MATEMÁTICAS 2º ESO...MATEMÁTICAS 2º ESO MERCEDES RAMONDE SIXTO 2 Contenidos Significado y...

IES DE ORTIGUEIRA

PROF: MERCEDES RAMONDE

MATEMÁTICAS 2º ESO REPASO PARA EXAMEN DE SEPTIEMBRE

MATEMÁTICAS 2º ESO

MERCEDES RAMONDE SIXTO 1

PLAN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS 2º ESO Curso 2020/21

Los alumnos/as que no hayan superado la asignatura de Matemáticas de 2º ESO

en la evaluación final ordinaria, deberán recuperarla en la evaluación

extraordinaria de septiembre (debe estar pendiente de la publicación de la fecha

y hora).

A continuación, se detallan los criterios trabajados desde el principio de curso

que el alumno/a debe recuperar:

1. Identificar, formular y resolver problemas numéricos, geométricos, funcionales

y estadísticos de la realidad cotidiana, desarrollando procesos y utilizando leyes

de razonamiento matemático; anticipar soluciones razonables; reflexionar sobre

la validez de las estrategias aplicadas para su resolución; y aplicar lo aprendido

para futuras situaciones similares. Además, realizar los cálculos necesarios y

comprobar las soluciones obtenidas, profundizando en problemas resueltos y

planteando pequeñas variaciones en los datos, otras preguntas, otros contextos,

etc.; enjuiciar críticamente las soluciones aportadas por las demás personas y los

diferentes enfoques del mismo problema, trabajar en equipo, superar bloqueos e

inseguridades, reflexionar sobre las decisiones tomadas; y expresar verbalmente

y mediante informes el proceso, los resultados y las conclusiones obtenidas en la

investigación.

2. Utilizar las tecnologías de la información y la comunicación en el proceso de

aprendizaje, buscando y seleccionando información relevante en Internet o en

otras fuentes y elaborando documentos propios, realizando exposiciones y

argumentaciones de estos y compartiéndolos en entornos facilitadores de la

interacción. Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas para realizar

cálculos numéricos, algebraicos y estadísticos; hacer representaciones gráficas y

geométricas y elaborar predicciones, y argumentaciones que ayuden a la

comprensión de conceptos matemáticos, a la resolución de problemas y al análisis

crítico de situaciones diversas.

3. Identificar y utilizar los números (naturales, enteros, decimales, fracciones y

porcentajes sencillos), sus operaciones y propiedades para recoger, interpretar,

transformar e intercambiar información cuantitativa y resolver problemas de la

vida cotidiana. Elegir la forma de cálculo más apropiada en cada caso (mental,

escrita, mediante medios tecnológicos…), enjuiciar de manera crítica las

soluciones obtenidas, analizar su adecuación al contexto y expresarlas según la

precisión exigida (aproximación, redondeo, notación científica…).

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Contenidos

✓ Significado y utilización de los números negativos en contextos reales. Valor

absoluto.

✓ Representación y ordenación de números enteros en la recta numérica.

Operaciones con ellos y con calculadora.

✓ Representación y ordenación de fracciones y operaciones con ellas y su uso en

entornos cotidianos. Comparación de fracciones y utilización de fracciones

equivalentes.

✓ Representación y ordenación de números decimales, y operaciones con ellos.

✓ Relación entre fracciones, decimales y porcentajes. Conversión y operaciones.

✓ Significados y propiedades de los números en contextos diferentes al del cálculo:

números triangulares, cuadrados, pentagonales, etc.

✓ Operaciones con potencias de números enteros y fraccionarios con exponente

natural.

✓ Utilización de la notación científica para la representación de números grandes.

✓ Operaciones con números con aplicación de la jerarquía de las operaciones.

✓ Elaboración y utilización de estrategias para el cálculo mental, para el cálculo

aproximado y para el cálculo con calculadora u otros medios tecnológicos.

2. Identificar relaciones de proporcionalidad numérica, distinguiendo entre la

proporcionalidad directa y la inversa, y utilizarlas para resolver problemas en

situaciones cotidianas, con empleo de diferentes estrategias.

Contenidos

✓ Cálculos con porcentajes (mental, manual, con calculadora). Aumentos y

disminuciones porcentuales.

✓ Razón y proporción. Reconocimiento de magnitudes directa e inversamente

proporcionales y determinación de la constante de proporcionalidad. Resolución

de problemas con intervención de la proporcionalidad directa o inversa o

variaciones porcentuales mediante diferentes estrategias.

✓ Realización de repartos directa e inversamente proporcionales.

3. Utilizar el lenguaje algebraico para operar con expresiones algebraicas,

simbolizar y resolver problemas contextualizados mediante el planteamiento de

ecuaciones de primer y segundo grado y sistemas de ecuaciones, aplicando para

su resolución métodos algebraicos o gráficos.

Contenidos

✓ Cálculo del valor numérico de una expresión algebraica.

✓ Operaciones con expresiones algebraicas sencillas. Transformación y

equivalencias. Identidades. Operaciones con polinomios en casos sencillos.

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✓ Planteamiento y resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

(métodos algebraico y gráfico) y de segundo grado con una incógnita (método

algebraico) para consecución de soluciones en problemas reales. Interpretación y

análisis crítico de las soluciones y de las ecuaciones sin solución.

✓ Planteamiento y resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos

incógnitas para la obtención de soluciones en problemas reales. Métodos

algebraicos de resolución y método gráfico.

✓ Uso y enjuiciamiento crítico de diferentes estrategias para la resolución de

ecuaciones de primer y segundo grado y de sistemas.

6. Analizar e identificar figuras semejantes aplicando los criterios de semejanza

para calcular la escala o la razón de semejanza, así como la razón entre las

longitudes, áreas y volúmenes; con la finalidad de resolver problemas de la vida

cotidiana.

Contenidos

✓ Reconocimiento de figuras y cuerpos semejantes.

✓ Criterios de semejanza y cálculo de la razón de semejanza y uso de la escala.

✓ Cálculo de la razón entre longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos semejantes.

7. Reconocer y entender los significados aritmético y geométrico del teorema de

Pitágoras, mediante la construcción de cuadrados sobre los lados de un triángulo

rectángulo y la búsqueda de ternas pitagóricas, con la finalidad de utilizar el

teorema para resolver problemas geométricos en un contexto real.

Contenidos

✓ Reconocimiento de triángulos rectángulos y de las relaciones entre sus lados.

✓ Justificación geométrica, significado aritmético y aplicaciones del teorema de

Pitágoras.

Para superar el examen de septiembre se recomienda:

• Diseñar un plan de trabajo diario durante los meses de verano.

• Realizar esquemas de las unidades trabajadas.

• Utilizar el libro de texto como material de consulta e internet como recurso.

• Realizar los ejercicios que se proponen en este plan de recuperación y otros

similares a los realizados durante el curso.

Aprovechamos para desearle a todo el alumnado, padres y madres un feliz

verano.

Atte: Mercedes Ramonde.

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UNIDAD DIDÁCTICA 1: NÚMEROS ENTEROS

1.1 Operaciones básicas de números enteros (jerarquía de operaciones):

Cuando en una expresión aparecen operaciones de suma, resta, multiplicación y

división el orden en que se deben realizar las operaciones es el siguiente

(jerarquía de las operaciones).

1º. Las operaciones que hay entre paréntesis y corchetes.

2º. Se calculan las potencias y las raíces, si las hubiera.

3º. Las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha.

4º. Las sumas y las restas, de izquierda a derecha.

¡Importante!

Si no respetas la jerarquía, no operarás bien. Así que practica mucho con ejercicios

de operaciones y respeta la jerarquía. No inventes tú la forma de operar, pues lo

harás de manera incorrecta. Las Matemáticas son un lenguaje, y tiene sus reglas.

Ejemplo: Resuelve las operaciones:

a) (-11) . [10 + (-7)] + 36 : [(-1) - (-10)]

b) (-8) . [5 - (-2)] - 48 : [6 + (-14)]

c) 42 : [(-6) - (-3)] + 28 : [-6 - (-8)]

d) 32 : [(-19) + 3] - 24 : [(-11) - (-5)]

Solución:

a) (-11) . [10 + (-7)] + 36 : [(-1) - (-10)] = (-11) . 3 + 36 : 9 = -33 + 4 = -29

b) (-8) . [5 - (-2)] - 48 : [6 + (-14)] = (-8) . 7 - 48 : (-8) = -56 + 6 = -50

c) 42 : [(-6) - (-3)] + 28 : [-6 - (-8)] = 42 : (-3) + 28 : 2 = -14 + 14 = 0

d) 32 : [(-19) + 3] - 24 : [(-11) - (-5)] = 32 : (-16) - 24 : (-6) = -2 + 4 = 2


a) –12 + 5 – [(6 + 7) · (2 + 6 – 3) + 9] – 21 : (– 3) = Sol: -74

b) (–5 + 2 + 7) + ( – 3 + 8 + 12) : (– 6 + 8 – 3) · (1 + 5 + 8) = Sol: -234

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c) (5 – 7 + 12) – (–2 + 6 – 5) · [( –8 + 9 – 3 – 11) – (13 + 8 – 13)] = Sol: -11

d) – (9 + 8 – 5) (–3 + 5 + 7) + (–2 – 7 + 17) : ( – 1 + 6 + 8 – 9) = Sol: -106


a) [(–7 + 5 – 2) – (6 – 8) + 5] : (–3) = Sol: -1

b) [(–5) · (–3) · 4 + 12] : [–12 – (–3)] = Sol: -8

c) –4 + 6 · (–2 + 5) : (–9) + 2 · 3 = Sol: 0

d) –18 – [4 + (–6)] : 2 + 5 = Sol: -12

e) {[–4 + 6 · (–2 + 5)] : (–7) + 2} · 3 = Sol: 0

f) 18 : [6 – 3 · (–4 : 2 + 1)] – 3 = Sol: -1

g) (–5) – (–9) – 4 · (–3) : (–2) : (–6) = Sol: 5

h) 3 – 6 : 2 · (–3) : [–2 + (–1)] = Sol: 0

i) [(–4 + 6 : 3 + 1)·(6 – 4 : 2) + 8] : (–2) = Sol: -2

j) 2 + 4 : 2 – 3 · (–5) + 6 – 3 : (5 – 2 · 3) = Sol: 28

k) (–2) · [8 – 6 · (–3 + 12 : 2) : (–3) + 1] + (–3) = Sol: -33

l) |– 5 + 2| – 8 : [– 2 + 3 · (– 3 + 1)] + 1 + 6 : (– 2) = Sol: 2

m) 25 : [– 7 – (– 2)] – (– 5) · 4 · |– 2| = Sol: 35

1.2 Descomposición de un número en factores primos. Mínimo común

múltiplo y máximo común divisor:

Ejemplo: Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de:

a) 120, 220 y 180.

1º. En primer lugar descomponemos los números en factores primos:

2º. Para el máximo común divisor, tomamos ahora los factores primos comunes

elevados al menor exponente: 22· 5 . Así, el máximo común divisor de 120, 220 y

180 es : M.C.D. ( 120, 220, 180 ) = 22· 5 = 20

3º. Ahora para calcular el mínimo común múltiplo, tomamos ahora los factores

primos comunes elevados al menor exponente y no comunes: 2 3 · 32 · 5 · 11.

Resultando de este modo, que: m.c.m. ( 120, 220, 180 ) = 23 · 32 · 5 · 11= 3960

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b) 12, 15 y 40 Solución: mcm =120; MCD=1

c) 84 y 120 Solución: mcm =840; MCD=12

d) 150 y 225 Solución: mcm =450; MCD=75

e) 120, 180 y 300 Solución: mcm =1800; MCD=60

f) 24 y 83 Solución: mcm =1992; MCD=1

g) 330 y 495 Solución: mcm =990; MCD=165

1.3 Problemas de aplicación del mínimo común múltiplo y máximo común

divisor:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo: El pasillo de una vivienda tiene 432 cm de largo y 128 cm de ancho. Se

quiere poner baldosas cuadradas del mayor tamaño posible, sin tener que cortar

ninguna. Calcula sus dimensiones y el número de baldosas.

Solución: Como tenemos que: 432 = 24 . 33 ; 128 = 27, entonces: m.c.d. (432, 128) = 24=16

Las baldosas medirán 16 cm de lado y serán: 27 . 8 = 216 baldosas

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Ejemplo: Alejandro tiene unas 150 fotografías. Puede pegarlas en un álbum en

grupos de 8, 9 o 12 fotografías y sin que le sobre ninguna. ¿Cuántas fotografías

tiene Alejandro?

Solución: Como tenemos que: 8 = 23 ; 9 = 32 ; 12 = 22 . 3

El número de fotografías ha de ser múltiplo de 8, 9 y 12, por lo que será múltiplo del

m.c.m. (8, 9, 12) = 72. El múltiplo de 72 más cercano a 150 es 144.

Por tanto, Alejandro tiene 144 fotografías.

Ejemplo: Por una vía ferroviaria pasa un tren con dirección a Zaragoza cada 30

minutos y otro con dirección a Gijón cada 18 minutos. Si se han cruzado los dos

trenes a las 10 de la mañana, halla a qué hora volverán a cruzarse.

Solución: Como tenemos que: 18 = 2 . 32 ; 30 = 2 . 3 . 5

Los trenes se volverán a cruzar en un número múltiplo de 18 y 30, y como m.c.m. (18,

30) = 90, se cruzan cada 90 minutos.

El próximo cruce será a las 11:30 horas.

Ejemplo: En una carretera han puesto farolas en ambos lados. En un lado se ha

colocado una farola cada 12 metros, y en el otro, cada 18 metros. Sabiendo que

la primera farola de cada lado está situada a la misma altura, ¿qué distancia

debemos recorrer a partir de ese punto para encontrar dos farolas colocadas

una frente a la otra?

Solución: Como tenemos que: 12 = 22 . 3 ; 18 = 2 . 33, entonces: m.c.m. (12, 18) = 36

Debemos recorrer una distancia de 36 m.

Ejemplo: Un vaso pesa 75 gramos, y una taza, 60 gramos. ¿Cuántos vasos hay

que colocar en uno de los dos platillos de la balanza, y cuántas tazas en el otro,

para que la balanza se equilibre?

Solución: Como tenemos que: 75 = 3. 52 ; 60 = 22.3.5, entonces: m.c.m. (75, 60)

=23.3.52= 300 gramos.

Veamos cuantos vasos y tazas son necesarios para que pese cada platillo de la

balanza 300 gramos.

Vasos → 300:75=4 vasos hay que colocar

Tazas → 300:60=5 tazas

La balanza se equilibra con 4 vasos por un lado, y 5 tazas por el otro.

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Ejemplo: Un grupo de 60 niños, acompañados de 36 padres, acude a un

campamento en la montaña. Para dormir ocupan cabañas todas iguales, pero sin

mezclarse los padres con los niños. Cuantas menos cabañas ocupen, menos

pagan. ¿Cuántas personas dormirán en cada cabaña?

Solución: Como tenemos que: 36 = 22. 32 ; 60 = 22.3.5, entonces: m.c.d. (36, 60)

=23.3 = 12 personas por cabaña.

