MATRICES Y DETERMINANTES

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO”

SEDE BARCELONA.

José Márquez CI: 24.830.449Ingeniería Industrial.Asignatura:ALGEBRA LINEAL Ev 2016-1

MATRICES: SE DENOMINA MATRIZ A TODO CONJUNTO DE NÚMEROS O EXPRESIONES DISPUESTOS EN FORMA RECTANGULAR, FORMANDO FILAS Y COLUMNAS.

Elemento de una matriz

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento.

Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece.

Dimensión de una matrizEl número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz de dimensión mxn es una matriz que tiene m filas y n columnas.

De este modo, una matriz puede ser de dimensión: 2x4 (2 filas y 4 columnas), 3x2 (3 filas y 2 columnas), 2x5 (2 filas y 5 columnas),...

Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2, 3, 4, ...

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (a i j).

Un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, se denota por a ij.

TIPOS DE MATRICES

Matriz Fila: Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz Columna: La matriz columna tiene una sola columna.

Matriz Rectangular: La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.

Matriz Traspuesta: Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

Matriz Nula: En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz Cuadrada: La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.

Matriz triangular superior: En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferior: En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal: En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.

Matriz Escalar: Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad: Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Ejemplos: Dada las Matrices

Calcular: A + B; A − B; A x B; B x A; At.

Calcular la Matriz Inversa de:

.  Construir una matriz del tipo M = (A | I)

Utilizar el método Gauss para transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A−1.

Determinantes: El determinante es una herramienta matemática, se puede encontrar o extraer un determinante únicamente de las matrices que son cuadradas (tienen igual número de filas y columnas), y es un numero real (en caso de que la matriz sea real) consistente en la suma de los productos elementales de la matriz.El orden de un determinante viene dado por el número de filas y columnas que tenga. Existen diferentes métodos para resolverlos, que veremos a continuación.

Determinante de Orden uno |a11| = a11

Determinante de orden dos:

=a 11 a 22 − a 12 a 21

Determinante de orden tres: Consideremos una matriz 3x3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue.

= a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a12 a21 a 33 − a11 a23 a32.

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su signo).

Ejemplo:

3 · 2 · 4 + 2 · (−5) · (−2) + 1 · 0 · 1 −

− 1 · 2 · (−2) − 2 · 0 · 4 − 3 · (−5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 − (−4) − 0 − (−15) =

= 44 + 4 + 15 = 63

Pierre Sarrus (1798, 1861) fue un matemático francés que estableció una regla para calcular determinantes de orden 3.Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo − están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Ejemplo:

Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:

Tiene dos líneas proporcionales.

La tercera columna es igual a la suma de las otras dos.

Sabiendo que |A|=5, calcula los otros determinantes.

Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular: