Mec

Los signos que usamos son + y =

Apoyo pedagógico a niños, niñas y jóvenes estudiantes de los niveles de Educación

Escolar Básica y Educación MediaNiño, niña, joven estudiante de Paraguay:El Ministerio de Educación y Cultura considera que todo tiempo es propicio para que avances en el proceso de desarrollo de tus competencias y capacidades, tal como lo establecen los programas de estudio de la Educación Escolar Básica y de la Educación Media. Este tiempo en que nuestro país vive una situación especial por la propagación de la infl uenza A /H1 N1, obliga al Estado paraguayo a extender el periodo de vacaciones. Sin embargo, esta circunstancia no debe signifi car inconvenientes en el desarrollo normal de tus aprendizajes. Es por eso que el MEC te presenta estas propuestas pedagógicas relacionadas con las capacidades abordadas en el área de Matemática para que las realices en tu casa, con ayuda de tus familiares y, luego, cuando regreses a la escuela o al colegio, puedas compartir con tus profesores tus logros y difi cultades en la resolución de los ejercicios. Los ejercicios que se presentan en este documento están organizados para la Educación Escolar Básica y para la Educación Media. En el caso de los ejercicios planteados para la Educación Escolar Básica, éstos están ordenados por ciclos: primer ciclo (1º, 2º y 3º grados), segundo ciclo (4º, 5º y 6º grados) y tercer ciclo (7º, 8º y 9º grados). En cada uno de los ciclos, los ejercicios matemáticos se presentan en tres niveles de complejidad. Te aliento a que, independientemente del grado que estés cursando, realices los ejercicios propuestos para el ciclo en que estás e identifi ques tus propias posibilidades de avance; en algunos casos te parecerán muy fáciles y los resolverás enseguida; en otros, puede que te sean más complicados. En esos casos, pide la ayuda de tus familiares o, de lo contrario, deja esos ejercicios para conversar con tu profesor o profesora cuando regreses al aula. Lo importante es que te animes a explorar tus potencialidades en la resolución de los ejercicios matemáticos. Es importante también que distribuyas tu tiempo entre las actividades propias de tu ámbito familiar y las que se proponen en este ejercitario de tal forma que, una vez reiniciadas las tareas en aula, estés en condiciones de avanzar en tus aprendizajes. Las actividades que se te presentan son ejemplos de cómo se podría abordar, en parte, el desarrollo de capacidades de Matemática. Con ayuda del profesor o profesora, las mismas serán afi anzadas durante el proceso de clase presencial y, en caso de que ya hayan sido abordadas, ésta será una oportunidad para fortalecer su desarrollo y/o evidenciar en qué medida han sido logradas.Ministerio de Educación y Cultura niko ojerovia nderehe ha oipota ndekatupyryve ára ha ára. Eñeha’ãkena avei nde rejepytaso orendive ha ambue ñane retãygua ndive, ikatu haguáicha ñase porã, oñondivepa, ko mba’asýgui oguaheva ñandéve. Ministro de Educación y Cultura ANOTA AQUÍ TUS DATOS, PUES ESTA HOJA SE CONVIERTE EN TU EJERCITARIO:

Nombre del estudiante:Curso:Institución:

Educación Escolar Básica. Primer Ciclo. Nivel 1 TRABAJO CON LAS MATEMÁTICAS CON AYUDA DE MI FAMILIA.

¡Qué fáciles son las actividades que tengo que resolver en mi cuaderno! 1. Observo y cuento la cantidad de que hay en cada caja

2. Observo los elementos que contiene cada caja y completo en las líneas de punto el número correspondiente, siguiendo el ejemplo anterior.

3. Resuelvo algunos problemitas:a) Susi tiene 7 y le regalan 2 . ¿Cuántas tiene ahora?• Datos del problema:• Incógnita del problema:• Operación que realizaré:• Efectúo la operación:• Formulo la respuesta:• Compruebo el resultado:

b) Ema compró 4 y Ana compró 3 . ¿Cuántos compraron entre las dos?• Datos del problema:• Incógnita del problema:• Operación que realizaré:• Efectúo la operación:• Formulo la respuesta:• Compruebo el resultado:

3 y 2 son 5 3 + 2 = 5

3

3 2

5y 2

5 3 ………………… y ………………… son ………………

………………… + ………………… = ………………..

EL DIARIO COMPLETO

Apoya

"Desde casa también se aprende"

cyan magenta amarillo negro

2

Yo tengo3

Yo tengo15

c) En el hay…… y en el suelo hay …… . ¿Cuántas dio el manzano?

