Matriz

Concepto de matrizSe denominamatriza todo conjunto de nmeros o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.Cada uno de los nmeros de que consta la matriz se denominaelemento. Un elemento se distingue de otro por la posicin que ocupa, es decir, lafilay lacolumnaa la que pertenece.El nmero de filas y columnas de una matriz se denominadimensinde una matriz.El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxno (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.Dosmatricessonigualescuando tienen la misma dimensin y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.Tipos de matricesMatriz fila:Es una matriz constituida por una sola fila.Matriz columna:Es una matriz con una sola columna.Matriz rectangular:Aquella matriz que tiene distinto nmero de filas que de columnas, siendo su dimensin mxn.Matriz cuadrada:La que tiene el mismo nmero de filas que de columnas.Los elementos de la forma aiiconstituyen ladiagonal principal.Ladiagonal secundariala forman los elementos con i+j=n+1.Matriz nula:Todos los elementos son nulos.Matriz triangular superior:Los elementos situados por debajo de la diagonal principal son 0.Matriz triangular inferior:Los elementos situados por encima de la diagonal principal son 0.Matriz diagonal:Todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.Matriz escalar:Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.Matriz identidad o unidad:Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.Matriz traspuesta:Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.(At)t= A(A + B)t= At+ Bt( A)t= At(A B)t=Bt AtMatriz regular:Es aquella matriz cuadrada que tiene inversa.Matriz singular:Es aquella que no tiene matriz inversa.Matriz idempotente:SiA2= A.Matriz involutiva:SiA2= I.Matriz simtrica:Es aquella matriz cuadrada que verifica:A = At.Matriz antisimtrica o hemisimtrica:Es aquella matriz cuadrada que verifica:A = At.Matriz ortogonal:Si verifica:A At= ISuma de matricesDadas dos matrices de la misma dimensin, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posicin.Propiedades Interna: Asociativa:A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro:A + 0 = A Elemento opuesto:A + (A) = O Conmutativa:A + B = B + AProducto de un nmero real por una matrizDada una matriz A=(aij) y un nmero real kR, se define el producto de un nmero real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento est multiplicado por k.kA=(k aij)Propiedades a (bA) = (ab)AAMmxn, a, b a (A+B) = aA + aBA,BMmxn, a (a+b)A = aA+bAAMmxn, a, b 1A = AAMmxnProducto de matricesDosmatricesA y B se dicenmultiplicablessi el nmero de columnas de A coincide con el nmero de filas de B.Mm x nx Mn x p= Mm x pEl elemento cijde la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumndolos.Propiedades Asociativa:A(BC) = (AB)C Elemento neutro:AI = A No es Conmutativa:AB BA Distributiva del producto respecto de la suma:A(B + C) = AB + ACMatriz inversaA A1 = A1 A = IPropiedades(A B)1 = B1 A1(A1)1 = A(k A)1 = k1 A1(At)1 = (A1)tClculo por el mtodo de GaussSea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A1, seguiremos los siguientes pasos:1Construir una matriz del tipo M = (A | I) esto es, A est en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.2Utilizando el mtodo Gauss se transforma la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora est a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho ser la matriz inversa: A1Rango de una matrizRango de una matriz: es el nmero de lneas de esa matriz (filas o columnas) que son linealmente independientes.Una lnea eslinealmente dependientede otra u otras cuando se puede establecer una combinacin lineal entre ellas.Una lnea eslinealmente independientede otra u otras cuando no se puede establecer una combinacin lineal entre ellas.El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).Clculo por el mtodo de GaussPodemos descartar una lnea si: Todos los coeficientes son ceros. Hay dos lneas iguales. Una lnea es proporcional a otra. Una lnea es combinacin lineal de otras.

MatrizSe denominamatriza todo conjunto de nmeros o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los nmeros de que consta lamatrizse denominaelemento. Un elemento se distingue de otro por la posicin que ocupa, es decir, lafilay lacolumnaa la que pertenece.Dimensin de una matrizEl nmero de filas y columnas de una matriz se denominadimensinde una matriz. As, una matriz ser de dimensin: 2x4, 3x2, 2x5,... Si la matriz tiene el mismo nmero de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ...El conjunto dematricesdem filasyn columnasse denota porAmxno(aij), y unelementocualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, poraij.Matrices igualesDosmatricessonigualescuando tienen la misma dimensin y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Clases de matricesMatriz filaUnamatriz filaest constituida por una sola fila.

