Facultad de Ingeniería Algebra Lineal (MAT-103) Curso Básico

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MATRICES Y DETERMINANTES

1. Demostrar que el producto de dos matrices diagonales es otra matriz diagonal. ¿Es conmutativo este producto?

2. Hallar todas las matrices cuadradas de orden 2 cuyo cuadrado sea nulo.

3. Hallar las potencias n-´esimas de las matrices

4. Decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuales falsas, dando en

cada caso una demostración o un contraejemplo, según corresponda: a) Si A y B son simétricas, entonces AB es simétrica. b) Si A es simétrica y P es cuadrada, entonces PAPT

es simétrica. c) Si A es una matriz cualquiera, entonces AAT y ATA son simétricas. d) Si AB es simétrica, entonces A y B también lo son.

5. Demostrar que una matriz cuadrada de orden n puede descomponerse de forma única como suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica. Realizar la descomposición de la matriz

6. Sea A una matriz antisimétrica. Demostrar:

a) A2 es simétrica.

b) Si B es simétrica, entonces AB es simétrica si, y solo si AB = −B A.

7. Hallar todas las matrices que conmutan con

8. Calcular los siguientes determinantes:

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9. Calcular los siguientes determinantes por dos procedimientos: desarrollando por los

elementos de la primera fila y mediante triangularización por transformaciones elementales.

10. Demostrar que el determinante del producto de una matriz 2 × 1 por otra 1 × 2 es siempre

cero.

11. ¿Es cierto que el determinante de una matriz antisimétrica es siempre cero? 12. Sabiendo que los números 23715, 23529, 21359, 19437 y 17453 son múltiplos de 31,

probar que el determinante de la matriz

13. Hallar los posibles valores del determinante de una matriz A en cada uno de los casos

siguientes: a) A es idempotente, es decir A2

= A. b) A es ortogonal, es decir AAT

= I. c) A es k-nilpotente, es decir existe k tal que AK = 0.

14. Calcular los siguientes determinantes:

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15. Resolver la siguiente ecuación:

16. Calcular el valor de los determinantes:

17. Calcular los siguientes determinantes:

18. Sean las matrices:

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Calcular los valores de x, y, z para que se verifique la siguiente igualdad:

A+BC=D

19. Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:

20. Demostrar que a) Suponiendo que A y B son matrices cuadradas del mismo orden:

21. Calcular la inversa de la matriz por transformaciones elementales.

22. Sean las matrices

Determinar el conjunto de valores de x∈ R tales que tr(MN) = 0

23. Sean las matrices:

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Determinar la matriz X que satisface la ecuación matricial:

24. Sabiendo que |A|=5, calcula los otros determinantes.

25. Demostrar que los siguientes determinantes son múltiplos de 5 y 4 respectivamente, sin desarrollarlos

26. Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15:

27. Demuéstrese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los determinantes:

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28. Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.

29. Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

30. Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:

31. Calcular los determinantes de Vandermonde:

32. Hallar la matriz inversa de:

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33. Para qué valores de x la matriz no admite matriz inversa?

34. Calcular el determinante de la siguiente matriz por el método de la matriz triangular:

35. Calcular por el método del desarrollo por cofactores el valor del siguiente determinante:

36. Calcular el determinante de la siguiente matriz empleando el método de condensación:

37. Determinar la inversa de la matriz por medio de la adjunta.

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