M A T R I C E S

Introduccin

Las matrices aparecen por primera vez hacia el ao 1850, introducidas por J. J. Sylvester. El

desarrollo inicial de la teora se debe al matemtico W. R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley

introduce la notacin matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones

lineales con n incgnitas.

Las matrices se utilizan en el clculo numrico, en la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, de

las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Adems de su utilidad para el estudio de

sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometra, estadstica,

economa, informtica, fsica, etc...

La utilizacin de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de

programacin, ya que la mayora de los datos se introducen en los ordenadores como tablas

organizadas en filas y columnas: hojas de clculo, bases de datos,...

Es un conjunto de nmx elementos dispuestos en m filas y n columnas

Notacin: nmA x =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

Decimos que la dimensin de la matriz es mxn

El primer subndice indica la fila. El segundo subndice indica la columna

Elemento genrico sera: ija donde i indica el nmero de fila y j el nmero de columna

con mi ,...,2,1 nj ,...,2,1

Ejemplo:

51

02

32

2x3A donde 211 a , 312 a , 221 a , 221 a , 131 a y 131 a

Observacin:

Un caso particular en las matrices es aqul en que 1m o 1n . Es decir se reduce a una fila o a una

columna.

En ese caso se llaman vectores

nn aaaA 11211x1 vector fila

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/biografias/jsylvester.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/biografias/wrhamilton.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/biografias/acayley.html

1

21

11

1x

m

m

a

a

a

A

vector columna

Igualdad de matrices

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensin y los mismos elementos en los mismos

lugares o sea

njmiba

tnrmBA

ijijtrnm 11

,xx

Ejemplo:

56

14

b

aA y

ed

cB

7

04 son iguales

5

6

1

7

0

e

d

c

b

a

Casos particulares:

Matriz cuadrada

Es la que tiene el mismo nmero de filas que columnas

Ejemplo:

118

31A

Matriz nula

Es la que tiene todos sus elementos iguales a 0

O sea jia ij ,0

Ejemplo:

00

00A

Matriz diagonal

Es la matriz cuadrada que tiene todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal (los

elementos tienen subndices distintos) iguales a 0

nna

a

a

A

00

00

00

22

11

O sea jia ij si0

Ejemplo:

900

010

006

Matriz identidad

Es la matriz diagonal con los elementos de la diagonal principal iguales a 1

Ejemplo:

10

01A

Matriz simtrica

Es la que cumple que jiaa jiij ,

Ejemplo:

739

352

920

Transpuesta de una matriz

Es la que tiene por filas las columnas de la otra o sea:

nmTA x =

mnnn

m

mT

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

aaa

21

22212

12111

21

22221

11211

Ejemplo:

8613

2035

24314

1

A

82

602

134

3531

41

TA

Propiedad:

AA TT

Adicin de matrices

Definicin

Sean nmA x =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

y nmB x =

mnmm

n

n

bbb

bbb

bbb

21

22221

11211

entonces

BAC nmx

mnmnmmmm

nn

nn

bababa

bababa

bababa

2211

2222222121

1112121111

O sea jiijijij bac ,

Solo es posible sumar matrices cuando tienen la misma dimensin

Ejemplo:

1215

8016A y

612

975B BAC

623

89611

Multiplicacin de un nmero por una matriz

Definicin

Sea R y nmA x =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

entonces nmAB x =

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

AB jiab ijij ,

Ejemplo:

51

02

312

A

153

023

936

3A

Multiplicacin de matrices

Primero veremos dos ejemplos.

1) Si 432141 xA y

1

4

0

2

14xB entonces 111441 xxx CBA :

1

4

0

2

4321 1114144.30.22.1 xC

2) Si

210

531x32A y

10

6

2

1x3B entonces 121332 xxx CBA :

Procedemos en forma similar al ejemplo anterior en cada una de las filas de la primera matriz.

De hecho, de esta forma se podrn multiplicar dos matrices cualesquiera, siempre y cuando las

columnas de la primera sean la misma cantidad que las filas de la segunda.