Ejemplo: Juan tiene que poner un rodapié de madera a dos paredes de 12 y 9

metros de longitud, respectivamente. Para ello ha averiguado la longitud del

mayor listón de madera que cabe en un número exacto de veces en cada pared.

¿Cuál será la longitud de ese listón?

Solución: Como tenemos que: 12 = 22.3 ; 9 = 32, entonces: m.c.d. (12, 9) = 3

metros.

El rodapié estará formado por listones de 3 metros; en una pared habrá 4 listones, y

en la otra, 3 listones (es decir, 3·4=12 metros, y 3·3=9 metros).

=23.3 = 12 personas por cabaña.

Ejemplo: Teresa tiene un reloj que da una señal cada hora, otro que la da cada

dos horas y media, y un tercero que la da cada tres horas. A las 9 de la mañana

los tres relojes han coincidido en dar la señal. ¿Cuántas horas, como mínimo,

han de pasar para que vuelvan a coincidir? ¿A qué hora volverán a dar juntos la

señal?

Solución: Primero, pasamos las horas a minutos:

1hora = 60min; 2.5 horas = 150min; 3 horas = 180min.

Ahora calculamos el mcm:

60 = 22·3·5; 150 = 2·3·52; 360 = 23·32·5; mcm(60,150,360) = 1800min = 30horas

Volverán a coincidir a las 9mañana más 30horas = 9mañana + 1día + 6horas

Es decir, a las 3 de la tarde del día siguiente.

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UNIDAD DIDÁCTICA 2: FRACCIONES

2.1 Operaciones entre Fracciones

Ejemplo: Calcula la fracción irreducible de:

a) 24

36 b)

60

25 c)

540

320 d)

120

90

Solución:

a) 24

36= ⏟

2412⁄

3612⁄=2

3m.c.d.(24,36) = 12

b) 60

25= ⏟605⁄

255⁄=12

5m.c.d.(60,25) = 5

c) 540

320= ⏟

54020⁄

32020⁄=27

16m.c.d.(540,320) = 20

d) 120

90= ⏟

12030⁄

9030⁄=4

3m.c.d.(120,90) = 30

Ejemplo: Reduce a común denominador: 𝟏

𝟑 , 𝟐

𝟓 ,

𝟏

𝟒 ,

𝟕

𝟔 ,

𝟏

𝟏𝟎

Solución: Como: m.c.m. (3, 5, 4, 6, 10) = 60:

1

3=(60/3=20).1

60=20

60

2

5=(60/5=12).2

60=24

60

1

4=(60/4=15).1

60=15

60

7

6=(60/6=10).7

60=70

60

1

10=(60/10=6).1

60=6

60

Ejemplo: Realiza las siguientes operaciones:

a) 5

3- (2

5.7

2)-1

3 f) −3.

𝟒

𝟏𝟓− (

𝟕

𝟖. 5 − 9)

b) (2

3.5-

3

4) .

7

2 g)

𝟒

𝟓−𝟕

𝟐+ [(

𝟑

𝟐)𝟐

+ 4−𝟏

𝟖]

c) (𝟓

𝟒−𝟑

𝟖.𝟒

𝟗)−

𝟒

𝟓. 2 h) (

𝟏

𝟓+𝟕

𝟐)+ [(

𝟑

𝟐−𝟏

𝟕)+ 𝟔𝟑]

d) 𝟓

𝟑− (

𝟐

𝟓.𝟕

𝟐−𝟏

𝟑) i) (−2)𝟑.

𝟏

𝟐−𝟓

𝟑+ (−4:

𝟏

𝟖. 3)

e) [(−𝟕

𝟑) .𝟒

𝟓− 2] .

𝟓

𝟑

Solución:

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a) 5

3− (

2

5.7

2)−

1

3=5

3− (

7

5) −

1

3=5

3−7

5−1

3=25−21−5

15=−1

15

b) (2

3. 5 −

3

4) .7

2= (

10

3−3

4) .7

2= (

40−9

12) .7

2=31

12.7

2=217

24

c) (5

4−3

8.4

9) −

4

5. 2 = (

5

4−1

6) −

4

5. 2 = (

15−2

12) −

4

5. 2 =

13

12−4

5. 2 =

13

12−8

5=65−96

60=−31

60

d) 5

3− (

2

5.7

2−1

3) =

5

3− (

7

5−1

3) =

5

3− (

21−5

15) =

5

3− (

16

15) =

25−16

15=

9

15=3

5

e) [(−7

3) .4

5− 2] .

5

3= [−

28

15−2] .

5

3= [

−28−30

15] .5

3= [

−58

15] .5

3=−58

9

f) −3.4

15− (

7

8. 5 − 9) = −3.

4

15− (

35

8−9) = −3.

4

15− (

35

8−9) = −3.

4

15− (

35−72

8) =

= −3.4

15− (−37

8) = −3.

4

15+37

8=−12

15+37

8=153

40

g) 4

5−7

2+ [(

3

2)2

+ 4−1

8] =

4

5−7

2+ [

9

4+ 4−

1

8] =

4

5−7

2+ [

18+32−1

8] =

4

5−7

2+ [

18+32−1

8] =

=4

5−7

2+49

8=32− 140+245

40=137

40

h) (1

5+7

2) + [(

3

2−1

7)+ 63] = (

1

5+7

2) + [(

3

2−1

7)+ 216] = (

2+35

10) + [(

21−2

14)+ 216] =

= (37

10)+ [(

19

14)+ 216] = (

37

10)+ [

19

14+ 216] =

37

10+3 043

14=15474

70=7737

35

i) (−2)3.1

2−5

3+ (−4:

1

8. 3) = (−8).

1

2−5

3+ (−32.3) = −4−

5

3+ (−96) = −4 −

5

3−96 =

=−12− 5− 288

3=−305

3

Ejercicio: Realiza las siguientes operaciones:

a) 1

9+3

9.7

4-1

2.5

6= Sol:

5

18 f) (

𝟗

𝟖−𝟏

𝟒)𝟐

+(𝟓

𝟐+ 2) (𝟏 −

𝟑

𝟒) = Sol:

121

64

b) 𝟐𝟐−6

4:

3

2:

1

3+ (

𝟑

𝟒)𝟐= Sol:

25

16 g)

𝟓

𝟏𝟐+𝟏

𝟑+ [𝟐 − (

𝟑

𝟓+𝟒

𝟔)]− (

𝟏

𝟐)𝟐

= Sol: 37

90

c) 𝟗

𝟏𝟔− √

𝟐𝟓

𝟒+𝟕

𝟐.𝟖

𝟑−𝟓

𝟒:𝟏

𝟑= Sol:

175

48

d) 𝟓

𝟖−𝟑

𝟖.𝟏

𝟗+ (

𝟑

𝟐)𝟐

: 𝟓

𝟒−𝟏 = Sol:

71

24

e) 𝟏𝟕

𝟐+𝟑

𝟐. (𝟑

𝟓)𝟐

−𝟔. √𝟏

𝟒+𝟐 = Sol:

201

25

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2.2. Problemas de aplicación de fracciones

Ejemplo: En un hotel, la mitad de las habitaciones están en el primer piso; la

tercera parte, en el segundo piso, y el resto, en el ático, que tiene diez

habitaciones. ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso?

Solución:

Como entre el 1.er y 2.° piso hay un total de: 1/2 +1/3 =5/6 de las habitaciones.

En el ático quedan: 1 – 5/6 =1/6 de las habitaciones, que son 10 habitaciones.

En total hay 60 habitaciones.

Así, en el primer piso hay 30 habitaciones, en el segundo, 20 habitaciones y en el

ático 10.

Ejemplo: Cada mes, cuando Iván cobra su nómina, separa el dinero de la

siguiente forma:

La mitad para el alquiler de la casa, la cuarta parte del resto para la comida, la

sexta parte de lo que queda para el transporte, y los tres octavos del resto para

otros gastos de la casa.

¿Qué fracción conserva aún a principios de septiembre?

Solución:

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Ejemplo: El primer día después del Diluvio se escaparon la mitad de los

animales del Arca de Noé. Al día siguiente, un tercio de los que quedaban, y el

tercer día se escaparon un cuarto de los que aún quedaban. ¿Qué fracción de

los animales que había inicialmente permaneció en el Arca?

Solución:

Ejemplo: Los 3/4 de los empleados de una empresa tienen contrato indefinido;

2/3 del resto tienen contrato temporal, y los demás son eventuales. ¿Qué

fracción suponen los eventuales?

Solución:

La fracción de eventuales es 1/12.

Ejemplo: Un embalse está lleno a principios de verano. En julio pierde 3/7 de

su contenido, y en agosto, 3/4 de lo que le quedaba. ¿Qué fracción conserva

aún a principios de septiembre?

Solución:

La fracción que conserva a principios de septiembre es 1/7. I.E.S. D

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UNIDAD DIDÁCTICA 3: POTENCIAS Y RAÍCES

Ejemplo: ¿Qué signo tienen las potencias siguientes?

a) 63 b) (-3)12 c) -321 d) (-3)21 e) (-2)4

f) 532 g) (-3)5 h) 451 i) -335 j) (-1)17

Solución:

a) positivo

b) positivo

c) negativo

d) negativo

e) positivo

f) positivo

g) negativo

h) positivo

i) negativo

j) negativo

Ejemplo: Opera y expresa como potencias de base número primo:

a) 54 . 253

b) 84 . 162

c) 63 . 125

d) 47 . 32

e) (-12)3 . 185

f) (-63)5 . 212

g) 322 . (-24)3

h) -722 . (-4)7

i) 75 : 73

j) 128 : 125

k) (-9)6 : (-9)3

l) (-6)7 : (-6)

Solución:

a) 54 .(52)3 =54 .56=54+5= 510

b) (23)4 . (24 )2= 212.28=212+8 = 220

c) (2.3)3 . (22.3)5=23.33.210.35 = 23+10 . 33+ 5= 213. 38

d) (22)7 . 25 = 214.25= 214+5 = 219

e) (-1)3 . (22 . 3)3 . (2 . 32)5 = (-1) . 26 . 33.25.310 =(-1). 211 . 313= -211 . 313

f) (-1)5 . (32 . 7)5 . (3 .7)2 = (-1) . 310 . 75. 32 . 72=(-1) . 312 . 77

g)( 25)2 . (-1)3 . (23. 3)3 =210. (-1) . 29 . 33= (-1).219. 33= -219. 33

h) (-1)2 . (23 . 32)2 .(-1)7 . (22)7 = 23 . 34.(-1).214=(-1).217.34= -217.34 I.E.S. D

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i) 75-3=72

j) 128-5 =123= (22.3)3=26.33

k) (-9)6-3 = (-9)3 = (-1)3. (32)3=(-1).36= -36

l) (-6)7-1 = (-6)6 = (-1)6(2.3)6=26. 36

Ejemplo: Reduce usando operaciones entre potencias

a) a2.b-3.a-5

a5.b-8 b) x-5.y7.z-3

z . x4 c) a6:(b2.a-2):a2

Solución:

a) a2.b-3.a-5

a5 .b-8 =

a-3.b-3

a5.b-8 =a-8.b5

b) x-5.y7.z-3

z . x4 =x-9.y7.z-4

c) a6: (b2 .a−2).a2 = a8.b−2.a2 = a10 .b−2

Ejemplo: Simplifica usando operaciones entre potencias, llegando a bases que

sean números primos:

a) 405.(-3)7

102.92.82

b) (−𝟐𝟐)

𝟑.(−𝟒)𝟐

(−𝟐)𝟑.𝟏𝟔𝟐

c) 𝟖𝟐 .𝟖𝟏−𝟐.𝟗𝟑

𝟐−𝟐 .𝟔−𝟐 .𝟒𝟑 .𝟑

d) 𝟑𝟔𝟐.𝟒𝟑 .𝟖𝟐 .𝟑−𝟑

𝟐𝟕𝟐 .𝟐−𝟒 .𝟏𝟐𝟑

e) 𝟐−𝟓 .𝟒𝟑 .𝟏𝟔𝟐.𝟗−𝟑

𝟐𝟕𝟐 .𝟐𝟓−𝟒 .𝟏𝟓𝟔

f) 𝟐𝟒 .𝟒𝟑 .𝟐𝟓𝟐 .𝟐𝟒−𝟑

𝟖𝟏𝟐 .𝟓−𝟒 .𝟏𝟔𝟔

Solución:

a) 405.(-3)7

102.92.82 =(23.5)

5.(-1.3)7

(2.5)2.(32)2.(23)2=215 .55.(-1)7.37

22.52.34 .26 =

215.55.(-1)7.37

28.52.34 = (-1)7. 27. 33 . 53

b) (−22)

3.(−4)2

(−2)3.162=(−1.22)

3.(−1.22)

2

(−1.2)3.(24)2=(−1)3.(22)

3.(−1)2.(22)

2

(−1)3.23.(24)2=(−1)5.210

(−1)3.211= (−1)2. 2−1 =

1

2

c) 82.81−2.93

2−2.6−2.43.3=(23)

2.(34)

−2.(32)

3

2−2.(2.3)−2.(22)3.3=

26.3−8.36

2−2.2−2.3−2.26.3=26 .3−2

22 .3−1= 24. 3−1 =

24

3

d) 362.43.82.3−3

272.2−4.123=(22.32)

2.(22)

3.(23)

2.3−3

(33)2.2−4.(22.3)3=24.34.26.26.3−3

36.2−4.26.33=216 .31

39.22= 214. 3−8 =

214

38

e) 2−5.43.162.9−3

272.25−4.156=2−5.(22)

3.(24)

2.(32)

−3

(32)2.(52)−4.(3.5)6=2−5.26.28.3−6

34.5−8.36.56=

29.3−6

310.5−2= 29 . 3−16. 52

f) 24.43.252.24−3

812.5−4.166=24.26.54.2−9.3−3

38.5−4.224=

21.54.3−3

38.5−4.224= 2−23. 3−11. 58 =

54

311 .223

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Ejemplo: Realiza las siguientes operaciones:

a) (24 . 32 . 53)3 b) (32 . 53)3 c) (53 . 22 . 43)2

d) [(−𝟐)𝟐 .𝟓𝟐

𝟑𝟑.(−𝟓)𝟑]𝟐

e) [𝟐𝟑. 𝟑𝟐

𝟒𝟑.𝟑𝟑]𝟑

f) [(−𝟐)𝟑 .𝟑𝟑

𝟒𝟐 .𝟑𝟐]𝟑

Solución: a) 212.36.59 b) 36.59 c) 56.216 d) 24

36. 52 e)

1

29. 33 f)

−33

23

Ejemplo: Reduce a una única potencia:

a) (a2.a3.a)3.(a2.a3.a0) b)𝟐𝟑 . 𝟐. (𝟐𝟑.𝟐

𝟐𝟒. 𝟐𝟐) c) 𝟑𝟐 . 𝟑𝟑. (

𝟑𝟑.𝟑𝟒

𝟑𝟒. 𝟑𝟐)

Solución: a) a23 b) 22 c) 36

Ejemplo: Simplifica las siguientes expresiones:

a) 3√20-2√12-2√45+4

5√75

b) 1

3√27-√8-√3+2

3√18+√2

c) −𝟐√𝟖+ 𝟒√𝟕𝟐− 𝟓√𝟑𝟐

d) 4.√50-3.√8-4.√128+2.√162

e) 3.√245-3.√20-7.√45+2.√3

Solución:

a) 3√20-2√12-2√45+4

5√75=3√22.5-2√22.3-2√32.5+

4

5√3.52=6√5-4√3-6√5+4√3=0

b) 1

3√27-√8-√3+2

3√18+√2 =

1

3√33-√23-√3+

2

3√2.32+√2=√3-2√2-√3+2√2+√2=√2

c) -2√8+4√72-5√32=-2√23+4√23.32-5√25=-4√2+24√2-20√2=0

d) 4.√50-3.√8-4.√128+2.√162=4.√2.52-3.√23-4.√27+2.√2.34=20.√2-4.√2-32.√2+18.√2=

=2.√2

e) 3.√245-3.√20-7.√45+2.√3=3.√5.72-3.√22.5-7.√32.5+2.√3=21.√5-6.√5-21.√5+2.√3=

=-6.√5+2.√3

Recuerda cómo se calculaban las raíces cuadradas en estos vídeos:

https://www.youtube.com/watch?v=1JZMFjBxFuY

https://www.youtube.com/watch?v=ehcrvvFXFNk

https://www.youtube.com/watch?v=gWp_JFSceDw&t=324s

https://www.youtube.com/watch?v=bddGgLyDnhE I.E.S. D

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https://www.youtube.com/watch?v=1JZMFjBxFuY

https://www.youtube.com/watch?v=ehcrvvFXFNk

https://www.youtube.com/watch?v=gWp_JFSceDw&t=324s

https://www.youtube.com/watch?v=bddGgLyDnhE



Ejemplo: Calcula la raíz cuadrada y el resto de los siguientes números.

