MATEMÁTICAS 2º E.S.O. TEMA 1 DIVISIBILIDAD....

I.E.S. Tierra de Ciudad Rodrigo Departamento de Matemáticas

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MATEMÁTICAS 2º E.S.O.

TEMA 1

DIVISIBILIDAD. NÚMEROS ENTEROS.

1.1. Divisibilidad. Criterios de divisibilidad.

1.2. Números primos y compuestos.

1.3. Descomposición de un número en sus factores primos.

1.4. Mínimo común múltiplo (m.c.m.).

1.5. Máximo común divisor (M.C.D.).

1.6. El conjunto de los números enteros. Relación de orden, representación gráfica y valor absoluto.

1.7. Operaciones con números enteros: suma, resta, multiplicación y división.

1.8. Operaciones combinadas. Jerarquía de las operaciones.

1.9. Potencias de números naturales, Operaciones con potencias

1.10. Potencias y raíces de números enteros


2

1. ¿Cuándo se dice que entre dos números hay una relación de divisibilidad?

2. Si entre dos números hay una relación de divisibilidad, ¿qué se dice que es el mayor

del menor? ¿Y el menor del mayor?

3. Comprueba si entre los siguientes números hay relación de divisibilidad.

a) 124 y 12

b) 364 y 31

c) 364 y 13

4. Contesta razonadamente a las siguientes preguntas:

a) ¿Es 225 múltiplo de 45?

b) ¿Es 35 múltiplo de 7?

c) ¿Es 112 múltiplo de 14?

d) ¿Es 15 divisor de 90?

5. Enuncia los criterios de divisibilidad de 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 y 11.

6. Clasifica los siguientes números según su divisibilidad entre 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 y 11.

14 334 524 60 676 270 12 56 516 832 702 44

77 121 34 2.232 4.895 957

7. Escribe todos los divisores de los siguientes números: 42, 48, 120, 72, 102, 63 y 54.

8. Completa la siguiente tabla: Divisible por 2 3 4 5 6 9 11

436

510

4510

99

458

9371

45

9. Escribe todos los divisores de 12 comprendidos entre 345 y 422.

Escribe todos los divisores de 7 comprendidos entre 345 y 400.

Escribe todos los divisores de 24 comprendidos entre 800 y 900.

10. Encuentra el primer múltiplo de tres cifras de cada una de los siguientes números:

9 33 42 27 11 7

11. Halla todos posibles valores de X para que:

a) 285X4 sea divisible entre 3

b) 285X4 sea divisible entre 6

c) X9679 sea múltiplo de 11

d) 253X sea múltiplo de 2 y 5.

e) 2960X sea divisible entre 9

f) 8567X sea divisible entre 5 y 3, pero no entre 2.


3

12. Completa para que los siguientes números sean múltiplos de 6. (Escribe todos los

resultados posibles)

8__8 43__ 52__6 443__

13. Dos números entre 120 y 140 son divisibles entre 7. ¿Cuáles son?

14. Tres números entre 567 y 595 son divisibles entre 11. ¿Cuáles son?

15. Contesta razonadamente a las siguientes cuestiones:

a) ¿Cuántos múltiplos tiene un número cualquiera? ¿Cómo se hallan?

b) ¿Cuál es el múltiplo más pequeño que tiene un número? ¿Y su divisor más

pequeño?

c) ¿Cuál es el divisor más grande de un número?

d) ¿Es 6 múltiplo de 48?

e) ¿Se pueden encontrar todos los divisores de un número?

f) ¿ Se pueden encontrar todos los múltiplos de un número?

16. Escribe tres números capicúa de cinco cifras que sean divisibles entre 2 y 3, y otros tres

que sean divisibles por 5 y 9.

17. Halla el valor de X para que el número 2X3X sea divisible por 3.

18. ¿Qué es un número primo? ¿Y un número compuesto?

