UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MEXICO (UNADM)

Licenciatura en MatemticasAsignatura: Matemticas Discretas.Alumno: Ochoa Resndiz DavidPrimer CuatrimestreMatrcula: AL13505303

Ejercicios

Resuelve los siguientes problemas:

1. Dadas las siguientes relaciones:

= {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) }

= {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )},sobre el conjunto E = {, , }.

Encuentra: La unin .{(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}

La interseccin .{(, ), (, ), (, ), (, )}

La diferencia de y .

= {(, ),(, )}

= {(, )} La diferencia simtrica .

= {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}

= {(, ), (, ), (, ), (, )}

= - {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} - {(, ), (, ), (, ), (, )}

={(, ),(, ),(, ),(, )}

2.

Encuentra para la relacin = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (1, 3), (3, 3), (4, 4)} definida sobre el conjunto A = {1, 2, 3, 4}.Haremos la composicin entre dos conjuntos iguales. Esto es, el elemento (1, 1) ser compuesto con los elementos (1, 1), (1, 2), (1, 3). El elemento (1, 2) con los elementos (2, 3) y as sucesivamente.= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 3)}.

3. Con el propsito de verificar la solucin de problemas con el uso de relaciones, resuelve la demostracin de la siguiente relacin:

Demuestra las dos contenencias:

En la prueba anterior, si se invierte el sentido de las implicaciones se obtiene la demostracin de la parte (b).Al respecto:

4. Completa la demostracin del teorema anterior.

Potencia de una relacinSean R una relacin binaria en un conjunto. La potencia n -sima de R, denotada por , est definida inductivamente por,

Es decir, es la relacin de igualdad en el conjunto A.

Obsrvese que para , es una relacin en A

Ejemplo:

Sea .Hallar .

Puesto que se sigue que para ,

5. Demuestra por induccin que:

Por ltimo, al invertir las parejas de una relacin R se obtiene otra relacin, llamada la relacin inversa de R.

Inversa de una relacin. Sea R una relacin de A en B. La relacin inversa de R es la relacin de B en A definida por:

Por lo tanto:

En consecuencia:

Ejemplo:Sea yEntonces

Obsrvese que si R es una relacin en un conjunto A, tambin es una relacin en A. Utilizando las relaciones el siguiente teorema nos da un criterio para determinar cuando la relacin R es reflexiva, simtrica, antisimtrica, y transitiva.