Transformada de LaplaceProf. Andrs Roldn Arandaamroldanugr.eshttp : // electronica.ugr.es / -amroldan15 / 03 / 2009Estudio delatransformadadeLaplaceparasu uso en elclculo delassealesdesalidadecircuitoselectrnicos.El usuario debe ser capaz de calcula la Funcin de Transferencia en el Dominio de Laplace del circuito en cuestin.Transformada de LaplaceTransformada Inversa de LaplaceEjemplos de funcionesLa funcin de Heaviside | Transformada de LaplaceSi ests utilizando Mathematica 3.0 debes cargar el mdulo LaplaceTransform.No es necesario en Mathematica 4.0 ysuperioresSolo si es necesario IMPORTANTE: Los valores devuelto por InverseLaplaceTransform[] nicamente son vlidos para t 0.sealDominioTiempo = InverseLaplaceTransform_1s2,s,t_tEste valor es vlido nicamente para t 0.y1 (t) = -1 2 s+3s2+1= -1 2 ss2+1+3s2+1= -1 2 ss2+1+ -1 3s2+1=2 -1 ss2+12+3 -1 1s2+12=2 cos (t)+3 sin (t)y2 (t) = -1 s + 5(s - 1) (s + 2)= -1 2s - 1-1s + 2= -1 2s - 1- -1 1s + 2=2 -1 1s - 1- -1 1s - (-2)=2 et-e-2 t | 4 Trans form ada_Laplace . nb | Ejemplos de TransformadasDemostrar que ( sinh (a t) ) =as2- a2.Dado que sinh (a t) =12 ca t- 12 c-a t,we obtain (sinh (a t)) =12 ca t-12 c-a t=12(ca t) -12(c-a t)=12 1s-a-12 1s+a=as2- a2 Calcular la Transformada de Laplace de f (t) = eatusando la definicin.Integrate[Exp[-s + t] Exp[a + t], {t,0, =}]IfRe[a] Re[s],1-a + s, Integratec(a-s) t, {t, 0, ], Assumptions - Re[a - s] ~ 0Calcular la Transformada de Laplace de f (t) = eatusando la definicin.Integrate[Exp[-s + t] Exp[a + t], {t,0, =},Assumptions - {a e Reals,s e Reals}]Ifa s,1-a + s, Integratec(a-s) t, {t, 0, ], Assumptions - s e Reals && a ~ sCalcular la Transformada de Laplace de f (t) = sin[t] usando la definicin.Integrate[Exp[-s + t] Sin[t], {t,0, =}]IfRe[s] > 0,11 + s2, Integratec-s tSin[t], {t, 0, ], Assumptions - Re[s]0Calcular la Transformada de Laplace de f (t) = sinh[t] usando la definicin.Integrate[Exp[-s + t] Sinh[a t], {t,0, =}]IfRe[a] + Re[s] > 0 && Re[a] Re[s], -aa2- s2,Integratec-s tSinh[a t], {t, 0, ], Assumptions - Re[a] ~ Re[s] || Re[a] + Re[s]0Calcular la Transformada Inversa de Laplace de f (s) =1-a + s usando la librera de conversin.InverseLaplaceTransform_1-a + s,s,t_ca tEjemplo :f (t) = sin (t)Trans form ada_Laplace . nb5Calcular la Transformada de Laplace de f(t)=sintLaplaceTransform[Sin[t],t,s]11 + s2Calcular la Transformada Inversa de Laplace de F (s) =11+s2InverseLaplaceTransform_11 + s2,s,t_Sin[t]Calcular las Transformadas de Laplace de cos(bt) y Exp[at]cos(bt)LaplaceTransform[Cos[b + t],t,s]sb2+ s2LaplaceTransform[Exp[a + t] Cos[b + t],t,s]-a + sb2+ (a - s)2Calcular las Transformada Inversa de Laplace de 4s^2+4 s+20InverseLaplaceTransform[4 / (s^2 + 4 + s + 20),s,t]-12f c(-2-4 f) t-1 + c8 f tInteresante aplicar la Frmula de EULER eix= cos[x] + i sin[x]FullSimplify[]Sin[4 t] (Cosh[2 t] - Sinh[2 t])6 Trans form ada_Laplace . nbLaplaceTransform[1,t,s]LaplaceTransform[Exp[a t],t,s]LaplaceTransform[Cosh[a t],t,s]LaplaceTransform[Sin[w t],t,s]LaplaceTransform[Exp[a t] Sin[w t],t,s]LaplaceTransform[t^6,t,s]LaplaceTransform[t Sin[w t],t,s]1s1-a + ss-a2+ s2ws2+ w2w(a - s)2+ w2720s72 s ws2+ w22LaplaceTransform[DiracDelta[t - 2],t,s]LaplaceTransform[DiracDelta[t - a],t,s]LaplaceTransform[(Exp[-t] - 1) / t,t,s]c-2 sc-a sHeavisideTheta[a]Log[s] - Log[1 + s] | La Funcin de HeavisideLa funcin escaln o funcin de Heaviside se representa mediante UnitStep u[x_] = UnitStep[x];Trans form ada_Laplace . nb7Plot[u[x], {x, -5,5},PlotRange - {-1,2},AxesOrigin - {-0.5`, -0.5`}]4 2 0 2 41.00.00.51.01.52.0Representar la siguente funcin en el dominio del tiempo:H (t - Pi) cos (t) :Plot[u[x - ] Cos[x], {x, -3,15},PlotRange - {-1,1.5`},AxesOrigin - {0, -0.5`}]5 10 151.00.00.51.01.5CalcularlaTransformadaInversadeLaplacedeestafuncinyrepresentarlagrficamentecon-1t4salidaSistema[t_] = InverseLaplaceTransform_e-3 s(1 + 3 s)s2[4 + s2|,s,t_18HeavisideTheta[-3 + t] (2 t - 6 Cos[6 - 2 t] + Sin[6 - 2 t])Representar salidaSistema[t_]con -1t48 Trans form ada_Laplace . nbPlot[salidaSistema[t], {t,0,10},PlotRange - {-1,4},AxesOrigin - {0, -0.5`}]2 4 6 8 10101234 | Trans form ada_Laplace . nb9