ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS.

TITULO: EL METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS EN SU ENFOQUE MATRICIAL

Contenido:

Parte 1. Introducción. Aspectos fundamentales del algebra lineal. Ejemplos.

Parte 2. Introducción. Breve reseña histórica. Hipótesis fundamentales. El análisis

estructural. Notación y Referencia. Elementos que intervienen en el análisis. Cargas

Nodales. Rotación de fuerzas y desplazamientos. Ejemplo.

BIBLIOGRAFÍA:

• Cálculo de Estructuras. J. R. González de Cangas, A. Samartín Quiroga. 1999.

• Análisis de estructuras. R. Arguelles Álvarez, R. Arguelles Bustillo. 1996.

• Cálculo de Estructuras por el Método de Elementos Finitos. Análisis estático

lineal. E. Oñate. 1992.

• Cálculo Matricial de Estructuras. E. Alarcón Álvarez, R. Álvarez Cabal. 1990.

• Análisis Matricial de estructuras. Método de los desplazamientos. Manuel

Penado. 1987.

El desarrollo de los ordenadores en las últimas décadas ha estimulado

sobremanera el trabajo de investigación en muchas ramas de la matemática.

La mayor parte de esta actividad ha estado, naturalmente, relacionada con el

desarrollo de los procedimientos numéricos apropiados para el uso de éstos, y

en el caso del análisis de estructuras ha conducido al desarrollo de métodos

que utilizan las ideas del ÁLGEBRA MATRICIAL.

El empleo de la notación matricial presenta dos ventajas en el cálculo de

estructuras. Desde el punto de vista teórico, permite utilizar métodos de cálculo

de una forma compacta, precisa y, al mismo tiempo, completamente general.

Desde el punto de vista práctico, proporciona un sistema apropiado de análisis

de las estructuras y determina una base muy conveniente para el desarrollo de

programas de computación.

En contraste con estas ventajas, debe admitirse que los métodos

matriciales se caracterizan por una gran cantidad de cálculos

sistemáticos, y su valor en el cálculo práctico de estructuras se

basa en la adecuación de los ordenadores para llevar a cabo el

trabajo numérico. Se desprende de esto que el principal campo

de aplicación está en el cálculo de grandes y complejas

estructuras, en las que los métodos manuales tradicionales

requieren una dosis excesiva de esfuerzo humano. En problemas

simples, en los que los métodos existentes son plenamente

satisfactorios, se gana muy poco con un tratamiento matricial.

El hecho de que los métodos matriciales estén ligados con los

ordenadores y que se emplee en los mismos una notación no

familiar a algunos ingenieros ha llevado a la creencia de que

incluyen nuevos y difíciles conceptos matemáticos y

estructurales, esto no es cierto. Un conocimiento de las

operaciones básicas del álgebra matricial es todo cuanto se

requiere, y los únicos principios estructurales necesarios son los

elementos tratados en todos los textos de estructuras.

ASPECTOS FUNDAMENTALES DE ÁLGEBRA

LINEAL.

1. Suma y/o resta de matrices.

2. Multiplicación de matrices.

3. Inversión de matrices.

SUMA Y /O RESTA DE MATRICES.

Sean dos matrices (A y B) que se desean sumar y / o restar

para obtener una nueva matriz (C); lo que equivale a:

[A] + [B] = [C]

Si: [A]p*n ; [B]p*n ; [C]p*n p*n: orden de la matriz

La matriz suma o resta vendrá dada por:

a + b = c

Es decir, para sumar y/o restar matrices se suman término a

término sus elementos componentes. Por la definición ambas

matrices deben ser del mismo orden, se dice entonces que

dos matrices del mismo orden son conformes para la suma.

Formalmente:

Ejemplo: Sumar las matrices [A] y [B] que se dan a

continuación, para obtener la matriz suma [C]:

[A]+[B]=

1p1p

2121

1111

ba

ba

ba

22

2222

1212

pp ba

ba

ba

pnpn

n2n2

n1n1

ba

ba

ba

np*

Ejemplo: Sumar las matrices [A] y [B] que se dan a

continuación, para obtener la matriz suma [C]:

[A]=

4

2

1

3

3*20

5

[B]=

0

1

4

2

3*27

3

dando [C]=

4

1

3

1

3*27

8

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES.

Producto Escalar Por Una Matriz :

Para multiplicar una matriz[A] por un escalar ( ), se

multiplica por ( ) todos los elementos de la matriz. Las

operaciones se pueden resumir como:

Ejemplo: 3* =

1

0

2

3

0

6

15

9

3

PRODUCTO DE MATRICES

Para multiplicar una matriz [A] por una matriz [B],

obteniéndose de esta matriz una nueva matriz [C], debe

seguirse la siguiente formulación:

q*nA p*nB * = p*q

C

Propiedades del producto de matrices:

Es asociativa ([A] * [B]) *[C] = [A] * ([B] * [C]).

Es distributiva a la derecha y a la izquierda:

[A] * ([B] + [C]) = [A] * [B] + [A] * [C]

([B] + [C]) * A = [B] * [A] + [C] * [A]

INVERSIÓN DE MATRICES.

La inversión de una matriz cuadrada [A], si existe , es

también una matriz cuadrada la cual conmuta con y

tal que el producto * tiene como resultado la matriz

idéntica del mismo orden que la matriz .