19. A partir de la Criba de Eratóstenes escribe todos los números primos menores de 100.

20. Descompón en factores los siguientes números:

48 54 84 120 135 180

378 1144 396 540 215 725

21. ¿Cómo se calcula el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números?

22. Halla el m.c.m. de:

a) 24 y 36 d) 12, 18 y 8

b) 72 y 90 e) 60, 72 y 90

c) 36 y 40 f) 24 y 60

23. ¿Cómo se calcula el máximo común divisor (M.C.D.) de varios números?

24. Halla el M.C.D. de:

a) 24 y 36 e) 6, 9 y 12

b) 165 y 275 f) 12, 18 y 24

c) 28 y 42 g) 36, 60 y 72

d) 12, 45 y 10 h) 72, 108 y 270


4

25. Halla el m.c.m. y el M.C.D. de:

a) 24·3² y 34

b) 2²·3 y 2³·5

c) 2² y 3³

d) 2²·5, 2·5² y 3²·5

26. Calcula el MCD y el mcm de los siguientes grupos de números: 12 y 36 24 y 36 60 y 90

16 y 20 40 y 60 15 y 30

8 y 27 45 y 54 25 y 50

250 y 180 120y 350 81 y 243

200 y 300 120 y 180 256 y 512

4, 6 y 10 12, 18 y 24 1040 y 780

210, 315 y 420 132, 176 y 220 240, 324 y 250

27. Se apilan en una torre cubos de 30 cm de arista y al alado en otra torre cubos de 36 cm

de arista. ¿A qué altura coinciden ambas torres?

28. Se desea dividir un terreno rectangular de 100 metros de ancho y 120 m. de largo en

parcelas cuadradas lo más grandes posibles. ¿cuánto mide el lado de cada parcela?

29. ¿De cuántas formas posibles se pueden guardar 80 bolígrafos en estuches iguales?

Indica en cada caso el número de estuches necesarios y el número de bolígrafos.

30. Tenemos dos cuerdas de 20 m. y 30 m., respectivamente, y las queremos cortar en

trozos iguales lo más grandes posibles. ¿Cuánto medirá cada trozo?

31. Disponemos de piezas de cartulina rectangulares de 12 cm por 18 cm y las unimos para

formar un cuadrado. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado más pequeño que se puede

formar? ¿cuántas piezas se usan?

32. Disponemos de 240 pinturas blancas y 264 pinturas verdes que se desean

comercializar en bolsas con el mismo número de unidades y sin mezclar los colores.

¿Cuántas se pueden poner en cada bolsa teniendo en cuenta que el número de ellas

deber estar entre 15 y 30?

33. Los miembros de un coro se reúnen en grupos con el mismo número de individuos. Si

se juntas de 3 en 3 sobran 2. Si se juntan de 4 en 4 sobran 3. Si lo hacen de 6 en 6

sobran 5. Si hubiera uno más se podían formar los grupos perfectamente. ¿Cuántos

eran?

34. Puedo agrupar mi colección de monedas de 3 en 3, de 5 en 5 y de 7 en 7 sin que sobre

ninguna. ¿Cuántas tengo sabiendo que son más de 215 y menos de 350?


5

35. En la estación de Salamanca sale un tres cada 25 minutos, en la de Soria cada 45

minutos y en la de Burgos cada hora. Si a las 8 de la mañana han salido juntos, ¿a qué

hora volverá a coincidir la salida de los tres trenes?

36. Luis tiene 78 canicas amarillas, 130 blancas y 126 verdes. Quiere meterlas en cajas con

el mayor número posible de canicas y con el mismo número de ellas en cada caja. Si no

puede mezclar los calores en las cajas ¿cuántas meterá en cada una? ¿Cuántas cajas

necesitará?

37. Tres motoristas se entrenan, salen juntos de la línea de salida y pasan por la misma

cada 70, 75 y 80 segundos. Después de ¿cuántos minutos volverán a pasar juntos por

la línea de salida?

