Problemas de Algebra Lineal. GIIC-GIIS Curso 2012-2013

Tema 1. MATRICES Y DETERMINANTES

Ejercicio 1. Calcular An y S = I + A+ A2 + A3 + ..., siendo A tal que

A =

0 1/2 01/2 0 00 0 1/2

Ejercicio 2. Hallar An en los siguientes casos:

(a) A =

1 0 01 1 01 1 1

; (b) A = ( cos sinsin cos

);

(c) A; tal que A2 = 2A I; (d) A =(

1 01 1

); (e) A =

(0 11 0

);

(f) A =

(2 10 1

);

Indicacion para (b): tener en cuenta las siguientes formulas:

cos(a+ b) = cos a cos b sin a sin bsin(a+ b) = sin a cos b+ cos a sin b

Ejercicio 3. Calcular X2 + Y 2 siendo X, Y las matrices soluciones del sistema:4X + 3Y =

(1 8

3 1)

2X + Y =

(3 41 1

)Ejercicio 4. Calcular todas las matrices que conmutan con A en los siguientes casos:

(a)A =

(1 10 1

); (b) A =

(1 12 3

);

Ejercicio 5. Hallar los posibles valores del determinante de una matriz A en cadauno de los siguientes casos:

1

a) A es idempotente, es decir A2 = A.

b) A es ortogonal, es decir A At = I.c) A es nilpotente, es decir existe k tal que Ak = 0.

Ejercicio 6. Sea A una matriz cuadrada de orden n, demostrad que A + At es unamatriz simetrica y que A At es antisimetrica.

Ejercicio 7. Sea A una matriz antisimetrica. Demostrad que las potencias pares deA son matrices simetricas y las impares antisimetricas.

Ejercicio 8. Demostrad que una matriz cuadrada de orden n puede descomponersede forma unica como suma de una matriz simetrica y otra antisimetrica. Realizar ladescomposicion de la matriz

A =

2 7 05 4 12 5 5

Ejercicio 9. Demostrad la siguiente igualdad

x a b cx x d ex x x fx x x x

= x(x a)(x d)(x f)Ejercicio 10. Sin desarrollarlo, demostrad que el siguiente determinante es igual a 0.

1 a b+ c1 b c+ a1 c a+ b

Ejercicio 11. Demostrad, sin desarrollar ninguno de los determinantes, la siguiente

igualdad 1 6 91 8 20 4 1

+1 1 15 6 84 9 2

=1 6 91 8 21 9 5

Ejercicio 12. Dada la ecuacion

2

1 1 11 x 11 1 x2

= 0Se pide, teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes, hallar dos soluciones

de la ecuacion dada sin desarrollar el determinante del primer miembro.

Ejercicio 13. Calcular los siguientes determinantes

(a)

5 7 6 8 53 5 4 6 42 3 2 4 31 2 0 2 22 4 2 4 4

; (b)

1 2 3 4 51 1 1 1 13 2 1 4 52 3 1 2 48 3 4 5 6

; (c)

1 1 3 2 82 1 2 3 33 1 1 1 44 1 4 2 55 1 5 4 6

3