ME2 11 - Calculo Básico de La SCF

8/16/2019 ME2 11 - Calculo Básico de La SCF

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Coeficientes complejos desde los trigonométricos Serie Compleja de Fourier

ME2 - Serie Compleja de Fourier

Cálculo básico de la Serie Compleja de Fourier

MsC. Armando Mateus

Universidad ECCI

Programa de Ingeniería Electrónica

Clase

Mar 2016

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1 Coeficientes complejos desde los trigonométricos

Aplicación del Teoréma de Euler a la Serie de Fourier

2 Serie Compleja de Fourier

Serie compleja de Fourier



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Teorema de Euler sobre la Serie de Fourier

Fact

Paso 1:

f (t ) = a 02

+∞

∑ n=1

a n cos(nωt ) +∞

∑ n=1

b n sin(nωt ) =

a 0 +∞

∑ n=1

a ne

inωt +e −inωt

2 +

∞

∑ n=1

b ne

inωt −e −inωt

2i

cos (nωt )) = e inωt +e −inωt

2 , sin(nωt ) = e

inωt −e −inωt

2i

C fi i l j d d l i é i S i C l j d F i

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Fact

Paso 2:

f (t ) = a 02

+∞

∑ n=1

a ne

inωt +e −inωt

2 + b n

e inωt −e −inωt

2i =

a 0

2 +

∞

∑ n=1

a ne

inωt

2 + a n

e −inωt

2 + b n

e inωt

2i − b n

e −inωt

2i

C fi i t l j d d l t i ét i S i C l j d F i

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Fact

Paso 3:

f (t ) = a 02

+∞

∑ n=1

a ne

inωt

2 + a n

e −inωt

2 + b n

e inωt

2i − b n

e −inωt

2i =

a 0

2 +

∞

∑ n=1

(a n−ib n)2

e inωt +∞

∑ n=1

(a n+ib n)2

e −inωt


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Fact

Paso 4:

f (t ) = a 02

+ ∞∑ n=1

(a n−ib n)2

e inωt + ∞∑ n=1

(a n+ib n)2

e −inωt =

c 0

2 +

∞

∑ n=1

c ne inωt +

∞

∑ n=1

c −ne −inωt

Definition

c 0 = a 0, c n = (a n−ib n)

2 , c −n =

(a n+ib n)2


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Fact

Paso 5:

f (t ) = c 02

+∞

∑ n=1

c ne inωt +

∞

∑ n=1

c −ne −inωt =

c 0

2 +

∞

∑ n=1

c ne inωt +

−1

∑ n=−∞

c ne inωt




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Fact

Paso 6:

f (t ) = c 02

+∞

∑ n=1

c ne inωt +

−1

∑ n=−∞

c ne inωt =

∞

∑ n=−∞

c ne inωt


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p j g p j


Serie Compleja de Fourier

Definition

Serie compleja de FourierSea f (t ) una señal periódica, entonces se cumple

f (t ) =∞

∑ n=−∞

c ne inωt

Dónde∞

∑ n=−∞

c ne inωt se denomina serie compleja de Fourier y c n

coeficiente complejo de Fourier.


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p j g p j


Cálculo c nde a n y b n

Fact

c 0 = a 0, c n = (a n−ib n)2 , c −n = (a n+ib n)

2

Fact

c n = |c n|∠θz =

a 2n + b 2n∠ arctan

−b n

a n




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Cálculo de c n

Example

Para f (t ) = 5 + cos t

3 + 2 sin t

4− 3 cos t

5, determinar elcoeficiente c n.Paso 1:

Determinar parametros basicos y coeficientes:

ω0 = 160

a 0 = 5a 12 = −3, b 12 = 0a 20 = 1, b 20 = 0b 15 = 2, a 15 = 0


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Cálculo de c n

Example

Para f (t ) = 5 + cost

3

+ 2 sin

t

4

− 3 cos

t

5

, determinar el

coeficiente c n.Paso 2:

Determinar c nω0 =

160

c 0 = a 0 = 5

c 12 = a 12−ib 122 = − 32 , c −12 = a 12+ib 12

2 = −32c 20 =

a 20−ib 202

= 12

, c −20 = a 20+ib 20

2 = 1

2

c 15 = a 15−ib 15

2 = −i, c −15 =

a 15−ib 152

= i


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Cálculo de c n

Example

Para f (t ) = 5 + cost

3

+ 2 sin

t

4

− 3 cos

t

5

, determinar el

coeficiente c n.

Paso 3:

Plantear la Serie Compleja de Fourier

f (t ) = 5 − 32 e

it /

5

− 32 e −

it /

5

− ie it

/4

+ ie −it

/4

+ 12 e

it /

3

+ 12 e −

it /

3




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Cálculo de c n

Fact

c n = c −n

Fact

a n = 2Re [c n]

Fact

b n = −2Im [c n]


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Referencias

H.P. Hsu.

Análisis de Fourier .

Addison-Wesley Panamericana, 1973.

E. Kreyszig.

Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Vol 2.

Lymusa Wiley .
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