MATERIAL PARA COLEGIO

Del colegio a la UniversidadI.E.P. REGINA PACISLideres en Educacin

ARITMTICA.TEORA DE CONJUNTOS I

I.Nocin de Conjuntos:Se entiende como conjunto a la agrupacin o coleccin de objetos.se denota: A, B, C, D, ..................................Ejemplo:II.Relacin de PertenenciaSi un objeto forma parte de un conjunto se dice que pertenece () en caso contrario se dice que no pertenece.Dado: Se observa:3 pertenece a A 6 no pertenece a A

III.cardinal de un conjuntoNos indica el nmero de elementos diferentes que tiene un conjunto.Se denota: n(A)Ejemplo:Entonces: n(A) = 4Entonces: n(A) = 3

Aritmido dice:

A la representacin grfica de los conjuntos mediante figuras geomtricas en un plano se le conoce como DIAGRAMAS DE VENN

Ejemplo:

IV.DETERMINACIN DE UN CONJUNTOConsiste en identificar los elementos de un conjunto

V.RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

A.INCLUSIN: Se dice que el conjunto A esta incluido en B si todos los elementos de A son elementos de B.Se denota: A B

Se lee:A est incluido en BA est contenido en BA es subconjunto de B

Ejemplo:Dado: Se observa: AA

B.IGUALDAD: Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.Es decir:

Ejemplo:Dado:Entonces: A = B

C.DISJUNTOS: Se dice que dos conjuntos son disjuntos cuando no poseen elementos comunes.Ejemplo:Dado: Entonces A y B son disjuntos Entonces V y M son disjuntosARITMITO DICE:

A los conjuntos disjuntos se les representa mediante los diagramas de Lewis Carrol.Veamos los siguientes diagramas:Se grafica

Se observa1:varones que bailan2:mujeres que bailan3:varones que no bailan4:mujeres que no bailanSe grafica

TALLER DE APRENDIZAJE N 01

Del colegio a la UniversidadMes: MarzoI.E.P. Regina Pacis

1831ro Grado de SecundariaLideres en Educacin1.Dado los conjuntos:Si A y B son igualesCalcular: a + bA)10B)20C)25D)30E)28

2.Dado el conjuntoIndicar la relacin correcta:

A)1 AB)2 AC)D) 10 AE)

3.Dado el conjunto:Calcular la suma de sus elementosA)10B)5C)6D)7E)8

4.Dado el diagrama:

Indicar verdadero o falso I.3 A ( )II.5 B( )III.2 A( )IV.7 B( )

A)VVVVB)VVVFC)VVFVD)VFVVE)FVVV

5.Dado el diagrama:

Indicar verdadero (V) o falso (F)I.n (A) = n (B)( )II.( )III.( )IV. ( )

A)VFVVB)VFFVC)VFFFD)FFFFE)VVVV

6.Dado el conjunto: Calcular: n(A) + n(B)

PROBLEMAS PARA LA CLASE.

1.Dado el conjunto:Indicar verdadero (V) o falso (F)I. ( )II.n (A) = 5 ( )III.( )IV. ( )V.( )VI. ( )

Rpta.: .......................................................

2.Dado el conjunto:Cuntas proposiciones son verdaderas:I. II. III. IV.n(B) = 4 V.

Rpta.: .......................................................

3.Dado el siguiente diagrama:

Indicar verdadero (V) o falso (F)I. ( )II. ( )III.n(A)=6( )IV. ( )V.( )VI. ( )

4.Dado el conjunto:Indicar verdadero (V) o falso (F):

I.( )II.( )III.( )IV.( )V.( )5.Indique cuntos enunciados son verdaderos, si:

Rpta.: .......................................................

6.Dado:Calcular: n(A) + n(B) + n(C)Rpta.: .......................................................

7.Si n(A) representa la cantidad de elementos diferentes del conjunto A:n(A) = 8

Calcula la suma de los elementos del conjunto A.Rpta.: .......................................................8.Expresar los siguientes conjuntos por extensin:Rpta.: .......................................................

