MATERIAL DE CALCULO APLICADO.pdf

PARTE I EVALUACION: SOLUCION DE PROBLEMAS DE CALCUL O APLICADO

Lee reflexivamente los siguientes ejercicios y responde en el cuadro de respuestas después de realizar los procedimientos respectivos para que tenga valor.

1. La solución de la ecuación por Bernoulli �� + �� = ��

a. �� = �� + ��

b. �� = �� + ��

c. �� = �� + ��

d. �� = �� + ��

e.N.A

2. La solución de la ecuación por Bernoulli �� + � � = ��

a. � = − �� b. � = �� c. � = �� d. � = − �� e.N.A

3. La solución de la ecuación por Bernoulli �� − � = �� = 5

a. �� = − �� +

�� + − !��

b. �� = − �� +

�� − + !��

c. �� = − �� +

�� + + !��

d. �� = �� +

�� + + !��

e.N.A

4. La solución de la ecuación Separable "#�$% + �1 + "#�$� + 2�$( = 0

a. � = ��*+

b. � = − ��*+

c. � = ��*+

d. � = ��*�+

e.N.A 5. La solución de la ecuación Lineal �( + 4�-�$� + 2�$( = 0

a. % = ./ �/ -⁄ + �� -⁄

b. % = ./ �/ -⁄ + �� -⁄

c. % = ./ �/ -⁄ − �� -⁄

d. % = − ./ �/ -⁄ + �� -⁄

e.N.A

6. La solución de la ecuación Separable:121� = 3�1 − 3�

a. 3 = �"#�3 + 1�

b. 3 = −�"#�3 − 1� c. 3 = −�"#�3 ∓ 1� d. 3 = −�"#�3 + 1� e. 3 = �"#�3 − 1�

7. La solución de la ecuación Separable: 151� + (� = 4(

a. � = 4 − �"�#� -⁄

b. � = −4 + �"�#� -⁄

c. � = 4 + �"�#� -⁄

d. � = 4 + �"#� -⁄ e.N.A

8. La solución de la ecuación Homogénea 2%- 151# = 3%� + �- �� = 2

a. % = − 7. � 5

#�5�-

b. % = 7. � 5

#�5�-

c. % = 7. � 5

#�5�-

d. % = 7. � �5

#�5�-

e.N.A 9. La solución de la ecuación Lineal %�� = 2%"# − � + 6%-

a. � = �# − 2" # − -*+

# + 2%-

b. � = �# + 2"# − -*+

# − 2%-

c. � = �# + 2" # − -*+

# + 2%-

d. � = �# + 2"# + -*+

# + 2%-

e. 10. La solución de la ecuación separable: %-�� + %�% + 2�� = "#

a. � = − �*9+#� − *+

-#� b. � = �*9+

#� − *+-#�

c. � = �*9+#� + *+

-#� d. � = − �*9+

#� + *+-#�

e.N.A 11. La solución de la ecuación exacta: �2�-% − 3�$% + �2�%- + 4�$� = 0

a. %-�- − 3% + 4� = � b. %-�- + 3% + 4� = � c. %-�- − 3% − 4� = � d. %-�- + 3% − 4� = � e.N.A

12. La solución de la ecuación 151# = �

#�5� , ��-� = 0

a. % = �- − 2� − 2 b. % = −�- − 2� − 2 c. % = −�- − 2� + 2 d. % = �- + 2� − 2 e.N.A

13. La solución de la ecuación Lineal: 151� + (� = 4(

a. � = 4 + �"�� -⁄

b. � = 4 − �"�� -⁄

c. � = 4 + �"�� -⁄

d. � = −4 + �"�� -⁄ e. N.A

14. De cuantas formas diferentes se puede resolver la E.D �2% + %�-�$% + �4% + %-��$� = 0 � Separables

Homogénea � Exactas

Lineal � Bernoulli

15. Identifique las siguientes ecuaciones diferenciales

1. � 151# − % = 2�-

2. "#�$% + �1 + "#�$� = 0 3. �( + 4�-�$� + 2�$( = 0

4. 121� = 3�1 − 3�

5. �2�-% − 3�$% + �2�%- + 4�$� = 0 6. (-�� + (�( + 2�� = "� 7.

151� + (� = 4(

8. %�� = 2%"# − � + 6%-

9. 2%- 151# = 3%� + �-

10. �2% + %�-�$% + �4� + %-��$� = 0

16. Al calcular adecuadamente : ;*+�*9+*+�*9+ $%, la respuesta correcta es:

a. <��"-# − 1� + % + � b. <��"-# − 1� − % + � c. −<��"-# − 1� + % + � d. − <��"-# − 1� − % + � e. N.A

17. Encontrar el área de la región acotada por la parábola � = � − �� y la recta � = −�.

18. Encuentre el área de la región en el primer cuadrante, que está acotada por arriba por � = √� y por abajo por el eje x y la recta � = � − �

19. Determina el área de la región del ejercicio 18, integrando respecto a y.

20. Determina el área de la región del ejercicio 18de la manera más rápida.

21. � = � + ��pasa por el eje x y las rectas � = > y � = �

22. � = −� + �� + ?� Si @�� ≥ >

23. � = −� + �� + �� pasa por el eje x y las rectas � = − y � =

24. � = �� y las rectas � = � y � = ��

25. Determina el área de la región ℛ limitada por las curvas 2% + � = 7; � − % = 1; % + 2� = 2

26. Determina el área de la región ℛ limitada por las curvas � = � − �� y el eje x.

27. Determine el coeficiente de desigualdad correspondiente a la curva de Lorenz � = >, F�� + >, �.

28. Dado un sistema de ecuaciones G = �>– , ?� G = ! + �, ��.Determine el excedente de los consumidores y productores.

29. Determinar el área del trapecio de la Figura.6.19

30. La función de costo marginal para el producto de una empresa está dada por ? + >, ��. Si el costo esta en euros, determine el costo de incrementar la producción de120 a140 unidades.

31. Determinar el área entre la curva � = � − �� y el eje � de la Figura.6.20

32. Encontrar el área bajo la curva � = ��, comprendida entre el eje �, las rectas � = y � = >. Ver figura 6.21

33. La función de ingreso marginal de un fabricante es I´�� = >√�. Si R está en pesos, encuentre el cambio en el

ingreso total si la producción aumenta de 100 a 400 unidades.

34. Calcule la longitud del arco de la parábola semicubica�� , entre los puntos� , � y ��, !� de la figura

35. Determine la función integral de arco para la curva � � ��

! KL� tomando M>� , � como punto inicial.

36. Demuestre que el volumen de la esfera de radio r es N � �OP.

37. El arco de la parábola� � �� se hace girar en torno del eje y de � , � ��, ��. Calcule el área de la superficie

resultante.

38. La curva� � √� � ��, � Q � Q es un arco del círculo �� . Calcule el área de la superficie generada al rotar ese arco alrededor del eje x (la superficie es una parte de la esfera de radio 2)

39. Encuentre el volumen del solido obtenido al hacer girar la región limitada por � � �, � � !, �� > alrededor del eje y.

40. Se hace girar la región ℛ encerrada por las curvas � � �� en torno del eje x. Halle el volumen del solido resultante.

41. Encuentre el volumen del solido obtenido al girar la región ℛ alrededor de la recta � � �. 42. Calcule el volumen del cuerpo generado rotando la región intermedia entre alrededor del eje y.

43. La integral impropia de : 1##��

ST es:

a. U b. 2

c. V-

d. 2 V-

e. N.A 44. Encontrar las cantidades de c/u de los tres alimentos dados que proporcionaran los requerimientos mínimos diarios de una persona, según se especifica en la última columna de la tabla (la cantidad dada para c/cantidad alimento esta en miligramos por onza):

ALIMENTO VITAMINA

A B C REQUERIMIENTO MINIMO DIARIO

TIAMINA 0,3 0,1 0,4 1,5 NIACINA 100 40 60 440 HIERRO 1,6 2,2 1,4 10,6

� Establezca el S.E.L � Reduzca a un sistema equivalente más fácil de manejar � Escribe la matriz aumentada � Resuelve por G - J

a. 1; 2; 3

b. 3; 2; 1

c.2; 1; 3

d. 1; 3; 2

e. N.A

45. SeaQ � X1 11 0Y demostrar que Q; � Q. � Q/

a. X! Y b. X! Y c. X! ! Y d. X! Y e. N.A

46. Dada la matriz Z � X�1 11 �2Y . Calcule Z�� 2Z[ � Z- a. ��6 �22 0 � b. ��2 �2�2 0 � c. � 0 2�2 6� d. � 6 2�2 0� e. N.A

47. El Producto escalar de los vectores unitarios \ ∙ \ y ^ ∙ ^ es:

a. mayor que uno

b. menor que uno

c. 1

d. diferente de uno

e. 0

48. Sean los Vectores _ � ⟨5,�4⟩ y Z � ⟨0,2⟩ su Producto Punto o Escalar es:

a. 11

b. -8

c. 10

d. 3

e. 20

49. La longitud o modulo o magnitud del vector _ � ⟨3, −4⟩ es: a.5 b.25 c.−1 d.7 e.−4

50. El ángulo b entre dos vectores _ = ⟨3, −4⟩ y ⟨4,0⟩ es:

a. 53° b. 52° c. 50° d. 45° e. 60°

51. Al escribir el vector _ = ⟨5, −4⟩ como una combinación lineal de vectores unitarios se obtiene: a.5\ + 4^ b. −5\ − 4^ c. −5\ + 4^ d. 5\ + 2^ e. 5\ − 4^

52. Encontrar las submatrices y menores principales de la matriz Z = d5 0 73 −2 21 10 −3e 53. Sea f: h; → h dada por f�%, �, j� = 15% + %� − 4%- − 2�- − j- + 2�j + 7.Determine el hessiano.

54. El determinante jacobiano de la función f: ℝ; → ℝ; definida como:l�%�, %-, %;� = �5%-, 4%�- − 2m\��%-%;�, %-%;� es

55. Sea f: h- → h dada por f�%, �� = 560% + 520� − 2%- − 2%� − 2�-.Determine la matriz hessiana.

56. La matriz es positiva semidefinida, pero no positiva definida:_ = X3 00 0Y.Verifica que _ es positiva semidefinida.

57. Verificar que la función f: h; → h dada por f�%, �, j� = 15% + %� − 4%- − 2�- − j- + 2�j + 7 es estrictamente cóncava.

58. Encontrar los valores propios y vectores propios de las matrices:_ = X 3 4−1 7Y , _ = X−2 14 1Y, _ = X1 −11 1 Y.

59. Calcular _-. Suponga que _ es una matriz cuadrada _ = X−2 4−1 3Ysatisface _- − _ − 2n = 0.

60. En el ejercicio anterior calcular _o, si p = 6.

61. Un número compuesto de dos cifras cuya suma es 11; cuando se invierte el número, entonces el número resultante excede en 5 al triple del número dado. Se pide:

Plantear el problema y expréselo como un sistema de ecuaciones; escribe el sistema en forma matricial; resuelve el sistema utilizando el método de Gauss - Jordan, y obtenga el número pedido.

62. Halla la ecuación matricial, del modelo de Renta Nacional simple con dos variables endógenas Y y C

q = r + nT + sT

r = t + uq.

63. Suponga que en una economía existen solo dos industrias, cuya interacción se resume en la tabla

Insumos de la industria I

Insumos de la industria II

Demandas finales Producción total

Producción de la industria I

240 750 210 1200

Producción de la industria II

720 450 330 1500

Insumos primarios 240 300

Obtenga la matriz de insumo – producto Determine la matriz de producción si las demandas finales cambian a 312 unidades en la industria I y a 299 unidades en la industria II. Cuáles son los nuevos insumos primarios correspondientes?






240 750 210 1200


720 450 330 1500

Insumos primarios 240 300 Insumos totales 1200 1500

Para su producción la industria I necesita 240 unidades de su propio producto, 720 unidades de la industria II y 240 unidades de insumos primarios, por lo que necesita en total 1200 unidades de insumos. Además su producción la reparte en 240 unidades para consumo propio, 750 que vende a la industria II y 210 unidades que vende en otra parte y se le llama demanda final. Análogamente puede analizarse para la industria II. Supongamos también que un estudio de mercado predice que seis (6) años la demanda final de I, crecerá de 210 a 312 unidades y que la demanda de II se reducirá de 330 a 299 unidades. Cuáles deben ser los nuevos niveles de producciones en cada industria?

Nota: Las dos industrias no operan independientemente, por lo que la producción de I depende de la producción final de II y viceversa.

A) Halle las ecuaciones que representan la Producción de cada una de las industrias B) Obtenga la matriz de Insumo – Producto

C) Determine la matriz de producción si las demandas finales cambian a 312 unidades en la industria I y a 299 unidades en la industria II.

D) Cuáles son los nuevos insumos primarios correspondientes? 65. La ecuación diferencial �� "#, tiene por solución general:

a. � � "# � � b. � � �-"# � ��% c. � � "# � ��% � �- d. � � "# � �% e. N.A

66. La ecuación diferencial de variables separables es:

a. m\�%$% � w1 � ��%x$� � 0 b. �1 � %��$� � �% � 2��$� = 0 c. �% + 3��$% + ��; − 1�5$� = 0

d. �% − 9��$ + 15#� = 0

e. X% − �- �Y $% + �5% − 2��$� = 0

67. La solución general de la ecuación diferencial �� = � es:

a.� = �"5

b.� = #�- + �

c.� = �"#

d.� = 5�- + �

e. N.A

68. La solución general de la ecuación diferencial 1#1� = z% es:

t. % = �"{� u. % = �%�{�

�. % = (-2 + �

$. % = (- + �

f. N.A 69. Si la rapidez con que crece una población de bacterias es proporcional al número de bacterias presentes, la ecuación diferencial que permite plantear el problema es:

a.121# = z(

b.121# = −z(

�. 121# = z3

$. 121# = −z3

e.N.A

70. La Elasticidad de la demanda de cierto artículo está dada por −2 3⁄ . Determine la relación de demanda | = f�%�, si

| = 2 cuando % = 4. Nota ∈= ~ #�1~ 1#� .

a.|- = -/�#�

b. |- = -/#�

c. |- = /�#�

d. |- = -�#�

e. �. _

71. Sea Y la oferta de un cierto producto y � el precio unitario de venta, la razón a la que cambia la oferta respecto al precio viene dada por la ecuación �� + �� − �� + �� = >. Hállese la oferta en función del precio, sabiendo que para � = �u.m e � = �> unidades.

a.� = �� + ��

b. � = �� + �

c. � = �� + ��

d. � = �� + ��

e. N.A

72. El costo promedio marginal �r3��de cierto producto está dado por 0,01 − /TT#� . Si tiene un costo de 2300 euros

producir 200 unidades, determine la función de costo.

a. � = 0,1%- + 7% + 500 b. � = 0,01%- − 7% + 500 c. � = 0,01%- + 7% + 500 d. � = 0,01%- + 7% − 500 e. N.A

73. Si 1~1# = �

√-�# siendo | = 2t cuando% = �- t; , halle el valor de | si % = 2t;

a.t b.−3t c.−t d.3t e. N.A

74. Si la demanda de un producto es de x unidades cuando el precio es p(u.m), obtenga una ecuación en términos de p y de x( ecuación de demanda) del producto si la función de ingreso marginal es 4 + 10�% + 5��-.

a.| = 4 − �T#�#�/� − -

#

b. | = 4 + �T#�#�/� − -

#

c. | = 4 − /#�#�/� − -

#

d. | = 4 − /#�#��T� − -

#

e. N.A 75. La aceleración �t� de un móvil en el instante ( es 3 � 0,5(. Determine la velocidad en cualquier instante ( si la velocidad inicial es 60.

a. � = 3( + T,/- (- + 60

b. � = ( + T,/- (- + 60

c. � = 3( − T,/- (- + 60

d. � = 3( + T,/- (- − 60

e. N.A 76. Un tanque lleno de agua es drenado desde el fondo, con una rapidez de drenado dada por

�N�� = −250 �1 − (40� �. |. p. Encuentre el volumen N�� del agua en un tiempo � sabiendo que inicialmente había 5000 galones

a. �� = −250 �( − ��T − 20�

b. �� = 250 �( − ��T − 20�

c. �� = −250 �( + ��T − 20�

d. �� = −250 �( − ��T + 20�

e. N.A

77. Encontrar la curva de indiferencia asociada a la función de utilidad dada

� = 30%� ;⁄ �- ;⁄ hT = 20.000; 3# = 500 35 = 800

78. Hallar las utilidades marginales de la pregunta 77: �o�# = ��# ; �o�5 = ��

�5

79. Hallar la T.M.S.B.T de la utilidad de la pregunta 78.

80. Un propietario desea encerrar un área rectangular de 800 metros cuadrados en su finca. Tres lados tendrán malla de alambre y el otro será de ladrillo. Los costos de la malla de alambre son de $8 el metro; el ladrillo cuesta $24 el metro. Con que dimensiones se minimizara el costo? ( dos métodos diferentes).

a. % = 20; � = 40 b. % = 40; � = 20 c. % = 20; � = 20 d. % = 40; � = 40 e. N.A

81. Minimiza la función f�%, �� = 3%-+8�- + 5%� sujeta a la restricción % + � = 48. a. 6681 b. 6816 c. 1866 d. 8168 e. N.A

82. Las derivadas Parciales Primera y Mixta para j = 5%; + 3%� + 2�/es:

a.33 b.3

c.11 d.31 e.N.A

83. La integral iterativa de : : : %$j5T $�$%#T-T es:

a.4

b.2

�. 1

d.3

e.N.A

84. Resuelve la ecuación por el método de los coeficientes indeterminados �� + 4�� − 2� = 2%- − 3% + 6.

a. � ��√?�� − ��√?�� − �� − � � − F

b. � ��√?�� + ��√?�� + �� − � � − F

c. � ��√?�� + ��√?�� − �� − � � − F

d. � ��√?�� + ��√?�� − �� + � � + F

e. N.A

85. Si �� = 4, �- = �; = −5 son las raíces de la Ecuación Características de una E.D.H con coeficientes constantes, cómo es la solución general y cuál es la ecuación?

a. b. c. d. e. N.A

86. Resuelva y convierta una ecuación de orden 2 con coeficientes constantes a la forma line �� − �� − 6� = 0, ��0� = 3; ��0� = 0

a. ��(� = �/ "� X13Y − 7

/ "�� X 1−2Y

b. ��(� = �/ "� X13Y − 7

/ "�� X 1−2Y

c. ��(� = �/ "� X13Y + 7

/ "�� X 1−2Y

d. ��(� = �/ "� X13Y − 7

/ "�� X 1−2Y

e. N.A 87. Dada la E.D �� − 3�� + 2� = 4%- Resuelva por variación de parámetros

a. � = �� + �G = � �� + �� + �� + ?� + �

b. � = �� + �G = � �� + �� + �� − ?� + �

c. � = �� + �G = � �� + �� − �� − ?� + �

d. � � �� G � � �� ?� � �

e. N.A

88. Dada la E.D �� 0 si �� m\�% .Encontrar la segunda solución linealmente independiente.

a. �- � ��m%

b.�- � ��m%

c.�- � 3��m%

d. �- = −4��m%

e. N.A

89. En qué tiempo un capital, al 7% anual compuesto se triplica. Con r�� = r�T� X1 + �% ��Y��

a.1

b.− ��;��,T��

c.��;

��,T��

d.��,T��

��;�

e. N.A

90. En cuantos años se duplicara la población de un país si crece a una tasa anual del 2.5%.

a. ( = KL�>.�

b. ( = KL�>.>�

c. ( = KL��

d. ( = KL�>.>>�

e. N.A 91. Si el interés es capitalizado continuamente determine, la cantidad A de que dispone a los 10 años si se depositan U$5000 al 4% .

a. U$746

b.U$7.460

c. U$74.600

d.U$7.46

e. N.A

92. Si deseo que mis inversiones rindan una tasa real del 8% y la inflación estimada es del 25%, a que tasa debo invertir?

a. , % b. %

c. 0,0 % d.0, % e. N.A

93.Una persona debe pagar$10,000 con vencimiento en 3 meses sin intereses;$15,000 en 10 meses con intereses del 20% CT y $50,000 con vencimiento en 15 meses e intereses del 30%CS.Si se van a cancelar con un solo pago, en el mes 12, hallar el valor del pago, suponiendo un rendimiento del 24%CM.

a. $F1, �. � b. $F�, �. � c. $F0, �. � d. $F, �. � e. N.A 94. Usa la ecuación matricial _� = $ y la matriz inversa para resolver la aplicación: La Cia ABC invierte un total de 30.000 dólares, parte al 6% y el resto al 9%. Los dividendos anuales de las dos inversiones son iguales a las que ganarían todo el dinero si estuviese invertido al 7%. Encontrar la cantidad invertida a cada tasa.

a.30.000; 70.000

b.20.000; 10.0000

c. 70.000; 30.000

d. 10.000; 10.000

e. N.A

95. Hallar el monto de $25.000, al 30%CS, en 3años a. $ �. !�?. � b. $ �. !�?, � c. $�. !�?. � d. $�. !�?. � e. N.A 96. Hallar el valor presente de $70.000, en 3años y 8meses, suponiendo una tasa del 32%CT a. $�. ?�>, � b. $��. ?�>, � c. $�. �?�, >� d. $�. ?�>, � e. N.A

97. Hallar la tasa nominal mensual, a la cual $30.000 se triplican en 2 años y 6 meses.

a. 4.76r� b. 44.76r� c. 44.06r� d. 44.70r� e. N.A

98. Cuanto tiempo es necesario esperar para doblar un capital al 30%CT. a. !. !� ≅ > Trimestres b. F. !� ≅ > Trimestres c. �. !� ≅ > Trimestres d. ?. !� ≅ > Trimestres e. N.A

99. Hallar una tasa mensual ordinaria la cual debe producir el mismo resultado que el 3% mensual anticipado

a. , F% EM

b. , >F% EM

c. 2, >F% EM

d. 1, >F% EM

e. N.A

100. Un depósito a término fijo en dólares paga un interés del 14%, suponiendo una tasa de devaluación del 20% hallar la rentabilidad del documento.

a. , ?!%

b. ?, !%

c. ?!%

d. 0, !%

e. N.A

101. Considera el modelo

�I�� = �

�� + � �

�� = −¡�� 2�

I�>� = I>

��>� = �>

� > >, ≥ >, ¡ > >

En donde I es el costo de operación y reparación de una maquinaria y � es su valor de recuperación. Determine � y I como funciones del tiempo � .

102. Pruebe el modelo Macroeconómico de Domar

£�(� = ¤��(� �1�

n�(� = ¥ 151� �2�

£�(� = n�(� �3�

��0� = �T, ¤ > 0, ¥ > 0En donde S es el ahorro, n,es la Inversión, � es el ingreso y cada una de estas variables endógenas es una función del tiempo.


�I�� = �

�� 1� �� = −¡�� 2�

I�>� = I>

��>� = �>Valor original

� > >, ¡ > >

En donde I es el costo de operación de un auto y � es su valor de reventa. Resuelva el modelo.


�¦�� = �� = ��

��>� = �>

¦�>� = ¦>

� > >, > >

En donde D es la deuda Nacional e � es el ingreso Nacional (ambas variables son endógenas).

105. Considere el modelo

�¦�� = �� + � �

�� = §�� 2�

��>� = �>

¦�>� = ¦>

� > >, > >, § > > , en donde D es la Deuda Nacional e � es el Ingreso Nacional.

a) Resuelve el modelo b) Determine el límite, cuando � → ∞ de la razón de la Deuda Nacional al Ingreso Nacional. R


�©�� =

�� + ª� � � � �� = �� 2� ©�>� = ©>

��>� = �>

> >, � > ª �> , en donde © es el consumo per cápita de productos y y es el ingreso per cápita. Obtenga © y y como

funciones del tiempo y determine el límite, cuando ( → ∞ de la razón del consumo per cápita de trigo al ingreso per cápita.

8.1 Definición

Si � es una función desconocida:

�: ℝ → ℝ

de % siendo ��la enésima derivada de �,entonces una ecuación de la forma

l��; �; ��; ��; … ; ��L� �� = �L es una Ecuación Diferencial 1Ordinaria ( E.D.O )de orden �.

Sabemos que una ecuación, es una igualdad en la cual interviene una cantidad desconocida. Si lo que interviene es una función desconocida, posiblemente acompañada de una o varias de sus derivadas, estamos ante una ecuación diferencial (E.D).

� Si una ecuación diferencial contiene una o más derivadas de una función de una sola variable independiente, es una ecuación diferencial ordinaria:

�� + ��´ � �� ≡ �® � ; � + �� ≡ � + �

� Si incluye una o más derivadas parciales de una función de dos o más variables independientes, se denomina ecuación diferencial parcial

¯°¯� + ¯°¯� = ��

8.2 Orden, Grado y Solución

Orden

En una ecuación diferencial es el de la derivada mayor que aparece en la ecuación. Por ejemplo, la ecuación �´´ � ��´ �� ® � es de segundo orden por que aparece una segunda derivada y también en la ecuación �´ � � � > es de primer orden por que solo aparece una derivada.

Grado

En una ecuación diferencial, se refiere a la potencia de la derivada de mayor orden que afecte a la derivada de orden L. Por ejemplo,

o �� X��Y� �� > es una ecuación diferencial de segundo orden y de primer grado y también en la ecuación

o X��Y� � � � �� es una ecuación diferencial de primer orden y de segundo grado.

Solución

1 Ordinaria: porque la función depende de una sola variable independiente.

Solucionar una ecuación diferencial, significa determinar una integral o función tal que al sustituirla en la ecuación esta se convierte en una identidad, por ejemplo, una solución de la ecuación �´ � � � > es la función � = ��. Porque al sustituirla en la ecuación diferencial resulta > = > una identidad.

8.3 Clasificación

Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O) pueden ser:

Lineales – No Lineales; Homogénea – No Homogénea; Autónoma – No Autónoma.

o Es lineal si cumple dos condiciones:

a) Si todos sus términos son lineales (de primer grado) con respecto a la variable dependiente y sus derivadas. b) Cada coeficiente depende solo de la variable independiente, en caso contrario es no lineal. c) Si ± puede ser escrita como una combinación lineal de las variables de y

��L� = ² ³�´��´� + P��L�

´µ>

siendo, tanto ³�´�� como P�� funciones continuas de x. La función P�� es llamada el termino fuente; si P�� = > la ecuación es Homogénea.

o Es homogénea si no contiene términos que dependen únicamente de su variable Independiente (x), en caso contrario es no homogénea.

o Si la ecuación no involucra explícitamente al tiempo �, decimos que es una ecuación autónoma. En caso contrario es no autónoma.

Ejemplo.1

o �� − �� + �� = �� es una Ecuación Diferencial Lineal o �� − �� + �� = > es una Ecuación Diferencial no Lineal o �� + G�� = @��L es una Ecuación Diferencial no Lineal

Ejemplo.2 Clasifica y Justifica cada una de las ecuaciones diferenciales

o �� − � = � (Lineal de primer orden, no autónoma, no homogénea) o �� = �� (Lineal de primer orden, autónoma y homogénea) o �� = �� (Lineal de primer orden, no autónoma y homogénea) o �� − �� + �� − � = > (Lineal de segundo orden, autónoma, y no homogénea) o �� − �� − �� = > (No lineal, de primer orden, no autónoma) o Las ecuaciones homogéneas asociadas a las ecuaciones no homogéneas de los ejemplos y � son %� − 5% = 0 y %� − 3%� + 2% = 0 respectivamente.

