir del planteamiento de problemas matemáticos aplicados a situaciones cotidianas, desarrollando además sus habilidades para traducir el lenguaje coloquial al lenguaje simbólico-abstracto y para la elaboración de modelos con polinomios.

Horas Problemas Problemas con guía

Actividades Internet


1-3 Las caritas de don Cubo*

Identidades Algebraicas

Potencias

4-6 Astucias aritméticas

Cursos de actualización

Lee haciendo pp. 82-88 Resuelve los ejercicios de la forma 7n+1 de las

pp. 88-93

Variables y pronombres

7-8 El empresario

La cajita perenne Polinomios para describir

9-10 Departamento con Incógnita

Hamfast Polinomios Lee haciendo pp. 93-99 Resuelve los ejercicios de la forma 6n+5 de las

pp. 99-102

11 -12 Yo, ¿típico?

Que diferencias, ¡ay! tan finitas

Lee haciendo pp. 103-109

Resuelve los ejercicios de la forma 5n+4 de las

pp. 109-113


Unidad 3. Ecuaciones y Funciones Lineales Al término de la unidad el alumno resolverá problemas de contextos matemáticos y extramatemáticos -de lo cotidiano y de otras áreas del conocimiento-, que conduzcan a una ecuación lineal y para lo cual hará uso del método tabular como medio para explorar y establecer la expresión analítica de la función, obtendrá la ecuación, la resolverá por el método algebraico y/o gráfico e interpretará el resultado.




1-3 El vendedor de enciclopedias*

Rectas y sus ecuaciones

4-6

Moira y Eris Ecuaciones de primer grado. Resolución de

problemas

Lee haciendo pp. 146-160 Resuelve los ejercicios de la forma 5n+3 de las pp. 161-165

Funciones

7-8

Viajes y viajeros Renta de automóviles

9-10 Epifanía

Telmex y ATT El lenguaje de las funciones



pp. 225-230

11 -12 El esfuerzo

Las velas


Unidad 4. Ecuaciones y Funciones Cuadráticas Al término de la unidad el alumno planteará y resolverá problemas de contextos matemáticos y extramatemáticos -de lo cotidiano y de otras áreas del conocimiento -, que conduzcan a la formulación de ecuaciones de segundo grado, las resolverá por el método algebraico y/o gráfico -asociado con funciones cuadráticas- e interpretará los resultados.



1-2

Los peluqueros atribulados*

Ecuación de segundo grado

Un pato

3- 4 La gris acera

Lee haciendo pp. 275-289 Resuelve los ejercicios de la forma 13n+3 de las pp.

289-293

5-7

Identidades Algebraicas*

El dulce chupado

8-9 Voi che sapete

La razón áurea Lee haciendo pp. 349-357 y pp. 362-367

Resuelve los ejercicios de la forma 3n del 2-20 de

las pp. 357-358 y los de la forma 5n+1 de la p. 368

Cómo resolverlo

9-10

Dos conjuntos de puntos

Teorema de Pitágoras

11-12 La gris acera*

Lee haciendo pp. 371-388 Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp.

388-395


Unidad 5. Sistemas de ecuaciones Al término de la unidad el alumno construirá modelos matemáticos que incluyan sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas provenientes de contextos matemáticos y extramatemáticos de lo cotidiano y de otros campos del conocimiento, además resolverá correctamente los sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas utilizando los métodos tabular, algebraico y gráfico y comprobará su solución. Así mismo construirá, interpretará y vinculará las representaciones tabular, algebraica y gráfica mediante el uso de calculadoras con poder de graficación y software matemático.



1-2 La madre Gea se sacude

Moira y Eris*

Sistemas de ecuaciones lineales

3- 4 Figaro qua, Figaro lá, Figaro su,

Figaro giú

Las Velas* Lee haciendo pp. 245-262


pp. 263-268

Ecuaciones simultáneas

5-7 Las misceláneas: Dédalo y Calipso

La zorra y el perro* - Mejor muerto que

siervo

Lee el resumen pp. 268-269


pp. 269-273

Un problema de programación lineal

8-9 Galletitas Programación Lineal Programación lineal

10-12 El asta reincidente Ifigenia Cruel Lee haciendo pp. 433-444


pp. 444-449


Unidad 6. Funciones polinomiales y racionales Al término de la unidad el alumno resolverá problemas de variación proporcional inversa entre dos variables y aquellos que den lugar a ecuaciones fraccionarias reducibles a lineales o cuadráticas para que se familiarice con las propiedades básicas de fracciones algebraicas racionales y con algunas funciones racionales simples. Así mismo, analizará cualitativamente el comportamiento de la gráfica de funciones polinomiales simples.




1-3 Voi che sapete* La cajita perenne* 4-6 Tarjetitas Que diferencias,

¡ay! tan finitas* Función de

proporcionalidad inversa

7-8 Los tinacos: El negrito que no se

raja

Dos conjuntos de puntos*

Midiendo belleza Mis propios datos

9 La organización de conciertos y las

matemáticas

Operaciones con funciones



pp. 580-584

10 Pintores – Labores escolares

11 -12 Tiestes y Atreo en festines horrendos

Las escaleras cruzadas



pp. 426-433

2. Materiales Auxiliares para la Organización del

Aprendizaje


2. Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje

Introducción

Materiales Auxiliares para la Organización del Aprendizaje (MAPOA) Para lograr el aprendizaje integral y multidimensional que aquí proponemos es necesario que todos nos hagamos corresponsables. Esta responsabilidad compartida apunta al fortalecimiento de nuestra autonomía. A lo largo de las sesiones discutiremos explícitamente algunos de los materiales para la organización del aprendizaje y procuraremos convencernos de la importancia de su uso cotidiano. Estos materiales se encuentran en la Academia de Matemáticas de tu CECyT, además de en el disco compacto que acompaña a este Libro, y sirven como un marco de referencia compartido al que recurriremos constantemente durante el curso. En la medida en que nos familiaricemos con ellos pueden llegar a constituir un lenguaje común, con el que podemos hablar acerca de algunos aspectos importantes de tu aprendizaje. En términos generales, estos materiales auxiliares concretan la expresión «responsabilizarse de su aprendizaje» y contribuyen al logro de nuestra autonomía en la organización de nuestros propios aprendizajes. Los auxiliares para la organización del aprendizaje son los siguientes:

En este breve texto se discute el aprendizaje de la resolución de problemas en el contexto de las habilidades intelectuales de alto nivel y se propone un modelo de aprendizaje

esquemático, «hacer, reflexionar y comunicar», que contrasta con el tradicional «oír, ver y reproducir». Aquí se presenta por primera vez la idea del problema como el mejor medio de establecer una relación fecunda con una disciplina. Esta idea se discute más detalladamente en «La Heurística».

PPaarraa eennttrraarr eenn mmaatteerriiaa..


En el modelo de organización del aprendizaje PER (Propósito, Estrategia, Resultado) de Selmes, investigador especializado en las habilidades de estudio, se presenta un marco de referencia para

estructurar las actividades de aprendizaje. Se invita a administrar los dos enfoques que se proponen, el superficial y el profundo, con el objeto de formarse un estilo independiente.

En este documento de Schoenfeld, investigador especializado en la resolución de problemas matemáticos, se presenta una estrategia de resolución de problemas, acompañada de un diagrama de flujo y de una

tabla que incluye las heurísticas de uso más frecuente. El material consta de tres partes:

5. «La estrategia». 6. «Algunas heurísticas de uso frecuente». 7. «Una síntesis esquemática de la estrategia de resolución de problemas».

El portafolio, que es un recipiente en el que se acumula, organiza y reorganiza todo lo que se produce en las actividades, en forma individual o en equipo, así como los comentarios y extensiones de estos productos. El portafolio aporta información sobre:

8. el pensamiento del alumno, 9. su crecimiento en el tiempo, 10. las conexiones que establece, 11. el punto de vista del alumno acerca de su quehacer matemático, 12. el proceso de resolución de problemas.

La mejor manera de convencernos de la utilidad del portafolio, de conocer su potencial y advertir sus limitaciones, es usarlo para recopilar todos los reportes de resolución de problemas, los planes, los reportes de las experiencias, los comentarios de las lecturas, etcétera.

Algunos comentarios y sugerencias sobre la elaboración del reporte, el trabajo en equipo, la discusión matemática, el control durante la resolución de problemas en el salón de clases y la elaboración de controles de lectura

se presentan en forma de fichas. A partir de los resultados de las investigaciones de algunos educadores se proponen una serie de comentarios, para su discusión, sobre diversos aspectos de las sesiones de resolución de problemas.

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La evaluación de nuestro aprendizaje debe estar basada en las objetivos educativos a corto, mediano y largo plazos y, por supuesto, en los objetivos de nuestro curso, así mismo debe apuntar a mejorar nuestro método de aprendizaje y a reforzar nuestro conocimiento de nosotros mismos. Estos formatos establecen criterios que nos

permitirán evaluar de una forma más integral nuestro propio trabajo y el de nuestros compañeros. Algunos materiales auxiliares para la organización del aprendizaje que puedes consultar con provecho son: Propósitos y Competencias Básicas del Estudiante de Bachillerato Para entrar en materia El Modelo PER

El enfoque profundo y sus características El enfoque superficial y sus características Cuestionario de autoevaluación Algunos enunciados sobre la organización

La Heurística Heurísticas de uso frecuente. Síntesis esquemática de la estrategia de resolución de problemas

El Portafolio Un diagrama del portafolio Especificaciones adicionales sobre el contenido del portafolio como escaparate

Las Fichas Recomendaciones para el trabajo individual Recomendaciones para la discusión general Recomendaciones para el trabajo en equipo Recomendaciones para la elaboración del reporte de la actividad ¿Qué es un problema? ¿Qué es un ejercicio? Antes de entregar tu reporte, ¡revísalo! Cómo se construye un mapa conceptual Las actividades de comprensión de Perkins Guía para la elaboración de informes de lectura

Los Formatos de Evaluación Evaluación de presentaciones Autoevaluación de reportes Las tres preguntas reveladoras de Mosteller Autoevaluación del curso Autoevaluación de habilidades, actitudes y valores

A continuación te presentamos un plan para revisar e incorporar estos materiales en tus actividades de aprendizaje de matemáticas (y otras materias). En este plan se incluyen algunas cápsulas que puedes discutir con tus compañeros y profesores. Además te hacemos

LLooss ffoorrmmaattooss ddee eevvaalluuaacciióónn


algunos comentarios adicionales y te sugerimos algunas formas para trabajarlos con provecho. Programación de algunas actividades que permiten discutir el uso de los MAPOA

Unidad MAPOA 1 Introducción.

Portafolio. Modelo PER.

2

La Heurística. Portafolio. Las fichas. Profesor, ¿Estoy bien?

3 Engendra problemas. Profesor, ¡No entiendo! Portafolio como escaparate.

¿Qué es el portafolio?, ¿Qué debes tener en tu portafolio? El portafolio es un instrumento en el que se pretende evaluar una diversidad de registros que reflejan aspectos distintos del aprendizaje de los alumnos, que parece muy adecuado para hacer una evaluación continua y además para hacer cortes de evaluaciones acumulativas e integradoras tantas veces como se requiera, recuperando el propósito original de la evaluación que es partir de elementos confiables para mejorar tanto el aprendizaje del alumno como la enseñanza del profesor. (Consulta el diagrama de tus materiales auxiliares para la organización del aprendizaje) Presentación del documento: «El modelo PER». Entre los materiales auxiliares hay una introducción al modelo de organización y evaluación del aprendizaje propio llamado PER (Propósito, Estrategia, Resultado). Recorta y enmica las fichas que incluye. La aplicación cotidiana del modelo PER te ayudará a desarrollar una actitud más reflexiva en tus actividades de aprendizaje y a que, gradualmente, logres formar un estilo propio e independiente de organización de tus aprendizajes. Aplica el modelo PER a las actividades que has realizado consideradas globalmente, especificando lo que aprendiste y lo que te falta por aprender, lo que entendiste ya y lo que aún no acabas de comprender. Usa las fichas. Presentación del documento: «La Heurística». Entre los materiales auxiliares (MAPOA) hay una sección que se llama ‘La Heurística’, que incluye los documentos:

Una breve introducción que trata de la importancia de las heurísticas en la resolución de problemas y de la forma en que puedes usar con provecho los otros dos documentos. La tabla «Heurísticas de uso frecuente».


El diagrama de flujo «Síntesis esquemática de la estrategia de resolución de problemas».

Lee atentamente los documentos y discute con tus compañeros sobre la mejor forma de usarlos para resolver mejor problemas cada vez más difíciles. Sobre tu portafolio. Abre en tu portafolio una sección de «Heurísticas». Revisa los problemas que has resuelto, en forma individual o en equipo, y analiza cuál fue la estrategia que aplicaste para lograr resolverlo. Descríbelas, dales un nombre y explica la forma en que la aplicaste en cada caso. Anota tanto las características comunes como las diferencias. Recuerda las indicaciones relativas al enfoque profundo para este importante capítulo de tu portafolio. No subestimes las dificultades que implica este aprendizaje tan complejo y ambicioso: Saber escoger y aplicar eficientemente la estrategia que resulta adecuada para resolver un problema. Repaso, evaluación y autoevaluación. Revisa tus exámenes, haz un registro sistemático de lo que has aprendido (Conocimientos, Habilidades, Actitudes, Transferencia) y de lo que no has logrado aprender satisfactoriamente. Haz un plan para superar tus dificultades de aprendizaje. El objetivo del curso de Álgebra es que el estudiante desarrolle las habilidades del pensamiento: razonamiento, análisis, reflexión, comunicación y valoración, con una actitud participativa, crítica y creativa que le permita relacionar los conocimientos de la aritmética y el álgebra para resolver problemas de situacione s cotidianas, sociales, de la naturaleza y la tecnología. Recuerda que tus objetivos de aprendizaje incluyen la resolución de problemas, la comprensión personal de las matemáticas, el razonamiento, la comunicación, la valoración de las matemáticas como una parte importante de tu cultura y la confianza que tienes en tu capacidad de hacer matemáticas cotidianamente. Toma en cuenta también las características del enfoque profundo de aprendizaje. Incluye en tu portafolio el resultado de esta autoevaluación. Sobre tu portafolio. El catálogo de gráficas. Abre en tu portafolio una sección que se llame «Catálogo de Gráficas» e incluye las correspondientes a los modelos lineal y cuadrático. Relaciona las características de la gráfica con las características de la ecuación y describe las partes en donde la gráfica corta a los ejes, es creciente, es decreciente, es máxima, es mínima, etcétera. Puedes consultar en Internet ‘Cómo dibujar gráficas’ de Mario García González en la dirección: http://www.xtec.es/~mgarc127/ Las fichas. En los materiales auxiliares encontrarás un conjunto de fichas que, una vez enmicadas, podrás consultar cuando lo juzgues pertinente. Las fichas que se incluyen son:

¿Qué es un problema?


¿Qué es un ejercicio? Recomendaciones para el trabajo individual. Recomendaciones para el trabajo en equipo. Recomendaciones para la discusión general. Algunas sugerencias para la elaboración del reporte de la actividad.

¡Penalti! No hace mucho tiempo se habló en la televisión, la radio y los periódicos de la maldición que es para los jugadores mexicanos tirar penaltis. ¿En qué radica la dificultad? ¿Acaso los jugadores no saben cómo deben pegarle a la pelota para no fallar un penalti? Es decir, ¿no tienen el CONOCIMIENTO de cómo tirar un penalti? ¿O es más bien que son torpes y no son capaces de pegarle al balón en forma apropiada? Es decir, ¿carecen de la HABILIDAD para anotar un penalti? ¿O será que no pueden hacer a un lado la presión que provoca el rival, el lugar, el público que quiere goles y la importancia de anotarlo o fallarlo? Es decir, ¿el problema de los jugadores es de ACTITUD? ¿Qué piensas tú? Justifica tus respuestas. Profesor, ¿estoy bien? ¿Cómo sabemos si un resultado o procedimiento es correcto? En este curso es una pregunta que una y otra vez nos hemos hecho. Si lo que tuviéramos que hacer fuese una suma, después de calcular el resultado, ¿necesitaríamos que alguien nos dijese si está bien para asegurarnos de haber procedido correctamente? Seguramente no, porque conocemos bien el procedimiento que se debe seguir y, si aun así nos asaltaran las dudas, bastaría revisar con cuidado la aplicación de nuestro algoritmo para detectar si hubo alguna equivocación. Para tareas más complejas, si no estamos seguros de lo que hemos hecho, debemos revisarlo cuidadosamente, buscando entender el significado tanto del procedimiento particular como de la idea general. Es decir que no basta con hacer cálculos, operaciones, dibujos, etcétera. Debe haber una explicación que les dé sentido. En muchas ocasiones dejamos esas explicaciones sobreentendidas, pues suponemos que quien nos escucha o lee sabe perfectamente lo que estamos haciendo y por qué lo hacemos. Pero esta costumbre nos lleva a ser descuidados en la justificación de nuestros cálculos, procedimientos y resultados. Pecamos por omisión. Nos olvidamos de dos aspectos fundamentales: dar una explicación clara de lo que hicimos y por qué lo hicimos y poner atención e intentar entender lo que hicieron los demás. Estamos desatendiendo la comunicación, que es uno de los eslabones básicos de nuestro esquema de aprendizaje: Hacer, Reflexionar, Comunicar. Estos dos aspectos son fundamentales para decidir cuándo un procedimiento y su resultado son correctos. Así, si lo que se nos dice está equivocado, estaremos en condiciones de detectarlo y señalarlo. No será un simple «está mal», sino que irá acompañado de nuestras razones. Para que estas razones tengan peso deberán enfocarse hacia el asunto y no a la persona que lo dice. Si, por otro lado, es a nosotros a quienes se nos señala un error, también pediremos argumentos y si son razonables aprovecharemos el señalamiento para corregir nuestro trabajo. Esta actitud, de cuidar los argumentos que damos y de escuchar con atención lo que dicen los otros, es la que permite una auténtica comunicación de nuestras ideas. El examen como aprendizaje.


El examen es un medio de evaluación y de autoevaluación que te permite darte cuenta tanto de los progresos que vas logrando como de las dificultades que tienes que superar en tu aprendizaje. Pero no podemos ignorar la función social del examen. Necesitamos testimoniar ante los demás que estás preparado para esfuerzos mayores, que mereces reconocimiento por los conocimientos, las habilidades y las actitudes que has incorporado. Parece muy razonable, pero ¿qué nos ocurre cuando escuchamos las palabras «Hay examen»? «Aquí entre nos» Algunas preguntas. ¿Crees que se vale copiar en los exámenes? ¿Y dejar copiar? Justifica tu respuesta. ¿Piensas que hay alguna relación entre el desempeño escolar y la práctica profesional de una persona actualmente en México? Explica lo más detalladamente que puedas. ¿Conoces algunas estadísticas al respecto? ¿Qué piensan tus amigos, tus familiares? Escribe un comentario sobre la forma de evaluación de este curso. Incluye en tu comentario algunas sugerencias viables. Engendra problemas. Un problema nunca termina. Cuando llegamos a un resultado siempre hay manera de plantear nuevas preguntas, de que el problema sea fuente de problemas nuevos. Dos estrategias gemelas de formulación de problemas son las llamadas ‘¿Qué pasaría si ...?’ y ‘¿Qué pasaría si no ...?’ Ambas son estrategias muy potentes para generar problemas, ¿cómo las aplicarías? Sobre tu portafolio. El catálogo de algoritmos. De las exposiciones que se han presentado en el grupo sobre las operaciones con polinomios y fracciones algebraicas, escribe los algoritmos y represéntalos mediante diagramas de flujo. Pruébalos e inclúyelos en tu portafolio en una sección nueva. Una cita pertinente: Come tú mismo la fruta En cierta ocasión se quejaba un discípulo a su Maestro: «Siempre nos cuentas historias, pero nunca nos revelas su significado» El Maestro le replicó: «¿Te gustaría que alguien te ofreciera fruta y la masticara antes de dártela?» Nadie puede descubrir tu propio significado en tu lugar. Ni siquiera el Maestro. Profesor, ¡no entiendo! El primero de los ‘Auxiliares para la organización del aprendizaje contiene las ocho competencias básicas que deben estar presentes en el alumno de bachillerato. En estas competencias están implícitos aprendizajes multidimensionales (conocimientos, habilidades, actitudes), y se hace referencia explícita a la transferencia de estos aprendizajes, ya que se habla del uso y articulación de estos aprendizajes en los distintos aspectos de la vida. Seguramente estás de acuerdo con ellas, puesto que estás estudiando el bachillerato. Hoy queremos comentar contigo dos de ellas, las que dicen «Aprender por sí mismo, poniendo en práctica métodos y técnicas eficientes para propiciar su progreso intelectual» y


«Desempeñarse individual o grupalmente de manera independiente en su vida escolar y cotidiana» Pero estar de acuerdo con algo no quiere decir que sepamos cómo conseguirlo. Un factor importante para que una persona realice un esfuerzo es que pueda palpar el provecho que le reporta el esfuerzo. Pero para que este provecho sea perceptible necesitamos tener «ojos» para verlo. Detengámonos un rato a reflexionar y a discutirlo en nuestro equipo. ¿Qué estamos haciendo para avanzar en el logro de estos objetivos? ¿Cómo podemos saber, y medir si es posible, qué tanto progresamos? Escribe un reporte con las conclusiones de tu equipo. El non plus ultra y los hábitos de estudio. Mis actividades cotidianas y las matemáticas. Enumera las diez actividades más importantes de tu vida cotidiana, asígnales un tiempo, en horas por cada semana, y ordénalas de mayor a menor. ¿En qué lugar se encuentran las matemáticas? ¿Estás satisfecho con tu aprendizaje de las matemáticas? ¿y con tu calificación? Describe lo que haces actualmente para aprender matemáticas. ¿Vale la pena hacer un esfuerzo para mejorar sustancialmente tu aprendizaje en matemáticas? Para que un plan tenga alguna probabilidad de funcionar necesitas definir

unos propósitos asequibles, una estrategia clara y una forma de evaluar el logro de tus objetivos.

Escríbelos de la manera más detallada posible. Reflexionar: ¿Qué he logrado? Revisa tus exámenes, haz un registro sistemático de lo que has aprendido (Conocimientos, Habilidades, Actitudes, Transferencia) y de lo que no has logrado aprender satisfactoriamente. Haz un plan para superar tus dificultades de aprendizaje. Recuerda que tus objetivos de aprendizaje incluyen la resolución de problemas, la comprensión personal de las matemáticas, el razonamiento, la comunicación, la valoración de las matemáticas como una parte importante de tu cultura y la confianza que tienes en tu capacidad de hacer matemáticas cotidianamente. Toma en cuenta también las características del enfoque profundo de aprendizaje. Incluye en tu portafolio el resultado de esta autoevaluación. Reescribe las soluciones de los problemas de las semanas anteriores y haz un resumen de las características comunes que hayas advertido en las situaciones, en las fórmulas, en las gráficas, en los procedimientos, en los errores y en las estrategias de solución. Relaciona los problemas con las lecturas y elabora un apunte personal que incluya los problemas que inventaste. Revisa tu apunte personal y extrae los conceptos y procedimientos importantes para actualizar tu glosario. Organiza tu portafolio por secciones, actualízalas y escribe un índice. Así tendrás un registro personal de tu paso por el curso de álgebra. El portafolio como escaparate


Coloca al frente de tu portafolio los cinco trabajos de los que te sientas más orgulloso y acompáñalos de una nota en la que expliques por qué te sientes orgulloso de ellos. Muestra tu portafolio a un adulto y a una amiga de tu edad y pídele a cada uno que escriba un comentario. Incluye el comentario, con PER, en tu portafolio.

3. Problemas


3. Problemas

Introducción

La habilidad para resolver problemas constituye un excelente indicador del nivel de desarrollo matemático que has alcanzado. En este libro la actividad de resolución de problemas es la parte más importante, ya que te permitirá vincular las herramientas matemáticas con una dimensión de uso, se introducen conceptos matemáticos utilizando contextos, y se formulan y responden preguntas que contribuyen a la conceptualización de los objetos matemáticos.

¿Qué es un problema? Por problema se entiende una situación matemática o extramatemática que no tiene solución inmediata, admite varias vías de aproximación y posiblemente varias soluciones, puede consumir mucho tiempo, quizás varias clases, o hasta varios cursos y exige esfuerzo mental, imaginación y creatividad. Un problema no se trabaja una vez y ya nos olvidamos de él, tanto profesor como alumnos, sino que puede retomarse en distintos momentos para mejorar su solución o profundizar en alguna cuestión que haya suscitado. A través de la actividad de resolución de problemas queremos que tú:

? hagas uso de las matemáticas con las que cuentas para dar respuesta a las preguntas planteadas en el contexto de la situación,

? busques conexiones entre diferentes representaciones, ? logres diferentes vías de acceso trabajando varios enfoques, ? generalices tus soluciones y reformules, ampliándolo, el problema en

otros campos, ? generes criterios para validar las interpretaciones y los modelos

matemáticos, ? construyas y hagas evolucionar los conceptos matemáticos como

respuesta a tus propias preguntas, y ? desarrolles actitudes que te permitan enfrentar y manejar situaciones

complejas con un alto grado de incertidumbre.

La resolución de problemas es un proceso que no se puede encerrar en una receta paso a paso, es en esencia un viaje, una aventura, no un destino, que a ratos sufrimos y a ratos disfrutamos, para el que no tenemos un mapa de antemano, necesitamos aprender a descubrir o construir caminos. Sin embargo, se pueden destacar algunas etapas de esta aventura: hay un deseo de acercarse al problema, de aceptar el desafío, de correr un riesgo, de encontrar la respuesta, de comprender una pregunta, de descubrir nuevos conocimientos o de crear una solución. Alguien ha dicho que en la resolución de un problema, como en la vida, lo que importa es el camino. Si tomas esto en cuenta, podrás aprender a adoptar una actitud que te permita disfrutar y aprovechar la resolución de un problema. No pongas la mira en el éxito o en el fracaso, sino en el proceso. Es el proceso el que te enseña. Un


problema resuelto es un problema muerto, mientras no está resuelto vive en ti como problema. En este libro se habla de problemas, problemas con guía y proyectos. Todos ellos comparten la misma idea de problema que acabamos de mencionar en los párrafos anteriores. Expliquemos la diferencia que hay entre ellos.

I. Problema: Consta de un enunciado en el que se describe la situación y lo que se quiere que hagas y respondas. El tiempo estimado para discutirlo provechosamente es después de una o dos horas de haberlo trabajado.

II. Problema con guía: Además del enunciado contiene un cuestionario o una

secuencia de pasos que te permiten seguir avanzar en el problema usualmente de situaciones sencillas a otras más complejas. También el tiempo estimado para discutirlo provechosamente es después de una a dos horas de haberlo trabajado.

III. Proyecto: Es un problema, o problema con guía, que requiere más de dos

horas de trabajo antes de discutirlo provechosamente. Es posible que tengas que generar tú mismo los datos y una parte importante del trabajo la tengas que hacer fuera del salón de clases.

Es muy recomendable que uses los paquetes que se incluyen en el disco compacto mientras resuelves los problemas. Una muy buena herramienta para la comprensión es una hoja de cálculo, hay varias comerciales que puedes utilizar. Si tienes dudas en su manejo tu profesor te puede orientar.


I. Problemas

1. Las caritas de don Cubo Un cubo de madera que mide 20 cm de lado se pinta de amarillo. Una vez seca la pintura, se corta en cubos de 2 cm de lado. ¿Cuántos de estos cubos chicos no están pintados en ninguna de sus caritas?

2. Y el hermoso Nireo, el más hermoso... En una fábrica de envases para vino hay dos máquinas que producen la totalidad de botellas. La máquina «Áyax» produce el 70% de las botellas, en tanto que la máquina «Nireo» produce el resto de las botellas. El 5% de las botellas que produce la máquina «Áyax» y el 8% de las de la máquina «Nireo» resultan defectuosas.