9.Determine por extensin el siguiente conjunto:y calcule la suma de sus elementos.Rpta.: .......................................................

10.Determine el conjunto A por comprensin:I.II.III.IV.V.

TAREA DOMICILIARIA N 01.

1.Dado el conjunto:Indicar verdadero (V) o falso (F):I. 5A ( )II.1 A ( )III. 4A ( )

A)FVFB)FFVC)VFFD)VVFE)FFF

2.Dado el conjunto:De las proposiciones:I.II.CAIII.A)VVVB)FFFC)VFFD)VVFE)FVF

3.Dado los conjuntos:Calcular: n(A)+n(B)+n(C)A)15B)16C)17D)19E)20

4.Dado Calcular: n(A) + n(B) - n(C)A)4B)6C)8D)9E)10

5.Calcular el cardinal de:A)2B)3C)4D)5E)6

6.Calcular la suma de los elementos de:

A)48B)50C)52D)53E)47

7.Dado Calcular: n(A)+n(B)

A)5B)6C)7D)8E)9

8.Dado los conjuntos:. Si son conjuntos igualesCalcular: x + y

A)15B)16C)17D)18E)19

9.Dado los conjuntos:Si: A = B Calcula: x z

A)7B)9C)10D)12E)15

10.Dado el conjunto:Indicar lo correcto

A)B)5AC)2AD)E)n(A)=5

11.Determinar la suma de los elementos de:

Rpta.: .......................................................

12.Si:Calcular el cardinal de A

Rpta.: .......................................................

13.Calcule n(A) x n(B)Rpta.: .......................................................

14.Si los siguientes conjuntos son iguales: Calcular: a+b+m

TEORIA DE CONJUNTOS II

TEORA DE CONJUNTOS II

CONJUNTOS NUMRICOSa)Nmeros Naturales (N)Existen dos corrientes matemticas, en la cual una de ellas acepta a los elementos del conjunto de los nmeros naturales a los enteros positivos y la otra a los enteros negativos.b)Nmero Enteros (Z)Es aquel que tiene como elementos a los nmeros naturales y las diferencias entre ellos.

c)Nmeros Racionales (Q)Sus elementos se obtienen dividiendo dos nmeros enteros, donde el nmero que divide no puede ser cero.

d)Nmeros Irracionales (Q)Sus elementos son aquellos nmeros que no pueden ser expresados como la divisin de dos nmeros enteros (no son nmeros racionales) y no tienen en su expresin a la raz cuadrada de -1.

e)Nmeros Imaginarios (I)Son aquellos nmeros que en su descomposicin se encuentre el nmero

f)Nmeros Complejos (C)Es el conjunto que tiene como elementos a todos los nmeros reales y todos los imaginarios.Aritmito dice:El Diagrama lineal sirve para representar a los conjuntos relacionados mediante la inclusin.

DIAGRAMA LINEAL DE LOS CONJUNTOS NUMRICOS

CLASES DE CONJUNTOS1.CONJUNTO FINITOEs aquel conjunto que posee una cantidad limitada de elementos es decir, el proceso de contar sus elementos termina en algn tiempo.Ejm:2.Conjunto InfinitoUn conjunto es infinito, si posee una cantidad ilimitada de elementos, es decir, el proceso de contar sus elementos nunca termina.Ejemplo:

CONJUNTOS ESPECIALES1.NULO O VACIOEs aquel conjunto que no tiene elementos. Se denota: o { }Ejemplo: Aritmito dice:

El conjunto vacio es subconjunto de todo conjunto

2.UNITARIO O SINGLETN

Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.Ejemplo: n(A) = 1

3.UNIVERSAL

Es un conjunto referencial que sirve para el estudio de otros conjuntos incluidos en el.Se denota: UEjemplo:Dados los conjuntos:Los conjuntos universales pueden ser:

4.CONJUNTO POTENCIAEl conjunto potencia de A es aquel conjunto que est formado por todos los subconjuntos de A.Se denota: P (A)Ejemplo:Dado el conjunto: Los subconjuntos de A son: Entonces: P(A) =

ARITMITO DICE:

N de subconjuntos de A =n(P(A))=

Donde: n(A) : nmero de elementos de A

TALLER DE APRENDIZAJE N 01.