Nota: �� = ��

Ejemplo.3. Dada la E.D. �¶ ��¶�� + � �¶

�� + ¶� �¶�� = ¶�. Determine: el orden y grado de la ecuación, el tipo, además

señale las variables tanto dependientes como independientes.

Solución: orden 2 por lo de la D y de grado 1; ¶ – variable dependiente, � − variable independiente, no lineal homogénea.

Ejemplo.4. Dada la E.D. ��

�� . Determine: el orden y grado de la ecuación, el tipo, además señale las

variables tanto dependientes como independientes.

Solución: orden 3 por lo de la D y de grado 1; � – variable dependiente, � � variable independiente, no lineal no homogénea.

8.4 Prueba de una Ecuación Diferencial

En cada una de los siguientes Ejemplos se da una ecuación diferencial y su solución, y se demuestra que la solución satisface la ecuación diferencial propuesta.

Ejemplo. 1 Demuestre que � = �� + �

� es una solución de ��´ � � � ��, donde � es una constante arbitraria.

Si � � ��

�

�´ � ��

Por lo tanto en la ecuación ��´ � � � �� se tiene

�� ·�� ¸ � ��

�� es una identidad.

Ejemplo. 2 Demostrar que � � � �� es una solución de �´´ � �´ � �� > para las constantes arbitrarias � � �� y obtener una solución particular que satisfaga la condición � = �´ � cuando � = >. Si

� = � �� + ��

�´ � � �� ´´ � � � � ��

Por lo tanto

�� >

Haciendo operaciones algebraicas se tiene > � > identidad si � = �´ � cuando � � > ⇒ � � �� ; � � �� ∴ resolviendo simultáneamente �� > � � . Por lo que la solución particular es � � ��.

8.5 Solución General y Particular de una Ecuación Diferencial (E.D)

Una solución o integral de una ecuación diferencial es una función que no contiene derivadas o diferenciales, y que satisface la ecuación diferencial. Tal solución puede expresarse como una función explícita o implícita, y puede ser asimismo una solución general o particular, dependiendo de que las constantes de integración estén especificadas.

� Solución General de una ecuación diferencial de orden L es una solución que contiene L constantes de integración arbitraria e independiente. Por ejemplo, la solución general de una ecuación diferencial de L -esimo orden podría ser en la forma:

o Implícita l�%, �, ��, ⋯ , �� = 0, o en la

o Explícita l�%, �, ��, ⋯ , �� = ��L�

� Solución Particular de una ecuación diferencial es una que puede obtenerse a partir de la solución general dando valores específicos a las constantes arbitrarias de la solución general.

De modo que, ya sea en la forma implícita o explícita de la solución anterior, se obtiene una solución particular si

� , ��, … , �L tienen valores específicos.

En el ejemplo que traemos cuya solución general es

� = ��;

se tiene � = �� = �� = ��. Son soluciones particulares de la ecuación dada.

Problema de valores iniciales

Es aquel que se busca determinar una solución a una E.D, sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas, dadas para un valor de la variable independiente. Tales condiciones se denominan condiciones iniciales.

Así una condición de la forma � = �> cuando � = �>, es una condición de frontera. El caso especial de � = �> cuando � = �>, es una condición inicial.

En general, un problema de valor inicial de orden �, puede representarse por la ecuación

��L� = f�%, �, ��, ⋯ , ��

sujeta a las � condiciones

��>� � �>, ��>� = � , … , �L� ��>� = �L�

Ejercicios

Considere los problemas de valor inicial

� �� = ¼ − �� ®. ³ �� = >

� �� = ¼ − �� ®. ³ � XO

�Y =

� Encuentre @�� ®´ @�� = �� + �� − � � @�>� = �.

� Encuentre @�� ®´ @�� = �� @� � = ��.

8.6 Métodos de Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

La estructura de una ecuación de primer orden es de la forma ±��; �; �� = >

Nótese: que la facilidad para resolver una ecuación diferencial de cualquier orden y grado depende de que sea clasificada correctamente.

Métodos de solución

� VARIABLES SEPARABLES � HOMOGENEAS � E.D DE COEFICIENTE LINEALES � E.D EXACTAS � E.D LINEAL DE PRIMER ORDEN � E.D DE BERNOULLI � E.D NO LINEAL DE PRIMER ORDEN

� VARIABLES SEPARABLES

Son ecuaciones diferenciales, linéales y no lineales, que se pueden expresar en la forma

�� = $�$% = f�%, ��

Es separable si el segundo miembro de la E.D �� = f�%, ��, se puede expresar como el producto de dos funciones una que

dependa solo de la variable independiente y otra que contenga solo la variable dependiente, esto es

�� = �� = G�� ∙ ½�� (1)

Haciendo transformaciones de acuerdo con lo dicho arriba se obtiene que

��½�� = G�� (2)

De la ecuación anterior, integrando miembro a miembro, se escribe

: ��½�� = : G�� + � (3)

En donde � es la constante de integración; la ecuación (3) resultante es la integral general de la ecuación diferencial (1).

Si la E.D se presenta con las variables ya separadas en la forma:

¾�� + ¿�� = >, (1)

su integral general es

: ¾�� + : ¿�� = �.

Una vez separadas las variables, se integran ambos miembros de la ecuación y, de ser posible se despeja la variable que nos interesa.

Notas:

� No es necesario escribir la constante de integración en ambos lados de la ecuación (lo escribimos en uno solo). � En general, la constante o parámetro C es conveniente escribirla de otra manera:

�� , �� , KL� , � + ��, ⋯ , �L ≡ �

Ejemplo. 1 Determine la integral general de �� = + �

Solución: Separando variables se escribe

|�%� = 1 y

À�� = 1 + �

Entonces

$�1 + � = $%

Luego

: �� :�� ,

( � constante de integración) de donde

KL � + �� = � + �.

Esta es la integral general de la ecuación diferencial dada, pero se escribe también en la forma siguiente:

+ � = �� = �� , como � es una constante arbitraria, entonces �� es también una constante arbitraria, por esto, sea �� = �, por consiguiente + � = ��. Esta última es también solución general de la ecuación dada sin que sea diferente a la obtenida arriba por lo cual se puede usar indistintamente.

Ejemplo. 2 Hallar la solución de la ecuación diferencial �P = Á��® Â�P + P ®´L Â �Â�.

Solución: Esta ecuación también se puede expresar de la siguiente manera

�P = Á �® Â �P + ÁP ®´L Â �Â.

Asociando se obtienen

� − Á �® Â��P = ÁP ®´L Â �Â

entonces separando variables, se escribe

�PP = Á ®´L Â

�Á �® Â �Â.

Por consiguiente:

Ã �PP = Ã Á®´LÂ − Á�®Â �Â + �

de donde,

KLP = KL� − Á �® Â� + �

así se obtiene que

P = �� − Á �® Â� �� = �� → P = �� − Á�®Â�.

Ejemplo. 3 Determine la solución de la ecuación diferencial �� = − �

�

Solución:

Las variables se pueden separar en

�� = −��

Ó bien

�� + �� = >

Entonces, integrando miembro a miembro la expresión anterior, se obtiene

: �� = − : �� + � ,

Entonces

�� = − ��

� + � �� + �� = �� ,

pero como � , es una constante arbitraria, entonces �� es una nueva constante arbitraria, haciendo �� = �, se obtiene de la ecuación anterior la solución general

Ejemplo. 4 Determine la solución de la E.D �1 + %- + �- + %-�-�$� = �1 + �-�$%

Solución:


�1 + %-��1 + �-�$� = �1 + �-�$%

Ó bien

Ã $� = Ã $%1 + %-

Finalmente con la fórmula:

Ã $Ät- + Ä- = 1t t��(t� Ät + �

Se obtiene

� = t��(t�% + �

Ejemplo. 5 Determine la solución de la E.D 151# + " #�5 = 0

Solución:


$�$% = −"#�5 = − " #"5

"5$� = −"#$%

Ã "5$� = − Ã "# $%

� = <��−"# + ��

�� + �� = �.

Teorema: Si una función tiene la propiedad de que su derivada es proporcional a ella misma, con constante de proporcionalidad ³, entonces esa función es necesariamente alguna constante, multiplicada por la función exponencial con un argumento igual a veces el argumento original.

Ahora si la población de un país (ciudad, colonia de animales o de bacterias) crece con el tiempo, y su tasa de crecimiento es proporcional al tamaño que ya tenga la población. Llamemos M�� a la función que da la población alcanzada al cabo de un tiempo �; la suposición consiste en ¦M�� ÅG, donde ª es alguna constante positiva: estamos frente a una

función cuya derivada es proporcional a ella misma; por tanto separando variables e integrando se llega a M�� Æ�ª�, donde � y ª son constantes pendientes de hallar.

Siempre podemos averiguar cuál era población, llamémosla M> en cierto punto del tiempo, que podemos llamar el instante � = >, y cual era L años (días o segundos) después, llamémosla ML.

De allí obtenemos que

M�>� = M> = Æ�> = Æ

M�L� = ML = Æ�ªL = M>�ªL ∴ �ªL = MLM>

Es decir

�ª = �MLM>� L

M�� = M> �MLM>��L

Resuelve las siguientes E.D Separables:

� �� = �� ; Rta:

�� + �9��

� = �

� �� = �� + �� ⁄

con ��>� = ; Rta: � �� = √ + �� −

�

� �� = ��

��! ; Rta: X��Y = ��

� + �� = > ®. ³ ��>� = Rta: � = − �� + �

� �� + �� − � = > ®. ³ �� = � Rta: � = ��9��9�

� �� = ��®�

�� Rta: � = KL� − �� = ®´L� + �

� �� − �� − �� + �� = > Rta: � = KLw�� − �� + �x � ��

�� = �� + Rta: � = ¼�√� −

� ECUACIONES HOMOGENEAS (E.H)

Definición: La función f�%, �� se denomina homogénea de grado � con respecto a las variables % " � si para todo ( se verifica que

f�(%, (�� = (�f�%, ��

Pruebe si las funciones dadas son homogéneas y determine su grado

� @��, �� = �� + �� @��, �� = ��− �� + �� @��, �� = � + ��KL� − KL� − �

� @��, �� = ��

� @��, �� = ��

� @��, �� = ¼� + � � @��, �� = �� − � + ��

� @��, �� = � + � �� − ��

� @��, �� = �� − �� − ¼��+��.

Ejemplo. 1 f�%, �� = %- + �-

Tenemos ahora que

f�(%, (�� = �(-%- + (-�-�

(-�%- + �-�

Así, f�%, �� = %- + �- es homogénea de grado dos.

Definición: si la E.D en la forma diferencial

��%, ��$% + ��%, ��$� = 0

tiene la propiedad

��(%, (�� = (��%, ��

y

��(%, (�� = (��%, ��,

entonces decimos que es de coeficientes homogéneos o que es una E.D homogénea.

Siempre que se tenga una E. D.H podrá ser reducida por medio de una sustitución adecuada a una ecuación en variables separables.

Método de solución: una E.D.H ��%, ��$% + ��%, ��$� = 0 , se resuelve reduciéndola a una ecuación de variables

separables, usando cualquiera de las sustituciones Ç = �� o bien Ç = �

� , donde È es una nueva variable.

Nota: en la práctica sugiero utilizar

� Si la estructura algebraica de N es más sencilla que la de M, entonces conviene usar la sustitución � = È�.

� Si la estructura algebraica de M es más sencilla que la de N, entonces conviene usar la sustitución � = È�. El tener en cuenta esta observación, conduce a integrales más fáciles de calcular al resolver la ecuación

diferencial separable que se obtiene.

Ejemplo. 1

� � ��

Ó bien,

��

� (2)

Sea

�� Ç,

O

� � %Ç (u es una nueva variable).

Derivando con respecto a � se escribe

$�$% = % $Ç$% + Ç

y remplazando en la ecuación (2) se obtiene la siguiente expresión

% 1É1# + Ç = 2 − Ç,

o bien

% $Ç$% = 2�1 − Ç�

Entonces

: �È �È = : 2 ��

� .

Integrando miembro a miembro la ecuación anterior se recibe

<��1 − Ç� = −2 <� % + �� = <� %�- + ��

Ó

"��É� = "�� #9�� ⇒ 1 − Ç = �%�-, "�� #9� ∙ "�� , � = "�� (3)

Remplazando en (3) el valor

Ç = ��

se obtiene

− �� = ��.

Finalmente la ecuación anterior puede escribirse

�� − �� = �.

Esta expresión es la solución general de la ecuación (1).

Ejemplo. 2

Hallar la solución general de la siguiente ecuación �� − �� = ¼��+��.

Solución:

Transponiendo y asociando se obtiene

�� = �

� + Ê + X��Y�

,

con la transformación

�� = È.

La ecuación anterior toma la forma

È + � �È�� = È + √ + È�,

O

�È

¼ �È� = �� .

La solución de esta ecuación diferencial es

KL �È + √ + È�� = KL � + � ,

O

È + √ + È� = ��, (� = �� ).

Por esto la solución general de la ecuación dada es

�� + Ê + ��

�� = ��,

O

� � ¼�� .

Ejemplo. 3

Resolver la siguiente ecuación diferencial �� .

Solución:

Sea È � � � � � ( È es una nueva variable) entonces

�� = − �È

��.

Con la transformación anterior la ecuación dada toma la forma siguiente:

− �È�� = È�

O bien

�È�� = − È�

�È − È� = ��

Por esto

Ã �È − È� = Ã �� + �

De donde

� KL �È

�È = � + � ,

así se obtiene que

�È �È = �� = �� ∙ �� , � = �� ,

volviendo a las variables � e � se obtiene

� − � + �−� + � = �� por consiguiente

� − � + � = �� − ��.

Resuelve las E.D Homogéneas

� �� + �� ⁄ �� − �� ⁄ �� = > Rta: KL� = �� ⁄ − � �� − �� − �� = > Rta: �� + = ��

� �� + �� − �� = > con � = �È Rta: � = �¼KL��

� X� + ¼�� + ��Y �� − �� = > con � = �È Rta: � + ¼�� + �� = ��

� �� + �� − �� = > con � = �È Rta: �� − �� = � � ��KL� −�L�� = ��KL� − �KL� − �� con � = �È Rta: ��KL� − � + �� − ��KL� = ��

� �� = ��9� �⁄ ��

�� con È = �� Rta: �� ⁄ − �� ⁄ − �KL|�| = ��

� ECUACIONES DIFERENCIALES DE COEFICIENTES LINEALES �³� + Á� + �� + �� + � + §�� = > Se presentan dos casos: 1. Si �Ì, ª� es el punto de intersección entre las dos rectas:

³� + Á� + � = > y �� + � + § = >, entonces se hace la sustitución:

� = È + Ì y � = Í + ª y se consigue la ecuación homogénea

�tÇ + uÄ�$Ç + �¤Ç + ¥Ä�$Ä = 0

2. Si las rectas no se intersectan (son paralelas), entonces �� + � = L�³� + Á�� y por tanto se hace la sustitución ° = ³� + Á�, lo cual quiere decir que �� + � = L°, esta sustitución convierte la E.D en una E.D de variables separables.

Ejemplos .1

Resuelve las ecuaciones:

� �� = ��

�� ; Rta: �� + � + � = �� − � + �

� �� − �� + �� + �� − � + �� = > ; Rta: �� + � − �� = �� − � + ��

� ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS (E.D.E)

Definición: Si j = f�%, �� es una función con derivadas parciales de primer orden continuas en una región rectangular ℝ del plano ℝ-, entonces su diferencial total, denotado por $j o $f, se define como

$f = �Î�# $% + �Î

�� $� es la diferencial total de f;

pero si j = � = f�%, �� familia de curvas uniparametricas en ℝ-�en donde � es una constante, entonces �Î�# $% +

�Î�5 $� = 0 , de modo que la solución de la ecuación diferencial $f = 0 esta dada implícitamente por

f�%, �� = c

Definición: la forma diferencial ��%, ��$% + ��%, ��$� también es una diferencial exacta en una región ℝ del plano ℝ-

si corresponde a la diferencial total de alguna función f�%, �� = �

Teorema Criterio para E.D.E

Si ��%, �� y ��%, �� son continuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en una región ℝ del plano ℝ-, entonces la condición necesaria y suficiente para que la forma diferencial ��%, ��$% + ��%, ��$� sea una diferencial

exacta es que �Þ�5 = �ß

�# .

Demostración: como ��%, ��$% + ��%, ��$� es una diferencial exacta, entonces existe una función f�%, �� tal que:

��%, ��$% + ��%, ��$� = àfà% $% + àfà� $� = $f�%, ��

Luego

��%, ��

y

��%, ��

Por lo tanto,

à�à� = à-fà�à% = à-fà%à� = à�à%

La igualdad entre las derivadas cruzadas se produce por que � y � son continuas con derivadas de primera orden continua.

Método:

Dada la ecuación ��%, ��$% + ��%, ��$� = 0, hallar una función f�%, �� = � tal que

�Î�# = � y

�Î�5 = �

i. Comprobar que es exacta, es decir, verificar que ¯¾̄� = ¯¿¯�

ii. Aplica el algoritmo solución : � = �á

�# y � = �á�5

o : ¾ �� = @ ��, �� + Ì�� o : ¿ �� = @ ��, �� + Ì��

Ejemplo.1 Resuelve las ecuaciones aplicando el algoritmo solución

� Resolver la ecuación �� + �� − �� = > � Resolver la ecuación �� − ��®�� + �� − ��®�� + �� = >

¯¯� �¾� = �� = ¯

¯� �¿� Exacta

o : �� = �� + Ì�� o :�� − � �� = �� − � + â��

Luego

@ ��, �� = �� − � = �

O

�� − � = �

¯¯� �¾� = �� − �®�� + ��®´L�� = ¯

¯� �¿� Exacta

o :�� − ��®�� = �� − ®´L�� + Ì�� o :�� − ��®�� + �� = �� − ®´L�� + �� + â��

Luego

@ ��, �� = �� − ®´L�� + �� = �

O

�� − ®´L�� + �� = �

Ejemplo.2 Resolver f�%, �� = %. + 3%-�- + �; = �,

entonces

$f = 0 , es decir

�4%; + 6%�-�$% + �6%-� + 3�-�$� = 0,

o bien

$�$% = − 4%; + 6%�-6%-� + 3�-

Nótese que la E.D no es separable, ni tampoco homogénea, se dice que es exacta y su solución es

%. + 3%-�-+�; = �

Escribimos la E.D en su forma diferencial, ��%, ��$% + ��%, ��$� = 0,

�6%-� + 3�-�$� = −�4%; + 6%�-�$%

�6%-� + 3�-�$� + �4%; + 6%�-�$% = 0

Esta es una E.D Exacta porque

��5 �� 12%� = �

�# ��,

luego, existe una función f tal que

àfà% = � = 4%; + 6%�-

Integrando respecto a %

f�%, �� = Ã�4%; + 6%�-�$% + ℎ��, Es decir

f�%, �� = %. + 3%-�-+ ℎ��, Donde ℎ�� es una función que depende solo de �, derivando parcialmente respecto �

àfà� �%. + 3%-�- + ℎ�� = 6%-� + ℎ��

Pero sabemos que

�Î�5 = ��%, �� ,por lo que

6%-� + ℎ�� = 6%-� + 3�-

ℎ�� = 3�-

De esta ecuación resulta

ℎ�� = �; + ��

luego, sustituimos el valor de y en f�%, �� = %. + 3%-�-+ ℎ��, obtenemos

f�%, �� = %. + 3%-�-+�; + ��, Finalmente, teniendo en cuenta que f�%, �� = ä da la solución implícita, obtenemos

%. + 3%-�-+�; + �� = ä

%. + 3%-�-+�; = ä − ��

%. + 3%-�-+�; = �

Ejemplo. 3

Resolver la ecuación �� + �� + �� + �� = >

Solución: ¯

¯� �¾� ≠ ¯¯� �¿� no es exacta por que

¯̄� �¾� = � + ��; ¯̄� �¿� = �� + �

El factor integrante:

�:¯̄��¾�� ¯̄��¿�

¿ �� = �:�� = �

Luego multiplicamos toda la ecuación dada por el factor integrante

�æ�� + �� + �� + �� = >ç y resulta

�� + �� + �� + �� = >

hacemos la prueba con esta nueva ecuación:

¯¯� �¾� = ¯

¯� �¿� por que ̄̄� �¾� = �� + ��; ¯¯� �¿� = �� + ��

¯̄� �±� = �� + �� ∴

±��, �� = Ã ¾�� + Ì�� = Ã�� + �� + Ì�� = �� + �� + Ì��

¯̄� è�� + �� + Ì��é = � + ��

Ì�� = > ∴ Ì�� = ª

Luego

±��, �� = �� + �� + ª; �� + ��

� = �

Resuelve las siguientes E.D.E:

� �� = �� ; Rta:

�� + �9��

� = �

� �� = �� + �� ⁄

con ��>� = ; Rta: � �� = √ + �� −

�

� �� = ��

��! ; Rta: X��Y = ��

� �

�� − � �� = > ; Rta: � = � � �� = −��.

� �� + �� + �� + �� = > Rta: �� + �� = �

� �� + �� + �� + �� = > ; Rta: �� + �� = � � �� − �� + �� = > con ��>� = ? ; Rta: �� − �� − ? = >

� ECUACION DIFERENCIAL LINEAL (E.D.L )DE PRIMER ORDEN

Una Ecuación Diferencial Lineal (E.D.L), es lineal si lo es en todas sus derivadas y también en su variable dependiente.

Usualmente una E.D.L Ordinaria de orden L se presenta en forma polinomica,

³L�� L��L � ³L� �� L9 ��L9 �⋯�³ �� ³>�� â��. (3)

La linealidad quiere decir que todos los coeficientes sólo son funciones de � y que � y todas sus derivadas están elevadas a la primera potencia. Entonces, cuando � � 1, la ecuación es lineal y de primer orden.

La ecuación diferencial lineal de primer orden , tiene la forma general

³ �� ³>�� @�� Dividiendo entre ³ ��, resulta la forma más útil

$�$% � w3�%�x� � ê�%�

Son ejemplos de E.D.L

o �� > E.D.O Lineal de primer orden o �� > E.D.O Lineal de segundo orden

Son ejemplos de E.D.O NO lineal:

o �� o �� o �� o �� ®�

Definición: Una ecuación diferencial de primer grado, de la forma

³ �� ³>�� â�� (3) es una ecuación lineal.

Cuando â�� = 0 , la ecuación lineal es homogénea en cualquier otro caso, es no homogénea.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN Y GRADO

Al dividir toda la ecuación anterior por ³ ��, se obtiene la forma estándar de una ecuación lineal:

o La ecuación es de primer grado en y: ��, por lo tanto es de la forma

�� + wM��x� = ë��

o La ecuación es de primer grado en x: ��, por lo tanto es de la forma

�� + wM��x� = ë�� (2)

Debemos hallar una solución de (2) en un intervalo I, sobre el cual las dos funciones M y ë sean continuas.

Teorema Si las funciones M y ë son continuas en �t, u� que contiene el punto �T, existe entonces una función f que satisface la ecuación diferencial

151# + w3�%�x� = ê�%�, para % ∈ �t, u� que cumple la condición inicial ��%T� = �T

Propiedad El lector puede comprobar por sustitución directa que la ecuación diferencial (2) tiene la propiedad de que su solución es la suma de las dos soluciones, � = �Ì + �G donde

o �Ì es una solución de la solución homogénea asociada o �G es un solución particular de la anterior no homogénea

� METODO DEL FACTOR INTEGRANTE : (F.I)

�� + 3�%� � = ê�%�

∋ Ç ∈ Ç�%�: Ç�%�w�� 3�%� �x = $$% wÇ�%� ∙ �x

Ç�%�� + 3�%�Ç�%�� = Ç��%�� + Ç�%� ��

$Ç$% = 3�%�Ç�%�

Ã $ÇÇ�%� = Ã 3�%�$%

Ç�%� = ": 2�#�1# Factor integrante (F.I)

El método sigue los siguientes pasos:

� Se convierte a la forma de (2); esto es, se hace que el coeficiente de ��

�� sea la unidad.

� identificar quien es M�� M�� y definir el factor integrante (F.I): �: M�� : M��

� La ecuación obtenida en el paso I) se multiplica por el factor integrante

l. nw�� + 3�%� � = ê�%�x

l. nw%� + 3�� % = ê��x � El lado izquierdo de la ecuación obtenida en el paso tres es la derivada del producto del factor integrante por la

variable dependiente, y; esto es,

$w�l. nx = l. n ê�%� � $w%l. nx = l. n ê��

� Se integran ambos lados de la ecuación obtenida en el paso cuatro

Ã $w�l. nx = Ã l. n ê�%�$%

o

Ã $w�l. nx = Ã l. n ê��$�

Finalmente, se obtiene

��#� � 1l. n wl. nê��$% � �x

o

%�5� � 1l. n wl. nê��$� � �x

La cual llamaremos solución general S.G

Ejemplo. 1

Resolver el problema de valor inicial � �� , �� >

Solución: escribimos la ecuación en la forma ��

� � � �, y vemos que M�� , es continua en cualquier intervalo que

no contenga al origen. Envista de la condición inicial, resolveremos el problema en el intervalo �>,∞�. El factor integrante es

�:�� ⁄ � �KL� � �, y así

�� w��x � � que equivale a �� .

Despejamos y y llegamos a la solución general

� � � � ��

Pero�� > implica que � � � ; por consiguiente, la solución particular es

� � � � � > í � í ∞ .

La gráfica de la solución general, como familia mono paramétrica de curvas, se presenta en la Figura 8.01. La solución particular del problema de valor inicial se indica como la línea gruesa en la gráfica.

Figura 8.01

Ejemplo. 2

Dada la Ecuación ��

� � � ��

Sea M�� , ë�� entonces

�:M�� :�� KL� � � y ��:M�� .

Por tanto la solución general de la ecuación dada es

� � � �� :��

o bien

� � � �� .

Ejemplo. 3

��

Esta ecuación no tiene la forma de la ecuación diferencial (2), pero puede transformarse de manera que toma la forma

��

�� .

Como esta ecuación es del tipo

�� M�� ë��.

Sea M�� y ë��

Entonces

:M�� : �� KL ��.

Aplicando la formula se obtiene la solución que de la ecuación dada

� = �KL �� + Ã ��KL ��

= �� + Ã ��

Ó bien,

� = �� X� + � ��Y.

Nota: El método que considera la constante de integración de la solución (4) como una función de � (para hallar la solución de la ecuación cuando ë�� ≠ >), se llama método de Variación de Parámetro y es empleado frecuentemente en la solución de ecuaciones diferenciales lineales de diverso orden.

� METODO DE VARIACION DE PARAMETRO O DE CONSTANTES

Es un método general para resolver E.D.L NO Homogéneas. Para E.D.L NO Homogéneas de primer orden usualmente es posible encontrar soluciones por el factor integrante o por coeficientes indeterminados, este solo se aplica a una clase restringida de ecuaciones. No obstante, la ventaja consiste en que, cuando este es el pertinente, por lo general es más fácil de emplear que los otros métodos.