Matriz columnaLamatriz columnatiene una sola columna

Matriz rectangularLamatriz rectangulartiene distinto nmero de filas que de columnas, siendo sudimensin mxn.

Matriz cuadradaLamatriz cuadradatiene el mismo nmero de filas que de columnas.Los elementos de la formaaiiconstituyen ladiagonal principal.Ladiagonal secundariala forman los elementos coni+j = n+1.

Matriz nulaEn unamatriz nulatodos los elementos son ceros.

Matriz triangular superiorEn unamatriz triangular superiorlos elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz triangular inferiorEn unamatriz triangular inferiorlos elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonalEn unamatriz diagonaltodos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalarUnamatriz escalares una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidadUnamatriz identidades una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuestaDada una matriz A, se llamamatriz traspuestade A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t= A(A + B)t= At+ Bt(A)t= At(A B)t= Bt AtMatriz regularUnamatriz regulares una matriz cuadrada que tiene inversa.Matriz singularUnamatriz singularno tiene matriz inversa.Matriz idempotenteUna matriz, A, es idempotente si:A2= A.Matriz involutivaUna matriz, A, es involutiva si:A2= I.Matriz simtricaUnamatriz simtricaes una matriz cuadrada que verifica:A = At.Matriz antisimtrica o hemisimtricaUnamatriz antisimtrica o hemisimtricaes una matriz cuadrada que verifica:A = -At.Matriz ortogonalUna matriz es ortogonal si verifica que:AAt= I.

Operaciones con matricesSuma de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensin,A=(aij)yB=(bij), se define la matriz suma como:A+B=(aij+bij).La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posicin.

Propiedades de la suma de matricesInterna:La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensin m x n.Asociativa:A + (B + C) = (A + B) + CElemento neutro:A + 0 = ADondeOes la matriz nula de la misma dimensin que la matriz A.Elemento opuesto:A+ (A) = OLa matriz opuesta es aquella en que todos los elementos estn cambiados de signo.Conmutativa:A + B = B + A

Producto de un escalar por una matrizDada una matrizA=(aij)y un nmero realkR, se define el producto de un nmero real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento est multiplicado por k.kA=(k aij)

Propiedadesa (bA) = (ab)AAMmxn, a, ba (A + B) = aA + aBA,BMmxn, a(a + b)A = aA + bAAMmxn, a, b1A = AAMmxn

Producto de matricesDos matrices A y B son multiplicables si elnmero de columnas de Acoincide con elnmero de filas de B.Mm x nx Mn x p= Mm x pEl elementocijde la matriz producto se obtienemultiplicandocada elemento de lafila ide la matriz A por cada elemento de lacolumna jde la matriz B ysumndolos.

Propiedades del producto de matricesAsociativa:A(BC) = (AB)CElemento neutro:AI = ADondeI es la matriz identidaddel mismo orden que la matriz A.No es Conmutativa:AB BADistributiva del producto respecto de la suma:A(B + C) = AB + AC

Matriz (matemticas)Para otros usos de este trmino, vaseMatriz.Enmatemtica, unamatrizes un arreglobidimensionaldenmeros, y en su mayor generalidad de elementos de unanillo.Las matrices se utilizan para mltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de lossistemas de ecuaciones linealeso para representaraplicaciones lineales(dada unabase); en este ltimo caso las matrices desempean el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que tambin las hace un concepto clave en el campo dellgebra lineal.ndice[ocultar] 1Historia 2Definicin 3Ejemplo 4Operaciones bsicas 4.1Suma o adicin 4.1.1Propiedades 4.2Producto por un escalar 4.2.1Propiedades 4.3Producto 4.3.1Propiedades 5Rango 6Traspuesta 7Matrices cuadradas y definiciones relacionadas 8Las matrices en la Computacin 9Teora de matrices 10Matrices relacionadas con otros temas 11Algunos teoremas 12Matriz y grafos 13Vase tambin 14Referencias 15Enlaces externos 16NotasHistoria[editar]Cronologa1

AoAcontecimiento

200a.C.EnChinalos matemticos usan series de nmeros.

1848d.C.J. J. Sylvesterintroduce el trmino "matriz".

1858CayleypublicaMemorias sobre la teora de matrices.

1878Frobeniusdemuestra resultados fundamentales en lgebra matricial.

