Matrices I: Concepto. y Operatoria. Departamento de Matemática. Colegio Teodelina F. de Alvear.
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Apuntes de Matemática – 5to. Año Ed. Secundaria. Departamento de Matemática – Colegio Teodelina Matrices.
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Apuntes de Matemática – 5to. Año Ed. Secundaria.
Departamento de Matemática – Colegio Teodelina
Matrices.
MATRICES…
Cuando se lee tablas de posiciones de los equipos de fútbol, o los horarios de los trenes o colectivos en las estaciones o cuando se trabaja con una planilla de cálculo, se utiliza Matrices…
Las matrices se utilizan en la resolución de sistemas de ecuaciones aplicados a la geometría, estadística, economía, informática, física, entre otras ciencias…
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MATRICES…
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Dimensión de la matriz
m x n
2ª columna
3ª fila
a
11 a 12 a
13 ...... a 1n
a 21 a
22 a 23 ...... a
2n a
31 a 32 a
33 ...... a 3n
.. .. .. .. .. a
m1 a m2 a
m3 ...... a mn
Cada elemento tiene dos subíndices, el primero indica la fila y el segundo la
columna.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan la misma posición en cada una de ellas son
iguales.
El orden es el número de filas y columnas que tiene la matriz, se
representa por m x n.
Se llama matriz a una disposición rectangular de números reales, a los cuales se les denomina elementos de la matriz.
MATRICES…
Ejemplo de matriz: Lucas, Dante y Elena han ido a una tienda y han comprado lo siguiente:
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Lucas compró dos bocadillos, tres refrescos y un pastel, Dante se llevó un bocadillo, un refresco y un pastel; y Elena compró un bocadillo y un refresco.
En el ejemplo se puede observar una matriz cuya dimensión es 3 (filas) x 3 (columnas) y como el número de filas y columnas coincide, se dice que es una
matriz cuadrada y en este caso de orden 3.
a12 = 3 se lee «elemento de la fila 1 columna 2 es 3»
Estos datos se pueden agrupar en
una matriz
2 3 1
1 1 1
1 1 0
ALGUNAS DEFINICIONES…
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A =
2
4
6
Matriz columna: es una matriz constituida por una
sola columna; A = (1 3 5 7 9 )
Matriz fila: es una matriz constituida por una sola fila;
Matriz transpuesta: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las
columnas;
Matriz cuadrada: es una matriz que tiene la misma cantidad de filas que de columnas. Los elementos que se
encuentran en la misma fila y columna están en la diagonal
principal; Diagonal
secundaria Diagonal principal
A=
1 3 5
2 4 6 1 1 1
ALGUNAS DEFINICIONES…
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Matriz nula: todos los elementos que componen a
la matriz son nulos;
Matriz diagonal: es una matriz
cuadrada, en la que todos
los elementos no
pertenecientes a la diagonal principal son
nulos;
600
020
005
DMatriz escalar: es
una matriz diagonal
donde todos los elementos de ella
son iguales;
300
030
003
A
Matriz identidad: es una matriz escalar, cuya
diagonal principal es 1;
100
010
001
I3
Matriz triangular superior: es una matriz donde todos los elementos por debajo de la
diagonal son ceros;
400
350
831
T
Matriz triangular inferior: es una matriz donde todos los elementos por encima de la
diagonal son ceros;
457
023
001
T
ALGUNAS DEFINICIONES…
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034
302
420
Matriz anti-simétrica: es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta
de su traspuesta.
A = – At
Matriz simétrica: es una matriz cuadrada que es igual
a su traspuesta;
A = At
154
532
421
OPERACIONES CON MATRICES.
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SUMA DE MATRICES
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Dos matrices A y B con las mismas dimensiones, es decir, con la misma cantidad de filas y de columnas pueden sumarse como se ve a continuación:
Sin embargo, las siguientes matrices no se pueden sumar.
La diferencia de matrices A y B se representa por A – B, y se define como la suma de A con la opuesta de B: A – B = A + (– B)
Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión
A + B =
a 11 a 12 a 13 a 14
a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34
+
b 11 b 12 b 13 b 14
b 21 b 22 b 23 b 24 b 31 b 32 b 33 b 34
=
=
a
11 + b 11 a
12 + b 12 a
13 + b 13 a
14 + b 14
a 21
+ b 21 a 22
+ b 22 a 23
+ b 23 a 24
+ b 24 a
31 + b 31 a
32 + b 32 a
33 + b 33
a 34
+ b 34
Ejemplo:
PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO.
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Para multiplicar un número real por una
matriz, se multiplican cada uno de los elementos de
la matriz por dicho número.
k.A = k.
a
11 a 12 a
13 a
21 a 22 a
23 a
31 a 32 a
33
=
k.a
11 k.a 12 k.a
13 k.a
21 k.a 22 k.a
23 k.a
31 k.a 32 k.a
33
PRODUCTO ENTRE MATRICES. Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz AxB cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de AxB son de la forma:
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de
filas de B. Es más, si A tiene dimensión m x n y B
dimensión n x p, la matriz P será de orden m x p,
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PRODUCTO ENTRE MATRICES.
Am,n . Bn,p =Cm,p
El producto de matrices es posible cuando coincide el número de columnas de una matriz
con el número de filas de la otra matriz.
PRODUCTO: POTENCIA DE UNA MATRIZ:
Si A es una matriz cuadrada, las potencias de A, de exponente natural, se definen como en el caso de los números naturales: el exponente indica el número de veces que se multiplica la
matriz por sí misma.
1 0
1 1 Ejemplo: A
1 0
2 1
1 0
1 1
1 0
1 1 A A A 2
1 0
3 1
1 0
2 1
1 0
1 1 A A A 2 3
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