�� + 3�%� � = ê�%�

ê�%� = 0

�� + 3�%� � = 0

$�$% = −3�%� �

Ã 1� $� = Ã − 3�%�$%

<�� = Ã −3�%�$% = − Ã 3�%�$%

� = "� : 2�#�1#

Supongamos que:

� = Ç ∙ Ä

Es solución de

�� + 3�%� � = ê�%�,

Entonces,

�� = Ç� ∙ Ä + Ç ∙ Ä�

Reemplazamos en la E.D.L

Ç� ∙ Ä + Ç ∙ Ä� + 3�%� wÇ ∙ Äx = ê�%�

ÄwÇ� + 3�%�Çx + Ç ∙ Ä� = ê�%�

Ç�%� ∙ Ä� = ê�%�

Entonces,

$Ä$% = ê�%�

Ç�%� ∴ Ä = Ã ê�%�Ç�%� $%

Si Ç�%� = "� : 2�#�1#

� = Ç�%� ∙ Ä�%� La solución es

� = "� : 2�#�1# : î�#�É�#� $%,

esta solución particular es

� = "� : 21# Ã�ê�%�": 21#�$%

Ejemplo. 4

Resolver la ecuación �� + �# � = 3��%�2%� es lineal

�� + 3�%� � = ê�%�,

Aplicando el método de variación de parámetros

� = Ç�%� ∙ Ä�%� Ç�%� = "� : 2�#�1#

Ç�%� � ":��# 1# � %�� Ä�%� � Ã�ê�%�":21#�$%

Ä�%� � Ãw3��m�2%�x%$%

Ä�%� = 3 Ã %��m�2%�$%

La solución es

� = 32 m\��2%� + 34% ��m�2%� + �%

Resuelva las siguientes E.D.L

� �� − �� = � � �� + �� = ë��; ��>� = > para

a) ë�� = ; b) ë�� = > � �� + �� = �� si �� = � � �� + �� = ®´L�

� �� − �� = ��®´L�

� �� = ��

� �� − � = �� >� =

� ECUACION DIFERENCIAL DE BERNOULLI Existen ecuaciones diferenciales que no son lineales pero que se pueden transformar en lineales. Una de estas es la denominada Ecuación de Bernoulli.

Una ecuación de Bernoulli es de la forma,

151# + �3�%� = ��ê�%� �2�

o bien,

�� + �M�� = �Lë�� donde L es cualquier número real, L ≠ > y L ≠ .

La ecuación diferencial �� + M�� = ë��L, es la Ecuación de Bernoulli. Obsérvese que cuando L = > o � = 1, la

ecuación (2) es una ecuación lineal. Además si � = 1 se puede resolver mediante separación de variables.

El método para reslver una ecuación de Bernuolli consiste en trasnformarla en una E.D lineal mediante un cambio de

variables,por la sustitución © = � �L reduce cualquier ecuación de Bernoulli a la forma lineal.

Puede hacer lineal en �L� �L� como resultado de multiplicar por

� − L��L, o por

� − L��L , respectivamente.

Método consiste en:

� Dividir para �L ��

�L + M�� L = ë��L�L

��L + M�� L = ë�� Cambio de variable: © = � �L

Además, derivando la nueva variable con respecto a x. se obtiene: �©�� = � − L�� L� ��

�©�� = � − L��L ��

�� = � − L��L�©��

Al realizar las sustituciones necesarias y simplificando resulta: ��L + M�� L = ë�� L

� − L� �©�� L + M��© = ë�� L

� − L� �©�� + M��© = ë��

La última ecuación es lineal con respecto a la nueva variable © �©�� + � − L�M��© = � − L�ë��

� Encontrar ©�� Encontrar ��, empleando el cambio de variable utilizado.

La solución general de la ecuación de Bernoulli es:

� �L�:� �L�M�� = Ã� − L�ë��:� �L�M�� + �

Ejemplo1:

Dada la ecuación

�� + ��³L �� = −

�® � �

No es una ecuación diferencial lineal por lo que el segundo miembro contiene a �; sin embargo, y con ayuda de una transformación, se puede obtener una ecuación diferencial lineal. Para esto es conveniente escribir la ecuación en la forma

�

�� ³L �

�� = − �® �

Sea © = �� entonces

−�� = �©

�� .

De acuerdo con esto se recibe la transformada en (11), a saber

�©�� − � �³L �© = �

ïðñ �

Como la expresión (12) es una ecuación diferencial lineal su solución general es

© = �® �� + � ®´L ��

y por esto

�� = �® �� + � ®´L ��

o bien,

�® �� = �� + �®´L ��.

Ejemplo2:

Resuelva la ecuación �� + �� = ��

Solución: se transforma en �� − �� = −��, → ��

�� − �� = −��

Forma Bernoulli

�� + M�� = ë��L

de donde

M�� = −�� ; ë�� = −��, L = �; © = � �L

→ © = �� en (16)

�È�� + � − L�M��© = � − L�ë��

↔ �È�� + �� © = ��ecuación lineal

�: �� = �KL� = � F.I

� �©�� + © = � → �� ∙ ©� = X �Y → �© = Ã � �� = K�� + �

Como

© = �� → � ∙ �� = KL� + KL� = óô�� ∙ �� , → �KL�� = �.

Ejemplo.3:

Encontrar la solución de �� + �� = ��

Solución: Sea L = − y usar la sustitución © = ��entonces ©� = ��. Al multiplicar la ecuación original por ��se produce (�� + �� = ��) �� = �� + �� = ��

.

La ecuación lineal:

©� + M��© = ë�� ↔ ©� + ��© = ��.Esta ecuación es lineal en õ .

Mediante

M�� = ��

se recibe

: M�� = : �� = ��.

Lo cual implica que el factor integrante es ��al multiplicar la ecuación lineal por este factor se recibe

©�� + ��©�� = ��.

Se escribe el miembro izquierdo como la derivada de un producto:

�� æ©��ç = ��

.

Integrar cada miembro:

©�� = : �� = �� + �.

Dividir cada miembro por

��: © = �� + ��

.

Al sustituir © = ��, la solución general es:

��=�� + ��

Resuelva las siguientes E.D de Bernoulli

� �� − � = �� Rta: � = �

��9��

� ��?�� − � − �� + �� = > Rta: � = Ê �?��9�

� �� = �

�� Rta: � = ��

� �� = �� − �� >� = > ö÷ø: �� = �� +

� �� − �� = � �⁄ �� ö÷ø: � �⁄ = �� + �� ⁄

� �� ö÷ø: ù = �KL�� = + ��

� � �� + �� = �� ⁄ ö÷ø: �� ⁄ �� ⁄ + ?

� �� ⁄ = �

� E.D NO LINEAL DE PRIMER ORDEN � Misceláneas de Ecuaciones Diferenciales

Como no existe un método general para resolver E.D; recomiendo, primero indagar, si la ecuación dada corresponde a alguno de los tipos estudiados: separable, homogéneas, exactas, lineal, Bernoulli y posteriormente aplicar el método de solución correspondiente.

No obstante algunas ecuaciones pueden resolverse por varios de los métodos vistos en la sección anterior.

Ejemplo: De cuantas formas diferentes se puede resolver la E.D �2% + %�-�$% + �4% + %-��$� = 0

� Separables � Homogénea � Exactas � Lineal

� Bernoulli

� Cambios de Variables Diversos

El cambio de variables es una idea general y se usa para tratar de encontrar soluciones de E.D. sin embargo, deseo enfatizar que no hay un método general para proponer cambios de variables.

Ejemplo: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales

� �� = �� − � + �� Rta: � − � + � = �� − ��

� �� + �� = KL�

� Rta: � = � KL ��

� �KL� − � + ��

� �� + �KL� = �� Rta: � = � ��9�

� �� = � + ¼� − �� + Rta: � = �� − + X�

� + �Y�

8.7 Modelado con Ecuaciones Diferenciales

La razón por la cual se resuelve una E.D es plantear un caso problema de la vida cotidiana. A continuación se resuelven los siguientes problemas de aplicación.

Ejemplo.1

Supongamos que un país tenía en FF� y �>>> , > y ? millones de habitantes respectivamente. Se desea saber cuántos habitantes tendrá en �>��.

Solución:

M> = >

L = �>>> − FF� = !

ML = ?

� = �>�� − FF� = >

M� >� = > �?>� >! = > ∙ , �?,� = F, ! millones

Por medio de transformaciones adecuadas algunas ecuaciones diferenciales se pueden convertir en ecuaciones diferenciales de variables separables como se verá en el siguiente ejemplo.

Ejemplo. 2

En cuantos años se duplicara la población de un país si crece a una tasa anual del ª%

Solución:�M�� = ªM ⇒ �M

�M = ª�� ⇒ : �M�M = ª : �� ⇒ KL�M� = ª� + � ⇒⇒ �KL�G� = �ª�� = �� ª� luego M�� = M� =

Æ�ª� si � = >, → M�>� = Æ�ª�>� ⇒⇒ M�>� = � ⇒ M� = M>�ª� ; si M�� = �M> ⇒⇒ �M> = M>�ª� ; � = �ª� ⇒ KL� =ª� ∙ KL� ⇒⇒ � = KL�

ª% es el tiempo que se duplicara la población.

Una ecuación diferencial lineal de segundo orden para una función % = %�(� es una ecuación de la forma %�� + t�(�%� + u�(�% = f�(� �1�

donde t�(�, u�(� y f�(� son funciones dadas, definidas en un intervalo I. Cuando f�(� es la función nula, es decir �f�(� = 0� se dice que �1� es una ecuación lineal hhhhomogomogomogomogééééneaneaneanea HHHH, mientras que cuando f�(� no es idénticamente cero, �f�(� ≠ 0�, se llama no no no no hhhhomogomogomogomogééééneaneaneanea NHNHNHNH . Algunos ejemplos de ecuaciones lineales de segundo orden son

� �� + ©� = > Movimiento armónico simple � �� +

� �� + ��L�� = > Ecuación de Bessel,

� �� + �� + G�G� �

�� = > Ecuación de Legendre � �M

�� = ªM X − M�>>>Y , �> ≤ M ≤ �>>> Tasa de crecimiento

� �� = ª��¾ − ��, Ecuación logística

La primera es un ejemplo de ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Las dos últimas son ejemplos de ecuaciones lineales con coeficientes variables. � Ecuaciones Lineales Homogéneas

En general, una ecuación lineal de orden L de la forma

³L�� L��L � ³L� �� L9 ��L9 �⋯� ³ X��Y � ³>�� > �� se llama hhhhomogomogomogomogéééénea,nea,nea,nea, mientras que una ecuación

³L�� L��L + ³L� �� L� ��L� + ⋯ + ³ �� + ³>�� = â�� donde â�� no es idénticamente cero, se llama no no no no hhhhomogomogomogomogééééneaneaneanea.

o Es un ejemplo de ecuaciones lineales de segundo orden y homogénea �� + �� + � = > o Un ejemplo de una ecuación diferencial de tercer orden, lineal y no homogénea �� + ?�� + >� = ��

En este contexto, la palabra homogénea no indica que los coeficientes sean funciones homogéneas, como sucedía en la sección 6.5.2. Para resolver una ecuación lineal no homogénea como la �3�, en primera instancia debemos resolver la ecuación homogénea asociada �2�. Principio de Superposición, Ecuaciones Homogéneas TTTTeorema:eorema:eorema:eorema: sean � , ��, ⋯ , �ª Soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden L, cuando �2� está en el intervalo I. La combinación lineal � = � � �� + �� + ⋯ + �ª�ª��,en donde las �´, ´ = , �, ⋯ , ª son constantes arbitrarias, también es una solución cuando � esta en el intervalo. EjEjEjEjemplo.1emplo.1emplo.1emplo.1 Las funciones � = �� y �� = ��KL� son soluciones de la ecuación lineal homogénea ��−�� +�� = > para % en el intervalo �>, ∞�. Según el principio de superposición, la combinación lineal � = � �� +��KL� también es una solución de la ecuación en el intervalo. La función � = �� es una solución de ��−F�� + �� = >. Como la ecuación diferencial es lineal y homogénea, el múltiplo constante � = �� también es una solución. Cuando � tiene diversos valores � = F�� = > � = −√ �� , . . . son soluciones de la ecuación. Para estudiar ecuaciones diferenciales lineales de orden �, recordamos dos conceptos básicos

o Dependencia e Independencia Lineal DDDDefunciónefunciónefunciónefunción: se dice que un conjunto de funciones, @ �� + @�� + ⋯ + @L�� es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes no todas cero, tales que � @ �� + ��@�� + ⋯ + �L@L�� = > para toda � en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente, es decir, si las únicas constantes para que se cumpla la combinación lineal para toda � en el intervalo son � = �� = ⋯ = �L = >.

EjEjEjEjemplo.1emplo.1emplo.1emplo.1 Las funciones @ �� = �®�� , @�� = ®´L�� , @�� = ®�� , @�� = �³L�� son linealmente dependientes en el intervalo X− O

� , O�Y porque � �®�� + ��®´L�� + �®�� + ��³L�� = >, cuando � = �� =

, � = − , � �� = . Hemos aplicado �®�� + ®´L�� = y + �³L�� = ®��. Sabemos que un conjunto de funciones, � @ �� + ��@�� + ⋯ + �L@L�� es linealmente dependiente en un intervalo si se puede expresar al menos una función como combinación lineal de las funciones restantes.

o Soluciones de Ecuaciones Diferenciales Lineales Ante todo, estamos interesados en las soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal. Si son linealmente independientes �L. I� las L soluciones,� , ��, ⋯ , �L de una ecuación diferencial lineal de orden L como la �2� se puede definir mecánicamente recurriendo a un determinante.

El WWWWronsronsronsronskkkkianoianoianoiano de L funciones se define como ©�� , ��, … , �L� = � � �� ⋯ �L� � �� ⋯ �L�⋮� L� ⋮��L� ⋮⋯ ⋮�LL� �

Si el wronskiano ©�� , ��, … , �L� ≠ >, entonces las soluciones � , ��, … , �L , son linealmente independientes. TTTTeorema: eorema: eorema: eorema: CCCCriterio para riterio para riterio para riterio para SSSSoluciones oluciones oluciones oluciones LLLLinealmente Independientes inealmente Independientes inealmente Independientes inealmente Independientes Sean L soluciones � , ��, ⋯ , �L, de la ecuación diferencial �2�, lineal, homogénea y de orden L, en un intervalo I. Entonces, el conjunto de soluciones es linealmente independiente en I si y solo si ©�� , ��, … , �L� ≠ > para toda � en el intervalo. De acuerdo con el Teorema, cuando � , ��, … , �L son L soluciones de �2� en un intervalo I, el wronskiano W�� , ��, … , �L� es idéntico a cero o nunca cero en el intervalo. Un conjunto de L soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden L tiene un nombre especial.

o Conjunto Fundamental de Soluciones �C.F.S � TTTTeoremaeoremaeoremaeorema: El conjunto de soluciones �� , �� se llama FUNDAMENTAL de la ecuación diferencial

�� + M�� + ½�� = >

si cualquier solución de la ecuación se puede expresar como una combinación lineal de sus dos soluciones � ^��con sus constantes apropiadas. Tanto el conjunto fundamental de soluciones como las soluciones,�� , �� C.F.S � ^�� deben ser linealmente independientes. EjEjEjEjemplo.1emplo.1emplo.1emplo.1 �� + � = > Dadas las soluciones � = ��®�, �� = −®´L�, � = �®�, �� = �®´L�, � = −�®�, �? = ®´L� Cuál de las siguientes corresponde al conjunto fundamental de soluciones?

��®�, −®´L�� es c.f.s �−®´L�, �®�� es c.f.s �®´L�, �®´L�� no es c.f.s

�−�®�, ��®�� no es c.f.s. EjEjEjEjemplo.2emplo.2emplo.2emplo.2 Sean �®´L�, �®�� o ��®�, ®´L�� diga si las soluciones son linealmente independiente. SSSSoluciónoluciónoluciónolución ©�®´L�, �®�� = !®´L� �®��®� −®´L�! = −®´L�� − �®�� = −�®´L�� + �®�� = − ≠ >. Luego ®´L� � �®� son linealmente independientes, por lo tanto �®´L�, �®�� es el c.f.s. EjEjEjEjemplo.3emplo.3emplo.3emplo.3 Determine si ��?�, �� es un c.f.s de ��−�� − �� = > SSSSolución:olución:olución:olución: Sea ��?�, �� = " �?� ��

?�?� −��" = −��−?�� = −!�� ≠ >, luego �?� y �� son linealmente independiente y por lo tanto ��?�, �� si es c.f.s.

� Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden Una ecuación diferencial lineal de segundo orden tiene la forma

%�� + t�(�%� + u�(�% = f�(� O también se puede escribir,

�� + M�� + ½�� = â�� Soluciones Constantes

� Æ �� Æ�

TTTTeorema de eorema de eorema de eorema de SSSSuperposiciónuperposiciónuperposiciónuperposición Si � ^ �� son soluciones de la E.D �� + M�� + ½�� = > entonces la función� = Æ � + Æ��también es la solución de la E.D EjEjEjEjemplo.1emplo.1emplo.1emplo.1 �� + � = > Dados $ � = ®´L�� = �®� prueba la ecuación y diga la solución general SSSSoluciónoluciónoluciónolución: � = Æ � + Æ��

� = Æ ®´L� + Æ��®� → �� = Æ �®� − Æ�®´L�

→ �� = −Æ ®´L� − Æ��®� Reemplazamos: −Æ ®´L� − Æ��®� + Æ ®´L� + Æ��®� = >

> = > Luego � = Æ ®´L� + Æ��®� es la solución general de la E.D

o Conjunto Fundamental de Soluciones Típico Es el conjunto fundamental, donde las funciones que las conforman tienen coeficiente la unidad � �. EjEjEjEjemplo.1emplo.1emplo.1emplo.1 De los conjuntos fundamentales de solución, diga cuál es típico y cual no lo es

��®´L�, �®�� no es tipico �®´L�, �®�� c.f.s típico.

EjEjEjEjemplo.2emplo.2emplo.2emplo.2 Dada la ecuación �� + � = > , el c.f.s �®´L�, �®�� y las � ^�� soluciones son linealmente independientes por lo tanto la solución es � = Æ ®´L� + Æ��®�. Como determinar comprobar si dos soluciones o funciones son linealmente independiente?

Con el Wronskiano2. TTTTeorema de eorema de eorema de eorema de ExExExExistencia y Unicidad de la istencia y Unicidad de la istencia y Unicidad de la istencia y Unicidad de la SSSSoluciónoluciónoluciónolución de una de una de una de una EEEE....DDDD....LLLL �� + G�� + ½�� = â�� si las funciones G, ½, â son continuas en un intervalo ��, �, que contiene a � = �>, entonces la ecuación diferencial tiene solución única en todo el intervalo��, � dadas las condiciones ��>� = ³ ^ ��>� = Á. EjEjEjEjeeeemplo.1mplo.1mplo.1mplo.1 Determine el intervalo de validez de la solución de �� +

�� + �� = KL� ; condiciones $ �� µ�� = − SSSSoluciónoluciónoluciónolución G�� =

�� punto de discontinuidad � = ½�� = � no hay punto de discontinuidad

â�� = KL� punto de discontinuidad � ≤ >. En la recta real se confirma que el intervalo de continuidad es

�>, �, �, +∞� Por lo tanto � ∈ �>, �. EjEjEjEjemplo.2emplo.2emplo.2emplo.2 �� + ��

� �� + ®´L�� = �

�� ; condiciones��µ SSSSoluciónoluciónoluciónolución:

G�� = �� punto de discontinuidad en � = >

½�� = ®´L�� punto de discontinuidad en � = −

â�� = �� punto de discontinuidad en � = �.

En la recta real se confirma que el intervalo de continuidad es �>, �, �, +∞�.

Por lo tanto � ∈ ��, +∞�es el intervalo de validez. 2Los determinantes Wronkianos deben su nombre a Josef Maria Hoene – Wronski (1776 – 1853), quien nació en Polonia aunque paso la

mayor parte de su vida en Francia. Hombre talentoso pero inquieto, su vida estuvo marcada por disputas acaloradas con personas e

instituciones.

TTTTeorema: eorema: eorema: eorema: SSSSoluciónoluciónoluciónolución GGGGeneral, eneral, eneral, eneral, EEEEcuaciones cuaciones cuaciones cuaciones HHHHomogomogomogomogééééneasneasneasneas Sean �� , ��, … , �L� un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden, �2�, en un intervalo I. La solución general de la ecuación en el intervalo es � = � � �� + �� + ⋯ + �L�L��, donde �´, ´ = , �, ⋯ , L son constantes arbitrarias. El Teorema establece que si �� es cualquier solución de �2� en el intervalo, siempre se pueden determinar las constantes � , ��, ⋯ , �L de tal modo que �� = � � �� + �� + ⋯ + �L�L��. A continuación demostraremos el caso cuando las ecuaciones son de � = 2 o 3. EjEjEjEjemplo.1emplo.1emplo.1emplo.1 Las funciones � = ��, � = ��, � = �� satisfacen la ecuación de tercer orden �� − ?�� + �� − ?� = >. . . . Determine la solución general de la ecuación en el intervalo �−∞, ∞�. Como ��, ��, �� = (��

�� F��( = ��?� ≠ >para todo valor real de �, las funciones � , �� forman un

conjunto fundamental de soluciones en �−∞, ∞�. En conclusión, � = Æ �� + Æ�� + Æ�� es la solución general de la ecuación diferencial en el intervalo �−∞, ∞�. Identidad de Identidad de Identidad de Identidad de AbAbAbAbelelelel3 Sirve para obtener la segunda solución linealmente independiente de la E.D.L �� + G�� + ½�� = > conociendo la primera solución: c.f.s �� , ��

�� + G�� + ½�� = > � �� − � �� = �� : G�� o o o o �� = � : �9 : G��

3 Identidad de la Ecuación Diferencial de Abel que expresa el Wronkiano de dos soluciones homogéneas de una E.D.L de segundo orden

deben su nombre a Niels Henrik Abel (1802 – 1829), Matemático Noruego, quién aprobó la imposibilidad de solucionar ecuaciones de

quinto grado con radicales.

EjEjEjEjemplo.1emplo.1emplo.1emplo.1 Obtener la segunda solución linealmente independiente de la E.D %-��−7%�� 20� � 0 si � = �� SSSSolución:olución:olución:olución: verifiquemos que �� es solución de la E.D �� = −2%�; �� = 6%�. Sustituyendo en la ecuación dada

%-��−7%�� 20� � 0 %-�6%�.� � 7�%��2%�;� � 20�%�-� � 0

6%�- � 14%�- � 20%�- � 0 0 � 0

Efectivamente �� = %�-es solución de la ecuación %-��−7%�� 20� � 0 Ahora usamos la identidad de Abel para determinarla segunda solución �- de la E.D L.I con � De la ecuación que traemos obtenemos ��− �

# �� − -T#� � = 0 de aquí en este caso |�%� = − �

# y entonces �- = �� Ã "� : ~�#�1#

��- $%

�- = %�- Ã "� : ��#1#�%�-�- $%

�- = %�- Ã "��#%�. $%

�- = %�- Ã %�

%�. $%

�- = %�- Ã %�� $%

�- = %�- %�-12 � � �- = %�- %�-12 � �

�- = %�T12 � �

De modo que la solución general en �0,∞� de la ecuación es � = ��%�- + �- #�)�-

EjEjEjEjemplo.2emplo.2emplo.2emplo.2 Obtener la segunda solución linealmente independiente de la E.D �� + � = 0 si �� = m\�%

SSSSolución:olución:olución:olución: verifiquemos que �� es solución de la E.D �� = ��m% �� = −m\�%

Sustituyendo en la ecuación dada �� + � = 0 −m\�% + m\�% = 0

0 � 0 Efectivamente �� = m\�% es solución de la ecuación �� + � = 0 Ahora usamos la identidad de Abel para determinar la segunda solución �- de la E.D L.I con � Reemplazamos en la formula

®´L�� − �®�� = �� : >�� Resulta

®´L�� − �®�� = ª primer orden lineal �� − �®�

®´L� �� = ª®´L� ⟹ �� − �®�

®´L� �� = ª®´L� E.D.L

+�� = �� :�®�®´L�� = ��KL|®´L�| = ®´L� �� = ®´L� Ã � ®´L�� ª®´L�� = ª®´L� Ã �®�� = ª®´L��−��³L� + �� = −ª�®� + �ª®´L�

c.f.s �� , �� ®´L�, �®�� - = ��m%

Solución general � = ��m\�% + �-��m%

EjEjEjEjemplo.3emplo.3emplo.3emplo.3 Encontrar la segunda solución linealmente independiente de la E.D �� − 2�� 0 si �� = "# SSSSolución:olución:olución:olución: verifiquemos que �� es solución de la E.D �� = "# �� = "# Sustituyendo en la ecuación dada

�� − 2�� 0

�"#�� 2�"#� + �"#� = 0 2"# − 2" # = 0

0 = 0 Efectivamente �� = "#es solución de la ecuación �� − 2�� + � = 0 Ahora usamos la identidad de Abel para determinar la segunda solución �- de la E.D L.I con �� Mediante la identidad de Abel ��-� − ��- = "� : 2�#�1# " #�-� − "#�- = "� : �-1# = "-# ⟹ �-� − �- = "# E.D.L ,�%� = ": �1# = "�# �- = "#w: " #"�#$% = % + �x = %" # + �"# ya la tenemos �- = %"# Luego el c.f.s ��, �-� = �" #, %"#� Solución general

� = ��"# + �-% " #. EjEjEjEjerciciosercicioserciciosercicios: Verifique si la función ��indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. En caso de serlo determine la solución general de la ecuación.

� �� + �� + � = > ,� = �®KL� Rta : � = � �®KL� + ��®´LKL� � �� − F� = > , � = �� + F� = > , � = �®� � �� − �� + �� = > , � = � � �� + �� − ?� = > , � = ��

o Ecuaciones Diferenciales Homogéneas de Coeficientes Constantes

En general, las ecuaciones lineales homogéneas de orden superior del tipo t��%� $��$%� + t��%� $��$%�� + ⋯ + t� �$�$%� + tT�%�� = 0

en donde los coeficientes t. , \ = 1,2, … , � son constantes reales y t ≠ 0. Las soluciones de este tipo son funciones exponenciales.