38. En la biblioteca de mi centro hay entre 1000 y 1100 libros. Averigua cuántos son

exactamente si pueden agruparse en cajas de 5, de 9, de 15 y de 18.

39. Un autobús pasa por la parada cada 24 minutos y otro cada 32 minutos. Coinciden en

la parada a las 10 de la mañana. ¿A qué hora volverán a coincidir?

40. La longitud de la rueda delantera de un tractor mide 190 cm y la trasera 350 cm. Se les

hace una señal a cada una de las ruedas. Después de ¿cuántas vueltas volverán a

coincidir?

41. ¿Por quién está formado el conjunto de los números enteros?

42. Escribe el opuesto de los siguientes números: -3, 5, -34, -67, 35, +2, 0 y -4.

43. Representa en la recta numérica los números: -3, 5, -4, +6, -8, +2, 0 y -1.

44. Ordena de menos a mayor los números:

a) - 9 1 + 8 3 -7 +6

b) +6 0 -3 +8 -9 -1 -4 +5

c) 5 - | -6| op(op(-4)) op(-3) op(|-9|) -11

45. ¿Qué es valor absoluto de un número entero? ¿Cómo se representa?

46. Halla el valor absoluto de +6 0 -3 +8 -9 -1 -4 +5

47. Verdadero a falso:

a) – 6 < - 18 b) – 6 > 9 c) – 25 < 8 d) – 25 < 36 e) – 13 < 10 f) – 50 < 5 g) – 39 < - 51 h) – 19 > 35 i) – 27 > - 56 j) – 9 > 28 k) – 16 > 1 l) 275 > - 18


6

48. Halla el valor de:

a) Op(op(-23)) d) op(op(+45))

b) |op(+23)| e) |op(-7)|

c) Op|-25| f) op(|-33)|

49. Escribe > o <:

a) Op(-2) |-3| d) - |-15| op(+14)

b) |op(-10)| -10 e) -(op(+15)) |- 17|

c) |-25| op(+26) f) -5 op(op(-4))

50. ¿Cómo se realiza la suma de los números enteros?

51. Suma :

a) +15 + 3 = b) -9 + 5 = c) -11 + 6 =

d) +16 + 7 = e) -21 + 19 = f) -5 + 12 =

g) -2 - 3 = h) -15 + 15 = i) -19 + 6 =

j) -3 -5 = k) -17 + 12 = l) 3 -5 =

m) 5 – 9 = n) -21 – 15 = ñ) 46 – 53 =

o) -4 + 6 = p) -13 + 19 = q) -6 – 12 =

r) -22 +3 = s) +4 -54 = t) 22 -25 =

u) -1 -1 = v) +3 -6 = w) -3 + 4 =

x) -33 – 44 = y) – 4 + 45 = z) - 4 – 5 =

52. Calcula:

a) 2 + 1 – 5 + 6 – 7 + 6 + 9 – 1 = b) 2 + 9 – 5 + 6 – 3 + 90 = c) - 11 + 6 – 8 + 5 – 13 + 5 = d) - 1 + 5 – 4 – 6 + 6 = e) 5 + 9 – 8 – 8 – 2 – 5 + 7 + 9 = f) 5 -8- -4 +3 -6 + 9 = g) 10 – 11 +7 -13 +15 -6 = h) 9 -2 -7- 11 +3 +18 -10 =

53. ¿Qué dice la regla de los signos?

54. Calcula:

a) (- 9) + (-7) = b) (+5) - (- 6) = c) (-3) + (-1) =

d) (+ 5) + (-5) = e) (+ 5) - (-2) = f) (+8) + (-6) =

g) (+ 1) + (-18) = h) (- 4) - (-2) = i) (+9) + (-6) =

j) (- 2) + (-7) = k) (+ 5) - (-5) = l) (-4) + (-6) =

m) (-5) + (+ 3) = n) (-23) - (5) = ñ) (-1) + (+6)

o) (-6) + (-23) = p) (-2) - (13) = q) (-5) + (-1) =

r) (-2) + (+ 3) = s) (-1) - (1) = t) (-1) + (-5)

u) (+ 3) + (-5) = v) (-7) - (12) = w) (+23) - (-25) =


7

55. Calcula:

a) (-9) - (-15) + (+31) + (-01) - (-3) =

b) (-3) – (-15) + (-3) =

c) (-16) + (-3) + (-7) – (+3) =

d) (-4) – (-12) + (-3) + (-4) =

e) (-5) + (-2) – (- 8) – (+5) =

f) (+5) - (- 3) - (- 8) + (- 4)- (+ 6) =

56. Calcula:

a) (+3-5-4) - (-7-3) + (-8-3) + (-1+7) =

b) (7-2-5) + (-8-2) - (-5+3) - (-5+4) =

c) -(-2+2-4) + (-5+3) + (-2-3) - (-5+3) =

d) -(6-3-1) - (+6-3) + (-6) - (-6+5) - (-6) =

e) (+15-31-4) -( -6-13) + (-12-7) + (-15+9) =

f) (3-2-6) + (-2-2) - (-6+1) - (-5+4) =

g) -(-7+3-6) + (-7+3) + (-4-3) - (-17+13) =

57. Multiplica y divide:

a) (-20) : (-2) = (+55) : (-5) =

b) (+5) · (-3) = (+12 )· (+12) =

c) (-12) · (+2) · (-1) = (-4) · (-5) · (+4) =

d) (-12) · (-3) : (-4) = (-14) : (-7) · (-2) =

e) (+35) : (-7) · (-2) = (-10) · (-6) : (-5) =

f) (-12) · (-4) : (-8) = (+36) : (-6) · (-3) =

58. Halla el valor de :

a) (–8) ∙ 2 + (–5) ∙(–3)

b) 27: (–3) – (+3) ∙ (–5) – (–6) ∙ (–2)

c) 40: ( –8) – (–30): (+6)

d) (–8) ∙ 2 – 3 ∙ (–7) – 4 ∙ 3

e) (–2) ∙ (–9) + (–24): (-3) – (–6) ∙ (–4)

f) 6: 2 + 5 ∙ (–3) – 12: (–4)

g) (–3) ∙ [ (–2) + (–4) ]

h) (–2) ∙ (5 – 7) – (–3) ∙ (8 – 6)

i) 6 ∙ [ (+5) – (+7) ]

j) 10 – (+20) : [ 7 + (–3) ]

k) [ (–9) + (–3) ] : 6

l) (9 – 6) ∙ (–2) + (13 + 3) : (–4)