Comprueba que has realizado bien los cálculos:

a) 379

b) 1 735

c) 1 043

d) 273

e) 2 670

f) 3 941

Solución:

a) √379 = 19 y el resto es: 379 - 192 = 18

b) √1735 = 41 y el resto es: 1 735 - 412 = 54

c) √1043= 32 y el resto es: 1 043 - 322 = 19

d) √273 = 16 y el resto es: 273 - 162 = 17

e) √2 670 = 51 y el resto es: 2 670 - 512 = 69

f) √3 941 = 62 y el resto es: 3 941 - 622 = 97

Ejemplo: Obtén la raíz cuadrada con un decimal de los siguientes números:

a) 379 c) 273 e) 496

b) 735 d) 1 438 f) 7 881

Solución:

a) √379 = 19,4 y el resto es: 379 - 19,42 = 2,64

b) √735 = 27,1 y el resto es: 735 - 27,12 = 0,59

c) √273 = 16,5 y el resto es: 273 - 16,52 = 0,75

d) √1438= 37,9 y el resto es: 1 438 - 37,92 = 1,59

e) √496 = 22,2 y el resto es: 496 - 22,22 = 3,16

f) √7881= 88,7 y el resto es: 7 881 - 88,72 = 13,31

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UNIDAD DIDÁCTICA 4: NÚMEROS DECIMALES

4.1. Operaciones con decimales:

1. Para sumar o restar en forma decimal se colocan los números de modo

que las comas estén encolumnadas. Luego se suman o restan como si

fueran números naturales, poniendo la coma en el resultado en su

columna correspondiente.

Ejemplo:

2. Para multiplicar dos números decimales, se realiza la multiplicación de

ambos como si fueran números naturales. Luego se coloca la coma en el

resultado, separando tantas cifras como decimales suman los dos

factores.

Ejemplo:

Ejemplo: Para dividir dos números decimales, podemos tener las

siguientes situaciones:

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Ejemplos:

Repasa las operaciones básicas con esta applet de geogebra:

https://www.geogebra.org/m/GNJYxu5k

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https://www.geogebra.org/m/GNJYxu5k



Ejercicio: Resuelve los siguientes ejercicios de operaciones combinadas

con números decimales:

Para resolver ejercicios con operaciones combinadas hay que tener presente

las mismas normas que usábamos en números enteros:

a) 16,05 x (8 - 4,5) =

b) (36,49 + 4,32 + 18,2) : 3 =

c) 5,007 + 4,32 - 3,073 =

d) 0,4 :(0,6 + 0,2) - 0,3 =

e) 6,05 x 0,02 - 0,001 : 0,5 =

f) 0,58 : 0,29 x 4 - 0,48 x 0,2 =

g) 4,41 : (3,5 + 2,8) + 24,5 =

h) 6,2 x 0,4 + 3,4 x 3,6 =

i) 12,6 + 0,4 - 0,2 x 0,2 =

j) 3,06 :0,2 + 3,8 x 0,5 =

k) 15,04 x 0,6 + 12,6 :6,3 =

l) 4,26 x (9,5 + 3,5) - 6,4 x 3,8 =

m) 6,28 :(2,04 - 1,54) x 2,58 =

Ejercicio: Resuelve los siguientes ejercicios de operaciones combinadas

con números decimales:

a) 23,04 × (9 - 3,5) =

h) 12,4 × 0,6 + 6,8 × 9,2 =

b) (72,36 + 12,18 + 6,3) ÷ 3 =

i) 16,2 + 0,6 - 0,4 × 0,7 =

c) 28,004 + 14,72 - 8,072 =

j) 4,07 ÷ 0,5 + 16,2 ÷ 5,4 =

d) 4,8 ÷ (0,8 - 0,4) - 0,86 =

k) 23,02 × 0,4 + 43,2 ÷ 4,8 =

e) 3,06 × 0,04 - 0,02 ÷ 0,4 =

l) 6,43 × (8,5 + 3,5) - 8,2 × 4,6 =

f) 0,125 ÷ 0,25 × 6 - 0,24 × 0,2 =

m) 4,26 ÷ (3,04 - 2,54) × 4,27 =

g) 8,82 ÷ (2,8 + 3,5) - 26,5 =

n) (2,76+7,24)×0,02+(5,06+7,94)÷0,05=

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UNIDAD DIDÁCTICA 5: LENGUAJE ALGEBRAICO

Solución:

Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras (parte literal),

números y signos de operaciones.

• Un número → x

• Su siguiente → x+1

• El doble de su siguiente → 2(x+1)

• El triple de un número → 3x

• El doble de un número menos su mitad → 2x-(x/2)

• La mitad de un número menos cinco → (x/2)-5

• El cuadrado de un número mas su triple → x2 +3x

• Un número mas su anterior → x + (x-1)

• La mitad de un número mas seis unidades →(x/2) + 6

• Un número tres unidades menor que otro → x-3

5.1 Monomios

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Solución:

Suma y resta de monomios semejantes

Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal. Para sumar o

restar monomios deben ser semejantes. Se suman o restan los coeficientes y se deja

la misma parte literal.

Solución:



Reducir monomios semejantes

Solución:



5.2. Polinomios

Suma de polinomios

Para sumar polinomios agrupamos los términos semejantes (son aquellos que tienen

la misma parte literal), sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal.

Solución:



Resta de polinomios

Para restar polinomios, escribimos entre paréntesis el polinomio que vaya restando,

con un signo menos delante del paréntesis. Quitamos este paréntesis aplicando la

regla de los signos. Agrupamos los términos semejantes (son aquellos que tienen la

misma parte literal), sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal.

Solución:



Producto de un polinomio por un monomio

Para multiplicar un polinomio por un monomio multiplicamos cada término del

polinomio por el monomio. Multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de

las x (producto de potencias de la misma base).

Solución:

Solución:

Solución:



Solución:

Solución: Multiplicación de polinomios en forma vertical. Escribimos el polinomio

P(x) ordenado. Si falta algún término escribimos 0. Añadimos debajo el polinomio

Q(x) ordenado. Multiplicamos el (-2) por todos los términos de P(x). A continuación,

hacemos lo mismo con 2x colocando los resultados debajo de su grado

correspondiente. Hacemos lo mismo con (-x2). Al final sumamos las columnas que

nos han quedado con los términos semejantes.



5.3. División de polinomios

Solución:

El dividendo y el divisor deben estar ordenados. En este caso ya nos los dan

ordenados.

Se divide el monomio 3x2 entre el monomio x.

El resultado 3x se multiplica por el divisor y el producto resultante cambiado de

signo se suma al dividendo.

Se divide -4x entre x.

El resultado -4 se multiplica por el divisor y el producto resultante cambiado de

signo se suma al nuevo dividendo (-4x-8). El cociente es 3x-4 y el resto 0. Es una

división exacta.

Comprobar: Dividendo = divisor · cociente + resto

3x2 + 2x -8 = (x+2)· (3x-4) + 0



Solución:

Comentarios:



Solución:



Solución:

Cuando al hacer la división nos da de resto cero podemos factorizar el dividendo.

Dividendo = divisor · cociente → (x3-x) = (x2-1)x

5.4. Identidades notables

Cuadrado de una suma

El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado del primero más el doble

del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Solución:



Cuadrado de una diferencia

El cuadrado de la diferencia de dos números es igual al cuadrado del primero menos

el doble del producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

Solución:



Suma por diferencia

La suma de dos números multiplicada por su diferencia es igual a la diferencia de sus

cuadrados.

Solución:



Factorizar para obtener la identidad notable

Las igualdades notables las aplicamos para factorizar polinomios y para simplificar

fracciones algebraicas.



Simplificar fracciones algebraicas

Cuando tengamos productos notables los factorizamos. Los factores obtenidos

quedan multiplicando en el numerador y en el denominador, si son iguales los

podemos simplificar.

Solución:



UNIDAD DIDÁCTICA 6: RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

6.1. ECUACIONES: SIGNIFICADO Y UTILIDAD

Una ecuación expresa, mediante una igualdad algebraica, una relación o condición entre

cantidades cuyo valor, de momento, no conocemos.

Las cantidades desconocidas se llaman incógnitas y se representa con la letra "x" (o

cualquier otra letra).

Resolver una ecuación es encontrar el valor, o los valores, que deben tomar las letras

(incógnitas) para que la igualdad sea cierta.

6.2. ECUACIONES: ELEMENTOS Y NOMENCLATURA.

Miembros de una ecuación: Son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados

del signo de igualdad.

Términos: Son los sumandos que forman los miembros.

Incógnitas: Son las letras que aparecen en la ecuación.

Soluciones: Son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta.

Grado de una ecuación: Es el mayor de los grados de los monomios que forman los

miembros, una vez reducida la ecuación.



Ecuaciones equivalentes: Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas

incógnitas y las mismas soluciones.

6.3. TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS

La transposición de términos es una técnica básica que permite transformar las

ecuaciones en otras equivalentes más sencillas, llevando los términos de un miembro a otro

de la igualdad.

La transposición de términos se basa en el siguiente principio:

Al sumar, restar, multiplicar o dividir el mismo término en los dos miembros de una

ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente.

Primer caso: Lo que está sumando en un miembro pasa restando al otro miembro.

x+a = b ⇒ x = b-a

Restamos el valor de “a” a los dos miembros. Ejemplo: x + 3= 4 ⇒ x = 4- 3

Segundo caso. Lo que está restando en un miembro pasa sumando al otro miembro.

x-a = b ⇒ x = b+a

Sumamos el valor de “a” a los dos miembros. Ejemplo: x – 2 = 5 ⇒ x = 5+ 2

Tercer caso: Lo que está multiplicando en un miembro pasa dividiendo al otro miembro.

a.x = b ⇒ x = b/a

Dividimos el valor de “a” a los dos miembros. Ejemplo: 2x = 6 ⇒ x = 6/2= 3

Cuarto caso: Lo que está dividiendo en un miembro pasa multiplicando al otro miembro.

x/a= b ⇒ x = b.a

Multiplicamos el valor de “a” a los dos miembros. Ejemplo: x/3 = 4 ⇒ x = 4. 3=12

6.4. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES. PROCEDIMIENTO GENERAL PARA LA RESOLUCIÓN

DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

El método para resolver una ecuación consiste en ir transformándola, mediante sucesivos

pasos, en otras equivalentes más sencillas hasta despejar la incógnita.

Muy importante: Para transformar una ecuación de grado 1 en otra equivalente más

sencilla y resolver ecuaciones de primer grado, conviene organizar el trabajo es las

siguientes fases:



1º) Si aparecen denominadores los eliminamos, transformándola en otra ecuación

equivalente que no los tenga. Para ello, multiplicaremos los dos miembros de la ecuación

por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

2ª) Operamos los paréntesis en caso de existir.

3º) Por último, trasponiendo términos llevamos las incógnitas al primer miembro de la

ecuación y las constantes al segundo.

4º) Reducimos términos y despejamos la incógnita trasponiendo nuevamente.

Ejemplos:

a)

1. Eliminamos paréntesis: Recordamos que los paréntesis sirven para

agrupar elementos, para simplificar o para evitar ambigüedades. El signo

negativo de delante del paréntesis indica que los monomios que contiene

tienen que cambiar de signo:

Sumamos 3 y -2 en el lado derecho:

2. Pasamos los monomios con “x” a la izquierda y los números a la

derecha:

Sumamos 1 y -1. Como el resultado es 0, no lo escribimos:

Pasamos 2x a la izquierda restando y sumamos los monomios:

Luego la solución de la ecuación es x = 0.

b)



1. Eliminamos denominadores. Multiplicamos, pues, por m.c.m.(2, 3) = 6:

Para simplificar, calculamos las divisiones:

Nótese que hemos escrito un paréntesis al eliminar la fracción de la derecha.

Esto se debe a que el 3 debe multiplicar al numerador que está formado por una

suma.

Calculamos los productos:

2. Para eliminar el paréntesis, multiplicamos por 3 todos los elementos que

contiene:

3. Pasamos las “x” a la izquierda:

Y simplificamos los monomios:

4. Finalmente, despejamos, el coeficiente de la x pasa dividiendo al otro lado:

La solución de la ecuación es x = 3/4.

La fracción no se puede simplificar más puesto que ya es irreductible (el máximo

común divisor del numerador y del denominador es 1).

c)

1. Eliminamos los paréntesis:

El de la izquierda tiene un 2 delante, por lo que multiplicamos su contenido por 2.

Los otros dos paréntesis tienen un signo negativo delante, así que cambiamos los

signos de sus monomios:

Simplificamos, en cada lado sumamos los monomios con y sin parte literal (los

que tienen x y los que no):



2. Pasamos las “x” al lado izquierdo y simplificamos:

Hemos obtenido una igualdad falsa: -2 = -1. Esto significa que la ecuación nunca se

cumple, sea cual sea el valor de x. Por tanto, la ecuación no tiene solución.

d)

1. Eliminamos los paréntesis multiplicando sus sendos contenidos por el número

que tienen delante. No hay que olvidar que si el número de delante es negativo,

también hay que cambiar los signos:

En cada lado, sumamos los monomios según su parte literal:

2. Pasamos las “x” a la izquierda y los números a la derecha:

Sumamos los monomios:

Hemos obtenido una igualdad que siempre se cumple: 0 = 0. Esto significa que la

ecuación se cumple siempre, independientemente del valor de x. Por tanto, la

ecuación tiene infinitas soluciones (x puede ser cualquier número y hay infinitos

números).