� Ecuación lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes La ecuación diferencial de la forma

t%�� + u%� + �% = 0 �5�

, donde t, u, � ∈ h y t ≠ 0

Para este tipo de ecuaciones �de Euler�. El método de Euler consiste en buscar soluciones exponenciales del tipo

� = "/#, donde P es una constante real o compleja por determinar. Entonces

�� = �"/#, �� = �-"/# ,

y sustituyendo en la ecuación resulta t�-"/# + u�"/# + �"/# = 0

"/#�t�- + u� + �� = 0. Luego, si P es una raíz de la ecuación

t�- + u� + � = 0 Llamada ecuación auxiliar o ecuación característica, la función � = "/# es una solución de la E.D. Debemos considerar tres casos, según sean las raíces características de la ecuación auxiliar que corresponden a raíces reales distintas, raíces reales e iguales y raíces complejas conjugadas. Para ello consideraremos el discriminante de esta ecuación ecuación ecuación ecuación auauauauxxxxiliar o ecuación caracteriliar o ecuación caracteriliar o ecuación caracteriliar o ecuación caracteríííísticasticasticastica de la ecuación diferencial ∆= u- − 4t� �P��³P� + ÁP + �� EEEEcuación caractercuación caractercuación caractercuación caracteríííísticasticasticastica

P ,� = �Á1¼Á��³��³ .RRRRaaaaííííces de la ces de la ces de la ces de la EEEEcuacióncuacióncuacióncuación

´� ∆ > 0 P ≠ P� Raíces Reales diferentes Según lo anterior las soluciones serán � = �P � �� = �P�� Linealmente independientes

c.f.s ��P �, �P�� SSSSolución generalolución generalolución generalolución general

� = � �P � + ��P�� ´´� ∆= 0 �� = �- = − Á

�³ = P Raíces Reales iguales .Así que , una solución de la E.D es � = �P �

Podemos encontrar una segunda solución �� L.I con � Empleando la fórmula de identidad de Abel

�- = �� Ã "� : ~�#�1#��- $%

�- = "�2-�# Ã "� :2�1#

�"�2-�#�- $%

�- = "�2-�# Ã "�2� #"�2� # $%

�- = %"�2-� �- = %��

Luego, para obtener una segunda solución L.I con � basta con multiplicar � por % El conjunto fundamental de soluciones y la solución general de la E.D es Abel �� = ��P �

c.f.s ��P �, ��P �� Solución general

� = � �P � + ��P � O bien

� = �� + ��P � ´´´� ∆< > Raíces Complejas TTTTeoremaeoremaeoremaeorema: Si la solución de la E.D.H de coeficientes constantes ³�� + Á�� + �� = > es la función compleja � =È�� + ´Í��, donde È ^ Í son funciones de variable real, entonces È�� y Í��son soluciones linealmente independientes de la E.D. Si P y P� son complejos conjugados, entonces P ,� = ¡ 1 ´�

� = ��¡�´�� = �¡� ∙ ��´�� = �¡�w�®�� + ´®´L��x

� = �¡��®�� + ´�¡�®´L�� = È�� + Í��

c.f.s 3�¡��®��, �¡�®´L��4 Solución general

� = � �¡��®�� + ��¡�®´L��. EjEjEjEjercicios ercicios ercicios ercicios RRRResueltosesueltosesueltosesueltos Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden t. 2�� − 5�� − 3� = 0 Rta �� = � �� ⁄ + �� u. �� − 10�� + 25� = 0 Rta �� = � � � + �� . ��+�� + � = 0 Rta �� = �� ⁄ X� �® √

� � + ��®´L √� �Y

d. ��+�� + � = 0 Rta:�� = ��";# + �-"�-# e. �� − 5� = 0 Rta:�� = ��"√/# + �-"�√/# f. ��+12�� + 36� = 0 Rta:�� = ��"��# + �-"��# = �� + �-%�"��# g. ��−16�� + 64� = 0 Rta:�� = ��"�# + �-"�# = �� + �-%�"�# h. ��+2�� + 17� = 0 Rta:�� = "�#��m4% + �-m\�4%� i. ��+�� + � = 0 Rta:�� = "�� -⁄ # X��m √;

- % + �-m\� √;- %Y

j. �� + � = 0 ��0� = 1, ��0� = −1Rta �� = ��m% − m\�% k. ��−�� − 2� = 0 ��0� = 1, ��0� = 4 Rta �� = /

; "-# − -; "�#

SSSSooooluciónluciónluciónlución:::: presentamos las ecuaciones auxiliares, raíces y soluciones correspondientes ³. �P� − P − = ��P + ��P − � = > , P = − � , P� = , �� = � �� ⁄ + ��

Á. P� � >P� � � �P � �� >, P � P� � ,�� . P� + P + = >, ��P + ��P − � = > , P = − � + √� ´, P� = − � − √� ´, �� = �� ⁄ ·� �® √� � + ��®´L √� �¸ EjEjEjEjercicios ercicios ercicios ercicios PPPPropuestosropuestosropuestosropuestos ³. �� + �� − �� = > Rta:�� = � �� + �� + �� Á. ��

�� + � �� + � = > Rta:�� = � �®� + ��®´L� + ��®� + ��®´L�

�. �� − �� − �� = > Rta:�� = � �� + �� . �� + ?� = > Rta: �� = � �®�� − ��®´L�� . �� + ?�� + F� = > Rta:�� = � �� + �� f.f.f.f. �� − �� + �� = > Rta:�� = � �� + �� g. �� − �� + � = > Rta:�� = � �� + �� h. �� + �� + � = > Rta:�� = "�#��m2% + �-m\�2%�

� Ecuaciones NO Homogéneas Toda función �G libre de parámetros arbitrarios que satisface la ecuación �3� se llama solución particular o integral particular de la ecuación; por ejemplo, se puede demostrar directamente que la función constante �G = es una solución particular de la ecuación no homogénea

�� + F� = ��. Si� , ��, … , �ªson soluciones de la ecuación �2� en un intervalo ℤ y �G , es cualquier solución particular de la ecuación �3� en ℤ, entonces, la combinación lineal � = � � �� + �� + ⋯ + �ª�ª�� + �G �4� también es una solución de la ecuación �3� no homogénea. TTTTeorema: eorema: eorema: eorema: SSSSolución olución olución olución GGGGeneral, eneral, eneral, eneral, EEEEcuaciones no cuaciones no cuaciones no cuaciones no HHHHomogomogomogomogééééneasneasneasneas Sea �Gcualquier solución particular de la ecuación diferencial lineal, no homogénea, de orden L, ecuación �3�, en un intervalo n, y sean � , ��, … , �L un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial homogénea asociada �2�, en I. Entonces, la solución general de la ecuación en el intervalo es � = � � �� + �� + ⋯ +�L�L�� + �G en donde las �´, ´ = , �, ⋯ , L son constantes arbitrarías.

o Función Complementaria En el Teorema anterior vemos, que la solución general de una ecuación lineal no homogénea consiste en la suma de dos funciones: � = � � �� + �� + ⋯ + �L�L�� + �G = � � + �� +�G La combinación lineal

�� = � � �� + �� + ⋯ + �L�L��,

que es la solución general de �2�, se llama Función Complementaria para la ecuación �3�. En otras palabras, para resolver una ecuación diferencial lineal no homogénea primero se resuelve la ecuación homogénea asociada y luego se determina cualquier solución particular de la ecuación no homogénea. La solución general de la ecuación no homogénea es, entonces

y = Función Complementaria + cualquier solución particular En general �� + G�� + ½�� = â�� su solución es � = �� + �G donde �� … es la solución complementaria o solución homogénea �G … es la solución particular no homogénea. Si �� = � � + �� , y �G es solución de �� + G�� + ½�� = â�� entonces cualquier solución de dicha ecuación podrá expresarse así

� = �� + �� + �G, donde � ^�� son soluciones linealmente independientes de la correspondiente E.D.H. EjEjEjEjemplo .1emplo .1emplo .1emplo .1 Demuestra que la función �G = −

� − �� es una solución particular de la ecuación no homogénea.

Para llegar a la solución general de la ecuación dada, también debemos resolver la ecuación homogénea asociada �� − ?�� + �� − ?� = �.Pero en el ejemplo 1 vimos, que la solución general de esta última ecuación era � =Æ �� + Æ�� + Æ�� en el intervalo �−∞, ∞�; por lo tanto, la solución general de la ecuación en el intervalo es � = �� + �G = Æ �� + Æ�� + Æ�� − � − ��.

o Principio de Superposición, Ecuaciones NO Homogéneas TTTTeoremaeoremaeoremaeorema: sean ª soluciones particulares, �G , �G� , ⋯ , �Gª de la ecuación �3�, diferencial lineal no homogénea de orden L, en el intervalo I que, a su vez, corresponden a ª funciones distintas de , â , â�, … , âª. Esto es, supongamos que �G representa una solución particular ª de la ecuación diferencial correspondiente

³L�� L��L + ³L� �� L9 �

��L9 + ⋯ + ³ X��Y + ³>�� = â�� , en donde

´ = , �, ⋯ , ª. Entonces

�G = �G �� + �G�� + ⋯ + �Gª�� es una solución particular de

³L�� L��L + ³L� �� L9 �

��L9 + ⋯ + ³ X��Y + ³>�� = â ��, â��, … , âª��.

La solución particular �G se reduce a dos métodos que son

o Métodos de los Coeficientes Indeterminados o Métodos de Variación de Parámetros

El MéMéMéMétodo de los todo de los todo de los todo de los CCCCoeficientes Indeterminadosoeficientes Indeterminadosoeficientes Indeterminadosoeficientes Indeterminados la idea del método es deducir o “adivinar” una solución particular que contenga la misma forma de la función �� , sustituirla en �� y determinar los coeficientes de manera que la ecuación sea válida. Este método puede aplicarse para la mayoría de las funciones que aparecen comúnmente y cuyas derivadas son combinaciones lineales de un número finito de funciones posibles. Entre estas se encuentran los polinomios, las funciones trigonométricas y las exponenciales. También sirve para encontrar la solución de una ecuación diferencial no homogénea de coeficientes constantes, donde el término no homogéneo â�� se restringe a uno de los siguientes tipos según la Tabla 1: o ML�� un polinomio de grado L� o ML�� o ��ML��® � + ëL��®´L ��, ML��, ëL�� polinomios de grado n

Tabla 1

â�� G

ML�� = ³> + ³ � + ⋯� ³L�L �®w8> + 8 � + ⋯� 8L�Lx ML�� ®w8> + 8 � + ⋯� 8L�Lx�� ³�®� �� + Á®´L� �� ®w8> + 8 � + ⋯� 8L�Lx�®� �� ®w9> � 9 � �⋯� 9L�Lx®´L� �� ³> + ³ � + ⋯�³L�L� ��®w8> + 8 � + ⋯� 8L�Lx ³��®� �� + Á��®´L� �� ®�8��®� �� + 9��®´L� ��

® = >, o � EjEjEjEjemplo .1emplo .1emplo .1emplo .1 Encontrar la solución general de la ecuación �� + �� − �� = �� − � + ?. La solución de la ecuación homogénea asociada está dada, por P = −� − √? P� = −� + √? �� = � ��√?�� + ��√?��. Para encontrar la solución particular suponemos que esta tiene la forma de la función â�� según la Tabla 1, que es una función cuadrática, que tiene una solución particular dada por las combinaciones lineales del conjunto ��, �, ?�, es decir �G = 8�� + 9� + Æ, en donde se deben determinar los valores específicos de las constantes 8, 9 y Æ. Para los que �G sea una solución de â��. Sustituimos �G y las derivadas �G� = �8� + Á y �G�� = �8 en la E.D dada, y obtenemos �G�� + ��G� − ��G = �8 + ��8� + 9�−��8�� + 9� + Æ� = −�8�� + �!8 − �9�� + �8 + �9 − �Æ = �� − � +?. Los términos en ambos lados de la ecuación, polinomios en este caso, deben ser idénticos de manera que deba cumplirse −�8 = �, �!8 − �9� = −,

�8 + �9 − �Æ = ?.

Resolviendo simultáneamente se obtiene 8 = − ,9 = −

� y Æ = −F con lo cual la solución particular queda determinada

�G = −�� − � � − F;

por lo tanto, la solución general es � = �� + �G = � ��√?�� + ��√?�� − �� −

� � − F . EjEjEjEjemplo .2emplo .2emplo .2emplo .2 Encontrar la solución general de la ecuación �� − �� − �� = �� + . La solución de la ecuación homogénea asociada está dada, como en el ejercicio propuesto c, por �� = � �� + ��. Para encontrar la solución particular suponemos que esta tiene la forma de la función â�� según la Tabla 1, que es una función cuadrática, que tiene una solución particular dada por las combinaciones lineales del conjunto ��, �, �, es decir �G = 8�� + 9� + Æ, en donde se deben determinar los valores específicos de las constantes 8, 9 y Æ. Obtenemos �� y �G, y sustituimos en la ecuación original �G�� − �G� − ��G = �8 − ��8� + 9� − ��8�� + 9� + Æ� = −�8�� − ��8 + 9�� + ��8 − 9 − �Æ� = �� + . Los términos en ambos lados de la ecuación, polinomios en este caso, deben ser idénticos de manera que deba cumplirse

−�8 = �, ��8 + 9� = >, �8 − 9 − �Æ =

Resolviendo simultáneamente se obtiene 8 = −�,9 = � � Æ = − �� con lo cual la solución particular queda

determinada �G = −�� + �� − ��; por lo tanto, la solución general es

� = �� + �G = � �� + �� − �� + �� − �

�. ObObObObservación:servación:servación:servación: El método puede modificarse ligeramente si la función �� o alguna de sus derivadas es solución de la ecuación homogénea. En este caso, la solución particular es una combinación lineal del conjunto :�®��, �®�� , … , �®��L�;, donde ® es el mínimo exponente tal que ningún elemento del conjunto es solución de la ecuación homogénea. EjEjEjEjemplo .3emplo .3emplo .3emplo .3 Encontrar la solución general de �� + ?� = �®��. En este caso, la ecuación homogénea asociada es �� + ?� = >. La ecuación característica tiene como raíces a P = �´ y P� = −�´ y por lo tanto la solución general de la ecuación homogénea es de la forma �� = � �®�� − ��®´L��. La forma de la solución homogénea dada

implica que las combinaciones lineales de ��®��, ®´L�� no pueden ser usados usadas para obtener una solución particular. Por tanto se deben intentar con soluciones particulares de la forma �G = ��8�®�� + 9®´L��.

Al sustituir en la ecuación original se obtiene !9�®�� − !8®´L�� = ! �®´L��

de manera que 9 = !⁄ y 8 = >.

Concluimos que la solución general al problema es � = �� + �G = � �®�� − ��®´L�� +

! �®´L��. EjEjEjEjemplo .4emplo .4emplo .4emplo .4 Encontrar la solución general de �� + ?�� + F� = �� + �®�. La ecuación homogénea asociada es �� + ?�� + F� = >. La ecuación característica tiene una sola raíz repetida P = − y, por ende, la solución general de la ecuación es � = �� + �G = � �� + �� + �G. En donde �G es una solución particular por determinar. La forma de la solución homogénea implica que las combinaciones lineales de ��, �� no pueden ser usadas para obtener una solución particular. Por tanto, debemos utilizar el siguiente exponente, ® = � en el término que corresponde a ��. Es decir, proponemos

�G = 8�� + 9�®� + Æ®´L�. Al sustituirse y simplificar se ve que

�� + ?�� + F� = �8�� − !9®´L� + !Æ�®� = �� + �®�. De aquí que

8 = � , 9 = > � Æ =

!. Luego

�G = � �� + ! ®´L�. En conclusión, la solución general de la ecuación es

� = �� + �G = � �� + �� + � �� + ! ®´L�. El MéMéMéMétodo de todo de todo de todo de VVVVariación de ariación de ariación de ariación de PPPPararararáááámetrosmetrosmetrosmetros o de constanteso de constanteso de constanteso de constantes, es un método general para determinar una solución particular de una E.D.L. Sirve para encontrar la solución particular de la ecuación diferencial

�� + G�� + ½�� = â�� Conociendo el c.f.s

�� , �� de la correspondiente ecuación homogénea.

o Regla del método Variación de Parámetros 0. Usamos la ecuación �2� ³�� + ³ �� + ³>� = > 1. Para resolver la ecuación �3� ³�� + ³ �� + ³>� = â�� se halla la función complementaria

�� = �� + �� 2. Se calcula el Wronskiano

©�� , �� 3. Se divide entre ³� para llevar la ecuación a su forma reducida �� + G�� + ½�� = â��para hallar â��. 4. Se determinan È � È� integrando, respectivamente,

È � = © © y È�� = ©�© È � = � â��© È�� = ��â��© donde se definen © y ©� de acuerdo con �7�

© = " > ��â�� " ; ©� = "� >� � â��" 5. Una solución particular es

�G = È � + È��. 6. La solución general de la ecuación es, por consiguiente,

� = �� + �G EjEjEjEjemplo .1emplo .1emplo .1emplo .1 Resuelva la ecuación �� − �� + �� = �� + �� SSSSolución: olución: olución: olución:

1.1.1.1. Partimos de la ecuación auxiliar P� − �P + � = �P − �� = >, y tenemos que �� = �� + ��. 2.2.2.2. Identificamos y calculamos el wronskiano ©�� , �� = ©��, �� = " ��

�� + ��" = �� 3.3.3.3. Vemos que â�� = �� + �� aplicamos �7� y efectuamos las operaciones

© = " > �� + �� + ��" = −�� + ��,

©� = " �� >�� + ��" = �� + �� = y así según �6�,

4.4.4.4. È � = © © = − �� = −�� − � ⇒ È = : È � = − �

− �� ; È�� = ©�© = ��

�� = � + ⇒ È� = : È�� = ��

� + � 5.5.5.5. Entonces �G = È � + È�� = X− �

− �� Y �� + X��

� + � Y �� = X�? + ��

� Y �� 6.6.6.6. La solución general de la ecuación es � = �� + �G = � �� + �� + X�

? + �� Y ��

EjEjEjEjemplo .2emplo .2emplo .2emplo .2 Resuelva la ecuación �� + �� + �� = �� SSSSolución: olución: olución: olución: 1. E.D.H asociada P� + P + � = �P + ��P + �� = >, y tenemos que �� = �� + ��. 2. Identificamos y calculamos el wronskiano ©�� , �� = ©��, �� = " ��

−�� −��" = −�� ≠ > <. = 3. Como â�� = ��, © = �>, ��, ©� = ��, >�aplicamos �3� y efectuamos las operaciones © �>, �� = " > ��

�� −��" = −��, ©��, >� = ! �� >−�� ! = �� = y así según �2�, 4.... È � = © © = ��9��

��9� = �� ⇒ È = : È � = �� − !� + !� ; È�� = ©�© = ��9��9� = −��

⇒ È� = : È�� = −�� − �� + � 5. Entonces �G = È � + È�� = X�� − !� + !�Y �� − �� − �� + �� = �� − ?� + � 6. La solución general de la ecuación es � = �� + �G = � �� + �� + �� − ?� + � EjEjEjEjercicios propuestos ercicios propuestos ercicios propuestos ercicios propuestos

a.a.a.a. �� + ?� = �®�� Rta:� = � �®� + ��®´L� − � �®� +

? ®´L� óô|®´L�| bbbb.... �� − � = � en el intervalo �> ≤ � ≤ � Rta: � = � �� − �� +

� �� : �9�� −

��> �� : ��

� ��.��>

� Sistema de Ecuaciones Lineales MéMéMéMétodo de todo de todo de todo de VVVValores alores alores alores PPPPropiosropiosropiosropios Consideremos la ecuación �� = 8�. Supongamos que podemos encontrar L soluciones linealmente independientes, es decir, � ��, … , �L�� son linealmente independiente en ℝL para todo � y por lo tanto forman una base de ese espacio. Por el principio de superposición cualquier combinación lineal es solución y además, por tratarse de una base, toda solución � puede escribirse como que

�� = � � �� + ⋯ + �L�L��.

Por otro lado, dada una condición inicial ��>� = �>, las constantes � , … , �L pueden determinarse de manera única tal que se satisfaga � � �� + ⋯ + �L�L�� = �>.

o Regla General para Resolver un Sistema Lineal 1.1.1.1. Se encuentran L soluciones linealmente independientes � que forman una base en el espacio de soluciones� 2.2.2.2. Se ajustan las constantes para satisfacer la condición inicial, si esta existe. Observación: describa un método basado en las propiedades de la matriz de coeficientes, con el objeto de encontrar suficientes soluciones linealmente independientes.

TTTTeorema:eorema:eorema:eorema: si Í es un vector propio de 8 con valor propio ¡, entonces �� = �¡�Í es una solución al sistema dado por �� = 8� , al cual llamaremos problema lineal. Luego � �� = �¡ �Í ,⋮�L�� = �¡L�ÍL

Son soluciones linealmente independientes y toda solución del problema �� = 8� es una combinación lineal de estas. Si la matriz 8 es diagonalizable siempre puede encontrarse una base de ℝL de vectores propios de 8 y por lo tanto puede encontrarse la solución como sigue. Dado �� = 8�, sea M = wÍ … ÍLx la matriz cuya columna son los vectores propios de 8; entonces, si > = M� � se tiene que � = M> y por lo tanto, >� = M� �� = M� 8� = M� 8M> = ¦>, donde ¦ = M� 8M es la matriz diagonal de valores propios. Este último sistema se resuelve como > = ?Æ �¡ �⋮ÆL�¡L�@ y por lo tanto se tiene que � = M> =Æ �¡ �Í + ⋯ + ÆL�¡L�ÍL es la solucion general del problema original. EjEjEjEjemplo .1emplo .1emplo .1emplo .1 Encontrar la solución general del siguiente problema lineal �� = X � Y �, si se satisface la condición inicial ��>� = X> Y. SSSSolución: olución: olución: olución:

1.1.1.1. Primero obtenemos los valores propios de 8 = X � Y. El polinomio característico de 8 es |8 − ¡=| = ¡� − �¡ − . Al resolver ¡� − �¡ − = >, obtenemos ¡ = � y ¡� = − 2.2.2.2. Buscamos los vectores propios, para ¡ = �, resolvemos �8 − ¡ =�Í = > para algún Í ≠ >. Si hacemos Í = X³ÁY, entonces X−? � −?Y X³ÁY = X>>Y.

Obtenemos las ecuaciones −?³ + �Á = > y ³ − ?Á = >, que por construcción son linealmente independientes. Escogemos Á = y, por lo tanto, ³ = �. De aquí que Í = X� Yes vector propio con valor propio ¡ = �. De modo análogo, para ¡� = − obtenemos Í� = X−� Y.

3.3.3.3. En conclusión, � �� = �¡ �Í = �� X� Y y �� = �¡��Í� = �� X−� Y son dos soluciones linealmente independientes y cualquier otra solución es de la forma �� = � � �� + ��, esto es �� = � �� X� Y + �� X−� Y.

4.4.4.4. Si además pedimos que se satisfaga la condición inicial ��>� = X> Y, pueden encontrarse � y �� de la siguiente manera ��>� = X> Y = � X� Y + �� X−� Y, con lo cual se tiene el sistema �� − �� = >, � + �� = y por lo tanto � = �� = �⁄ . La solución es entonces �� =

� �� X� Y + � �� X−� Y = · �� − ��

� �� + �� ¸.

5.5.5.5. Si �� = ��,entonces el sistema original está dado por �� = � + ��, �� = � + �, 6.6.6.6. y la solución puede expresarse alternativamente como

�� = �� − �� ,

�� = � �� + �� EjEjEjEjemplo .2emplo .2emplo .2emplo .2 Encontrar la solución general del siguiente problema lineal �� = X � �Y �, si se satisface la condición inicial ��>� = X> Y. SSSSolución: olución: olución: olución:

1. Obtenemos los valores propios de 8 = X � �Y. El polinomio característico de 8 es |8 − ¡=| = ¡� − ¡. Al resolver ¡� − ¡ = >, obtenemos ¡ = y ¡� = > 2. Buscamos los valores propios, para ¡ = , resolvemos �8 − ¡ =�Í = > para algún Í ≠ >. Si hacemos Í = X³ÁY, entonces X−� � Y X³ÁY = X>>Y.

Obtenemos las ecuaciones −�³ + Á = > y �³ + Á = >, que por construcción son linealmente independientes. Escogemos Á = � y, por lo tanto, ³ = . De aquí que Í = X �Yes vector propio con valor propio ¡ = . De modo análogo, para ¡� = > obtenemos Í� = X − Y.

3. En conclusión, � �� = �¡ �Í = �� X �Y y �� = �¡��Í� = �>� X − Y son dos soluciones linealmente independientes y cualquier otra solución es de la forma �� = � � �� + ��, esto es �� = � �� X� Y + �� X − Y.

4. Si además pedimos que se satisfaga la condición inicial ��>� = X> Y, pueden encontrarse � y �� de la siguiente manera ��>� = X> Y = � X �Y + �� X − Y, con lo cual se tiene el sistema

� + �� = >, �� − �� = , y por lo tanto � = ⁄ � �� = − ⁄ . La solución es entonces �� =

� �� X �Y − X − Y = · ⁄ �� − ⁄�

�� + ⁄ ¸. 5. Si �� = ��,entonces el sistema original está dado por

�� = � + �, �� = �� + ��, 6. y la solución puede expresarse alternativamente como �� = ⁄ �� − ⁄ , �� = � ⁄ = � �� + ⁄

EjEjEjEjercicios ercicios ercicios ercicios PPPPropuestosropuestosropuestosropuestos

a. �� = X � �Y � Rta: �� = �� = � X �Y �� + �� X − Y b. �� = X − Y � Rta: �� = �� = � X−��®´L��®� Y + �� X��®��®´L�Y

c. �� = X −�� − Y �, si se tiene la condición inicial ��>� = X> Y Rta: �� = �� X + �� Y

� El caso NO Homogéneo

Consideremos un sistema de la forma �� = 8� + 9, en donde 9 = èÅ ⋮ÅLé es un vector fijo en ℝL . Sabemos que la

solución a este sistema es de la forma � = �Ì + �G en donde �Ì es la solución general del sistema homogéneo asociado y �Ges la solución particular del sistema no homogéneo. La solución particular puede obtenerse suponiendo que �Ges constante, de manera que �G� = > para después resolver el sistema dado por

8�G = −9 .

La solución puede no existir ya que 8 puede ser una Matriz Singular4. EjEjEjEjemplo.1emplo.1emplo.1emplo.1 Resolver �� = X � Y � + X−� − Y SSSSoluciónoluciónoluciónolución:::: la solución del caso homogéneo se obtuvo

�Ì = � �� X� Y + �� X−� Y Para la solución particular se resuelve

X � Y �G = X� Y, �G = X � Y� X� Y = X �Y,

de manera que la solución general � = �Ì + �G

queda expresada como ��(� = � �� X� Y + �� X−� Y + X �Y,

siendo �Ì = � �� X� Y + �� X−� Y y �G = X �Y

EjEjEjEjemplo.2emplo.2emplo.2emplo.2 Resolver �� = X � Y � + X�� Y en donde la ecuación homogénea asociada es la misma del ejemplo anterior. La solución a esta ecuación

�Ì = � �� X� Y + �� X−� Y. Se propone una solución particular de la forma

�G = � �8 9 � + �8>9>� Dado �G satisface la ecuación original, luego debe cumplirse

�8 9 � = X � Y �8 � + 8>9� + 9> � + X�� Y = ��8 + �9 + �� + 8> + �9>�8 + 9 + �� + 8> + 9> �.

Igualando coeficientes en ambos lados se tiene

4 Matriz Singular: Matriz cuadrada cuyo determinante es igual a cero.

8 = 8> + �9>, 9 = 8> + 9>,

8 + �9 + � = >, 8 + 9 + = >,

Y resolviendo obtenemos 8> = − ��F, 8 = − ��, 9> = − �F, 9 = − �,

Con lo cual la solución final es

��(� = � �� X� Y + �� X−� Y + � ?− ��− �@ + ?− �

�F− �F

@.

� Ecuaciones Lineales de orden Superior Un sistema de ecuaciones lineales puede convertirse en una ecuación de orden superior con coeficientes constantes mediante sustituciones sucesivas. EjEjEjEjemplo.1emplo.1emplo.1emplo.1 consideremos el sistema

�� = � + �� = � + �, Despejando y de la primera ecuación, obtenemos

� = ��- %� − 112 % �1�

Derivando esta expresión con respecto al tiempo, se tiene �� = 112 %� − 112 %� �2�

y sustituyendo �1� y �2 �en la segunda ecuación del sistema �

�- %� − ��- %� = 3% + 1

12 %� − ��- % ,

o bien reescribiendo, %� − 2%� − 35% = 0.