1.Dado:Cuntos subconjuntos posee?A)128B)64C)32D)16E)4

2.Indicar la relacin correcta:A)B)C)D)E)

3.Sea el conjunto:Calcular: A)512B)256C)128D)64E)32

4.Si los conjuntosSon unitarios.Calcular: x+yA)1B)2C)3D)4E)5

5.Dado el conjunto:Cuntos subconjuntos tienen dos elementos?A)16B)8C)6D)15E)7

6.Dado el conjunto: Determinar cuntos subconjuntos de A tienen dos elementos.


1.Dado:Indicar verdadero (V) o falso (F)I. .............................( )II. .............................( )III. .............................( )IV.............................( )Rpta.: .......................................................

2.Dado el conjunto:Indicar verdadero (V) o falso (F)I. ..............................( )II...............................( )III. ..............................( )IV. ..............................( )Rpta.: .......................................................

3.Sea el conjunto:A= Calcular: Rpta.: .......................................................

4.Sean los conjuntos:Calcular: Rpta.: .......................................................5.Si el conjunto:Es unitario. Hallar: a+bRpta.: .......................................................

6.Si el conjunto:Es unitario. Hallar: 2a +3bRpta.: .......................................................

7.Dado los conjuntos:Que clase de conjuntos son respectivamente:Rpta.: .......................................................

8.Dado los conjuntos:Que clase de conjuntos son respectivamenteRpta.: .......................................................

9.Dado el conjunto:Cuntos subconjuntos posee?Rpta.: .......................................................

10.Dado el conjunto: Cuntos subconjuntos posee?Rpta.: .......................................................

11.Si los conjuntos:Son unitarios:Hallar: a + b + c

Rpta.: .......................................................

12.Sean los conjuntos:Son unitarios.Hallar: a+b+c

Rpta.: .......................................................

13.Dado el conjunto: Entonces cul de las siguientes proposiciones es correcta:I.A es un conjunto vacioIII.A es un conjunto unitarioIII.A posee 4 subconjuntosRpta.: .......................................................


1.DadoIndicar verdadero (V) o falso (F):I. .............................( )II. .............................( )III. .............................( )

A)VVFB)VFVC)FVVD)VVVE)FFF

2.Dado el conjunto:Cuntos subconjuntos posee el conjunto A?

A)8B)16C)32D)64E)128

3.Dado el conjunto unitarioCalcular: a + b

A)5B)6C)7D)8E)9

4.Dado el conjunto Calcular:

A)3B)8C)9D)16E)32

5.Dado el conjuntoIndicar el subconjunto de AI.III.V.II.IV.VI.Cuntos son correctos?

A)2B)3C)4D)5E)6

6.Dadas las proposicionesI............................( )II............................( )III..........................( )Indicar verdadero (V) o falso (F)

A)VVFB)VFFC)FFFD)FVVE)FFF

7.Dado el conjunto: Calcular: A)16B)24C)32D)30E)40

8.Dado:Indicar lo incorrecto:

A)B)C)D)E)

9.Dado los conjuntos unitarios:Calcular: a+b+c+m

A)8B)11C)9D)12E)10

10.Dado el conjunto:Que clase de conjunto es:

A)vacioB)unitarioC)infinitoD)nuloE)potencia

11.Dado el conjunto:Entonces cul de las siguientes proposiciones es correcta.I.B es un conjunto vacioIII.B es un conjunto unitarioIII.B posee 4 subconjuntos

12.Cuntos subconjuntos posee:Rpta.: .......................................................

13.Si:Determinar cuntos conjuntos unitarios son subconjuntos de A.

Rpta.: .......................................................