5. Hallo los resultados de las siguientes adiciones:

1+2= 3+2= 6+1=8+1= 7+1= 0+9=7+0 = 5+4= 1+1=

6. Efectúo las siguientes adiciones:

5 4 8 4+2 +4 +1 +3

7. Dibujo los según el numeral que contiene la segunda caja. Escribo dentro de cada el numeral correspondiente a cada caja y hallo la suma.

8. Analizo los siguientes diálogos y respondo:a)

¿Cuántas fi chas tienen entre los dos?Respondo:b)

¿Cuántas tapitas hay en la caja? Respondo: 9. Adiciono. d u d u 12 1 2 15 1 5 + 6 + 6 + 2 + 2

12+6= 15+2=

-Leo y completo:

¿Cuántos tienen entre los dos ? Respondo: Tienen…………

Educación Escolar Básica. Primer Ciclo. Nivel 2 TRABAJO CON LAS MATEMÁTICAS CON AYUDA DE MI FAMILIA. ¡Qué fáciles son las actividades que tengo que resolver en mi cuaderno!

1. Leo y respondo.

En la frutería hay 20 naranjas y 5 frutillas. ¿Cuántas frutas hay en la frutería?

5 + =4

Tengo en mi cajita 2 fichas.

Y yo tengo en mi cajita3 fichas. Aún me falta cargar 4 fichas.

Yo cargué 12 tapitas en la caja

Y yo 7 tapitas

2 0 20

5

o Datos del problema: o Incógnita del problema: o Operación que realizaré: o Efectúo la operación: o Formulo la respuesta: o Compruebo el resultado:

••••••

10 .Dibujo en mi cuaderno las flores y completo los pétalos con los sumandos que faltan, siguiendo el ejemplo:

10.



3

2 0

Al resultado se le llama suma o total y la operación se llama adición.

Los números que se suman son los sumandos.

53 70 84 45 36+4 +8 +13 +12 +22

.....+.....= 70

.....+.....= 70

.....+.....= 70

.....+.....= 70

.....+.....= 70

.....+.....= 70

Recuerdo:

2. Efectúo estas sumas:

3. Agrupo sumandos de distintas maneras, de modo que la suma de los mismos dé 70.Por ejemplo:

4. Completo la tabla:+ 0 10 20 30 40 50

0 20

10 40

20

30

40

50

5. Encierro los números que necesito para obtener el indicado en cada cuadro. Sigo el modelo.

6. Completo la tabla teniendo en cuenta los billetes y las monedas conocidas, según el modelo. Por ejemplo, 8500 guaraníes puedo obtener mediante 1 billete de 5000 guaraníes, 3 monedas de mil guaraníes y 1 moneda de 500 guaraníes.

Guaraníes

8 500 1 3 110 0009 0007 5006 000

7. Leo y resuelvo los siguientes problemas:

a) Luís ha comprado un libro de cuentos por 5600 guaraníes y quiere ganar en su venta 1250 guaraníes. ¿Por cuántos guaraníes tendrá que vender? ♦ Datos del problema: ♦ Incógnita del problema: ♦ Operación que realizaré: ♦ Efectúo la operación: ♦ Formulo la respuesta: ♦ Compruebo el resultado:

b) La semana pasada gastamos 7250 guaraníes en la librería y 1275 guaraníes en golosinas. ¿Cuántos guaraníes gastamos en total? ♦ Datos del problema: ♦ Incógnita del problema: ♦ Operación que realizaré: ♦ Efectúo la operación: ♦ Formulo la respuesta: ♦ Compruebo el resultado:

6 0 0

300

25 20000 100

50

4000

7 5 0

25

1000

200 25

100

7 0 0

500 200

400

25

6 6 5

40

50 600

25

100

4 5

1000

150 3000

400

75

8 5 0

100

150

600

400

75

20025

300 100

50

60050

40 25 10

150300 75

400

200

500 200 25

400

10

15600

75

40

850

700

450

750

665

600

20025100250

4000

Observo el ejemplo y sumo: 0+20=20


0

30

10

4020

5060

70


4

Educación Escolar Básica. Primer Ciclo. Nivel 3

TRABAJO CON LAS MATEMÁTICAS CON AYUDA DE MI FAMILIA. ¡Qué fáciles son las actividades que tengo que resolver en mi cuaderno!