NNNNóteseóteseóteseótese que esta es una ecuación de segundo orden con coeficientes constantes cuya ecuación característica es |B�C� = 0, con |B�C� el polinomio característico de la matriz del sistema X1 123 1 Y. Supongamos, por simplicidad, que se tienen dos raíces reales distintas, C� y C- , , , , las cuales por construcción, coinciden con los valores propios de la matriz. Podemos así resolver para % y posteriormente sustituir en �1� para obtener y. La solución queda como

% = ��"D�� + �-"D�� = �� C� − 12 � "D�� + �- �C- − 12 � "D��

o bien , en forma vectorial X%�Y = ��"D�� · 1D��

�- ¸ + �-"D�� · 1D�� - ¸.

El vector · 1DE�³2 ¸es simplemente un vector propio correspondiente al valor propio C. .... A continuación veremos que la situación inversa también es válida, o sea que una ecuación de orden superior con coeficientes constantes puede transformarse en un sistema de ecuaciones lineales de primer orden. EjEjEjEjemplo.2 emplo.2 emplo.2 emplo.2 Una ecuación de orden 2 con coeficientes constantes es de la forma

�� − �� − 6� = 0, ��0� = 3, �� 0� = 0

Lo transformamos en un sistema lineal de primer orden. Sea

��(� = ��(��(�� El sistema lineal, es

�� (� = ��(��(�� = � ��(�6��(� + ��(�� = X0 16 1Y ��(� Utilizando el polinomio característico,

|B�C� = C- − C − 6 = �C − 3��C + 2�, y los valores propios son C� = 3, y C- = −2. Siguiendo el método usual, puede verse que los siguientes son vectores propios que corresponden a los valores propios:

Ä� = X13Y,

Ä- = X 1−2Y, Concluimos que la solución general para el problema lineal es

��(� = ��"� X13Y + �-"�� X 1−2Y . Para encontrar las constantes �� y �- usamos las condiciones lineales:

��0� = ��0��0�� = X30Y Es fácil llegar a

�� = �/ y �- = 7

/ ; por lo tanto,

��(� = ��(��(�� = �/ "� X13Y + 7

/ "�� X 1−2Y . Finalmente, se tiene que

��(� = �/ "� X13Y + 7/ "�� X 1−2Y.

9.5. 9.5. 9.5. 9.5. EjEjEjEjerciciosercicioserciciosercicios 1. Resolver los siguientes problemas con valor inicial. Graficar la solución. Que pasa cuando ( → ∞ �� − 5�� − 6� = 0, ��0� = −1, �� 0� = 10 �� − 4�� + 4� = 0, ��0� = 1, �� 0� = 0 �� + 2�� + � = 0, ��0� = 1, �� 0� = 1 �� + 5�� + 6 = 2, ��0� = 1, �� 0� = 0

�� 2�� + 2% = 0, ��0� = 1, �� 0� = 0 �� − 3�� = 0, ��0� = 2, �� 0� = 5 2. Resuelve las siguientes ecuaciones ³. �� = X � − −�Y � + X−� Y Rta �� = �� = � X− Y �� + �� X − Y �� + X− Y Á. �� = X � − −�Y � + X−� Y , si ��>� = X> Y Rta �� = �� =

� X− Y �� + F� X − Y �� + X− Y

3. Encontrar la Solución General de las Ecuaciones siguientes a �� + � = ®�� ö÷ø: �.F � = �®�KL|�®�| + � �®� + ��®´L� b.�� − �� + �� + �� + �� = �� ö÷ø: �.F � = � � + �� − �� c.�� + �� + F� = > RRRR t a: t a: t a: t a: d. �� + �� − �� = �� + � ö÷ø: � = �

! − � � −

� �� + � ��?� + �� e.�� + �� + � = �� ö÷ø: � =

? �� + � �� + �� f.�� + �� + �� = ?®´L� ö÷ø: �G = !

� ®´L� − �� ®�

g.�� + �� + ?� = > ö÷ø: �.F � = � �� + �� h.�� − �� + � = > ö÷ø: �.F � = � �� + �� i.�� + �� + !� = > ö÷ø: �. F � = � ��®�√�� + ��®´L�√�� j.�� − �� + � = > ��>� = , ��>� = ? ö÷ø: �.F � = �� ïðñ�� + ��®´L��. 4. Resolver cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones . �� = X −�� − Y �

�. �� = è − � � − � − é � . �� = X � �Y � �. �� = X − Y � . �� = è > − > > > é � ?. �� = X � Y � + X−� − Y

�. �� = X � Y � + X�� Y. Rta: �� = � �� X� Y + �� X−� Y + � ?− ��− �@ + ?− �

�F− �F

@

8.8. Ejercicios

1. Indique el orden y el grado de cada una de las ecuaciones diferenciales:

a) �´´� ?� � � � > Rta: b) ��´´�� > Rta: c) �� Rta:

2. Demostrar que � � �Æ�� Æ� es una solución de ��´�� !�� ?�� en donde Æ es una constante arbitraria, y encontrar una solución particular que satisfaga la condición � � � cuando � = . Rta:

3. En los problemas del 1 al 36 clasifique (y resuelva) el tipo de ecuación diferencial: si es separable, exacta, homogénea o de Bernoulli. Algunas ecuaciones pueden ser de más de un tipo.

1. �� − �� = > Rta:

�� − � = �

2. �� = �� Rta: � = −�� +

� � �� + �� + �

3. �� =

�� Rta: � = −KL�� + � � + ��

4. �� − �� + �� + �� = > Rta: �� + � ∙ �� − � = �

5. �� = ��

�� Rta: � − � + KL �� = �

6. �� = �� Rta: � = ��

7. P�Â + Â�P = ��P Rta: P�Â − �� = �

8. �� − �� + �� = > Rta � = �� +

9. �� = − �

� Rta: � = ��

10. �� = ��

� Rta: �� − �� = �

11. �� − �� = > Rta: � = �� 12. �� − �� = �

13. �� − �� + �� + �� = > Rta: �� + � ∙ �� − � = �

14. �� = �

�, �� = Rta: � = �

15. �� + √ + �� = > ��>� = Rta: � = ��¼ G��

16. �� + �� = > �� = Rta: � = ��

17. �� − �� = > �� = � Rta: �� − �� = F

18. �� + 1�� + �� + �� = > ��>� = Rta: � + − KL�� + � + � + − KL�� + � = − KL�� 19. �� + �� + ?�� + �� = > ��>� = ? Rta: �� + �� − K L�� + �� + KL�� − ?

� = �F!

20. �� + ?�� + �� + �� = > ��>� = Rta: �� + � ∙ �� + ?� = ?>

21.

�� + �� = > �� = > Rta: �� − ?KL� + �� − = >

22. �´� �� > Rta: 23. �´ � �� >� = > Rta: ��. �´� � � � Rta:

25. �´ � ��¼ �� , � > > Rta:

26. �� ïðñ � Rta:

27. �� > Rta:

28. � KL � KL �� + �� = > Rta:

29. �� = � ��-� = 3 Rta:

30. �� + �®´L�� = > ��;� = 0 Rta:

31.�� = �� Rta:

32.�� = �� Rta:

33. � ∙ �� = ��F�� Rta:

34. � ∙ ®´L� ∙ �� = �� ∙ �� ∙ �� Rta:

35. ��KL�� = �� ∙ ®´L� ∙ �� Rta:

36.�´ � � � 0 ��>� � �

4. Resuelve las ecuaciones: transformables a variables separables.

a) �� ÷øô�� Rta:

b) �� Rta:

c) �� Rta:

5. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales, como homogénea

1. ��

�� ö÷ø: ��

2. ��

�� ö÷ø:��

3. �� X�� Y�� > ö÷ø:��

4. �� > ö÷ø: � � �� ⁄

5. � � �� > ö÷ø: � + � = ��

6. �� + �� = �� ö÷ø: �� = �

7. �� − �� + �� = > ö÷ø: � = �� ⁄

8. �� + �� + �� = > ö÷ø: �� + �� = �

9. �� + �� = �� ö÷ø: � = �� ⁄

10. �� − �� = ¼�� ö÷ø: � = ��¼� �⁄

11. �� + �� = �� = > ö÷ø: �� = �� − �

12. �� ⁄ + �� = �� = > ö÷ø: � = �� ⁄ KL� + �� ⁄ =

13. �� − �� + �� = >�� = ö÷ø: KL� − �� = −F

14. �� − ¼�� = �� = ö÷ø: � = �Ê�� − KL�

15. �� + �� − �� = > �� = 1 ö÷ø: óô � − �� + ? = >

16. � + � �� = �� Rta:

17. �� + �� = � − �� Rta:

18. �� − �� − �� = > Rta: 19. �� − �� + �� = > Rta:

20. �� = �� + �� Rta:

21. �� = ��

�� Rta:

22. �� − �� + �� + �� = > Rta: 23. � ∙ � ∙ �� + �� − �� = > �� = � Rta:

24. �� + ��¼� ∙ � − �� = > �� = Rta: 25. �� = ��

�� = Rta:

26. � ∙ � ∙ �� = ��KL��KL� + �� Rta:

6. Se puede transformar en ecuaciones homogénea haciendo el cambio de variable �¶ = �.

a) �� = ��

�� Rta:

b) �� − �� − �� − �� = > Rta:

c) �� = ��

�� Rta:

d) �� − �� − �� + �� = > Rta:

e) �� = �� Rta:

f) �� = �� Rta:

g) �� = �� Rta:

h) �� = ��

Rta:

7. Comprobar que las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas y hallar la solución general.

1. �� + �� + �� − �� = > Rta: �� + �� − �� = �

2. X�� + � + ��Y �� + X�� − �

�� + �� + ��Y �� = > Rta: � X�� + � + ��Y = �

3. �� + ��

�� = > Rta: �� + �� + KL�� = �

4. X�� + � + ��Y �� + �� + �� + �� = > Rta:

� + KL� + �� + �� + � + � = >

5. �� − �� + �� = > ��>� = ? Rta: �� − �� − ? = >

6. X�� − �

��Y �� + X � − ��

��Y �� = > �� = � Rta: �� + �

� =

7. �� + �� + �� + �� + �� + �� + �� = > �� = > Rta: �� + �� + �� + � − � = >

8. ��?�� + �� + �� + �� = > Rta: �� + � �� +

� �� = �

9. �³ � + Á � + � �� + �Á � + Á�� + �� = > ö÷ø: l�%, �� = ³ �� + Á �� + � � + Á��

� + ��

10. �� + �� + �� + �� = > Rta: �� + �� − ? �� + � = >

11. �KL� + � + �� + X�� + �� + ��Y �� = > Rta: �KL� + �� + �� + � = >

12. �� + � �� + �� = �� >� = − ö÷ø: �� + � − � =

13. � X �� − �

��Y �� + X �� − ��

� Y �� = > Rta: �� + ��

�� + � = >

14. �� − �� + �� = > ��>� = −? ö÷ø: l�%, �� = �"# − %- + � � �"# − %- = �

15. �� + �� + �� − �� = > Rta:

16. �� − �� + �� − �� + �� = > Rta:

17. �� + �� + �� + �� = > Rta:

18. X�� − KL �Y �� + XKL � − �

�Y �� = > Rta:

19. �� ®´L � − ®´L �� − �� ® � + �® �� = > Rta:

20. �� + ®´L�� + X��®� + ��Y �� = > Rta:

21. �� + �� − �� = > sabiendo que admite un factor integrante que solo depende de �. Rta:

22. �� + �� − �� = > Rta:

8. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales como lineales

1. �� ö÷ø: ù � ��

2. �� > ö÷ø: ù = ��

��

3. � �� + � + �� − �� = > ö÷ø: �� − �� = �

4. � �� + �� − � = > ö÷ø: �� − � = �

5. �� + �� = �� ö÷ø: ù = �� + ��

6. �� + F� �� − �� = > ö÷ø: ù = ï�� + F� �⁄

7. �� − �� = �?�� ö÷ø: ù = � �� − �� + ��

8. �� − �� = �� + � ö÷ø: ù = ��KL� − � + ��

9. �� + �� = � ��>� = − ö÷ø: ù =

� − ��

10. �� =

�� = > lineal en y ö÷ø: � = −�� − �� − �

11. �� − � = > ö÷ø: � = ��

12. �� + �� = � ö÷ø: ù =

� + ��

13. � �� + � = �� >� = − ö÷ø: ù = � + ��

14. �� = �� + �� = ö÷ø: >� = � �⁄ �F + ��

15. �� − � �� + �� − � + �� = > ��>� = −? ö÷ø: �

�� ?

��

16. �� − �� = �

� ö÷ø: �� ∙ �� + �� = �

17. �� + X� −

�Y � = > ö÷ø: �� ∙ �� − �� = �

18. �� + �� + �� − = > ö÷ø: �� − �� = �

19. �� = � � + � + �� ö÷ø: �>� + � + � = ��

20. �� + �� − �� − �� = > ö÷ø: � = �� − �� + ��

21. �� + �� − �� = > �� = − ö÷ø: �� − �� =

22. �� + �� + �� − �� = > ��>� = ö÷ø: �� + �� = KL� + �� −

�

23. � �� + �� = �� ö÷ø: �� = �� + �

24. �� = � + �� ö÷ø: � = �� + ��

25. �� + �

� = �Rta:

26. �� − �� = �� Rta:

27. �� + �� − �� = > Rta:

28. X�� + �Y √ + � = + �� Rta:

29. � �� − �� = �� + � Rta:

30. �� − �� − � + ³� = > Rta:

31. �� − �� = �� + �� Rta:

32 �� − � �� =

� ®´L �� Rta:

33. �� − �� ∙ � = �� + � Rta:

34. � ∙ �� + �� ∙ � + �� = > Rta:

35. �� − � ∙ �³L� = �®� Rta:

36. � ∙ �� + � = � ∙ ®´L� Rta:

37. �� − � ∙ �®� = ®´L� ∙ �®� por el método de variación de constantes Rta:

9. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales, por el método de Bernoulli.

1. �� + �

� = �� Rta: ù = ��

2. 3�� + ��

�� = �� Rta: �� + �� = �� + !� + ?�� + �

3. �� − ��

� + �� = > Rta:

4. �� − � �� = �¼� Rta:

5. � ∙ � ∙ � ∙ �� − �� + � = > Rta:

6. �� − � ∙ �³L� = �� ∙ �®� Rta:

7. �� = �� − � Rta:

8. �-$% + �%� − %;�$� = 0 Rta:

9. �� + �� = �� ö÷ø: ù = �

KL�� = + ��

10. � �� + �� = �� ⁄ ö÷ø: �� ⁄ �� ⁄ + ?

� �� ⁄ = �

11. �� = � − �� ö÷ø: �� = �� +

12.� − �� HùH� + �ù = �� − �� ⁄ ��>� = ö÷ø: �� ⁄ + − �� = �� − �� ⁄

13. �� + � = �� >� = � ö÷ø: �� =

� ��

14. � �� + � =

��

15. �� − � = ��

16. �� = �� − �

17. � �� − � + �� = ��

18. � � �� 19. �� =

�

20. � �⁄ �� + � �⁄ = ��>� =

21. �� + �� = �� = >

22. � �� = �

� − �� =

23. �� + �� = � Rta:

Aplicaciones

1. Escriba y resuelva una ecuación diferencial que describa el hecho de que el ritmo al que las personas oyen hablar de un nuevo aumento en las tarifas postales es proporcional al número de personas del país que no han oído hablar sobre ello.

Rta: �ë�� = ª�9 − ë�

2.�� = �� − siendo �� = �; �� =? Rta: �� = >

3. Determine la ecuación de la línea para la cual la �� = �� que es tangente a la recta �� + � = en el punto � , �.

Rta:� = �� +

4. Cuando factores ambientales imponen una cota superior a su tamaño, la población crece a un ritmo que es conjuntamente proporcional a su tamaño actual y a la diferencia entre su cota superior y su tamaño actual. Escriba una ecuación diferencial que

describa este hecho. Rta: �M�� = ªM�9 − M�

5. La elasticidad de demanda de cierto artículo es − �⁄ . Determine la función de demanda si se venden 500 artículos

cuando el precio unitario es $4. Rta: G = >>>.>>>��

6. La Elasticidad de la demanda de cierto artículo está dada por −� ⁄ . Determine la relación de demanda G = @��, si

G = � cuando � = �. Nota ∈= G ��G �� . Rta: G� = � ?�

7. En cuantos años se duplicara la población de un país si crece a una tasa anual del 2.5% Rta: � = KL�>.>�

8. Si se supone una ley de crecimiento exponencial, en cuanto tiempo se triplicara una población que se duplico en 40 años. Rta:

9. Si el interés es capitalizado continuamente determine,

A) La cantidad A de que dispone a los 10 años si se depositan U$5000 al 4% Rta:U$7.460

B) Evalúe el monto disponible a los 20 años si se depositanU$20.000 al 6%. Rta: U$66.402

10. La relación entre el ingreso ( n) y la cantidad de demanda (�) es tal que la tasa de crecimiento del ingreso a medida que aumenta la cantidad demandada, es igual al doble del cubo del ingreso menos el cubo de la cantidad demandada, todo dividido entre tres veces el producto de la cantidad demandada y el cuadrado del ingreso. Determine la relación entre el

ingreso y la cantidad demandada. Si n = 0 cuando % = 10. Rta: n = �10%- − %;�� ;⁄

11. El Producto Nacional Bruto (PNB) Y de un país crece exponencialmente a razón constante de2.5% al año. Y equivalía a 60 millones en el año 0 ¿Cuál será para el año 4? Rta:

12. La inflación P crece continuamente a 8% al año. Empezando con índice de precios de P=100 en el año 0, en ¿cuánto tiempo se doblaran los precios? Rta:

13. Las ventas S están bajando exponencialmente a razón constante de 6% al año. Las ventas fueron estimados en 120.000 euros para el año 0; cuándo se espera que lleguen a 90.000 euros o a 75% del nivel normal. Rta:

14. El valor de reventa de una cierta maquinaria industrial decrece a un ritmo que depende de su edad. Cuando la

maquinaria tiene � años, el ritmo al que está cambiando su valor es de −F?>�9� dólares por año.

i) Exprese el valor de la maquinaria en términos de su edad y su valor inicial.

ii) Si la maquinaria valía originalmente 5.200 euros, cuanto valdrá cuando tenga 10 años?

Rta:

15. A. El cambio en la utilidad neta M a medida que cambia el gasto en publicidad �, esta dado por la ecuación �M�� = ª − ³�M +

�� en donde ³ y ª son constantes. Establezca P como una función de �, si M = M> cuando � = >. Rta:

B. Los costos Æ de fabricación y comercialización están relacionados con el numero � de productos según la ecuación �Æ�� + ³Æ = Á + ª� en donde ³ , Á y ª son constantes. Establezca Æ como función de � si Æ = > cuando � = >. Rta:

C. El cambio en el consumo en una cierta mercancía, a medida que cambia el ingreso =, está dado por la ecuación �Æ�= =

Æ + ª�� en donde ª es una constante. Obtenga Æ como función de = si Æ = �> cuando = = >. Rta:

16. Si y, en pesos, el ingreso obtenido por la venta de � unidades de un producto. La tasa a la que varia el ingreso respecto

al número de unidades viene dada por la ecuación�� = ��

�� . Hállese y, en función de �, sabiendo que la veta de 5

unidades produce unos ingresos de 100 pesos. Rta:� = >�� − ��

17. Sea y la oferta de un cierto producto y � el precio unitario de venta, la razón a la que cambia la oferta respecto al precio viene dada por la ecuación �� + �� − �� + �� = >. Hállese la oferta en función del precio, sabiendo que

para � = �u.m e � = �> unidades. Rta: � = �� + ��

18. Sea Æ el costo, en pesos, de producir � bolígrafos, sabiendo que la tasa a la que cambia el costo respecto al número de

bolígrafos fabricados está dada por la ecuación �Æ�� = > − �>

�� y que el costo de producir 10 boligrafos es de 1802 pesos,

hallar Æ. Rta: Æ = >> + >� + �>�

19. La tasa a la que cambia el precio de venta, y, de un producto, respecto a su demanda �, está dada por la ecuación�� =

− �� . Determine el precio, como una función de la demanda, en el caso de que aquel sea de 4 pesos cuando la

demanda es de 2 unidades. Rta: � = �!��

20. Sea y el costo de producir � unidades de un producto. Sabiendo que la tasa a la que cambia el costo, respecto al

número de unidades fabricadas viene dada por la ecuación �� = − ��

�� . Determine el costo como función del número de

unidades producidas, en el caso de que aquel sea de 10 pesos cuando se fabrican 2 unidades. Rta: � = >��

21. Si y representa el precio de venta de un producto, expresado en pesos, y � la demanda del mismo, se verifica que �� − �� + �� = >. Determine el precio en función de la demanda, sabiendo que, si la demanda es de 4 unidades, el

precio unitario de venta es de 15 pesos. Tómese �� = . Rta: � = �� > �

22. Sea y u.m el ingreso por la venta de � unidades de un producto. Sabiendo que la tasa a la cambia el ingreso respecto

al número de unidades vendidas está dada por la ecuación �� = �

� + �� ,hallar el ingreso en función del número de

unidades vendidas, en el caso de que aquel sea de 21 u.m cuando se venden 5 unidades. Rta: � = �� − � + � .

23. Sea� = =�� , expresado en pesos, el ingreso obtenido por la venta de � unidades de un producto. Sabiendo que la tasa

a la que crece el ingreso respecto al número de unidades vendidas está dado por la ecuación �� =

� � − X� � − �Y halle y

en función de �, sabiendo que la venta de 10 unidades del producto produce unos ingresos de 35pesos. Rta: � = −�� + �� − ��

24. Si y representa la oferta de un producto y � el precio unitario de venta, la razón a la que cambia la oferta respecto al

precio está dada por la ecuación �� = �� + ��. Hallar la oferta en función del precio sabiendo que si el precio unitario es

de 1,5 pesos, la demanda es de 56 unidades. Tome � = �>. Rta: � = �� − �� −

25. Si � = Æ�� el costo en pesos de producir � plumas lacadas. La tasa a la que cambia el costo respecto al número de

plumas fabricadas está dada por �� − �� + � = > .Si el costo de producir 2 unidades es de 109 pesos, hallar el costo

en función del número de plumas fabricadas. Toma �� = . Rta: � = �� −

26. Sea � el número de unidades fabricadas e y el costo de producción. Sabiendo que la tasa a la que cambia el costo

respecto al número de unidades producidas está dada por la ecuación �� = �

� − � + F�. Hallar el costo como una función de

las unidades producidas, en el caso de que aquel sea de 12 u.m cuando es de 3 el número de unidades fabricadas. Rta: � =−�� + >� − F. 27. Sea y, en unidades de 1000 pesos, el ingreso semanal por la venta de � unidades de un producto. La tasa a la que

cambia y respecto a �, está dada por la ecuación �� = ��

��. Hallar � en función de y sabiendo que cuando se vendan 2

unidades a la semana el ingreso es de 10.000 pesos. Rta: � = ��KL��

28. Si y, en unidades de 10.000 pesos, es el costo de producir � unidades de un producto, la tasa a la que varía y respecto a

� es �� = ��

� . Hallar el costo en función del número de unidades producidas, sabiendo que si se fabrican 5 unidades, el

costo es de 10.000 pesos. Tomar KL = �. Rta: Teniendo en cuenta que � ∈ ℕ, es � = �

Ê � �KL��.

29. Si y, en unidades de 1.000 pesos, representa el beneficio diario de un comerciante, cuando vende � unidades de un

producto, la tasa a la que cambia y respecto a � está dada por la ecuación �� = ��

�� . Hallar y en función de �, sabiendo

que cuando vende 10 unidades diarias el beneficio es de 5000 pesos. Tomar KL� >� = � . Rta: � = ��KL��

30. Sea y la oferta de un producto cuando se vende cada unidad a � pesos. La razón a la que cambia la oferta respecto al

número de unidades vendidas está dada por la ecuación �� = ��

� . Hallar y en función de �, sabiendo que la oferta es de

660 unidades cuando el precio unitario de venta es de 100 pesos. Rta: � = ��KL�� + ��. 31. Considera el modelo

�I�� = �� +

�� = −¡��

I�� = I>

��>� = �>

� > >, ≥ >, ¡ > >

En donde I es el costo de operación y reparación de una maquinaria y � es su valor de recuperación. Determine � y I como funciones del tiempo � . Rta:

32. Considera el modelo �I�� = �� = −¡��

I�>� = I>

��>� = �>Valor original

� > >, ¡ > >

En donde I es el costo de operación de un auto y � es su valor de reventa. Resuelva el modelo. Rta:


�¦�� = ��

�� =

��>� = �>

¦�>� = ¦>

� > >, > >

En donde D es la deuda Nacional e � es el ingreso Nacional (ambas variables son endógenas). Rta:


�¦��

�� §��

��>� = �>

¦�>� = ¦>

� > >, > >, § > > , en donde D es la Deuda

Nacional e � es el Ingreso Nacional.

a) Resuelve el modelo b) Determine el límite, cuando � → ∞ de la razón de la Deuda Nacional al Ingreso Nacional. Rta:

35. Siendo M�� el precio de un bien en el instante �, sea respectivamente ¦�� y �� la demanda y la oferta de dicho bien en dicho instante. Determine la trayectoria temporal del precio sabiendo que

¦�� = ? − �M��; �� = −� + �M��; M� =

� w¦�� − ��; M�>� = x. Rta:

36. Una comisión estatal libera �> alces en una zona de refugio. Después de 5 años, la Población de alces es de 104. La comisión cree que la zona no puede soportar más de �>>> alces. La tasa de crecimiento de la Población de alces M es �M�� = ªM X − M

�>>>Y , �> ≤ M ≤ �>>> donde ( es el número de años. Se pide:

a. Resolver la Ecuación Diferencial Logística

b. Escribir un Modelo para la Población de alces en términos de �

c. Usar el modelo para estimar la Población de alces después de 15 años Rta: ≅626

d. Encontrar el límite del modelo cuando � → ∞ Rta: 4000

37. Pruebe el modelo Macroeconómico de Domar

£�(� = ¤��(� n�(� = ¥ $�$(

£�(� = n�(�

��0� � �T, ¤ > 0, ¥ > 0En donde S es el ahorro, n, es la Inversión, � es el ingreso y cada una de estas variables endógenas es una función del tiempo.

Vectores en el Plano

Definición: un vector ab es un segmento con una dirección que va del punto A origen al punto B extremo.

Definición: es un segmento orientado que va del punto A origen al punto B extremo.

Un vector se compone de un módulo, una dirección y un sentido.

Dirección

Es la orientación de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Sentido

Es el que va del origen A al extremo B.

Modulo

Es la longitud o medida del segmento AB, se representa por J_ZKKKKKLJ Es un número que siempre es positivo o cero.