Podemos expresarlo como “x es cualquier real”: x∈R

f)

Los números que multiplican a los paréntesis son negativos, con lo que al multiplicar

su contenido por éstos, todos los elementos cambian de signo.



1. Multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común múltiplo, que es 6:

De este modo, al efectuar la división, desaparecen los denominadores.

2. Ahora nos deshacemos de los paréntesis: el primero está multiplicado por 3, por

lo que multiplicamos por 3 su contenido; el segundo por -2, por lo que multiplicamos

por -2 (no olvidar el signo):

3. Finalmente, agrupamos las x a un lado y los números al otro:

Tenemos 0 = -2, lo cual es una igualdad falsa. Por tanto, la ecuación no tiene

solución porque sea cual sea el valor de x, llegamos a una relación (igualdad)

absurda.

g)

1. Como tenemos denominadores, multiplicamos toda la ecuación por el mínimo

común múltiplo de estos, que es 30:

2. Sólo tenemos un paréntesis, que está multiplicado por 15. Para quitarlo,

multiplicamos su contenido por 15:



h)

Multiplicaremos la ecuación por 2 para eliminar los denominadores:

i)

1. En la ecuación tenemos paréntesis anidados (unos dentro de otros) y

multiplicados por fracciones. Pero antes de ocuparnos de esto, multiplicamos

toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 6:

2. Ahora vamos a los paréntesis:



En la izquierda hay dos, pero lo tratamos como si fuera sólo uno. Es decir,

multiplicamos todo su contenido por -2. Al mismo tiempo, en la derecha,

multiplicamos el contenido por 9:

Nos queda un paréntesis, que está multiplicado por 6:

Nota: Ahora puedes practicar tú:

a) x-3(x-2)=6x-2

b) 2(3x-49)=-x+14

c) 4(x+2)=1

3(1-9x)

d) x+1

6=

2x

3 -

1

2

e) 5[2x-4(3x+1)]=-10x +20

f) x+4[3-2(x-1)]=5[x-3(2x-4)]+1

g) (x-2)2=(x-5)2 -15

6.5. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Toda ecuación es de segundo grado con una incógnita si, tras reducirla, se puede expresar

de la siguiente forma general: ax2+bx+c=0 , donde , b y c son conocidos aunque pueden ser

cero.

Una ecuación de segundo grado puede tener dos soluciones, una o ninguna.

Si en la ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0 , tiene b≠0 y c≠0 se dice que la ecuación es

completa y para resolverla se utiliza la siguiente fórmula:



x=-b±√b2-4ac

2a

Se llama discriminante al radicando de la fórmula y se denota por: Δ=b2-4ac

Observa que, si el discriminante es mayor que cero, la ecuación de segundo grado tiene dos

soluciones; si es igual a cero, tiene una sola solución y si es menor que cero, no tiene

solución.

Ojo: Recordad que tenemos que distinguir tres casos. Sea: ax2+bx+c=0, la ecuación

de segundo grado a resolver:

Caso I: Si c=0:

1º) Sacamos factor común: ax2+bx=0 ⇒ x.(ax+ b)=0

2º) Igualamos cada factor del producto a cero y despejamos la incógnita:

x.(ax+b)=0 ⇒ {x=0

ax+b=0 ⇒x=-b

a

Caso II: Si b=0:

1º) Despejamos x2 : ax2+c=0 ⇒ x2=-c

a

2º) Comprobamos el signo de -c

a: {

Si -c

a>0 ⇒ x=±√

-c

a

Si -c

a<0 ⇒ no existe solución real



Caso III: Caso general:

1º) Aplicamos la fórmula de solución de las ecuaciones de 2º grado:

x=-b±√b2-4ac

2a

2º) Comprobamos el signo del discriminante: b2-4ac, de modo que:

o Si b2-4ac> 0, tenemos las dos soluciones reales calculadas.

o Si b2-4ac< 0, la ecuación no tiene soluciones reales.

o Si b2-4ac = 0, tenemos una única solución real, que denominamos

doble.

Ejemplo: Resolver la ecuación de segundo grado: x2+4x=0

Ejemplo: Resolver la ecuación de segundo grado: x2+3x+2 =0



Ejemplo: Resolver la ecuación de segundo grado: 5x2-20x+15=0

Ejemplo: Resolver la ecuación de segundo grado: 2x2+5x+2 =0



Ejemplo: Resolver la ecuación de segundo grado: x2+1=0

No hay solución real

Ejemplo: Resolver la ecuación de segundo grado: x2-2x+2=0

No hay solución real



Nota: Resuelve practica tú:

a) 6x2-x-1=0

b) 2x2-11x+5=0

c) (2x-4) 2-2x(x-2)=48

d) 2x2-18=0

e) -x2+12x=0

f) -3x2+5x-9=0

g) (x-1)(x-2)=6

h) 2(x2-1)+3x=4x2-x



Ejercicio: Resuelve estos problemas planteando las ecuaciones correspondientes

a) Si al triple de un número le quitas 12 unidades, obtienes 87. ¿Cuál es ese número?

b) Si a un número le restas 15 unidades y el resultado lo divides entre 3,

obtienes 20. ¿De qué número se trata?

c) La suma de dos números consecutivos es 175. ¿Cuáles son esos números?

d) Si a un número le quitas 7 unidades, obtienes el mismo resultado que si a su

doble le restas 3. ¿De qué número se trata?

e) Calcula dos números enteros consecutivos cuyo producto sea 1260.

f) La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 25, ¿cuáles son esos

números?

g) Si al cuadrado de un número se le suman 8 unidades, se convierte en el triple

de su cuadrado. ¿De qué número se trata?

Unidad didáctica 7: Sistemas de ecuaciones

Una ecuación lineal con dos incógnitas es una igualdad del tipo ax+by=c, donde a, b,

y c son números, y «x» e «y» son las incógnitas.

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias

incógnitas en la que deseamos encontrar una solución común.

Nosotros trabajaremos sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.



Por ejemplo:

Una solución es todo par de números que cumple la ecuación. Es decir, una solución

de un sistema de ecuaciones lineales no es más que un par de valores x e y, de tal

manera que se verifiquen las ecuaciones planteadas.

Los sistemas de ecuaciones lineales los podemos clasificar según su número de

soluciones:

• Compatible determinado: Tiene una única solución, la representación son

dos rectas que se cortan en un punto.

• Compatible indeterminado: Tiene infinitas soluciones, la representación son

dos rectas que coinciden.

• Incompatible: No tiene solución, la representación son dos rectas paralelas.

Existen diferentes métodos de resolución:

• Sustitución.

• Reducción.

• Igualación.



Ejemplo 1: Vamos a solucionar el siguiente sistema de ecuaciones lineales 2×2,

utilizando los tres métodos:

Método de Reducción

El método de eliminación consiste en realizar la suma o resta de ambas ecuaciones

con la finalidad de que alguna de las incógnitas desaparezca en el resultado de dicha

operación.

Por lo general, es necesario realizar una serie de pasos pertinentes para que ambas

ecuaciones lo permitan.

Paso 1. Se preparan las ecuaciones multiplicándolas por los números que convenga.

Para ello elegimos arbitrariamente cuál incógnita queremos eliminar; en este caso

optamos por eliminar a la variable x.

Analicemos: en la Ecuación 1, la variable x viene representada por un 2x. Esto

implica que para eliminarla al sumar dicha ecuación con la Ecuación 2, esta última

debería tener un -2x con el cual cancelarse o eliminarse.

Por lo tanto, es pertinente multiplicar la Ecuación 2 por un factor de -2 de la

siguiente manera:

Paso 2. Sumamos ambas ecuaciones:

Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante:



Paso 4. El valor obtenido se reemplaza en cualquiera de las ecuaciones iniciales y se

resuelve. En este caso elegimos reemplazar en la Ecuación 2:

Método de Igualación

Paso 1. Se elige cualquiera de las incógnitas y se despeja en ambas ecuaciones. En

este caso vamos a elegir despejar la variable x, aunque también es válido utilizar la

otra variable:

Paso 2. Se igualan las expresiones obtenidas en el paso 1, obteniendo una ecuación

con una incógnita:

Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante del paso 2 despejando la incógnita.

Paso 4. El valor obtenido en el paso 3 se reemplaza en cualquiera de las dos expresiones

del paso 1. En este caso elegimos la expresión obtenida del despeje de la ecuación 2:



Método de sustitución

Paso 1. Se elige cualquiera de las incógnitas y se despeja en cualquiera de las

ecuaciones. En este caso vamos a despejar la variable x de la Ecuación 2

Paso 2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación:

Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante del paso anterior para encontrar el valor

de una de las incógnitas:

Paso 4. El valor obtenido se reemplaza en la expresión del primer paso:

Ojo: Para cualquier método, acabaremos con un paso 5 muy importante:

Paso 5. Verificación de la solución del sistema. Nuestra solución:

Reemplazamos los valores obtenidos para cada una de las incógnitas en ambas

ecuaciones con la finalidad de verificar que se cumpla la igualdad en ambos casos:

Se verifica que la solución del sistema si satisface ambas ecuaciones.





{x + y = 7

5x - 2y = -7




x+y=7 ec. 1 → x= 7-y

Paso 2. Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación. En este caso

sustituimos en la segunda ecuación la expresión obtenida para la x :

5x-2y=-7 ec. 2 → 5.(7-y)-2y=-7


de una de las incógnitas. En este ejemplo, despejamos la y:

35-5y-2y=-7 → 35-7y=-7 → -7y=-7-35 → -7y=-42 → y=-42/-7=6 → y=6

Paso 4. El valor obtenido se reemplaza en la expresión del primer paso. Por tanto,

utilizamos el valor de y para hallar el valor de x:

x= 7-y → x=7-6=1 → x=1

La solución de nuestro sistema es x=1 e y =6.


Paso 1. Se preparan las ecuaciones multiplicándolas por los números que convenga.

Para ello elegimos arbitrariamente cuál incógnita queremos eliminar; en este caso

optamos por eliminar a la variable y.

Analicemos: en la Ecuación 2, la variable y viene representada por un -2y. Esto

implica que para eliminarla al sumar dicha ecuación con la Ecuación 1, esta última

debería tener un 2y con el cual cancelarse o eliminarse.

Por tanto, en este ejemplo multiplicamos la Ecuación 1 por 2 de la siguiente manera:

Ec. 1: x+y=7 → multiplicamos por 2 la Ec.1: 2(x+y=7)

Ec. 2: 5x-2y=-7 → no modificamos la Ec. 2: 5x-2y=-7

Así, el sistema se queda:



{2x + 2y = 145x - 2y = -7

Paso 2. Sumamos ambas ecuaciones. Si nos fijamos, sumando las ecuaciones la y nos

desaparece:

Ec. 1: 2x + 2y = 14

Ec. 2: 5x - 2y = -7

7x = 7

Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante. Y nos quedaría:

7x=7 → x=7/7=1 → x=1

Paso 4. Por último, sustituimos el valor que hemos calculado despejando la otra

incógnita en una de las ecuaciones iniciales.

En este caso reemplazamos el valor de x en la Ecuación 1

Ec. 1: x+y=7 → 1+y=7 → y=7-1=6 → y=6



Paso 1. Se elige cualquiera de las incógnitas y se despeja en ambas ecuaciones.

En este caso vamos a elegir despejar la variable x, aunque también es válido utilizar

la otra variable. La despejamos en ambas ecuaciones:

Ec. 1: x+y=7 → x=7-y

Ec. 2: 5x-2y=-7 → 5x=2y-7 → x=(2y-7)/5


con una incógnita:

7-y=(2y-7)/5

Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante del paso 2 despejando la incógnita:

7-y=(2y-7)/5 → 5(7-y=(2y-7)/5) → 35-5y=2y-7 → 42=7y → y=42/7=6 → y=6

Paso 4. El valor obtenido en el paso 3 se reemplaza en cualquiera de las dos

expresiones del paso 1. En este caso elegimos la expresión obtenida del despeje de la

ecuación 1:

x=7-y → x=7-6=1 → x=1

La solución de nuestro sistema es x=1 e y =6

Ojo: Para cualquier método, acabaremos con un paso 5 muy importante:

Paso 5. Verificación de la solución del sistema.

Nuestra solución: x=1 e y =6





Ec. 1: x+y=7 → 1+6 =7

Ec. 2: 5x-2y=-7 → 5.1 – 2.6 = 5-12 =-7




{ x+y = 3 2x-y = 0




x+y=3 ec. 1 → x= 3-y



2x-y=0 ec. 2 → 2.(3-y)- y=0



2.(3-y)- y=0 → 6-2y-y=0 → 6-3y=0 → -3y=-6 → y=-6/-3=2 → y=2



x= 3-y → x=3-2= 1 → x=1




En este caso vamos a elegir despejar la variable y, por ejemplo. La despejamos en

ambas ecuaciones:

Ec. 1: x+y=3 → y=3-x

Ec. 2: 2x-y=0 → y=2x


con una incógnita:



3-x = 2x


3-x = 2x → 3 = 3x → x = 1



ecuación 1:

y=3-x → y=3-1= 2 → y=2

La solución de nuestro sistema es x=1 e y =2


Paso 1. Para sumar las ecuaciones y que desaparezca una de las dos incógnitas, los

coeficientes de dicha incógnita deben ser iguales pero de signo distinto. Se preparan

las ecuaciones multiplicándolas por los números que convenga.

Para ello elegimos arbitrariamente la incógnita queremos eliminar, en este caso

optamos por eliminar a la variable y. Ya que si sumamos ambas ecuaciones

directamente dicha variable ya se elimina:

Ec. 1: x + y=3

Ec. 2: 2x- y=0


desaparece:

Ec. 1: x + y = 3

Ec. 2: 2x- y = 0

3x = 3


3x =3→ x=3/3=1 → x=1


incógnita en una de las ecuaciones iniciales.

