MCDI_U1_A2_CLRM
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UNADMLICENCIATURA EN MATEMTICAS
Clculo Diferencial.
Unidad 1.Nmeros reales y funciones.
Actividad 2. Aplicacin de los axiomas de nmeros reales.
Alumno: Claudio Ramn Rodrguez Mondragn.
Matrcula: AL13503064
Resuelve los siguientes ejercicios, tomando en cuenta los axiomas de los nmeros reales.
1.- Dado , donde y , demuestre que .
Hiptesis:
1.-
2.- y
Tesis:
1.- .
Desarrollo de la demostracin:
Tanto como x,y,z son nmeros que pertenecen a los nmeros reales, y y es mayor que x, adems z es negativo.
Existe un subconjunto que satisface las siguientes condiciones:
(i). Dado:
Se tiene una y solo una de las siguientes condiciones:
(ii). Dados
Entonces:
Se tiene que:
Entonces, el conjunto de los nmeros reales son:
Para que:
Para este anlisis se plantea que:
Se tiene que:
Para:
Pero para este anlisis, se usa:
Que es lo mismo que:
Puesto que la diferencia de un nmero menor y un nmero mayor, el resultado es negativo, y al multiplicar por otro negativo, z, el resultado ser positivo:
Entonces:
QED.
2.- Demuestre que para cualesquiera tales que y entonces .
Hiptesis:
1.-
2.- y
Tesis:
1.- .
Desarrollo de la demostracin:
Sean:Entonces, el conjunto de los nmeros reales son:
Para que:
Adems:
Entonces la diferencia entre un nmero mayor y un menor, ambos mayores de cero, est ser positiva:
La multiplicacin de un positivo por otro positivo, el resultado permanece positivo.
Y adems:
y Entonces:
Y la diferencia, permanece positiva
Lo que demuestra:
O tambin demuestra:
QED.
3.- Demuestre por induccin matemticas que dados tales que demostrar que para cualesquiera .Hiptesis:
1.- tales que Tesis:1.- para cualesquiera Desarrollo de la demostracin:Sean:Entonces, el conjunto de los nmeros reales son:
Para que:
La diferencia entre un nmero mayor y un menor, ambos mayores de cero, est ser positiva:
Entonces tenemos que cumplir:
Para probar esto, usaremos la induccin matemtica:Probar para:
Puesto que:
Tendremos:
Se indica que:
Para n=1Indica que:
Y entonces:
Lo que demuestra que:
Para n=kIndica que:
Y entonces:
Asumimos que:
Para n=k+1Indica que:
Y entonces:
Asumimos que:
Como:
Entonces por lgica se debe de cumplir:
Y se deduce que:
QED.Se cumple para cualquier k, este con cualquier valor elemento de los nmeros naturales:
4. Resolver la ecuacin
Tenemos los siguientes anlisis:
Falso
Para buscar los valores verdaderos, debe de cumplir la igualdad:
Verdadero
Falso
Verdadero
Solucin:
4.- Resolver la desigualdad:
Factorizamos:
Anlisis de cada factor:
Los valores clave para analizar son:
Valores prueba antes, entre y despus del -3 y 4, para aseverar el resultado:X=-5
verdaderoX=0
falsoX=5
Verdadero
Entonces los valores verdaderos estn en los intervalos:
Solucin:
Y los intervalos:
6.- Resolver la desigualdad:
Primer valor encontrado:
Analizando el valor absoluto:
Los valores claves para analizar la situacin son: Valores prueba antes, entre y despus del , para aseverar el resultado, tomando en cuenta que:X=0
falso
X=2
verdadero
X=5
Falso
Entonces los valores verdaderos estn en:
Solucin:
Los intervalos:
7.- Demuestre que y Hiptesis:1.- y Tesis:1.- Desarrollo de la demostracin:Analizando los cuatro casos de los valores absolutos:Caso1:Se deduce que:
Se tiene que:
Entonces:
Caso2:Se deduce que:
Se tiene que:
Entonces:
Caso3:Se deduce que:
Se tiene que:
Entonces:
Caso4:Se deduce que:
Se tiene que:
Entonces:
Por lo tanto se sabe que: que y QED.8.- Resolver la desigualdad: Evaluando el discriminante:
Entonces:
Lo que representa:
Para la cuadrtica, no existe solucin, entonces no hay valores en el conjunto de los nmeros reales para los cuales la ecuacin cuadrtica satisfaga al cero.Solucin:FalsoIntervalo:
Gracias.