TEORIA DE CONJUNTOS III

TEORIA DE CONJUNTOS III

I.UNIN:Se denota: A U BSe define:Grfica:

II.INTERSECCINSe denota:Se define:Grafica:

III.DIFERENCIA:Se denota: A - BSe define:

Grfica:

IV.DIFERENCIA SIMTRICASe denota: ABSe define:

Grfica:Aritmito dice:V.COMPLEMENTOSe denota: Se define:Grafica

LEYES:1.AA = A4. AA = A

2.5. 3)


1.Dado:BCalcular: A)B)C)D)E)

2.Si:Calcular: A)B)C)D)E)

3.Si:Calcular: A)2B)3C)4D)5E)6

4.Se define los conjuntos:Calcular: A - BA)NaturalesB)todos los paresC)todos los imparesD) E)

5.En la figura. Cuntos puntos hay en el tringulo y cuadrado a la vez pero no en el crculo.

A)1B)2C)3D)4E)10

6.Si:Calcular:


1.Si:Calcular: A - B =B- A =2.Se tiene: Calcular:AB=AB=Dar como respuesta la suma de los cardinales.Rpta.: .......................................................

3.Dado los conjuntos:Calcular: s (PQ)

4.Del siguiente diagrama:Calcular: 5.Del grfico:

Calcular: Dar como respuesta la suma de sus elementos:

6.De los conjuntos A y B se tiene:n(A) = 10n(B) = 20Calcular: n(A-B) + n(B-A)

7.Dado los conjuntos A y B:Calcular: Dar como respuesta la suma de sus elementos.

8.Dado el grfico:

Determine la suma de los elementos de:

9.En el siguiente diagrama de Venn. Calcular x+y

n(A) = 14n(B) = 15n(C)= 10nn n(C)= 10nn(B) = 15n(C)= 10n10.Si: Calcular la suma de los elementos de AB

11.Si:n(A) = 8n(B) = 9n()=4

Calcular n(AB)

TAREA DOMICILIARIA N 03

1.DadoCalcular: A)B)C)D)E)

Dar la suma de los elementos de A B8B) 9 C) 10 D) 11 E) 122.El diagrama:

3.Dado Calcular la suma de los elementos de A)7B)9C)10D)12E)11

4.Del diagrama:

Calcular: A)B)C)D)E)

5.El grfico:

Representa:A)B)C)D)E)(A-B) B-A

6.Dado el conjunto:Hallar:

A)B)C)D)E)

7.Si:n(A) = 10n(B) = 8n(AB)=4Calcular: n(AB)

A)6B)7C)8D)9E)10

8.Dado los conjuntos:Calcular: A)64B)128C)512D)256E)32

9.Dado los conjuntos Calcular: (AB) (C-A)A)B)C)D)E)

10.Dado el diagrama:

Calcular:

A)1B) 0C)2D) 3E)6

LGEBRA.TEORA DE EXPONENTES I

POTENCIACIN

Concepto:Es la operacin que consiste en multiplicar un nmero llamado base tantas veces como factor, como lo indica otro llamado exponente, para obtener un resultado llamado potencia.As tenemos:

Notacin: Donde: b basen exponenteP potenciaLuego:

Ejemplos:

Es base: 2Es exponente: 5Es potencia: 32

Es base: 3Es exponente: 4Es potencia: 81

LEY DE LOS SIGNOS EN LA POTENCIACIN

Ejemplos:(+2)4 = + 24 (24) = 16

(+x)32 = x32 (x)32 = x32

Ejemplos:(+2)5 = + 25 (2)5 = 32

(+x)17 = + x17 (x)17 = x17

Ejemplo:(2)6 = + 26 (2)6 = 64(x)18 = + x18(x)18 = x18

Ejemplo:(2)5 = 25(2)5 = 32(x)21 = x21(1)Es conveniente indicar la diferencia entre:34 y (3)4(*)En: 34; el exponente no afecta al signo.