(a) ¿Qué porcentaje de las botellas que produce la fábrica resulta defectuoso?

(b) ¿Qué porcentaje de las botellas defectuosas proviene de la máquina «Nireo»?

3. La tribu y los tribunos En mi tribu, cuando se colocan de dos en fondo sobra uno, cuando se colocan de tres en fondo sobra uno, cuando se colocan de cuatro en fondo sobra uno, cuando se colocan de cinco en fondo sobra uno, cuando se colocan de seis den fondo sobra uno, y, por fin, cuando se colocan de siete en fondo quedan distribuidos exactamente.

(a) ¿Cuántos tribunos hay en mi tribu?

(b) Escribe una explicación detallada de todo lo que hiciste para obtener tu respuesta.

4. Gastroenteritis En un centro universitario se produjo un brote de gastroenteritis que se detectó cuando 47 estudiantes solicitaron atención médica entre las 22:30 del 17 de enero y las 20:00 horas del día siguiente. Una investigación permitió darse cuenta de que el alimento causante de la infección se había servido durante el almuerzo del 17 de enero en la cafetería del internado, donde habían tomado sus alimentos 251 estudiantes. Para localizar el alimento responsable del brote, se preparó el cuadro siguiente (donde, de manera intencional, algunos lugares aparecen vacíos).


atún y tallarines 12 57 69 17.4 92 80 53.5estofado de res 76 171 55.5 7 72 79 8.9

tarta de frutas 32 39 71 45.1 63 145gelatina 29 48 80 102 182 44leche 91 41.7 12 13 25 48

café 23 9 42 54.8 114 40.6

ALIMENTO enfer. sanos total %enfer. enfer. sanos total %enfer.

personas que ingirieron el alimento especificado

personas que no tomaron el alimento especificado

Nota: La suma de las personas que ingirieron un alimento más aquellas que no lo tomaron no resulta 251 en todos los caos, ya que algunas personas no pudieron recordar si habían tomado, o no, el alimento.

(a) Llena en el cuadro los lugares que aparecen vacíos,

(b) ¿Qué criterio utilizarías para localizar el alimento responsable del brote de gastroenteritis?

(c) ¿Cuál fue este alimento?

5. El vendedor de enciclopedias Un vendedor de enciclopedias tiene un salario base de 700 pesos mensuales más una comisión del 8% de las ventas que realiza por encima de 4000 pesos. En cada uno de los meses pasados vendió las cantidades anotadas en la tabla.

MES abril mayo junio julio agosto

VENTAS 3476 4142 5276 3962 6199

(a) Calcula los ingresos que le corresponden al vendedor de enciclopedias cada mes.

(b) Diseña un método gráfico para pagarle a un vendedor que trabaje con el mismo contrato.

(c) Haz un diagrama de flujo con el algoritmo que se usa para pagarle a un vendedor que trabaje con el mismo contrato.

(d) Con base en el punto anterior haz un programa de computadora o de calculadora y pruébalo con los datos de la tabla.

(e) Inventa un problema inspirado en el problema anterior.

6. Las caritas de don Cubo * (1) Un cubo de arista n se divide en cubitos de arista uno, ¿cuántos cubitos tienen 0, 1, 2, 3 caritas pintadas?


7. Astucias Aritméticas (cinco números y las operaciones básicas)

Usa una sola vez cada uno de los números y combínalos para formar el número señalado, utiliza sólo las cuatro operaciones básicas y los símbolos de agrupación.

Ejemplo: 1, 7, 8, 9, 9; total: 16. (9/9)(7+8+1)=16

1, 5, 3, 6, 10; total: 5 _____________________________________

8, 11, 9, 1, 8; total: 2 _____________________________________

11, 10, 15, 20, 3; total: 6 __________________________________

12, 18, 3, 11, 12; total: 8 __________________________________

4, 16, 10, 24, 25; total: 1 __________________________________

17, 14, 7, 17, 13; total: 7 __________________________________

2, 9, 5, 9, 4; total: 22 ____________________________________

3, 6, 10, 5, 7; total: 2 ____________________________________

8, 6, 11, 5, 21; total: 7 ____________________________________

6, 1, 2, 2, 17; total: 8 ______________________________________

10, 4, 1, 11, 9; total: 5 ____________________________________

Con los números 11, 14, 3, 19, 9 y las cuatro operaciones básicas forma los números del 1 al 13.

Ejemplos: (11+14-19+3)/9=1; 11-[(19+9)/14+3]=6; [9-(19-14)-3]11=11

2=_______________________ 3=____________________________________

4=_______________________ 5=____________________________________

7=_______________________ 8=____________________________________

9=_______________________ 10=____________________________________

12=______________________ 13=____________________________________

Con los primeros cinco números primos (2, 3, 5, 7, 11) y las cuatro operaciones básicas forma los números siguientes (recuerda que cada número sólo lo puedes usar una vez y un reto adicional sería que cada operación la usaras exactamente una vez):

El entero mayor _________________________________________

El primo impar menor ____________________________________

El impar menor _________________________________________

El primo menor _________________________________________

El compuesto menor ______________________________________


El compuesto mayor ______________________________________

El impar mayor __________________________________________

El par mayor ____________________________________________

El primo mayor __________________________________________

Un natural usando sólo la resta _______________________________

8. El empresario Un hombre de negocios separa al principio de cada año $1,0000,000.00 para los gastos del año y aumenta su capital en un tercio. Al cabo de tres años tiene el doble de su capital. ¿Cuál era su capital al empezar el primer año? ¿Cuándo triplicará su capital?

9. Departamento con incógnita En el plano de un departamento, la cocina es cuadrada y mide (x + 6) de lado, la recámara tiene el mismo ancho que la cocina y su largo excede en 2x unidades su ancho. El otro lado del baño mide un tercio del largo de la recámara y su ancho es igual al de los cuartos anteriores como se puede advertir en el plano. Finalmente, el área de la sala es (x2 + 14x + 48) y su ancho es también (x + 6).

Determina:

El área de la cocina.

El área del comedor.


Si el valor de x es de 2 metros, calcula las dimensiones del departamento y comprueba las expresiones que obtuviste.

10. Yo, ¿típico? Uno de los grandes objetivos de tu educación es la autodidaxia (capacidad de aprender y organizar tu aprendizaje por ti mismo). En la autodidaxia concurren conocimientos, habilidades, actitudes, valores y una muy importante capacidad de transferencia (capacidad de aplicar los aprendizajes en situaciones distintas de aquéllas en las que ocurrieron esos aprendizajes). Aquí te sugerimos algunas formas de modificar los ejercicios típicos que encuentras en tu vida escolar en otros ejercicios que te permitan averiguar, por ti mismo, qué tanto has comprendido, más allá de la aplicación de un algoritmo conocido.

Todos salimos ganando si tu educación es de la mejor calidad. Algunos ejercicios típicos Ejercicios modificados

Factoriza x2-3x-4 Encuentra un término independiente que haga que x2-3x-[ ] sea factorizable

Simplifica la fracción

4365

2

2

−−−−

xxxx

Encuentra los términos independientes que hagan

que la fracción [ ][ ]−−

−−xxxx

35

2

2

se pueda

simplificar Encuentra el punto de intersección de las gráficas de y = 3x - 8 & y = -2x + 7.

Encuentra las ecuaciones de dos rectas que se corten en el punto (3,1).

Encuentra las intercepciones-x de la

parábola: y = x2 - 7x + 10.

Encuentra la ecuación de una parábola que pase por los puntos (2,0) y (3,-2).

Encuentra el vértice de la parábola

3x2-12x+11

Encuentra la ecuación de una parábola cuyo vértice sea el punto (2,-1).

Bosqueja la gráfica de la función y=x2+x

Da un ejemplo de una función real cuya concavidad sea siempre hacia arriba en todo su

dominio. Encuentra la función

inversa de f(x) = 2x + 1

Da un ejemplo de una función que sea igual a su inversa.

¿Cuántos puntos de intersección tienen la

parábola y = x2- 4x + 5 y la recta y = 2x + 5 ?

Encuentra la ecuación de una recta que tenga dos puntos de intersección con la parábola

y = x2- 4x + 5.


11. El vendedor de enciclopedias * (5) Retomemos este problema para mirarlo con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras tareas son:

• Mejorar las respuestas que obtuvimos en la primera ocasión. • Responder las preguntas que quedaron sin respuesta. • Hacer una generalización a partir de alguno de los aspectos matemáticos

de los problemas inspirado en el trabajo que realizamos con este problema y resolverlo.

• Recordemos que desde que resolvimos este problema por primera vez hemos aprendido nuevas técnicas que podemos emplear en su solución.

12. Epifanía Valentina llegó temprano a su clase de música. A punto estaba de sentarse cuando advirtió, disgustada, que había olvidado su cuaderno en su refugio predilecto: la siempre cómoda y acogedora biblioteca. No podía perderse el comienzo de la clase, así que corrió a la biblioteca, cogió su cuaderno y, corriendo también, regresó a su asiento, a tiempo para comenzar su, muy probablemente dis frutable, clase de música. Pero en el camino se encontró a su bienamado Juan y se detuvo a intercambiar algunas muestras de su muy auténtico cariño, lo que le llevó 4 minutos, pero de los largos. La biblioteca está en un punto diametralmente opuesto del salón de clases de Valentina en el patio circular, que tiene 500 metros de diámetro, de la escuela. Valentina tardó, en total, 9 minutos.

Construye una gráfica que describa los cambios de posición de Valentina en su trayecto de ida y vuelta con respecto al tiempo.

Todos hemos escuchado, o hecho, descripciones de objetos en movimiento, que incluyen expresiones como «detenido», «rápido», «lento», «más rápido», «disminuyó su velocidad», «más alejado», «aceleró más» y muchas otras que seguramente te han asaltado la memoria. Identifica en la gráfica algunas partes con estas expresiones y describe las características de la gráfica que les corresponden.

Ahora convengamos en que la velocidad de Valentina es positiva cuando se dirige a la biblioteca y negativa en sentido contrario. Identifica en la gráfica intervalos en los que la velocidad sea positiva, negativa o nula, y describe las características de la gráfica. Al igual que en el párrafo anterior, introduce matices en la descripción de la velocidad y anota las características correspondientes de la gráfica.

13. El esfuerzo Cuatro jóvenes quieren ir al concierto de Back Street Boys, el costo del boleto es de 1800.00 pesos y como no tienen dinero salen a buscar trabajo, una persona les ofrece un trabajo, que consiste en transportar de la bodega al tráiler de las 7:30 horas, que sale a Aguascalientes, 138 Kg. de mercancía, pero el dueño les dice que lo tienen que hacer en un solo evento, por lo cual les pagará $7.50 el kilo transportado, empiezan a trabajar y de primera intención los cuatro cargaron con pesos iguales, pero se dieron cuenta que sobraba mercancía, entonces, los tres mayores se sintieron capaces de cargar más y aumentaron su carga con la mitad de lo que habían tomado. Todavía sobraba mercancía y los dos mayores aumentaron


su carga en un tercio de la que ya llevaban y así lo hicieron, pero todavía sobraba mercancía, el mayor aumentó su carga en una quinta parte más de lo que llevaba.

(a) ¿ Cuántos kilogramos cargó cada uno?

(b) ¿Les alcanzó lo que les pagaron, a cada uno de ellos, para completar el costo del boleto?

(c) ¿Cuántos días tendrán que realizar el mismo trabajo para alcanzar el costo del boleto cada uno de ellos?

(d) Escribe la ecuación que te permite resolver este problema para cualquier monto de mercancía.

14. La gris acera Érase que se era un crudelísimo profesor de matemáticas, de cuyo nombre no quiero acordarme (pero si tú lo recuerdas, anótalo aquí ___________________) que, acosado por insoportables remordimientos, decide dejarse caer desde el techo de un edificio para librar a las generaciones venideras de muchos momentos de tedio y rutina sin sentido. Sus posiciones 2, 3, 4 y 5 segundos después de haber iniciado su descenso eran 220.5, 196, 161.7 y 117.6 metros, respectivamente, con respecto al nivel de la banqueta.

¿Cuál es la altura del edificio?

Escribe la fórmula que relaciona el tiempo de descenso y la posición.

¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo?

¿Qué posición ocupa 10 segundos después de haber iniciado su descenso?

¿Cuánto tiempo después de dejarse caer habrá recorrido la mitad de la altura del edificio?

¿Con qué velocidad tocará la gris acera el desventurado mentor?

15. Voi che sapete Una compañía de discos estima que podrá vender siete mil álbumes de una nueva versión de "Le nozze di Figaro" de Mozart-Da Ponte a $290 cada álbum. Por cada reducción de $5 en el precio por álbum, calcula que venderá 300 álbumes más. A la compañía cada álbum le cuesta $95 y sus costos fijos son de $100000 en el período de producción.

Encuentra el número de álbumes que darán a la compañía la ganancia máxima.

Encuentra el número de álbumes que darán a la compañía la ganancia máxima por cada peso invertido.

Escribe un problema inspirado en éste, con un cuestionario detallado, y resuélvelo.

16. La gris acera * (14) Una vez que obtuviste la relación que hay entre la posición del profesor y el tiempo transcurrido desde que se dejó caer queda sólo una pregunta sin respuesta ¿Con qué velocidad tocará la gris acera el desventurado mentor? Este contacto ocurre en un


instante (¿cuánto dura un instante?), así que para calcular su velocidad (¿es constante su velocidad durante su descenso?, es decir, ¿desciende con la misma velocidad en cada instante de su recorrido? Explica con un argumento cuantitativo) en ese instante tendríamos que saber la distancia que recorre y el tiempo que transcurre. Vamos a llenar la tabla siguiente para explorar estas cuestiones:

En el intervalo que va

de x1

a x2

El profesor recorre

(en metros)

El intervalo

dura (en

segundos)

La velocidad promedio del profesor es

(en metros por cada segundo)

La pendiente del segmento

que une los dos puntos

considerados es 0 7 3 7 5 7 6 7

6.9 7 6.99 7

6.999 7 6,9999 7

Da un tratamiento similar a cada uno de los instantes enteros del descenso del profesor e identifica el patrón que tiene la velocidad en cada instante. Encuentra la fórmula que relaciona la velocidad instantánea del profesor durante su descenso con el tiempo que ha transcurrido desde que comenzó a caer.

1 2 3 4 5 6 7 8

50

100

150

200

x

y


17. La madre Gea se sacude Un terremoto emite una onda primaria y una secundaria. La onda primaria viaja aproximadamente a 8 kilómetros por segundo y la secundaria a 5 kilómetros por segundo. En una estación sísmica se registra una diferencia de 12 segundos entre la llegada de las dos ondas. ¿A que distancia de la estación ocurrió el terremoto?

18. Figaro qua, Figaro lá, Figaro su, Figaro giú En la peluquería del Incógnito Señor Figaro, el corte de pelo cuesta $75 para caballero, $ 67.5 para niño y $ 90 para dama. Toma 20 minutos hacer el corte de pelo de caballero, 15 minutos a un niño y 30 minutos a una dama y tiene el quíntuplo de clientes hombres que de mujeres. La peluquería estuvo abierta desde las 8:00 am hasta las 6:00 pm y empleó 45 minutos para el almuerzo. Recogió un total de $ 2 137.5 ¿Cuántos hombres, mujeres y niños se cortaron el pelo ese día?

19. Las misceláneas: Dédalo y Calipso En una ciudad chica hay dos misceláneas, «La gruta de Calipso» y «El laberinto de Dédalo» que compiten por 1000 clientes potenciales. Cada mes, el 80% de los clientes de Calipso queda satisfecho y regresa a comprar ahí mismo, mientras que el 20% restante prefiere irse con Dédalo. En cambio, de los clientes de Dédalo, sólo el 70% queda satisfecho, el otro 30% se va con Calipso. El número de clientes en cada miscelánea se estabiliza cuando el número de los que dejan de comprar en una miscelánea es igual a los que vienen a comprar de la otra, ¿cuántos clientes habrá en cada tienda en ese momento?

Resuelve el mismo problema suponiendo que al principio hay 500 clientes en cada tienda y observando cómo evoluciona la situación mes por mes. ¿Qué ocurre si se suponen otros datos iniciales, por ejemplo, 700 clientes en una miscelánea y 300 en la otra, etcétera?

20. El asta reincidente Un asta de metal se rompió en un punto, quedó con la parte superior doblada en forma de gozne y la punta tocando el suelo en un punto localizado a 20 metros. Se reparó, pero volvió a romperse. En esta ocasión en un punto 5 metros más abajo que la vez anterior y la punta tocando el suelo a 30 metros de la base. ¿Qué longitud tiene esta astota?

21. Voi che sapete * (15)

22. Tarjetitas Hipodamía y Pélope se entretienen enviando postales a sus amigos. Hipodamía puede llenar y doblar todos los sobres que tienen en seis horas, en tanto que Pélope, más lerdo, requiere de ocho horas. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenar y doblar todos los sobres si lo hacen juntos?


23. Tinacos: El negrito que no se raja Dos tinacos con idénticas capacidades son alimentados por sendas bombas. Una bomba llena uno de los tinacos en cinco minutos menos que la otra. Si las dos bombas abastecieran al mismo tinaco lo llenarían en cinco minutos. ¿Cuánto tiempo tarda cada una de estas bombas en llenar un tinaco?

24. La organización de conciertos y las matemáticas Por problemas con las autoridades delegacionales se tiene que cambiar el escenario de un concierto de rock. Se debe acondicionar en menos de 8 horas. Una empresa puede instalar los asientos en 12 horas y cobra $20 000, Otra se tarda 18 horas y cobra $15 000 por hacer el mismo trabajo. ¿Se podrá realizar el concierto si se contrata a las dos empresas? ¿En qué términos se debe establecer el contrato para que los organizadores paguen lo menos posible?

25. Pintores Un hombre puede pintar una cerca en ocho horas; su hijo mayor puede hacerlo en diez horas y su hijo meno en doce horas. El trabajo lo iniciaron conjuntamente, pero después de dos horas, el menor de los hijos se retiró y cosa igual hizo el mayor una hora después.

¿Cuánto tiempo tardó el padre en completar el trabajo?

26. Labores escolares Andrea y Citlali trabajaron juntas cinco horas, logrando realizar en ese tiempo la mitad del trabajo que pensaban presentar en una exposición. La tarde siguiente Andrea trabajó sola durante dos horas, luego se incorporó Citlali y juntas terminaron en cuatro horas más. ¿Cuánto tiempo le hubiera tomado a cada una hacer sola todo el trabajo?

27. Tiestes y Atreo en festines horrendos Tiestes y Atreo, dos hermanos, lavaron las paredes de su cuarto en tres horas. Calcula el tiempo que requerirá cada uno de ellos para lavar solo las paredes de otro cuarto igual, si Tiestes necesita dos horas y media más que su hermano para hacer el trabajo.

28. Las escaleras cruzadas Dos escaleras, de 1.8 y 1.2 metros de largo, respectivamente, se apoyan en los lados opuestos de un pasillo que está entre dos edificios, con los pies de las escaleras en las bases de los edificios. Las escaleras se cruzan a una distancia de 0.3 metros por encima del pasillo. ¿Cuál es la anchura del pasillo?


II. Problemas con guía

1. La zorra y el perro

Una zorra da 2 y 1/3 saltos por cada segundo. Cuando ha avanzado 30 y 1/4 saltos, se suelta un perro para que la persiga. El perro da 4 y 1/2 saltos por cada segundo. ¿Cuánto tardará el perro en alcanzar a la zorra?

Cuestionario (1) Expresa en forma de fracción común impropia el número de saltos que lleva de

ventaja la zorra.

(2) Después de un segundo de la salida del perro, imagina que tomas una foto instantánea y descríbela cuantitativamente.

(3) Haz una tabla que describa las posiciones de los animales en cada segundo.

(4) ¿Qué significa que las posiciones de los animales sean la misma?

(5) Haz otra tabla en la que aparezcan los mismos renglones y columnas que en la anterior, pero escribe las cantidades indicando las operaciones que realizaste, sin efectuarlas.

(6) Identifica la estructura de cada una de las cantidades que relaciona tu tabla y expresa la relación mediante una ecuación.

(7) ¿Cómo verificas que tu solución es correcta? Explica.

(8) ¿Qué aprendizajes utilizaste para resolver el problema?

(9) En caso de no haberlo resuelto, escribe tus conclusiones, con una reflexión sobre las causas de que no lo hayas podido resolver.

(10) ¿Qué caminos o estrategias seguiste para tratar de resolver el problema?

(11) Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado).


2. Las ballenas de Alaska

En un estudio reciente se afirma que la población actual de ballenas en Alaska está entre 5700 y 10600 y que la diferencia entre los nacimientos y las muertes naturales da lugar a un crecimiento de aproximadamente 3% anual. Los esquimales de Alaska tienen permiso para cazar 50 ballenas cada año para su supervivencia.

Cuestionario (1)Supongamos que en 2000 la población de ballenas era de 5700.

(a) ¿Cuál es el cambio en un año en esta población debido a la diferencia entre los nacimientos y las muertes naturales?

(b) ¿Cuál es el cambio en un año debido a la cacería de los esquimales?

(c) ¿Cuál sería la población de ballenas en 2001?

(2) Escribe las instrucciones para calcular a partir de la población de un año dado la población del año siguiente. De ser posible hazlo en tu calculadora.

(d) Haz una tabla con tus estimaciones hasta el año 2010. Traza una gráfica.

(e) Haz otra tabla pero supón ahora que la población en 2000 era de 10600. Traza una gráfica.

(3) Aplica la estrategia ‘¿Qué pasaría si . . .?’ con respecto al volumen de caza permitido. Escribe tus conclusiones.

(4) En este estudio hiciste estimaciones para varios años futuros, basándote en las tendencias de crecimiento del pasado.

(f) ¿Qué cálculos tuviste que hacer para estimar el cambio en el número de ballenas de un año al siguiente? Aplica la estrategia de ‘indicar sin efectuar’ para identificar la expresión algebraica que relaciona el tiempo y la población.

(g)¿Cómo puedes predecir la población de ballenas dentro de muchos años?

(h)¿Qué semejanzas y qué diferencias adviertes entre el patrón de cambio de la población de las ballenas y el de los seres humanos?


3. Sucesiones

Escaleras

Con ocho palillos puedes hacer una escalera de dos peldaños.

Con once palillos puedes hacer una escalera de tres peldaños.

¿Cuántos palillos necesitas para hacer una escalera de 20 peldaños?

¿Y para hacer una escalera de 1000 peldaños?

Una sucesión numérica

Llena los espacios de la sucesión numérica que continúa con el mismo patrón: 4, 10, 16, 22, 28, , , , , , , ,

¿Cuál es el 10º término de la sucesión? ¿Y el 100º? ¿Y el n-ésimo?

Los pininos

Puedes dibujar pinos de diferentes tamaños pero siempre con el mismo diseño. Aquí tienes tres ejemplos. Por sus brochazos distintivos de pintura fosforescente se llaman pininos.

tamaño 13 brochazos



¿Cuántos brochazos hay en un pinino de tamaño 20?

Explica cómo llegaste a la respuesta.

¿Cuántos brochazos hay en un pinino de tamaño 100?

¿Cuántos brochazos hay en un pinino de tamaño n?

Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) con respecto al aprendizaje que lograste en es ta actividad.


4. Los ubicuos porcentajes

(1)En una tienda puedes conseguir un descuento del 20%, pero al mismo tiempo, tienes que pagar un impuesto del 15%.

¿Qué preferirías que calcularan primero, el descuento o el impuesto?

Elabora una justificación general de tu respuesta.

(2) Elabora un algoritmo para que un empleado no muy «ducho» en aritmética lo aplique y pueda resolver los siguientes asuntos:

a) Cobrar un producto incluyendo el 15 % de impuesto.

b) Cobrar un producto con el 30 % de descuento.

c) Cuánto debe incrementar el costo de un producto para obtener una ganancia del 40 %.

d) Cuál es el porcentaje que debe incrementar el costo de un producto para que cuando lo ponga a la venta con un descuento de 30 %, tenga una ganancia del 40 %.

e) Qué porcentaje de incremento en el precio de un producto representan $100.00

(3) Justifica tus respuestas a las preguntas siguientes:

a) ¿Es igual el efecto de un aumento de x % seguido de otro aumento de y % que el de un aumento de (x+y) %?

b) ¿Es equivalente el efecto de un aumento de x % seguido de una disminución de x % a un aumento neto de 0 %?

c) ¿Es igual el efecto de un aumento de x % seguido de una disminución de y % que el de una disminución de y % seguida de un aumento de x %?

d) Al colocar los azulejos que compro se desperdicia un x %. ¿Cuántos azulejos debo comprar si necesito colocar 1000 en mi baño?

e) Un artículo cuesta $ p con el 10 % de IVA incluido. ¿Cuánto debo pagar por el artículo si el IVA sube a 15 %?

(4) Pretextato quiere comprarse dentro de un año una computadora que cuesta actualmente $8000, más IVA. Sus papás ofrecen pagar dos quintas partes del precio de la computadora si él reúne el resto.

a) Si se espera una inflación del 2.8 % mensual, ¿cuánto necesita ahorrar cada semana?

b) Si quiere comprar dentro de m meses un objeto que actualmente cuesta $ p, y sus papás ofrecen aportar dos quintas partes del costo, ¿cuánto deberá ahorrar Pretextato cada mes? Y si se espera una inflación de j % mensual ¿qué cantidad deberá ahorrar cada mes?


5. Los peluqueros atribulados

Un peluquero atiende un promedio de 72 clientes por semana y cobra $18 por cada corte. Quiere aumentar sus ingresos y piensa que puede lograrlo subiendo los precios, pero estima que por cada incremento de $2 en el precio por corte perderá 5 clientes.

Cuestionario (1) Haz una tabla que contenga las columnas de número de incrementos de $2,

de precio por corte, de número de clientes, de ingresos, de primeras diferencias de ingresos y de segundas diferencias de ingreso. Explica el significado de los valores que obtuviste en las dos últimas columnas.

(2) Traza la gráfica de número de clientes versus ingresos.

(3) Traza la gráfica de precio por corte versus ingresos.

(4) Traza la gráfica de número de incrementos de $2 versus ingresos.

(5) ¿Cuáles son los precios que puede cobrar para tener ingresos mayores a los actuales?

(6) ¿En qué condiciones tiene ingresos nulos?

(7) ¿En qué conjuntos de valores las gráficas son crecientes? Explica lo que significa cada caso.

(8) ¿En qué conjunto de valores las gráficas son decrecientes? Exp lica lo que significa cada caso.

(9) Interpreta la pendiente del segmento entre dos valores consecutivos en cada una de las gráficas.

(10) ¿Qué precios debe cobrar si quiere tener ingresos superiores a $1000 semanales?

(11) ¿Cuánto debe cobrar por corte de pelo para obtener los mayores ingresos semanales?

(12) Escribe tres preguntas sobre el caso del peluquero, y respóndelas.

(13) Inventa un problema inspirado en las tribulaciones del peluquero, incorporando otros factores que lo hagan más real. De ser posible consulta con un peluquero.

(14) ¿Otro peluquero?

Otro peluquero atiende un promedio de 72 clientes por semana y cobra $18 por cada corte. Quiere aumentar sus ingresos y piensa que puede lograrlo subiendo los precios, pero estima que por cada incremento de $1 en el precio por corte perderá 6 clientes.

Elabora un cuestionario similar al del problema del otro peluquero y determina el precio que debe cobrar para obtener los mayores ingresos semanales.