1. Completo la siguiente cadena de adición.

2. Completo y escribo el nombre de la propiedad aplicada.a) (4+5)+6=……….. b) 120+………=120 c) 5+6=………..+5

Propiedad…………………. Propiedad………………… Propiedad…………………

d) 4+10+6 = 4+6+………….. e) 10+ = 10 f) 5+50= …….+ 5

Propiedad……………….. Propiedad…………………. Propiedad…………….

4. Analizo cada situación vivida en la fi esta de San Juan y las resuelvo.a) En mi comunidad se festejó la fi esta de San Juan. Para el efecto, se distribuyeron trabajos los maestros y padres. Los 27 maestros trabajaron organizando los juegos y los 36 padres se agruparon para preparar las casillas. ¿Cuántas personas trabajaron en la organización?

b) En la fi esta de San Juan se armaron 8 casillas. Cada casilla necesitó 3 tablones. Para la cantina se necesitó 3 tablones más. ¿Cuántos tablones se utilizaron?

c) Hubo carrera vosa. Los alumnos y alumnas del tercer grado consiguieron 26 bolsas y los del segundo grado 18. ¿Cuántas personas por vez participaron de la carrera?

d) En la cantina hubo 42 fuentes de sopa donadas por los padres y 36 donadas por los maestros y maestras para la venta. ¿Cuántas fuentes de sopa tuvieron para vender?

e) Cerca de las 8:00 de la nochese preparó el tata ári jehasa.¿Cuántas bolsas de carbón utlizó el señor José?

f) Se organizó también una rifa relámpago. Sol vendió 22 números, Guille vendió 35 números y Fiorela 27 números. ¿Cuántos números vendieron entre los tres?

g) La mamá de Ezequiel fue a la cantina y compró 2 sopas y 3 pastel mandi’o para sus 5 hijos. ¿Cuántas comidas típicas compró de la cantina la mamá de Ezequiel?

h) Para el pozo de la suerte, los niños del tercer grado trajeron varias sorpresitas. Si se colocaron 4 sorpresitas en cada una de una de las 8 bolsitas, ¿cuántas sorpresitas había?

i) Creo 3 situaciones problemáticas atendiendo lo representado en las láminas y las resuelvo:Recuerdo: Cada situación problemática que voy a formular debe explicitar un contexto y en él los datos y las incógnitas.

♦ Datos del problema: ♦ Incógnita del problema: ♦ Operación que realizaré: ♦ Efectúo la operación: ♦ Formulo la respuesta: ♦ Compruebo el resultado:


+ 100 + 200 + 300 + 40040.000









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Educación Escolar Básica. Segundo Ciclo. Nivel 1 TRABAJO CON LAS MATEMÁTICAS CON AYUDA DE MI FAMILIA ¡Qué fáciles son las actividades que tengo que resolver en mi cuaderno!

1. A continuación, se plantea un ejemplo en el que se visualiza los procesos seguidos para la solución del problema.

a) Comprender el problema enunciado. Para ello, tengo que:

- Leer el problema: En la Región Oriental del Paraguay existen 14 Departamentos y en la Región Occidental 3 Departamentos. ¿En cuántos Departamentos está dividido el Paraguay?

- Reconocer los datos y la incógnita, que me ayudan a encontrar la solución:

Este problema me proporciona los siguientes datos:

- En la Región Occidental hay…………3 Departamentos - En la Región Oriental hay…………….14 DepartamentosY la siguiente Incógnita: ¿En cuántos departamentos está dividido el Paraguay?

b) Idear el plan para resolver el problema. En esta fase elijo las operaciones que me conduzcan a la solución del mismo; es decir debo sumar la cantidad de departamentos de cada región.

c) Resolver el problema. En este proceso efectúo la operación seleccionada que permite solucionar el problema. 14 + 3 17

Concluyo que hay 17 departamentos en ambas regiones del Paraguay.

d) Examinar la solución obtenida. Para llegar a la solución del problema realicé las siguientes actividades:

Leer el problemaReconocer los datos y la incógnitaDetermino la operación a ser aplicadaRealizo la operaciónElabora la respuestaVerifi co los resultados obtenidos

2. Resuelvo los siguientes ejercicios:

Recuerda que para la resolución de los problemas debes realizar los pasos que se plantean en el ejemplo.

2.1. Analizo el siguiente cuadro y realizo las siguientes actividades.

a) Calculo:• la población total del área urbana en el año 1994.