(*)En: (3)4; el exponente si afecta al signo.(3)4 = + 34

LEYES DE EXPONENTES

Los exponentes se rigen a travs de leyes, normas que estudiaremos a continuacin:

Objetivos:El objetivo es capacitar al alumno a poder identificar los diferentes tipos de exponentes y las relaciones que se dan entre ellos, luego dar paso a la solucin de ejercicios mediante reglas prcticas de exponentes.Para un mayor entendimiento en este captulo, las leyes de exponentes lo dividimos en 3 partes:(1)Leyes de Los Exponentes I(2)Leyes de los ExponentesII(3)Leyes de los ExponentesIIIA continuacin pasaremos a desarrollar las respectivas leyes contenidas en cada grupo.

LEYES DE EXPONENTES I

Aqui mencionaremos las leyes que son usuales dada su forma en que se presentan:

1.Ley del exponente Cero

Siempre y cuando: b 0Ejemplos:(3)0 = 130 = 1(3)0 = 130 = 13x0 = 3(1) = 3(3x)0 = 13(a + b)0 = 3(1) = 3 3x0y = 3(1)y = 3y

0 es indeterminado

2.Ley del exponente Uno

El exponente uno ya no se escribe, se sobreentiende.

Ejemplos:51 = 5(a + b)1 = (a + b)

3x1 = 3x

3.Ley del exponente de Exponentes: (cadena de exponentes)

Para desarrollar esta expresin se toma los 2 ltimos trminos (base y exponente), luego se va transformando de arriba hacia abajo, tomando de 2 en 2 los

Trminos.Ejemplos:(*)Desarrollar: Luego: (*)Desarrollar:Luego:

4.Ley del exponente Negativo Con b 0

*Caso Particular con: a; b 0Ejemplos:

Tambin:

Recprocamente:


1.Calcular:A)15B)17C)19B)13C)14

2.Calcular:A)1B)3C)5B)4C)2

3.Efectuar:A)10B)9C)7B)12 C) 11

4.Reducir:

A)5B)6C)1/6B)7C)4

5.Calcular:

A)3B)1/8C)8B)7C)9

6.Calcular:


1.Efectuar:K = 3 +(- 2) - 4

Rpta.: .......................................................

2.Efectuar:p=(-3) + 5 - (3)

Rpta.: .......................................................

3.Efectuar:5(m-n) + z + 2

Rpta.: .......................................................

4.Efectuar:Rpta.: .......................................................

5.Calcular:Rpta.: .......................................................

6.Calcular:Rpta.: .......................................................

7.Efectuar:Rpta.: .......................................................

8.Efectuar:Rpta.: .......................................................

9.Efectuar:Rpta.: .......................................................

10.Calcular:Rpta.: .......................................................

11.Efectuar:Rpta.: .......................................................

12.Efectuar:Rpta.: .......................................................

13.Calcular:K=3x+(3x)-3Rpta.: .......................................................

14.Calcular:Rpta.: .......................................................


1.Desarrollar

A)3B)9C)27D)81E)103

2.Resolver:

A)2B)4C)8D)16E)32

3.Desarrollar:

A)3B)84C)5D)6E)7

4.Desarrollar:

A)0B)16C)2D)5E)7

5.Resolver:

A)2B)4C)6D)8E)10

6.Efectuar:

A)3B)9C)81D)243E)43

7.Resolver:

A)6B)-3C)3D)-6E)1

8.Calcular:

A)3B)6C)12D)18E)269

9.Calcular:

A)10B)10/3C)3D)3/10E)1/2

10.Resolver:

A)1B)2C)-2D)4E)-10

11.Calcular:

TEORIA DE EXPONENTES II

LEYES DE EXPONENTES IIAqu mencionamos las Leyes que rigen a los exponentes de acuerdo a las operaciones usuales que presentan las diversas expresiones.