ÄL = ⟨Ä�, Ä-⟩ |ÄL| = ÊÄ�- + Ä--

Modulo a partir de las coordenadas de los puntos

_�%�, �� y Z�%-, �-�

J_ZKKKKKLJ = ¼�%- − %��- + ��- − ��-

Ejemplos

Calcular el modulo del vector

a. ÄL = ⟨2,3⟩ |ÄL| = ¼2- � 3- � √13

b. _�1,2� y Z�3,1� J_ZKKKKKLJ = ¼�3 � 1�- + �1 � 2�- = √5

Calcula el valor de ä sabiendo que el modulo del vector ÄL = ⟨ä,3⟩ es 5

5 � ¼�ä�- � �3�- � ¼ä- � 9

25 � ä- � 9 ∴

ä � 14

Dependencia e independencia lineal de vectores

Combinación lineal de vectores

Dados los números t�, t-, … , t�y los vectores Ä�, Ä-, … , Ä�se llama combinación lineal a cada uno de los vectores de la forma:

ÄL � t�Ä�KKKKL� t-Ä-KKKKL�⋯� t�Ä�KKKKL Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos vectores que tengan dist inta dirección

õKKL � 2ÇKKKKL � 3ÄKKKKL

Ejemplo Dados los vectores %L = �1,2� e �L � �3,1� , calcular el vector combinación lineal

jL = 2%KKKKL + 3�KKKKL jL = 2�1,2�� 3�3,1� = �2,4�� 9,3� � �11,7� El vector jL � �2,1�,se puede expresar como combinación lineal de los vectores %L � �3,�2� " �L = �1,4�? �2,1� = t�3,�2� � u�1,4� �2,1� = �3t,�2t� � �u,4u� �2,1� = �3t + u,�2t � 4u� : 2 � 3t � u1 = �2t + 4u t = �

- u = �-

jL = 12 %KKKKKL + 1

2 �KKKKKL

Vectores Linealmente Dependientes (L.D)

Dos o más vectores l ibres son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de el los que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación l ineal.

t�Ä�KKKKL + t-Ä-KKKKL + ⋯ + t�Ä�KKKKL = 0KL Propiedades

1. Dos o más vectores son (L.D) entonces al menos uno de el los se puede expresar como una combinación l ineal de los otros. t�Ä�KKKKL� t-Ä-KKKKL �⋯� t;Ä;KKKKL � 0KL ∴ Ä�KKKKL = − t-t� ÄL- − t;t� ÄL;

Si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

2. Dos o más vectores son (L.D) si, y solo si, son paralelos.

3. Dos o más vectores ÇKL = ⟨Ç�, Ç-⟩ y ÄL � ⟨Ä�, Ä-⟩ son (L.D) si sus componentes son proporcionales. ÇKL � äÄL ⇔ ⟨Ç�, Ç-⟩ � ä⟨Ä�, Ä-⟩ Ç�Ä� �

Ç-Ä- � ä

Vectores Linealmente independientes (L. I) Dos o más vectores libres son (L. I) s i n inguno de el los se puede expresar como combinación l ineal de los otros.

t�Ä�KKKKL� t-Ä-KKKKL �⋯� t�Ä�KKKKL � 0KL t� � t- � ⋯ � t� � 0

Los vectores l inealmente independientes t ienen distinta dirección. Ejemplo Estudiar la dependencia l ineal de los vectores:

ÇKL � ⟨3,1⟩ y ÄL = ⟨2,3⟩ 32 � 1

3 ⇔ 3 ∙ 3 å 2 ∙ 1

Ejemplo Estudiar la dependencia l ineal de los vectores:

ÇKL = ⟨% � 1,3⟩ y ÄL � ⟨% � 1,5⟩ % � 1

3 = % + 15 ⇔ 5% � 5 = 3% + 3

% � 4

Son (L.D) para % � 4 Ejemplo Estudiar la dependencia lineal de los vectores:

ÇKL � ⟨5,3� %⟩ y ÄL � ⟨% � 9,3% � 1⟩ 5

% + 9 = 3 � %3% + 1 ⇔ 15% + 5 = 3% � %- + 27 � 9%

%- � 21% � 22 = 0

% � 1% � �22

Son (L.D) para % � 1 y % = �22 Angulo de dos vectores El ángulo que forman dos vectores ÇKL y ÄL viene dado por la expresión:

��mb = Ç� ∙ Ä� + Ç- ∙ Ä-¼Ç�- + Ç-- ∙ ¼Ä�- + Ä--

Ejemplo

ÇKL = ⟨3,0⟩ÄL � ⟨5,5⟩

��mb � 3 ∙ 5 � 0 ∙ 5√3- � 0- ∙ √5- � 5- � √22

b � 45° Ejemplo Calcular el producto escalar y el ángulo que forman los siguientes vectores 1. ÇKL � ⟨3,4⟩ÄL � ⟨�8,6⟩

ÇKL ∙ ÄL � 3 ∙ ��8� � 4 ∙ 6 � 0

��mb � 0√3- � 4- ∙ ¼��8�- � 6- � 050 � 0

b � 90° 2. ÇKL � ⟨5,6⟩ÄL � ⟨�1,4⟩

ÇKL ∙ ÄL � 5 ∙ ��1� + 6 ∙ 4 = 19

��mb = 19√5- + 6- ∙ ¼��1�- + 4- = 19

√61 ∙ √17 = 0.5900

b � 53°50� 3. Dados los vectores ÇKL � ⟨2, ä⟩ÄL � ⟨3,�2⟩ , calcula k para que los vectores ÇKL y ÄL sean:

A. Perpendiculares B. Paralelos

A. Dos vectores son perpendiculares ,si ÇKL ∙ ÄL � 0

2 ∙ 3� ä��2� � 0 ∴ ä � 3

B. Dos vectores son perpendiculares ,si b � 0°��m0° � 1

1 = 2 ∙ 3 + ä ∙ ��2�√4 + ä- ∙ √9 + 4 ⇔ ¼52 + 13ä- = 6 � 2ä

9ä- + 24ä + 16 = 0 ⇔ �3ä � 4�- � 0 3ä � 4 � 0 ∴ ä � � 43

9.7. El Problema del Valor Propio

En algebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección.

A la situación que plantea resolver 8Í � ¡Í para vectoresÍ å > se llama el problema del valor propio de la matriz 8. Definición: Valores y Vectores propios

Sea 8 una matriz cuadrada de. Se dice que un número ¡ es un valor propio5 de 8 si existe un vector solución Í diferente de cero del sistema lineal 8Í � ¡Í.Se dice que el vector Í es un vector propio que corresponde al valor propio ¡. A los valores y vectores propios se les conoce como valores y vectores característicos respectivamente. Al utilizar las propiedades del algebra matricial podemos escribir en la forma alterna 8Í � ¡Í � >, o bien �8� ¡=L�Í �>, donde =Les la matriz identidad multiplicativa.

Nótese que Í debe ser tal que se trata de encontrar una solución no trivial (o sea, distinta de 0) para un sistema homogéneo de L N L . Un resultado básico de algebra lineal es que existe una solución no trivial siempre que ��8 � ¡=L�Í � >. A esta ecuación se le denomina Ecuación característica asociada a la matriz 8 y al polinomio��8� ¡=L� lo llaman Polinomio Característico asociado a la matriz 8 y se denota por O8�¡�. Los valores propiosno son más que las raíces de este polinomio y una vez obtenida se proceden a encontrar los vectores propios.

Ejemplo1.

• Para la matriz 8 indique cuales vectores son vectores propios 8 � � �� N � X Y ; N� � X�Y ; N � X� Y ; N� � X>�Y

Solución:

8N � � �� X Y � X � �� Y � XY � X Y N , si es vector propio de 8 asociado al valor propio 3.

8N� � � �� X�Y � X� � ?� � Y � X!�Y å ªX�Y

N�, no es vector propio de 8.

• Determine los valores y vectores propios correspondientes de las matrices:

_� � �1 22 1� ; _� = �1 10 1� ; _� = � 1 2

�1 2�

5“Valor Propio”: viene de la palabra alemana eigenwert que, significa “valor apropiado

Resumen de la determinación de los vectores propios

• Todo valor propio ¡>debe ser raíz del polinomio característico asociado a 8. O8�¡� � ��8� ¡=L� • Un vector propio asociado al valor propio ¡ debe ser solución al sistema homogéneo: ��8� ¡=L�� >

Solución: para 8

O8�¡� � ��8� ¡=L� � ��X� �� ¡ � >> �Y O8 �¡� � �� X� �� ¡ >> ¡�Y � ��X � ¡ �� ¡Y O8 �¡� � ! � ¡ �� ¡! � � � ¡�� ¡� � �¡ � � �¡ � ��¡ � � Por lo tanto, los únicos valores propios de 8 son ¡ � y ¡� � �

Vector propio para ¡ �

Debe ser solución al sistema homogéneo:

��8� ¡=�� > Es decir :

X� �� >> �Y� � >

Desarrollando y finalmente aplicando G-J:

� � �� > → �� ⋮ >� �� ⋮ >� → � � ⋮ >> > ⋮ >� Convirtiendo en ecuación y poniendo en la notación vectorial:

� � � � > → � � � → X��Y � X��Y � � X Y

Lo anterior indica que cualquier vector de la forma:

�X Y es un vector propio asociado a ¡ �

Vector propio para ¡� � �

Debe ser solución al sistema homogéneo:

��8� ¡=�� > Es decir:

X� �� >> �Y� � >

Desarrollando y finalmente aplicando G-J:

� � �� > → �� ⋮ >� � ⋮ >� → � ⋮ >> > ⋮ >� Convirtiendo en ecuación y poniendo en la notación vectorial:

� � � � > → � � �� → X��Y � X�� Y � �X� Y Lo anterior indica que cualquier vector de la forma:

� X� Y es un vector propio asociado a ¡� � �

Las posibilidades que se tienen para los valores propios son:

o Valores propios reales y distintos o Valores propios reales repetidos o Valores propios complejos

Ejemplo .1 Valores Propios Reales y Distintos: Encontrar los valores propios y vectores propios de la matriz _ �

X�2 14 1Y.

Solución: se halla primero el polinomio característico de _

_ − Cn- = �−2 14 1� − C �1 00 1� = �−2 − C 14 1 − C�. El polinomio característico de _ PB�C� es |_ − Cn-| = �−2 − C��1 − C� − 4 = C- + C − 6 ahora resuelva la ecuación característica de _.

C- + C − 6 = 0 = �C + 3��C − 2� = 0 .

Los valores propios de _ son

C� = −3 y C- = 2.

Para encontrar el vector propio correspondiente a cada valor propio C. ,debe encontrarse un vector Ä. ≠ 0 tal que

�_ − C.n�Ä. = 0.

Al usar estos valores de C en la ecuación �_ − Cn-�% = 0 se encuentran los vectores propios correspondientes. Para cada valor propio existen muchos vectores propios correspondientes.

Usando C� = −3 resuelva la ecuación �_ − Cn-�% = 0 para x. La matriz �_ − Cn-� se obtiene restando −3 a los elementos en la diagonal de _. Se tiene

�−2 + 3 14 1 + 3� �%�%-� = 0 = �1 14 4� �%�%-� = 0

Esto conduce al sistema de ecuaciones siguiente

$ %� + %- = 04%� + 4%- = 0

de donde se obtiene

%� = −%-.

Las soluciones de este sistema de ecuaciones son

%� = −ä y %- = ä, donde ä es un escalar. Por lo tanto, los vectores propios de _ que corresponden a C� = −3 son los vectores distintos de cero de la forma ä �−11 � .

El vector Ä� es un generador del espacio de soluciones del sistema

�_ � C�n�Ä� � 0;

por lo tanto, es evidente que cualquier vector paralelo al vectorÄ� también es un vector propio con valor propio C�.

Usando C- � 2 resuelva la ecuación �_ � Cn-�% � 0 para x. La matriz �_� Cn-� se obtiene restando 2 a los elementos en la diagonal de _. Se tiene

��2 � 2 14 1 � 2� �%�%-� = 0 � ��4 1

4 �1� �%�%-� = 0

Esto conduce al sistema de ecuaciones siguiente $�4%� � %- � 04%� � %- � 0 de donde se obtiene

4%� � %-.

Las soluciones de este sistema de ecuaciones son

%� � <y%- � 4<, donde<esunescalar. Por lo tanto, los vectores propios de _ que corresponden a C- � 2 son los vectores distintos de cero de la forma < �14�

Siempre es importante saber si un conjunto de vectores forma un subespacio. Para C� = �3, junto con el vector cero, es

un subespacio unidimensional de k�con base :��11 �;. También el conjunto de vectores propios paraC- � 2 , junto con el

vector cero, es un subespacio unidimensional de k� con base :�14�;∎

Nota: para el caso de una matriz de �%�, el polinomio característico puede ser calculado con la expresión. 3�¡� =

��w_ � Cn�x = �³ � ¡ �³� ⋯ �³ L�³� ³�� ¡ ⋯ �³�L⋮�³L

⋮�³L�

⋮ ⋮⋯ ³LL � ¡

�es el polinomio característico de _. La ecuación 3�¡� = ��w8 �

¡=Lx = >.Es la ecuación característica de _.

Nota: para el caso de una matriz de 2 N 2, el polinomio característico puede ser calculado con base en la traza (suma de los elementos de la diagonal) y el determinante.

8 � X³ Á� �Y, es O8�¡� � ��8 � ¡=� � �� X³ � ¡ Á� � � ¡Y � ¡� � ¡�P�8� � ��8�, por lo que el polinomio

característico queda expresado en términos de la traza y el determinante de _.

Ejemplo.2: Valores Propios Reales repetidos: Calcule los Valores y Vectores propios de _ � X 3 4�1 7Y. Solución: A partir de la ecuación característica det�_ � Cn�� =!3 � λ 4�1 7 � λ! � �C� 5�- � 0,podemos observar

queC� � C- � 5 es un valor propio de multiplicidad2. En el caso de una matriz 2 N 2, no es necesario utilizar a Gauss – Jordan. Para encontrar los vectores propios correspondientes aC� � 5, se recurre al sistema�_ � 5I|0� en su forma equivalente �2ä� � 4ä- � 0�ä� � 2ä- � 0. A partir de este sistema, se sabe que ä� � 2ä-.

Por lo tanto, si seleccionamosä- � 1,encontraremos un solo vector propio ä� � X21Y∎

Ejemplo.3: Valores Propios Complejos: Encontrar los valores propios y vectores propios de la matriz _ � X1 �11 1 Y. Solución: A partir de la ecuación característica PB�C� � det�_ � Cn�� =!1 � λ �11 1 � λ! � �1 � C�- � 1 � C- � 2C� 2

Las raíces o valores propios de _ son C�,- � -1√.��- � -1-.- � 11 \,por lo tanto C� � C � 1 � \y C- � C̅ � 1 � \ y

tenemos que ¤ � ¥ � 1 . Para C � 1 � \, el vector propio correspondiente se determina resolviendo

�_ � Cn�Ä � 0,

para algún

Ä � XtuY å X00Yes decir

X�\ �11 �\Y XtuY � X00Y.

Esto corresponde al sistema de ecuaciones

:– \t � u � 0t � \u � 0

Si escogemos u � 1,entonces t � \ y concluimos que Ä es un vector propio con valor propio C � 1 � \dondeÄ puede

escribirse como Ä � X\1Y � X01Y � \ X10Y.

En consecuencia, para C̅ � 1 � \ se tiene que el vector propio correspondiente esta dado por

Ä̅ � X��1 Y � X01Y � \ X10Y.

Ejemplo.4: Calcule los Valores y Vectores propios de _ � è9 1 11 9 11 1 9é

Solución: Para expandir el determinante a su ecuación característica

$"(�_ � Cn�� (9 � C 1 11 9 � C 11 1 9 � C( � ��C � 11��C � 8�- � 0,muestra que C� � 11y queC- � C; � 8es un valor

propio de multiplicidad 2.

Para C� � 11, el método de eliminación de Gauss – Jordan da�_ � 11n|0� � è�2 1 11 �2 11 1 �2(000é → è1 0 �10 1 �10 0 0 (000éde

aquí queä� � ä; yä- � ä;. £\ä; � 1, entonces ä� � è111é.

Para C- � 8 tenemos �_ � 8n|0� � è1 1 11 1 11 1 1(000é → è1 1 10 0 00 0 0(

000é.En la ecuación ä� � ä- � ä; � 0seleccionamos

libremente dos de las variables de forma arbitraria. Si ä- � 1,�; � 0 y ä- � 0, ä; � 1, obtenemos dos vectores propios

lineales independientes: ä- � è�110 é �ä; � è�101 éque corresponden a un solo valor propio.

Ejemplo.5: Calcule los Valores y Vectores propios de _ � è 1 2 16 �1 0�1 �2 �1é.

Solución: Para expandir el determinante a su ecuación característica

$"(�_ � Cn�� (1 � C 2 16 −1 − C 0−1 −2 −1 − C( = 0,tomando los cofactores del segundo renglón se tiene la ecuación

característica −C; − C- + 12C = 0 o C�C + 4��C − 3� = 0.

Los valores propios son: C� = 0, C- = −4, C; = 3. para calcular los vectores propios se reduce a�_ − Cn|0� tres veces a los tres valores propios distintos.

Para C� = 0tenemos �_ − 0n|0� = è 1 2 16 −1 0−1 −2 −1(000é

��T��T�T��T�UVVVVVW è1 2 10 −13 −60 0 0 (000é � ��T�UVVW è1 2 10 1 X��0 0 0(000é�-T��T�UVVVVVW ?1 0 ��0 1 �

�;0 0 0Y000@.

Concluimos que ä� = − ��ä; y ä- = − X��ä;. Seleccionamos ä; = −13. Nos da el vector propio ä� = è 16−13é.

Para C- = −4, �_ + 4n|0� = è 5 2 16 3 0−1 −2 3(000é

T�T�⇒ è1 2 −36 3 05 2 1 (000é��T��T��/T��T�UVVVVVW è1 3 −30 −9 �Z0 −8 16(

000é��[T��ZT�UVW è1 2 9�0 1 −20 1 −2(

000é�-T��T��-T��T�UVVVVVWè1 0 �0 1 −20 0 0 (000éimplica que ä� = �ä; y ä- = 2ä;.La elección de que ä; = 1y resulta el segundo vector propio

ä� = è−121 é. Por último, para λ; = 3,el método de eliminación de Gauss – Jordan resulta �_ − 3n|0� = è−2 2 16 −4 0−1 −2 −4(

000é\]^_`ab\c^d a\c _^cef\c^dUVVVVVVVVVVVVVVVVVVVW è1 0 10 1 ��0 0 0(

000é,y así ä� = �ä; y ä- = −��ä;. La elección de que ä; = −2 da como resultado un

tercer vector propio, ä; = è 23−2é. 9.8. Potencia de una Matriz según los números reales

Definición: La notación usada para potencias de matrices es semejante a la usada para potencias de números reales. Sean A una matriz cuadrada de tamaño � × � y ä ∈ �: Definimos la ä - esima potencia de _; simbolizada por _g ; de la siguiente manera _T = nT, _g = _g��_. En general _g = ___ … _, ä veces _. Teorema Propiedades de la potencia Sean _, Z matrices de � × � y ä, < ∈ � entonces, 1. _g_� = �_�g�� 2. �_Z�g = _gZg, si _Z = Z_, es decir, si _ y Z conmutan 3. n�g = n�

Ejemplo.1 Si A = � 1 −2−1 0 �, Calcule _.

Solución: según las reglas anteriores se puede escribir _. = �_-�-

Se tiene _- = � 1 −2−1 0 � � 1 −2−1 0 � = � 3 −2−1 2 �

_. = � 3 −2−1 2 � � 3 −2−1 2 � = � 11 −10−5 6 �

Ejemplo.2:

Sea la matriz A = h1 5⁄ 2 5⁄2 5⁄ 4 5⁄ i, pruebe que es idempotente, puesto que

h1 5⁄ 2 5⁄2 5⁄ 4 5⁄ i[ = h1 5⁄ 2 5⁄2 5⁄ 4 5⁄ i y h1 5⁄ 2 5⁄2 5⁄ 4 5⁄ i h1 5⁄ 2 5⁄2 5⁄ 4 5⁄ i = h1 5⁄ 2 5⁄2 5⁄ 4 5⁄ i. Una matriz idempotente __ = _[ = _ Ejemplo.3: Simplifique la siguiente expresión matricial A�_ + 2Z� + 3Z�2_ − Z� − _- + 7Z- − 5_Z Solución: usando las propiedades de las operaciones con matrices se tiene

_�_ + 2Z� + 3Z�2_ − Z� − _- + 7Z- − 5_Z = −3_Z + 6Z_ + 4Z-

No es posible simplificar −3_Z + 6Z_ ; la multiplicación de matrices no es conmutativa.

9.8.1 Potencia de una matriz según Cayley – Hamilton.

En algún momento es importante calcular una potencia de _o, siendo p un entero positivo, de una matriz _ de � × � : _o = ___ … _. Calculo de _o, método alterno para efectuar el cálculo de _o, mediante el teorema de Cayley – Hamilton Teorema de Cayley – Hamilton. Una matriz _ de det�_� = 0 satisface su propia ecuación característica. 1. Calculo de _o, para una matriz de 2 × 2 sin demostración.

_o=��w�-j�.��jx k�æ�j9�9��jç9�� w-j��jx ��w-jG��jx�

2. Calculo de _o, para una matriz de 3 × 3 sin demostración.

_o = ?�Xw9 − 2o�� − �−1�ox ��w-j��jx �Xw�7�-jG��jx1 − 2o 2o 2o − 1�Xw;�-jG��jx ��w-j��jx �Xw�;�-jG��jx

@.

Ejemplo.1 Cálculo de la inversa. Suponga que A es una matriz no singular

_ = X−2 4−1 3Ysatisface _- − _ − 2n = 0. Solución: Despejando la matriz identidad se tiene n = ��_- − ��_. Multiplicando por _��, se tiene _�� = ��_ − ��n. En otras palabras, la inversa de _ esX−2 4−1 3Y�� = �

- X−2 4−1 3Y − �- X1 00 1Y = ·−�� 2−�� 1¸.

Ejemplo.2 Cálculo de _-. Suponga que A es una matriz cuadrada _ = X−2 4−1 3Ysatisface _- − _ − 2n = 0. Solución: Despejando el valor más elevado de _. _- = 2n + _ En otras palabras,_- es

X�2 4−1 3Y- = 2 X1 00 1Y + X−2 4−1 3Y = X 0 4−� 5Y. De otra manera,

X−2 4−1 3Y- = X−2 4−1 3Y X−2 4−1 3Y = X4 − 4 −8 + 122 − 3 −4 + 9 Y = X 0 4−� 5Y.

Ejemplo.3: En el ejercicio anterior calcular _o, si p = 6.

Solución: La ecuación característica de la matriz de 2 N 2 _ = X−2 4−1 3Yes C- − C − 2 = 0, y los valores propios de _

son C� = −1 y C- = 2. El teorema de Cayley – Hamilton, implica que _- − _ − 2n = 0, o, despejando el valor más elevado de _ _- = 2n + _ �1�. Si multiplicamos la ecuación (1) por _, obtenemos _; = 2_ + _-, y si utilizamos de nuevo la ecuación (1) para eliminar en el lado derecho de esta nueva ecuación, se tiene _; = 2_ + _- = 2_ + �2n + _� = 2n + 3_. Al continuar de esta manera, multiplicando el último resultado por A y utilizando (1) para eliminar _-, obtenemos la sucesión de potencias de A expresada en términos de n y de _: _. = 6n + 5_ _/ = 10n + 11_

_� = 22n + 21_ y así sucesivamente , por ejemplo, _� = 22 X1 00 1Y + 21 X−2 4−1 3Y = X−20 84−21 85Y. Usted deberá

comprobar este resultado con la formula.

9.9. Diagonalizacion

La Diagonalizacion representa una herramienta importante para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que veremos más adelante. La pregunta fundamental aquí es, para una matriz cuadrada, podemos calcular una matriz no singular C cuadrada tal que r��_r = l sea una matriz diagonal?

Matrices Semejantes y Diagonalizacion Definición: Se dice que dos matrices _ y Z de � N � son semejantes si existe una matriz invertible r de � N � tal que Z =r��_r. Eemplo.1:

Sea _ = X2 10 −1Y , Z = X4 −25 −3Y � r = X 2 −1−1 1 Y. Entonces

rZ = X 2 −1−1 1 Y X4 −25 −3Y = X3 −11 −1Y �

_r = X2 10 −1Y X 2 −1−1 1 Y = X3 −11 −1Y.

Así rZ = _r. Como $"(r = 1 ≠ 0, res invertible.Esto muestra que A y B son semejantes. Eemplo.2:

Sea l = è1 0 00 −1 00 0 2é , _ = è−6 −3 −252 1 82 2 7 é y r = è2 4 30 1 −13 5 7 é. C es invertible porque $"(r = 3 ≠ 0. Después

calculamos.

r_ = è2 4 30 1 −13 5 7 é è−6 −3 −252 1 82 2 7 é = è2 4 30 1 −16 10 14é.

lr = è1 0 00 −1 00 0 2é è2 4 30 1 −13 5 7 é = è2 4 30 1 −16 10 14 é.

Entonces r_ = lr y _ = r��lr, por lo tanto _ y l son semejantes. Nota: En los ejemplos 1 y 2 no fue necesario calcular r�� . Solo fue necesario saber que rera no singular. Teorema: Si _ y B son matrices semejantes de � N �, entonces _ y Z tienen el mismo polinomio característico y, por consiguiente, tienen los mismos valores característicos. Eemplo.3: Los valores característicos de matrices semejantes son los mismos

En el ejemplo.2, los valores característicos de l = è1 0 00 −1 00 0 2é son 1, −1 y 2.

Entonces estos son los valores característicos de _ = è−6 −3 −252 1 82 2 7 é.Verifique esto si se cumple que $"(�_ − 2n� =0. Definición: Sean A y D una matrices cuadradas del mismo tamaño. Se dice que D es similar o semejante a A , si existe una matriz invertible r tal que l = r��_r. A esta transformación de la matriz _ en la matriz D se llama transformación semejante. Teorema: Criterio para la Diagonalizacion Una matriz A de � N � es diagonalizable si y solo si tiene � vectores característicos linealmente independientes. En tal

caso, la matriz diagonal D semejante a A esta dada por l =mnoC� 0 00 C- 00 0 C;

… 0… 0… 0⋮ ⋮ ⋮0 0 0 ⋮ ⋮… C�pqr donde C�, C-, C;, … , C� son los

valores característicos de _. Si C es una matriz cuyas columnas son vectores característicos linealmente independientes de A, entonces l = r��_r Corolario : Si la matriz Ade � N � tiene � valores característicos diferentes, entonces _ es diagonalizable. Teorema: Condición suficiente para la Diagonalizacion Si una matriz A de � N � tiene � valores propios distintos, es diagonalizable. Ejemplo.1: Diagonalizacion de una matriz de � N �. (Diagonalizar: una matriz _, es encontrar una matriz diagonal semejante a _).

Solución: Sea _ = X4 23 3Y. Los dos vectores característicos linealmente independientes son:

ä� = X 2−3Y � ä- = X11Y. Después, haciendo r = �ä�, ä-� = X 2 1−3 1Y.

Se encontró que

r��_r = �/ X1 −13 2 Y X4 23 3Y X 2 1−3 1Y = �

/ X1 −13 2 Y X 2 6−3 6Y = �/ X5 00 30Y = X1 00 6Yque es la matriz cuyas

componentes en la diagonal son los valores característicos de _. Ejemplo.2: Diagonalizacion de una matriz de N con tres valores característicos distintos

Sea _ = è1 −1 43 2 −12 1 −1é. Los tres vectores característicos linealmente independientes son:

ä� = è−141 é , ä- = è 1−1−1é � ä; = è121é . r = �ä�, ä-, ä;�.Entonces r = è−1 1 14 −1 21 −1 1é y r��_r =− �

� è 1 −2 3−2 −2 6−3 0 −3é è1 −1 43 2 −12 1 −1é è−1 1 14 −1 21 −1 1é = − �� è 1 −2 3−2 −2 6−3 0 −3é è−1 −2 34 2 61 2 3é =

− �� è−6 0 00 12 00 0 −18é = è1 0 00 −2 00 0 3écon valores característicos 1, −2 y 3.