En este caso reemplazamos el valor de x en la Ecuación 2

Ec. 2: 2x-y=0 → 2-y=0 → y=2



Nuestra solución: x=1 e y =2





Ec. 1: x+y=3 → 1+2 =3 se cumple la ecuación 1

Ec. 2: 2x-y=0 → 2.1 – 2 = 0 se cumple la ecuación 2




{5x-y

2 = -1

3x-2y = 1



ecuaciones. En este caso vamos a despejar la variable y de la Ecuación 2:

3x-2y=1 ec. 2 → -2y= 1-3x → y= 1-3x

-2 → y= -

1

2+

3

2x


sustituimos en la primera ecuación la expresión obtenida para la y:

5x-y

2= -1 ec. 1 → 5x-

1

2(-

1

2+

3

2x)= -1



5x- 1

2(-

1

2+

3

2x)=0 → 5x+

1

4-

3

4x= -1 → (5-

3

4)x= -

1

4 -1 →

→ (20 - 3

4)x=

- 1 - 4

4 →

17

4x=

- 5

4 → 17x=-5 → x =

- 5

17



y= -1

2+

3

2x → y= -

1

2+

3

2(

- 5

17) → y= -

1

2-

15

34=− 16

17 → y =

− 16

17

La solución de nuestro sistema es: x= − 5

17 e y = −

16

17.






ambas ecuaciones:

Ec. 1: 5x-y

2 = -1 → -

y

2 = -1 -5x → y = -2.(-1 -5x) → y = 2 +10x

Ec. 2: 3x-2y = 1 → -2y = 1-3x → y= 1-3x

-2 → y= -

1

2+

3

2x


con una incógnita:

2 +10x= -1

2+

3

2x


2 +10x= -1

2+

3

2x → 4+20x =-1+ 3x → 20x-3x = -1-4 → 17x = -5 → x=

- 5

17



ecuación 1:

y = 2 +10x → y= -1

2+

3

2(

- 5

17) → y= -

1

2-

15

34=− 16

17 → y=

− 16

17

La solución de nuestro sistema es: x=− 5

17 e y =−

16

17.






optamos por eliminar a la variable x:

Ec. 1: 5x-y

2= -1

Ec. 2: 3x-2y = 1

Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 5 para conseguir que el

coeficiente de la incógnita x tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones:

Ec. 1: 5x-y

2= -1 la multiplicamos por 3 → Ec. 1: 15x-

3y

2 = -3

Ec. 2: 3x-2y = 1 la multiplicamos por -5 → Ec. 2: -15x+10y = -5


desaparece:

Ec. 1: 15x - 3y

2 = -3

Ec. 2: -15x + 10y = -5

-3y

2 +10y = -3 -5




-3y

2 +10y = -3 -5 → (-

3

2 +10)y = -8 →

17

2y =-8 → y =-

8. 2

17 → y=

− 16

17


incógnita en una de las ecuaciones iniciales. En este caso reemplazamos el valor de y

en la Ecuación 2:

Ec. 2: 3x-2y = 1 → 3x-2.(− 16

17 )= 1 → 3x= 2.(

− 16

17 )+1 =

− 32 + 17

17 =− 15

17 → x =

− 15

17. 3=

− 5

17

La solución de nuestro sistema es: x=− 5

17 e y =−

16

17.


Nuestra solución: x=− 5

17 e y =−

16

17.



Ec. 1: 5x-y

2= -1 → 5(−

5

17)-

1

2. (−

16

17)= -1 se cumple la ecuación 1

Ec. 2: 3x-2y = 1 → 3. (− 5

17 ) – 2( −

16

17) = -1 se cumple la ecuación 2




{ -10x-5y = 021x-7y = 28



ecuaciones. En este caso vamos a despejar la variable y de la Ecuación 1:

-10x-5y=0 ec. 1 → -5y= 10x → y= 10

-5 x → y= -2x


sustituimos en la segunda ecuación la expresión obtenida para la y:

12x-7y= 28 ec. 2 → 12x-7. (-2x)= 28



21x-7. (-2x)= 28 → 21x+ 14x= 28 → 35x= 28 → x= 28

35= 4

5 → x =

4

5




utilizamos el valor de x para hallar el valor de y:

y= -2x → y= −2.4

5=-

8

5 → y =

− 8

5

La solución de nuestro sistema es: x = 4

5 e y =

− 8

5.




ambas ecuaciones:

Ec. 1: -10x-5y= 0 → -5y = 10x → y = -2x

Ec. 2: 21x-7y = 28 → -7y = 28-21x → y= 28-21x

-7 → y= -4+3x


con una incógnita:

-2x= -4+3x


-2x= -4+3x → -2x-3x = -4 → -5x = -4 → x= 4

5



ecuación 1:

y = -2x → y= -2. (4

5) = -

8

5 → y=

− 8

5


5 e y =

− 8

5.






optamos por eliminar a la variable y:

Ec. 1: -10x-5y= 0

Ec. 2: 21x-7y = 28

Multiplicamos la primera ecuación por 1/5 y la segunda por -1/7 para conseguir que el

coeficiente de la incógnita x tenga el mismo coeficiente en ambas ecuaciones:



Ec. 1: -10x-5y= 0 la multiplicamos por 1/5 → Ec. 1: -2x-y= 0

Ec. 2: 21x-7y = 28 la multiplicamos por -1/7 → Ec. 2: -3x +y = -4


desaparece:

Ec. 1: -2x -y = 0

Ec. 2: -3x +y = -4

-5x = -4

Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante. Y nos quedaría: -5x = -4 → x =4

5


incógnita en una de las ecuaciones iniciales. En este caso reemplazamos el valor de x

en la Ecuación 1:

Ec. 1: -10x-5y= 0 → -10.( 4

5 )-5y= 0 → -5y= 8 → x =−

8

5


5 e y =

− 8

5.


Nuestra solución: x = 4

5 e y =

− 8

5.



Ec. 1: -10x-5y= 0 → -10( 4

5 )-5. (−

8

5)= 0 se cumple la ecuación 1

Ec. 2: 21x-7y = 28 → 21. ( 4

5 ) – 7( −

8

5) = 28 se cumple la ecuación 2




{

x

3+

y

5 =

2

7x

2+

y

10 =

3

7

Ojo: Como tenemos denominadores, podemos eliminarlos si queremos

obteniendo un sistema equivalente, más cómodo:

1º) Multiplicamos la primera ecuación por el mínimo común múltiplo de los

denominadores y, de este modo, evitamos las fracciones.

https://www.matesfacil.com/ESO/numeros/minimo-comun-multiplo-definicion-ejemplos-ejercicios-test-problemas-descomposicion-primos.html



Ec. 1: x

3+

y

5 =

2

7 →⏟

↑m.c.m(3,5,7)=3.5.7=105

105 x

3+

105 y

5 =

105. 2

7 → 35x+21y=30 Ec. 1

2º) Multiplicamos la segunda ecuación por el mínimo común múltiplo de los

denominadores y, de este modo, evitamos las fracciones.

Ec. 2: x

2+

y

10 =

3

7 →⏟

↑m.c.m(2,10,7)=2.5.7=70

70 x

2+

70 y

10 =

70. 3

7 → 35x+7y=30 Ec. 2

Trabajamos el nuevo sistema equivalente:

{

x3 +y

5 = 27

x2+ y

10 = 3

7

≈ { 35x+21y=3035x+7y=30




35x+21y=30 ec. 1 → 35x=30 - 21y → x= 30 -21y

35



35x+7y=30 ec. 2 → 35 (30 -21y

35)+7y=30 → (30 -21y)+7y=30



(30 -21y)+7y=30 → 30 -21y+ 7y= 30 → -14y= 0 → y = 0



x= 30 -21y

35 → x=

30

35=

6

7 → x =

6

7


7 e y = 0.



En este caso vamos a elegir despejar la variable x, por ejemplo. La despejamos en

ambas ecuaciones:

https://www.matesfacil.com/ESO/numeros/minimo-comun-multiplo-definicion-ejemplos-ejercicios-test-problemas-descomposicion-primos.html



Ec. 1: 35x+21y=30 ec. 1 → 35x=30 - 21y → x = 30 -21y

35

Ec. 2: 35x+7y=30 ec. 1 → 35x=30 - 7y → x = 30 -7y

35


con una incógnita:

30 -21y

35=

30 -7y

35


30 -21y

35=

30 -7y

35 → 30-21y = 30-7y → -21y + 7y = 30 - 30 → -14y = 0 → y=0



ecuación 1:

x= 30 -21y

35 → x=

30

35=

6

7 → x =

6

7


7 e y = 0.






optamos por eliminar a la variable x, ya que tienen directamente el mismo

coeficiente:

Ec. 1: 35x + 21y= 30

Ec. 2: 35x + 7y= 30

Sólo nos queda multiplicar por ejemplo la segunda por -1, para tener coeficientes

iguales pero de distinto signo:

Ec. 1: 35x + 21y= 30 → Ec. 1: 35x + 21y = 30

Ec. 2: 35x + 7y = 30 la multiplicamos por -1 → Ec. 2: -35x - 7y = -30


desaparece:

Ec. 1: 35x + 21y = 30

Ec. 2: -35x - 7y = -30

14y = 0



Paso 3. Se resuelve la ecuación resultante. Y nos quedaría: 14y = 0 → y = 0


incógnita en una de las ecuaciones iniciales. En este caso reemplazamos el valor de y

en la Ecuación 1:

Ec. 1: 35x + 21y= 30 → 35x= 30 → x= 30

35=

6

7 → x =

6

7


7 e y = 0.


Nuestra solución: x = 6

7 e y = 0.



Ec. 1: 35x+ 21y= 30 → 35( 6

7 )+c21. (0)= 30 se cumple la ecuación 1

Ec. 2: 35x-7y = 30 → 35. ( 6

7 ) – 7( 0) = 30 se cumple la ecuación 2


Ejercicio: Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, utilizando

cualquier método:

a) { x+6y = 625x+y = 78 solución: x=14, y=8

b) { 2y +5 = xx-y = 51 solución: x=97, y=46

c) { x- y = 20

2x+2y = 172 solución: x=53, y=33

d) { x+ y = 80

5y+9x = 600 solución: x=50, y=30

e) { x- y = 70

2x+2y = 112 solución: x=63, y=-7

f) { x+ y = 50

10x- y = 478 solución: x=48, y=2

g) { x+ y = 15

5x+20y = 210 solución: x=6, y=9

h) { x+ y = 32-2x+y = 8 solución: x=8, y=24

i) { x+ y = 10x- y = 8 solución: x=9, y=1

j) { x+ y = 44

3x+2y = 188 solución: x=100, y=-56

k) { x+ y = 65

4x+ y = 104 solución: x=13, y=52

l) { 4x+3y = 1802x+ 5y = 188

solución: x=24, y=28

m) { x+ y = 50

2x+ 4y = 134 solución: x=33, y=17



Resolución de problemas usando ecuaciones

Para resolver un problema mediante una ecuación, hay que traducir al lenguaje

algebraico las condiciones del enunciado, usando tan sólo una incógnita y después

resolver la ecuación planteada. Comienza por leer detenidamente el enunciado hasta

asegurarte de que comprendes bien lo que se ha de calcular y los datos que te dan.

Una vez resuelta la ecuación no te olvides de dar la solución al problema.

Ejemplo: Si el doble de un número más 28 es igual 82, ¿qué número es?

Solución: La incógnita x es el número que buscamos. Como el doble se obtiene

multiplicando por 2, el doble de x es 2⋅x. Recordad que podemos omitir el punto: 2x.

El resultado de sumar 28 al doble x es 82, lo que algebraicamente se escribe como

2x+28=82

Resolvemos la ecuación: 2x+28=82 → 2x=82−28=54 → x=54/2=27

Por tanto, el número buscado es 27.

Ejemplo: En el colegio de Martín hay un total de 1230 estudiantes (alumnos y

alumnas). Si el número de alumnas supera en 150 al número de alumnos,

¿cuántas alumnas hay en total?

Solución: La incógnita x del problema es el número total de alumnas. Como hay 150

alumnas más que alumnos, el número de alumnos es el número de alumnas menos

150. Es decir, x−150.

El número total de estudiantes es 1230 y es la suma del número de alumnas y de

alumnos: x+(x−150)=1230. Hemos escrito el paréntesis para que se vea claro que es

la suma del número de alumnos y del de alumnas.

Resolvemos la ecuación:

x+x−150=1230 → 2x−150=1230 → 2x=1230+150 → 2x=1380 → x=1380/2=690

Por tanto, el número de alumnas es 690.



Ejemplo: Encontrar el número que cumple que la suma de su doble y de su

triple es igual a 100.

Solución: Si x es el número que buscamos, su doble es 2 ⋅x y su triple es 3⋅x. La suma

de los dos últimos debe ser 100: 2x + 3x = 100

Resolvemos la ecuación: 2x + 3x = 100 → 5x=100 → x=100/5= 20

El número buscado es 20.

En efecto, el doble de 20 es 40, su triple es 60 y ambos números suman 100.

Ejemplo: Buscar un número positivo x de modo que al sumarlo con su doble se

obtenga el triple de dicho número. ¿Cuántos números x cumplen lo anterior?

Solución: El doble del número x que buscamos es 2x y el triple es 3x. Queremos que

la suma de x y de su doble 2x sea exactamente 3x:

x+2x=3x → 3x=3x → 0 = 0

La ecuación x+2x=3x tiene infinitas soluciones. Es decir, todos los números la

cumplen. Cualquier número positivo más su doble tiene como resultado al triple de

dicho número.

Ejemplo: Una cuerda de 180m se corta en 3 trozos: trozo A, trozo B y trozo C.

Calcular cuánto miden los trozos sabiendo que el trozo B y el trozo C miden el

doble y el triple que el trozo A, respectivamente.

Solución: La incógnita x es la longitud del trozo A.

El trozo B mide el doble: 2x.

El trozo C mide el triple: 3x.

La cuerda mide 180m: x+2x+3x=180 → 6x=180 → x=180/6 = 30

El trozo A mide 30 m, el B mide 60 m y el C mide 90 m.

Ejemplo: Si la suma de un número x con su consecutivo es 27, ¿qué número es

x?

Solución: Es importante saber que el consecutivo de un número se calcula sumando 1.

Por ejemplo, el consecutivo de 2 es 3 (2+1 = 3) y el consecutivo de 100 es 101 (100+1 =

101).

Por tanto, el consecutivo de x es x+1.

La suma de x y de x+1 es igual a 27: x+(x+1)=27

Resolvemos: x+x+1=27 → 2x+1=27 → 2x=27−1 → 2x=26 → x=26/2=13



Por tanto, el número x del enunciado es 13.

Ejemplo: Si el perímetro de un cuadrado es 24cm, ¿cuánto miden sus lados?

Solución: Recordad que el perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de

sus lados.

Como un cuadrado tiene 4 lados que miden lo mismo, llamamos x a la longitud de uno

de ellos. El perímetro es la suma de los 4 lados:

x+x+x+x=24 → 4x=24 → x=24/4=6

Los lados del cuadrado miden 6cm (cada uno).

Ejemplo: Se tiene un rectángulo cuya base mide 5 unidades más que la altura.

Calcular la altura y la base del rectángulo sabiendo que su perímetro es 54m.

Solución: La incógnita x es la altura del triángulo. La base mide x+5.

El perímetro del rectángulo es la suma del doble de la altura y del doble de la base:

2x+2(x+5)=54 → 2x+2x+10=54 → 4x=54−10 → 4x=44 → x=44/4 =11

La altura mide 11m y la base mide 16m.

Ejemplo: Encontrar un número de tres cifras que cumpla:

• la segunda y la tercera cifra son el doble de la primera

• la segunda y la tercera cifra suman 12

Solución: El número tiene 3 cifras. Llamamos x a la primera. Entonces, la segunda

cifra y la tercera cifra son 2x.

La suma de la segunda y la tercera cifra suman 12: 2x+2x=12 → 4x=12 → x=12/4=3

La primera cifra es 3. La segunda y la tercera cifra es 2 ⋅3=6.

Por tanto, el número de 3 cifras buscado es 366.