1925Werner Heisenbergutiliza la teora matricial en lamecnica cuntica

El origen de las matrices es muy antiguo. Loscuadrados latinosy loscuadrados mgicosse estudiaron desde hace mucho tiempo. Un cuadrado mgico, 3 por 3, se registra en laliteratura chinahacia el650a.C.2Es larga la historia del uso de las matrices para resolverecuaciones lineales. Un importante texto matemticochinoque proviene del ao300a.C.a200a.C.,Nueve captulos sobre el Arte de las matemticas(Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del mtodo de matrices para resolver unsistema de ecuaciones simultneas.3En el captulo sptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto dedeterminanteapareci por primera vez, dos mil aos antes de su publicacin por el matemticojaponsSeki Kwaen1683y el matemticoalemnGottfried Leibnizen1693.Los "cuadrados mgicos" eran conocidos por los matemticosrabes, posiblemente desde comienzos delsiglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemticos y astrnomos de laIndia, junto con otros aspectos de las matemticascombinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino deChina. Los primeros "cuadrados mgicos" de orden 5 y 6 aparecieron enBagdaden el983, en laEnciclopedia de la Hermandad de Pureza(Rasa'il Ihkwan al-Safa).2Despus del desarrollo de la teora dedeterminantesporSeki Koway Leibniz para facilitar la resolucin de ecuaciones lineales, a finales delsiglo XVII,Cramerpresent en1750la ahora denominadaregla de Cramer.Carl Friedrich GaussyWilhelm Jordandesarrollaron laeliminacin de Gauss-Jordanen elsiglo XIX.FueJames Joseph Sylvesterquien utiliz por primera vez el trmino matriz en1848/1850.En1853,Hamiltonhizo algunos aportes a la teora de matrices.Cayleyintrodujo en1858lanotacin matricial, como forma abreviada de escribir un sistema demecuaciones lineales connincgnitas.Cayley, Hamilton,Hermann Grassmann,Frobenius,Olga Taussky-ToddyJohn von Neumanncuentan entre los matemticos famosos que trabajaron sobre la teora de las matrices. En1925,Werner Heisenbergredescubre el clculo matricial fundando una primera formulacin de lo que iba a pasar a ser lamecnica cuntica. Se le considera a este respecto como uno de los padres de la mecnica cuntica.Olga Taussky-Todd(1906-1995), durante laII Guerra Mundial, us la teora de matrices para investigar el fenmeno deaeroelasticidadllamadofluttering.Definicin[editar]Unamatrizes un arreglo bidimensional de nmeros (llamadosentradasde la matriz) ordenados enfilas(orenglones) ycolumnas, donde una fila es cada una de las lneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las lneas verticales. A una matriz connfilas ymcolumnas se le denomina matrizn-por-m(escrito) donde. El conjunto de las matrices de tamaose representa como, dondees elcampoal cual pertenecen las entradas. El tamao de una matriz siempre se da con el nmero de filas primero y el nmero de columnas despus.Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamao y los mismos elementos en las mismas posiciones.A la entrada de una matriz que se encuentra en la filasima y la columnasima se le llama entradao entrada-simo de la matriz. En estas expresiones tambin se consideran primero las filas y despus las columnas.Se denota a las matrices con letra mayscula, mientras que se utiliza la correspondiente letra en minsculas para denotar a las entradas de las mismas, con subndices que refieren al nmero de fila y columna del elemento.4Por ejemplo, al elemento de una matrizde tamaoque se encuentra en la filasima y la columnasima se le denota como, dondey.Cuando se va a representar explcitamente una entrada la cul est indexada con uno uncon dos cifras se introduce una coma entre el ndice de filas y de columnas. As por ejemplo, la entrada que est en la primera fila y la segunda columna de la matrizde tamaose representa comomientras que la entrada que est en la fila nmero 23 y la columna 100 se representa como.Adems de utilizar letras maysculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negrita para distinguirlas de otros objetos matemticos.[citarequerida]Ases una matriz, mientras quees unescalaren esa notacin. Sin embargo sta notacin generalmente se deja para libros y publicaciones, donde es posible hacer sta distincin tipogrfica con facilidad. En otras notaciones se considera que el contexto es lo suficientemente claro como para no usar negritas.Otra notacin, en s un abuso de notacin, representa a la matriz por sus entradas, i.e.o incluso.Como caso particular de matriz, se definen los vectores fila y los vectores columna. Unvector filaovector renglnes cualquier matriz de tamaomientras que unvector columnaes cualquier matriz de tamao.A las matrices que tienen el mismo nmero de filas que de columnas,, se les llamamatrices cuadradasy el conjunto se denota, alternativamente a la notacin usual.Ejemplo[editar]Dada la matriz

