3.1. MATRICES, OPERACIONES CON MATRICES

Objetivos 1. Aprender efectuar la suma,

multiplicación por un escalar y la

multiplicación matricial. 2. Comprender las propiedades

básicas de estas operaciones.

MATRICES

Lord Cayley es uno de los fundadores de la teoría de las matrices, aunque su amigo, el matemático inglés James Joseph Sylvester(1814-1897)

fue el primero que uso el término “matriz” en 1850, para distinguir las

matrices de los determinantes. De hecho, que la intención era que el

término matriz tuviera el significado de “madre de los determinantes”.

Sylvester fue el primer profesor del Departamento de Matemáticas en la

Universidad Johns Hopkins, y fundó la prestigiosa revista American Jornal

of Mathematics.

Definición 1 MATRIZ

Una matriz es un arreglo rectangular de números ordenadas en filas y

columnas del modo:

mna.........m2am1a

2n..a..........22a21a1n.a..........12a11a

.....

Notaciones: Las matrices se denotan, con letras mayúsculas, tal como A, B, C,... etc. Y abreviadamente se puede expresar por

mnijaA

Los subíndices: el primero de ellos “i” indica la fila en la que está la

componente y el segundo, “j”, la columna correspondiente. Así, el elemento

a32 ocupa la tercera fila y la segunda columna. En general, el elemento

aij, ocupa la intersección de la i-esima fila y la j-ésima columna.

Definición 2 ORDEN DE UNA MATRIZ

El orden o dimensión de una matriz está dado por el producto indicado mxn,

donde m indica el número de filas y n el número de columnas.

Ejemplo 1 Los siguientes arreglos son matrices.

A=

25-1

510

23ln3

, B=

7z

y

x5

, C= 3810

El orden de la matriz A, es:3x3

El orden de la matriz B, es: 3x1

El orden de la matriz C, es: 1x4

Ejemplo 2. Se presentan matrices de diferentes tamaños:

010

16-7A es una matriz de orden 2x3

119

1B

12 es una matriz de orden 2x2

C=

141041032130017421 es una matriz de orden 3x6

D=

yxqmwxv

xypnzwx es una matriz de orden 2x7

E=

yxx

yxxcz

yxxy

exyx

xsenxxx

3

2

tan

tancos

ln

es una matriz de orden 5x3

Nota: El conjunto de matrices de orden mxn, con coeficientes en ℝ o ℂ, se

denotará ℳmxn(ℝ) y ℳmxn(ℂ) respectivamente.

Definición 3 IGUALDAD DE MARICES

Se dice que dos matrices A y B son iguales si son del mismo orden y sus

componentes correspondientes son iguales, es decir, si las matrices son

idénticas. Formalmente

[aij]mxn=[bij]mxn aij = bij, i=1,2,m, j=1,2,,n

Si A no es igual a B se nota: A B

Ejemplo 3. Si las matrices A=

35

13y

3y3x

1yx

B son iguales, hallar el

valor de M=2x+5y

Solución. En primer lugar las dos matrices son del mismo orden, luego:

3y3x

1yx

35

13 (x–y=3) (3x–y=5)

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: x=1, y=-2.

Por tanto M= 2(1)+5(-2)=-8.

Definición 4: TIPOS DE MATRICES

1. La matriz de orden mxn, con mn recibe el nombre de matriz rectangular.

2. La matriz de orden 1xn se denomina matriz fila o vector fila.

3. La matriz de m filas y una columna recibe el nombre de matriz columna de

orden mx1.

4. Una matriz cuyos elementos son todos nulos, es decir, aij=0, j;,i

recibe el nombre de matriz cero o nula.

5. La matriz que tiene el mismo número de filas y columnas se llama matriz

cuadrada. Esto es,

[aij]mxn es cuadrada m=n

se le representa por An ℳnxn,

Ejemplo 4.

La matriz

8-07

1-1

A

0

, es una matriz rectangular de orden 2x3.