Ejemplo.3:

Diagonalizacion de una matriz de N con dos valores característicos distintos y tres vectores característicos linealmente independientes

Sea _ = è3 2 42 0 24 2 3é.Entonces, los tres vectores característicos linealmente independientes son

ä� = è212é , ä- = è 1−20 é � ä; = è 0−21 é. r = �ä�, ä-, ä;�. Estableciendo r = è2 1 01 −2 −22 0 1 é se obtiene r��_r =− �

7 è−2 −1 −2−5 2 44 2 −5é è3 2 42 0 24 2 3é è2 1 01 −2 −22 0 1 é

=− �7 è−2 −1 −2−5 2 44 2 −5é è16 −1 08 2 216 0 −1é = − �

7 è−72 0 00 9 00 0 9é = è8 0 00 −1 00 0 −1é .

Este ejemplo muestra que _ es diagonalizable aun cuando sus valores característicos no sean diferentes.

9.10. Aplicaciones Económicas

Modelo Insumo – Producto

El modelo insumo – producto llamado también, input- output, fue introducido por Loentief a finales de la década de los cuarenta, y analiza las interacciones entre diferentes sectores de una economía, de manera que se puedan predecir los niveles de producción de cada sector o industria para satisfacer las demandas futuras. Las interacciones hacen que un cambio en la demanda de un sector o industria modifique los niveles de producción de los otros sectores.

Ejemplo.1: Un incremento en la demanda de automóviles provoca un incremento en la demanda de otros insumos, formándose una cadena de incrementos en las demandas.

Para explicar este modelo consideremos el siguiente ejemplo, donde la economía tiene solamente dos industrias: la A y la B, y que las interacciones están dadas en la siguiente Tabla:

Insumo de la industria A

Insumo de la industria B


Producción de la industria A

60 64 76 200

Producción de la industria B

100 48 12 160


Para su producción la industria A necesita 60 unidades de su propio producto, 100 unidades de la industria B y 40 unidades de insumos primarios, por lo que necesita en total 200 unidades de insumos. Además su producción la reparte en 60 unidades para consumo propio, 64 que vende a la industria B y 76 unidades que vende en otra parte y se le llama demanda final. Análogamente puede analizarse para la industria B.

Supongamos también que un estudio de mercado predice que seis (6) años la demanda final de A, decrecerá de 76 a 70 unidades y que la demanda de B se incrementara de 12 a 60 unidades. Cuáles deben ser los nuevos niveles de producción en cada industria?

Nota: Las dos industrias no operan independientemente, por lo que la producción de A depende de la producción final de B y viceversa.

Solución:

Sean %� las unidades producidas por A y %- las unidades producidas porB, a fin de satisfacer la demanda de los próximos seis años.

En la Tabla anterior, vemos que para producir 200 unidades la industria A necesito 60 unidades de su producto y 100

unidades de la industriaB; entonces, proporcionalmente, %�unidades de A requieren �T

-TT %� unidades de su propio

producto y �TT-TT %� del producto de la industriaB. Análogamente, %- unidades de B requieren de

�. ��T %- unidades de A y

.��T %-unidades del propio producto de la industriaB.

Las ecuaciones siguientes representan la producción de cada una de las industrias:

�� = �T-TT %� + �.

��T %- + 70

�- = 100200 %� + 48160 %- + 60. La producción de la industria �� unidades de A se reparte en

�T-TT %� unidades para el consumo propio,

�.��T %- unidades

para el consumo de la industria B y otras 70 unidades para satisfacer la demanda final. Análogamente se explica la industria de �-.

El sistema anterior puede escribirse en la forma matricial: � = _� + ldonde � = � %� %-� es la matriz de producción, l =�7060� es la matriz de demanda y finalmente _ = h X)�)) Xk�X)�))�)) kZ�X)i se conoce como la matriz de insumo – producto.

A los elementos de la matriz _ se le denomina: coeficientes de insumo – producto, coeficientes de Leontief o coeficientes técnicos.

Para conocer los niveles de producción que se requieren se despeja la matriz �:

� = _� + l

n� = _� +l

n� − _� = l

�n − _�� = l ∴ � = wn − _x��l.

En el ejemplo que traemos: n − _ = �1 00 1� − h X)�)) Xk�X)�))�)) kZ�X)i = ! 0.7 −0.4−0.5 0.7 ! = 0.29 en decimal= 29

wn − _x�� = ��[ �70 4050 70� ∴ � = wn − _x��l = ��[ �70 4050 70� �7060� =�251.7265.5�. Por tanto, la industria A deberá producir 251.7unidades y la industria B 265.5 unidades.

Cuáles son los nuevos insumos primarios correspondientes?

Si para un total de 200 unidades de producto la industria A utilizo 40 unidades de insumo primario, entonces, para producir 251.7 unidades necesitará: �s�.t�)) �40� = 50.34 unidades de insumo primario, y análogamente la industria Z : �Xs.s�X) �48� = 79.65 unidades de insumo primario.

Ejemplo.2:

Suponga que en una economía existen solo dos industrias, cuya interacción se resume en la tabla





240 750 210 1200


720 450 330 1500


A) Obtenga la matriz de insumo – producto B) Determine la matriz de producción si las demandas finales cambian a 312 unidades en la industria I y a 299

unidades en la industria II. C) Cuáles son los nuevos insumos primarios correspondientes?

Solución:

El sistema anterior puede escribirse en la forma matricial :X = AX + D

Donde X = � x� x- � es la matriz de producción, D = æ;�--77ç es la matriz de demanda y finalmente A = v �k)��)) ts)�s))t�)��)) ks)�s))w es la matriz de insumo – producto.

A) A = v �k)��)) ts)�s))t�)��)) ks)�s))w

B)I − A = �1 00 1� − �0.2 0.50.6 0.3� = � 0.8 −0.5−0.6 0.7 � wI − Ax�� = /�; �7 56 8� X = wI − Ax�� = s�� 7 56 8� �312299� ∴ X = wI − Ax��D = �14151650�. La industria I debe producir 1415 unidades

y la industria II 1650 unidades.

C) Si para un total de 1200 unidades de producto la industria I utilizo 240 unidades de insumo primario, entonces, para producir 1415 unidades necesitará: �k�s��))�240� = 283 unidades de insumo primario, y

análogamente la industria II para un total de 1500 unidades de su producto: �Xs)�s))�300� = 330.

Ejemplo.3:

Suponga que en una economía existen solo dos industrias, cuya interacción se resume en la tabla





240 750 210 1200


720 450 330 1500


Para su producción la industria I necesita 240 unidades de su propio producto, 720 unidades de la industria II y 240 unidades de insumos primarios, por lo que necesita en total 1200 unidades de insumos. Además su producción la reparte en 240 unidades para consumo propio, 750 que vende a la industria II y 210 unidades que vende en otra parte y se le llama demanda final. Análogamente puede analizarse para la industria II. Supongamos también que un estudio de mercado predice que seis (6) años la demanda final de I, crecerá de 210 a 312 unidades y que la demanda de II se reducirá de 330 a 299 unidades. Cuáles deben ser los nuevos niveles de producciones en cada industria?

Nota: Las dos industrias no operan independientemente, por lo que la producción de I depende de la producción final de II y viceversa.

E) Halle las ecuaciones que representan la Producción de cada una de las industrias F) Obtenga la matriz de Insumo – Producto G) Determine la matriz de producción si las demandas finales cambian a 312 unidades en la industria I y a 299

unidades en la industria II. H) Cuáles son los nuevos insumos primarios correspondientes?

Solución:

Sean %� las unidades producidas por I y %- las unidades producidas por II, a fin de satisfacer la demanda de los próximos seis años.

En la tabla anterior, vemos que para producir 1200 unidades la industria I necesito 240 unidades de su producto y 720

unidades de la industria II; entonces, proporcionalmente, %�unidades de I requieren -.T

�-TT %� unidades de su propio

producto y �-T

�-TT %� del producto de la industria II. Análogamente, %- unidades de II requieren de �/T

�/TT %- unidades de I y ./T

�/TT �-unidades del propio producto de la industriaII. A) Las ecuaciones siguientes representan la producción de cada una de las industrias:

�� = -.T�-TT %� + �/T

�/TT %- + 312

�- = 7201200 %� + 4501500 %- + 299. La producción de la industria �� unidades de I se reparte en

-.T�-TT %� unidades para el consumo propio,

�/T�/TT %- unidades

para el consumo de la industria II y otras 200 unidades para satisfacer la demanda final. Análogamente se explica la industria de �-.

El sistema anterior puede escribirse en la forma matricial : � � _� � l

Donde � � � %� %-� es la matriz de producción, l = æ;�--77ç es la matriz de demanda y finalmente _ = v �k)��)) ts)�s))t�)��)) ks)�s))w es la matriz

de insumo – producto.

Z�_ = d -.T�-TT ts)�s))t�)��)) ks)�s))e

r�n − _ = �1 00 1� − �0.2 0.50.6 0.3� = � 0.8 −0.5−0.6 0.7 � wn − _x�� = /�; �7 56 8� � = wn − _x�� = s�� 7 56 8� �312299� ∴ � = wn − _x��l = �14151650�. La industria I debe producir 1415

unidades y la industria II debe producir 1650 unidades.

D) Si para un total de 1200 unidades de producto la industria I utilizo 240 unidades de insumo primario, entonces, para producir 1415 unidades necesitará: �k�s��))�240� = 283 unidades de insumo primario, y análogamente la industria II: �Xs)�s))�300� = 330 unidades de insumo primario.

9.11. Optimización Restringida

Máximos y Mínimos sujetos a Restricciones

El método de multiplicador de LaGrange se emplea para obtener los máximos o mínimos de las funciones sujetos a restricciones de igualdad y tal método se puede generalizar al caso de una restricción de desigualdad. Los máximos y mínimos sujetos a restricciones múltiples de igualdad y desigualdad se obtiene para medios de los llamados condiciones de Kuhn – Tucker.

Multiplicadores de LaGrange: es el método más extensamente utilizado en ciencias económicas e ingeniería para maximizar o minimizar funciones sometidas a restricciones de igualdad.

Máximos y Mínimos sujetos a Restricciones

El método de multiplicador de LaGrange se emplea para obtener los máximos o mínimos de las funciones sujetos a restricciones de igualdad y tal método se puede generalizar al caso de una restricción de desigualdad. Los máximos y mínimos sujetos a restricciones múltiples de igualdad y desigualdad se obtiene para medios de los llamados condiciones de Kuhn – Tucker.

Multiplicadores de LaGrange: es el método más extensamente utilizado para maximizar o minimizar funciones sometidas a restricciones de igualdad.

Supongamos que se va a maximizar o a minimizar la función f�%, ��con base en la restricción ��%, �� = ä.Se puede formar una nueva función valida simplemente:

1. Igualando la restricción a cero 2. Multiplicando por C ( el multiplicador de LaGrange) 3. Añadiendo el producto a la función original para obtener

l�%, �, C� = f�%, �� − Cwä − ��%, ��x � l�%, �, C� = f�%, �� + Cw��%, �� − äx donde l�%, �, C�es la función de LaGrange, f�%, ��es la función original u objetivo y ��%, ��es la restricción. En la que la cantidad C, el multiplicador de lagrange, es independiente de % y de y, y resulta ser una incógnita. Se obtienen %, � , y C tomando las derivadas parciales de F con respecto a las tres variables independientes, igualando acero y resolviendo simultáneamente

àlà% = àfà% − C à�à% = 0

àlà� = àfà� − C à�à� = 0

�á�D = ��%, �� = 0 para determinar las incógnitas % , y, y C. �16�

Nota.4: El método de los multiplicadores de LaGrange puede extenderse a una función de � nvariables, f�%�, %-, … , %��sometidas a ä restricciones,�x�%�, %-, … , %�� = 0 siendo,̂ = 1,2, … , ä donde ä ≤ �. Entonces

l�%�, %-, … , %�; C�, … , Cg� = f�%�, %-, … , %�� − ∑ Cx�x�%�, %-, … , %��gxµ� y la diferenciación parcial produce � + ä

ecuaciones que debe resolverse para determinar � + ä n incógnita.

Ejemplo.1 Minimiza la función f�%, �� = 3%-+8�- + 5%� sujeta a la restricción % + � = 48. Solución:

\� Iguale la restricción a cero, % + � − 48 = 0 o 48 − % − � = 0

Multiplique por C y sume a la función objetivo para formar la función de LaGrange F.

l = 3%- + 5%�+8�- + C�% + � − 48� \\� Tome las derivadas parciales de primer orden, iguale a cero y resuelva simultáneamente.

àlà% = 6% + 5� + C = 0

àlà� = 5% + 16� + C = 0

àlàC = % + � − 48 = 0

Resolviendo simultáneamente se obtiene: %T = 44, �T = 4, � CT = −284

Sustituyendo en la función para obtener el valor mínimo, = 3�44�- + 5�44��4� + 8�4�- + �−284��44 + 4 − 48� =6816∎

Ejemplo.2: Encontrar la curva de indiferencia asociada a la función de utilidad dada

� = 30%� ;⁄ �- ;⁄ hT = 20.000 3# = 500 35 = 800

Solución: sea � = 30%� ;⁄ �- ;⁄ ∴ �- ;⁄ = �;T#� �⁄ = �� ⁄

�;T#� �⁄ �� ⁄ = �

Ejemplo.3: Hallar las utilidades marginales de la utilidad del ejemplo.2: �o�# � ��# ; �o�5 � ��5

Solución: Sea �o�# � ��# � ��# �30%� ;⁄ ��- ;⁄ � �T5� �⁄#� �⁄ �o�5 = ��

�5 = ��5 ��- ;⁄ �30%� ;⁄ = -T#� �⁄

5� �⁄ Ejemplo.4: Hallar la T.M.S.B.T de la utilidad del ejemplo.2:

T. M. S. B. T = − �o�#�o�5 = −10�- ;⁄

%- ;⁄20%� ;⁄

�� ;⁄= − �2%

Ejemplo.5: Hallar la T.M.S.B.M de la utilidad del ejemplo.2:

T. M. S. B. M = − 2+2z = − /TT�TT = − /

�; − /� = − 5

-# ∴ � = �T#�

Según la restricción presupuestal:

hT = 3#% + 3#%� ∴ � = hT − 3#%35 = 20.000 − 500%800 = 10%8 ⇒ % = 20.0001500 ≅ 13 � = 10%8 = 10�13�8 ≅ 17

Como � = 30%� ;⁄ �- ;⁄ = 30�13�� ;⁄ �17�- ;⁄ =?

9.12. Optimización Matricial: Jacobiana, Hessiana y la Hessiana Orlada

Funciones con tres o más variables (Multivariadas)

Nuestro propósito en esta sección es ilustrar con dos ejemplos la manera en que se extienden los métodos de análisis de concavidad y convexidad para funciones de tres o más variables. Cuando tenemos funciones con tres variables, ya no se puede utilizar el método gráfico, puesto que ya no es posible visualizar la función. Sin embargo, sus curvas de nivel se visualizan en ℝ;, y por lo tanto es válido en estas funciones utilizar el método de conjuntos contorno, además de los métodos de matriz Hessiana y Hessiana Orlada. En funciones de cuatro o más variables no es posible utilizar el método gráfico y el método de Conjuntos contorno, por lo cual solo disponemos de los métodos de matriz Hessiana y la Hessiana Orlada.

Optimización matriz jacobiana

La matriz jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Tanto la matriz jacobiana como el determinante jacobiano reciben su nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacobi. Una de las aplicaciones más importantes de esta matriz es aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el jacobiano representa la derivada de una función multivariable. Suponga que f: ℝ� → ℝo es una función que va del espacio euclidiano n-dimensional a otro espacio euclidiano m- dimensional. Esta función está determinada por m funciones reales. Las derivadas parciales pueden estar organizadas en una matriz p × �, la matriz jacobiana de f está denotada por

{á�%�, ⋯ , %��

Es decir; |�5�,⋯,5j�|�#�,⋯,#}�

En calculo vectorial, se llama Jacobiano6 o determinante Jacobiano o funcional al determinante de la matriz jacobiana.

Una determinante jacobiana permite probar la dependencia funcional, tanto lineal como no lineal. Una determinante jacobiana |{|se compone de todas las derivadas parciales de primer grado de un sistema de ecuaciones, dispuestas en secuencia ordenada. Así dado

�� = f��%�, %-, %;�

�- = f-�%�, %-, %;�

�; = f;�%�, %-, %;�

|{| = "à��, à�-,��;à%�, à%-, à%; " = ��à��à%�

à��à%-à��à%;à�-à%�

à�-à%-à�-à%;à�;à%�

à�;à%-à�;à%;

��

Si |{| = 0,las ecuaciones son funcionalmente dependientes; mientras que si |{| ≠ 0,las ecuaciones son funcionalmente independientes.

Ejemplo.1: El determinante jacobiano de la función f: ℝ; → ℝ; definida como:

l�%�, %-, %;� = �5%-, 4%�- − 2m\��%-%;�, %-%;� es

{�%�, %-, %;� = ( 0 5 08%� −2%;��m�%-%;� −2%-��m�%-%;�0 %; %-( =

−5 "8%� −2%-��m�%-%;�0 %- " = −40%�%-

Ejemplo.2: Dado �� = 5%� + 3%-; �- = 25%�- + 30%�%- + 9%--,

Primero, se toman las parciales de primer grado,

à��à%� = 5 à��à%- = 3 à�-à%� = 50%� + 30%- à�-à%- = 30%� + 18%- A continuación ajustamos la jacobiana,|{| = " 5 350%� + 30%- 30%� + 18%- " y se evalúa, |{| = 5�50%� + 30%-� −3�30%� + 18%-� = 0

Puesto que |{| = 0, existe una dependencia funcional entre las ecuaciones. �5%� + 3%-�- = 25%�- + 30%�%- + 9%--

Ejemplo.3

Dado �� = 3%�−4%-; �- = 9%�-−24%�%- + 16%--,

Primero, se toman las parciales de primer grado,

à��à%� = 3 à��à%- = −4 à�-à%� = 18%�−24%- à�-à%- = −24%� + 32%-

6 Tanto la matriz Jacobiana como el determinante Jacobiano reciben el nombre en honor al matemático Carl Gustav Jacovi

A continuación ajustamos la jacobiana,|{| � " 3 �418%��24%- −24%� + 32%- " y se evalúa, |{| = 3�−24%� + 32%-� +4�18%�−24%-� = 0

Puesto que |{| = 0, existe una dependencia funcional entre las ecuaciones. �3%�−4%-�- = 9%�-−24%�%- + 16%--

Optimización matriz hessiana

El hessiano, conocido también como discriminante o matriz hessiana, introducido por Josep Sylvester y diseñado en el año 1884 por Ludwing Otto Hesse, matemático alemán quien nació en 1811 y murió en 1874. Esto sucedió luego de que Carl Gustav Jacob Jacovi �1804 − 1851�introdujera “los jacobianos”. Lo que hizo jacobi fue expresar los cambios de variable de las integrales múltiples en términos de estos.

Se define la matriz hessiana de una función f de � variables, como la matriz cuadrada de � N �, de las segundas derivadas parciales. Esto es, una matriz simétrica formada por las derivadas parciales del gradiente de una función. La matriz hessiana suministra la información de la curvatura de una función.

Matriz Hessiana Orlada es una variación de la matriz hessiana utilizada en problemas de optimización restringida. El determinante de sus principales menores se utiliza como criterio para determinar si un punto crítico de una función es un minino, máximo. Punto silla o no determinado.

Concavidad / Convexidad

Caracterización de funciones cóncavas y convexas

Sea f: � → ℝ una función diferenciales con � ⊂ ℝ� . El gradiente de f es el vector de las derivadas parciales de f dado por

∇f�%� =mno

àfà%�⋮àfà%�pqr

Si f es doblemente diferenciable con derivadas parciales continuas, entonces definimos el hessiano de f como la matriz

de las segundas derivadas parciales dadas por �f�%� =��

��Î�#��Î

�#��#�⋮��Î�#}�#�

��Î�#��#��Î

�#��⋮��Î�#}�#�

⋯⋯⋱��Î

�#��#}��Î�#��#}��Î

�#}� ��

Nota: el hessiano es una matriz simétrica

Ejemplo.1:

Sea f: h; → h dada por f�%, �, j� = 15% + %� − 4%- − 2�- − j- + 2�j + 7.Determine el hessiano

Solución: las segundas derivadas parciales están dadas por

f# = 15 + � − 8% ↔ f## = −8 ↔ f#5 = 1

f5 = % − 4� + 2j ↔ f55 = −4 ↔ f5# = 1

f� = −2j + 2� ↔ f�� = −2 ↔ f�# = 0 = f#�;f5� = 2 = f�5.

Por ende, el hessiano está dado por

�f v%�jw = �f## f#5 f#�f5# f55 f5�f#� f�5 f�� = d−8 1 01 −4 20 2 −2e

Ejemplo.2:

Sea f: h- → h dada por f�%, �� = 560% + 520� − 2%- − 2%� − 2�-.Determine la matriz hessiana

Solución: las segundas derivadas parciales están dadas por

f# = 560 − 4% − 2� ↔ f## = −4 ↔ f#5 = −2

f5 = 520% − 2% − 4� ↔ f55 = −4 ↔ f5# = −2

Por ende, el hessiano está dado por

�f �%�� = vf## f#5f5# f55w = �−4 −2−2 −4�

Matrices definidas

Sea _ una matriz simétrica. Se dice que

i. _ es positiva definida si para todo % ≠ 0 se tiene que %�_% > 0 ii. _ es negativa definida si - _ es positiva definida, es decir, si para todo % ≠ 0 se tiene que %�_% < 0 iii. A es positiva semidefinida si para todo % se tiene que %�_% ≥ 0 iv. _ es negativa semidefinida si - _ es positiva semidefinida, es decir, si para todo % se tiene que %�

�% ≤ 0 Definición: Sea _ una matriz de � N �. Los menores principales de _ son los determinantes de las submatrices principales.

Ejemplo.1:

Encontrar las submatrices y menores principales de la matriz

Z = d5 0 73 −2 21 10 −3e Solución: Para mayor claridad, pueden añadirse líneas divisorias de la siguiente manera:

Z = è5� 0| 73 −2� 21 10 −3é

De la definición vemos que las submatrices principales son:

�5�, X5 03 −2Y, y la matriz Z en sí. Los menores principales son los determinantes correspondientes, es decir,5, −10 y

154

Ejemplo.2:

La matriz es positiva semidefinida,pero no positiva definida:

_ = X3 00 0Y

Verifica que _ es positiva semidefinida.

Solución: Sea % � XtuY, entonces %�_% � �t u� X3 00 0Y XtuY � 3t- ≥ 0

Toda matriz positiva definida es positiva semidefinida y toda matriz negativa definida es negativa semidefinida.

Teorema Sea _ una matriz simétrica

i. _ es positiva definida si y solo si todos sus menores principales son positivos. ii. _ es positiva semidefinida si y solo si todos sus menores principales son no negativos.

El siguiente teorema permite determinar la concavidad de una función mediante la matriz hessiana

Teorema Sean � ⊂ k� un conjunto convexo y f: � → ℝ una función de clase r- .Entonces

i. f es cóncava si y solo si para todo % ∈ � el hessiano �f�%� es negativo semidefinido ii. f es convexa si y solo si para todo % ∈ � el hessiano �f�%� es positivo semidefinido iii. Si para todo % ∈ � �f�%� es negativa definida, entonces f es estrictamente cóncava iv. Si para todo % ∈ � �f�%� es positiva definida, entonces f es estrictamente convexa

Ejemplo.3:

Verificar que la función f: h; → h dada por f�%, �, j� = 15% + %� − 4%- − 2�- − j- + 2�j + 7 es estrictamente cóncava.

Solución: sabemos que el hessiano es �f v%�jw = d−8 1 01 −4 20 2 −2e

Veremos que −� es una matriz positiva definida.

−� = d−8 −1 01 4 −20 −2 2 e Las submatrices principales son

�8�, X 8 −1−1 4 Y y –�,

y los menores principales correspondientes: 8, 31 y 30. Por lo tanto, � es negativa definida y la función es estrictamente cóncava.

Funciones cuasi cóncavas y cuasi convexas

Definición: sean � ⊂ ℝ� un conjunto convexo y f: � → ℝ

i. El contorno de f en ä es el conjunto rÎ�ä� = �% ∈ �: f�%� = ä� ii. El contorno superior de f en ä es rmÎ�ä� = �% ∈ �: f�%� ≥ ä� iii. El contorno inferior de f en ä es rnÎ�ä� = �% ∈ �: f�%� ≤ ä�

9.12. Métodos de los mínimos cuadrados

Que es el método de los mínimos cuadrados? , cómo aplicar el método de los mínimos cuadrados?

� Primero es el más usado para el ajuste de una recta a una serie de datos.

Con el modelo de los mínimos cuadrados se puede calcular en una función una serie de datos registrados.

Este método consiste en una aproximación que nos permite representar un grupo de datos mediante una sola función.

Así que cuando haya un conjunto de valores registrados sin importar la cantidad y tamaño, ahí estará el método de los mínimos cuadrados para proporcionarle una tendencia.

Las aplicaciones del método son ilimitadas, desde conocer la tendencia de su éxito con las mujeres, hasta modelar producción y ventas de una gran empresa.

Para los negocios, la ingeniería, la investigación y todas las ciencias en general el M de los M.C le garantiza su tendencia con el mínimo margen de error.

Segundo, consiste en ajustar una recta a valores dispersos, necesitamos entonces conocer las características de la recta, como son, su pendiente y su ordenada en el origen, de la cual necesitamos estimar los valores de t y u de la ecuación:

q = t + u%

Sabiendo que el M de los M.C calculara la recta que pasa por la media de todas las observaciones representados por

�%�, ��%-, �-�, ⋯ , �%�, ��, entonces la ecuación de la recta será

q = � + u�% − %�

En donde

� =media de ��, �-, ⋯ , ��

% =media de %�, %-, ⋯ , %�

u = ∑�% − %�� − ��∑�% − %�-

Tendremos así la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada que corresponde a la recta que satisface la condición:

�% − %�� − �� = �%� − %�� − �� + �%- − %��- − �� + ⋯ + �%� − %�� − �� de que las constantes t y u hacen mínima la suma.

�� − ��- = �� − ��- − �q − �� de los cuadrados de las desviaciones de los valores observados respecto a dicha línea.

9.13. Ejercicios

1. Verifica las propiedades anteriores (transpuesta) mediante las matrices siguientes:

_ = è1 2 −10 4 31 −2 1 é Z = è 3 0 2−1 1 40 −2 1é r = è 0 1 3−2 1 −10 4 −3é

2. Según las matrices del punto1.Encuentra:

a) w_ + Zx[ u�wZ + rx[ ��w_Zx[ $�w_Zrx[

3. Dadas las matrices _ � d2 −11 20 1 e Z = �31� r = � 3 0 2−1 2 −4� l = �−3 0 −21 −2 4 � ; encuentra:

w_Zx[ ; wr + lx[; wl�rx[ ; _ + l[ + r[

4. Demostrar _n = n_ = _ si _ = �t u� $� 5. La multiplicación de dos matrices pueden ser la matriz cero a pesar de que ninguna de las matrices sea la matriz cero,

si _ = �1 00 0� y Z = �0 01 0� 6. Calcule _- + 2_ − 3n- para _ = �1 22 3�; Sea _ = � ��mb −m\�b−m\�b ��mb �,calcule _- y _;.