8

59. Realiza las siguientes operaciones combinadas:

a) 6 – [6 – 7 – ( - 5)] – (+7) + (- 5) =

b) [3 – (4 – 6) + (- 7 + 3)] – [- (- 3) + (- 6 + 4)]- (- 7+2) =

c) (54 – 27 + 36) : (- 9) =

d) (- 35 + 5 + 15) : (- 15 + 3 + 7) =

e) [(- 5) (- 4) (- 3)] : (- 2) =

f) 5 – [4 – (- 6 + 2) + 3]- 1 =

g) (- 2) – (6 – 4+ 3 – 2) =

h) 7 + [- 4 – (- 2 – 3) + 5] – 1 =

i) 6 – [2 – (- 4 - 2 - 1) + 5] + 3 =

j) (- 2) + [- 3· (+2 - 4) + 1] – 5 =

k) 3 – [- 2 – (- 1) – (- 6) – 3] + 7 =

l) 2· (- 32) + 3·[27 + (- 63)] : (- 3) =

m) (5 – 3· 5 – 6 : 2) +(36: 2+ 4) - (- 1 – 2 : 2) =

n) (- 30) : (+10) – (- 15) : (- 5) – 2· 3 =

ñ) 2 + 4 : (- 1- 4 +3) – 5 (2 - 3 - 7) : (- 10) =

o) 2 [12 – ( 9 – 4· 2) – 7] +5 =

p) 7 [ 5 – ( 1 + 9 : 3) + 7] =

q) 8 [ 2 (2 + 5· 2) : 6 ] : 4 =

r) 4 + 36 : 9 – 50 : (12 + 17 – 4 ) =

s) 25 – [4 + (25 : 5 +3)] (16 – 2· 7) =

t) [5 + 3· 2 : (6 – 4)] [- 4 : 2 – 4 + 24 : 4] =

u) 2 + 48 : [ 5· 3 – 2 (6 – 10) – 17] =

v) - [2 – (- 4- 6) – (- 6)] – [- 3 – (- 2 – 8)] =

w) - 5+ [4 – (3 + 2· 3)] : 5 =

x) [5 – (- 20 – 10)] : 7 + 3· [2 – (- 15)] =

y) -2 – (-2) + (-2) + 4 -23 + 1=

z) -1 –(-1) =

60. Calcula:

a) 3 – 2 + 5 + 3 + 2 – 7

b) 14 – 12 + 45 – 23 + 1

c) 22 + 2 + 3 – 4 – 5 – 6 – 7

d) 11 – 4 + 17 – 6 – 5 – 23


9

e) 31 – 24 – 12 + 45 – 22

f) f4 – 5 – 6 + 2 – 2 + 14 – 23 + 16

g) 3 – (–2) + 5 + (–3) + 2 + (–7) + 1 – 2

h) 5 + (–7) – 3 + 5 – (–6)

i) 22 – (–12) - 3 + (–5) + 6 – (–7) – 8 + 4

j) 12 – (–12) – 34 + 5 + 6 – 12 + 44

k) 3 – 2 – (–3) – 4 – 5 – (–6) – 12 – 11

l) 14 – (–15) + 3 – 8 + (–23) + (–10)

m) (3 – 2) + (5 + 3) + 2 + (7 + 1 – 2)

n) (3 + 5) – (8 – 1) + (3 + 1) – 8

o) 5 + 7 + (7 – 3) + 6 + (1 – 5)

p) (25 – 32) + (8 – 16 +12 ) – 3

q) 7 + (5 – 6) + (6 + 2 – 5)

r) 23 + (32 – 11) – (8 + 5) + (15 – 23)

61. Comprueba los resultados:


10

62. Realiza los siguientes ejercicios de 1º de ESO:


11

63. ¿Cuál es el significado de la potencia xn , donde x y n son dos números naturales?

64. Enuncia las propiedades de las potencias de números naturales.

65. Calcula:

23 25 34 32

33 22 42 24

21 43 52 29

210 310 35 321

13 03 62 032

66. Escribe con una sola potencia

42 3·3 32 4·4 62 4·4

44 2·2 46 5·5 52 5·5

46 7·7 54 10·10 424 4·4

46 3:3 312 4:4 26 4:4

44 2:2 46 5:5 58 5:5

46 7:7 59 10:10 424 4:4

67. Escribe con una sola potencia:

423

452 334

4310

255 253

68. Simplifica escribiendo el resultado en un sola potencia:

22 4·3 33 4·3 22 5·2

33 2·4 22 4·7 44 2·23

22 4:12 22 4:8 33 5:25

44 4:24 22 5:15 33 7:49

244 4·3:12 444 15:5·3

752 2·3·3 446 5:25:5

4455 7:21·6:18 2466 6:12:5:10

244 5·3:15 444 5:5·4

752 6·6·6 446 5:15:3

4477 4·2·5:40


12

69. Realiza las siguientes operaciones con potencias de la misma base y expresa el

resultado en forma de potencia:

a) 32·34·3·33= 5·57:58=

b) 3·32·33= (72) 6·7·74=

c) 22·23:24= (52·53)4:518=

d) (26)3:(22)5= 52·(53)3=

e) (317:37):(33)2= 52:(54:52)=

f) (22)3·(24)5:224= 510:(53)3=

g) (317·33):(32)10= 5·52:(55:52)=

70. Realiza las siguientes operaciones con potencias del mismo exponente y expresa el

resultado en forma de potencia:

a) (812:32):92= (43·53):23=

b) 243:63= 152·22=

c) 72·42= 203·43:403=

d) (162:22):42= (93·53):153=

e) 273:93= 152·22:62=

f) 72·42:142= 403·23:83=

71. Escribe el número que falta en la casilla � en cada caso:

34·34=3� 54·5�=59

2�·24=210 74·7�=711

315:34=3� 54:5�=5

2�:24=29 76:7�=72

(34)�= 324 (5�)6=530

(22)3=2� (75)�=795

72. Enuncia las propiedades de las potencias de los números enteros.

73. Halla el valor de las siguientes potencias:

(-1)7 (-2)4 (+3)3 (-4)4 (-5)3

(-2)6 (-3)1 (-10)5 (-4)0 (-8)3


13

74. Compara los valores de cada par de potencias:

a) 43 y 43

b) 102 y 10)2(

c) 45 y 45

d) 32 y 42

e) 311 y 3)11(

75. Calcula:

(-5)4 = (- 3)6 = (-5)5 = (-3)7 =

03 = 05 = 20 = 50 =

(-5)0 = (-32)0 = 51 = 71 =

(-10)4 = 15 = 13 = 12 =

-23 = -12 = (-2)3 = (-1)2 =

(-3)² = - 3² = (-3)0 = - 30 =

76. Halla el valor de “x” en cada caso:

a) ( -2 )x = 16 x² = +4

b) ( -3 )x = - 27 x6 = +1

c) ( + 6)x = 36 x5 = -100000

d) ( - 5)x = -125 x³ = -64

e) (- 10)x = 10000 x7 = -1

f) x4 = 2401 ( - 10)x = -10

77. Calcula el valor de:

4

2 42 4

2 3

2

32 3

2 2

5 25

2

5 3

3 43 4

3

78. Calcula el valor de:

a) 56)2(2

b) 0234 )10(10)10(10

c) 12442)1()2(5

d) 3243)3(:)9()2(:4


14

79. Reduce a una sola potencia:

a) 22 )2·(4

b) 33)5·(3

c) 66 )2·(3

d) 33 )4·(16

e) 335:15

f) 58 )10(:10

80. Expresa como potencia de un único número:

a) 235·5

b) 644 )7(:)7·(7

c) 586·6

d) 224 3·3

e) 7105·5

f) 662·8

81. Escribe como una sola potencia el resultado de:

a) 2222 6:2·3·8

b) 55552:5·)3(:12

c) 10101010 )3(:)2(:4·3

d) 345 3:3·3

e) 528)7·(7:7

f) 2394:4:4

g) 3225·5·5

h) 54623:)23(:23

82. Opera y simplifica:

a) 244 10·2·5

b) 5574·3:12

c) 45518:2·9

d) 477 20:)4·(5

e) 524 2·4:8

f) 553 3·15:25

g) 3239 5·)2·(2

h) 444 20:)5·(8

i) 557 4·3:)12(


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83. Enuncia las propiedades de las raíces de los números enteros:

84. Calcula, si existen, las siguientes raíces:

a) 1 5 1

b) 36 5 100000

c) 400 5 243

d) 3 8 5 243

e) 5 32 4 16

f) 6 64 3 1000

g) 5 32 100

h) 7 128 4 81

85. Calcula:

a) 74:)2()3·(4 5

b) )3(9·)2(12 3

c) 425)3(:367

d) 127)·3()3( 33

e) 64:247)74( 2

f) 5222 32)43·(5)3(

g) 2)3(:18512 2

h) 22)2(:)2·(412 4

i) 3 8·74)9(54


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86. Calcula:


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MATEMÁTICAS 2º E.S.O. TEMA 1 DIVISIBILIDAD....

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