La matriz A = [6 -9 1 1] es una matriz o vector fila de orden 1x4.

La matriz

5

3

1/2

A es una matriz columna de orden 3x1

La matriz

000

000

A es una matriz cero de orden 2x3.

La matriz

33a32a31a

23a22a21a

13a12a11a

A es una matriz cuadrada de orden 3

La matriz A= 6301 es una matriz fila de orden 1x4.

OPERACIOENES ENTRE MATRICES

Definición 5 (SUMA DE MATRICES)

Dadas dos matrices del mismo orden A=[aij]mxn y B=[bij]mxn, se llama suma de A

y B a otra matriz C=[cij]mxn tal que

cij=aij+bij i1,2,3, …,m,j1,2,3, …,n

Formalmente A+B= [aij+bij]mxn

Ejemplo 5. Sean las matrices

14

52

Cy

21x

x2y5

B,

2y3

y12x

A

Hallar A+C, sabiendo que A=B

Solución: Si A=B

2yx1xy3

6y2xy512x

Entonces x=4, y=-2

Efectuando:

19

35

1245

5227

14

52

2 5

27CA

Teorema 1

Si A, B y C son matrices del mismo orden, entonces:

1. A,Bℳmxn, (A+B) ℳmxn Clausura

2. A+B = B+A Conmutatividad

3. A+(B+C)= (A+B)+C Asociatividad

4. Aℳmxn,0mxn /A+0 = 0+A = A Elemento neutro aditivo

5. Aℳmxn,(-A)ℳmxn / A+(-A)=(-A)+A = 0 Elemento inverso aditivo

Definición 6 Producto de un Escalar por una Matriz

Dados una matriz A=[aij]nxm y un número kℂ, el producto de k por A se define

por

kA = [kaij]nxm

Cada componente de A se multiplica por el escalar k.

Ejemplo 6 Si k=3 y

63

9-2

A , entonces

189-

276

6333

9-323

kA

Ejemplo 7 Si

1i

1iBy

i1

i1A hallar la matriz X=(1+i)A+(1–i)B, i= 1

Solución: Obsérvense que los coeficientes de A y B son números complejos, entonces, se tiene:

i1i1i

i1i1i

i1ii1

i1ii1

1i

1ii1

i1

i1i1X

2i20

02i2

i11i

i11i

1ii1

1ii1X

Definición 7. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Si A=[aij]mxp y B=[bik]pxn, el producto de AxB, en este orden, es la matriz

C=[cik]mxn cuyos elementos se obtienen de los elementos A y B siguiendo el

desarrollo.

cik = ai1b1k + ai2b2k + ... + aipbpk

La multiplicación de matrices solo está permitido si la cantidad de

columnas de la primera matriz es igual al cantidad de filas de la segunda

matriz. En cualquier otro caso sería indefinida.

Ejemplo 8 Si

420

013-

By

53

1-0

A , hallar: a)AB, b)BA

Solución: Empleando el método del producto escalar se tiene:

a)

4

0

.53,

2

1

.53,

0

3-

.53,

4

0

.1-0,

2

1

.1-0,

0

3-

.1-0,

AB

2079-

4-2- 0

45032513053-3

41-0021-1001-3-0

b) En este caso, B tiene tres columnas y A dos filas, por tanto BA no

está definido.

Teorema 3

Si A, B y C son matrices, entonces:

1. A(BC) = (AB)C Asociatividad

2.