1.Multiplicacin de Bases Iguales

En forma extensiva:Ejemplos:x. x2 = x1+ 2 = x3102 . 104 . 106 = 102+4+6 = 1012a0.2 . a0.7 . a0.1 = a1 = am . m2. m3 . m4 = m102x . 23 = 2x+3xx . xy . x = xx+y+1

Recprocamente:2x+5 = 2x . 25xx+1 = xx . x110a+b+2 = 10a .10b . 102

2.Divisin de Bases Iguales Con b 0Ejemplos:

3.Potencia de Potencia

Ejemplos:

Tambin se cumple:

Ejemplos:

4.Potencia de un Producto

Ejemplos:

Recprocamente:(*)2x ax = (2a)x(*)2x 3x 5x = (2 3 5)x = 30x(*)x2x y3x z4x = (x2y3z4)xNota: 3xn (3x)n

5.Potencia de un Cociente; Con b 0


1.Efectuar:a)=b)=

2.Simplificar:

A)3B)5C)7 D) 2 E) 8

3.Efectuar:

4.Efectuar:

A)2B)3C)4D)5E)6

5.Reducir:A)1B)2C)3 D) 4 E) 5

6.Calcular:

PROBLEMAS PARA LA CLASE

1.Efectuar:a)b)c)d)

2.Efectuar:a)b)c)d)

Rpta.: .......................................................

3.Efectuar:

Rpta.: .......................................................

4.Efectuar:Rpta.: .......................................................

5.Efectuar:Rpta.: .......................................................6.Calcular:

Rpta.: .......................................................

7.Efectuar:8.Efectuar:Rpta.: .......................................................

9.Simplificar:Rpta.: .......................................................

10.Calcular:Rpta.: .......................................................

11.Calcular:Rpta.: .......................................................


13.Calcular:Rpta.: .......................................................

14.Calcular:


1.Efectuar:A) B)

2.Resolver:

A)

B)

3.Efectuar:

A)B)C)D)E)0

4.Efectuar:

A)0B)1C)2D)3E)4

5.Efectuar:

A)B)C)D)E)

6.Efectuar:

A)1B)2C)4D)5E)3

7.Efectuar:

A)aB)C)1D)2E)3

8.Efectuar:

A)1B)2,5C)3,5D)4E)2

9.Si: = 3Calcular:

A)50B)52C)54D)56E)60

10.Calcular el exponente final de x en:

A)9B)-9C)27D)-27E)18

11.Calcular:

TEORIA DE EXPONENTES III

LEYES DE LOS EXPONENTES III

Las siguientes leyes estn dadas para la transformacin de expresiones afectadas por el smbolo de una raz.

1.Exponente Fraccionario Con n 2Ejemplos:

Si se tiene (se sobreentiende el ndice 2)

Ejemplos:

2.Potencia de una Raz

; Con n 2Ejemplos:

3.Raz de una Multiplicacin

Ejemplos:

Recprocamente:4.Raz de una Divisin

Ejemplos:5.Raz de Raz

Propiedad de Raz de Raz

:

:


1.Hallar la expresin equivalente:a)=b)=c)=

2.Simplificar:

3.Reducir:

4.Calcular el equivalente:

5.Calcular:

6.Simplificar:


1.Efectuar:a)b)c)

2.Efectuar:

a)

b)

Rpta.: .......................................................

3.Reducir:

Rpta.: .......................................................

4.Simplificar:

Rpta.: .......................................................

5.Simplificar:

Rpta.: .......................................................6.Simplificar:

Rpta.: .......................................................

7.Simplificar:

Rpta.: .......................................................8.Simplificar:

Rpta.: .......................................................

9.Simplificar:

Rpta.: .......................................................

10.Simplificar:

Rpta.: .......................................................


12.Simplificar:

Rpta.: .......................................................


14.Simplificar:

Rpta.: .......................................................


1.Simplificar:

A)1B)aC)2aD)0E)-1

2.Simplificar:

A)B)C)D)0E)

3.Reducir:

A)0B)1C)2D)aE)

4.Reducir:

A)B)C)D)E)

5.Simplificar:

A)3B)9C)12D)15E)20

6.Reducir:

A)B)aC)a-1D)E)

7.Reducir:

A)3B)9C)3-1D)E)1

8.Reducir:

A)1B)2C)3D)6E)9

9.Calcular el valor de:

A)0B)1C)2D)4E)8

10.Calcular el valor de:

A)B)aC)D)E)

11.Simplificar:

12.Simplificar:

GEOMETRA.LNEA RECTA.

