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Matriz de pagos

En teora de juegos, la matriz de pagos (a veces tambin llamada matriz de recompensas) es una matriz que

resume la informacin dada por las funciones de pago en un juego rectangular o en un juego extensivo en su forma

normal.

Matriz de pagos para juegos bipersonales de suma cero.

Sea (N,Dj,j) un juego rectangular, bipersonal y de suma cero (es decir, aquel en que la ganancia de un jugador es

igual la perdida del otro). Si n y m denotan la cantidad de estrategias del jugador 1 y 2 respectivamente, entonces la

matriz de pagos del juego, de tamao nxm se define entrada a entrada como:

Esto es, la entrada i,j representar el pago que resulta para el jugador 1 cuando ste sigui su estrategia i y el jugador

2 por su parte us la estrategia j. Para ste tipo de juegos conocer los pagos del jugador 1 es suficiente para conocer

los pagos del jugador 2, de modo que la matriz resume toda la informacin necesaria para calcular dichos pagos.

Ejemplo.

Consideremos el juego piedra, papel o tijera, donde el perdedor debe pagar una unidad monetaria al ganador y en

caso de empate no hay pago para ninguno. La siguiente tabla puede considerarse una matriz de pagos para el juego:

Piedra Papel Tijera

Piedra 0 -1 +1

Papel +1 0 -1

Tijera -1 +1 0

Si numeramos las estrategias piedra, papel y tijera como 1, 2 y 3 respectivamente, la matriz de pagos ser por

definicin:

Matriz de pagos para juegos bipersonales.

En general no es posible saber cual es el pago para el jugador 2 conociendo solamente los pagos del jugador 1.

Cuando el juego no es de suma cero una matriz con entradas unidimensionales no puede mostrar toda la informacin

sobre los pagos; para lograrlo es necesario introducir un vector bidimensional (que representar el pago para el

jugador 1 y 2 respectivamente) en cada entrada de la matriz. En frmulas, esto quiere decir que la matriz de pagos

para un juego bipersonal en general est dada por:

Esto es, la entrada i,j ser el vector (a,b), donde a es el pago para el jugador 1 y b es el pago para el jugador 2 cuando

el jugador 1 elige la estrategia i y el jugador 2 por su parte elige la estrategiaj.

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Ejemplo.

En el juego de piedra papel o tijera se pueden cambiar los pagos para hacerlo un juego de suma distinta de cero.

Supongamos que una persona externa al juego paga una unidad monetaria al ganador, mientras que el perdedor no

paga nada. En caso de empate, ninguno de los dos gana nada. Si volvemos a numerar las estrategias piedra, papel y

tijera con 1, 2 y 3 respectivamente entonces la matriz de pagos del juego est dada por:

Desde luego, la matriz de pagos de cualquier juego de suma cero puede expresarse del mismo modo, pero en esos

casos habr informacin duplicada. En el primer ejemplo la matriz de pago general para juegos bipersonales

resultara:

Notese que al ser de suma cero la segunda entrada de cada vector es justamente el inverso aditivo de la primeraentrada. De ah que para juegos de suma cero sea suficiente conocer una sola de las componentes y que se elimine la

otra.

Matriz de pagos para juegos n-personales.

Es posible generalizar el concepto de matriz de pagos a varios jugadores. Sea un juego rectangular,

donde N es el nmero de jugadores. Sea el nmero de estrategias del jugador k. Entonces la matriz de pagos del

juego ser una matriz N-dimensional de tamao y con entradas en dadas por:

En este caso el significado intuitivo de la frmula es el mismo que en el caso bidimensional. Al ser la matriz demultiples dimensiones, es imposible ejemplificarlo grficamente.

Matriz de pagos para juegos en forma extensiva.

Muchos de los modelos de la teora de juegos no se pueden expresar como un juego rectangular y es necesario

plantearlos como juegos extensivos. En estos casos tambin existe una matriz de pagos asociada al juego y resulta

ser la matriz de pagos del juego en su forma normal.

Matrices de pagos y equilibrios de Nash.

En muchas ocasiones la matriz de pagos de un juego es muy til para calcular sus equilibrios de Nash en estrategias

puras. En los juegos bipersonales de suma cero los equilibrios de Nash (si existen) se encuentran buscando entradas

que sean puntos silla de la matriz de pagos. Intuitivamente, un punto silla de una matriz es aquella entrada que sea al

mismo tiempo la menor de su rengln y la mayor de su columna.

Para el caso de juegos rectangulares bipersonales de suma ditinta de cero, los equilibrios de Nash se suelen encontrar

por simple inspeccin de la matriz recordando la definicin de equilibrio de Nash.

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Ejemplos.

Piedra, papel o tijera.

Consideremos nuevamente el juego de piedra, papel o tijera en su forma de suma cero. En este caso el juego no tiene

equilibrios de Nash en estrategias puras, pues su matriz de pagos no tiene una entrada que sea simultneamente la

menor de su rengln y la mayor de su columna.

Dilema del prisionero.

Consideremos el dilema del prisionero, con dos estrategias cada uno (confesar (1) y no confesar (2) en ambos casos)

y pagos dados por la matriz de pagos:

Las entradas representan el nmero de aos de carcel que recibir cada preso de acuerdo a la estrategia que hayan

elegido por separado. Es claro que cada preso busca quedarse el menor tiempo en la crcel y por lo tanto su objetivo

es minimizar los pagos dados por la matriz. Notemos que el pago por la estrategia (confesar, confesar) (representado

por la entrada 2,2 en la matriz) es un equilibrio de Nash, pues ningn jugador puede mejorar su pago cambiando su

estrategia mientras el otro mantenga la suya.

Referencias

1.1. H.S. Bierman, L. Fernndez, "Game Theory with Economic Applications", Addison-Wesley, 1993.

2.2. K. Binmore, "Teora de Juegos", McGraw-Hill, 1994.

3.3. R. Gibbons, "Un Primer Curso de Teora de Juegos", Antoni Bosh, 1996.

4.4. Zapata L. Paloma, "Economa, Poltica y Otros Juegos: Una Introduccin a los Juegos No Cooperativos", las

prensas de ciencias, 2007.

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Fuentes y contribuyentes del artculo 4

Fuentes y contribuyentes del artculoMatriz de pagosFuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=68008621 Contribuyentes: Farisori, Leonpolanco, Manuel Valadez Snchez, 1 ediciones annimas

LicenciaCreative Commons Attribution-Share Alike 3.0

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