BCACCBA

ACABCBA

Distributividad

3. AB BA

4. AB = 0 A = 0 ó B = 0

5. AB = AC B = C

Ejemplo 9. Hallar la matriz Aℳ2x2 tal que, a22 =5 y A2=

2821

77

Solución: Sea la matriz

5c

ba

A

Entonces

2821

77

25bc5cac

5babbc2

a

5c

ba

5c

ba2

A

Por igualdad de matrices: a2 + bc = 7 (1)

ab + 5b = 7 b = 5a

7

(2)

ac + 5c = 21 c = 5a

21

(3)

bc + 25 = 28 bc = 3 (4)

Sustituyendo (4) en (1) obtenemos: a2+3 =7a2=4 a=2 ó a=-2

En (2) y (3):Para a=2 b=1, c=3; si a=-2 b=7/3, c=7. La segunda

alternativa no satisface bc=3, por lo que

53

12

A

Ejemplo 10 Hallar la matriz P= ABCD, donde

0101

2212

1101

D,

013

200

141

311

012

C,02101

01010B,

12

11

01

A

Solución: Se tiene A3x2.B2x5.C5x3.D3x4= P3x4

Efectuamos primero el producto CD=E, luego BE=F y finalmente AF=P.

CD=

0101

2212

1101

013200141

311012

=

1115

0202

7848

3612

0014

=E

BE=

0210101010

1115

0202

7848

3612

0014

=

71230

3814=F

AF=

71230

3814

12

11

01

=

141844243814=P

Ejemplo 11. Si

b175

0a511

1100

0030

2103

0211

1c2a

d1b2, hallar a+b+c+d.

Solución: Efectuando el producto:

b175

0a511

3-1-2a3ca6-a

d2bdb453b2

Usando la igualdad de matrices: a=1, b=3, c=2, d=-6.

Entonces: a+b+c+d=0.

Ejemplo 12. Si

3

5

1

z

y

x

013

102

120

, hallar x+y+z:

Solución: Efectuando el producto:

z

y

x

013

102

120

=

3

5

1

y3x

z2x

z2y

, entonces x=0, y=3, z=5. Por tanto x+y+z=8.

Definición 1 . DETERMINATE

Determinante es un número real o escalar asociado a una matriz cuadrada A, que

se denota por:

A , det (A), D(A)

El determinante de una matriz es un solo número real y su cálculo depende

del orden de la matriz cuadrada en particular.

Caso 1.

Si A=

2221

1211

aa

aa. El determinante es el número:

det(A)= 12212211 aaaa

Ejemplo 1. Hallar el determinante de la matriz

21

34A

Solución

1138312421

34AD

Caso 2.

El cálculo del determinante de una matriz de orden 3 es un tanto más

complicada, y se puede escribir en términos de 2x2.

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

=a113332

2322

aa

aa-a12

3331

2321

aa

aa+a13

3231

2221

aa

aa

o en forma explícita

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

= a11(a22a33- a32a23)-a12(a21a33-a23a31)+a13(a21a32- a31a22).

Ejemplo 2. Hallar el determinante de la matriz A=

402314211

PRÁCTICA

1 11 3.1

1. Calcular los productos:

a)

12

05-

63

32

53

31

b)

5

2

11

20

15

112-

321

110

03-1

2. Hallar a, b, c y d para que satisfagan la ecuación

4891

6601

0100

0010

1100

0201

2941

dcba

3. Si ,

1

4

1

z

y

x

012

101

210

calcular 2x-y+3z

4. Si

b134

0a411

2200

0030

1205

0117

1c2a

d1b2, hallar S=a+b+c+d

5. Hallar una matriz X de orden 2x1 tal que AX =2X,donde A=

93

15

6. Comprobar que las identidades algebraicas:

(A+B)2=A2+2AB+B2 y (A+B)(A–B)=A2–B2

no son ciertas para las matrices A =

21

01By

20

11

7. Sean a11, a12, a21 y a22 números reales tales que a11a22-a12a210.

Encuentre los valores b11, b12, b21 y b22 tales que

2221

1211

aa

aa

2221

1211

bb

bb=

1001

8. Verifique la ley asociativa para la multiplicación de las matrices

A=

601412, B=

023212101 y C=

504261.