6. Identidades algebraicas

Observa cuidadosamente las siguientes figuras y establece la relación que hay entre cada figura y la identidad algebraica correspondiente. Redacta un párrafo para cada figura y destaca en tu descripción los elementos que te ayudaron a establecer la relación.

x

a b c

ax bx cx

1

x a

b

ax

bx

x x 2

ab

2

x(a+b+c) = xa + xb + xc (x+a)(x+b) = x2 + ax + bx + ab

a b

a(a+b)a

b b(a+b)

3

a

b

a 2a

b

b 2ab

ab

4

(a+b)2 = a(a+b) + (a+b)b (a+b)2 = a2 + 2ab +b2

a

(a-b) 2

a

b

b

b ab

ab

a

5

a

ba

b b2

a-bb

a-b

6

(a-b)2 = a2 -2ab + b2 a2 - b2 = (a+b)(a-b)


ab a

b a

b

(a-b) 2

b

ab

ab

ab

b

a

a

7

(a+b)2 - (a-b)2 = 4ab

(8) Establece las identidades algebraicas que son ilustradas por las siguientes figuras.

k

a b

ka kb

a

x x

x

x

2x

2x

b

x

1

x

1

1c

a

k

ba-bd

a

d

b

c-d

e

(9) Representa por medio de figuras las siguientes identidades algebraicas:

a) (x+3)(x-2) = x2 + x - 6

b) (a-b)(2a-b) = 2a2 - 3ab + b2

c) (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac

d) (a+b)(x+y+z) = ax + ay + az + bx + by + bz

(10) AB es un segmento de recta con punto medio en C, que se prolonga por B hasta D. Dado que AD = 2AB, representa por medio de una figura la relación AD*BD = 8AC2. Establece la identidad algebraica correspondiente, con AC=x.


(11) A, B, C, D son cuatro puntos colocados en orden sobre una línea recta. Representa por medio de una figura la relación AC*BD = AB*CD + AD*BC. Te ayudará rebautizar a los segmentos AB, BC, CD como x, y, z, respectivamente. Establece la identidad algebraica correspondiente.

(12) El segmento AB, con punto medio en C, se prolonga por B hasta un punto cualquiera D. Representa por medio de una figura AC*AD = CB*BD + 2AC2. Establece la identidad algebraica correspondiente.

7. Cursos de actualización

Una empresa de consultores profesionales prepara el lanzamiento de un paquete de cursos de actualización y necesita determinar cuál es el precio óptimo del paquete. Encargó una encuesta que se aplicó a los clientes potenciales para averiguar cuánto estaban dispuestos a pagar por los cursos. Los datos que se obtuvieron de la encuesta se resumen en la tabla siguiente:

Número de participantes

Precio del paquete de

cursos 50 9625

100 9000 150 8125 250 5625 270 5000 300 4000 350 2125

(1) Con base en los datos anteriores, encuentra una relación que describa el precio de

un paquete en función del número de participantes. (2) Determina el número de participantes que maximiza los ingresos. ¿Cuáles serían los

ingresos máximos? (3) Supón que los costos fijos del paquete de cursos ascienden a 200000 pesos sin

importar cuántos participantes se inscriban. Además por cada participante la empresa gasta 230 pesos. ¿Cuántos participantes se deben inscribir para maximizar la ganancia? ¿Qué precio maximiza la ganancia?

(4) Si se logran bajar los costos fijos a 150000 pesos, ¿qué ocurre con la ganancia máxima?

(5) Si se supone que los costos fijos ascienden a 200000 pesos, ¿cómo afecta un incremento en los costos variables a 300 pesos por cada paquete en la ganancia máxima? ¿Y en el precio óptimo?

(6) En las condiciones de los puntos 3, 4 y 5, ¿cuál sería la ganancia máxima por cada peso invertido?

(7) ¿Cuál de las dos ganancias resulta un mejor indicador del beneficio que obtiene la empresa?

(8) Aplica el Modelo PER.


8. La cajita perenne

Se puede hacer una caja abierta de un pedazo rectangular de cartulina, recortando un cuadrado de lado x en cada esquina y doblando las pestañas que resultan hacia arriba.

Si, por ejemplo, la cartulina mide 30 cm por 40 cm, encuentra las dimensiones de la caja que tiene el volumen máximo.

Cuestionario

(1 ) Haz un esquema o dibujo que represente la situación del problema.

(2) Relaciona las características de la figura plana y las correspondientes de la caja,

(3) Escribe la fórmula que te permite calcular el volumen de la caja identificando lo que representa cada letra y sus unidades. Identifica las dimensiones de la base de la caja y la altura,

(4) Haz una tabla que contenga el lado del cuadrado que cortas en cada esquina y el volumen correspondiente.

(5) Aplica la estrategia de la lupa en la región que parece contener el volumen máximo.

(6) Repítela hasta que obtengas un valor del lado y que sea del orden de milésimos.

(7) Traza una gráfica con x en el eje horizontal y el volumen en el eje vertical.

(8) ¿Cómo verificas que el volumen que obtuviste es el máximo? Explica.

(9) ¿Qué aprendizajes utilizaste para resolver el problemas?

(10) En caso de no haberlo resuelto, escribe tus conclusiones, con una reflexión sobre ¡as causas de que no lo hayas podido resolver.

(11) ¿Qué caminos o estrategias seguiste para tratar de resolver el problema?


9. Hamfast

El maestro Hamfast del pueblo de los Hobbits gozaba de reconocimiento gracias a las mercancías que tenía en su tienda y que vendía por peso -sólo en kilogramos enteros- hasta un máximo de 40 kg.

Era un deleite observar cómo atendía a sus clientes, pues le bastaban cuatro únicas pesas para equilibrar la balanza en todo tipo de pedidos.

¿Sabrías deducir cuáles eran las medidas de esas cuatro pesas?

¿Qué hacía el maestro para pesar 4 kg?, ¿y 5 kg?, ¿y 6 kg?, ¿y 13 kg.?, ¿y 16 kg?, ¿y 38 kg?


Justifica todas tus respuestas.

Cuestionario

¿Le pedirías al maestro Hamfast que te vendiese tres cuartos o kilo y medio de algo?

¿Cuántos tipos de bolsas deberá tener el maestro para envolver las mercancías?

Para pesar cierta cantidad de mercancía en una balanza ¿siempre se pone ésta en uno de los platillos y las pesas en otro? Haz un dibujo aclaratorio.

Recuerda la descomposición polinómica de un número, por ejemplo: 4702 = cuatro mil sete-cientos dos = 2*100 + 0*101 + 7*102 +4*103, y, en general,

N = q... dcba = a*x0 + b*x1 + c*x2 + d*x3 + ... + q*xp

¿Qué representa la x? ¿Qué es cada una de las letras: a, b, c, ..., q?

Justifica ahora por qué NO PUEDEN SER cuatro pesas del tipo:

1 kg, 2 kg, 4 kg, 8 kg, 16 kg, 32 kg, ... etc.

Comprueba que, de ningún modo, las cuatro pesas son del tipo:

1 kg, 4 kg,16 kg, 64 kg, ... etc.

Demuestra que no pueden ser cada una de ellas del tipo: ax con a = 4.

¿De qué tipo son las pesas?

Contesta ahora a la segunda pregunta del enunciado del texto.

Escribe ahora las medidas de cada una de las cuatro pesas del maestro.

¿Cómo titularías este texto?

Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) con respecto al aprendizaje que lograste en esta actividad.

10. Qué diferencias, ¡ay! tan finitas

¿Cuál es la regla? Para cada una de las siguientes sucesiones escribe los siguientes tres términos y el n-ésimo término (1) 3, 12, 27, 48, 75, , , , … , (2) 2, 7, 16, 29, 46, , , , … , ¿Cuál es la suma? ¿Cuántas sumas puedes encontrar para las siguientes series? Expresa tu respuesta como una regla general. Prueba tu regla cuando n = 1, n = 2 , etc (3) 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + … + (n + 2) = (4) 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + … + (4n - 3) =


Diagonales de un polígono Una diagonal de un polígono es un segmento de recta que une cualesquier dos vértices no adyacentes. Aquí, n representa el número de lados del polígono. (5) Encuentra la regla general para hallar el número de diagonales de un polígono

de n lados.

•

••

• •

••

•

••

•

•

•

•

•

•

•

•

n =3 n = 4 n = 5 n = 6

Sugerencia: Haz una tabla de dos columnas, en la primera coloca el número de lados del polígono y en la otra el número de diagonales del polígono dado. Completa la tabla hasta un polígono de nueve lados. ¿Cómo encontraste el patrón? ¿Cuál es la fórmula? (6) ¿Cuál es la fórmula que expresa la relación que hay entre p y t, tal como se

muestra en la tabla siguiente?, ¿qué valor le corresponde a p cuando t es 6?

t 0 1 2 3 4p 100 90 70 40 0

Regiones de un círculo Una cuerda es un segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia. Aquí, n es el número de cuerdas. (7) Encuentra la regla general que da el número de regiones formadas por n cuerdas.

n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 Utiliza la sugerencia del problema anterior. Cuadrados de un cuadrado


Un cuadrado grande puede dividirse en muchos cuadrados más pequeños. En este problema, asegúrate de contar todos los cuadrados, pero no cuentes rectángulos que no sean cuadrados. Aquí, n representa el número de unidades en un lado del cuadrado grande. (8) Expresa como regla general el número de cuadrados que hay en un cuadrado de

n x n.

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4

Si n = 1, hay 1 cuadrado.

Si n = 2, hay 5 cuadrados

Si n = 3 , hay 14 cuadrados.

... etcétera

Utiliza la sugerencia dada para el problema de las diagonales.


11. Rectas y sus ecuaciones

(1) ¿Cuál es de cuál?

Relaciona las siguientes ecuaciones con su gráfica correspondiente y traza la gráfica de las restantes.

a)y = x

b)y = -x

c) y = x + 2

d)y = -2x + 2

e)y = 2x – 2

f)y = 2x

g)y = -x – 2

h) y = 2x + 2

i)

221

+−= xy

j)y = -2x

k) xy21

=

l) xy21

−=

m) y = -x +2

n) y = -2x –2

o) y = -2x - 3

p) y = x – 2

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]


(2) Encuentra la ecuación de las siguientes rectas:

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-4 -2 2 4x

40

45

50

55

60

65

-4 -2 0 2 4x

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

20 40 60 80 100x

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 10 20 30 40 50x

-2

-1

0

1

2

-10 -5 5 10 15 20x


(3) Al revés

Representa gráficamente las siguientes rectas:

4x – 3y + 10 = 0

4x – 6y – 3 = 0

2x – 3y – 10 = 0

3x – 2y + 5 = 0

2x – 3y – 3 = 0

5y – 7 = 0

2x + 4 = 0

¿Hay gráficas paralelas o perpendiculares? ¿Cuáles son?

(4) En medio de las paralelas

Encuentra la ecuación de la recta que es paralela a las rectas:

2x + 3y – 9 = 0

4x + 6y + 36 = 0

y que pasa por en medio de ellas. Es recomendable que grafiques las ecuaciones.

(5) La intersección

La recta L es perpendicular a la recta: 2x + 3y – 6 = 0 y pasa por el punto (-3,1), ¿dónde corta la recta L al eje y?

(6) La otra incógnita

Encuentra el valor de k de la ecuación kx – y – 3k = - 6 sabiendo que su ordenada al origen es 5.

(7) ¿Existe la distancia a una recta?

¿Cuál es la distancia que separa a las dos rectas paralelas:

2x – 5y + 10 = 0

15y – 6x + 45 = 0

entre sí?


(8) Un sencillo baile

Los alumnos del último semestre están organizando un baile de bienvenida a los alumnos de nuevo ingreso. Decidieron contratar a dos grupos de rock y las condiciones de pago que imponen los grupos son:

El primer grupo cobra 3 000 pesos más el 40% de lo recaudado por las entradas mientras que el segundo grupo cobra 6 450 pesos más el 10% de lo recaudado por las entradas.

Pero no hay acuerdo entre los organizadores: se establece una ardua discusión entre ellos porque algunos piensan que el segundo grupo cobrará más que el primero, otros (partidarios del primer grupo) le piden que argumenten irrefutablemente su posición (es decir, usando matemáticas).

Los partidarios del primer grupo piensan que lo que deben hacer es manipular el precio de las entradas de tal forma que el primer grupo gane más que el segundo. ¿Cuánto es lo menos que tienen que cobrar por persona para que eso se cumpla si estiman que habrá 500 personas que paguen su entrada?

Por otro lado, independientemente de quién gane más que quién, también se enfrentan a otra cuestión: deben poder pagarle a los dos grupos con el dinero que se recaude de las entradas ¿Cuánto es lo menos que deben cobrar por persona para que con las entradas alcancen a pagarle a los dos grupos? ¿Cuál es el grupo que cobraría más, finalmente?

12. Moira y Eris

Moira salió de Acapulco en su automóvil hacia el DF, que está a 434 Km por la carretera libre a las 6:00 AM de ayer, con una velocidad promedio de 80 kilómetros por hora. Al mismo tiempo que Moira salía de Acapulco, Eris salió por la misma carretera en su automóvil del DF hacia Acapulco, su velocidad promedio fue de 60 kilómetros por hora. Ambas viajaron por la carretera libre y mantuvieron sus velocidades constantes. Una hora después de haber salido, a las 7:00 AM, ¿a qué distancia estaba Moira de Acapulco?, ¿y del DF?, ¿qué distancia se hallaban separadas Eris y Moira en la carretera? (Sugerencia 1: Haz una tabla con los datos que obtengas de “tomar instantáneas” a distintas horas y describir las posiciones de las dichosas jóvenes. Para obtener los datos de la tabla hiciste varias operaciones, escríbelas nuevamente, dejándolas indicadas, sin efectuarlas, observa su forma y trata de usar esta estructura para responder las preguntas siguientes). t horas después de haber salido, ¿a qué distancia estaba Moira de Acapulco?, ¿y del DF?, ¿a qué distancia estaba Eris del DF?, ¿y de Acapulco?, ¿qué distancia separaba


a Eris y a Moira en la carretera?, ¿qué valores puede tomar t para que estas expresiones tengan sentido? ¿A qué hora se cruzaron Eris y Moira en la carretera?, ¿a qué distancia de Acapulco ocurrió su encuentro? (Sugerencia 2: Si no puedes manejar la variable t, responde las dos últimas preguntas usando la tabla que hiciste. Localiza aproximadamente la hora en que ocurrió el encuentro y mejora la aproximación ampliando la tabla, como con el zoom de la graficadora, tomando instantáneas a intervalos de diez, cinco o un minuto. Después intenta otra vez la sugerencia 1). Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) con respecto al aprendizaje que lograste en esta actividad.

13. Viajes y viajeros

Los cuatro trenes

La gráfica representa los viajes de cuatro trenes, tres de ellos van de A a B, separados por una distancia de 120 kilómetros y el otro va de B a A.

2 pm 3 pm 4 pmtiempo, t, en horas

100

20

40

60

80

120

140

1 pm 5 pm

(1)

(2)

(3)

(4)

a) ¿Qué trenes viajan a la misma velocidad? ¿Cuál es esta velocidad?

b) ¿Cuál es el tren que viaja más lentamente? ¿Con qué velocidad viaja?

c) El tren (2) debería viajar a 50 km/h, ¿con cuantos minutos de retraso llegó a A?


14. Telmex y AT&T

En un internado de estudiantes, cada estudiante puede contratar una de dos compañías. Telmex cobra $87.5 por mes, más 80 centavos por llamada. AT&T cobra $82 por mes, más 90 centavos por llamada.

(1) Cuántas llamadas hace aproximadamente por mes?

(2) Escribe, para cada compañía, la ecuación que representa el costo de un mes dado en función del número de llamadas.

(3) Grafica cada una de las ecuaciones que escr ibiste en el inciso (b). Asegúrate de identificarlas (ya sea con colores distintos o con un letrero).

(4) Discute cómo se relacionan tus dos graficas con la solución del problema. ¿Cuándo cobran lo mismo ambas compañías? ¿Cuándo conviene más Telmex? ¿Cuándo AT&T?

(5) ¿Cuántas llamadas piensas que hace el estudiante promedio de tu clase?

(6) ¿Cómo puedes averiguar la respuesta al inciso (e)?

(7) Lleva a cabo el plan que hiciste en el inciso (f).

(8) Decide cuáles estudiantes de tu grupo contratarían cada compañía y explica por qué.



15. Las velas

Dos velas del mismo largo están hechas de materiales distintos, tales que una de ellas se consume uniformemente hasta terminarse en cuatro horas en tanto que la otra se consume en seis horas.

2 4 6

tiempo, t, en horas

100

20

40

60

80

120

140

vela Γ

vela Ω

Cuestionario (1) ¿Cuál es la ecuación de la recta correspondiente a cada vela? Da una explicación con palabras de lo que representa cada una de ellas. (2) ¿Cuál es la pendiente de cada una? Explica el significado de cada pendiente en términos de la situación. (3) ¿A qué hora se deben encender ambas velas simultáneamente para que a las 5:00 PM un cabo de vela mida el doble que el otro? (4) Considera ahora la longitud de la vela consumida en lugar de su altura. Traza las gráficas, haz una comparación con las anteriores y explica cómo pueden ambos pares de gráficas representar la misma situación. (5) ¿A qué hora se deben encender ambas velas simultáneamente para que a las 5:00 PM un cabo de vela mida el triple que el otro? (6) ¿A qué hora se deben encender ambas velas simultáneamente para que a las 5:00 PM un cabo de vela mida n veces el otro? ¿Puede n tomar cualquier valor? (7) Inventa, redacta y resuelve un problema que se pueda representar con el mismo modelo matemático. (8) Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) con respecto al aprendizaje que lograste en esta actividad.


16. Los peluqueros atribulados * (5)

Retomemos este problema para mirarlo con nuestros ojos de hoy. Ahora nuestras tareas son:



Recordemos que desde que resolvimos este problema por primera vez hemos aprendido nuevas técnicas que podemos emplear en su solución.

17. Identidades Algebraicas * (6)





18. La razón áurea

1

Cuando los griegos se plantearon la pregunta

¿Cuál es la forma ideal, la más armoniosa, en el arte?,

pensaron que la respuesta debían darla las matemáticas. Para responderla apropiadamente la transformaron en otra pregunta

¿Cuál deberá ser la razón de la base con respecto a la altura de un rectángulo, de tal forma que si se recorta un cuadrado del rectángulo original, el rectángulo restante tenga la misma forma que el rectángulo original?

Tú, como los griegos, seguramente podrás hallar la respuesta.

2

La forma ideal de un rectángulo en el arte es el rectángulo áureo inventado (¿o descubierto?) por los griegos. Si se recorta un cuadrado de un rectángulo áureo se obtiene un rectángulo menor que conserva la misma razón de largo a ancho que el rectángulo original. Por lo tanto esta razón de largo a ancho es


51 +

2 (Como seguramente ya averiguaste en la primera parte).

Ahora:

1. Construye un rectángulo áureo.(Sugerencia: construye un segmento, cuya longitud sea la altura del rectángulo que vas a cons truir, y después construye otro segmento que esté en razón áurea con el primero, este último segmento será la base de tu rectángulo).

2. Divídelo en un cuadrado, cuyo lado sea igual al ancho del rectángulo original, y en un rectángulo.

3. Construye un arco de circunferencia con centro en un vértice del cuadrado adyacente al rectángulo.

4. Prosigue subdividiendo este último rectángulo en un cuadrado y un rectángulo, y construye otro arco de circunferencia en el cuadrado que continúe el primer arco.

5. Repite esta operación tres veces más.

a) Calcula la longitud del primer arco de circunferencia.

b) Calcula la longitud de la curva formada por los cinco arcos de circunferencia.

c) Si se continúa repitiendo la construcción calcula la longitud de la curva fo rmada por los k arcos de circunferencia.

19. Dos conjuntos de puntos

I. En un plano formado por dos ejes graduados, perpendiculares,

* Nos interesan los puntos del plano con coordenadas (x, y) definidas por la relación

)2

7)(4(x

xy −+=

1) Llamemos A al conjunto formado por estos puntos. 2) Propón 5 parees de coordenadas correspondientes a puntos de A y 5 pares

de coordenadas correspondientes a puntos que no pertenezcan a A. 3) Representa gráficamente la mayor cantidad posible de puntos de A. 4) ¿Hay puntos de A sobre el eje de las abscisas? ¿Y sobre el eje de las

ordenadas? Si es así, da las coordenadas de estos puntos. Si no explica por qué.

5) ¿Hay puntos de A que tengan la misma abscisa? ¿Y otros que tengan la misma ordenada? Si es así, da ejemplos; si no, explica por qué.


* Ahora nos interesa el conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas (x, y) están definidas por la relación

162 −= xy II. Llamemos B al conjunto formado por estos puntos (Responde a las mismas

preguntas que se formularon en el punto 1). * ¿Hay puntos comunes entre A y B? Si es así, da las coordenadas de estos puntos.

20. Moira y Eris *(12)





21. Las velas * (15)





22. La zorra y el perro * (1)






23. Mejor muerto que siervo

Perseguía un caballo vengativo

a un ciervo que le hizo leve ofensa;

mas hallaba segura la defensa

en su veloz carrera el fugitivo.

El vengador, perdida su esperanza

de alcanzarlo, y lograr así su intento,

al hombre le pidió su valimiento

para tomar del ofensor venganza.

Consiente el hombre, y el caballo airado

sale con su jinete a la campaña;

corre con dirección, sigue con maña,

y queda al fin del ofensor vengado.

Muéstrase al bienhechor agradecido

quiere marcharse libre de su peso:

más desde entonces mismo quedó preso,

y eternamente al hombre sometido.

(Félix Mª de Samaniego. Fábulas)

En estos cuatro cuartetos se describe la persecución de un caballo a un ciervo. Consideremos que la situación ocurrió de la siguiente manera:

El caballo vengativo persigue al ciervo. En el momento de iniciar la persecución, los dos animales estaban separados por una distancia de 62 m. Tanto la velocidad del ciervo como la del caballo eran constantes e iguales a 15 m/s. Después de 6 segundos de persecución, el caballo desesperanzado pide ayuda al hombre, pierde un segundo en hacerlo, pero al ser conducido por él su velocidad se incrementa a 20 m/s. Continúa persiguiendo al ciervo que conserva su misma velocidad.

¿A qué distancia se encontraba el caballo del ciervo tres segundos después de haberse iniciado la persecución? ¿y a los seis segundos? ¿y a los ocho?

Durante los primeros 6 segundos, ¿cuál es la expresión algebraica que relaciona la distancia, d, a la que se encuentra el caballo del ciervo con el tiempo, t, que tiene de haberse iniciado la persecución? Entre los seis y siete segundos de persecución, ¿cuál es la expresión algebraica que representa la distancia a la que se encuentra el caballo del ciervo en función del tiempo? Después de los siete segundos de persecución, ¿cuál es la expresión algebraica de la distancia a la que se encuentra el caballo del ciervo?

Sugerencia 1: Haz una tabla con los datos que obtengas de "congelar el movimiento" a distintos segundos y describir las posiciones de los infelices animales. Para obtener los datos de la tabla hiciste varias operaciones, escríbelas


nuevamente, dejándolas indicadas, sin efectuarlas, observa su forma y trata de usar esta estructura para responder las preguntas anteriores.

¿En que momento alcanza el caballo al ciervo? ¿Qué valores puede tomar t para las que expresiones algebraicas tengan sentido?

Sugerencia 2: Si no puedes manejar la variable t, responde las dos últimas preguntas usando la tabla que hiciste. Localiza aproximadamente la hora en que ocurrió el encuentro y mejora la aproximación ampliando la tabla, congelando el movimiento a intervalos de diez, cinco o una décimas de segundo

¿Era motivada la desesperanza del caballo? De no haber pedido ayuda al hombre, ¿hubiera alcanzado al ciervo? Justifica tu respuesta. Inventa un problema inspirado en el problema anterior en el que modifiques las condiciones iniciales, particularmente las relativas a las velocidades.

Aplica el Modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado).

24. Galletitas

Dos hermanos tienen una panadería chica cuya especialidad son las galletas.

Ellos hacen sólo dos tipos de galletitas- galletitas simples y galletitas nevadas (con una capa azucarada). Necesitan decidir cuántas docenas harán de cada tipo para mañana. Una docena de sus galletitas simples requiere una libra de masa de galletita (y nada de alcorza, pasta para la capa azucarada de las nevadas), mientras que una docena de las nevadas requiere de 0.7 de libra de masa de galletita y de 0.4 de libra de pasta de alcorza.

Los hermanos saben por experiencia que cada docena de las galletitas simples requiere alrededor de 0.1 de hora de preparación y cada docena de las galletitas nevadas requiere de 0.15 horas de preparación. También saben que no importa cuántas hagan de cada tipo serán capaces de venderlas todas.

Su decisión está limitada por los hechos siguientes:

• Los ingredientes que tienen a la mano: cuentan con 110 libras de masa de galletita y 32 libras de pasta de alcorza.

• El espacio disponible en el horno: tienen espacio para hornear un total de 140 docenas de galletitas para mañana.

• El tiempo de preparación disponible: juntos cuentan con 15 horas de preparación para las galletitas.


.

¿Por qué deberían preocuparse por cuántas galletitas de cada tipo harán? Pues, sinceramente, porque quieren ganar tanto dinero como puedan. Venden las galletitas simples a $6.00 la docena y a ellos les cuesta $4.50 hacerla. Las galletitas nevadas las venden a $7.00 la docena y les cuesta $5.00 hacerla.

La Pregunta:

¿Cuántas docenas de cada tipo de galletita deberían hacer los hermanos para obtener una ganancia tan grande como sea posible?

Para responder esta pregunta, puedes seguir los siguientes puntos:

1. Encuentra una combinación de galletitas simples y nevadas que satisfaga todas las condiciones del problema y averigua que ganancia obtendrían los hermanos con esa combinación de galletitas.

2. Ahora encuentra una combinación distinta de galletitas que cumpla las condiciones del problema pero que proporcione una ganancia mayor.

Al graficar las relaciones, podemos convertir las relaciones simbólicas en relaciones geométricas. Puesto que las relaciones geométricas son tan visuales, a menudo resulta más fácil pensar acerca de ellas.

Usa la restricción de la mezcla de galletitas, x + 0.7y ≤ 110, y escoge un color, que usará tu equipo para las combinaciones de galletitas simples y nevadas que sí satisfacen la desigualdad, y otro color para las combinaciones que no satisfacen la desigualdad.

Por ejemplo, 20 docenas de galletitas simples y 50 docenas de galletitas nevadas es una combinación que satisface la restricción. Pero 100 docenas de cada tipo no satisfacen la restricción. Grafica cada punto con un color diferente.

Entonces:

1. Cada persona del equipo debe ensayar muchos pares de números para las variables, ver si satisfacen o no la desigualdad y registrarlos. Cada persona debe marcar sus pares de números usando el color adecuado sobre unos ejes coordenados compartidos por todos los miembros del equipo.

2. Asegúrate de que tu grupo tenga puntos de ambos colores. Después de experimentar un poco, puede ser necesario que cambies la escala de tus ejes para que se puedan mostrar ambos tipos de puntos.

3. Continúa con las partes 1 y 2, agregando puntos de cada tipo con el color adecuado, hasta que pienses que has conseguido un ”buen dibujo” de la gráfica de tu restricción. Explica cómo piensas que será la gráfica completa y por qué.


4. Repite el proceso que usaste en las partes 1 y 2 o usa el “buen dibujo” para graficar las restantes restricciones, cada una en sus propios ejes coordenados.

Al resolver problemas como el de las galletitas, es útil saber cómo encontrar el punto donde se intersecan dos rectas.

El objetivo de tu equipo en esta parte de la actividad es descubrir un método para hacer esto, además de tantear o usar las gráficas, trabajando con las ecuaciones de las dos rectas.

Tu reporte escrito de la actividad debe incluir lo siguiente:

- Las soluciones a las preguntas 1a-1e.

- Dos de los problemas planteados individualmente por los miembros del equipo en la pregunta 2, con soluciones.

- Las instrucciones de tu equipo para la pregunta 3 por escrito.