es una matriz de tamao. La entradaes 7.La matriz

es una matriz de tamao: un vector fila con 9 entradas.Operaciones bsicas[editar]Las operaciones que se pueden hacer con matrices provienen de sus aplicaciones, sobre todo de las aplicaciones enlgebra lineal. De ese modo las operaciones, o su forma muy particular de ser implementadas, no son nicas.Suma o adicin[editar]Sean. Se define la operacin desuma o adicin de matricescomo unaoperacin binariatal quey dondeen el que la operacin de suma en la ltima expresin es la operacin binaria correspondiente pero en elcampo. Por ejemplo, la entradaes igual a la suma de los elementosylo cual es.Veamos un ejemplo ms explcito. Sea

No es necesario que las matrices sean cuadradas:

A la luz de stos ejemplos es inmediato ver que dos matrices se pueden sumar solamente si ambas tienen el mismo tamao. La suma de matrices, en el caso de que las entradas estn en uncampo, poseen las propiedades de asociatividad, conmutatividad, existencia de elemento neutro aditivo y existencia de inverso aditivo. sto es as ya que stas son propiedades de loscamposen los que estn las entradas de la matriz.Propiedades[editar]Sean, dondees uncampoentonces se cumplen las siguientes propiedades para la operacin binaria Asociatividad

[Expandir]Demostracin

Conmutatividad


Existencia del elemento neutro aditivoExistetal que


Existencia del inverso aditivoExistetal que

a esta matrizse le denota por.[Expandir]Demostracin

En efecto, stas propiedades dependen el conjunto en el que estn las entradas, como se ha dicho antes, aunque en las aplicaciones generalmente los campos usados son(losnmeros reales) y(losnmeros complejos).Por como se defini la operacin binaria adicin se dice que sta operacin es unaoperacin internapor lo que se cumple intrnsecamente la propiedad de quees cerrado bajo adicin. Con stas propiedades se tiene quees ungrupo abeliano.En el caso en que el conjunto al que pertenecen las entradas de la matriz sea unanillo, la operacin de adicin de matrices contina dotando de estructura degrupo abelianoa, ya que bajo unanillose tiene quees ungrupo abeliano. En el caso de que las entradas estn en ungrupo, ste necesita ser ungrupo abelianopara que la adicin de matrices siga dotando de estructura degrupo abelianoa.Producto por un escalar[editar]Seany. Se define la operacin deproducto por un escalarcomo unafuncintal quey dondeen donde el producto es la operacin binaria correspondiente pero en elcampo. Por ejemplo, la entradaes igual al producto.Veamos un ejemplo ms explcito. Seay

Tambin es inmediato observar que el producto por un escalar da como resultado una matriz del mismo tamao que la original. Tambin el producto por un escalar depender de laestructura algebraicaen la que las entradas estn. En el caso de que estn en uncamposern dos distributividades (una respecto de suma de matrices y otra respecto de suma en el campo), asociatividad y una propiedad concerniente al producto por el elemento neutro multiplicativo del campo. A continuacin se presentan las propiedades.Propiedades[editar]Seany, dondees uncampo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para la operacin producto por un escalar Asociatividad


Distributividad respecto de la suma de matrices


Distributividad respecto de la suma en el campo


Producto por el neutro multiplicativo del campo


Por como se defini la operacin de producto por escalares se dice quees cerrado bajo producto por escalares. Con stas propiedades y las de la adicin se tiene quees unespacio vectorialcon las operaciones de suma y producto por escalares definidas antes.En el caso de que las entradas y los escalares no estn en uncamposino en unanilloentonces no necesariamente existe el neutro multiplicativo. En caso de que exista, con lo cual el anillo es unanillo con uno, se dice quees un mdulo sobre.