9. Sea A una matriz cuadrada. Entonces A2 se define simplemente como

AA. Calcule

2

5312

10. Calcula los determinantes siguientes

a) 020111

422 b)

110111011 c)

053462

521

d)

010115107032

8242

e)

103320223011

1201

f)

1003030400211007221000211

11. Calcula los determinantes siguientes

a)

815

274

543

b)

415

252

631

c)

10i1

01i

i1i1

d)

xcxx

xxbx

xxxa

e)

1coscsenc

1cosbsenb

1cosasena

f)

c2

cos1c2

sen

b2

cos1b2

sen

a2

cos1a2

sen

OPERACIONES ELEMENTALES DE FILAS: MATRIZ INVERSA

Para matrices de cualquier orden, existen operaciones simples con las

filas (o columnas) sin que se llegue a cambiar el orden de la matriz. El

objetivo fundamental es aplicar estas operaciones a las matrices para

transformarlas en matrices mas simples y así facilitar algunos cálculos

(rango, determinantes, traza, solución de sistemas de ecuaciones

lineales, etc) sobre matrices. Nuestra atención se limita al estudio de

tres operaciones elementales de filas.

OPERACIONES ELEMENTALES DE FILAS

1. Sea A una matriz cuyas filas son F1,F2,F3, ...,Fm

2. Multiplicación de una fila de A por un escalar c no nulo.

3. Reemplazo de la r-ésima fila de A por la fila r más c veces la fila

s, donde c es cualquier escalar y rs;

4. Intercambio de dos filas de A.

Ejemplos 1. Para la matriz

3152

1403

2011

A se tiene:

1. Intercambio de la primera y segunda filas:

3152

2011

1403

A12F

2. Multiplicación por -2 la segunda fila

3152

2806

2011

3152

12420232

2011

A22F

3. Reemplazo de la primera fila por la primera fila más 2 veces la

segunda fila.

2 3 1 2 0 1 2 4 0 2 1 2

1F 2 3 0 4 -12

2 5 1 3

1 8 0

3 0 4 1

2 5 1 3

7

A

Matrices Inversas

Definición Se llama matriz identidad a una matriz I que cumple con AI= IA= A ,

y es una matriz diagonal con unidad en cada elemento de la diagonal.

La identidad 2x2 es I=

0101

,la identidad 3x3 es I=

100010001

y asi sucesivamente;

existen matrices identidad de 4x4, y en general de orden nxn.

Definición la inversa de una matriz A es otra matriz A-1 que cumple con

AA-1 = A

-1A = I.

Por ejemplo, si A = 3 2

2 1

entonces.

A-1 =

1 2

2 3

porque

AA-1=

3 2

2 1

1 2

2 3

=

1 0

0 1

= I

A-1A =

1 2

2 3

3 2

2 1

= 1 0

0 1

= I

Cuando se conoce la inversa de la matriz de un sistema de ecuaciones se puede

resolver fácilmente mediante el siguiente procedimiento:

Sea el sistema cuadrado AX=b, tal que A-1 existe y se conoce, entonces podemos

premultiplicar por A-1:

A-1AX= A

-1b IX= A

-1b X= A

-1b

Es decir, la solucion del sistema se obtiene rápidamente como el resultado de

multiplicar A-1b

Un método para calcular la inversa es por medio de operaciones elementales,

constituyendo una matriz ampliada con la identidad y usando el siguiente

procedimiento .

Supongamos que queremos encontrar la inversa de la matriz:

A=

nnan2an1a

2na22a21a

1na12a11a

1. Formamos la matriz aumentada con la matriz identidad del mismo orden, como

se indica:

100nna2nan1a

1

0102na22a21a

0011na12a11a

2. Aplicando operaciones elementales de filas transformar la matriz aumentada,

si fuera posible, en una matriz aumentada de la forma:

nnb

n2b

n1b100

1

2nb

22b

21b010

1nb

12b

11b001

1

3. Entonces A-1 =

nnbn2bn1b

2nb22b21b

1nb12b11b

Ejemplo 1. Determine la matriz inversa de la matriz:

A=

214

321

112

Solución

(1) Primero escribimos la matriz aumentada:

100214

010321

001112

(2) Comencemos aplicar operaciones elementales de filas,

Intercambiando la primera fila con la segunda obtenemos:

100214

001112

010321

(3) Obtenemos ceros en el resto de la primera columna. Multiplicamos la

primera fila por –2 y sumamos el resultado a la segunda fila. Acto seguido

multiplicamos la primera fila por –4 y sumamos el resultado a la tercera

fila.