Cada equipo hará también una presentación oral de sus resultados para la pregunta 2.

1. Encuentra el punto de intersección de las gráficas de cada uno de los pares de ecuaciones siguientes usando algún método distinto de la graficación y del tanteo. Cuando pienses que tienes las soluciones, verifícalas por graficación o por sustitución de los valores en las ecuaciones.

a. y = x; 3x = y + 4

b. y = 3x+5;y = 2x - 9

c. 4x + 3y = 17;y = 2x + 11

d. 5x – 3y= 23;y – 15= 3x

e. 5x + 2y =17;3y + 9 = 2x

2. Cada persona del equipo deberá inventar un par de ecuaciones lineales y encontrar el punto de intersección. Los miembros del equipo deberán plantear e intercambiar problemas (sin dar las soluciones) y resolver los problemas de los otros, tratando de encontrar el punto de intersección sin tantear ni graficar.

3. Como equipo, desarrollarán y escribirán instrucciones generales para encontrar las coordenadas del punto de intersección de dos ecuaciones de líneas rectas sin tantear ni graficar.

4. Haz tus instrucciones fáciles de seguir, como para que un alumno de secundaria pueda seguirlas y “encontrar el punto”.

Una dieta Una dieta, planeada para robustecer a una persona, exige por lo menos 45 unidades de proteína, 30 de grasa y 60 de carbohidratos. Cada 100 gramos del complemento


alimenticio P brinda 9 unidades de proteína, 12 de grasa y 15 de carbohidratos. Cada 100 gramos del complemento alimenticio La Q proporciona 6 unidades de proteína, 3 de grasa y 6 de carbohidratos. El complemento P cuesta 450 pesos por cada kilogramo y el complemento Q 300 pesos por cada kilogramo. ¿Cuál debe ser el consumo diario de cada complemento para que el costo sea mínimo?

25. “Ifigenia Cruel” de Alfonso Reyes

En la gráfica se muestran los costos de edición y los ingresos por la venta de una edición facsimilar del poema dramático de Alfonso Reyes, ‘Ifigenia Cruel’.

Eje vertical: Costos e Ingresos (en pesos). Eje horizontal: Número de ejemplares.

100 200 300 400 500 600

-10000

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

90000

x

y

costos

ingresos

CUESTIONARIO (1) ¿Cuáles son los costos, los ingresos y la ganancia por producir y vender 0, 100, 200, 350, 550 y 600 ejemplares? (2) ¿Dentro de qué límites se debe mantener la oferta para obtener ganancias? (3) ¿Cuál debe ser la oferta para obtener el mayor ingreso? (4) ¿A cuánto ascienden los costos fijos de producció n? (5) ¿Cuánto cuesta producir cada libro si no se consideran los costos fijos? (6) ¿Hay una ganancia máxima? Justifica tu respuesta. Si hay una ganancia máxima,

calcúlala. (7) ¿Cuál es la ecuación de los costos? (8) ¿Cuál es la ecuación de los ingresos?


(9) ¿Cuál es la ecuación de la ganancia? (10) Traza la gráfica de la ganancia en los mismos ejes. (11) Plantea tres preguntas sobre esta misma situación y respóndelas. (12) Si se reducen los costos, tanto los de producción da cada libro como los fijos, a

$8500 y $120, respectivamente, ¿cuál es la ganancia máxima?

26. La Cajita Perenne * (8)





27. Qué diferencias, ay, tan finitas * (10)





28. Dos Conjuntos De Puntos * (19)






III. Proyectos

1. Calendario del siglo XXI

Construye un algoritmo que permita saber qué día de la semana le corresponde a una fecha cualquiera del siglo XXI.

2. Polinomios para describir

La garantía

La duración de las llantas producidas por la empresa ‘Fénix, S. A.’ registradas con una precisión de hasta una semana es:

Duración en

semanas Número de

llantas 1 a 26 29

27 a 52 56 53 a 78 137

79 a 104 251 105 a 130 288 131 a 156 203 157 a 182 154 183 a 208 82

Formula algunas preguntas acerca del número, o porcentaje, y la duración de las llantas. Utiliza una calculadora o un paquete de computadora para obtener una función que se ajuste a tus datos.

El fabricante garantiza la devolución del dinero, o la sustitución de la llanta, si la llanta se poncha antes de año y medio. Estima la probabilidad de que el fabricante devuelva el dinero. Estima también el número de piezas que tendrá que reponer en un lote de 6500 llantas.

El clima de la ciudad de México

Consulta en la dirección http://paidoteca.dgsca.unam.mx/estadistica/prac2.html los datos de la temperatura de un día en la ciudad de México. Utiliza una calculadora o un paquete de computadora para obtener una función que se ajuste a tus datos. Formula algunas preguntas acerca de las variaciones de la temperatura y respóndelas utilizando la función que encontraste.

Con los datos de la página http://paidoteca.dgsca.unam.mx/estadistica/prac4.html estudia la relación entre la humedad relativa y la temperatura del aire.


3. Renta de automóviles

Las gráficas siguientes representan la renta de un auto en una ciudad al norte de la ciudad de México a la ciudad de México de dos compañías, de acuerdo a los kilómetros recorridos. A una de esas compañías la llamaremos "A" y a la otra "B".

a) ¿Cuál es la cuota inicial por el uso del auto en cada compañía?, ¿qué cantidad cobran por kilómetro recorrido?

b) Si solicitas este servicio desde dicha ciudad, ¿cuál compañía te conviene contratar? Para que tu respuesta sea realmente útil necesita ser precisa.

c) Formula por lo menos tres preguntas relacionadas con el problema (hay al menos una que sería muy interesante, esperamos que la propongas). Contéstalas.

Compañía B

k i l ó m e t r o s

C o s t o

Compañía A

d) He aquí otra pregunta interesante: un estudio de mercado hecho con

1000 personas muestra, en la gráfica siguiente, la distribución de la distancia que normalmente recorren los usuarios de estas compañías. Con base en la información proporcionada y en esta gráfica haz una estimación de los ingresos de cada compañía suponiendo que los usuarios preferirán el servicio más económico.


Personas

Promed io de k i l óme t ro s de l v i a j eque r ea l i za ron

e) Otra pregunta de interés sería: ¿qué compañía gana más? ¿Qué otra

información requerirías para conocerla?. Suponiendo que se trata de automóviles medios, obtén la información necesaria y estima las ganancias de cada compañía.

f) Cambia de posición: si quisieras establecer una compañía alternativa, ¿qué criterios considerarías para decidir el precio que cobrarías de acuerdo a la información que ya conoces?

4. El dulce chupado

Consigue un caramelo esférico sólido grande. Investiga cuál es el radio, la superficie y el volumen del dulce t minutos después de haberlo introducido en la boca. Estima, además, la esperanza de vida del dulce a partir de sus dimensiones originales. Elabora un reporte que incluya los datos, los supuestos, el método que seguiste, los procedimientos matemáticos que usaste y las conclusiones que obtuviste. Consulta la ficha de Autoevaluación del PER para asegurarte que tu reporte refleja un enfoque profundo en la realización de tu trabajo. Formula tres preguntas que permitan hacer una generalización de los resultados. Aplica el Modelo PER.

5. Un problema de programación lineal

Se trata de plantear un problema de programación lineal. Los ingredientes básicos que necesitas tener en tu problema son:

♦ Dos variables

♦ Algo para maximizar o minimizar que sea una función lineal de estas variables


♦ Tres o cuatro restricciones lineales

Una vez que has descrito tu problema, debes resolverlo y preparar un informe que incluya:

♦ Una explicación del problema;

♦ Una solución del problema y

♦ Un argumento que pruebe que no hay una solución mejor.

6. Mis propios datos

Sube a un automóvil y siéntate junto al conductor provisto de lápiz, papel (o de una grabadora portátil) y un cronómetro. Haz dos columnas, una para el tiempo y otra para la velocidad. Registra al principio y al final el contenido de gasolina. Anota cada diez segundos la velocidad del automóvil en un recorrido que dure por lo menos quince minutos.

Calcula con esta información la distancia que recorrió el automóvil en el trayecto.

Explica y justifica detalladamente el procedimiento que seguiste.

Traza una gráfica que nos permita leer la distancia recorrida por el automóvil en un instante cualquiera del trayecto.

Discute las características de los métodos de solución de este problema si, en principio, nuestros datos se hubieran representado gráfica o algebraicamente en vez de tabularmente.

Plantea dos preguntas sobre la misma situación y respóndelas.

4. Ejercicios


4. Ejercicios

Introducción En matemáticas es usual que se hable de ejercicio y problema y de que en muchos momentos se tomen como sinónimos. En este Libro son cosas diferentes. En la introducción al capítulo que contiene los problemas se habla de lo que consideramos un problema, aquí comentamos la idea que en este Libro utilizamos para ejercicio. Una característica del ejercicio es que con él se pretende que adquieras soltura e n el manejo de ciertos procedimientos o en el tratamiento de ciertas situaciones que son útiles cuando te enfrentes a problemas. Cuando te enfrentas a un ejercicio ya sabes lo que tienes qué hacer y hay que hacerlo. Puede tratarse, por ejemplo, de un algoritmo, como la aplicación de la fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado. Si ya dominas la aplicación de este algoritmo, cada vez que te encuentres una ecuación que tú reconoces de segundo grado, ya sabes que puedes resolverla y lo harás. En cambio, si tienes dificultades para aplicar la fórmula general, cada vez que necesites resolver una ecuación de segundo grado tendrás un problema. También puede ser algo más laborioso como la aplicación del método de diferencias finitas para la obtención de la ecuación de una función polinomial a partir del conocimiento de ciertos valores que se conocen de la función. Incluso puede tratarse de modelos algebraicos de problemas como la altura en función del tiempo que adquiere un cuerpo que es lanzado de alguna forma. Cuando se te pide hacer un ejercicio, es porque cuentas con la información necesaria para ello. Usualmente consiste en una explicación de los pasos que tienes que seguir y estos son ejemplificados con un ejercicio resuelto, en el que se explican los pasos que se siguen. Esta explicación se puede realizar en el salón de clases (en este caso no sólo debes anotar lo que se te presenta en el pizarrón o algún otro medio, sino tomar las notas adicionales necesarias para que no se te olviden detalles) o puede estar escrita en un libro. No debes preocuparte sólo por reconocer los pasos que tienes que seguir para resolver el ejercicio, sino también busca entender el porqué de estos pasos. De esta forma estás en condiciones de darte cuenta si puedes aplicar algunos de los pasos del ejercicio en una situación parecida al ejercicio que ya sabes resolver. Hay algo más. Dominas por completo un ejercicio cuando eres capaz de resolverlo sin consultar tus apuntes o la información que tienes del mismo. Por ejemplo, sabes resolver una ecuación de segundo grado por la fórmula general cuando, sin necesidad de consultar en tus apuntes, aplicas la fórmula general. Desde luego, para esto es necesario que tengas aprendida la fórmula de memoria. Pero la memorización se logra al aplicar varias veces la fórmula en ecuaciones de segundo grado. En cambio, dominas a secas un ejercicio cuando puedes resolverlo consultando parte de la información de la que dispones (usualmente algunas fórmulas). Si necesitas preguntar algo a un compañero o un profesor para resolver un ejercicio, entonces todavía no dominas el ejercicio y te hace falta más práctica.


Lo ideal es que domines por completo los ejercicios; de esta manera dispondrás de más tiempo para dedicarte a trabajar en los aspectos nuevos o desconocidos del problema al que te enfrentes. En este Libro se te señalan ejercicios para que los trabajes y en dónde puedes obtener la información que necesitas. En algunos casos los ejercicios señalados son suficientes para que llegues a dominarlos, pero en otros no y tú debes buscar o crear otros ejercicios para que sigas practicando. Hacerlo es parte de tu responsabilidad como estudiante. Por cierto, tú mismo eres capaz de crear ejercicios cuando resuelves un problema y luego detallas los pasos que deben seguirse para resolver la situación del problema. Es decir, cuando elaboras una información similar a la que tu consultaste para resolver los ejercicios propuestos. Aquí hay algo más sobre las características de un ejercicio: ¿Qué es un ejercicio? Un ejercicio está fuertemente relacionado con un algoritmo o rutina, no necesariamente sencillos. Los más complejos pueden requerir la combinación de varios procedimientos con destrezas específicas. En un ejercicio puede requerirse una articulación de registros de representación, pero esta articulación suele estar ya incluida en el algoritmo, en la rutina o en el esquema. La administración de los conocimientos y procedimientos no es compleja, se reduce a organizar las llamadas a una serie de procedimientos ya hechos, generalmente hace poco tiempo. No busca una reconceptualización de los conocimientos sino la frecuentación de una vía ya abierta, la adquisición de una destreza. Su esquema metafórico es la suma no la integración. Puede ser laborioso, raramente difícil.


Tareas del libro Las tareas se refieren a ‘Álgebra con aplicaciones’ de Phillips, Butts y Shaughnessy. Editorial Harla. Unidad 1 De la aritmética al álgebra. ♦ Lee haciendo las pp. 10-22. ♦ Resuelve los ejercicios pares del 48-60 de las pp.23-25. ♦ Lee haciendo pp. 71-79. ♦ Resuelve los ejercicios de la forma 5n de las pp. 79-82. Unidad 2 Polinomios ♦ Lee haciendo pp. 82-88. ♦ Resuelve los ejercicios de la forma 7n+1 de las pp. 88-93. ♦ Lee haciendo pp. 93-99. ♦ Resuelve los ejercicios de la forma 6n+5 de las pp. 99-102. ♦ Lee haciendo pp. 103-109. ♦ Resuelve los ejercicios de la forma 5n+4 de las pp. 109-113. Unidad 3 Ecuaciones y funciones lineales ♦ Lee haciendo pp. 146-160. ♦ Resuelve los ejercicios de la forma 5n+3 de las pp. 161-165. ♦ Lee haciendo pp. 213-225. ♦ Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp. 225-230. Unidad 4 Ecuaciones y funciones cuadráticas ♦ Lee haciendo pp. 275-289. ♦ Resuelve los ejercicios de la forma 13n+3 de las pp. 289-293. ♦ Lee haciendo pp. 349-357 y pp. 362-367. ♦ Resuelve lo s ejercicios de la forma 3n del 2-20 de las pp. 357-358 y los de la forma

5n+1 de la p. 368. ♦ Lee haciendo pp. 371-388. ♦ Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp. 388-395. Unidad 5 Sistemas de ecuaciones ♦ Lee haciendo pp. 245-262. ♦ Resuelve los ejercicios de la forma 5n+2 de las pp. 263-268. ♦ Lee el resumen pp. 268-269. ♦ Resuelve los ejercicios de la forma 8n+7 de las pp. 269-273. ♦ Lee haciendo pp. 433-444. ♦ Resuelve los ejercicios de la forma 7n+4 de las pp. 444-449.


Unidad 6 Funciones polinomiales y racionales ♦ Lee haciendo pp. 566-579. ♦ Resuelve los ejercicios de la forma 6n+2 de las pp. 580-584. ♦ Lee haciendo pp. 409-426. ♦ Resuelve los ejercicios de la forma 8n+3 de las pp. 426-433.


Ejercicios Complementarios

Unidad 1. De la aritmética al álgebra. (1) Un electricista compró 75 metros de alambre de calibre 14. Usó las dos

quintas partes en una instalación; del resto, guardó el 20% y la cantidad restante la dividió en trozos de 80 cm de longitud. ¿Cuántos trozos son? ¿Para qué otras longitudes del alambre se obtienen trozos completos?

(2) Calcula el número de alumnos de una clase sabiendo que la octava parte de ellos no asistió a la clase, que las tres quintas partes de ellos están presentando un examen y los once restantes están estudiando. ¿Cuántos no asistieron?

(3) Juan gana dos tercios de lo que percibe Pedro, quién gana 4/5 de lo que percibe Tadeo. Si Tadeo gana $1,150.00, ¿cuánto perciben Juan y Pedro?.

(4) Yolanda está a cargo de una tortillería y ha decidido establecer el precio de $4.50 el kilogramo. Algunos de sus clientes compran por pesos (es decir, compran $1, $1.50, $2, ..., $29.5 ó $30) y otros por kilos (1, 1.5, 2, ..., 15 Kg). Necesita dos tablas para saber cuánto les debe dar de tortillas a los primeros y cuánto les debe cobrar a los segundos. ¿Puedes ayudarle a Yolanda en la elaboración de estas dos tablas?

(5) Una anciana decrépita y desdentada fue a vender una canasta de huevos al mercado.

Al primer cliente le vendió la mitad de los huevos que llevaba, más medio huevo; al segundo cliente le vende la tercera parte de los huevos que le quedaban más un tercio de huevo; el tercer cliente le compra la cuarta parte de los huevos restantes, más un cuarto de huevo.

Después de sus ventas, la anciana aún tenía en la canasta, 8 huevos. Si no se rompió ningún huevo , ¿cuántos huevos tenía inicialmente en la canasta?

(6) La razón entre los gastos y las entradas en el negocio de los Romano´s es de 5 a 8. ¿Cuáles fueron sus gastos en un mes en el que la ganancia fue de $3,675?

(7) Un nanosegundo es 10-9 segundos. ¿Cuántos nanosegundos requiere la luz para darle la vuelta a la Tierra?

(8) Supongamos que una máquina copiadora amplifica una copia de papel alrededor de 1.1 veces el original. Si usted sacara copias de copias y una hoja original fuese de 10 cm por 16 cm, ¿Cuáles serían las dimensiones de la segunda, tercera y octava copia? ¿Cuántas amplificaciones se requieren para lograr una amplificación del triple del original?

(9) Una hoja de papel se dobla a la mitad, y luego nuevamente a la mitad. Si este procedimiento de doblar a la mitad continúa y el papel se desdobla,


¿cuántos espacios habrá después de un doblez? ¿dos dobleces? ¿tres dobleces? ¿cinco dobleces? ¿diez? ¿cien?

(10) Hay que tender un cable desde una central eléctrica a un lado de un río de 900 metros de ancho a una fábrica en el otro lado 3 kilómetros abajo. El costo de tender el cable bajo el agua es de $400 por cada metro, mientras que el costo por tierra es de $320 por cada metro. ¿Cuál es la ruta más económica para tender el cable?

(11) Un viajero recorre ¼ de la distancia entre dos ciudades a pie, 1/5 a caballo, 1/8 del resto en auto y los 55 km restantes en tren. ¿Cuál es la distancia entre las dos ciudades?

(12) Una cuadrilla de 15 hombres se compromete a terminar en 14 días cierta obra. Al cabo de 9 días sólo han hecho los 8/17 de la obra. ¿Con cuántos hombres tendrán que reforzar la cuadrilla para terminar la obra en el tiempo fijado?

(13) Carlos consigue un préstamo de $100,000 para comprarse un automóvil. Conviene en pagar su deuda de la siguiente forma: cada año pagará $10,000 más el 12% de interés de su deuda al principio de año. ¿Cuánto pagará al final por el préstamo?

(14) Al inicio de un viaje el odómetro de un automóvil (con tanque lleno) registra 43,219,5 km. Después del viaje, que tardó seis horas, el odómetro registra 43, 480,2 km y el conductor utilizó 39.5 litros de gasolina para volver a llenar el tanque.

¿Cuántos kilómetros por litro rindió el automóvil?

¿Cuál fue la velocidad promedio en el viaje?

(15) A la edad de dos años, un niño promedio mide unos 86 cm y pesa 13 kg. Emplea la fórmula de DuBois y DuBois.

725.0425.0)007184.0( hwS = (donde w es el peso y h la estatura) para hallar la superficie S del cuerpo del niño (en metros cuadrados).

(16) De un número N, de dos dígitos, se sustrae un número que tiene los mismos dígitos de N pero invertidos. El resultado es el cubo de otro número positivo. ¿Cuáles son los valores posibles de N?


Unidad 2. Polinomios

(17) Una ventana con un perímetro de 8 m tiene la forma de un rectángulo con un

semicírculo sobrepuesto.

(a) ¿Cuál es el perímetro total de la ventana? (b) ¿Cuál es el área total de la ventana? (c) ¿Cuál es el área máxima que puede tener la ventana?

(d) Escribe un polinomio para representar el perímetro de la figura en términos de la variable r o de la variable x, solamente.

(e) Escribe un polinomio para representar el área de la figura en términos de

la variable r o de la variable x, solamente.

(f) Grafica la función del área.

(18) Dados dos círculos con el mismo centro, halla una expresión algebraica para el área de la parte sombreada. Simplifica la expresión tanto como sea posible:

Utiliza la expresión para obtener el área de la parte sombreada si x = 10.125

(19) Encuentra una expresión para la cantidad de concreto que se necesita para hacer una tubería de concreto que tiene L metros de largo, un radio interior B y un radio exterior A.

x

4


Si L=1000 m, B=65 cm y A=70 cm, ¿qué volumen de concreto se requiere?

(20) Un avión pequeño puede cargar 950 Kg de equipaje distribuidos en dos compartimentos de carga. En un vuelo, el avión va totalmente cargado con 150 Kg más en un compartimento que en el otro. ¿Cuánto equipaje hay en cada compartimento?

(21) En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos agudos mide 15º más que dos veces el otro ángulo agudo. Calcula el valor de cada ángulo.

(22) Un automóvil recorre 50 Km en el mismo tiempo en que un avión viaja 180 Km. La velocidad del avión es de 143 Km/h mayor que la del automóvil. Calcula la velocidad del automóvil.

(23) Un automóvil y un camión salen de un mismo punto de partida al mismo tiempo y en direcciones opuestas. Cuando están a 350 Km de distancia, el automóvil ha recorrido 70 Km más que el camión. Calcula la distancia que recorrió el automóvil.


Unidad 3. Ecuaciones y funciones lineales

(24)La suma de las edades de mis tres hijos es 22. Sí el mayor tiene tres años más que el segundo y el doble de la edad del tercero ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos?

(25)Un cajero contó 248 billetes. Sólo tiene billetes de $200.00 y $50.00 y en total hay $22150.00 ¿Cuántos billetes de $200.00 y de $50.00 hay?.

(26)Dos monedas raras tienen un valor de $90.00 Sí el valor de una de ellas es una y media veces el valor de la otra ¿Cuánto vale cada moneda?

(27)Un parque de diversiones cobra $60.00 por persona, pero tiene boletos de promoción a mitad de precio. Si en un día se obtuvieron ingresos de $29, 220.00 al vender 549 boletos ¿Cuántos boletos de cada tipo fueron vendidos?.

(28)La fórmula para convertir grados Celsius a Fahrenheit es de ºF = 9/5 ºC + 32 donde ºC son los grados Celsius y ºF los grados Fahrenheit ¿A cuántos grados Celsius corresponden 32º, 70º y 212º grados Fahrenheit?.

(29)En una ciudad el costo de la electricidad está expresado por la fórmula C = 0.07 n + 6.5, siendo C el costo y n la cantidad de kilowatt-horas consumidos. Calcula la cantidad de kilowatt-horas que corresponde a costos de $50.00, $76.50 y $125.00 .

(30)Un señor invirtió $14,000.00, parte al 7% y parte al 12% de interés anual. El ingreso anual debido a esas inversiones fue de $1,430.00. ¿Cuánto invirtió en cada una de las tasas?

(31)¿Cuánta agua se debe evaporar por ebullición para aumentar la concentración de 300 litros de sal, del 2 al 3%?

(32)Varias personas avanzan por la carretera a razón de 5 Km/h y forman una columna de 3 Km de largo. Una de ellas, Antonio, va hasta el final de la misma. De repente se acuerda que tiene que darle un recado a su compadre Ricardo, que se encuentra al principio de la marcha. Se sube a una bicicleta y avanza a una velocidad de 25 Km/h. ¿Cuánto tiempo le llevará a Antonio llegar hasta donde se encuentra su compadre, entregarle el recado y regresar hasta el final de la marcha?Un alumno obtuvo un total de 435 puntos en 5 exámenes de álgebra.

(33)Un televisor tiene un costo de $3,250.00, incluyendo el IVA del 15%. ¿Cuál es el precio del televisor sin IVA?

(34)El dueño de un negocio paga diariamente a sus tres empleados $135.00. Determina lo que gana cada uno, sabiendo que el primero gana $10.00 más que el segundo, y éste el doble que el tercero.


Unidad 4. Ecuaciones y funciones cuadráticas

(35)¿Cuál es la altura del árbol más alto que puedes asegurar con un cable de 250 m? El cable debe fijarse al suelo a una distancia de la base del árbol que sea al menos 10 m abajo de su copa.

(36)¿Cuáles son las dimensiones de un rectángulo si su área es 1500 m2 y su

longitud es 20 m más que su anchura?

(37)Calcula la altura h del triángulo si su área es 162 cm2 y su base es (2h+3)

cm.

(38)Calcula el perímetro del rectángulo de base w+4, altura w y área de 96 m2.

(39)La longitud de una pista rectangular de patinaje sobre hielo es 20 m mayor

que el doble de su ancho. Calcula las dimensiones de la pista si se sabe que su área es de 6000 m2.

(40)En la figura se muestra la sección del terraplén de una autopista. La altura

del terraplén es de x metros y su anchura en su parte alta es de 100 m.

Obtén (a) Una fórmula para el volumen de tierra que se requerirá para

construir una sección recta de 100 m de la autopista, en metros cúbicos.

(b) ¿Cuál es la altura del terraplén si el área de su sección es de 525 m2?

(c) ¿Qué cantidad de viajes se requerirá hacer para construir el tramo de 100 m, si cada camión transporta 10 m3 de tierra?

100 m

x α α

tg α = 1


(41)Rodolfo acostumbra subir corriendo dos escaleras eléctricas de 20 m de longitud cada una, desplazándose la primera hacia arriba y la segunda hacia abajo, en 15 segundos. Si se mantuviese quieto en una de las escaleras, en 20 segundos se encontraría en el otro extremo de ella. Cuando las escaleras no funcionan, ¿en cuánto tiempo subirá por ellas?

(42)El siguiente problema fue descubierto en los escritos del matemático hindú

Mahavira (c. 850):

(43)La cuarta parte de un hato de camellos fue vista en el bosque, el doble de la raíz cuadrada del total de camellos del hato se fue a las laderas de la montaña, y tres veces cinco camellos fueron vistos en la orilla de un río. ¿Cuál es la medida numérica del hato de camellos?

(44)Una escalera de 13 metros de longitud, está recostada contra una pared. La

base de la escalera se encuentra a 5 metros del muro. ¿Cuánto habría que desplazar la base de la escalera para que la punta superior de la misma se desplazase hacia abajo la misma distancia?

(45)El ingenioso Heberto ha diseñado su bicicleta con ruedas de distinto

diámetro, de forma que la delantera mide 40 cm menos que la trasera en su circunferencia exterior. Al dar un paseo en bici se da cuenta que por cada 12 m de recorrido, la rueda delantera da 5 vueltas más que la trasera. ¿Cuáles son los diámetros de cada rueda?

(46)Un rectángulo con un área de 12 cm2 se inscribe en un triángulo rectángulo,

como se muestra en la figura. ¿Cuáles son sus dimensiones?

(47)El peso de un objeto varía inversamente con el cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Al nivel del mar (6400 km del centro de la Tierra) un astronauta pesa 100 Kg. Calcula el peso del astronauta en un vehículo espacial a 200 km de la superficie terrestre.

x

y

6 c m

8 c m


(48)Un cultivador de naranjas se da cuenta de que obtiene una producción

promedio de 40 costales por árbol cuando planta 200 de ellos en una hectárea de terreno. Cada vez que añade diez árboles a la hectárea, la producción por árbol desciende en un costal, a causa del congestionamiento. ¿Cuántos árboles por hectárea debería plantar para optimizar la producción?