Euclides sola decir que una recta era aquella figura que respecto de cualquier de sus puntos, se encontraba igualmente dispuesta. Hoy se nos ha hecho natural usar a esta figura para hablar de direccin. As por ejemplo relacionamos a la vertical, a la horizontal y a la oblicua con rectas.Adems pensamos que la recta est formada por un nmero muy grande de puntos, infinitos puntos.

NOTACION: SE LEERecta L

En algunas ocasiones es conveniente usar una notacin que indique dos de los puntos por los que pasa la recta, as en el grfico la recta pasa, contiene o est determinada por los puntos A y BNOTACIN:SE LEERecta AB

RAYO

Como la recta est formada por infinitos puntos, siempre es posible ubicar al menos uno de sus puntos, as la recta puede considerarse en dos partes, una formada por el conjunto de todos los puntos ubicados antes del punto mencionado y la segunda por todos los puntos ubicados despus del punto mencionado, a cualquiera de estas partes con el punto mencionado, como origen, se le denomina rayo

notacin: se leerayo PAP: Origen del Rayo

SEGMENTO DE RECTA

Si en una lnea resta ubicamos dos puntos, entre ellos queda comprendido una porcin de recta. Esta porcin de la recta se define como segmento de recta y cuyos extremos son los puntos ubicados inicialmente.

NOTACIONSE LEESegmento ABA, B: Extremos del segmento

Como el segmento tiene un lugar donde inicia y otro donde termina, es posible medirlo. Para medir un segmento se usan reglas graduadas y sobre el grfico mismo se puede indicar su longitud, de no conocer su medida, entonces se ve conveniente que dicha medida quede simbolizada por una letra minscula, para cuando sea necesario realizar operaciones.

NOTACIN:ABSE LEE:Longitud del segmento ABSe puede escribirAB = aen el grfico la longitud del segmento CD es el doble de la longitud del segmento AB, es decir se puede plantear: CD = 2 AB.

Medir es un proceso de comparacin, es as que usaremos la regla graduada y cada vez que tengamos que calcular la longitud de un segmento lo compararemos con la regla y el nmero de divisiones que en ella representa.

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTOEn todo segmento siempre se puede encontrar un punto que le pertenece y que determina en el dos partes, dos segmentos que tienen igual longitud. A dicho punto se le define como punto medio

Si M es punto medio del segmento AB, se puede plantear que AM = MB

OPERACIONES CON LAS LONGITUDES DE LOS SEGMENTOSMedir es el resultado de comparar objetos de la misma naturaleza, as por ejemplo para afirmar que un lapicero es grande o pequeo, debemos de compararlo con otro lapicero, en este proceso de comparacin es conveniente ubicarlos de modo tal que se aprecie la relacin de sus tamaosFig. 1. En esta posicin, no nos es posible indicar cual de los lapiceros es mayorFig. 2. En esta nueva posicin s es posible indicar que a ES MAYOR QUE b (a > b)

El proceso anterior nos permitir encontrar la diferencia entre las longitudes de dos segmentos grficamente.

TALLER DE APRENDIZAJE N 01.

1.En una recta se marcan los puntos consecutivos A, B, y C de manera que 2AB =3BC y AC=50. Hallar AB.

2.En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de manera que AC=12, BD= 15 y AD=19. Hallar BC.

3.En la recta se ubican los puntos A, B y C de manera que E es punto de , EC=15 y AC=18. Hallar BC.

4.En una recta se ubican los puntos A, B, C y D de manera que 2BC=5CD= 7AB y AD=28. Hallar BC.

5. En una recta se ubican los puntos A, B y C de manera que AC=18 y BC - AB =10. Hallar AB.

6.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D. Tal que: AD=20 y CD=8. Calcular BC. Si AB = 3(BC)


1.En una recta se ubican los puntos colineales A, B, C, D. Tal que: AB=3; BC=7 y CD=9.Calcular: AD

Rpta.: .......................................................