Ejemplo: Entre Andrés y Carla tienen un total de 42 lápices. ¿Cuántos lápices

tiene Andrés si Carla tiene 6 veces más?

Solución: La incógnita x es el número de lápices que tiene Andrés. Como Carla tiene

6 veces más que Andrés, tiene 6x.

En total hay 42 lápices: x+6x=42 → 7x=42 → x=42/7=6



Por tanto, Andrés tiene 6 lápices.

Ejemplo: Si Manuel es 3 años mayor que Andrea y la suma de sus edades es 35,

¿qué edades tienen?

Solución: Llamamos x a la edad de Andrea. Como Manuel es 3 años mayor

que Andrea, su edad es x+3.

La suma de las edades es 35: x+(x+3)=35 → 2x+3=35 → 2x=35−3 → 2x=32 → x=32/2=36

Andrea tiene 16 años y Manuel tiene 19.

Ejemplo: La resta de las edades de dos hermanos es 5 y la suma es 49. ¿Qué

edades tienen?

Solución: Si la resta de las edades es 5 es porque uno de ellos tiene 5

años más que el otro. Así, si la edad de uno es x y la del otro es x+5.

También sabemos que sus edades suman 49:

x+(x+5)=49 → 2x+5=49 → 2x=49−5 → 2x=44 → x=44/2=22

La edad de uno es 22 y la del otro es 27.

Ejemplo: Si dentro de 15 años Eduardo tiene el doble de edad que la que tenía

hace 5 años, ¿qué edad tiene ahora?

Solución: Si x es la edad de Eduardo, dentro de 15 años su edad será x+15 y la que

tenía hace 5 años era x−5.

Como dentro de 15 años tiene el doble de edad que hace 5 años, tenemos: x+15 = 2(x-5)

Resolvemos la ecuación:

x+15 = 2(x-5) → x+15 = 2x-10 → x-2x = -10-15 → -x=-25 → x=25

Por tanto, la edad actual de Eduardo es 25.

Ejemplo: La edad de Javier es el triple que la de su hijo y dentro de 10 años

será el doble. ¿Qué edad tiene el hijo de Javier?

Solución: La incógnita x es la edad del hijo. Como la edad Javier

es el triple que la del hijo, su edad es 3x.

La edad que tendrán dentro de 10 años se calcula sumando 10 a las edades actuales.

El hijo tendrá x+10 y Javier tendrá 3x+10.

Además de esto, la edad de Javier será el doble que la de su hijo: 3x+10=2⋅(x+10). Es

muy importante no olvidar el paréntesis para escribir el doble de la suma.

Resolvemos la ecuación: 3x+10=2⋅x+2⋅10 → 3x+10=2x+20 → 3x−2x=20−10 → x=10



Por tanto, la edad actual del hijo de Javier es 10.

Ejemplo: Aurora tiene gatos y pájaros en su casa, siendo 24 el número total de

sus patas. Si en total tiene 9 animales, ¿cuántos gatos tiene

Aurora?

Solución: La incógnita x es el número de gatos.

Como los animales que no son gatos son pájaros, el total menos el número de gatos

es el número de pájaros. Es decir, el número de pájaros que tiene Aurora es 9−x.

Como los gatos tienen 4 patas, suman un total de 4x patas.

Como los pájaros tienen 2 patas, el total de patas de pájaros es (no olvidéis el

paréntesis): 2(9−x)

Como el número total de patas es 24, la ecuación del problema es: 4x+2(9−x)=24

Resolvemos: 4x+18−2x=24 → 2x=24−18 → 2x=6 → x=6/2=3

Por tanto, Aurora tiene 3 gatos.

Ejemplo: En un aparcamiento hay el doble de ciclomotores (2 ruedas) que de

triciclos (3 ruedas). Si la suma de las ruedas de todos los

vehículos es 112, ¿cuántos vehículos hay en total?

Solución: La incógnita x es el número de triciclos. Entonces, el de

ciclomotores es 2x. El total de vehículos es: 2x+x=3x

Como cada triciclo tiene 3 ruedas y hay x triciclos, el total de ruedas de triciclos es 3x.

Como cada ciclomotor tiene 2 ruedas y hay 2x ciclomotores, el total de ruedas de

ciclomotores es: 2⋅2x=4x

El número total de ruedas es 112: 3x+4x=112 → 7x=112 → x=112/7=16

El número de triciclos es 16 y el de ciclomotores es 32 (el doble). Por tanto, hay un

total de 48 vehículos.

Ejemplo: La mitad de un número x más la tercera parte del consecutivo de x es

igual 2. Calcular x.

Solución: La mitad del número x es x/2

El consecutivo de x es x+1, así que su tercera parte es: (x+1)/3

La suma de ambas fracciones es 2: x/2+(x+1)/3=2

Multiplicamos la ecuación por el mcm de los denominadores (6): 6⋅x/2+6⋅(x+1)/3=6⋅2

Las fracciones desaparecen:



3x+2⋅(x+1)=12 → 3x+2x+2=12 → 5x+2=12 → 5x=10 → x=10/5 = 2

El número x del problema es 2.

Ejemplo: El precio de la entrada de una obra de teatro es de 12 euros y sólo se

ha vendido una tercera parte de las entadas disponibles con una recaudación

de 1476 euros. ¿Cuántas entradas quedan a la venta?

Solución: La incógnita x es el número total de entradas. El número de entradas

vendidas es la tercera parte del total: x/3.

Como el precio de cada entrada es de 12 dólares, el dinero recaudado con las entradas

es: 12⋅(x/3)

Y como sabemos que la recaudación es 1476: 12 ⋅(x/3) = 1476

Pasamos el 12 dividiendo al otro lado: x/3=1476/12 → x/3=123 → x=3⋅123=246

El número total de entradas (vendidas y por vender) es 369. A la venta quedan

369−123=246.

Ejemplo: Antonio ha recorrido la quinta parte de un camino recto. Si le quedan

por recorrer 520 metros, ¿cuál es la longitud del camino?

Solución: La incógnita x es la longitud total del camino. Antonio ha recorrido la

quinta parte de x, es decir, ha recorrido x/5.

Como ha recorrido la fracción 1/5 de x, le quedan por recorrer las otras cuatro

quintas partes de x. Es decir, le queda por recorrer (4/5)⋅x

Como esta fracción sabemos que es igual a 520m, tenemos la ecuación:

(4/5)⋅x=520 → (1/5)⋅x=520/4 → (1/5)⋅x=130 → x=130⋅5 = 650

Por tanto, la longitud del camino es 650 metros.

Ejemplo: Tenemos dos garrafas de agua de la misma capacidad, pero una de

ellas se encuentra al 20% y la otra al 30%. Calcular la capacidad de las garrafas

si tenemos un total de 12 litros de agua.

Solución: La incógnita x es la capacidad de las garrafas.

Un porcentaje también es una fracción del total.

El 20% de x es la fracción: (20/100)⋅x

El 30% de x es la fracción: (30/100)⋅x

La suma de estas dos fracciones es 12: (20/100)⋅x+(30/100)⋅x=12

Multiplicamos la ecuación por 100: 20x+30x=1200 → 50x=1200 → x=1200/50=24



La capacidad de las botellas es de 24 litros (cada una).

Ejemplo: Marta tiene 100€ para realizar una compra. Primero compra unas

zapatillas y luego, con la mitad del dinero que le sobra, compra un pantalón. Si

el precio del pantalón es 10€, ¿cuánto dinero le queda?

Solución: La incógnita x es el precio de las zapatillas. Como tiene 100€ y compra las

zapatillas, le quedan: 100−x. Con la mitad de este dinero se compra un pantalón. Es

decir, el precio del pantalón es: (100−x)/2.

Como el precio del pantalón es 10€:

(100−x)/2=10 → 100−x=20 → 100−20=x → x=80

Marta tenía 100€ y se gasta primero 80€ y luego 10€. Por tanto, le quedan 10€.

Problemas de velocidad

Los siguientes problemas son de movimientos con velocidad constante y en línea

recta. La fórmula básica de este movimiento es : x=v⋅t, donde x es la distancia que

recorre el móvil (en km), v es la velocidad del móvil (en km/h) y t es el tiempo que

dura el movimiento (en h).

Ejemplo: Un tren de alta velocidad tarda 45 minutos en recorrer una distancia

de 240 kilómetros. ¿Cuál es su velocidad?

Solución: Escribimos el tiempo en horas para obtener la velocidad en kilómetros por

hora (en lugar de kilómetros por minuto): 45 min = 0.75 h

Como x=v⋅t: 240=v⋅0.75

Despejamos la velocidad: v=2400.75=320km/h

Ejemplo: Si un avión vuela a velocidad de 1040km/h y tarda 2 horas y 45

minutos en hacer una ruta, ¿cuál es la longitud de la ruta?

Solución: De la fórmula x=v⋅t, conocemos v y t.

Como el tiempo es en horas y minutos, debemos escribirlo solo en horas. Los 45

minutos son: 45min=4560h=0.75h. El tiempo en horas es 2.75h.

Sustituimos en la fórmula: x=1040⋅2.75 = 2860km

Ejemplo: Si Leonardo y Francisco tardan 1h en construir una pared con 750

ladrillos y Francisco trabaja el doble de lento que Leonardo, ¿cuánto tardarían

en construir la misma pared por separado?



Solución: Si Francisco pone x ladrillos en 1h, Leonardo pone 2x porque Francisco es el

doble de rápido. La suma de los ladrillos que ponen debe ser 750:

x+2x=750 → 3x=750 → x=750/3 = 250

Por tanto, Francisco pone 250 ladrillos en 1h y Leonardo pone 500 (el doble).

Si la tarea la realizan por separado, cada uno tiene que poner 750 ladrillos.

Como Francisco pone 250 cada hora, tardará 3 horas, ya que: 750/250=3.

Como Leonardo pone 500 cada hora, tardará 1h y 30 minutos (1.5 horas), ya que:

750/500=3/2=1,5.

Resolución de problemas usando sistemas

Para resolver un problema mediante un sistema, hay que traducir al lenguaje

algebraico las condiciones del enunciado, usando cómo mucho dos incógnitas y

después resolver el sistema planteado. Comienza por leer detenidamente el

enunciado hasta asegurarte de que comprendes bien lo que se ha de calcular y los

datos que te dan. Una vez resuelto el sistema no te olvides de dar la solución al

problema.

Ejemplo: Dos números suman 25 y el doble de uno de ellos es 14. ¿Qué números

son?

Solución: Definidos las incógnitas: x= primer número e y= segundo número

Planteamos las ecuaciones:

✓ Los números suman 25: x + y = 25

✓ El doble de uno de los números es 14: 2x = 14

Tenemos el sistema:

Aplicamos sustitución:



Por tanto, los números son 7 y 18.

Ejemplo: El doble de la suma de dos números es 32 y su diferencia es 0. ¿Qué

números son?

Solución: Definidos las incógnitas: x= primer número e y= segundo número

✓ El doble de la suma de los números es 32: 2(x + y) = 32

✓ La diferencia de los números es 0: x - y = 0

Tenemos el sistema

Aplicamos reducción:

Por tanto, los números son 8 y 8.

Ejemplo: La suma de dos números es 12 y la mitad de uno de ellos el doble del

otro. ¿Qué números son?

Solución: Si llamamos: x= primer número e y= segundo número, entonces:

✓ La suma de los números es 12: x + y = 12

✓ La mitad del primer número es el doble del segundo: x/2 = 2y

Tenemos el sistema:

Resolvemos por substitución:

Por tanto, los números son 18/5 y 12/5.

Ejemplo: Hallar un número de dos cifras sabiendo que la suma de las cifras es

12 y que la primera de ellas es el triple de la segunda.



Solución: Si x es la primera cifra e y es la segunda, entonces tenemos el sistema:

Resolvemos el sistema por sustitución:

Calculamos x sustituyendo y:

Por tanto, el número es 93.

Ejemplo: La suma de las edades de un padre y de su hijo es 39 y su diferencia

es 25, ¿cuál es la edad de cada uno?

Solución: Si llamamos: x a la edad del padre e y a la edad del hijo

✓ La suma de las edades es 39: x + y = 39

✓ La diferencia de las edades es 25: x − y = 25

El sistema es: y lo resolvemos por el método de reducción:

La edad del padre es 32 años y la del hijo es 7 años

Ejemplo: Alberto y su padre se llevan 25 años de edad. Calcular la edad de

Alberto sabiendo que dentro de 15 años la edad de su padre será el doble que la

suya.

Solución: Si la edad de Alberto es x y la de su padre es y, sabemos que:

Dentro de 15 años, la edad de Alberto será x+15 y la de su padre será y+15. Si para

entonces la edad del padre es el doble que la de Alberto:

El sistema de ecuaciones es:



Resolvemos el sistema por sustitución. Como tenemos despejada la y en la primera

ecuación, sustituimos en la segunda:

Por tanto, Alberto tiene 10 años.

Ejemplo: Hallar la medida de los lados de un rectángulo cuyo perímetro es 24 y

cuyo lado mayor mide el triple que su lado menor.

Solución: Llamamos: x al lado mayor e y al lado menor.

El perímetro es 24: 2x + 2y = 24

El lado mayor mide tres veces el menor: x = 3y

Tenemos el sistema

Resolvemos por sustitución:

Los lados mayores miden 9 unidades y los menores 3 unidades (cada uno de ellos).

Ejemplo: Ana tiene en su cartera billetes de 10€ y 20€, en total tiene 20 billetes

y 440€ ¿Cuántos billetes tiene de cada tipo?

Solución:

Por si quieres practicar:

Ejemplo: Hallar dos números sabiendo que el mayor más seis veces el menor

es igual a 62 y el menor más cinco veces el mayor es igual a 78.

Solución: 14 y 8



Ejemplo: Al dividir un número entre otro el cociente es 2 y el resto es 5. Si la

diferencia entre el dividendo y el divisor es de 51 ,¿de qué números se trata?

Solución: 97 y 46

Ejemplo: La base de un rectángulo mide 20 dm más que su altura. Si el

perímetro mide 172 dm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Solución: 52 y 33

Ejemplo: En una clase hay 80 alumnos entre chicos y chicas. En el último

examen de matemáticas han aprobado 60 alumnos, el 50% de las chicas y el 90

% de los chicos. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la clase?

Solución: 50 chicos y 30 chicas

Ejemplo: La base de un rectángulo mide 70 dm más que su altura. Si el

perímetro mide 412 dm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Solución: 138 y 68

Ejemplo: Juan ha realizado un examen que constaba de 68 preguntas, ha

dejado sin contestar 18 preguntas y ha obtenido 478 puntos. Si por cada

respuesta correcta se suman 10 puntos y por cada respuesta incorrecta se

resta un punto, ¿cuántas preguntas ha contestado bien y cuántas ha

contestado mal?

Solución: 48 bien y 2 mal

Ejemplo: Paco tiene en su monedero 210€ en billetes de 5 y 20 euros. Si

dispone de 15 billetes, ¿cuántos billetes tiene de cada clase?

Solución: 6 de 5€ y 9 de 20€

Ejemplo: La suma de las edades de Luisa y de Miguel es 32 años. Dentro de 8

años la edad de Miguel será dos veces la edad de Luisa. ¿Qué edades tienen

ambos?