(49)Un consejo municipal utiliza 200 m de valla para cercar un parque destinado

a los ciudadanos minusválidos. El parque será adyacente a un centro comunitario y tendrá dos áreas rectangulares conectadas por un puente que atraviesa a un arroyo que se encuentra a 10 m del edificio. El área adyacente al centro comunitario puede tener una longitud no mayor que la del edificio. El área adyacente al centro comunitario puede tener una longitud no mayor a la del edificio, que es de 75 m, pero el área a lo largo del arroyo puede tener cualquier dimensión. Junto al río no se pondrá ninguna valla. ¿Cuál es el área máxima que pueden cercar?


Unidad 5.

Sistemas de ecuaciones

(50) Entre 1993 y 1997 el número de reproductores de discos compactos vendidos cada año en cierto país fue creciendo, y el número de tornamesas fue decreciendo. Dos modelos para calcular las ventas son los siguientes:

(a) Reproductores de discos compactos: tSd 4961700 +−=

(b) Tornamesas: tSt 81972 −=

en donde Sd y St representan las ventas anuales, en miles de unidades, de reproductores de discos compactos y tornamesas, respectivamente, y t representa el año calendario, con t = 3 correspondiente a 1993. Según estos modelos, ¿cuándo se esperaría que las ventas de reproductores de discos compactos rebasarán a las de tornamesas?

(51) En 10 Kg de una aleación hay 3 Kg de zinc, 2 Kg de cobre y 5 Kg de

plomo. En 20 Kg de una segunda aleación hay 12 Kg de zinc, 5Kg de cobre y 3 Kg de plomo, mientras que en 10 Kg de una tercera aleación hay 8 Kg de zinc, 6 Kg de cobre y 6 Kg de plomo. ¿Cuántos kilogramos de cada aleación tendrán que combinarse para obtener una aleación que por cada 34 Kg de zinc, contenga 17 Kg de cobre y 19 Kg de plomo?

(52) Supongamos que te ofrecen dos trabajos diferentes para vender material a

dentistas. Una compañía te ofrece una comisión simple del 6% sobre ventas; la otra compañía te ofrece un salario de $250 por semana más 3% sobre ventas. ¿Cuánto tendrías qué vender en una semana para que la comisión simple sea mejor?

(53) Un avión que vuela con viento de frente recorre los 1800 kilómetros entre

dos ciudades, en 3 horas 36 minutos; en el vuelo de regreso, recorre la misma distancia en 3 horas. Halla la velocidad del avión y la velocidad del viento, suponiendo que ambas permanecen constantes.

(54) Se obtienen 10 litros de una solución ácida al 30%, al mezclar una solución

al 20% con otra al 50%. ¿Cuánto se usó de cada una?

(55) Un rectángulo tiene 92 cm de perímetro y su diagonal mide 34 cm. Halla

sus lados.


(56) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 19.5 m. Si la longitud de cada cateto aumentara 4.5 m, la hipotenusa aumentaría 6 m. Halla los catetos del triángulo primitivo.

(57) Un jardín de flores rectangular tiene 504 cm2 de área y está rodeado por un

camino de 3 m de ancho. El área del camino es 312 m2. Halla las dimensiones (longitud y anchura) del jardín.

(58) Una pieza rectangular de cartón tiene 120 cm2 de área. Al cortar un

cuadrado de 2 cm de lado en cada una de las esquinas y doblar los lados hacia arriba se forma una caja abierta de 96 cm3 de volumen. Halla las dimensiones (largo y ancho) del cartón inicial.

(59) Un alambre de 120 cm de largo se dobla en forma de triángulo rectángulo

cuya hipotenusa mide 51 cm. Encuentra la longitud de cada cateto del triángulo.

(60) Dos hombre parten de un punto y caminan formando un ángulo recto. La

velocidad de uno es 1 Km por hora mayor que la del otro. Después de una hora, la distancia entre ellos es de 5 Km. Encuentra la velocidad de cada hombre.

(61) Encuentra el valor de k para que la gráfica de y = 2x + k toque, pero no

cruce (sea tangente) a la gráfica de la parábola y=x2 +1.


Unidad 6 Funciones polinomiales y racionales

(62)Encuentra el valor de k para el cual x - 3 es un factor de k x3 - 6x2 +2k x - 12.

(63)Encuentra el valor de k tal que -2 es una raíz de 3 x3 +5x2 +k x - 10 = 0.

(64)De un cubo se recorta una rebanada de 1 cm de grosor de uno de sus lados.

¿Cuál será la longitud del lado del cubo original si el volumen del cuerpo restante es de 180 cm3 ?

(65)Demuestra que el binomio x-c es un factor de p(x) y resuelve la ecuación

p(x) = 0.

p(x) = x4 + 4x3 + 3x2 - 4x - 4; x + 2.

p(x) = x4 - 8x3 + 7x2 + 72x - 144; x - 4.

(66)Encuentra un polinomio p(x), de grado 3, cuyos ceros son -2, 2 y 3, y,

además, p(1)=18.

(67)Cuando x2 + 5x - 2 se divide entre x + n el residuo es - 8. Determina todos

los valores posibles de n (utiliza la división sintética).

(68)Determina d tal que x + 6 sea un factor de x4 + 4x3 - 21x2 + dx + 108 (utiliza

la división sintética).

(69)Obtén el valor de k tal que x+2 sea un factor de x3 - kx2 + 2x + 7k.

(70)Un silo tiene la forma de un cilindro circular recto con una semiesfera unida

en la parte superior. Si la altura total de la estructura es de 30 unidades de longitud, encuentra el radio del cilindro que resulte en un volumen total de 1008π unidades cúbicas.

(71)Según la Ley de Gravitación de Newton, ¿cómo varía la fuerza de atracción

entre dos objetos si cada una de sus masas se reduce a la mitad, pero se duplica la distancia entre ellos?

(72)La ley del gas ideal señala que el volumen V que ocupa un gas es

directamente proporcional al producto del número n de moles de gas y la


temperatura absoluta T, e inversamente proporcional a la presión P, medida en atmósferas.

Expresa V en términos de n, T, P y una constante de proporcionalidad.

¿Cuál es el efecto en el volumen si la cantidad de moles se duplica y tanto la temperatura como la presión se reducen a la mitad?

(73)La distancia entre dos poblaciones P y Q es de x kilómetros. Si tú conduces

un automóvil en dirección de P a Q a velocidad media de V1 Km/h, y regresa de Q a P a velocidad media de V2 Km/h. ¿Cuál es tu velocidad promedio durante el viaje redondo?

(74)Diseña un problema que pueda resolverse con la ecuación

1 1

113x x

++

=


Otros ejercicios (1) Si el aire presiona sobre cada centímetro cuadrado de superficie terrestre con

la fuerza de un kilogramo aproximadamente, ¿cuánto pesa el aire de toda la atmósfera?

(2) La vida de Diofanto . La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Reproducimos esta inscripción:

¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh, milagro!, cuán larga fue su vida cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubrióse su barbilla Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan sólo la mitad de la de su padre Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó la muerte.

(3) He aquí un antiguo ejercicio muy sencillo y fácil de traducir al idioma del álgebra.

"Un caballo y un mulo caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentábase el jamelgo de su enojosa carga, a lo que el mulo le dijo: "¿De qué te quejas? Si yo te tomara un saco, mi carga sería el doble que la tuya. En cambio, si te doy un saco, tu carga se igualará a la mía". ¿Decidme, doctos matemáticos, cuántos sacos llevaba el caballo, y cuántos el mulo?".

(4) Cuatro hermanos tienen 45 pesos. Si el dinero del primero es aumentado en 2 pesos, el del segundo reducido en 2 pesos, se duplica el del tercero y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de pesos. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

(5) En las obras de un matemático árabe del siglo XI hallamos el siguiente problema:

A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, la una frente a la otra. La altura de una es de 30 codos, y la de la otra, de 20. La distancia entre sus troncos, 50 codos. En la copa de cada palmera hay un pájaro. De súbito los dos pájaros descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre las dos palmeras. Los pájaros se lanzaron y alcanzaron el pez al mismo tiempo. ¿A qué distancia del tronco de la palmera mayor apareció el pez?

(6) Pase usted mañana por mi casa - dijo el viejo doctor a un conocido.

Muy agradecido. Saldré mañana a las tres. Quizá desee usted dar también un paseo. En este caso salga a la misma hora y nos encontraremos a la mitad del camino.


Usted olvida que soy ya viejo y ando tan sólo tres kilómetros por hora, en tanto que usted, jovenzuelo, cuando más despacio va, hace 4 kilómetros por hora. No sería ningún delito que me concediera alguna ventaja. Tiene razón - contestó el joven - . Comoquiera que yo recorro un kilómetro a la hora más que usted, le doy este kilómetro de ventaja, es decir, saldré de casa un cuarto de hora antes ¿le será suficiente? Es usted muy amable - aprobó al instante el anciano. El joven cumplió lo prometido y salió de su casa a las tres menos cuarto, marchando a 4 kilómetros por hora. El doctor salió a la calle a las tres en punto y anduvo a tres kilómetros por hora. Cuando se encontraron, el anciano dio la vuelta, yendo juntos a su domicilio. Tan sólo cuando el joven regresó a su casa comprendió que debido a la ventaja concedida tuvo que caminar, no el doble, sino el cuádruplo de lo que anduvo el doctor. ¿A qué distancia de la casa del doctor estaba la de su joven conocido?

(7) Cuando marchaba a lo largo de la línea del tranvía observé que cada 12 minutos me alcanzaba uno de esos vehículos, y cada 4 minutos otro de ellos pasaba en dirección contraria. Tanto los vehículos como yo nos desplazábamos con velocidad constante ¿Cada cuántos minutos salían los tranvías de las estaciones terminales?

(8) Dos botes llenos de café tienen la misma forma y están hechos de la misma hojalata. El primero pesa 2 kg y tiene 12 cm de altura; el segundo pesa 1 kg y mide 9,5 cm de altura. ¿Cuál es el peso neto del café en los dos botes?

(9) A una velada asistieron 20 personas. María bailó con siete muchachos; Olga, con ocho; Vera, con nueve, y así hasta llegar a Nina, que bailó con todos ellos. ¿Cuántos muchachos había en la velada?

(10)Dos ciclistas corren por el velódromo a velocidades constantes. Al llevar direcciones opuestas se encuentran cada 10 segundos; cuando van en la misma dirección, un ciclista alcanza al otro cada 170 segundos, ¿cuál es la velocidad que desarrolla cada ciclista si la longitud de la pista es de 170 m?

(11)En una carrera de motocicletas, tres máquinas salieron simultáneamente. La segunda hace 15 km por hora menos que la primera, y 3 km más que la tercera y llega a la meta 12 minutos después que la primera y 3 minutos antes que la tercera. Durante el recorrido no se registraron paradas. Hay que determinar:

a. La distancia de la carrera, b. La velocidad de cada motocicleta y c. El tiempo empleado por cada máquina


(12)Un automóvil cubrió la distancia entre dos ciudades a 60 km por hora e hizo el viaje de regreso a 40 km por hora. ¿Cuál fue la velocidad media de su recorrido?

(13)Un hortelano vendió al primero de sus compradores la mitad de las manzanas de su jardín más media manzana; al segundo, la mitad de las restantes más media; al tercero, la mitad de cuantas quedaron más media, etc. El séptimo comprador adquirió la mitad de las manzanas que quedaban más media, agotando con ello la mercancía ¿Cuántas manzanas tenía el jardinero?

(14)Dos líneas férreas se cruzan formando un ángulo recto. Los trenes se acercan a gran velocidad hacia el cruce. Uno parte de cierta estació n situada a 40 km del cruce; el otro, de una estación que dista 50 km del cruce. El primero marcha a una velocidad de 800 m por minuto, el segundo a 600 m ¿Cuántos minutos transcurrirán desde el momento de la partida para que las locomotoras se hallen a la menor distancia entre sí, y cuál será esa distancia?

(15)Hállense tres números consecutivos en los que el cuadrado del número del medio sea mayor en una unidad al producto de los dos restantes.

5. Lecturas


5. Lecturas

Introducción En este material se cuenta con algunas lecturas sobre temas de matemáticas. No se trata de un material de relleno, simplemente para introducir o motivar el estudio de ciertos temas. La comprensión de la matemática no se limita al conocimiento y adquisición de soltura en el uso de ciertos procedimientos, principalmente algebraicos. También incluye la discusión de ideas y conceptos. La lectura te exige un esfuerzo que debes realizar si quieres lograr comprender su significado. Por ejemplo, la expresión “yo sólo sé que no sé nada” es atribuida a Sócrates. Sin embargo, en la Apología de Sócrates lo que se dice es “yo sólo sé que lo que sé es nada”. ¿Son equivalentes ambas expresiones? ¿Puedes explicar sus diferencias de significado? Es posible que tengas compañeros que digan que ya entendieron algún tema de matemáticas, digamos ecuaciones de segundo grado, de manera que si les dan una ecuación no tienen dificultad para resolverla, pero que si de lo que se trata es leer un texto y a partir de él plantear una ecuación que deben resolver para responder lo que se les pregunta, entonces no pueden hacerlo, pues no entienden cómo se puede saber la ecuación que sirve para lo que dice el texto. Aquí se tiene un problema de comprensión de lectura y no porque el alumno no pueda darse una idea de lo que dice el texto, sino porque él mismo se bloquea y no sabe leer. En este libro un problema se inicia con un texto y lo primero que debes hacer cuando te enfrentes a uno es leer el enunciado y buscar darle un sentido y significado coherente a la situación planteada. No se trata de hacer complicada una lectura. Pero es que la comprensión de la lectura no es una actividad sencilla. Cuando decimos que una lectura nos permite descansar, hacer una pausa de nuestras actividades o deberes cotidianos, relajarnos, no es porque la lectura sea una actividad sin chiste y que aprende cualquier niño en los primeros años de primaria al reconocer las letras del alfabeto y cómo deben pronunciarse. Si nos sentimos bien luego de leer es porque nos interesa el tema que estamos leyendo y ya sabes que cuando realizamos alguna actividad que nos gusta, no nos pesa tanto el trabajo que debemos hacer para ello. Para leer un libro de matemáticas necesitas al menos de lápiz y papel a un lado para realizar anotaciones, cálculos, dibujar figuras, o representaciones de lo que se está estudiando en el libro. Para leer un artículo o ensayo, es recomendable tener a la mano un diccionario para consultar con facilidad las palabras de las que se desconoce su significado. Ser un buen lector es una habilidad que desarrollamos poco a poco.


Cuando has leído un artículo y dices que lo has comprendido, es porque eres capaz de señalar sus ideas principales sin recurrir a la simple cita textual y cuando puedes identificar tus acuerdos y desacuerdos con el autor del texto. Discutir una lectura también permite desarrollar nuestra capacidad de comunicación y argumentación. No basta decir que ya entendimos algo; si no somos capaces de expresar y comunicar a otros esta comprensión no logramos el principio básico de una discusión: se logra convencer a los otros a partir de la elaboración y exposición de argumentos coherentes y no por hablar más tiempo, más fuerte o por ocupar un puesto más alto que los otros. Debemos saber comunicar nuestras ideas, pero también escuchar cuidadosamente los argumentos de otros, tratando de entender lo que nos están diciendo, reflexionar en los argumentos que nos presentan y aceptarlos si nos parecen convincentes. La lectura de un artículo y luego la discusión del mismo nos permite reflexionar el tema tratado y enriquecer la comprensión del mismo. La lectura es una actividad que realizamos constantemente, en los periódicos, en el cine, en la televisión, en Internet y en los mensajes que recibimos de estos medios tan diversos siempre hay una dimensión matemática que no podemos ignorar. Si algo de lo que lees llama tu atención por la importancia que las matemáticas tienen en su interpretación, ya sea un fragmento de película o de novela, una noticia o un reportaje, puedes elaborar un guión y organizar y conducir una discusión en la clase. Hay otra lectura en la que debes ser particularmente cuidadoso. Se trata de la lectura de un video. Sí, un video también se lee. Como las demás actividades que te proponemos, el objetivo de que veas un video no es con fines puramente recreativos o de motivación. Es para que aprendas algo más de matemáticas, especialmente su uso. De cada video hay preguntas que puedes responder después de verlos. Estas preguntas pueden aparecer en el propio video, ser planteadas por tu profesor o por ti mismo. Una ventaja tecnológica es que si dispones del video como archivo de un disco compacto, tienes la oportunidad de poder verlo junto con todos con tus compañeros del grupo o sólo con tu equipo y puedes detenerlo para tomar notas, volver a ver una parte particularmente interesante y, desde luego, responder las preguntas.


Lecturas

1. Ética y matemáticas

por John Allen Paulos Desde Platón a los filósofos contemporáneos, como John Rawls, pasando por Kant, los moralistas han sostenido la necesidad de unos principios impersonales de la moralidad. La matemática es a veces objeto de mofa por ser una materia impersonal, pero bien entendida, esta impersonalidad es un parte lo que la hace tan útil, incluso en la ética, donde su invocación ha podido parecer rara en principio. Entre otros, el gran filósofo judío-holandés del siglo XVII Spinoza nos dio un ejemplo de esto al escribir su obra clásica Ética “al estilo geométrico” de los Elementos de Euclides. Para empezar, un ejemplo deprimente muy alejado de los principios racionalistas y “teoremas” estoicos de Spinoza. Según un informe del UNICEF de 1990, anualmente mueren millones de niños de cosas tan poco graves como sarampión, tétanos, infecciones respiratorias o diarrea. Estas enfermedades se podrían evitar con una vacuna de 1.50 dólares, 1 dólar de antibióticos o 10 centavos de sales hidratantes por vía oral. El UNICEF estima que bastarían 2 500 millones de dólares para salvar las vida de la mayoría de esos niños y mejorar la salud de muchísimos más. Esta cantidad equivale al presupuesto anual de publicidad de las compañías tabaqueras norteamericanas (cuyos productos, por cierto, matan casi 400 000 norteamericanos cada año, mas que los que murieron en toda la segunda guerra mundial), al gasto mensual de los soviéticos en vodka o, más grave aún, a casi el 2% del gasto anual en armamento del propio Tercer Mundo. Además, si se proporcionaran medios para el control de la natalidad a aquellas mujeres que lo desearan –una estimación conservadora da aproximadamente 500 millones- haría disminuir el crecimiento de la población en un 30% con lo que la carga financiera que representan los anteriores cambios presupuestarios sería más llevadera. La planificación familiar junto con la garantía de supervivencia de sus hijos comportaría un nuevo recorte de la tasa de crecimiento de la población, pues ésta es mayor en aquellos países con una gran tasa de mortalidad infantil. La aritmética no es comp licada, pero resulta esencial para ver la situación desde una buena perspectiva. La gente siente a menudo aversión a asignar valores numéricos a las vidas humanas o a explicitar determinadas transacciones. Sopesar el coste de la sanidad o el precio del impacto sobre el medio ambiente es siempre una tarea desagradable. A veces, sin embargo, no ser cuantitativo es un modo de falsa piedad que no puede sino oscurecer, y por tanto complicar, las decisiones que nos vemos obligados a tomar. Es ahí donde pueden jugar un papel importante la teoría de la probabilidad y la investigación operacional. Otras veces, me atrevería a añadir, la aritmética económica apropiada es más cantoriana (tanto en el sentido bíblico como en el de la teoría de conjuntos infinitos); esto es, cuando cada vida tiene un valor infinito y es, por tanto, tan valiosa como la suma de cualquier conjunto de vidas también


infinitamente valiosas, exactamente igual que ℵ0, el primer número cardinal transfinito de Cantor, que es igual a ℵ0 + ℵ0 + … + ℵ0. La necesidad de compromiso no siempre se aprecia en toda su importancia, a pesar de que es algo bastante corriente. En vez de seguir discutiendo sobre ello pondré un par de “aplicaciones” no estándar de la matemática en el campo de la ética. El primero es de naturaleza matemática sólo en un sentido amplio, pero uno de mis propósitos es ampliar la concepción popular de la matemática. Supongamos que una sociedad ha de tomar una decisión política importante y que decidirse positivamente implica asumir un gran riego en el futuro. Si se adopta, esa política implicará inicialmente cierto trastorno –gente que cambia de residencia, mucha inversión en construcción, formación de nuevas organizaciones, …- pero comportará un aumento del nivel de vida durante 200 o 300 años por lo menos. En un cierto momento posterior hay, sin embargo, una gran catástrofe, directamente atribuible a la adopción de la política de riesgo, en la que mueren 50 millones de personas. (La decisión podría estar relacionada con el almacenamiento de residuos radiactivos.) Ahora bien, como ha indicado el filósofo inglés Derk Parfit, se podría decir que la decisión de adoptar la política de riesgo no fue mala para nadie. La decisión no fue mala, en efecto, para las personas que vieron incrementado su nivel de vida en los siglos anteriores a la catástrofe. Es más, tampoco fue mala para las personas que murieron en la catástrofe, pues ellos, esos mismos que murieron, no hubieran nacido de no haberse tomado la decisión de seguir la política de ries go. Esta, recordémoslo, provocó inicialmente cierto trastorno y la consiguiente alteración del momento en que las parejas existentes concibieron a sus hijos (y a ello deben éstos su ser) y también, debido a que se reunió a diferentes personas que se aparejaron y fueron padres (y de ahí el ser de sus hijos). Con el paso de los siglos, estas diferencias se multiplicaron y es razonable suponer que nadie que vivió el día de la catástrofe habría nacido si no se hubiera adoptado la política de riesgo en cuestión. Las personas que mueran, repitámoslo, deberán su existencia a la toma de esa decisión. Tenemos pues un ejemplo de decisión, tomar el camino del riesgo, que parece ser claramente mala –conduce a la muerta de 50 millones de personas- y sin embargo, no es mala (discutiblemente) para nadie. Lo que nos hace falta es algún o algunos principios morales a cuya luz se pueda rechazar la política de riesgo. Un candidato a esta categoría es el principio utilitarista del filósofo del siglo XIX Jeremy Bentham: “El mayor bien para el mayor número”. Sin embargo, el principio sólo es esquemático y una interpretación precisa del mismo, que permitiera crear una especie de “cálculo moral” es algo que gracias a Dios, los filósofos morales no han logrado todavía. Kant y otros pensaban que cualquier principio moral debería ser universal, algo que fuera útil en abstracto, pero que no sirviera demasiado al pasar a los detalles. En vez de entretenerme con la inmensa literatura relativa a estos


y otros enfoque de la ética, introduciré aquí un fragmento cuasimatemático que resultará ilustrativo independientemente de cuál sea nuestro enfoque de los principios éticos. Formulado originalmente en términos de presos, el dilema del preso es de una generalidad difícilmente sobreestimable. Supongamos que dos hombres son sospechosos de un delito importante son detenidos mientras comenten una falta menos. Son separados en interrogados, y a cada uno se le da la posibilidad de confesar el delito importante, implicando con ello a su cómplice, o permanecer callado. Si ambos permanecen en silencio, les caerá un año de prisión a cada uno. Si uno confiesa y el otro no, el que confiesa será recompensado con la libertad, mientras que al otro le caerá una condena de cinco años. Si ambos confiesan, puede esperar que les caigan tres años de cárcel. La opción cooperativa es permanecer callado, mientras que la individual es confesar. El dilema consiste en saber qué es lo mejor para ambos en conjunto. Dado que permanecer callados y pasar un año en prisión deja a cada uno de ellos en manos de la peor de las posibilidades, pecar de incauto y que le caiga una condena de cinco años, lo más probable es que ambos confieses y que cada uno pase tres años en la cárcel. La gracia del dilema no es, naturalmente, el interés que podamos tener en mejorar el sistema jurídico-penal, sino helecho de presentar el mismo esqueleto lógico que muchas situaciones que hemos de afrontar en nuestra vida cotidiana. Tanto si somos ejecutivos en un mercado competitivo, cónyuges en un matrimonio o superpotencia en una carrera armamentista, nuestras opciones pueden formularse en términos similares a los del dilema del preso. Aunque no siempre haya una respuesta correcta, generalmente las partes implicadas salen mejor paradas en conjunto si cada una resiste la tentación de traicionar a la otra y coopera con ella o le es leal. Si ambas partes persiguen exclusivamente su propio interés, el resultado es peor para ambas que si cooperan. La mano invisible de Adam Smith, encargada de que la búsqueda del provecho particular comporte el bienestar colectivo, está, al menos en estas situaciones, totalmente artrítica. Las dos parte del dilema del preso pueden generalizar a circunstancias en las que participa mucha gente, donde cada individuo tiene la opción de hacer una contribución minúscula al bien común u otra mucho mayor en beneficio propio. Este dilema del preso a muchas bandas es útil para modelizar situaciones en las que está en juego el valor económico de “intangibles” como el agua limpia, el aire o el espacio. Como en buena medida casi todas las transacciones sociales tienen en sí algún elemento del dilema del preso, el carácter de una sociedad queda reflejado en cuáles son las transacciones que llevan a la cooperación entre las partes y cuáles no. Si los miembros de una “sociedad” concreta nunca se comporta cooperativamente, sus vidas serán probablemente, en palabras del filósofo inglés Thomas Hobbes, “solitarias, pobres, repugnantes, brutales y cortas”


¿Es consecuencia de alguna teoría moral que uno elige la opción cooperativa en situaciones del tipo del dilema del preso? Por lo que yo sé no. De hecho, se puede hacer una sólida defensa de la opción individualista, al menos algunas veces. No es irracional ni inmoral defenderse a uno mismo. No hay ninguna teoría ética establecida que obligue ni prohíba adoptar la opción cooperativa, y lo mismo ocurre con muchas otras acciones, y esto me lleva a mi última observación. Cualquier teoría moral, convenientemente formalizada y cuantificada, está sujeta a las limitaciones impuestas por el primer teorema de incompletitud de Gödel, según la cual todo sistema formal que sea lo suficientemente complejo, ha de contener forzosamente enunciados de los que no se puede probar ni la verdad ni la falsedad. De acuerdo con esto, tenemos una base teórica para la observación racional de que siempre hará actos que ni están prohibidos ni estamos obligados a ellos por nuestros principios, independientemente de cuáles sean éstos o de que estén reforzados por nuestros propios temores, valores y compromisos idiosincrásicos. Esto podría tomarse como un argumento matemático en pro de la necesidad de la “ética de la situación” y demuestra la insuficiencia de una aproximación a la ética exclusivamente axiomática.