7. Determine _- − 5_ + 2n; para _ = d1 0 00 2 10 0 3e

8. Dadas las matrices _ = �1 23 4� y Z = � 2 −1−3 −2�encuentra

a) �_ + Z�- b) _- + 2_Z + Z- c) es �_ + Z�- = �- + 2_Z + Z-?

9. Dadas las matrices A = �2 31 2� y B = �1 02 −1�calcule A- − B- y �A − B��A + B� y muestre que

A- − B- ≠ �A − B��A + B�.

10. Determina la matriz A que hace verdadera cada ecuación matricial:

1.A ∙ �2 11 0� = w5 3x 2. d2 01 −10 1 e ∙ _ = d6 03 −10 1 e

11. Un comerciante de televisores plasma tiene 5 televisores de 26 pulgadas, 8 de 20,4 de 18 y 10 de 12. Los televisores de 26 pulgadas se venden en U$650 cada uno, los de 20 en U$550 cada uno, los televisores de 18 pulgadas en u$U$500 cada uno y los de 12 se venden en U$300 cada uno. Exprese el precio de venta total de su existencia de televisores como el producto de dos matrices.

12. Si _ = Xt \\ uY donde \ = √−1 ∴ \- = −1 encontrar los valores de t y u para qué _ sea Idempotente.

13. _- − 6_ + 9n- = 0 si _ = X% 00 %Y Hallar %.

14. En cada caso encuentre todas las matrices � tales que _ ∙ � = _

a. _ = X1 13 4Y

b. _ = X1 22 4Y

c. _ = è−1 0 31 2 −10 0 −5é

15. En cada caso indique si la proposición dada es verdadera o falsa. Justifique sus respuestas.

a. Las ecuaciones 5% + 2� = 3 y �5% + 2��% = 3% , en ℝ- son equivalentes.

b. Las ecuaciones 2% + 3� = 6 y � 2% + 3��- = 36 , en ℝ- son equivalentes.

c. Toda ecuación lineal con más de una variable tiene infinitas soluciones.

d. Si un sistema lineal p N � tiene solución única entonces p = �.

e. Si un sistema de ecuaciones lineales más incógnitas que ecuaciones, entonces tiene infinitas ecuaciones.

f. La forma escalonada de la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones tiene un renglón de ceros entonces el sistema tiene infinitas soluciones o es inconsistente.

g. Si la forma escalonada de un sistema de ecuaciones lineales contiene una columna sin uno principal, entonces el sistema tiene infinitas soluciones.

h. Si la forma escalonada reducida de un sistema de ecuaciones lineales no contiene renglones nulos, entonces el sistema tiene solución única.

i. Si todas las columnas de la forma escalonada reducida de la matriz ampliada de un sistema lineal contiene un uno principal, entonces el sistema tiene solución única.

j. Si un sistema es cuadrado, entonces tiene solución única.

k. Si todas las columnas de la forma escalonada reducida de la matriz ampliada de un sistema lineal contiene un uno principal, entonces el sistema es inconsistente.

l. Dos matrices singulares del mismo tamaño son equivalentes por renglones.

m. Si dos matrices p N � no tienen renglones nulos, entonces son equivalentes por renglones.

n. La única matriz equivalente por renglones a la matriz cero m N n es la misma matriz cero.

ñ. Si _ = X t 1−1 tY, entonces para todo par de reales � y $ la ecuación _%L = X�$Y tiene solución única.

16. Sea A una matriz cuadrada de tamaño p N �. Demuestre que:

a. La matriz Z = �- �_ + _[� es simétrica.

b. La matriz r = �- �_ − _[� es antisimetrica.

c. _ = Z + r.

17. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones para X. a. 2_ − 3Z + � = 3� − _ + Z b. 3�2_ + Z + �� = 5�� − _ + Z�. 18. Si en el ejercicio anterior las matrices A, y B están dadas por _ = X1 −12 3 Y Z = X−1 02 3Y Cuál es la matriz � que

satisface cada caso?

19. Dadas las matrices _ = è 1 32 5−1 2é Z = è−2 01 4−7 5é r = è−1 14 6−7 3é

Determinar: _ − r, r − Z − _, X�- _Y[ , 2r[ − �5_�[, 6Z − 7_ + 0r.

20. Problema

A. Un fabricante elabora los productos, X e Y. Durante la fabricación emiten bióxido de azufre, acido, y partículas suspendidas. Las cantidades de cada contaminante están dadas en Kg, por la matriz

_ = èBioxido Oxido Particulas300 100 150200 250 400 é PQ

Los reglamentos estatales exigen la eliminación de estos contaminantes. El costo diario de deshacerse de cada kilogramo de contamínate esta dado en dólares por la matriz

Z = ? X Y8 12715 910@ BioxidoOxidoParticulas

Que interpretación puede dar el fabricante a las entradas del producto AB?

B. Un fabricante de muebles produce sillas y mesas que deben pasar por un proceso de armado y uno de acabado. Los tiempos necesarios para estos productos están dados en horas por la matriz

_ = èArmado Acabado2 23 4 é SillaMesa

El fabricante tiene una planta en Cartagena y otra en Barranquilla. Las tarifas por hora de cada proceso están dadas en dólares, por la matriz

Z = èCartagena Barranquilla9 1010 12 é ArmadoAcabado

Que interpretación puede dar el fabricante a las entradas del producto AB?

21. Problema

Suponga que un fabricante produce 4 artículos. Su demanda está dada por el vector $ = �30 20 40 10�. El precio por

unidad que recibe el fabricante por artículos está dado por el vector | = �20151840�si se cumple la demanda, cuánto dinero

recibirá el fabricante. Rta 2020

22. Hallar la matriz tal que:

a.5 �X�1 0 5�2 3 6Y + %� = 2%

b. 3% + X2 −38 7 Y = X8 01 13Y

c. �/�� _ − �

. �−3 2⁄ 5 2⁄−5 2⁄ −32 2⁄ � = �/�- _ + n en donde n = X1 00 1Y

d. 2% è 851 %⁄ é + �% − 1� è 5−5−2 % − 1⁄ é

e. %- X1 00 1Y − 2% X1 00 1Y + X1 00 1Y

f.� #�#��7

�#�;�

#��7��#�;��

� + ��#�7#��7

�#�;�

#�;�

#��7�

g.�√%- + 4 �√#��.√4 − %- �√.�#�

� + d√4%- + 16 √%- + 4�.

√.�#��√.�#�

.�#�e

h. El valor de % para satisfacer la igualdad !8% %4 5! = −18 es:

23. Efectúa las operaciones indicadas

a. è 1 2−1 13 6é X2 55 −3Y b.è1 0 00 1 00 0 1é è 5 8−6 32 4é c. è 5 8−6 32 4é X1 00 1Y d.? 3−57−9@ �2 −4 6 8�

e.�X2 34 5Y X−4 36 −2Y� X3 −25 −1Y f.X2 34 5Y �X−4 36 −2Y X3 −25 −1Y�

24. Escribe el sistema como una matriz:

a. $ 3%� + 4%- = 7−2%� + 2%- = −5 b. � 3%� − %- + 2%; = 82%� + %- + 3%; = 53%� + 4%- + 5%; = −3c. $5%� + 3%- = 306%� − 2%- = 8 d. �3%� + 2%- + %; = 7%� − %- + 3%; = 35%� + 4%- − 2%; = 1.

e. $ %� − 3%- = 85%� + 2%- = −9 f. � %� + 2%- + 3%; = 32%� + 5%- + 7%; = 63%� + 7%- + 8%; = 5 g. $2%� − 2%- = 1%� + 2%- = 3 h. $ 5%� − 3%- = 76%� + 9%- = 12

25. Resuelve el sistema por la forma escalonada:

a. $ 3%� + 4%- = 7−2%� + 2%- = −5 b. � 3%� − %- + 2%; = 82%� + %- + 3%; = 53%� + 4%- + 5%; = −3c$5%� + 3%- = 306%� − 2%- = 8 d. �3%� + 2%- + %; = 7%� − %- + 3%; = 35%� + 4%- − 2%; = 1. e.$ %� − 3%- = 85%� + 2%- = −9

f. � %� + 2%- + 3%; = 32%� + 5%- + 7%; = 63%� + 7%- + 8%; = 5 g. $2%� − 2%- = 1%� + 2%- = 3 h. $ 5%� − 3%- = 76%� + 9%- = 12

26. Resuelve el sistema por la forma escalonada reducida por filas:

a. $ 3%� + 4%- = 7−2%� + 2%- = −5 b. � 3%� − %- + 2j; = 82%� + %- + 3j; = 53%� + 4%- + 5j; = −3c$5%� + 3%- = 306%� − 2%- = 8 d. �3%� + 2%- + %; = 7%� − %- + 3%; = 35%� + 4%- − 2%; = 1. e.$ %� − 3%- = 85%� + 2%- = −9

f. � %� + 2%- + 3%; = 32%� + 5%- + 7%; = 63%� + 7%- + 8%; = 5 g. $2%� − 2%- = 1%� + 2%- = 3 h. $ 5%� − 3%- = 76%� + 9%- = 12

27. Jorge un tendero de la zona registra la venta en Kg de cuatro (4) de los artículos más solicitados de su tienda, y los días en que esto ocurre. La información puede resumirse como:

Exprese matricialmente la información anterior.

28. Una pequeño cadena de negocios vende Hamburguesas, Perro caliente y Malteadas posee sucursales en manga centro y crespo sus ventas se distribuyeron de acuerdo con la siguiente matriz

Cantidad de comestibles vendidos�A�

Manga Centro Crespo

Hamburguesas 4000 1000 3000

Perro caliente 400 300 200

Malteadas 700 500 9000

El precio �B�de cada comestible se tasa respectivamente de la siguiente manera

Hamburguesas Perro caliente Malteadas

$3500 $3000 $4000

Se pide

a. El producto Z_ b. Interprete el resultado Z_

29. Suponga que tiene que resolver un sistema de ecuaciones y cinco variables sin la ayuda de calculadora ni computadora. Que método preferiría: la regla de Cramer o la eliminación de Gauss? .Escriba una breve explicación acerca de las razones que sustentan su respuesta.

30. Determine el rango de las siguientes matrices:

i) _ � �1 2 0 00 0 1 000 00 00 10� Rta rango�_� = 3.

ii) _ = d1 2 32 5 41 1 5e Rta rango�_� = 2.

iii) _ = d1 2 31 2 40 0 1e Rta rango�_� = 2.

iv)_ = �2 6 45 15 10� Rta rango�_� = 1.

v) _ = d1 2 −1 23 4 1 65 4 1 0 e Rta rango�_� = 3.

31. Dados los siguientes sistemas de ecuaciones, se pide

i) � %� + %- + 2%; = 10%� + 2%- + 3%; = 82%� + 3%- + %; = 16 ii) � %� + %- + %; = 2%� + 3%- + 2%; = 82%� + 2%- + 2%; = 4 iii) � %� + 4%- + %; = 42%� + 6%- + 2%; = 13%� + 5%- + 3%; = 3 iv) � %� − %- + %; = 23%� − 2%- + 2%; = −63%� + %- + %; = −18

1. Escribir en forma matricial 2. Calcular el rango de la matriz de coeficiente y el rango de la matriz aumentada 3. Determinar si el modelo es consistente y en caso afirmativo si admite una única solución o infinitas soluciones 4. Calcular una solución particular del sistema

32. Calcular:

A. (−1 2 −30 2 −5−2 −4 6 ( B.(−3 −2 52 3 −5−1 1 0 ( C.(−1 2 −30 0 −50 0 6 ( D.!t − % tt t + %! F. "7 % − 5⁄ 2 % − 5⁄1 15%⁄ 5 6%⁄ " 33. Demuestre que si una matriz cuadrada tiene un renglón o una columna de ceros, entonces su determinante es cero.

34. Dada una matriz cuadrada _, un número real o complejo λ se denomina valor propio de A si $"(�_ − C n� = 0. Donde I es la matriz idéntica del mismo tamaño de A. Encuentre todos los valores propios de las matrices dadas.

a.X1 22 −3Y

b.X−1 2−2 −3Y

c.è2 3 −10 2 −30 0 5 é

d.è1 2 30 2 30 −2 −1é

35. Demuestre que el determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de la diagonal principal. Es decir: $"(�_� = t��t--t;; … t��. 36. En cada caso indique si la proposición dada es verdadera o falsa. Justifique sus respuestas.

a. Si _, Z ∈ ℝ�N�, entonces $"(�_ + Z� = $"(�_� + $"(�Z�. b. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única, entonces el determinante de la matriz del sistema está definido y es diferente de cero.

c. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única, entonces la matriz formada con los renglones no nulos de la forma escalonada reducida de la matriz del sistema tiene determinante diferente de cero.

d. Si un sistema cuadrado tiene solución única, entonces el sistema que tiene como matriz a la transpuesta del sistema dado tiene también solución única.

e. Si _ ∈ ℝ�N� y $"(�_� = 0, entonces cada fila de A es combinación lineal de las demás.

f. Si $"(�_� = 0, entonces al menos una fila de Aes múltiplo de otra fila distinta.

g. Si ninguna fila de una matriz cuadrada es múltiplo escalar de otra fila distinta, entonces la matriz tiene determinante de cero.

h. Si un sistema es inconsistente, entonces la matriz del sistema tiene determinante cero.

i. Si un sistema es consistente, entonces la matriz del sistema tiene determinante cero.

j. Si $"(�Z�todo sistema de ecuaciones lineales que tenga a Z como matriz del sistema es inconsistente.

k. Si $"(�Z� � 0 todo sistema de ecuaciones lineales que tenga a Z como matriz ampliada del sistema es inconsistente.

37. Sea la matriz _ � � 1 1�2 4� Se pide:

A. Los valores propios de _ y sus vectores propios asociados B. Escriba los Subespacios generados por �� - C. Muestre que los vectores �� - son linealmente independiente D. Forman los vectores �� - una base en h-?Explique. E. Demuestra que _ es diagonalizable (l = 3�� ∙ _ ∙ 3)

38. Dadas los sistemas de ecuaciones resuelva por tres métodos diferentes

1. � %� + 2%- + 3%; = 32%� + 5%- + 7%; = 63%� + 7%- + 8%; = 5

2. $2%� − 2%- = 1%� + 2%- = 3

3. $ 5%� − 3%- = 76%� + 9%- = 12

39. Si _ = è 3 5 6−1 4 07 −1 8é, hallar t;-, t--, �;-, �--, r;-, r--, $"(�_�

40. Teniendo en cuenta el concepto de determinante (D):

a. Encontrar el D de h1 2⁄ 2 3⁄3 4⁄ 4 3⁄ i b. Encontrar 23 − ê si 3 = ! 2 3−1 4! ê = !1 23 −4! c. Resuelve para % !2 − % 1 + %1 + % 2 − %! = 0

(% − 3 0 11 % − 3 00 1 % − 3( = 0

! % 4%- 2! = 0

(%- % 116 4 136 6 1( = 0

(1 2 41 % 41 4 %( = 0

( 1 1 1% 2 3%- 2- 3-( = 0

!% 21 3! = 4

! 5 2%−3 4 ! = 2

(1 −1 32 3 %3 2 9( = 0

(1 1 22 −1 1% 1 −2( = 0

41. Dada la igualdad matricial �t + 1 � − 3u − 2 $ + 4� = � 4 −3−2 1 � ,encontrar los valores de t, u, � � $

42. Sean las matrices _ = �1 23 −4� , Z = � 4 3−2 1� ê = X1 11 0Y .

Hallar ê-, ê;, ê. y ê/ Demostrar que ê; + ê. = ê/ �_Z�� = Z��_��

� Si _ = �1 −22 0 � , Z = � 0 −1−2 3 � Demostrar que �_ + Z��_ − Z� = _- − Z- �_ + Z��_ + Z� ≠ _- + 2_Z + Z- 43. Utilizar la regla de Cramer para resolver los siguientes sistemas de ecuaciones

�8%� −%- +0%; = 150%� +%- 3%; = 42%� +0%- +3%; = 4

�4%� +3%- −2%; = 7%� +%- 0%; = 52%� +0%- +%; = 4

$ 2 3⁄ % − 5 8⁄ � = 5 6⁄1 8⁄ % + 7 12⁄ � = −2 3⁄

� %√5 −� = √52%√5 +�√5 = 1

$ % �ä� � 1ä-% �� 1

44. Sean las matrices tales que _�� X2 34 1Y ,y Z�� = X2 53 −2Y calcule _, Z, �_Z��

� Sean las matrices tales que _ = X2 31 −2Y ,y Z = X−1 23 −2Y , r = X 4 −6−8 9 Y, Encontrar

t. _ ∙ _�� b. Z ∙ Z�� . r ∙ r�� $. r�� ∙ r

� Encontrar la matriz % tal que:

�2 −31 4 � % = n

�1 23 4� % = �0 12 3�

45. Califique de verdadero o falso según corresponda

i)�_ + Z�� = _�� + Z��, para toda _ y Z.

ii) La matriz _ = X 3 4−2 −3Y es su propia inversa.

iii) Si las matrices _, Z y r son invertibles, entonces �_Zr�� = _��Z��r��.

46. Demuestre que si _ es una matriz simétrica invertible, entonces _�� también es simétrica.

47. Determine todos los valores de t de modo que la matriz dada sea invertible y calcule _��para cada valor de t A =è1 1 01 0 01 2 té

48. Determine los valores de C para los que el siguiente sistema de ecuaciones tiene soluciones no triviales7. Encuentre las

soluciones para cada valor de C Rta. El sistema tiene muchas soluciones %� = − ;- �, %- = �

49. De todas las permutaciones de�1,2,3,4� e indique si son pares o nones.

50. Se dieron todas las definiciones de determinantes. Muestre que estas son equivalentes cuando se aplican a una matriz de 3N3.

51. Considere una economía hipotética muy simple de dos industrias A y B cuyas características están representadas en la Tabla. 1 y las cifras indican millones de unidades monetarias (m.u.m) de productos. Obtener el vector producción correspondiente a dicha economía si la demanda final cambia a:

i) 200 para A

ii) 100 para B

Tabal.1

Insumo de la Insumo de la Demandas finales Producción total

industria A industria B


500 350 150


320 360 120

Insumos primarios Insumos totales Rta. La industria A debe tener una producción de 1138Z[ y la industria B debe tener una producción de 844k[, en donde

los valores de producción están dados en millones de unidades monetarias del producto.

52. Considere una economía hipotética muy simple de tres industrias A, B y C cuyas características están representadas en la tabla. 2 y las cifras indican millones de unidades monetarias (m.u.m) de productos. Obtener el vector producción correspondiente a dicha economía si la demanda final cambia a:

i) 50 para A, 10 para B y 100 para C

ii) 100 para A, 20 para B y 60 para C

iii) 80 para A, 100 para B y para C

Tabla.2

Insumo de la industria A

Insumo de la industria B

Insumo de la industria C

Demandas finales

Producción total


90 150 225 75 540


135 150 300 15 600

Producción de la industria C

270 200 300 130 900

Insumos primarios

Insumos totales

Rta. La industria A debe tener una producción de 702,39, la industria B debe tener una producción de 876,33, y la industria C 1144,95 en donde los valores de producción están dados en millones de unidades monetarias del producto.




Demandas finales Producción Total


240 750 210 1200


720 450 330 1500


A) Halle las ecuaciones que representan la Producción de cada una de las industrias B) Obtenga la matriz de Insumo – Producto C) Determine la matriz de producción si las demandas finales cambian a 200 unidades en la industria I y a 360

unidades en la industria II. D) Cuáles son los nuevos insumos primarios correspondientes?

Rta. La industria A debe tener una producción de 702,39, la industria B debe tener una producción de 876,33, y la industria C 1144,95 en donde los valores de producción están dados en millones de unidades monetarias del producto.

54. Encontrar las cantidades de cada uno de los tres alimentos dados que proporcionan los requerimientos mínimos diarios de una persona, según se especifica en la última columna de la tabla (la cantidad dada para c/c alimentos esta en miligramos por onza):

Alimento vitamina A B C Requerimientos mínimos diarios

Tiamina 0,3 0,1 0,4 1,5 Niacina 100 40 60 440 Hierro 1,6 2,2 1,4 10,6

� Establezca el S.E.L � Reduzca a un sistema equivalente más fácil de manejar � Escribe la matriz aumentada

� Resuelva por G-J.d1 0 0 t0 1 0 u0 0 1 �e ; matriz solución vtu�w

Ejercicios de Derivada parcial

1. Dadas las funciones n� � 15ê� � 18ê- ; r� = 2ê�- + 2ê�ê- + 3ê-- A. Calcular las cantidades que maximizan beneficio B. Verificar si es un máximo

2. Maximiza las funciones A. � = 2%� m. t 3% + 4� = 90 ; � = %T.-/�T.. m. t 2% + 8� = 100 ; À =zT.;�T./ m. t 6z + 2� = 384 y encontrar: a) los puntos críticos b) condiciones de segundo orden 3. Dadas � = � + nT + sT; r = rT + u�q − ��; � = �T + (q Encontrar los efectos con respecto a las variables

exógenas (sT) dadas las variables endógenas (Y,C,T) 4. Dada la función U = 64% − 2%- + 46� − 4�- − 13 m. t % + � ≤ 20 calcular óptimos %, � y maximizar la

función U. 5. Minimizar la función r = 5%- − 80% + �- − 32� m. t % + � ≥ 30 6. Dada la función q = 5ê�- + 10ê� + ê�ê; − 2ê-- + 4Q- + 2Q-Q; − 4Q;- . Determinar la funcionalidad de las

funciones y verificar si los puntos críticos de esta función, son mínimos o máximos.

7. Dada la función À = 80w0.4z�T.-/ + �1 − 0.4��T.-/x�� T.-/⁄ . Encontrar las cantidades de K y L que maximizan la función de producción.

8. Dada la siguiente función de utilidad µ= %��2 m. t 3#� + 35q = Z.Demostrar que la utilidad de esta función

es igual al cociente entre la utilidad marginal de x con respecto a y �3# 35⁄ � �μ# μ5⁄ ��

9. Sea � = %. − 8%; − 80%- + 15la función de producción evaluar : a) puntos críticos b) condiciones de concavidad y convexidad c) máximos y mínimos relativos

10. Dada la función de producción3[ = 90z- − z; , encontrar a) las condiciones de primer y segundo orden b) si hay máximos y mínimos

11. Un productor tiene la posibilidad de vender para la economía doméstica y los mercados internacionales, sus demandas son respectivamente ê� = 21 − 0.13� ; ê- = 50 − 0.43-; r� = 2000 + ê.

a) Encontrar la discriminación del mercado b) sin discriminación c) comparar las utilidades entre el mercado discriminado y no discriminado y verificar cual es la mejor forma.

12. Dada la función de Isocuantas y de producción ê = 16zT.-/�T.�/ = 2144

A. Usando la derivada implícita encontrar la pendiente de la isocuanta $z $�⁄ O TMST B. Evaluar la TMST en los puntos z = 256 y � = 108

13. Verificar si la función es definida positiva o negativa r = 28z + 10� m. t 10zT.��T.� = 454 tenga en cuenta 3{ = 28; 3� = 10 encontrar valores críticos 14. Verificar y encontrar los puntos críticos y las condiciones de segundo orden según hessianos de la función r =45%- + 90%� + 9�- m. t 2% + 3� = 60 15. Si una empresa competitiva tiene una función de costo r = 2ê�- + 2ê--, entonces:

(a) cuales son los niveles óptimos de ê� � ê-? (b) cual es el valor de U�-? que es lo que implica económicamente?

16. Una empresa productora de dos bienes tiene las siguientes funciones de demanda y de costo : ê� = 40 − 23� − 3- ê- = 35 − 3� − 3- r = 2ê�- + 2ê-- + 10 (a) Hallar los niveles de producción que satisface la condición de primer orden para maximizar el beneficio.(

utiliza fracciones) (b) Comprueba la condición suficiente de segundo orden. Se puede concluir que este problema tiene un único

máximo absoluto? (c) Cuál es el beneficio máximo?

17. Suponga también que la empresa del ejercicio 16 tiene las siguientes funciones de demanda y de costo : ê� =40 − 23� + 3- ê- = 15 + 3� − 3- r = ê�- + ê�ê- + ê-- (a) Hallar los niveles de producción que satisface la condición de primer orden para maximizar el beneficio (utiliza fracciones).

(b) Comprueba la condición suficiente de segundo orden. Se puede concluir que este problema tiene un único máximo absoluto?

(c) Cuál es el beneficio máximo?

18. Sobre la base del precio y la cantidad de equilibrio del ejercicio 16, calcular la elasticidad puntual de la demanda |�1.|( para \ = 1,2,3� cuál es el mercado que tiene la elasticidad de demanda más alta y cual el que tiene la más alta?

19. Si la función de costo del ejercicio 16 fuera, r = 20 + 15ê + ê-: (a) Hallar la nueva función de costo marginal. (b) Hallar las nuevas cantidades de equilibrio (utilice fracciones) (c) Hallar los nuevos precios de equilibrio. (d) Verificar que se cumple la condición suficiente de segundo orden.

20. Defina el Hessiano Orlado: La matriz hessiana orlada es una variante de la matriz hessiana utilizada en problemas de optimización restringida. El determinante de sus principales menores se utiliza como criterio para determinar si un punto crítico de una función es un mínimo, máximo, punto silla o no determinado (extremos condicionados).

21. Utilizando el Hessiano Orlado, determine el extremo de (a) j = %� sujeto a % + � = 6 (b) j = %�- + %-- sujeto a %� + 4%- = 2

22. Defina punto de ensilladura: Es el punto sobre una superficie en el que la elevación es máxima en una dirección y mínima en la dirección perpendicular. El nombre proviene del parecido con una silla de montar de las superficies en torno a un punto de silla.

23. Utiliza el concepto de punto de silla en j = %- − �- 24. Defina Jacobiano: Representa la derivada de una función Multivariable. 25. Determina la matriz jacobiana en la función : l: ℝ; → ℝ; l�%�, %-, %;�: �%�, 5%;, 4%-- − 2%;� 26. Un propietario desea encerrar un área rectangular de 800 metros cuadrados en su finca. Tres lados tendrán

malla de alambre y el otro será de ladrillo. Los costos de la malla de alambre son de $8 el metro; el ladrillo cuesta $24 el metro. Con que dimensiones se minimizara el costo?

27. Halle la cantidad z y � que debe emplearse para maximizar la producción À dadas las siguientes funciones de producción Cobb – Douglas y las restricciones dispuestas por 3{ , 3� y dado el presupuesto

a. À � zT..�T.� 3{ = 8, 3� = 6, Z = 300 b. À = zT.�/�T.-/ 3{ = 5, 3� = 2, Z = 400

28. Encontrar la distancia máxima entre la circunferencia %- + �- = 1 y el punto�3,4� 29. Consideremos el siguiente problema: pt%f�%, �� = −� m. t �; − %- = 0

Se infiere que el máximo de la función se obtiene en el punto �0,0�. 30. En cada una de las siguientes funciones de utilidad encontrar la curva de indiferencia

a. � = 30%� ;⁄ �- ;⁄ b. � = 20%- ;⁄ �� ;⁄ c. � = ¼%- + �- d. � = log % + log �

31. Utilizando el multiplicador de LaGrange � = 30%� ;⁄ �- ;⁄ hT = 20.000 3# = 500 35 = 800. Encontrar la curva de indiferencia.

32. Verifica la concavidad o convexidad de cada una de las funciones del ejercicio 30

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