14-010-90

02-15-30

010321

(4) Multiplicamos por 1/3 a la segunda fila, obtenemos:

14-010-90

02/3-1/35/3-10

010321

(5) Obtenemos ceros en el resto de la segunda columna. Multiplicando

la segunda fila por 2 y sumamos el resultado con la primera fila.

Luego multiplicamos por –9 a la segunda fila y sumamos el

resultado con la tercera fila.

123-500

02/3-1/35/3-10

01/3-2/31/3-01

(6) Multiplicamos por 1/5 a la tercera fila, obtenemos:

1/52/53/5-100

02/3-1/35/3-10

01/3-2/31/3-01

Obtenemos ceros en el resto de la tercera columna. Multiplicando la

tercera fila por 5/3 y sumamos el resultado con la segunda fila. Luego

multiplicamos por 1/3 a la tercera fila y sumamos el resultado con la

primera fila.

1/52/53/5-100

1/302/3-010

1/151/5-7/15001

Por tanto A-1=

1/52/53/5

1/302/3

1/151/57/15

.

Ejemplo 2. Determinar si

111

100

111

A es invertible.

Si así lo fuera, calcular su inversa.

Solución. Primero efectuamos las operaciones con filas para reducir A a

una matriz escalonada E. empezaremos formando la matriz A = (A I)

(A I )=

100111

010100

001111

F13(-1)

101220

010100

001111

F23

010100

101220

001111

Como A ha sido reducida a la matriz escalonada

E=

100

220

111

, que no tiene cero en la diagonal principal, la matriz A es

invertible.

Continuando con las operaciones elementales con filas, necesarias para

reducir la matriz A a la identidad, se tiene:

F23

110100

101220

001111

F21(1/2)

010100

101220

1/201/2001

F2(1/2)

010100

1/201/2110

1/201/2001

F32(1)

1 0 1/2 0 1/2

0 1 0 1/2 1 1/2

0 0 1 0 1 0

=( I B)

Por tanto A-1

=

1 102 2-1 1

2 2

0 0

1

1

.

Podemos comprobar que

AA-1

=

100

220

111

1 102 2-1 1

2 2

0 0

1

1

=

100010001

Ejemplo 3. Hallar A-1

para la matriz

412

254

123

A

Solución.

(A I) =

100412

010254

001123

F1(1/3)

100412

010254

001/31/32/31

F12(-4)

102/310/31/30

014/32/37/30

001/31/32/31

F2(3/7)

102/310/31/30

03/74/72/710

001/31/32/31

F21(-2/3)=

11/76/724/700

03/74/72/710

02/75/71/701

F3(7/24)

101/4100

03/74/72/710

02/75/71/701

F31(-1/7)=

7/241/241/4100

1/125/121/2010

1/247/243/4001

= (I B)

Por tanto A-1

=

716

21012

1718

24

1

F13(-2)

F23(1/3)

F32(-2/7)

Ejemplo4 determine la inversa de

A= a b

c d

Solucion

Aunque el procedimiento anterior vale para matrices cuadradas de

cualquier tamaño, en el caso de matrices 2x2 la regla para encontrar es

muy sencilla: los elementos de la diagonal principal se les intercambia y

a los valores de la contradiagonal se les cambia de signo y luego se

multiplica a la matriz por el inverso de su determinante, es decir,

A-1 = 1

det( )

d b

c aA

- Utilizando el procedimiento anterior, calcular A-1 si: A= 4 5

2 3

Solucion

A-1 =

3 53 51 2 22 42 1 2