• población total del área rural del año 1994.

b) Determino cuál de las dos áreas (urbana o rural) tuvo mayor población en ese año. c) Determino la diferencia de habitantes existentes entre el área urbana y rural del año 1994.

2.2. Don Anastasio vendió en el mercado 13 bolsas de pomelos, si cada bolsa contiene 12 pomelos. Averigua cuantos pomelos vendió

2.3. Fuimos de paseo con mis primos y recogimos 62 cocos. Queremos repartir los cocos entre 3 personas. ¿Cuántos cocos le corresponderá a cada persona?



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Educación Escolar Básica. Segundo Ciclo. Nivel 2 TRABAJO CON LAS MATEMÁTICAS CON AYUDA DE MI FAMILIA. ¡Qué fáciles son las actividades que tengo que resolver en mi cuaderno! A continuación, se plantea un ejemplo en el que se visualiza los procesos seguidos para la solución del problema.

1- Preparé ¾ litros de jugo de naranja, 1 ½ litro de jugo de zanahoria y 1/3 litros de jugo de limón. Una vez mezclados ¿Cuántos litros de jugo obtengo?

a) Comprender el problema enunciado. Para ello, tengo que reconocer los datos y la incógnita, que me ayudan a encontrar la solución.

Este problema me proporciona los siguientes datos:- Preparé ¾ litros de jugo de naranja 1 ½ de jugo de zanahoria 1/3 de jugo de limón

La Incógnita: ¿Cuántos litros de jugo obtengo?

b) Idear el plan que resuelva el problema. En esta fase determino la operación que corresponde para la solución del problema; es decir debo sumar la cantidad de litros de jugos: de naranja, de zanahoria y de limón.

c) Resolver el problema. En este proceso efectúo la operación seleccionada que permite solucionar el problema.

¾ + 1 ½ + 1/3 = 31/12 = 2

Concluyo que hay 2 litros 7/12 de jugo.

d) Examina la solución obtenida. Para llegar a la solución del problema realicé las siguientes actividades:

- Reconocer los datos y la incógnita. - Determinar la operación a ser efectuada. - Realizar la operación. - Elaborar la respuesta.- Verifi car los resultados obtenidos.

2- Resuelve los siguientes problemas teniendo en cuenta los procesos aplicados en el ejemplo presentado.a) Recolectamos 2760 naranjas en un día. 1/3 de las naranjas serán colocadas en cajones y el resto de las naranjas serán colocadas en bolsas. ¿Cuántas naranjas pondremos en los cajones y cuántas naranjas pondremos en las bolsas?

b) En la chacra de mi tío se han cosechado 27850 mandarinas, 2/5 de ellas están maduras y el resto aún no lo está. Determino cuántas naranjas están maduras y cuántas aún no lo están c) En una granja hay 20 empleados, por la mañana en el desayuno se sirven. 6 litros de leche y por la tarde meriendan 4 litros de leche. ¿Cuántas tazas de ¼ litros se obtiene con la leche consumida diariamente?Puedes grafi car para resolver este problema.

d) Mi vecina preparó tres porciones de queso Paraguay de 1Kg cada uno, le obsequió a dona Luisa 2/5 del queso y el resto a don Julián. ¿Cuántos kilogramos de queso le regalo a don Julián?

e) En una granja hay 48 animales,1/3 de ellos son caballos,1/2 son cerdos y el resto son vacas. Averigua cuántos animales de cada especie hay en la granja.

Educación Escolar Básica. Segundo Ciclo. Nivel 3

TRABAJO CON LAS MATEMÁTICAS CON AYUDA DE MI FAMILIA ¡Qué fáciles son las actividades que tengo que resolver en mi cuaderno! A continuación, se plantea un ejemplo en el que se visualiza los procesos seguidos para la solución del problema.Diego y Micaela residen en Argentina, ellos quieren conocer el Paraguay y deciden recorrerlo en automóvil.

Comienzan recorriendo 900 Km en 2 días. Ellos se proponen recorrer 4500 Km. Averigua: ¿En cuántos días recorrerán esos kilómetros?1) Comprender el problema enunciado. Para ello, tengo que reconocer los datos y la incógnita, que me ayudarán a encontrar la solución.

Este problema me proporciona los siguientes datos:900 Km recorren en 2 días.Y la siguiente Incógnita: ¿En cuántos días recorrerán 4500 km?

2) Idear el plan que resuelva el problema. En esta fase elijo las operaciones que me lleven a encontrar la solución del mismo.

Planteamos 900 km _________________2 días + - 4500 Km_________________x días

Colocamos las fl echas que tengan el mismo sentido, hacia abajo o hacia arriba. Seguimos el sentido de las fl echas y formamos la proporción.

712



7

3) Resolver el problema. En este proceso efectúo la operación seleccionada que permite solucionar el problema.

Debo hacer uso de la propiedad fundamental de las proporciones, considerando la dirección que me indican las fl echas.

900 2 4500 x

Hallamos el valor de x, simplifi cando numerador y denominador.

x = 4500 x 2 900 X= 5 x 2 = 10 1

Concluyo que en 10 días recorrerán 4500 km. si llevan una velocidad constante.

4) Examina la solución obtenida .Para llegar a la solución del problema realicé las siguientes actividades: Reconocer los datos y la incógnita.

Determinar la operación a ser efectuada.

Realizar la operación.

Elaborar la respuesta.

Verifi car los resultados obtenidos

.¡No olvides que ...!La regla de tres simple permite comparar dos magnitudes por medio de una proporción. Si conocemos tres valores de esa proporción, podemos hallar el cuarto valor utilizando la propiedad fundamental de las proporciones. “Si las magnitudes son directamente proporcionales las razones obtenidas al compararlas son iguales y la regla de TRES ES DIRECTA.

Resuelvo los siguientes problemas considerando los pasos del ejemplo anterior.

a) Iván y Josías consumen en 4 días 7 litros de leche. ¿Cuántos litros consumirán en 10 días?

b) Tres máquinas hacen 500 m de ruta por día. ¿Cuántas máquinas tienen que trabajar para hacer 4500 m de ruta en un día?

c) ¿Cuántos dólares costará el pasaje para un grupo de 60 personas, si para un grupo de diez personas cuesta 575 dólares?

d) Un vehículo consume 75 litros de nafta por cada 500 Km. ¿Cuántos litros de nafta consume cada 100 Km?

e) En una estación de servicio, la manguera del surtidor de combustible carga 24 litros en 6 segundos. ¿En cuántos segundos se llenará un tanque de 90 litros?

Educación Escolar Básica. Tercer Ciclo. Nivel 1

1. Leo la siguiente información.

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES

El conjunto de números racionales está compuesto por: los números naturales, los números enteros y las fracciones, o sea que este conjunto le contiene a los conjuntos N y Z. El conjunto de los números racionales se puede representar mediante el diagrama de Venn y en la recta numérica como los otros conjuntos numéricos.

Presentación de los números racionales.

a) Diagrama de Venn b) Recta numérica

Para representar fracciones en la recta numérica, la unidad de medida puedes tomarla del tamaño que deseas con el fi n de visualizar con claridad la posición del número.

Por ejemplo: para representar es práctico hallar el cociente para identifi car el número que representa.

Signifi cado de fracciónUna fracción está compuesta por dos números que se escriben como cociente, los cuales se denominan numerador y denominador respectivamente se defi ne como la parte de un todo objeto (representa la unidad).

El denominador indica en cuántas partes iguales se dividen la unidad y el numerador las partes que se toman de la unidad. Para comprender mejor se puede representar mediante un gráfi co, por ejemplo: 2/5 y 3/4

25

34



8

Fracciones y decimalesToda fracción se pude expresar con número decimal, efectuando la división entre el numerador y el denominador.

Por ejemplo: Entre las fracciones también se puede encontrar aquella cuyo denominador es una potencia de diez (10, 100, 1000, etc) se le llama fracciones decimales.

Por ejemplo:

Estas fracciones se pueden expresar como números decimales escribiendo tantos ceros en la parte decimal de manera que la cantidad de números en la parte decimal sea igual a la cantidad de ceros del denominador. Es decir:

Operaciones con números racionales en notación fraccionaria:

Adición y sustraccióna) Si las fracciones tienen el mismo denominador se suman o se restan los numeradores y se conserva el mismo denominador.Por ejemplo:

b) Si las fracciones tienen distintos denominadores, se buscan fracciones equivalentes a ellos, que tengan por denominador el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. Si algún sumando es un número entero se escribe como una fracción con denominador 1.Por ejemplo:

El mínimo común múltiplo entre 3,1 y 2 es 6 El mínimo común múltiplo es 4 y 3 es 12.m.c.m. (3,1,2) = 6 m.c.m. (4,3) = 12

Entonces: Entonces:

2. Realizo las siguientes actividades en mi cuaderno:

a. Construyo el gráfi co que representa las fracciones siguientes:

b. Escribo una fracción equivalente a cada una:

• que tenga por denominador 30.