Ahora, a partir de las propiedades bsicas se puede demostrar inmediatamente que





Este ltimo resultado permite usar la notacinsin riesgo de ambigedad.Producto[editar]

Diagrama esquemtico que ilustra el producto de dos matricesydando como resultado la matriz.Artculo principal:Multiplicacin de matricesArtculo principal:Aplicacin linealEl producto de matrices se define de una manera muy peculiar y hasta caprichosa cuando no se conoce su origen. El origen proviene del papel de las matrices como representaciones deaplicaciones lineales. As el producto de matrices, como se define, proviene de la composicin de aplicaciones lineales. En este contexto, el tamao de la matriz corresponde con las dimensiones de losespacios vectorialesentre los cuales se establece la aplicacin lineal. De ese modo el producto de matrices, representa la composicin de aplicaciones lineales.En efecto, en ciertasbasestenemos quese puede representar comodondees la representacin de un vector deen la base que se ha elegido paraen forma de vector columna. Si tenemos dos aplicaciones linealesyentoncesy, luego la aplicacinse representar comodondees el producto de las representaciones matriciales de. Ntese que la composicin no se puede dar entre cualquier aplicacin sino entre aplicaciones que vayan de, en particular debe de haber una relacin entre las dimensiones de los espacios vectoriales. Una vez dicho sto podemos definir el producto de la siguiente manera.Seany. Se define elproducto de matricescomo una funcintal quey dondepara toda, es decir. Por ejemplo, la entrada.Veamos un ejemplo ms explcito. Seany

dnde la matriz producto es como habamos establecido en la definicin: una matriz.Sin tomar en cuenta la motivacin que viene desde las aplicaciones lineales, es evidente ver que si ignoramos la definicin de la funcin de producto de matrices y slo se toma en cuenta la definicin de las entradas, el producto no estar bien definido, ya que sino tiene el mismo nmero de columnas quede filas entonces no podremos establecer en donde acaba la suma: si la acabamos en el mayor de stos nmeros habr sumandos que no estn definidos ya que una de las matrices no tendr mas entradas, mientras que si tomamos el menor habr entradas de alguna de las matrices que no se tomen en cuenta. As es necesario quetenga el mismo nmero de columnas quede filas para queexista.Como se puede suponer tambin, las propiedades de sta operacin sern ms limitadas en la generalidad ya que adems de las limitaciones impuestas por la naturaleza de las entradas est esta limitacin respecto a tamao. Es claro, adems, que el producto de matrices no siempre es unaoperacin interna.Propiedades[editar]Seanmatrices con entradas en, dondees un campo, entonces se cumplen las siguientes propiedades para el producto de matrices (considerando que los productos existan) Asociatividad


Distributividad respecto de la suma de matrices por la derecha


Distributividad respecto de la suma de matrices por la izquierda


El producto de matrices no es conmutativo, si lo fuera la composicin de funciones lineales sera conmutativa y eso en general no sucede. Obviamente existen casos particulares de algunos tipos de matrices en los que si hay conmutatividad. En el caso en que tengamostendremos que el producto entre matrices entambin est en. En ese casoadems de espacio vectorial es unlgebra sobre un campo. En el caso de que el conjunto al que pertenecen las entradas sea un anillo conmutativo con uno entoncesadems de mdulo es un lgebra sobre un anillo. Mas anconel producto de matrices es un anillo.Rango[editar]Artculo principal:Rango de una matrizElrango de una matrizes ladimensinde laimagende la aplicacin lineal representada por, que coincide con la dimensin de los espacios vectoriales generados por las filas o columnas de.Traspuesta[editar]Artculo principal:Matriz traspuestaLatraspuestade una matriz, dondeno es necesariamente un campo, es una matriztal que. Por ejemplo la entrada.Veamos un ejemplo ms explcito. Sea

entonces su traspuesta es

As, informalmente podramos decir que la traspuesta es aquella matriz que se obtiene de la original cambiando filas por columnas. Las notaciones usuales para denotar la traspuesta de una matriz son.La trasposicin de matrices tiene las siguientes propiedades (donde ahora s el conjunto de entradas debe ser al menos un anillo conmutativo):

Sirepresenta una aplicacin lineal, entonces la matrizdescribe latraspuesta de la aplicacin lineal.Matrices cuadradas y definiciones relacionadas[editar]Unamatriz cuadradaes una matriz que tiene el mismo nmero de filas que de columnas. El conjunto de todas las matrices cuadradasn-por-njunto a la suma y la multiplicacin de matrices, es unanilloque generalmente no esconmutativo.M(n,R), el anillo de las matrices cuadradas reales, es unlgebra asociativareal unitaria. M(n,C), el anillo de las matrices cuadradas complejas, es un lgebra asociativa compleja.Lamatriz identidadInde ordennes la matriznpornen la cual todos los elementos de ladiagonal principalson iguales a 1 y todos los dems elementos son iguales a 0. La matriz identidad se denomina as porque satisface las ecuacionesMIn=MyInN=Npara cualquier matrizMmpornyNnpork. Por ejemplo, sin= 3:

La matriz identidad es el elemento unitario en el anillo de matrices cuadradas.Los elementos invertibles de este anillo se llamanmatrices invertibles,regularesono singulares. Una matrizAnpornes invertible si y slo si existe una matrizBtal queAB=In=BA.En este caso,Bes lamatriz inversadeA, identificada porA-1. El conjunto de todas las matrices invertiblesnpornforma ungrupo(concretamente ungrupo de Lie) bajo la multiplicacin de matrices, elgrupo lineal general.Si es un nmero yves un vector no nulo tal queAv= v, entonces se dice queves unvector propiodeAy que es suvalor propioasociado. El nmero es un valor propio deAsi y slo siAInno es invertible, lo que sucede si y slo sipA() = 0, dondepA(x) es elpolinomio caractersticodeA.pA(x) es unpolinomiode gradony por lo tanto, tienenraces complejas mltiples races si se cuentan de acuerdo a su multiplicidad. Cada matriz cuadrada tiene como muchonvalores propios complejos.Eldeterminantede una matriz cuadradaAes el producto de susnvalores propios, pero tambin puede ser definida por lafrmula de Leibniz. Las matrices invertibles son precisamente las matrices cuyo determinante es distinto de cero.El algoritmo deeliminacin gaussianapuede ser usado para calcular el determinante, el rango y la inversa de una matriz y para resolversistemas de ecuaciones lineales.Latrazade unamatriz cuadradaes la suma de los elementos de la diagonal, lo que equivale a la suma de susnvalores propios.Unamatriz de Vandermondees una matriz cuadrada cuyas filas son las potencias de un nmero. Su determinante es fcil de calcular.Las matrices en la Computacin[editar]Las matrices son utilizadas ampliamente en la computacin, por su facilidad y liviandad para manipular informacin. En este contexto, son una buena forma para representargrafos, y son muy utilizadas en elclculo numrico. En la computacin grfica, las matrices son ampliamente usadas para lograr animaciones de objetos y formas.Teora de matrices[editar]Lateora de matriceses un rama de lasmatemticasque se centra en el estudio dematrices. Inicialmente una rama secundaria dellgebra lineal, ha venido cubriendo tambin los temas relacionados con lateora de grafos, ellgebra, lacombinatoriay laestadstica.Matrices relacionadas con otros temas[editar]Una matriz puede identificarse a unaaplicacin linealentre dosespacios vectorialesde dimensin finita. As la teora de las matrices habitualmente se considera como una rama dellgebra lineal. Lasmatrices cuadradasdesempean un papel particular, porque el conjunto de matrices de orden n (n entero natural no nulo dado) posee propiedades de estabilidad de operaciones.Los conceptos dematriz estocsticay matriz doblemente estocstica son herramientas importantes para estudiar losprocesos estocsticos, enprobabilidady enestadstica.Lasmatrices definidas positivasaparecen en la bsqueda de mximos y mnimos de funciones a valores reales, y a varias variables.Es tambin importante disponer de una teora de matrices a coeficientes en unanillo. En particular, las matrices a coeficientes en elanillo de polinomiosse utilizan enteora de mandos.En matemticas puras, los anillos de matrices pueden proporcionar un rico campo de contraejemplos para conjeturas matemticas.Algunos teoremas[editar] Teorema de Cayley-HamiltonMatriz y grafos[editar]Enteora de los grafos, a todo grafo etiquetado corresponde lamatriz de adyacencia. Unamatriz de permutacines una matriz que representa unapermutacin; matriz cuadrada cuyos coeficientes son 0 o 1, con un solo 1 en cada lnea y cada columna. Estas matrices se utilizan en combinatorio.En lateora de grafos, se llama matriz de un grafo a la matriz que indica en la lnea i y la columna j el nmero de aristas que enlazan el vrtice i al vrtice j. En un grafo no orientado, la matriz es simtrica. La suma de los elementos de una columna permite determinar el grado de un vrtice. La matrizindica en la lnea i y la columna j el nmero de caminos a n aristas que adjuntan el vrtice i al vrtice j.

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