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Matemáticas - Favio Murillo García
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Matemáticas Maestría en Politicas Publicas Dr. Favio Murillo García
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Matemáticas
Maestría en Politicas Publicas
Dr. Favio Murillo García
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La Pendiente de una Curva
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de
una curva a la pendiente de la
recta que mas se asemeja (ajusta)
a la curva.
¿y cuál es esta recta?
3
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
4
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
5
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
6
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
7
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
8
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
9
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
10
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
11
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
12
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
13
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
14
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
15
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
16
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
17
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
18
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
19
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
20
x
y
0x
)( 0xf)( 0 hxf +
hx +0
h
21
x
y
0x
)( 0xf)( 0 hxf +
hx +0
h
22
x
y
0x
)( 0xf)( 0 hxf +
hx +0
h
23
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
h
24
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
h
25
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
h
26
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
h
27
x
y
0x
)( 0xf )( 0 hxf +
hx +0
Tangente!!!
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La Pendiente de una Curva
x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0x
y
29
La Pendiente de una Curva
h
h
h
)f(x)f(xlimm 00
0t
+
Es el límite de un cociente de incrementos
x
)f(xx)f(xlimm 00
0t
+
x
Si h = x
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Definición de Derivada
La derivada de una función f con
respecto a la variable x es la función
cuyo valor en x es:
siempre que el límite exista
h
f(x)h)f(xlim´(x)f
0h
+
Nota 1: f es una función definida en un
intervalo abierto que incluye a x.
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Observación
La derivada de una función es un límite.
Nota 2: Para calcular ese límite se
requiere que la función esté definida en
el punto.
a-x
f(a)f(x)lim
h
f(x)h)f(xlim
ax0h
+
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REGLAS DE DERIVACIÓN
4. Si f es derivable y c constante, se tiene:
xfcxcf
3. Sea f(x) = xn, entonces:
1 nnxxfn
1. Sea f(x) = k, entonces:
0 xfk
D (c) = 0x
2. Sea f(x) = x, entonces:
1 xf
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5. Si f y g son funciones derivables y a y b son constantes se tiene que:
xgxfxgxf +
+
6. Si f y g son funciones derivables, entonces la derivada del producto es:
xgxfxgxfxgxf +
*
Reglas de Derivación
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Reglas de Derivación
7. Si f y g son funciones derivables y no es cero, entonces la derivada del cociente es:
)(xg
)(
)()()()(
)(
)(2 xg
xgxfxgxf
xg
xf
8. Si y , entonces la regla de la cadena se define por:
nxgxf )()(
)()()(1
xgxgnxfn
n
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Observación
Sea y = f(u) donde u = g(x)
Si todas las derivadas involucradas existen,
entonces otra forma de definir la REGLA DE
LA CADENA es:
dx
du
du
dy
dx
dy
xuy
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La función exponecial y=ex y la función
logaritmo natural y= ln x
1 e
e
1
y = ex
y = ln x
x
y
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Definición:Si x es cualquier número real, entonces
ln y = x si y sólo si ex = y
Teorema
Si p y q son números reales y r es un número
racional, entonces
i) ii) iii)qp
q
p
ee
e qpqp eee + pqqp ee
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Derivada de funciones exponenciales
i)
ii)
Derivada de funciones logarítmicas
i)
ii)x
xfxxf1
)(;ln)(
xgexfexf xgxg )(;)(
)()(
1)(;ln)( xg
xgxfxgxf
xx exfexf )(;)(
Derivadas de funciones EXP y LOG