• cuyo denominador esté comprendido entre 6 y 13.

• Que tenga como denominador 15.

c. Resuelvo las siguientes situaciones:• Mario toma 1/4 de litro de leche en el desayuno, 1/5 litro en el almuerzo, 2/10 en la merienda y 3/8 en la cena. ¿Qué cantidad de leche cada día?

• Aproximadamente 1/15 de los habitantes de una ciudad utiliza el transporte público cuatro veces al día, 2/9 dos veces, 1/10 una vez al día y el resto no lo utiliza habitualmente. ¿Qué parte de los habitantes usan el transporte público? ¿Qué parte no lo utilizan?

• A Santiago, Virginia y Paula les gusta mucho la naturaleza. Un día salieron al campo, después de recorrer 1/5 del trayecto pararon a descansar, siguieron hasta recorrer otros 3/5 y se dieron cuenta que habían perdido la brújula por lo que retrocedieron 2/5 del camino hasta que la encontraron y reanudaron la marcha 1/5 más para luego parar a almorzar. ¿Qué fracción del camino han recorrido hasta la hora del almuerzo?

Educación Escolar Básica. Tercer Ciclo. Nivel 21. Leo la siguiente información.

Factorización de polinomios

La operación de factorización de una expresión algebraica (monomio ó polinomio) consiste en expresarlo como producto de factores (descomponerlo)Por ejemplo:

16 x2 se puede expresar como producto de 2x y 8x porque (2x) . (8x) = 16x2 15y2 + 12y2 se puede expresar como producto de 3y y (5y + 4y) porque: 3y. (5y + 4y) = 15y2 + 12y2.

La operación de factorizar una expresión algebraica se puede realizar de diferentes maneras, es decir, se pueden obtener diferentes soluciones y todas son correctas. Lo más recomendable es obtener la mayor cantidad de factores.

43 3+ 4

3=+ 12

31+ 1

2+

86= 18

6+ 36+

8= 186

+ 3+ =296

y



9Por ejemplo: 6x2 + 12 se puede expresar de las siguientes maneras: 6x2 + 12 = 2 (3x2 + 6) 6x2 + 12 = 3 (2x2 + 4) 6x2 + 12 = 6 (x2 + 2)Al factorizar una expresión algebraica podemos distinguir varios casos con características específi cas, lo que facilita el proceso para hallar los factores.

Factor común:Consiste en determinar la máxima expresión común a cada uno de los términos de la expresión algebraica (el máximo común divisor entre ellos) y, escribir la expresión como producto de ese factor, por la correspondiente expresión que resulte al dividir cada término por ese factor.Por ejemplo: en la expresión algebraica 20x3 + 6x2 – 12x, 2x es el factor común entre sus términos (tanto de sus coefi cientes y de sus variables).Entonces, se puede expresar así:

20x3 + 6x2 – 12x = 2x (10x2 + 3x – 6)

Factor común por agrupación de términos:Es un caso especial del factor común, en el cual los términos se agrupan de manera que tengan un factor común y, posteriormente, se pueda obtener otro factor común. Este proceso se puede utilizar cuando la expresión tiene número par de términos mayor a dos (o sea 4 términos, 6 términos, etc.)Por ejemplo: la expresión 4x2y + 2xy – bxy2 – 3y2 se puede agrupar así (4x2y – 6xy2) + (2xy – 3y2) y al hallar el factor común en cada grupo se obtiene otro factor común, quedando fi nalmente la expresión así:

4x2 + 2xy – 6xy2 – 3y2 = (4x2 – 6xy2) + (2xy – 3y2) = 2x (2x – 3y) + y (2x – 3y) = (2x – 3y) (2x + y)

Diferencia de cuadrados:Se da cuando la expresión consta de dos términos que son cuadrados perfectos y están separados con signo menos. Se puede factorizar como producto de dos binomios formados por la suma y la diferencia de las raíces cuadradas de los términos.Por ejemplo: x2 - y2, tiene dos términos que son raíces cuadradas exactas y están separados con signo menos. La raíz cuadrada de x2 es x, y de y2 es y Entonces. x2 - y2 = (x + y) (x – y)