2. Variables y pronombres

por John Allen Paulos Una variable es una cantidad que puede tomar distintos valores, pero cuyo valor en una situación dada es a menudo desconocido. Es lo contrario de una cantidad constante. El número de padres biológicos de una persona es una cantidad constante. El número de sus retoños en una variable. Sorprendentemente, no fue hasta finales del siglo XVI cuando al matemático francés François Viète se le ocurrió la idea, que retrospectivamente parece obvia, de usar letras para representar las variables (normalmente x, y y z para los números reales y n para los enteros). A pesar de las protestas de generaciones de estudiantes principiantes en álgebra por la introducción de las variables, su uno no es más abstracto que el de los pronombres, con los que guardan un fuerte parecido conceptual. (Los nombres, por el contrario, son los análogos de las constantes). Y al igual que los pronombres hacen la comunicación más fácil y más flexible, las variables nos permiten trabajar con una mayor generalidad que si limitamos nuestro discurso matemático a las constantes. Consideremos la grase siguiente. “En cierta ocasión alguien dio a su mujer algo que ella encontró tan desagradable que lo tiró al cubo de basura más próximo y nunca volvió a mencionarlo de buena gana a pesar de quede vez en cuando él le preguntaba por su paradero”. Sin pronombre la misma frase sería muy farragosa: “En cierta ocasión esta persona dio a la mujer de esta misma persona una cosa, y la mujer de esta persona encontró esta cosas tan desagradable que la mujer de esta persona tiró esta cosa al cubo de basura más próximo y nunca volvió a mencionar de buena gana esta cosa a esta persona, a pesar de que esta persona preguntaba de vez en cuando por el paradero de esta cosa a la mujer de esta persona”. Si introducimos variables la frase recupera un poco su manejabilidad: x dio a y, mujer de x, un z e y encontró z tan desagradable que tiró z al cubo de basura más próximo y nunca volvió a mencionar de buena gana z a x, aunque x de vez en cuando preguntaba a y por el paradero de z”. Tenemos un ejemplo breve en el mandato a Oscar: “Ayuda a quien te ayude”. Sin pronombres debería decir: “Ayuda a Jorge, si Jorge ayuda a Oscar, ayuda a Pedro si Pedro ayuda a Oscar, ayuda a Marta si Marta ayuda a Oscar, ayuda a Juana si Juana ayuda a Oscar, etc.”. Dado que el uso de pronombres y todo lo relacionado con ellos no representa un problema para casi nadie, parece pues que poca gente habría de tener dificultades con las variables. Sin embargo, en matemáticas se imponen condiciones a las variables que frecuentemente nos permiten determinar su valor. Si x – y + 2(1 + 3x) = 31 e y = 3, podemos encontrar x. Son las técnicas que se emplean para resolver estas ecuaciones y otras más complicadas lo que a menudo resulta un enigma. En nuestro discurso cotidiano con los pronombres no hay ninguna situación cuya


analogía con el caso matemático sea obvia, pero las novelas de misterio no son tan distintas del mismo como pudiera pensarse. Consideremos el siguiente ejemplo: quienquiera (el señor x o la señora x) que anulara las reservas de hotel de los invitados sabía que venían a la celebración, que llegarían tarde y que si no tenían una reserva a su nombre les causaría molestias, a ellos y a sus huéspedes. Si conocemos los principales personajes implicados en ello, ¿podemos descubrir quien anuló las reservas (esto es, quién es igual a x)? Estoy convencido de que las técnicas y aproximaciones que se emplean para aclarar y resolver pequeños dramas humanos como estos son por lo menos tan complejos como las que se usan en matemáticas. Un último comentario editorial: algunos han argumentado que la naturaleza retórica de las matemáticas nos aleja de nuestra humanidad y es, en cierto modo, incompatible con el espíritu de compasión. Sin embargo, como ya he sugerido en esta entrada y en otros lugares, el lenguaje que empleamos corrientemente contiene toda la abstracción de la matemática. El “problema” de ésta no es que sea abstracta, sino que demasiado a menudo su abstracción está poco fundamentada, sin una base lógica humana. En cuestiones de política social o toma de decisiones personales las matemáticas pueden servir para determinar las consecuencias de nuestras hipótesis y valores, pero el origen de éstos y aquéllas está en nosotros (nosotros x), y no en divinidades matemáticas.


3. Funciones

por John Allen Paulos El concepto de función es muy importante en matemáticas, pues representa de una manera formal la idea de poner en correspondencia una cantidad con otra. El mundo está lleno de cosas que dependen de, son función de o están asociadas a otras cosas (de hecho, se podría argumentar que el mundo consiste sólo en tales relaciones), y nos enfrentamos al problema de establecer una notación útil. Para esta dependencia matemática. Los siguientes ejemplos sirven para ilustrar una notación corriente. Las gráficas y las tablas nos proporcionan otras maneras de indicar estas relaciones. Consideremos un pequeño taller que se dedica a fabricar sillas. Sus costos son 80000 ptas. (para gastos de equipos, pongamos por caso) y 3000 ptas. Por silla fabricada. Así la relación entre el costo total, T, y el número de sillas fabricadas, x, viene dada por fórmula T = 3000x + 80000. Si queremos recalcar que T depende de x, decimos que T es función de x y denotamos simbólicamente esta asociación por T = f(x). Si se fabrican 10 sillas, el costo es 110 000 ptas; si se fabrican 22, el costo sube hasta 146 000 ptas. La función f es la regla que asocia 110 000 a 10 y 146 000 a 22, lo cual se indica escribiendo f(10) = 110 000 y f(22) = 146 000. ¿Cuánto es f(37)?

La temperatura Celsius C se puede obtener a partir de la temperatura Fahrenheit F restando 32 a ésta y multiplicando la diferencia por 5/9. En forma de ecuación

tenemos ( )329

5−= FC . Así, unos fríos 41° Fahrenheit se convierten en unos

igualmente fríos 5° Celsius, mientras que unos suaves 86° Fahrenheit se traducen en otros igualmente suaves 30° Centígrados. Si sustituimos la temperatura Fahrenheit en esta fórmula podemos encontrar siempre la temperatura Celsius correspondiente. Como antes, si lo que queremos es recalcar que C depende de F, diremos que C es función de F y denotaremos esta relación por C = h(F). (Las gráficas de esta función y la anterior son líneas rectas). La función h es la regla que asocia 5 a 41 y 30 a 86, y esta correspondencia se expresa simbólicamente escribiendo h(41) = 5 y h(86) = 30. ¿Cuánto es h(59)?

O imagine que usted es un usurero que presta 100 ptas. a alguien y le dice que la cantidad que le adeuda aumentará en un 50% cada semana. Revisando las cuentas con sus socios, usted entiende que la cantidad, D, que le debe su amigo al cabo de n semanas es igual a n)5,1(*100 , esto es, nD )5,1(100= . Está claro que D es una función de n, cosa que indicamos por D = g(n) (o mediante la gráfica de la función, una curva que crece exponencialmente). Está claro que g(1) = 150, g(2) = 225 y g(3) = 337.50. (Si usted es benévolo y sólo añade los intereses a intervalos semanales, la gráfica consistirá en una sucesión de escalones crecientes exponencialmente).


Gráfica de la cantidad debida, D, como

función exponencial del tiempo de préstamo, n, D.

( 0 , 1 0 0 )

( 1 , 1 5 0 )

( 2 , 2 2 5 )

( 3 , 3 3 7 . 5 0 )

( 4 , 5 0 6 . 2 5 )

Gráfica de cantidad debida si entre dos incrementos semanales los intereses

permanecen constantes.

(0,100)

(1,150)

(2,225)

(3,337.50)

(4,506.25)

O considere el siguiente ejemplo extraído de la física. Desde un tejado de 80 metros de altura sobre el suelo, se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 metros por segundo. Confíe en la palabra de Newton y acepte que la altura A de la bola sobre el nivel del suelo viene dada por la fórmula

,80205 2 ++−= ttA donde t es el número de segundos transcurridos desde el instante en que se lanzó la bola. Como la altura depende del tiempo, A es función de t y se escribe A = s(t). Si sustituimos t = 0 en la fórmula, confirmamos que en el instante inicial A = 80. Dos segundos más tarde, t = 2, encontramos por sustitución en la misma fórmula que A = 100. Por tanto s(0) = 80 y s(2)=100. ¿Cuánto es s(5)? ¿Por qué es menor que s(2)?

Las funciones h, g y s anteriores son funciones lineal, exponencial y cuadrática, respectivamente, mientras que p(x) = 3tan(2 x) y r(x)= 11247 235 ++− xxx se llaman, respectivamente, trigonométrica y polinómica. Aunque las funciones no siempre están definidas por fórmulas y ecuaciones, ni tienen por qué indicar necesariamente relaciones entre números. Por ejemplo, si m(Elena) = rojo, m(Rebeca) = amarillo, m(Marta) = moreno, m(Jorge) = negro, m(Dorita) = dorado y


m(Pedro) no está definido, no es difícil adivinar que m es la regla que a cada persona le asigna el color de su cabello y que Pedro es calvo. Así pues, m(x) denota simplemente el color de cabello de x. Análogamente, p(x) se podría definir como el autor de x y q(x) podría ser la capital de estado más próxima a x. En tal caso, p(Guerra y paz)=Tolstoi y q(Filadelfia) = Trenton, N. J.

En los ejemplos expuestos, el número de sillas fabricadas, la temperatura Fahrenheit, el número de semanas hasta que se salda la deuda, el número de segundos transcurridos desde que se lanza la bola y el nombre de la persona son lo que se llama la variable independiente. El costo total, la temperatura Celsius, la cantidad adeudada, la altura de la bola y el color del cabello de la persona son lo que se llama la variable dependiente. Una vez se ha fijado el valor de la variable independiente, el de la variable dependiente queda totalmente determinado y se dice que ésta es función de aquélla.

Cuando tenemos cantidades que dependen de más de una cantidad –esto es, cuando tratamos con funciones de más de una variable- se usan variantes de la misma notación. Si por ejemplo 22 yxz += , entonces cuando x = 2 y y = 3 tenemos z = 13, y si queremos resaltar la dependencia de z con respecto a x y y, escribimos z = f(x,y) y 13 = f(2,3).

La notación de la dependencia funcional es como una contabilidad, pero una contabilidad imprescindible. Nos permite expresar relaciones en forma abreviada. Gracias a ella podemos disponer fácilmente de una buena parte de la flexibilidad y potencia del análisis matemático.

[Respuestas a las preguntas: f(37) = 191 000; h(59) = 15; s(5) = 55 y s(2) = 100; en t = 2 la bola está subiendo y en t = 5, bajando]


4. Un pato

(1) Haz un informe de tu lectura de ‘El pato Donald en el País Mágico de las Matemáticas’ aplicando el enfoque profundo que se describe en el Modelo PER.

Puedes aplicar algunas técnicas de lectura crítica al mensaje.

Te conviene realizar algunas actividades de comprensión de Perkins.

(2) Escribe cinco aplicaciones de las matemáticas en tu vida.

(3) ¿Qué es la razón áurea?

(4) ¿Cuáles son las condiciones para jugar a las matemáticas?

(5) ¿En qué se usan las cónicas?

(6) ¿Qué es el infinito?

(7) ¿Qué son las matemáticas?

(8) Escribe un párrafo con el episodio más memorable de tu vida en tus (¿tormentosas?, ¿apacibles?) relaciones con las matemáticas.

(9) Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) con respecto al aprendizaje que lograste en esta actividad.

5. Midiendo belleza

Programa de video de la serie Mathsphere de la Encyclopædia Británica. (1) Haz un informe del video ‘Midiendo belleza’ aplicando el enfoque profundo que

se describe en el Modelo PER.

Puedes aplicar algunas técnicas de lectura crítica al mensaje.

Te conviene realizar algunas actividades de comprensión de Perkins. (2) Responde las preguntas que se plantean a lo largo del video. (3) Señala la relación que hay entre las situaciones que se presentan en el video y

algunos de los problemas que has resuelto en el curso. (4) Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) con respecto al

aprendizaje que lograste en esta actividad.

6. Ecuaciones simultáneas

Programa de video de la Dirección General de Televisión Educativa. http://ute.sep.gob.mx/vne/sep_tve/guias/emsad/mate_08.htm Guía de lectura audiovisual (1) Antes de ver el programa:

Explica o define los conceptos siguientes a partir del conocimiento que tengas sobre el tema.


¿Qué es una incógnita y qué es una constante? ¿Cuáles son los métodos de resolución para los problemas algebraicos?

(2) Durante la observación del programa: ¿Qué imagen del programa te explica mejor la utilización de las ecuaciones simultáneas en la resolución de los problemas? Descríbela. Localiza el segmento que va de 00:22:40 a 00:33:59 y explica el procedimiento para determinar qué método es el más adecuado para al solución de ecuaciones simultáneas.

(3) Después de ver el programa: Enumera por pasos lógicos el método para la resolución de un problema. Reflexiona sobre los problemas reales que pueden ser resueltos por la aplicación de las ecuaciones simultáneas. ¿En qué otras áreas de conocimiento puedes aplicar estos métodos? Menciona ejemplos.

(4) Complemento de la Guía de lectura audiovisual:

¿Cómo se relacionan los casos que se presentan y resuelven en el programa con los problemas que se han resuelto en el curso?

¿Qué diferencias y semejanzas hay en los tratamientos que se dan a los problemas relacionados con las dietas?

(5) Aplica el modelo PER (Propósito, Estrategia, Resultado) con respecto al aprendizaje que lograste en esta actividad.

7. Cómo resolverlo

por George Polya

Planteamiento de ecuaciones.

El planteo de ecuaciones es como la traducción de un lenguaje a otro. Esta comparación, usada por Newton en su Arithmetica Universalis, puede ayudar a aclarar la naturaleza de ciertas dificultades con que a menudo se encuentran tanto los estudiantes como los profesores.

1.Plantear una ecuación significa expresar en símbolo matemáticos una condición formulada con palabras; es una traducción de un lenguaje corriente al lenguaje de las fórmulas matemáticas. Las dificultades que podemos tener al plantear ecuaciones son dificultades de traducción.

Para traducir una frase de inglés al francés se necesitan dos cosas. Tenemos que comprender primero totalmente la frase inglesa. Segundo, hemos de estar familiarizados con las formas de expresión peculiares de la lengua francesa. La situación es muy semejante cuando tratamos de expresar en símbo los matemáticos una condición propuesta en palabras. En primer lugar, hemos de comprender totalmente la condición. En segundo lugar, hemos de estar familiarizados con las formas de expresión matemática.

Es relativamente fácil traducir una frase inglesa en francés si puede traducirse palabra por palabra. Pero hay modismos ingleses que no pueden traducirse palabra


por palabra en francés. Si nuestra frase contiene estos modismos, la traducción resulta difícil; hemos de prestar menos atención a las palabras ind ividuales, y más atención al significado total; antes de traducir la frase hemos de reordenarla.

Sucede de una forma muy parecida en el planteo de ecuaciones. En los casos fáciles, la expresión verbal se divide casi automáticamente en parte sucesivas, cada una de las cuales puede escribirse en seguida con símbolos matemáticos. En los casos más difíciles, la condición tiene partes que no pueden traducirse inmediatamente en símbolos matemáticos. En este caso hemos de prestar menos atención a la afirmación verbal, y concentrarnos más sobre su significado. Antes de empezar a escribir fórmulas, hemos de volver a ordenar la condición, teniendo a la vista mientras lo hacemos los recursos de la notación matemática.

En todos los casos, fáciles o difíciles, hemos de comprender la condición, separar las diversas partes de la condición, y preguntarnos: ¿Puedes transcribirlas? En los casos fáciles, logramos sin vacilación dividir la condición en partes que pueden escribirse mediante símbolos matemáticos; en los casos difíciles, la división apropiado de la condición es menos obvia.

La explicación anterior se tendría que volver a leer después del estudio de las ejemplos siguientes.

2.Encontrar dos cantidades cuya suma sea 78 y cuyo producto será 1296

Dividamos la página mediante una línea vertical. Escribamos a un lado la expresión verbal dividida en partes adecuadas. Al otro lado, escribamos los signos algebraicos, enfrente de la parte correspondiente a la expresión verbal. El original está a la izquierda; la traducción, en símbolos, a la derecha.

EXPRESIÓN DEL PROBLEMA.

en castellanoEncontrar dos cantidadescuya suma sea 78 y cuyo producto sea 1296

en lenguaje algebraicox, y

x+y=78xy=1296

En este caso la expresión verbal se divide casi automáticamente en partes sucesivas, cada una de las cuales puede escribirse inmediatamente con símbolos matemáticos.

3.Encontrar la anchura y altura de un prisma recto de base cuadrada, siendo su volumen 63 centímetros cúbicos y el área de su superficie 102 centímetros cuadrados.

¿Cuáles son las incógnitas? El lado de la base, x, y la altura del prisma, y

¿Cuáles son los datos? El volumen 63 y el área 102.

¿Cuál es la condición? El prisma cuya base es un cuadrado de lado x y cuya altura es y ha de tener el volumen 63 y el área 102.


Separemos las diversas partes de la condición. Hay dos partes, una que se refiere al volumen y la otra al área.

Apenas dudamos en dividir la condición precisamente en estas dos partes; pero no podemos escribir estas partes “inmediatamente”. Tenemos que saber cómo calcular el volumen y las diversas partes del área. Sin embargo, si conocemos toda esta geometría, podemos fácilmente replantear las dos partes de la condición de modo que la traducción en ecuaciones sea factible. Escribimos en la parte izquierda de la página una expresión del problema reordenada y ampliada esencialmente, a punto para traducirla en lenguaje algebraico.

Encontrar el lado de la basey la alturade un prisma 1. El volumen viene dado.El área de la base, que es una cuadradode lado x y l a alturadetermina el volumen, que es su producto. 2. El área de la superficie viene dada.La superficie consiste en dos cuadradosde lado xy en cuatro rectángulos, cada uno debase x y alturay,la suma de los cuales es el área.

xy

63

x2

yx2y=63

102

2x2

4xy2x2+4xy=102

Trabajando hacia atrás.

Si queremos comprender la conducta humana hemos de compararla con la conducta animal. Los animales también “tienen problemas” y “resuelven problemas”. La psicología experimental ha hecho progresos esenciales en las últimas décadas al explorar las maneras de “resolver problemas” de varios animales. No podemos discutir aquí estas investigaciones, pero vamos a describir sucintamente un experimento simple e instructivo, y nuestra descripción nos servirá a modo de comentario sobre el método de análisis, o método de “volver atrás”…3

1.Tratemos de hallar la respuesta a la siguiente pregunta: ¿Cómo podríamos coger de un río exactamente 6 cuartos de agua, si sólo disponemos de dos recipientes, uno de 9 cuartos y otro de 4?


9

4

Figura 2

Observemos claramente las herramientas dadas con que hemos de trabajar los dos recipientes.(¿Qué es dadas?) Imaginemos dos recipientes cilíndricos que tiene igual base y cuyas alturas son como 9 es a 4, como en la figura 2. Si a lo largo de la superficie lateral de cada recipiente hubiese una escala de líneas horizontales con la misma separación, a partir de las cuales pudiéramos decir la altura del nivel del agua, nuestro problema sería sencillo. Sin embargo, esta escala no existe y, por lo tanto, estamos aún muy lejos de la solución.

No sabemos aún cómo medir exactamente 6 cuartos; pero ¿podríamos medir alguna otra cosa? (Si no puede resolver el problema, trata de resolver primero algún problema relacionado). Hagamos algo; demos unas pequeñas vueltas. Podríamos llenar el recipiente en toda su capacidad y vaciar lo que pudiéramos dentro del recipiente pequeño; entonces obtendríamos 5 cuartos. ¿Podríamos obtener también 6 cuartos? He aquí de nuevo los dos recipientes vacíos. Podríamos también ...

Figura 3

6

Estamos actuando como la hace la mayoría de la gente al enfrentarse con este rompecabezas. Partimos de los dos recipientes vacíos, intentamos esto y aquello, vaciamos y llenamos, y aunque no tengamos éxito, volvemos a empezar e intentamos alguna otra cosa. Vamos hacia adelante, partiendo de la situación inicial dada la situación final deseada, de los datos a lo desconocido. Accidentalmente, después de muchos intentos podemos tener éxito.


Figura 4

9

1

2.Pero la gente extraordinariamente capaz, o los que han tenido la suerte de aprender en sus clases de matemáticas algo más que simples operaciones de rutina, no gastan mucho tiempo en tales intentos, sino que dan media vuelta y empiezan a trabajar hacia atrás.

¿Qué se nos pide que hagamos? (¿Cuál es la incógnita?) Analicemos la situación final hacia la cual tendemos, tan claramente como sea posible. Imaginemos que tenemos delante de nosotros el recipiente mayor, con exactamente los 6 cuartos dentro de él, y el recipiente pequeño vacío, como en la figura 3. (Partamos de lo que se nos pide y supongamos que hemos encontrado ya lo que buscamos, dice Pappus).

¿A partir de qué situación precedente podríamos obtener la situación final deseada de la figura 3? (Investiguemos a partir de qué antecedentes podría derivarse el resultado deseado, dice Pappus.) Podríamos llenar, por supuesto, el recipiente mayor a plena capacidad, es decir, hasta 9 cuartos. Pero entonces tendríamos que ser capaces de verter en él exactamente 3 cuartos. Para ello... ¡debemos tener justamente un cuarto en el recipiente pequeño! Ésta es la idea (ver figura 4).

(El paso que hemos dado no es nada fácil. Pocas personas son capaces de realizarlo sin muchas vacilaciones. De hecho, al reconocer la importancia de este paso, prevemos un esquema de la solución siguiente.)

Figura 5

1

Pero ¿cómo podemos alcanzar la situación que acabamos de encontrar, ilustrada por la figura 4? (Busquemos de nuevo cuál podría ser el antecedente de este antecedente). Como la cantidad de agua en el río es, para nuestro propósito, ilimitada, la situación de la figura 4 viene a ser lo mismo que la siguiente, de la figura 5, o la siguiente, de la figura 6.


1Figura 6

Es fácil reconocer que si se obtiene cualquiera de las situaciones de la figuras 4, 5, 6, puede obtenerse igualmente bien cualquiera otra, pero no es fácil acertar con la figura 6 , a no ser que la hayamos visto antes, por azar, en alguno de nuestros intentos iniciales. Al jugar con nuestros dos recipientes, podemos haber hecho algo similar, y recordar ahora, en el momento adecuado, que la situación de la figura 6 puede surgir tal como lo sugiere la figura 7: llenamos del todo el recipiente mayor y vertemos cuatro cuartos en el recipiente menor y luego en el río, dos veces consecutivas. Llegamos eventualmente sobre algo que ya conocíamos (éstas son las palabras de Pappus) y, siguiendo el método del análisis, trabajando hacia atrás, hemos descubierto la sucesión apropiada de las operaciones.

Figura 7

9

1

5

Es cierto, hemos descubierto la sucesión apropiada en orden inverso, pero todo lo que nos falta hacer es invertir el proceso y partir del punto que hemos alcanzado en último lugar en el análisis (como dice Pappus). Realizamos primero las operaciones sugeridas por la figura 7 y obtenemos la figura 6; entonces pasamos a la figura 5, luego a la figura 4 y, finalmente, a la figura 3. Siguiendo nuestros casos, logramos finalmente derivar lo que se nos pedía.

3.La tradición griega atribuye a Platón el descubrimiento del método de análisis. Puede ser que la tradición no sea del todo digna de confianza, pero, en cualquier caso, si el método no fue inventado por Platón, algún letrado griego creyó necesario atribuir su invención al genio filosófico.

Hay ciertamente en el método algo que no es superficial. Hay una cierta dificultad psicológica en dar media vuelta, en alejarse de la meta, trabajar hacia atrás, en seguir el camino directo hacia el fin deseado. Cuando descubrimos la sucesión de las operaciones apropiadas, nuestra mente ha de proceder según un orden que es exactamente el inverso de la realización en sí. Hay una cierta clase de repugnancia psicológica en esta inversión del orden, que puede impedir a un estudiante totalmente capaz comprender el método si no se le presenta cuidadosamente.


Sin embargo, no se necesita un genio para resolver un problema concreto trabajando hacia atrás; podemos hacerlo todo con un poco de sentido común. Nos concentramos sobre el fin deseado, analizamos la posición final, en la que nos gustaría encontrarnos. ¿A partir de qué posición precedente podríamos conseguir ésta? Es natural que nos hagamos esta pregunta, y al preguntarnos esto vamos trabajando hacia atrás. Problemas muy primitivos pueden conducir naturalmente al trabajo hacia atrás.

Trabajar hacia atrás es un procedimiento de sentido común, al alcance de cualquiera, y apenas podemos dudar que no fuera practicado por algunos matemáticos y no matemáticos antes de Platón. Lo que algún letrado griego puede haber considerado como un logro digno del genio de Platón, es la formulación del procedimiento de términos generales, y calificarla como una operación típicamente útil en la resolución de problemas matemáticos y no matemáticos.

4.Volvamos ahora al experimento psicológico, si la transición desde Platón a perros, gallos y chimpancés no es demasiado abrupta. Una valla forma tres lados de un rectángulo, pero deja un cuarto lado abierto, como en la figura 8. Ponemos un perro a un lado de la valla, en el punto D, y algo de comida en el otro, en el punto F. El problema es muy fácil para el perro. Al principio puede esbozar el gesto de saltar directamente sobre la comida, pero entonces da rápidamente media vuelta, se lanza por el lado abierto de la valla y, corriendo sin vacilación, alcanza la comida siguiendo una curva fácil. A veces, sin embargo, y especialmente cuando los puntos D y F están cerca el uno del otro, la solución no es tan cómoda; el perro puede algún tiempo ladrando, rascando o saltando contra la valla, antes de “tener la brillante idea” (como diríamos) de dar la vuelta. Es interesante comparar la conducta de varios animales, puestos en lugar del perro. El problema es muy fácil para el chimpancé y un niño de cuatro años (para el cual un juguete puede ser un señuelo más atractivo que la comida). El problema, sin embargo, resulta sorprendentemente difícil para un gallo, que corre excitado arriba y abajo de la valla y puede pasar mucho tiempo antes de conseguir la comida, si es que la consigue. Pero, después de mucho correr, puede lograrlo accidentalmente.

F

D

Figura 8


5.No tendríamos que construir una gran teoría sobre un experimento tan simple como el que acabamos de describir esquemáticamente. No obstante, sería indicado notar algunas analogías obvias, siempre que estemos preparados para volverlas a comprobar y evaluar.

Lo que hacemos al resolver cualquier tipo de problema, es dar la vuelta a un obstáculo; el experimento tiene una especie de valor simbólico. El gallo actuó como las personas que resuelven su problema por chiripa, intentándolo una y otra vez y teniendo éxito eventualmente, gracias a algún feliz accidente, sin una visión de las razones de su éxito. El perro que rascaba y saltaba y ladraba antes de dar la vuelta, resolvió su problema tan bien como hicimos nosotros con los dos recipientes. Imaginar una escala que mostrara el nivel de agua en nuestros recipientes, fue una especie de rascado casi inútil, que mostró solamente que lo que buscábamos estaba a más profundidad bajo la superficie. Primero intentamos también trabajar hacia adelante, y llegamos después a la idea de volver atrás. El perro, que después de una breve inspección de la situación, dio media vuelta y se lanzó fuera, nos da, de una manera cierta o equivocada, la impresión de una visión superior.

No; no tenemos por qué criticar al gallo por su zafiedad. Hay un cierta dificultad en dar la vuelta, en alejarnos de nuestra meta, en seguir sin ver continuamente nuestro objetivo, en no adoptar el camino directo hacia el fin deseado. Hay una analogía obvia entre sus dificultades y nuestras dificultades.

8. Programación lineal

por John Allen Paulos

La programación lineal es un método para maximizar (o minimizar) una cierta cantidad asegurando al mismo tiempo que se cumplen ciertas condiciones sobre otras cantidades. Generalmente estas condiciones son lineales (sus gráficas son líneas rectas), de ahí el nombre de la disciplina: programación lineal. Es una de las técnicas más útiles de la investigación de operaciones, que es como se conoce el conjunto de instrumentos matemáticos desarrollados después de la segunda guerra mundial para mejorar el rendimiento de los sistemas económicos, industriales y militares, y desde entonces se ha convertido en un ingrediente habitual de los cursos de matemáticas de las escuelas de formación empresarial.

En vez de seguir invocando inexpresivos términos matemáticos para aclarar su significado, lo ilustraremos reflexionando sobre un simple cálculo del punto muerto. Un pequeño taller fabrica sillas metálicas (o artefactos si prefiere las formulaciones genéricas). Sus costos son 5000 pesos (en bienes de equipo, por ejemplo) y 187.5 pesos por cada silla producida. Así pues, el costo total t que tiene el taller viene dado por la fórmula t = 187.5x + 5000, donde x es el número de sillas producidas. Si suponemos además que el precio de venta de estas sillas es de 312.5 pesos la pieza,


los ingresos totales R del taller vienen dados por la ecuación R = 312.5x, donde x es el número de sillas vendidas.