Existen diferentes métodos para el cálculo de la matriz

inversa:

1. Mediante la adjunta.

2. Mediante el método de eliminación de Jordán .

3. Mediante programas de inversión empleando ordenadores.

A

A 1A

I

A 1A

A) Método de la Adjunta:

= 1

A ADet

AAdj

Adj [A]: se denomina a la traspuesta, de la matriz de los

cofactores de [A].

LA MATRIZ TRASPUESTA de una matriz [A] de orden (p * n)

es la que se obtiene intercambiando en [A] las filas por

columnas, se denota por

y es evidente que si la matriz [A] es de orden (p *n), su

traspuesta será de orden(n x p).

,́A

Ejemplo.

Determinar la matriz inversa aplicando el

método de la adjunta.

[A] =

1

1

1

4

3

2

3

4

3

1) Se calcula el determinante de la matriz [A]. En este

caso el determinante de la matriz [A] = (-2), distinto de cero,

teniendo la matriz por tanto inversa. En caso de que este

determinante diera cero, la matriz sería MATRIZ SINGULAR,

y la misma no tendría matriz inversa. Posteriormente en el

estudio del análisis matricial se observará cómo las matrices

singulares son reflejo de estructuras mal organizadas (

sistemas críticos o mecanismo).

2) Se calcula la adjunta de la matriz [A].

Adj[A] =

121

101

167

Al aplicar la definición de matriz inversa

=

En este caso se obtiene:

=

1A

2

11

2

12

10

2

12

13

2

7

1A

ADet

AAdj

METODO DE ELIMINACIÓN DE JORDAN.

Este método se basa en una serie de transformaciones

elementales aplicadas a la matriz [A] que se desea invertir. Se

entiende por transformaciones elementales las siguientes:

1. Intercambio de filas.

2. Intercambio de columnas.

3. Multiplicación de los elementos de una fila por un escalar.

4. Multiplicación de los elementos de una columna por un

escalar.

5. Sumar a los elementos de una fila los de otra fila

multiplicados por un escalar.

6. Sumar a los elementos de una columna los de otra columna

multiplicados por un escalar.

Ejemplo: Calcular por el método de Jordan

la inversa de la matriz:

A =

2

1

1

1

1

0

0

2

1

Antes de proceder a aplicar el Método de Jordan se debe

comprobar que esta matriz tiene realmente inversa, esto es,

que no sea una matriz singular. Para esto se obtiene el

determinante de la matriz [A] a invertir, el cual debe ser

distinto de cero. En este caso el mismo da un valor (-1), lo

cual indica que tiene inversa, proponiéndose a continuación a

obtener la misma.

Se escribe la matriz [A] y al lado, la matriz [ I ], del mismo

orden.

2

1

1

1

1

0

0

2

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0 A =

3) Realice las transformaciones elementales en las dos matriz, en forma tal

que la matriz [A], se transforme en la identidad.

Para efectuar estas transformaciones:

a) Escriba la 1ra fila como está y realice las transformaciones necesarias para

obtener ceros en la primera columna.

0

0

1

1

1

0

2

3

1

2

1

1

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

0

2

3

1

2

1

1

0

1

0

1

0

0

Fila 2: fila 2 – fila 1.

Fila 3: fila 1 * (-2) + fila 3.

0

0

1

1

1

0

2

3

1

2

1

1

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

3

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

b) Escriba ahora la segunda fila como está y utilizando la segunda fila obtenga los ceros en la

segunda columna.

Fila 3: fila 2 – fila 3.

c) Escriba la tercera fila como este y utilizando la tercera fila obtenga los ceros de la tercera

columna.

0

0

1

1

1

0

2

3

1

2

1

1

0

1

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

4

2

1

2

1

1

3

1

d) Como la matriz [A] se ha convertido en la identidad, la matriz identidad [ I ], a la que se le han

aplicado las misma transformaciones se habrá convertido en la ,matriz inversa de [A], por tanto la

matriz será:

1

1

4

2

1

2

1

1

3

1

A =

e) Compruebe que la matriz obtenida es la inversa multiplicando la

matriz [A] original por esta, debiéndose obtener la matriz [ I ].

Fundamentalmente en el análisis matricial existen dos métodos:

EL METODO DE LAS FUERZAS Y EL METODO DE LOS

DESPLAZAMIENTOS

El primero, METODO DE LAS FUERZAS, su solución se basa en la formación

de una matriz [f], que se llama matriz flexibilidad del sistema, la cual se

corresponde con un sistema base dado y para una estructura determinada

existirán tantas matrices [f], como sistemas bases se elijan. Esta dificultad en

establecer una relación única entre la estructura real y el sistema base

(además de lo engorroso en determinar este si la estructura tiene un cierto

grado de complejidad), hizo que la aplicación de los ordenadores al análisis de

las estructuras mediante este método se retrasara en relación con la aplicación

del segundo método, METODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS, en el que el

sistema base es único.

En el segundo método, METODO DE LOS DESPLAMIENTOS, como se

conoce el sistema base es único y parte de la inmovilización de todos los

nudos de la estructura no permitiéndose ningún tipo de desplazamiento de los

mismos (lineales o angulares), con lo cual se desprende que el sistema base

tiene que ser único también y puede ser formado en forma directa y sencilla

como posteriormente se verá. Es lo anterior lo que brindó gran atractivo para

los científicos e investigadores en el desarrollo de este método y es esta la

razón por lo que fue el primero en desarrollarse.

La hipótesis en que ambos métodos se basan son las mismas estudiadas en

los cursos de Mecánica de la Construcción, en sentido general, valga decir

continuidad, homogeneidad, isotropismo, linealidad, etc.