Calculo Diferencial

Máximos y Mínimos

Ciclo escolar 2013-2014

Funciones Crecientes y Decrecientes

• Una función 𝑓 𝑥 es creciente (estrictamente creciente) en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, si dados 𝑚 y 𝑛 tales que 𝑎 ≤ 𝑚 < 𝑛 ≤ 𝑏 se tiene que 𝑓 𝑚 ≤ 𝑓 𝑛 (𝑓 𝑚 < 𝑓 𝑛 ).

• Una función 𝑓 𝑥 es decreciente (estrictamente decreciente) en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, si dados 𝑚 y 𝑛 tales que 𝑎 ≤ 𝑚 < 𝑛 ≤ 𝑏 se tiene que 𝑓 𝑚 ≥ 𝑓 𝑛 (𝑓 𝑚 > 𝑓 𝑛 ).

Funciones Crecientes y Decrecientes

Teorema

• Si 𝑓′ 𝑥 ≥ 0 (𝑓′ 𝑥 > 0) para todos los valores de 𝑥 en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, entonces 𝑓 𝑥 es creciente (estrictamente creciente) en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

• Si 𝑓′ 𝑥 ≤ 0 (𝑓′ 𝑥 < 0) para todos los valores de 𝑥 en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, entonces 𝑓 𝑥 es decreciente (estrictamente decreciente) en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

Máximos y Mínimos locales • Un valor de un función es un Máximo Local, si

es mayor que cualquiera de los valores que lo anteceden o le siguen inmediatamente.

• Un valor de un función es un Mínimo Local, si es menor que cualquiera de los valores que lo anteceden o le siguen inmediatamente.

1er Criterio para encontrar Máximos y Mínimos Locales

Tenemos un Máximo Local en 𝒙𝟎 cuando

• 𝑓′ 𝑥0 = 0

• 𝑓′ 𝑥 cambia de signo pasando de ser Positivo a Negativo cerca de 𝑥0.

Tenemos un Mínimo Local en 𝒙𝟎 cuando

• 𝑓′ 𝑥0 = 0

• 𝑓′ 𝑥 cambia de signo pasando de ser Negativo a Positivo cerca de 𝑥0.

Concavidad

• Una función 𝑓 𝑥 es cóncava hacia arriba en 𝑥0 cuando la recta tangente a 𝑓 𝑥 en 𝑥0 queda debajo de 𝑓 𝑥 .

• Una función 𝑓 𝑥 es cóncava hacia abajo en 𝑥0 cuando la recta tangente a 𝑓 𝑥 en 𝑥0 queda arriba de 𝑓 𝑥 .

• Una función 𝑓 𝑥 tiene un punto de inflexión en 𝑥0 si separa arcos que tienen su concavidad en sentidos opuestos.

Concavidad Teorema

• Si 𝑓 𝑥0′′ > 0, la grafica 𝑓 𝑥 es cóncava

hacia arriba en 𝑥0.

• Si 𝑓 𝑥0′′ < 0, la grafica 𝑓 𝑥 es cóncava

hacia abajo en 𝑥0.

• Si tenemos un punto de inflexión en 𝑥0, entonces 𝑓 𝑥0

′′ = 0.

2o Criterio para encontrar Máximos y Mínimos Locales

Tenemos un Máximo Local en 𝒙𝟎 cuando

• 𝑓′ 𝑥0 = 0

• 𝑓′′ 𝑥 < 0

Tenemos un Mínimo Local en 𝒙𝟎 cuando

• 𝑓′ 𝑥0 = 0

• 𝑓′′ 𝑥 > 0

Si 𝑓′′ 𝑥0 = 0 entonces el criterio falla, y es necesario aplicar el primer criterio

Problemas de Optimización

• De una pieza cuadrada de hojalata de lado 12cm, se desea construir una caja abierta por arriba, del mayor volumen posible cortando de las esquinas cuadrados iguales y doblando hacia arriba la hojalata para formar las caras laterales. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados iguales?

Problemas de Optimización

• Se desea cercar un jardín rectangular, y para ello se cuenta con 8 metros de alambrado. El terreno escogido es a un costado de un rio, por lo que el lado que coincide con el rio no es necesario cercar. Si queremos que el área del jardín nos permita aprovecharlo al máximo ¿Cuáles son las dimensiones del jardín?

Problemas de Optimización • Hallar dos números cuya suma sea 20 y

– su producto sea máximo. – la suma de sus cuadrados sea mínima – el producto del cuadrado del primero por el cubo del

segundo sea máximo.

• Hallar dos números positivos cuyo producto sea 16 y – su suma sea mínima – la suma de uno de ellos con el cuadrado del otro sea

mínima.

• Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un vecino. Y ha de tener un área de 10800 metros cuadrados. Si el vecino paga la mitad de la cerca medianera ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la huerta para que el costo de cercarla sea mínimo para el dueño de la huerta?

Problemas de Optimización • Un fabricante de radios averigua que vender 𝑥

radios a 𝑝 pesos cada uno, siendo 5𝑥 = 375 −5𝑝. El costo de la producción es 500 + 15𝑥 +1

5 𝑥2 pesos. ¿Cuántos instrumentos debe vender a la semana para tener ganancia máxima?

• El coste de producción de 𝑥 unidades diarias de

un producto es de 1

4𝑥2 + 35𝑥 + 25 pesetas, y el

precio de ventas de una de ellas es de 50 −1

2𝑥 .

– Halle el numero de unidades que se deben vender diariamente para que el beneficio sea máximo

– Encuentre cuantas unidades se deben vender para que el coste sea mínimo.