Representando ambas ecuaciones sobre el mismo par de ejes coordenados, encontramos que se cortan en un punto en el cual los costes y los ingresos son iguales. El punto muerto, o de beneficio cero, es el (40, 12500 pesos), de modo que si se venden menos de 40 sillas, los costos superan los ingresos; si se venden más, los ingresos superan los costos; y si se venden exactamente 40 sillas, tanto los ingresos como los costos son 12500 pesos. Maximizar los beneficios en este caso se reduce a vender tantas sillas como sea posible. (Para obtener algebraicamente el punto de beneficio cero, 40, se resta la ecuación y = 187.5x + 5000 de la y = 312.5x. La ecuación resultante, 0 = 125x - 5000, se resuelve fácilmente y da x = 40.)

x

y

(208.33,0

(142.86,157.14)

(187.5,50)(50,50)

almohadas caras

(300,0)

(50,250)

(0,300)

(0,500)

almohadas baratas

La región sombreada satisface todas las desigualdades

Después de este preliminar, consideremos el siguiente problema, que es un caso auténtico de programación lineal. Sin dejar las aplicaciones de la economía, supondremos que una empresa fabrica dos tipos de colchones. Producir un colchón caro cuesta 1200 pesos y se vende a 3000 pesos, mientras que uno barato cuesta 500 pesos y se vende a 1800 pesos. La compañía no puede fabricar más de 300 colchones al mes y no puede gastar más de 250000 pesos al mes en su producción.


Si la compañía ha de fabricar al menos 50 colchones de cada tipo ¿cuántos ha de fabricar de cada clase para maximizar sus beneficios?

Si llamamos x al número de colchones caros que la compañía fabrica cada mes y y al de colchones caros, podemos convertir las condiciones sobre x y y al de colchones caros, podemos convertir las condiciones sobre x e y del problema en:

x + y = 300;

x = 50;

y = 50; y

1200X + 500 y = 250000.

La última desigualdad se debe a que si fabricar un colchón caro cuesta 1200 pesos, producir x costará 12000x pesos; y análogamente, hacer y colchones baratos costará 500y pesos. Obsérvese que estas condiciones se expresan como desigualdades lineales, cuyas gráficas son regiones del plano delimitadas por líneas rectas (o, en problemas más complicados, por sus análogos en espacios de más dimensiones).

La cantidad que hay que maximizar es el beneficio, que en términos de x y y vale P = 1800 x + 1300 y. Esto es así porque el beneficio que se tiene por cada colchón caro es de 1800 pesos (3000 pesos –1200 pesos), y por cada colchón barato 1300 pesos (1800 pesos –500 pesos), con lo que x de las primeras dan un beneficio de 1800 x pesos, y y de los segundos dan 1300 y pesos. Una vez que tenemos el problema planteado así, hay varias técnicas para hallar la solución. Una es gráfica y consiste en encontrar los vértices y los lados de la región permitida –la parte del plano en la que son válidas todas las desigualdades– y luego probarlas para encontrar en cuál de ellas se tiene el máximo beneficio. Con este método, y un poco de geometría analítica, descubrimos que la compañía de colchones debería fabricar 143 colchones caros y 157 baratos al mes si quiere obtener el máximo beneficio.

Otra técnica, llamada método simplex debida al matemático estadounidense George Danzig, desarrolla y formaliza esta estrategia geométrica de modo que una computadora pueda examinar rápidamente estos puntos en el caso de que haya más de dos variables. El método simplex se ha usado durante más de cuarenta años y ha ahorrado una cantidad enorme de tiempo y dinero. Sin embargo, si el problema de optimación tiene varios miles de variables y desigualdades lineales, como ocurre por ejemplo al establecer el horario de unas líneas aéreas o las trayectorias de las llamadas telefónicas, la comprobación puede ser un poco lenta, incluso para una computadora. Para estos casos existe un algoritmo, inventado por Narenda Karmarkar, investigador de los AT&T Bell Laboratories, que a menudo es más rápido en la determinación del horario más eficaz o la trayectoria más corta.


Cuando las condiciones no son lineales, los problemas son mucho más difíciles de tratar. Me es grato informarles que los problemas de programación no lineal frecuentemente colapsan las computadoras más potentes.

6. Autoevaluaciones


6. Autoevaluaciones

Introducción Ya sabemos de qué se trata la autoevaluación: Comprobar uno mismo su avance en la adquisición de conocimiento y habilidades. Y esto de la evaluación no podía faltar en este material. La autoevaluación no es algo que desconozcamos. Cuando aprendimos a andar en bicicleta o en patines no fue necesario que alguien nos dijera que ya lo habíamos logrado. Cuando todavía nos caíamos y sufríamos uno que otro raspón, sabíamos dos cosas: una, todavía no lográbamos dominar el arte de andar sobre ruedas y, la segunda, para lograrlo debíamos seguir practicando. Hay ocasiones en que nuestra autoevaluación es complaciente. Encontramos motivos para justificar nuestras deficiencias y en lugar de trabajar para superarlas, nos paralizamos con la justificación que damos. También llega a ocurrir que en la escuela la autoevaluación queda casi olvidada. Tal vez el saber que periódicamente debemos ser evaluados por nuestros profesores nos lleva a olvidarnos de la evaluación propia. Pero si lo que aprendemos en la escuela nos va a ser útil para nuestras diversas actividades dentro y fuera de ella, la autoevaluación es necesaria, pues de otra forma siempre estaremos esperando hasta que alguien nos diga que ya somos competentes en algo para atrevernos a usarlo. Lamentablemente esto pasa con cierta frecuencia en matemáticas. Esperamos que el profesor nos diga no sólo que ya dominamos un tema sino además cuándo podemos usarlo. En este material te proporcionamos por cada unidad un cuestionario para que te sirva como autoevaluación. No es, desde luego, la única forma de autoevaluarte, tú mismo puedes diseñar otras. De este cuestionario se dan las respuestas para que las compares con las tuyas. Unas observaciones finales sobre estos cuestionarios: • No los desperdicies intentando trabajarlos antes de que hayas concluido el estudio de una

unidad. • No resuelvas por partes cada cuestionario. Cuando decidas resolver uno de ellos es porque

dispones del tiempo y condiciones necesarias para resolverlo completo. • No consultes la respuesta una por una, justo cuando acabas de resolver o responder lo que

se te pide, termina el cuestionario y luego compara los resultados. • Trata de no ser complaciente cuando encuentras errores en tus respuestas. No basta que

digas que ya te diste cuenta de tus errores. Es necesario que sigas trabajando y confirmar al hacerlo o practicarlo que ya lograste adquirir los conocimientos o habilidades requeridas.


Autoevaluación de la Unidad 1

1. Escribe una explicación acerca del orden en que deben realizarse las operaciones para alguien que lo ignora.

2. Un microsegundo es una millonésima de segundo. Un nanosegundo es 10-9 segundo = 0.000000001 de segundo. ¿Cuántos nanosegundos tiene un microsegundo? Un micromicrosegundo es 10-12 segundo. ¿Cuántos micromicrosegundos tiene un nanosegundo? ¿y un microsegundo?.

3. Representa las operaciones que se indican. Simplifica sólo cuando se te pide.

1.Toma el número 6 2.Elévalo al cuadrado 3.Toma el número –1 4.Elévalo al cubo 5.Multiplica las potencias (2) y (4) 6.Toma el número 3 7.Elévalo a la cuarta potencia 8.Multiplica el resultado por –1 9.Resta al producto (5) el producto (8) 10.Simplifica, expresando el resultado como un

número entero

4. Expresa algebraicamente las siguientes proposiciones:

1.Toma un número no determinado 2.Multiplícalo por –1 3.Toma otro número no determinado 4.Multiplícalo por –2 5.Multiplica los productos (2) y (4) 6.Multiplica el producto obtenido (5) por el cuadrado de un tercer número

7.Ordena los factores, en caso necesario, y expresa el resultado en la forma más compacta posible

8. Eleva todo el término al cubo

5. Escribe las expresiones siguientes usando sólo exponentes positivos.

=− 3

26pq =− 23 zw

=−

−

3

6

314

ba

=− nz 231

( ) =− 353x ( )=

−

−

4

3

25

nm

6. Efectúa las operaciones y simplifica los resultados.


( ) =− 53z

( ) =−2410x

( )( ) =−−323523 nmpnm ( )( )( ) =−− yxyx 7103 2

( ) ( ) =−− 2126 32 qppq =−

53

6

168

nmnm

( )

( ) =−

−323

23

2

3

wz

wz

7. Un grupo musical firmó un contrato para grabar un disco por 1.2 millones de pesos y el 15% de los ingresos brutos por la venta de discos, casetes y dvd con los videoclips. El grupo lo integran seis jóvenes y sus ingresos se distribuyen en partes iguales. Los precios al público son disco: $135, casete: $69 y dvd: $247.

En el primer mes se vendieron 23251 discos, 33892 casetes y 5179 dvd, el grupo recibirá un total de:

Si se venden p discos, q casetes y r dvd, la fórmula que da las ganancias del grupo es:

En el caso del inciso a) a cada integrante le corresponde

En el caso del inciso b) a cada integrante le corresponde



1. Escribe un ensayo breve sobre los algoritmos algebraicos.

2. Lo único que sabe de dos cantidades A y B es que : -A está entre 13.5 y 13.7 -B está entre 7.9 y 8.1 ¿Entre que valores se encuentran los siguientes resultados ?:

a) A+B b) AB c) A/B d) (A+B)/(A-B)

3. Escribe en el paréntesis el término que hace que cada proposición sea verdadera.

a) (a-7) (a+7) = a2 - ( ) b) (m2-3n) (m2+3n) = ( ) – 9n2

c) (y+3) (y+7) = y2 + ( ) +21 d) (3p-1) (3p+7) = 9p2 + ( ) + ( )

4. Dados dos círculos con el mismo centro, halla una expresión algebraica para el área de la parte sombreada. Simplifica la expresión tanto como sea posible Utiliza la expresión para obtener el área de la parte sombreada si x = 10.125

5. La expresión x2 – y2 representa la diferencia del cuadrado de dos números. Describe las expresiones siguientes de manera similar:

a) La expresión (x - y)2 representa:

b) La expresión x3 + y2 representa:

c) La expresión (2x-3y)2 representa:

6. Efectúa las operaciones y simplifica las expresiones siguientes:

a) ( ) ( ) =−− 3127 32 qppq

b) =−

62

5

147

nmnm

c)

( )( ) =−

−32

23

3

2

zw

wz

7. Representa por medio de figuras las siguientes identidades algebraicas:

a) (x+3)(x-2) = x2 + x – 6 b) (a-b)(2a-b) = 2a2 - 3ab + b2

x

4


8. Si tenemos un cuadrado de lado 3x, su área es igual a (3x)2, es decir 9x2. Si se duplica su lado el área será:

9. Si tenemos un cubo de arista 2x, su volumen es igual a (2x)3, es decir 8x3. Si se duplica su arista el volumen será:



1. Escribe un ensayo breve sobre el modelo lineal. Incluye por lo menos un mapa conceptual.

2. ¿Cuál es la diferencia entre una identidad y una igualdad?


a) (a - 7) ( a + 7 ) = a2 - ( ) b) (m2 - 3n) (m2 + 3n) = ( ) – 9n2

c) (y + 3) (y + 7) = y2 + ( ) + 21 d) (3p - 1) (3p + 7) = 9p2 + ( ) + ( )

e) 3p + 18 = 3(( ) + ( ))

f) 15yz + 5y2z2 = ( ) (3 + yz)

g) 9 - p2 = (3 + ( )) (( ) - p)

h) 49m6 - 64n4 = (( ) + 8n2) (( ) - ( ))

4. Para cada una de los siguientes incisos, redacta un problema cuyo planteamiento conduzca a la ecuación indicada.

a) 127.50x + 235 =1000 b) 2(x − 35) = 330 c) 5x +125 = 3x +395

5. Valentina pasó por el Auditorio Nacional de la Ciudad de México, cuando los hombres salían del espectáculo, les grito a éstos. ¡Adiós esos cien galantes mancebos!, ellos le contestaron, no somos cien, pues el doble de nosotros, más la cuarta parte de nosotros, más tú, Valentina, somos ese número. Valentina se preguntó ¿Cuántas mancebos habrá a la salida del espectáculo?

6. Un hombre de negocios separa al principio de cada año $1,000,000.00 para los gastos del año y aumenta su capital en un tercio. Al cabo de tres años tiene el doble de su capital: ¿Cuál era su capital inicial al empezar el primer año?

7. Representa algebraicamente las expresiones siguientes: a) Un número no determinado disminuido en 17: b) La diferencia de tres veces el cuadrado de un número no determinado y

5 es once: c) Si m es un entero impar, el entero impar que le sigue es:

8. Dos tinacos del mismo volumen se vacían uniformemente, mediante llaves de diferente tamaño, de tal manera que uno de ellos queda vacío en 5 horas en tanto que el otro requiere de 8 horas.


1 2 3 4 5 6 7 8

500

x

y

a) ¿Cuál es la gráfica y la ecuación que corresponde a cada tinaco? Explica con palabras lo que representa cada una de ellas.

b) ¿Cuál es la pendiente de cada una? Explica el significado de la pendiente en términos de la situación.

c) ¿En qué instante tiene uno de los tinacos el doble del agua que el otro?

Tiempo en horas

Vol

umen

en

litro

s



1. Escribe un ensayo breve sobre el modelo cuadrático. Incluye por lo menos un mapa conceptual.

2. Calcula la altura h de un triángulo cuya área es 162 cm2 y su base es (2h+3) cm.

3. Un cultivador de naranjas se da cuenta de que obtiene una producción promedio de 40 fanegas por árbol cuando planta 200 de ellos en una hectárea de terreno. Cada vez que añade diez árboles a la hectárea, la producción por árbol desciende en una fanega, a causa del congestionamiento. ¿Cuántos árboles por hectárea deberá plantar para optimizar la producción?

4. Escribe en el paréntesis el término que hace que cada proposición sea verdadera

a) (a - 5b) (a + 5b) = a2 - ( ) b) (2m3 - n) (2m3 + n) = ( ) – n2

c) (z - 8) (z + 9) = z2 + ( ) - 72 d) (3p - 5) (3p + 8) = 9p2 + ( ) + ( )

e) 14p + 49 = 7 (( ) + ( )) f) 4 - p2 = (2 + ( )) (( ) - p)

g) 8az + a2z3 = ( ) (8 + az2) h) 81m8 - 25n6 = (( ) + 5n3) (( )-( ))

5. Escribe las soluciones de cada ecuación. Comprueba tus resultados.

(x + 8) (x - 5) = 0 w2 + 3w –18 = 0 2x2 - 3x – 14 = 0

6. El círculo A tiene 16 cm de diámetro y el círculo B tiene 24 cm de diámetro. La razón del radio del círculo B al radio del círculo A es: La razón del perímetro del círculo B al perímetro del círculo A es: La razón del área del círculo B al área del círculo A es:

7. El Subcomandante Rodolfo acostumbra subir y bajar corriendo dos escaleras eléctricas de 20 m de longitud cada una, desplazándose una hacia arriba y otra hacia abajo, en 15 segundos. Si se mantuviese quieto en una de las escaleras, en 20 segundos se encontraría en el otro extremo de ella. Cuando las escaleras no funcionan, ¿en cuánto tiempo subirá y bajará por ellas?


8. La curva siguiente es una parábola:

-5 5

-10000

x

y

a) ¿Cuál es la ecuación que corresponde a esta gráfica? b) Escribe un algoritmo que sirva para resolver el problema ‘Dada la gráfica de una

parábola encuentra su ecuación’. c) Escribe un algoritmo que sirva para resolver el problema ‘Dada la ecuación de una

parábola encuentra su vértice’ d) Traza sobre los mismos ejes la gráfica de y = -1500x - 4000. e) Encuentra los puntos de intersección de ambas gráficas. f) Traza sobre los mismos ejes la gráfica de y = 200(x2-3x-40). g) Encuentra los puntos de intersección de la recta y esta parábola.



1. Describe prolijamente dos estrategias de resolución de problemas que hayas usado con provecho.

2. Supongamos que estás iniciando un pequeño negocio con una inversión inicial de $500. El costo unitario del producto es de $21.60 y el precio de venta es de $34.10. ¿Cuántas unidades debes vender para alcanzar el equilibrio?

3. Un industrial necesita obtener una mezcla de un ácido al 50%. Tiene 10 litros de una solución al 70%, ¿cuántos litros necesita de una solución al 40% para conseguir la mezcla que necesita?

4. Encuentra el valor de k para que la gráfica de y = 2x + k sea tangente a la circunferencia x2 + y2 = 25.

5. Encuentra el valor de k para que la gráfica de y = 2x + k toque, pero no cruce (sea tangente) a la gráfica de la parábola y=x2 +1.

6. Escribe en el paréntesis el término que hace que cada proposición sea verdadera. a) 8q + 18 = 2(( ) + ( )) c) 75xyz + 5y2z2 = ( )(15x + yz)

b) 169 - p2 = (3 + ( ))(( )-p) d) 121m8-9n6=(( )+3n3)(( ) - ( ))

7. Escribe las soluciones de cada sistema de ecuaciones. Comprueba tus resultados y grafica y = 3x2 +6

a) y + x = 1

b) 432

71

=x+y

=x

+y

0.2x2–0.3x= y+7

c) 0.7x – 0.03x2 =2y

xy = 6 d)

5x – 6y = 3

8. Yago, un carpintero, hace y vende ‘x’ sillas en una semana, el costo de la madera que emplea en la fabricación de cada silla es de 130 pesos, además gasta en la renta del local y otros costos fijos 1500 pesos semanales. El precio de venta de cada silla es de 700 pesos semanales. Escribe una expresión algebraica que dé, en función del número de sillas fabricadas y vendidas: a) Los costos totales ‘yc’ de la semana b) Los ingresos ‘yi’ de la semana. c) La ganancia ‘yg’ de la semana


d) Calcula el número de sillas que debe producir y vender para obtener una ganancia de $20000 o más en una semana

e) Calcula su ganancia por cada peso invertido cuando produce y vende 12 sillas en una semana.

9. Las curvas siguientes son parábolas:

-5 5 10

-40

-30

-20

-10

10

20

30

40

50

60

x

y

y 3

y 2

y 1

a) ¿Cuál es la ecuación que corresponde a cada gráfica? b) Encuentra los puntos de intersección de cada par de gráficas. c) Traza sobre los mismos ejes la gráfica de y = -4x+20. d) Encuentra los puntos de intersección de esta recta con cada parábola. e) Escribe un algoritmo que sirva para resolver el problema ‘Dadas las gráficas de una

parábola y una recta encuentra exactamente sus puntos comunes’.



1. ¿Para qué sirven los teoremas del factor y del residuo?

2. Grafica y = x3 - 3x2 - x + 3.

3. La fórmula para obtener la resistencia equivalente a dos resistencias en paralelo es

21

111RRRt

+=

a) despeja R1 b) Si Rt=50 y R2=100, determina R1

4. Si un objeto se encuentra por encima de la superficie de la tierra, su peso varía inversamente con el cuadrado de la distancia del cuerpo al centro de la tierra. Si una persona pesa 80 kg. en la superficie terrestre, ¿cuál será su peso 2000 km arriba de la superficie? Suponga que el radio de la tierra es de 6500 km.

5. Escribe las soluciones de cada uno de los siguientes problemas a) Comprueba que x2 + 1 es un factor de f(x) = x3 - 2x2 + x -2, ¿Se puede deducir de

ahí que f(-1) = 0 ? b) La velocidad del tren X es 14 Km/h más rápida que la del tren Y. El tren X recorre

400 Km en el mismo tren que el tren Y recorre 330 Km. Calcula la velocidad de cada uno de los trenes.

6. Lewis Carroll, autor del libro "Alicia en el País de las Maravillas", propone un problema cuyo enunciado es: Una limonada, tres sandwiches y siete bizcochos cuestan un chelín y dos peniques, mientras que una limonada, cuatro sandwiches y diez bizcochos valen 1 chelín y 5 peniques. Sabiendo que un chelín equivale a 12 peniques, hallar el precio de: a) una limonada, un sandwich y un bizcocho, b) dos limonadas, tres sandwiches y cinco bizcochos

7. Tres máquinas limpiadoras A, B y C, trabajando juntas, realizan la limpieza de unos grandes almacenes en 8 horas. Si se estropea A, entonces B y C realizan el trabajo en 12 horas; pero si se estropean A y B, la máquina C realiza el trabajo en 18 horas. a) ¿Cuánto tiempo tardan, por separado, en realizar el trabajo las máquinas A y B? b) Sabiendo que en una hora, la máquina A limpia 72 m2 de superficie, ¿cuál es la

superficie total de los grandes almacenes? c) ¿Cuántos m2 limpia por hora cada una de las máquinas B y C?


8. Una compañía de discos estima que podrá vender siete mil álbumes de una nueva versión de “Don Giovanni” de Mozart-Da Ponte a $450 cada álbum. Por cada reducción de $10 en el precio por álbum, calcula que venderá 200 álbumes más. A la compañía cada álbum le cuesta $150 y sus costos fijos son de $200000.

a) Calcula los costos, ingresos, ganancia y ganancia por peso invertido en los casos

siguientes Número de incrementos de $10 en el precio por

álbum

Costos Ingresos Ganancia Ganancia por cada peso invertido

0 1 2 3 4

b) Grafica la ganancia versus el número de incrementos de $10 en el precio por álbum. c) Establece la fórmula que da la ganancia por cada peso invertido en función del

número de incrementos. d) Traza la gráfica de la ganancia por cada peso invertido


Autoevaluación de la Unidad 1 (Respuestas) 2. Un microsegundo tiene mil nanosegundos, es decir, 1*10-6 = 1000*10-9

Un nanosegundo tiene mil micromicrosegundos, es decir, 1*10-9 = 1000*10-12 Un microsegundo tiene un millón de micromicrosegundos, es decir, 1*10-6 = 1000000*10-12

3. Representa las operaciones que se indican. Simplifica sólo cuando se te pide.

1.Toma el número 6 6 2.Elévalo al cuadrado 62 3.Toma el número –1 –1 4.Elévalo al cubo (–1)3 5.Multiplica las potencias (2) y (4) 62*(–1)3 6.Toma el número 3 3 7.Elévalo a la cuarta potencia 34 8.Multiplica el resultado por –1 (–1)* 34 9.Resta al producto (5) el producto (8) 62*(–1)3 – (–1)* 34 10.Simplifica, expresando el resultado como un

número entero –36 – (–81) = 45

4. Expresa algebraicamente las siguientes proposiciones:

1.Toma un número no determinado x 2.Multiplícalo por –1 (–1)*x 3.Toma otro número no determinado y 4.Multiplícalo por –2 (–2)*y 5.Multiplica los productos (2) y (4) ((–1)*x)( (–2)*y) 6.Multiplica el producto obtenido (5) por el cuadrado de un tercer número ((–1)*x)( (–2)*y)*z2

7.Ordena los factores, en caso necesario, y expresa el resultado en la forma más compacta posible 2xyz2

8. Eleva todo el término al cubo (2xyz2)3

5. Escribe las expresiones siguientes usando sólo exponentes positivos.

=− 3

26pq 6q2p3 =− 23zw 3

2

wz

=−

−

3

6

314

ba

6

3

314

ab

=− nz 231

3

2nz ( ) =− 353x 15

27x

( )

=−

−

4

3

25

nm

3

480m

n

6. Efectúa las operaciones y simplifica los resultados.


( ) =− 53z -243z5

( ) =−2410x 100x8

( )( ) =−−323523 nmpnm m12n8p5 ( )( )( ) =−− yxyx 7103 2 210x3y2

( ) ( ) =−− 2126 32 qppq 576p2q4

=−53

6

168

nmnm

4

3

2nm−

( )( )

=−

−323

23

2

3

wz

wz438

9wz

−

7. a) En el primer mes se vendieron 23251 discos, 33892 casetes y 5179 dvd, por lo

que el grupo recibirá 1.2 millones de pesos más 1013496.9 pesos, que corresponde al 15% de los ingresos brutos, es decir un total de 2213496.9 pesos.

b) Los ingresos que obtiene el grupo son yg = 1200000 + 0.15(135p + 69q + 247r) c) Los ingresos que obtiene cada integrante del grupo son

yi = 6

247r) 69q 0.15(135p 1200000 +++


Autoevaluación de la Unidad 2 (Respuestas)

2. a)A+B estará entre 21.4 y 21.8 b) AB estará entre 106.65 y 110.97 c) A/B estará entre 1.67 y 1.73 d) (A+B)/(A-B) estará entre 3.69 y 4.04


a) (a-7) (a+7) = a2 - ( 49 ) b) (m2-3n) (m2+3n) = ( m4 ) – 9n2

c) (y+3) (y+7) = y2 + ( 10y ) +21 d) (3p-1) (3p+7) = 9p2 + (18p ) + ( -7 )

4. El área de la parte sombreada es p[x2 – (x-4)2]= (8x-16) p. Si x=10.125, el área es 65 p.

5.

a) La expresión (x - y)2 representa el cuadrado de la diferencia de dos números.

b) La expresión x3 + y2 representa la suma del cubo de un número y el cuadrado de otro.

c) La expresión (2x-3y)2 representa el cuadrado de la diferencia del doble de un número y el triple de otro.

6. Efectúa las operaciones y simplifica las expresiones siguientes:

a) ( ) ( ) =−− 3127 32 qppq 3456pq4

b) =−

62

5

147

nmnm

5

3

2nm

−

c)

( )( ) =−

−32

23

3

2

zw

wz4

3

274

wz−

7. Representa por medio de figuras las siguientes identidades algebraicas: a) (x+3)(x-2) = x2 + x – 6 b) (a-b)(2a-b) = 2a2 - 3ab + b2


A x2 se le suma 3x y se le restan 2x y 3*2, es decir x2+x-6:

A 2a*a se le restan a*b y 2a*b y se le suma b*b, es decir, 2a2-3ab+b2

8. Si tenemos un cuadrado de lado 3x, su área es igual a (3x)2, es decir 9x2. Si se duplica su lado el área será (2*3x) 2=36x2


9. Si tenemos un cubo de arista 2x, su volumen es igual a (2x)3, es decir 8x3. Si se duplica su arista el volumen será (2*2x) 3=64x3.



2. ¿Cuál es la diferencia entre una identidad y una igualdad?

Una identidad es una igualdad que se verifica para todos los valores de las variables, otro tipo de igualdad es la ecuación que no se verifica para todos los valores de las variables. Un ejemplo de identidad es 2x+3x=5x, que se verifica para cualquier valor de x. Un ejemplo de ecuación es 2x+3=5, que sólo se verifica cuando x=1.


a) (a - 7) ( a + 7 ) = a2 - ( 49 ) b) (m2 - 3n) (m2 + 3n) = ( m4 ) – 9n2

c) (y + 3) (y + 7) = y2 + ( 10y ) + 21 d) (3p - 1) (3p + 7) = 9p2 + ( 18p ) + ( -7 )

e) 3p + 18 = 3(( p ) + ( 6 ))

f) 15yz + 5y2z2 = ( 5yz ) (3 + yz)

g) 9 - p2 = (3 + ( p )) (( 3 ) - p)

h) 49m6 - 64n4 = (( 7m3 ) + 8n2) (( 7m3 ) - ( 8n2 ))

5. 2x+4x

+1=100, hay entonces 44 jóvenes.

6. Su capital inicial, al empezar el primer año, era de 11100000 pesos. Así, al final del primer año tenía 13800000, de l segundo 17400000 y del tercero 22200000, que es el doble de su capital original.

7. Representa algebraicamente las expresiones siguientes: a) x-17 b) 3x2-5=11 c) m+2

8. Dos tinacos del mismo volumen se vacían uniformemente, mediante llaves de diferente tamaño, de tal manera que uno de ellos queda vacío en 5 horas en tanto que el otro requiere de 8 horas.


a) Al tinaco que se vacía en 5 horas le corresponde la gráfica que contiene el punto (5,0) y la ecuación y=-100x+500. La gráfica representa el proceso de vaciado del tinaco, cada punto del segmento de recta informa del tiempo transcurrido desde que comenzó el proceso y el volumen de agua que hay en el tinaco en ese instante. El proceso comienza con (0,500), es decir, cuando el tinaco contiene 500 litros y concluye con (5,0), es decir 5 horas después, cuando el tinaco está vacío. Las parejas de números (x,-100x+500) satisfacen la ecuación y representan el tiempo x y el volumen de agua correspondiente durante el proceso de vaciado.