10

6

2

210

531 1214

40

10.2612.0

10.56321xC

En general:

Sean nmA x

mnmm

inii

n

aaa

aaa

aaa

21

21

11211

y pnB x

npnjn

pj

pj

bbb

bbb

bbb

1

2221

1111

nk

k

kjiknjinjijiijpnnmpm babababacBAC

1

2211xxx x

Esquema:

npnjn

pj

pj

bbb

bbb

bbb

1

2221

1111

mnmm

inii

n

aaa

aaa

aaa

21

21

11211

ijc

Para obtener el elemento ijc de la matriz producto se multiplica el primer elemento de la fila i de la

matriz A por el primer elemento de la columna j de la matriz B, el 2 de la fila i por el 2 de la columna

j y as sucesivamente y finalmente se suman los productos

Solo se pueden multiplicar matrices que sean conformables o sea que el nmero de columnas de la

primera matriz sea igual al nmero de filas de la segunda.

Ejemplo:

Sean

234

012A y

2531

0206

3421

B , se quiere calcular BAC .

Entonces

2531

0206

3421

234

012

)2).(2(0.3)3.(45).2(2.34.43).2(0.32.4)1).(2(6.31.4

)2.(00).1()3(25.02).1(4.23.00).1(2.2)1.(06).1(1.2

C

812224

6644

Observaciones:

El producto de dos matrices puede ser la matriz nula sin que ninguna de las matrices factores lo sean (no cumple la propiedad hankeliana).

Ejemplo:

00

00

11

11.

11

11

La propiedad conmutativa en el producto de matrices no se cumple

Ejemplo

Sean

11

31

21

A y ,202

211

B entonces

413

817

615

AB y

64

74BA Verificarlo

Ejercicios de matrices Primera Parte

Matriz inversa

Sea A una matriz cuadrada, decimos que es invertible si existe una matriz, a la que escribiremos como 1A tal que IAAAA 11 ( 1A se dice que es la inversa de A y recprocamente).

No todas las matrices tienen inversa, veremos en la prxima seccin, que una matriz cuadrada tiene

inversa si y solo si, su determinante es distinto de cero.

Clculo de la matriz inversa de un matriz de 2x2 (diremos de orden 2):

Sea

42

11A y queremos hallar su inversa

Primera forma: Aplicando la definicin

10

01

42

11

dc

ba

21

21 y

142

0

1y2042

1

dbcb

db

caca

ca

de donde

21

21

1

1

2A

Segunda forma: Mtodo de Gauss-Jordan

Consiste en partir de A e I (matriz Identidad) y llegar a I y A-1

. Esto se logra haciendo transformaciones

con sus filas, obteniendo 0 arriba y debajo de la diagonal principal de A.

A I

I A

-1

ejer_matrices-1.pdf

Aplicado al mismo ejemplo:

A I

(-2)

(1)

(-2)

(1)

/(-2)

/(2)

Columnas de A-1

De donde

21

21

1

1

2A

La primera y segunda forma es vlida para matrices de nnx

Tercera forma: este mtodo es solo vlido para matrices 2x2

Si

dc

baA entonces

bcadac

bdA

11

Aplicada al mismo ejemplo:

Como

42

11A entonces

211

212

2

1

12

14

2.14.1

1

12

141A

Clculo de la matriz inversa de un matriz de 3x3 (diremos de orden 3):

Sea

110

041

202

A y queremos hallar su inversa

Primera forma: Aplicando la definicin

100

010

001

110

041

202

ihg

fed

cba

Hacerlo

1 1 1 0

2 4 0 1

1 1 1 0

0 2 -2 1

-2 0 -4 1

0 2 -2 1

1 0 2 -2

1

0 1 -1 2

1

Segunda forma: Mtodo de Gauss-Jordan

(1)

(-2)

(1)

(8)

(-5)

(-5)

(1) (1)

/(-10)

/(40)

/(10)

Columnas de A-1

De donde

54

51

101

51

51

101

54

51

52

1A

Esta formas son vlidas para matrices de nnx

Ejercicios de matrices Segunda Parte

Ejercicios complementarios de matrices

Otros ejemplos y aplicaciones

Prxima seccin: Determinantes

2 0 2 1 0 0

1 4 0 0 1 0

0 1 1 0 0 1

2 0 2 1 0 0

0 -8 2 1 -2 0

0 1 1 0 0 1

2 0 2 1 0 0

0 -8 2 1 -2 0

0 0 10 1 -2 8

-10 0 0 -4 -2 8

0 40 10 -4 8 8

0 0 10 1 -2 8

1 0 0 5

2 5

1 5

4

0 1 0 10

1 5

1 5

1

0 0 1 10

1 5

1 5

4

ejer_matrices-2.pdfejer_matrices-2.pdfejer_matrices-3.pdfejer_matrices-3.pdfaplicaciones.pdf../3determinantes/determinantes.pdf