Trinomio Cuadrado perfecto: Es una expresión que consta de tres términos y se puede decir que resulta del desarrollo del cuadrado de un binomio, es decir, tiene dos términos que son cuadrados perfectos y el tercer término es igual al doble producto de las raíces cuadradas exactas. Entonces, la expresión puede escribirse como el cuadrado del binomio cuyos términos son las raíces cuadradas y separados con signo igual al tercer término. Es decir, en forma general se puede tener dos formas: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 - 2ab + b2 = (a - b)2

Ejemplos x2 + 6x + 9 = (x)2 + 2 (x) 3 32 = (x + 3)2

4x2 - 20x + 25 = (2x)2 - 2(2x) 5 + 52 = (2x – 5)2

Trinomio Cuadrado no perfecto: Se tiene este caso cuando el trinomio no proviene del desarrollo de un cuadrado de binomio, pero puede que uno de sus términos sea cuadrado perfecto. Se puede tener dos tipos:

Para factorizarlo se trata de encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y la suma algebraica entre ellos sea igual al coefi ciente de la variable que es la raíz exacta, estos números se utilizan para formar dos binomios con la raíz exacta, y se escriben como producto.

Entonces se tiene: que el término independiente - 12 se puede escribir como producto de los números - 3 y 4, además al sumarlos resulta el coefi ciente de x que es 1.Por lo tanto: x2 + x - 12 = (x + 4) (x - 3)

2) 2x2 + x - 3, donde el coefi ciente de la variable que tiene raíz exacta no es cuadrado perfecto; o sea el número 2.Entonces se tiene que: 2x2+x-3=2(2x2+x-3)

= (2x)2+(2x)-6 donde 2x

2 2

Por lo tanto (2x)2+(2x)-6

= (2x + 3)(2x - 2) ; 2x -2 tiene un factor común: 2

2 2

=

(2x + 3) 2 (x - 1) 2 = (2x + 3) (x - 1)Para factorizarlo, se puede transformar la expresión de manera que el coefi ciente mencionado sea cuadrado perfecto. Para ello, se multiplica y se divide toda la expresión por tal coefi ciente, y luego se procede como en el caso anterior. 2. Realiza las siguientes actividades Expreso como producto de dos factores y menciono el caso utilizado.

a) 3mx - 15my = f) x2 - 12x+36 = b) xa + 2a + bx + 2b = g) 25x2 + 20x + 4 = c) 4x2 – 4xy + y2 = h) 3x2 + 5x - 2 = d) 9x2 - 36 = i) x2 - 7x + 12 = e) a2 – 81 = j) 2x2 + 3x - 5 =

Educación Escolar Básica. Tercer Ciclo. Nivel 3Realizo las siguientes actividades en mi cuaderno.

1. Leo la siguiente información.Fracción algebraicaUna fracción algebraica o expresión algebraica racional es el cociente de dos polinomios: P(x) y Q(x), donde P(x) se llama numerador y Q(x) se llama denominador.Ejemplos:

x2 + 2 ; 2 ; 3x3 + 5x - 7 son fracciones x – 2 x2 x2 – 6x + 9 algebraicas

es la raíz cuadrada exacta y dos números que multiplicados dan 6 y sumados en forma algebraica resulta 1 son: 3 y - 2

1) X2 + x - 12, donde se tiene un cuadrado perfecto como término: x2



10

Para sumar o restar fracciones algebraicas se siguen procesos operativos similares a los empleados con los números racionales, se podría sintetizar en forma general con el siguiente esquema: P(x)

+ R(x) P(x) T(x) + R(x) Q(x)

Q(x) T(x) =

Q (x) T(x)

Como en el caso de los números también para facilitar el proceso conviene que las expresiones se reduzcan al mínimo común denominador y simplifi car los resultados.Es importante recordar que para reducir las expresiones al mínimo común denominador, es conveniente factorear antes las expresiones correspondientes a cada denominador y, hallar el mínimo común múltiplo entre ellos.Por ejemplo, para efectuar: 3x x2 - 1 x + 2 = se factorea si es necesario los denominadores y luego se halla el mínimo común múltiplo entre ellos. x + 3 + x2 + 3x + x

Entonces se tiene: x + 3 x2 + 3x = x (x + 3) xEl mínimo común múltiplo es: x (x + 3) y resulta: 3x + x² - 1 + x + 2 3x + x² – 1 + x + 2 x + 3 x² + 3x x = x + 3 x (x + 3) x

= 3x²+ x² – 1 + (x + 2) (x + 3) x (x + 3)

= 3x2 + x2 – 1 + x2 + 3x + 2x + 6 x (x + 3)

= 5x2 + 5x + 5 = 5 (x2 + x + 1) x (x + 3) x (x + 3) Se sigue el mismo proceso para la resta.