Al tinaco que se vacía en 8 horas le corresponde la gráfica que contiene el

punto (8,0) y la ecuación y=-2

125x+500.

b) Las pendientes son –100 y –62.5 y representan el volumen de agua que sale de cada tinaco en una hora.

c)

Cuando han transcurrido 1140 horas en el tinaco que se vacía en 8 horas hay

113000

litros y en el otro hay 11

1500 litros.



2. La altura del triángulo es h=12 cm.

3. Debe plantar 30 árboles por hectárea para que la producción sea óptima. Así se producirían 9000 fanegas.

4. Escribe en el paréntesis el término que hace que cada proposición sea verdadera

a) (a - 5b) (a + 5b) = a2 - ( 25b2 ) b) (2m3 - n) (2m3 + n) = ( 4m6 ) – n2

c) (z - 8) (z + 9) = z2 + ( z ) - 72 d) (3p - 5) (3p + 8) = 9p2 + ( 9p ) + (-40 )

e) 14p + 49 = 7 (( 2p ) + ( 7 )) f) 4 - p2 = (2 + ( p )) (( 2 ) - p)

g) 8az + a2z3 = ( az ) (8 + az2) h) 81m8 - 25n6 = (( 9m4 ) + 5n3) (( 9m4 )-( 5n3 ))

5. Escribe las soluciones de cada ecuación. Comprueba tus resultados.

(x + 8) (x - 5) = 0 x1= 5 x2= -8

w2 + 3w –18 = 0 w1= 3 w2= -6

2x2 - 3x – 14 = 0 x1= -2

x2= 27

6. La razón del radio del círculo B al radio del círculo A es 3 a 2. La razón del perímetro del círculo B al perímetro del círculo A es 3 a 2. La razón del área del círculo B al área del círculo A es 9 a 4.

7. Si se supone que Rodolfo sube por las escaleras que suben y baja por las que bajan, entonces tarda 24 segundos en subirlas y bajarlas cuando las escaleras no funcionan. Si se supone que Rodolfo baja por las escaleras que suben y sube por las que bajan, entonces tarda 10.9 segundos en subirlas y bajarlas cuando las escaleras no funcionan.

8. a) La ecuación que corresponde a la gráfica es y = 300x2 + 900x – 12000. b) Un algoritmo para resolver el problema ‘Dada la gráfica de una parábola encuentra

su ecuación’: (1) Lee las coordenadas de tres puntos que pertenezcan a la gráfica.


(2) Sustituye cada pareja de coordenadas en la ecuación y = ax2 + bx + c, de tal manera que obtengas tres ecuaciones con tres incógnitas, a, b, y c.

(3) Resuelve el sistema formado por las tres ecuaciones del punto (2). (4) Sustituye los valores de a, b y c que obtuviste en la ecuación y = ax2 + bx +

c. c) Un algoritmo para resolver el problema ‘Dada la ecuación de una parábola encuentra

su vértice’: (1) Escribe la ecuación en la forma y = ax2 + bx + c. (2) Encuentra las abscisas de los puntos de intersección de la parábola con la

recta y = c. (3) Calcula la abscisa del punto medio de las abscisas que obtuviste en el punto

(2). (4) Sustituye la abscisa en y = ax2 + bx + c para obtener la ordenada del vértice

de la parábola. d) y f) Las gráficas de y = -1500x – 4000, y = 200(x2-3x-40).

-11.0 -10.0 -9.0 -8.0 -7.0 -6.0 -5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0

-12000.0

-9000.0

-6000.0

-3000.0

3000.0

6000.0

9000.0

12000.0

e) Las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola y la recta son aproximadamente (-10.5, 11798) y (2.5, -7798). g) Las coordenadas de los puntos de intersección de la recta y la segunda parábola son aproximadamente (-7.3, 6884) y (2.8, -8134).



2. Se deben vender 40 unidades para alcanzar el equilibrio.

3. El industrial necesita 20 litros de la solución de ácido al 40%.

4. Hay dos valores de k, 55 y 55− , que hacen la gráfica de y = 2x + k tangente a la circunferencia x2 + y2 = 25.

5. El valor de k =0 hace que la gráfica de y = 2x + k toque, pero no cruce (sea tangente) a la gráfica de la parábola y=x2 +1.

6. Escribe en el paréntesis el término que hace que cada proposición sea verdadera. a) 8q + 18 = 2(( 4q ) + ( 9 )) c) 75xyz + 5y2z2 = ( 5yz )(15x + yz)

b) 169 - p2 = (13 + ( p ))(( 13 )-p) d) 121m8-9n6=((11 m4)+3n3)((11 m4) - (3n3))

7. a)

x=6

591 i±−

b)

(3

315 −−,

2319 +

)

(3

315 +−,

2319 −

)


c) Aproximadamente

(7.41 , 1.75) (-4.39 , -1.82)

d) ( 3 , 2 )

( -2.4 , -2.5)

8. a) Los costos totales ‘yc’ de la semana: yc = 130x +1500 b) Los ingresos ‘yi’ de la semana: yi = 700x c) La ganancia ‘yg’ de la semana: yg = 570x –1500 d) Para obtener una ganancia de $20000 o más en una semana debe producir y vender

por lo menos 38 sillas. e) Cuando produce y vende 12 sillas en una semana su ganancia por cada peso invertido

es de 1.75 pesos.

9. a) La ecuación que corresponde a cada gráfica es:

y1 = -(x+7)(x-9); y2 = 3x2+14x-5; y3 = (x+9)(x-2) b) Los puntos de intersección de cada par de gráficas son:

Entre y1 y y2 (3,60.1) y (-5.9,16.2) Entre y1 y y3 (5.2, 46) y (-7.7, -12.2) Entre y2 y y3 no hay intersección.

c) Traza sobre los mismos ejes la gráfica de y = -4x+20. d) Encuentra los puntos de intersección de esta recta con cada parábola.

Intersecciones con y1 (10.2, -20.8) y (-4.2, 36.8) Intersecciones con y2 (1.2, 15.2) y (-7.3, 49) Intersecciones con y3 (2.8,9) y (-13.8,74)



2. Grafica y = x3 - 3x2 - x + 3.

3. a) Por lo tanto

R1 = T

T

RRRR

−2

2

b) Cuando Rt vale 50 y R2 100, entonces R1 = 100.

4. El peso de la persona a 2000 km de la superficie es de 46.78 kg

5. b) Las velocidades de los trenes son y=66; x=80

6. a) una limonada, un sándwich y un bizcocho cuestan 8 peniques b) dos limonadas, tres sándwiches y cinco bizcochos cuestan 1 chelín y 7 peniques.

7. a) La máquina A tarda 24 horas y la máquina B tarda 36 horas. b) La superficie total de los grandes almacenes es 1728 m2 c) La máquina B limpia 48 m2 por hora y la máquina C limpia 96m2 por hora.


8.

a) Los costos, ingresos, ganancia y ganancia por peso invertido en los casos siguientes son: Número de incrementos de $10 en el precio por

álbum

Costos Ingresos Ganancia Ganancia por cada

peso invertido

0 7000*150+200000 1250000

7000*450 3150000

1900000 1.52

1 (7000+200)*150+200000 1280000

(7000+200)*(450-10) 3168000

1888000 1.475

2 (7000+200(2))*150+200000 1310000

(7000+200(2))*(450-10(2)) 3182000

1872000 1.429

3 (7000+200(3))*150+200000 1340000

(7000+200(3))*(450-10(3)) 3192000

1852000 1.382

4 (7000+200(4))*150+200000 1370000

(7000+200(4))*(450-10(4)) 3198000

1828000 1.286

b) La gráfica de la ganancia versus el número de incrementos de $10 en el precio por álbum es

y = -2000x2-10000x+1900000


-10.0 -5.0 5.0 10.0 15.0

500000.0

1000000.0

1500000.0

x

y-2000(x^2+5x-950)

a) La fórmula que da la ganancia por cada peso invertido en función del número de

incrementos es:

y = )1253(5

)9505( 2

+−+−

xxx

b) La gráfica de la ganancia por cada peso invertido:


-20.0 -15.0 -10.0 -5.0 5.0 10.0 15.0

1.0

2.0

x

y

-2000(x^2+5x-950)/((7000+200x)*150+200000)

-2000(x^2+5x-950)


Algunas muestras de exámenes ordinarios y extraordinarios Primer Examen Ordinario Ejemplo 1 Instrucciones: Resolver todos los temas Todas las operaciones deberán estar contenidas en las hojas del examen No se calificaran procedimientos en las hojas de preguntas Está permitido el uso de la calculadora no programable Firmar todas las hojas del examen El resultado debe estar en tinta. 1.- Si el ciclo lunar tarda en completarse 27.32 días terrestres y la distancia de la tierra al centro de

la luna es de 384,392 Km. a) ¿Qué distancia en metros recorrerá nuestro satélite al cabo de 40 días? b) ¿Qué distancia recorrerá en m al cabo de un año?

2.- Para fabricar un concreto con una resistencia de 250 Kg/cm2 se requiere mezclar

cemento, arena y grava a razón de 1:3:5 respectivamente, si se requieren 105 m3 de concreto ¿Cuánto volumen de cada material se requiere?

3.- Debo $550 pago la 4/5 partes, luego pago las 3/11 partes de lo que resta y

posteriormente $52.50 ¿Cuánto me falta por pagar?

4.- Tres galgos arrancan juntos en una carrera en un galgódromo de forma circular. El primero tarda 10 segundos en dar la vuelta a la pista, el segundo 11 segundos y el tercero en 12 segundos. a) ¿Al cabo se cuántos segundos volverán a pasar juntos por la línea de salida? b) ¿Cuántas vueltas habrá dado cada uno en ese tiempo?

5.- Simplifica la siguiente fracción

65

41

51

35

65

45

32

23

•+−

−÷−

+

6.- Jorge, Juan y José estaban poniéndose de acuerdo para comprar un videojuego. Jorge contaba

con 0.142857 del importe, mientras que José contaba con 45 centésimos del costo total. ¿Qué fracción debe poner Jorge para completar el video juego?

7.- Filogonio desea comprar para navidad una autopista que en abril costaba $850 mas el

IVA. Si la tasa de inflación es del 1.5% mensual. ¿Cuánto deberá tener en diciembre al momento de la compra?

8.- Una pelota de hule cae de una altura de 20m y rebota ascendiendo cada vez tres cuartas partes del ascenso anterior.


a) Calcula la altura de la pelota en el cuarto ascenso. b) Calcula la distancia recorrida por la pelota cuando pega en el suelo por cuarta vez.

Ejemplo 2 Instrucciones: Resolver todos los temas Todas las operaciones deberán estar contenidas en las hojas del examen No se calificaran procedimientos en las hojas de preguntas Está permitido el uso de la calculadora no programable Firmar todas las hojas del examen El resultado debe estar en tinta 1.- Resolver y expresar el resultado como fracción común:

[ ]6.075.041

3

38.021

−

+

2.- Una bomba llena un tanque de agua en 4 21

horas y otra lo hace en 4 horas. Si la primera trabaja

1 21

horas y la segunda 2 horas, ¿qué fracción del tanque queda vacío?

3.- Mi hermano compró un modular y lo trató de vender 20% más caro. A este precio le aplicó un

20% de descuento para poder venderlo y al final perdió $ 136.00. ¿Cuánto le costó el modular?

4.- Tres secretarias se reparten un total de hojas para mecanografiar. A una le corresponde 52

del

total, a la segunda 43

de lo que resta y a la tercera 18 hojas. ¿De cuántas hojas es el trabajo?

5.- Realiza las operaciones y simplifica. Expresa el resultado como fracción con exponentes

positivos.

2

32

53 −

−

−

nm

nm

01

24

nm

nm


6.- Los rayos solares llegan a la Tierra aproximadamente en 8 61

minutos. Si la luz viaja a 3 x 105

km/s, calcula la distancia, en metros, de la Tierra al Sol (utilizar notación científica).

7.- Tres hermanos deben $ 15, 600. El pago lo hacen en razón 3:2 del mayor al mediano y 4:3 del

mediano al menor. ¿Qué cantidad le corresponde pagar a cada uno? 8.- Las edades de 3 personas suman 31 años. Manuel tiene 7 años menos que el doble de Raúl y

Alfredo tiene la tercera parte de la edad de Manuel. ¿Qué edad tiene cada uno? Ejemplo 3 Instrucciones: Resolver todos los temas Todas las operaciones deberán estar contenidas en las hojas del examen No se calificaran procedimientos en las hojas de preguntas Está permitido el uso de la calculadora no programable Firmar todas las hojas del examen El resultado debe estar en tinta 1.- Para llegar al andén de una estación del metro se deben bajar tres tramos de escaleras, el primer

tramo tiene 288 cm., el segundo tramo tiene 336 cm., y el tercero 304 cm. Si todos los escalones son de la misma altura, ¿cuántos escalones tiene cada tramo de la escalera?

2.- Al pagar en la caja, el precio de unos tenis resulta ser de $260. Calcula cuánto dinero te

ahorraste, si tenían un descuento del 35%. 3.- Los números pentagonales son aquellos números que se pueden representar por puntos en un

arreglo pentagonal. En la figura se muestran los primeros cuatro números pentagonales. ¿Cuál es el séptimo número pentagonal? Encuentra una fórmula para el número pentagonal ‘n’.

4.- La luz viaja aproximadamente a 3 x 105 kilómetros por segundo; ésta tarda cerca de 500

segundos en llegar desde la tierra hasta el sol. ¿Cuál es la distancia aproximada del sol a la tierra?


5.- En un C. E. C. y T., hay una población de 2,100 alumnos que ingresan en este ciclo escolar, y se sabe que la razón profesor – alumno es de 1 a 35. Los padres de familia consideran que deben contratarse más profesores para que la razón anterior sea de 1 es a 30. ¿Cuántos profesores má s se necesitan para cubrir ésta necesidad?

6.- Considerando que el tamaño de los saltos de un tigre y de una gacela es idéntico, ¿en cuánto

tiempo el tigre alcanzará a la gacela, si ésta lleva una ventaja de 18 y 2/3 saltos, y las velocidades del tigre y de la gacela son de 3 y 1/2 saltos y 2 y 1/3 saltos por segundo, respectivamente?

7.- En un laboratorio se utilizo la tercera parte del contenido de un frasco de cierta solución, para

prácticas con alumnos de quinto semestre; el 25% del contenido inicial del mismo frasco para prácticas con alumnos de tercer semestre y dos séptimas partes del total, para prácticas con alumnos de primer semestre. ¿Cuántos mililitros sobraron en el frasco, sí en el frasco había 168 mililitros de la solución?

8.- Un político invirtió las tres décimas partes de su capital en la compra de una mansión, con las

dos séptimas partes de lo que quedo, compro un yate y el resto lo destina para comprar terrenos. ¿Cuál era el capital inicial si en la compra de terrenos gastó 9 millones de pesos?


Segundo Examen Ordinario Ejemplo 1 Instrucciones: Resolver todos los temas Todas las operaciones deberán estar contenidas en las hojas del examen No se calificaran procedimientos en las hojas de preguntas Está permitido el uso de la calculadora no programable Firmar todas las hojas del examen El resultado debe estar en tinta 1.- El tiempo que tarda una piedra en caer al suelo está dada por la siguiente expresión, simplifícala.

( )[ ]

−−−

−−−− 22

222

54

43

92

331

235

41 xbxxbxbx

2.- Se requiere hacer un ángulo de aluminio a partir de una barra de este material. Se sabe

que la barra tiene en su sección un ancho W = (3x+2p–5)4 cm, y una H = (4x–p+1)3 cm. Para dejar la pieza exacta hay que retirar la sección “ab” que mide: a = (x+p)2 cm, mientras que b = (2x+3p)2 cm. A partir de los datos anteriores indica ¿cuál es el área de la sección transversal del ángulo en cuestión? (ver figura)

W

Hb

a

3.- Los dígitos de un número comenzando por la izquierda son a, b y c. Escribe la expresión

algebraica que represente dicho número. 4.- Un bodeguero de la merced compró media tonelada de naranjas. Incrementó su precio

en un 60% y logró vender 490 Kg. Si su ganancia fue de $1420.00, ¿cuál es el costo y el precio de venta por kilogramo de naranja?

5.- La fórmula de área del cilindro es la siguiente: A = 2πrh + 2πr2. Si el radio de la base mide un

cuarto de la altura y esta tiene una longitud de 25 cm. ¿Cuál es el área total del cilindro? 6.- En la figura los segmentos AB, CD y EF son paralelos entre sí y cortan a las rectas PQ y

RS, por lo que geométricamente es válido establecer la siguiente proporción:

219

2220

55

−

−=−

m

xm

x

¿Cuál es la expresión que determina “m”?


5x-5

2x-2

20m

9m-1

2

F

D

P Q

R

S

A

B

C E

7.- Resuelve la ecuación siguiente:

( )35572

61

10523 −−=

−−− xxxx

8.- ¿En cuánto tiempo un auto recorre 33

710

22 yxyx−+ metros a una velocidad de

52y

x −

m/s? Ejemplo 2 Instrucciones: Resolver todos los temas Todas las operaciones deberán estar contenidas en las hojas del examen No se calificaran procedimientos en las hojas de preguntas Está permitido el uso de la calculadora no programable Firmar todas las hojas del examen El resultado debe esta r en tinta 1.- Representa por medio de una figura la siguiente identidad:

( x + y + z )2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz 2.- Si a un rectángulo se le disminuye su altura en un 40% y la base se aumenta en una

quinta parte, ¿en qué porcentaje un área es menor a la otra? 3.- Se cuenta con 56 metros de malla de alambre para hacer un corral rectangular, éste

corral debe tener de largo, el triple de lo que mide el ancho. ¿Calcula las medidas y la superficie de dicho corral?

4.- Expresa el área “A” de un cuadrado, en función de:

a) El lado “y”. b) El perímetro “P”. c) La diagonal “d”.


5.- ¿Cuántos litros de una solución ácida al 15% se deben mezclar con 6 litros de otra solución ácida al 60%, para obtener una solución ácida al 30%?

6.- La siguiente gráfica representa la altura de dos velas después de haberse encendido al

mismo tiempo: Auxiliándote de la gráfica determina:

a) ¿Cuál vela se consume totalmente primero? b) ¿Qué altura tenia la vela B después de 2 horas? c) ¿Cómo cambia la altura dependiendo del tiempo en cada una de ellas (exprésalo

numéricamente)? d) Si una vela se enciende a las 6:00, ¿a qué hora se debe encender la otra para que

las dos se consuma n totalmente al mismo tiempo? Explica.

30

20

10

cm.

horas 1 2 3 4 5 6

Vela B

Vela A


Tercer Examen Ordinario Ejemplo 1 Instrucciones: Resolver todos los temas Todas las operaciones deberán estar contenidas en las hojas del examen No se calificaran procedimientos en las hojas de preguntas Está permitido el uso de la calculadora no programable Firmar todas las hojas del examen El resultado debe estar en tinta 1.- Las gráficas siguientes representan el costo para los pasajes de un viaje en los taxis del

aeropuerto, en una ciudad, de dos compañías, de acuerdo a los kilómetros recorridos. A una de esas compañías la llamaremos “A” y a la otra “B”.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 9550

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

950

1000

1050

1100

1150

x

y

B

A

a) ¿Cuál es la cuota inicial por el uso del taxi en cada compañía? ¿Qué cantidad cobran por kilómetro recorrido?

b) ¿Escribe para cada compañía la ecuación que da el costo de un viaje en función de los kilómetros recorridos.

c) Calcula el costo de un viaje con los recorridos siguientes y señala que compañía conviene

Recorrido en kilómetros

Compañía “A” Costos en pesos

Compañía “B” Costos en pesos

Compañía que conviene

12


27 41 63 98

¿En general en qué compañía conviene contratar un taxi? d) Formula dos preguntas relacionadas con el problema y respóndelas con un

argumento basado en la información que obtuviste. 2.- Una compañía de discos estima que podrá vender siete mil álbumes de una nueva

versión de “Don Giovanni” de Mozart-Da Ponte a $450 cada álbum. Por cada reducción de $10 en el precio por álbum, calcula que venderá 200 álbumes más. A la compañía cada álbum le cuesta $150 y sus costos fijos son de $200000.

e) Calcula los costos, ingresos, ganancia y ganancia por peso inver tido en los casos

siguientes Número de incrementos de $10 en el precio por álbum

Costos Ingresos Ganancia Ganancia por cada peso invertido

0 1 2 3 4

f) Grafica la ganancia versus el número de incrementos de $10 en el precio por álbum. g) Establece la fórmula que da la ganancia por cada peso invertido en función del

número de incrementos. 3.- En la gráfica se representan la ganancia y los ingresos de un fabricante de mochilas en

función del número de piezas producidas y vendidas.


500 1000 1500 2000 2500

-50000

50000

100000

150000

200000

250000

300000

350000

400000

x

y

ganancia

ingresos

y=(4000-x)x/10

a) Encuentra la ecuación de la ganancia. b) Dado que la ganancia es la diferencia de los ingresos y los costos determina la

ecuación de los costos a partir de la que obtuviste del inciso anterior y traza su gráfica.

c) Encuentra el número de piezas donde la ganancia es nula. d) Encuentre el número de piezas donde la ganancia es máxima.

4.- Por problemas con las autoridades delegacionales se tiene que cambiar el escenario de

un concierto de rock. Se debe acondicionar en menos de 8 horas. Una empresa puede instalar los asientos en 12 horas y cobra $20000. Otra se tarda 18 horas y cobra $15000 por hacer el mismo trabajo. a) ¿Se podría realizar el concierto si se contrata a las dos empresas? ¿Cómo? Explica

detalladamente. b) ¿En qué términos se debe establecer el contrato para que los organizadores paguen lo

menos posible?


Examen Extraordinario Ejemplo 1 Instrucciones: Resolver todos los temas Todas las operaciones deberán estar contenidas en las hojas del examen No se calificaran procedimientos en las hojas de preguntas Está permitido el uso de la calculadora no programable Firmar todas las hojas del examen El resultado debe estar en tinta 1) Después de centrifugar una serie de muestras sanguíneas en un laboratorio, la cuarta

parte de ellas se guardó en el refrigerador a y las tres quintas partes en el refrigerador b, quedando tres muestras en la centrifugadora. a) ¿Cuántas muestras hay en total? b) ¿Cuántas muestras hay en cada refrigerador?

2) Inicialmente la base de un rectángulo mide b unidades y la altura a unidades, si la

altura se reduce a la tercera parte y la base aumenta en un 32%: a) Calcula el área del rectángulo modificado. b) Obtén en qué tanto por ciento varió el área del rectángulo con respecto al rectángulo original.

3) ¿Cuántos centímetros cúbicos de agua destilada se deben añadir a 105 centímetros

cúbicos de una solución ácida concentrada al 60 %, para obtener una solución ácida concentrada al 35 %?

4) Un jardín rectangular mide 40 por 30 metros. Se desea pavimentar un pasillo

alrededor del jardín que tenga anchura uniforme. ¿Qué tan ancho debe ser el pasillo si cubrirá un área de 296 metros cuadrados?

5) Al preparar una dieta para algunos animales que se utilizarán en un experimento, una

bióloga determina que los animales necesitan 20 gramos de proteínas y 6 gramos de grasa. ella compra dos tipos de alimento, el tipo a contiene 20 % de proteínas y 2 % de grasa, el tipo b contiene 10 % de proteínas y 6 % de gr asa, entre otros componentes. ¿Cuántos gramos de cada uno de esos dos alimentos deberá mezclar para proporcionar las cantidades correctas de proteínas y grasa a los animales?

6) Arturo trabaja como vendedor en una mueblería y recibe un salario base mensual de $3

000, más un 6 % de comisión por el monto de las ventas que realiza. a) Establece una función que exprese el salario mensual de Arturo dependiendo del monto de las ventas que haga y traza su gráfica. b) Si a fin de mes Arturo quiere ganar $7 800, ¿cuál deberá ser el monto de sus ventas?

Ejemplo 2


Instrucciones: Resolver todos los temas Todas las operaciones deberán estar contenidas en las hojas del examen No se calificaran procedimientos en las hojas de preguntas Está permitido el uso de la calculadora no programable Firmar todas las hojas del examen El resultado debe estar en tinta 1) Un profesionista realizó cierto trabajo y recibió $ 8 840 como pago. Esta cantidad ya

incluye un incremento del 15 % de IVA y un descuento del 10 % correspondiente al impuesto sobre la renta, ambos aplicados sobre sus honorarios. ¿C uál es el monto de dichos honorarios?

2) La razón de los gastos a los ingresos en un restaurante es de 5 a 8. ¿A cuánto ascienden

sus gastos en una semana en que la ganancia fue de $3 675? Recuerda que la ganancia es la diferencia entre los ingresos y los gastos.

3) Calcula cuántos litros de una solución que contiene el 74 % de alcohol deben ser

combinados con 5 litros de otra solución con el 90% de alcohol, para obtener otra solución concentrada al 84%?

4) Un jardín de forma rectangular está rodeado por un camino de grava que tiene ancho

uniforme de 2 metros. El área cubierta por el jardín es de 80 metros cuadrados y el área cubierta por el camino mide 200 metros cuadrados. Calcula las dimensiones que tiene el jardín.

5) Un comerciante desea invertir $ 12 000, una parte al 10 % de interés anual y el resto al

15 %, ¿cuánto deberá invertir a cada tasa para obtener el 12 % sobre el total de la cantidad depositada?

6) Puedes suponer con aproximación que la temperatura T del aire, medida en grados

Fahrenheit (°F), es una función lineal que depende de la altitud h, medida en pies, sobre el nivel del mar. Considerando que la temperatura al nivel del mar es de 60 °F y que a una altitud de 5 000 pies la temperatura del aire decrece unos 18 °F: a) Expresa la variable T como una función de la variable h. b) ¿Cuál es la temperatura del aire a una altitud de 15 000 pies?

7. Bibliografía


8. Bibliografía Los materiales que se utilizaron en la elaboración de este trabajo son: Alarcón, J. et al (1995) Libro para el maestro. Matemáticas. SEP.

De Prada, D. et al (1991). El comentario de textos matemáticos. Editorial Ágora

Fridman, L. (1989). Metodología para Resolver Problemas de Matemáticas. Grupo

Editorial Iberoamérica.

Grupo Editorial Iberoamérica. Revista Educación Matemática

Heid K. et al (1996). Algebra in a technological world. NCTM.

López de Medrano, S. (1972). Modelos matemáticos. ANUIES.

Kasner, E. & Newman, J. (1985). Matemáticas e imaginación. Biblioteca personal Jorge

Luis Borges. Hyspamérica.

NCTM. Revista Mathematics Teacher.

Novak, J. y Gowin D. (1984). Aprendiendo a aprender. Martínez Roca

Novak, J. (1998). Conocimiento y aprendizaje. Alianza Editorial

Paulos, J. (1990). El hombre anumérico. Tusquets Editores

Paulos, J. (1990). Más allá de los números. Tusquets Editores

Polya, G. (1965). Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Trillas.

Rojano, T. & Ursini, S. (1997). Álgebra con hojas electrónicas de cálculo. Grupo Editorial

Iberoamérica

Ruiz, B. (1999) Curso rediseñado de matemáticas remediales. México: ITESM Campus

Estado de México. En la plataforma LearningSpace: RZSRZSH1/RZS/ITESM,

LSPACE\VA\curmod\cemma801 \.

Selmes, I. (1992). La mejora de las habilidades de estudio. Paidos.

Seymour, D. & Shedd, M. (1981) Diferencias finitas. CECSA


Socas, M. et al (1992) Iniciación al álgebra. Síntesis

Steen, L. (1990) On the shoulders of giants. The National Academy of Sciences.

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