Solución: Luisa tiene 8 y Miguel 24 años

Ejemplo: Encontrar un número de dos cifras sabiendo que suman 10 y que si le

restamos el número que resulta al intercambiar sus cifras el resultado es 72.

Solución: 91

Ejemplo: Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro

mide 88cm y que el triple de la base más el doble de la altura es igual a 118.

Solución: La base 30 y la altura 14 cm



Ejemplo: La suma de las edades de Raquel y Luisa son 65 años. La edad de Luisa

más cuatro veces la edad de Raquel es igual a 104. ¿Qué edades tienen ambos?.

Solución: Luisa tiene 52 y Raquel 13 años

Ejemplo: Un hotel tiene 94 habitaciones entre dobles e individuales. Si el

número de camas es 170. ¿Cuántas habitaciones dobles tiene?. ¿Cuántas

individuales?

Solución: 18 individuales y 76 dobles

Ejemplo: Halla dos números tales que, si se dividen el primero por 3 y el

segundo por 4, la suma de los cocientes es 15, mientras si se multiplica el

primero por 2 y el segundo por 5 la suma de los productos es 188.

Solución: el primero 24 y el segundo 28

Ejemplo: En un corral hay gallinas y conejos: si se cuentan las cabezas, son 50,

si se cuentan las patas son 134. ¿Cuántos animales de cada clase hay?

Solución: 33 gallinas y 17 conejos

Ejemplo: Calcula dos números que sumen 150 y cuya diferencia sea cuádruple

del menor.

Solución: 125 y 25

UNIDAD DIDÁCTICA 8: PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

8.1. Regla de tres simple

La regla de 3 simple relaciona dos magnitudes proporcionales. La

proporcionalidad puede ser directa o inversa.

Ejemplo:

Sabemos que por cada 100 gramos de harina hay que echar 10 gramos de cacao.



Podemos aumentar o disminuir las cantidades, pero si queremos seguir la

receta, estas cantidades deben guardar una proporción.

Pensamos: si echásemos el doble de harina de lo que dice la receta, tendríamos

que duplicar también la cantidad de cacao. Y si echásemos el triple de harina de

lo que dice la receta, también habría que triplicar la cantidad de cacao.

Es decir, si la cantidad de harina crece, también debe crecer proporcionalmente

la cantidad de cacao. En este problema, la harina y el cacao son cantidades

directamente proporcionales.

Ahora podemos resolver este problema aplicando una regla de tres simple

directa:

Ejemplo:

Sabemos qué si funcionan 2 casetas, se forman 30 kilómetros de cola en cada

una. Pero, si hubiese abiertas el doble de casetas, y teniendo en cuenta que

habría la misma cantidad de coches en el peaje, ¿habría más o menos coches

por cada caseta? Habría menos coches, porque se repartirían entre más

casetas.

Es decir, si aumenta el número de casetas, disminuye la longitud de la cola de

coches, y viceversa: si hubiese el doble de casetas habría la mitad de cola, y si

hubiese la mitad de casetas, habría el doble de cola. Vemos que estas

cantidades son inversamente proporcionales.

Ahora podemos resolver este problema aplicando una regla de tres simple

inversa:



Ejemplo: Hoy vamos de excursión con la escuela y nos ha tocado hacer

los bocadillos para toda la clase. Si para hacer los bocadillos para mis 4

hermanos gastamos 2 barras de pan, ¿cuántas barras de pan

necesitaremos para hacer los bocadillos de los 24

alumnos que hay en clase?

En primer lugar, debemos detectar si es una regla de 3

simple directa o inversa:

• ¿Si hacemos más bocadillos necesitaremos más barras?

• Siempre que hagamos más bocadillos, vamos a necesitar más pan.

Por lo tanto, si al aumentar una cantidad, aumentan las otras en la misma

proporción, estamos frente a un problema de regla de 3 simple directa.

Una vez sabemos de qué tipo de problema se trata, vamos a resolverlo:

Necesitaremos 12 barras de pan para hacer los bocadillos de los 24 alumnos

Ejemplo: El mes pasado, 3 jardineros tardaron 12 horas en arreglar los

jardines de la plaza del centro de ciudad. Este mes, el presupuesto

es mayor y han contratado a 6 jardineros. Sabiendo que 3

jardineros, tardaron 12 horas, ¿cuánto tiempo tardarán en

arreglar los jardines 6 jardineros?

En primer lugar, debemos detectar si es una regla de 3 simple directa o

inversa:

• ¿Si han contratado más jardineros, tardarán más o menos tiempo?

• Al tener más jardineros el tiempo de trabajo siempre será menor.

Por lo tanto, si al aumentar una cantidad, la otra disminuye en la misma

proporción, estamos frente a un problema de regla de 3 simple inversa.

Una vez sabemos de qué tipo de problema se trata, vamos a resolverlo:



Siendo 6 jardineros, tardarán 6 horas en arreglar los jardines.

Regla de tres compuesta

La diferencia de la regla de 3 simple con la regla de 3 compuesta es que en la

primera se relacionan dos magnitudes y en la segunda se relacionan tres o más

magnitudes. Aunque sólo resolveremos problemas con 3 magnitudes, la forma

de resolver los problemas con más magnitudes es la misma.

Ejemplo: Hemos ido a la fuente del pueblo para recoger agua.

Sabemos que 5 botellas de agua, de 2 litros cada una, pesan 10 kilos.

¿Cuánto pesan 2 botellas de 3 litros cada una?

Las tres magnitudes que tenemos en el problema son: botellas, litros y kilos.

Escribimos la relación entre ellas sabiendo que:

5 botellas, 2 litros, 10 kilos

2 botellas, 3 litros, X kilos

Ahora tenemos que averiguar la relación entre las magnitudes, comparando

siempre con la magnitud donde esté la incógnita X.

Comparamos botellas con kilos: Si hay menos botellas entonces pesarán

menos. Tienen proporcionalidad directa.

Comparamos litros con kilos: Si hay más litros entonces pesarán más. Tienen

proporcionalidad directa.

Ahora, escribimos las relaciones en forma de fracción para poder despejar la

incógnita X. La primera fracción es donde está la incógnita (esto no es



obligatorio, pero ayuda para después resolverlo). Después, igualamos a la

multiplicación de las dos fracciones:

Y resolvemos:

Podemos despejar la X haciendo los productos cruzados:

2 botellas, de 3 litros cada una, pesan 6 kilos.

Ejemplo: En 4 días, 6 impresoras han impreso 100 libros.

¿Cuántos días tardarán en imprimir 50 libros si tenemos 4

impresoras?

Las magnitudes que tenemos en el problema son: días, impresoras y libros.

La relación entre ellas es:

4 días, 6 impresoras, 100 libros.

x días, 4 impresoras, 50 libros.

Vemos la proporcionalidad entre las magnitudes:

Si hay que hacer menos libros entonces se

necesitan menos días. Proporcionalidad directa.

Si hay menos impresoras entonces se necesitan más días.

Proporcionalidad inversa.

Ahora, escribimos las relaciones en forma de fracción para poder despejar la

incógnita X. ¡OJO! La magnitud que es inversa debemos invertirla, es decir, el

denominador pasa a ser numerador y el numerador pasa a ser denominador.

Ahora resolvemos como el problema anterior, por el método de los productos

cruzados.

Para imprimir 50 libros, 4 impresoras tardan 3 días.



Ejemplo: En una fábrica de lápices 6 máquinas iguales producen en 2

horas 600 piezas. ¿Cuántos lápices producirán 9 de estas máquinas en 3

horas?

En este problema el número de piezas fabricadas es proporcional al número de

máquinas y al número de horas y se dice que es un problema de regla de tres

compuesta.

Planteamos el problema así:

Las letras “d” las ponemos para indicar que se trata de una proporcionalidad

directa entre las magnitudes (número de máquinas y número de lápices, y

número de horas de trabajo y número de lápices)

Con estos datos escribimos la proporción:

6/9.2/3=600/x ⇒ 1227=600x de donde x=1.350 lápices.

9 máquinas en 3 horas producirán 1.350 lápices

Ejemplo: Para construir 4 muros iguales en 30 días hacen falta 60

obreros. ¿Cuántos obreros se necesitarán para construir 6 muros en 90

días?

Fíjate en cómo son las magnitudes en este problema:

✓ El número de muros y el número de obreros son magnitudes

directamente proporcionales.

✓ El número de días y el número de obreros son magnitudes inversamente

proporcionales.

Planteamos el problema:

Al escribir la proporción hay que tener cuidado de invertir la razón de los días,

porque la magnitud días y la magnitud obreros son inversamente

proporcionales:

4/6×90/30=60x de donde x=30 obreros

Se necesitarán 30 obreros



Repartos proporcionales

Ejemplo: Dos socios forman una empresa, para lo cual uno aporta 1.000

euros y el otro aporta 1.500 euros. Al cabo de un año han obtenido un

beneficio de 750 euros. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

Se trata de un reparto proporcional directo, pues quien más aportó más

recibirá:

x=”€ que recibe el socio que aportó 1000 metros”

y=”€ que recibe el socio que aportó 1500 metros”

entonces:

x

1000=

y

1500=

x+y

2500=

750

2500=

3

10 ⇒ {

x

1000=

3

10 ⇒ x=300 €

y

1500=

3

10 ⇒ y=450 €

Ejemplo: Tres obreros cobran 1200 € por construir un camino de 24

metros, sin embargo, no construyeron la misma cantidad cada uno. Juan

construyó 10 metros, Pedro 8 metros y Carlos sólo 6 metros. ¿Cómo

deben repartirse el dinero para que lo que le toque a cada uno sea

proporcional al trabajo realizado?

Se trata de un reparto proporcional directo, pues quien más trabajó más

recibirá:

x=”€ que recibe Juan que construyó 10 metros”

y=”€ que recibe Pedro que construyó 8 metros”

z=”€ que recibe Carlos que construyó 6 metros”

entonces:

x

10=

y

8=

z

6=

x+y+z

24=

1200

24=50 ⇒

{

x

10=50 ⇒ x=500 €

y

8=50 ⇒ y=400 €

z

6=50 ⇒ z=300 €

Ejemplo: Tres carpinteros, Juan, Alberto y Luis, se encargaron de hacer

6 mesas iguales, por lo que recibieron un total de 600 euros. Juan hizo

una mesa, Alberto hizo 2 mesas y Luis 3 mesas. ¿Cuánto dinero

corresponde a cada uno?

Se trata de un reparto proporcional directo, pues quien más mesas hizo más

recibirá.

x=”€ que recibe Juan que construyó 1 mesa”



y=”€ que recibe Alberto que construyó 2 mesas”

z=”€ que recibe Luis que construyó 3 mesas”

entonces:

x

1=

y

2=

z

3=

x+y+z

6=

600

6=100 ⇒

{

x

1=100 ⇒ x=100 €

y

2=100 ⇒ y=200 €

z

3=100 ⇒ z=300 €

Ejemplo: Se venden tres máquinas por 1700€, de forma inversamente

proporcional a la antigüedad de cada una, que es de 10, 20 y 50 años

respectivamente. ¿Cuánto cuesta cada una?

Si hacemos común denominador en las fracciones: 1

10,1

20 𝑦

1

50, tenemos las

equivalentes: 10

100,5

100 𝑦

2

100. Trabajamos el reparto directo con los valores

dados por los numeradores: 10, 5 y 2. Entonces:

x

10=

y

5=

z

2=

x+y+z

17=

1700

17=100 ⇒

{

x

10=100 ⇒ x=1000 €

y

50=100 ⇒y=5000 €

z

20=100 ⇒z=2000 €

Ejemplo: Un padre reparte 100 € entre sus tres hijos, de forma

inversamente proporcional a los días que han llegado tarde a casa, que

son 2, 5 y 8 días respectivamente. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

Si buscamos las fracciones equivalentes con común denominador a las

inversas: 1

2,1

5 𝑦

1

8, tenemos las equivalentes:

20

40,8

40 𝑦

5

40. Trabajamos el

reparto directo con los valores dados por los numeradores: 20, 8 y 5. Entonces:

x

20=

y

8=

z

5=

x+y+z

33=

100

33 ⇒

{

x

20=

100

33 ⇒ x=60,6 €

y

8=

100

33 ⇒y=24,24 €

z

5=

100

33 ⇒z=15,15 €

Ejemplo: Se va a repartir un premio de 940 € entre los 3 porteros de un

equipo, que jugaron la misma cantidad de minutos. El reparto se hará de

forma inversamente proporcional a la cantidad de goles que recibieron.

Juan recibió 10 goles, Pedro recibió 8 y Carlos recibió 6.



Vamos a calcular cómo repartir, pero lo importante aquí es primero entender

que el reparto será inversamente proporcional, es decir, mientras más goles

recibieron, menos dinero les toca.

Si buscamos las fracciones equivalentes con común denominador a: 1

10,1

8 𝑦

1

6,

tenemos las equivalentes: 12

120,15

120 𝑦

20

120. Trabajamos el reparto directo con los

valores dados por los numeradores: 12, 15 y 20. Entonces:

x

12=

y

15=

z

20=

x+y+z

47=

940

47=20 ⇒

{

x

12=20 ⇒ x=240 €

y

15=20 ⇒y=300 €

z

20=20 ⇒z=400 €

Ejemplo: Cuatro amigos se reparten 35 pasteles de forma inversamente

proporcional a sus pesos, que son respectivamente 60kg, 80kg, 90kg y 120kg.

¿Cuántos pasteles corresponden a cada uno?

Solución: Volvemos a trabajar con dos magnitudes inversamente proporcionales, ya

que si aumenta el peso disminuimos el número de pasteles. Hacemos entonces un

reparto indirecto o inverso:

1º) Calculamos las fracciones equivalentes con común denominador a las inversas

de las cantidades que nos indican el reparto a realizar, es decir a: 1

60,

1

80, 1

90y

1

120 :

como: {

60=22.3.580=24.5

90=2.32.5120=23.3.5

, entonces: m.c.m (60, 80, 90, 120)=24.3.5=720

así, tenemos las siguientes equivalencias: 1

60=

12

720 ;

1

80=

9

720 ;

1

90=

8

720 ;

1

120=

6

720

2º) Hacemos reparto directo del total en función de los numeradores obtenidos,

que son en este caso: 12, 9, 8 y 6:

x=”pasteles que recibirá el amigo de 60kg”

y=”pasteles que recibirá el amigo de 80kg”

z=”pasteles que recibirá el amigo de 90kg”

t=”pasteles que recibirá el amigo de 120kg”

Por la relación directa se verifica que: x

12=

y

9=

z

8=

t

6=

x+y+z+t

12+9+8+6=

35

35=1, siendo:

x

12=1

despejando x⇒ x=12 pasteles

y

9=1

despejando x⇒ y=9 pasteles

x

8=1

despejando x⇒ z=8 pasteles



t

6=1

despejando x⇒ x=6 pasteles

Sumamos y verificamos que esta suma es igual a la cantidad de pasteles a repartir.

Porcentajes

Ejemplo: De los 684 lanzamientos que realizó Alberto, falló 513. ¿Qué

porcentaje de lanzamientos fallidos tiene Alberto?