2.Sobre una recta se ubican los puntos colineales A, B, C, D, tal que AB=5; CD=12. Si AD=20. Calcular BC.

Rpta.: .......................................................

3.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C, D; tal que AC + BC = 20; BC=5.Calcular: ADRpta.: .......................................................

4.Sobre una recta se toman los puntos colineales A, B, C, D; tal que AB = BC = CD=a.Si: AD= 18. Calcular BC.

Rpta.: .......................................................

5.Sobre una recta se toman los puntos colineales A, B, C; tal que AB= 2(BC). Si AC= 15. Calcular AB.

Rpta.: .......................................................

6.Si ubican sobre una recta los puntos colineales A, B, C, D tal que: BC = CD. Si AB + CD = 30. Calcular AD.

Rpta.: .......................................................

7.En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D. Tal que: AB = 10; BC=3; CD; 8. Calcular la distancia entre los puntos medios de y ; siendo M y N puntos medios de y ,

Rpta.: .......................................................

8.En una recta se ubican los puntos colineales A, B, C y D. de manera que AB=4a; BC=5 y CD=2a. Calcular la distancia entre los puntos medios de y , siendo P y Q puntos medios de y respectivamente.Adems: AD=17.

Rpta.: .......................................................

9.En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C, D, tal que AB=3; BC=(CD); AD=12.Calcular: AC.

Rpta.: .......................................................

10.Si una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de manera que C es punto medio de y B punto medio de. Si AD=16. Calcular AB.

Rpta.: .......................................................

11.En una recta se ubican los puntos A, B, C, D de manera que C es punto medio de y BD - AB = 20. Calcular BC.

Rpta.: .......................................................

12.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D. Tal que: AD=20 y CD=8. Calcular BC. Si AB = 3(BC)

Rpta.: .......................................................

13.En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Tal que AB= 6 y AD=20. Si: Calcular BC.

Rpta.: .......................................................

14.En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Tal que C es punto medio de . Calcular BC. Si . AD=40

Rpta.: .......................................................

15.Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, B, C, y D; tal que B es punto medio de y AD + CD=18. Hallar BD.

Rpta.: .......................................................


1.En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de manera que AB=3; BC= 10 y CD=7. Calcular AD.

A)20B)21C)22D)23E)24

2.Sobre una recta; se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Tal que AC + BC = 30 y BC=12. Calcular AD.

A)13B)14C)16D)15E)18

3.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B, C y D tal que AB = BC = CD + 4. Si AD=34. Calcular: BC.

A)10B)12C)14D)30E)40

4.Se toman los puntos consecutivos A, B, C y D tal que AB = BC = 2(CD). Si AD = 16. Calcular AB.

A)4B)8C)12D)16E)10

5.En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Tal que M y N son puntos medios de y . Calcular la distancia entre los puntos medios ya mencionados. Adems: AB =6, BC=10 y CD=8

A)14B)17C)15D)18E)19

6.En una recta se ubica los puntos colineales A, B, C y D tal que C es punto medio de y B es punto medio de .Calcular AB. Si AD=12.

A)4B)3C)5D)6E)7

7.En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Tal que C punto medio de y BD-AB=28. Calcular BC.

A)14B)15C)20D)18E)16

8.En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D. Tal que AB= 8 y AD=12. Si: Calcular BC.

A)2B)1C)3D)4E)5

9.Se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D. Tal que B es punto medio de y AD + CD=12. Calcular BD.

A)5B)4C)8D)7E)6

10.Se tienen los puntos colineales A, B, C y D de modo que AC + BD = 28. Calcular la medida de segmento que une los puntos medios y

A)10B)14C)18D)19E)15

NGULO

Cuando dos figuras tales como los rayos se juntan, unindolos por su origen, de tal forma que estos dos rayos no formen una recta, entonces estos rayos han formado la figura geomtrica conocida como ngulo.

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