Solución: Identificamos 684 con el 100%:

Aplicamos una regla de tres:

El porcentaje de lanzamientos fallidos de Alberto es el 75%.

Ejemplo: Lara acertó el 85% de las preguntas del test de inglés. Si el test

tenía un total de 160 preguntas, ¿en cuántas preguntas no acertó?

Solución: Identificamos 160 con el 100%.

Como acertó el 85%, no acertó el 15% porque la suma de aciertos y no aciertos debe

ser el total de preguntas. Por tanto, calculamos el 15% de 160:


Lara no acertó 24 preguntas.

También, podíamos haber calculado el número de preguntas acertadas y restar el

resultado al número total de preguntas.

Ejemplo: El 18% de los árboles del jardín de la plaza mayor son almendros

y el resto son naranjos. Si en la plaza 45 almendros, ¿cuánto árboles hay

en total en la plaza?

Solución: Sólo tenemos que identificar el 18% con 45 para calcular el 100%:


En la plaza hay un total de 250 árboles.

Ejemplo: Daniel tenía 260€ en su hucha y en dos meses consiguió ahorrar

otro 55% del dinero que ya tenía. ¿Cuánto dinero ahorró en los dos meses?



Solución: En este problema no queremos saber el total al añadir el 55%, sino calcular

el 55% del dinero inicial:

Daniel ahorró 143€ en esos dos meses.

Ejemplo: La población de una ciudad pasó de 10 millones de habitantes a

9 millones en tan solo un año. ¿Qué porcentaje de decrecimiento

poblacional hubo?

Solución: El número de habitantes inicial es el 100%.

Como el decrecimiento fue de 1 millón, calculamos el porcentaje que representa esta

cifra sobre el total:


Hubo un decrecimiento del 10%.

Ejemplo: Camila quiere comprar un abrigo de 320€, pero sólo dispone de

144€, así que tiene pensado esperar a que lleguen las rebajas. ¿Qué

porcentaje de descuento debe tener el abrigo para que Camila pueda

pagarlo?

Solución: El precio inicial del abrigo es el 100%.

Al aplicar un descuento, el precio debe ser 144€.

Calculamos el porcentaje que puede pagar Camila:

Para que el precio baje hasta el 45%, debe aplicarse un descuento del 55% sobre el

precio inicial del abrigo.

Ejemplo: Silvia se disponía a pagar 20€ por una camiseta, pero la

dependienta le aplicó un descuento que no esperaba, con lo que Silvia

pago sólo 8€. ¿Qué porcentaje de descuento se aplicó?

Solución: El 100% es el precio inicial. Calculamos el porcentaje que pagó Silvia:

Como Silvia pagó el 40%, se aplicó un descuento del 60%.

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A Coruña Telf: 881930407- 881930414

Modelo 1 Examen de matemáticas 2º ESO unidades 1, 2 y 3 |

Modelo 1 de examen unidades 1, 2 y 3

Alumn@:

Curso: 2019/2020 Matemáticas 2º ESO Fecha:

Ejercicio 1: Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) (−28): [(−12 + 9) − (3.3 − 12: 3) + 2] = (1 punto)

b) (1

3+

1

2) . [

3

5− (

5

6−

3

4) : (

2

3−

1

4)] = (1 punto)

c) (−7)6. (−7)5: [(−7)2: (−7)2] = (1 punto)

d) √(37 − 22)0 + 2. (32 + √16)2

+ √81 + (−3)2 = (1 punto)

Ejercicio 2: Simplifica las siguientes expresiones:

a) 4𝑚7𝑛7

27:

3𝑛4

81𝑚3 (1 punto)

b) (−2)2. √18 + (−2)3. √32 − (−2)3. √48 + 3. √12 = (1 punto)

Ejercicio 3: Una liebre corre dando saltos de 2,5 m, perseguida por un galgo que da

saltos de 3 m. ¿Cada cuántos metros coinciden las huellas del galgo sobre la liebre? (1 punto)

Ejercicio 4: Juan tiene 1500 € en su cuenta, gasta 2/5 en una cadena musical y la

cuarta parte de lo que le queda en una pantalla de tv. ¿qué fracción le queda del dinero que tenía? ¿Cuánto dinero le queda? (1,5 puntos)

Ejercicio 5: Calcula el valor de:

√(−3)2 + 75 + (−4)2 − (7 − 22 + 2): 5 + [(−2)2. (5 − 3) + 3] = (1,5 puntos)

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Modelo 2 Examen de matemáticas 2º ESO unidades 1, 2 y 3 |

Modelo 2 de examen unidades 1, 2 y 3

Alumn@:



a) (−4) − [(−2). (−12: 2) + 7 − 8: (−4) − 5] = (1 punto)

b)

3

4−(

4

8−

2

16)

1

2−

3

14

= (1 punto)

c) (−7)0. [(−5)4. (−5)4]: (−5)6 = (1 punto)

d) √(−3)2 + (−2)4: √(−5)2

(−7)0 = (1 punto)


a) 2. √5 + (−2)0. √45 + (−2)3. √180 + 2. √80 = (1 punto)

b) (−2)3.38.(−24)4

43.94= (1 punto)

Ejercicio 3: En una cesta de manzanas pudren 2/3 y las tiramos, nos comemos las

4/5 del resto y los 25 restantes las usamos para hacer mermelada. ¿Cuántas manzanas había en la cesta? (1,5 puntos)

Ejercicio 4: Tres barcos zarpan del mismo puerto: el primero cada 5 días, el segundo

cada 9 días y el tercero cada 15 días. Si coincidieron un determinado día. ¿Cuándo volverán a coincidir? (1 punto)


√(−8)2 + (−5)2 + 23 − (13 − 42 + 5): 2 + [(−5)2. (5 − 3) − 1]: 7 = (1,5 puntos)

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Modelo 2 de examen unidades 1, 2, 3, 4 y 5

Alumn@:



a) −1 − {6 + 12: [32 − (4 + (−1)3)] − 1} = (0,5 puntos)

b) 3 + [1 −21

4: (

3

5− 2 −

7

2)] = (0,5 puntos)

c)

3√4−9

√4

13

8−

32

8

= (0,5 puntos)


a) 3√20 − 2√12 − 2√45 +4

5√75 = (1 punto)

b) (−22)

3.(−4)2

(−2)3.162 = (1 punto)

Ejercicio 3: El propietario de un solar ha decidido venderlo en parcelas para obtener

una mejor rentabilidad. Vendió primero 3/7 del mismo, luego la mitad de lo restante y todavía le quedaron 244 m2 sin vender. Calcula la superficie del solar. (1 punto)

Ejercicio 4: Las edades de Manuel y la de su hija están comprendidas entre 23 y 49

años y son a la vez divisibles por 8 y 12. ¿Qué edad tiene cada uno? (1 punto)


a) =+− 2)3,0(2,0:)2,18,2( (0,5 puntos)

b) 2,5 − 3, 4̂ + 7,18̂ = usando fracciones generatrices (0,5 puntos)

c) √12,94 = resultado con dos cifras decimales. (0,5 puntos)

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Ejercicio 6: Operar y simplificar: (𝑥 − 1)2 − (2𝑥 + 3)2 − 2. (𝑥2 + 1) = (1,5 puntos)

Ejercicio 7: Factorizar y simplifica: 3𝑥3+6𝑥2+3𝑥

6𝑥3+6𝑥2= (1,5 puntos)

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Examen de matemáticas 2º ESO unidades 1, 2 y 3 |

Examen unidades 1, 2 y 3:

Alumn@: Fecha:

Curso: 2019/2020 Matemáticas 2º ESO Grupo:

• No se permite el uso de calculadora.

• Se debe realizar con bolígrafo y sin usar típex. Los ejercicios realizados con lápiz no se corregirán.

• No sólo se valora el resultado final, también el desarrollo de todos los ejercicios.


a) 25: (−5)2 + 2. [34 − (−5)0. (−50: 5) − 22. 5] = (1 punto)

b) (5

2−

5

6+

2

3.

1

4) . [2 −

1

2. (1 +

5

3)] = (1,5 puntos)

c) 𝑎3. 𝑎. (𝑎.𝑎5

𝑎2.𝑎3) = (1 punto)

d) (−5)2 − √81. [(−2)4: (7 − 3)] − (1 − √121) = (1,5 puntos)


a) 2. √12 − 3. √3 + 2. √75 = (1 punto)

b) 16.92.24

36.43= (1 punto)

Ejercicio 3: Daniel tiene 360 €. El lunes gasta 3/5 partes en un reproductor de MP4.

El martes gasta 1/3 de lo que le quedaba en un juego para su XBOX. Si quiere con el resto del dinero que le queda ir con 5 amigos a una pizzería e invitar a todos a merendar, siendo el menú de cada persona a 15 €. ¿Le llegará el dinero? (1,5 puntos)

Ejercicio 4: Se está reparando el suelo del patio del instituto de 33 metros de ancho

y 39 metros de largo. Se quiere cubrir con losas cuadradas de tal modo que no haya que partir ninguna de ellas y sean lo más grandes posible. ¿De qué tamaño han de ser estas losas? (1,5 puntos)

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Examen unidades 1, 2, 3, 4 y 5:

Alumn@: Fecha:






a) −1 − {6 + 12: [32 − (4 + (−1)3)] − 1} = (0,5 puntos)

b) 6

5. (

9

4−

7

3) − (

7

2− 3) : (−2 +

1

4) = (0,5 puntos)

c)

√24+4.(1

2)

2

39

8+(

1

2)

3 = (0,5 puntos)


a) 1

3√27 − √8 − √3 +

2

3√18 + √2 = (1 punto)

b) (-22)

3.(-4)2

(-2)3.162= (1 punto)

Ejercicio 3: Nacho regala los 𝟐

𝟑 de sus canicas a Iván, los

𝟑

𝟒 de las que quedan, a

Rosa, y aún le sobran 5 canicas. ¿Cuántas canicas tenía al principio? (1 punto)

Ejercicio 4: Un artesano dispone de una plancha de madera de 256 cm de largo y 96

cm de ancho, quiere hacer con ella tableros de ajedrez de forma que sean cuadrados lo más grandes posible. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada tablero? (1 punto)

El examen sigue por detrás

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a) (9,25 - 13,6 + 1) : 0,5= (0,5 puntos)

b) 0,32̑ · 0,9 − 1 = usando fracciones generatrices (0,5 puntos)

c) √1245 = resultado con una cifra decimal. (0,5 puntos)

Ejercicio 6: Operar y simplificar: (2𝑥 − 5)2 + 3. (𝑥 + 2) + 3𝑥. (𝑥 + 2) = (1,5 puntos)

Ejercicio 7: Usando igualdades notables, calcula:

a) (4𝑎 − 5)2 = (0,5 puntos)

b) (3

2𝑦 +

1

2𝑥)

2= (0,5 puntos)

c) (√3 − 5). (√3 + 5) = (0,5 puntos)

Firma del alumn@:

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Modelo 1 de examen unidades 6 y 7

Alumn@:


Ejercicio 1: Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a) 3(𝑥−3)

2+

2𝑥

3− 2𝑥 =

3(2𝑥−1)

9−

1

6 (1 punto)

b) 3𝑥2 − 19𝑥 + 20 = 0 (1 punto)

c) 4𝑥(𝑥 + 1) = 15 (1 punto)

Ejercicio 2: Resuelve el sistema lineal usando los tres métodos:

3(𝑥−2)

4+

2(𝑦−3)

5=

2

52(𝑦−4)

3+

3(𝑥−1)

2=

3

2

} (3 puntos)

Ejercicio 3: Luis preguntó a su primo cuántos años tenía, y Juan le contestó: “Si al

triple de los años que tendré dentro de tres años le restas el triple de los años que tenía hace tres años, tendrás los años que tengo ahora”. ¿Cuántos años tiene Juan? (1 punto)

Ejercicio 4: Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 60km/h. Dos horas

más tarde sale en su persecución un coche a 100 km/h ¿cuánto tardarán en encontrarse? (1 puntos)

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Modelo 2 de examen unidades 6 y 7

Alumn@:



a) 5𝑥 − 3 (3 −𝑥

4) =

7𝑥

2− 1 (1 punto)

b) 4𝑥2 + 8𝑥 + 3 = 0 (1 punto)

c) 6 + (2𝑥+4

3) 𝑥 = 8 (1 punto)


2(𝑥+1)

5− 𝑦 = −3

3(𝑥 + 5 − 𝑦) + 3𝑥 = 12} (3 puntos)

Ejercicio 3: En un examen tipo test había que contestar 20 preguntas. Por cada

pregunta bien contestada dan tres puntos y por cada fallo restan dos. ¿Cuántas preguntas acertó Elena sabiendo que ha obtenido 30 puntos y que contestó a todas? (1,5 puntos)

Ejercicio 4: Las dos cifras de un número suman siete y si se invierten de orden se

obtiene otro número 9 unidades mayor. ¿De qué número se trata? (1 punto)

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Examen unidades 6 y 7:

Alumn@: Fecha:






a) 𝑥 −12𝑥+1

3= 2𝑥 + 1 −

15𝑥+4

3 (1 punto)

b) 𝑥2

2− 𝑥 − 4 = 0 (1 punto)

c) 𝑥2+6𝑥+3

𝑥−1= −𝑥 (1 punto)


2𝑥 − 3𝑦 = 123𝑥 + 𝑦 = 7

} (3 puntos)

Ejercicio 3: Hallar la medida de los lados de un rectángulo cuyo perímetro es 24 y

cuyo lado mayor mide el triple que su lado menor. (1 punto)

Ejercicio 4: Un corral tiene conejos y gallinas; en total hay 35 cabezas y 116 patas.

¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay? (1,5 puntos)

Ejercicio 5: Si se suma 7 al numerador y al denominador de una determinada

fracción, se obtiene la fracción 2

3 . Si en vez de sumar 7 se resta 3 al numerador y al

denominador, se obtiene la fracción 1

4 . Encontrar dicha fracción. (1,5 puntos)

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Examen unidades 6 y 7:

Alumn@: Fecha:






a) 1 −2

3(𝑥 − 3) = 2 −

1

4(3𝑥 − 4) (1 punto)

b) 2𝑥2 − 5𝑥 + 2 = 0 (1 punto)

c) 𝑥2

2+ 𝑥 =

2𝑥2−5

3− 1 (1 punto)

d) (2𝑥 − 3)2 + 𝑥2 + 6 = (3𝑥 + 1)(3𝑥 − 1) (1 puntos)


𝑥

2+ 2𝑦 = 10

𝑥 − 3𝑦 = 6} (3 puntos)

Ejercicio 3: Cada vez que un jugador gana una partida recibe 7€, y cada vez que

pierde paga 3 €. Al cabo de 15 partidas ha ganado 55€. Calcular las partidas ganadas. (1,5 puntos)

Ejercicio 4: En un garaje hay 110 vehículos entre coches y motos y sus ruedas

suman 360. ¿Cuántas motos y coches hay? (1,5 puntos)

Firma del alumn@:

I.E.S. D

E ORTIG

UEIRA

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