2. ActividadesHalla el resultado de las siguientes operaciones a) x + 4 + 2x – 1 + x2 + 2 = x + 1 x2 + x x2

b) x - x – 4 = 2x – 3 x + 5

c) 1 - 2 + 4 - 8 = x x2 x3 x4

d) 2 – x - 3 – 2x = x2 x + 2

Nivel 1 . Educación MediaRelaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo.Los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo tienen relaciones interesantes que nos ayudan a resolver ciertas situaciones problemáticas. Veamos cuáles son:Analicemos el triángulo ABC, recto en B:

Por consiguiente en el ABC, las funciones trigonométricas del ángulo son: • seno de α = sen α = …………….(1) • cotangente de α =cotg α = ………….(4)

• coseno de α = cos α = …………..(2) • secante de α =sec α = ………….(5)

• tangente de α =tg α = ………….(3) • cosecante de α =cosec α = ..…….…..(6)

En todo triángulo rectángulo podemos considerar la hipotenusa como radio vector respecto de los ángulos agudos, y los catetos como abscisa u ordenada. Así para el ángulo α tenemos:

ρ = CA___

= hipotenusa

ABx__

= = cateto adyacente a α

B Cy__

= = cateto opuesto a α

Las relaciones (1), (2) y (3) expresan las siguientes propiedades:

♦ Un cateto es igual a la hipotenusa por el seno del ángulo opuesto al primero. ♦ Un cateto es igual a la hipotenusa por el coseno del ángulo agudo adyacente al primero. ♦ Un cateto es igual al otro cateto por la tangente del ángulo opuesto al primero.

y=BC=ρ AC

x=AB=y BC

x=AB=ρ AC

ρ=AC=x AB

y=BC=x AB

ρ=AC=y BC

cateto opuestohipotenusa

cateto adyacentecateto opuesto

cateto adyacentehipotenusa

hipotenusacateto adyacente

cateto opuestocateto adyacente

hipotenusacateto opuesto

C

B Ax

ρα

βy



11Luego de haber leído las informaciones, realiza las siguientes actividades:1. Calcula la medida de los elementos pedidos de los siguientes triángulos rectángulos.

a. La hipotenusa y el cateto desconocido b. Los catetos c. El perímetro y el área d. x, y, el perímetro y el área

2. Resuelve los siguientes planteamientos.

a. Calcula la longitud que debe tener una escalera para que apoyada en la pared alcance una altura de 2,50m y forme con el plano del piso un ángulo de 63º.b. Determina la longitud de la sombra de una varilla de 120cm plantada verticalmente en el piso, a la hora en que la inclinación de los rayos solares forma un ángulo de 35º20´, con respecto al horizonte.

c. Desde un punto situado a 1,2 km del pie de un edifi cio, se observa el extremo superior del mismo con un ángulo de elevación de 18º.¿Cuál es la altura del edifi cio en metros y en kilómetros?d. Las bases de un trapecio isósceles miden 12m y 18m. Los ángulos de la base miden 45º cada uno. ¿Cuánto mide su área?

e. Calculo el área de un campo rectangular, sabiendo que un alambrado que lo atraviesa diagonalmente tiene una longitud de 350m y forma un ángulo de 72º con el ancho del campo.

f. Con los datos de la fi gura que corresponden a un cono circular recto, realiza las siguientes actividades:

Fuente: Ministerio de Educación y Cultura. Matemática y sus Tecnologías, Primer Curso. Educación Media. 2007. Paraguay

Nivel 2 . Educación MediaLeo las informaciones: Lugar geométrico:Se defi ne como la trayectoria de un punto que se mueve bajo ciertas condiciones.

A

B

C

a

b

c=33cm 65

0

N

M

O 27025´30´´

n

o

m=16cm

X

Y

O

x

o=106cm

250

G=23,1cm

P1

P2 P3

P4

d

X

Ejemplo: El lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que siempre se encuentra a igual distancia de cada lado de un ángulo, es la bisectriz del ángulo. Recordemos que un punto está dado por pares ordenados (x,y), llamados coordenadas del punto y que el mismo puede ubicarse en el plano cartesiano, colocando cada coordenada sobre los ejes coordenados correspondientes (de abscisas y de ordenadas), y trazando las perpendiculares a cada uno de los ejes que los cortan en el valor de cada coordenada. El lugar donde se cortan las dos perpendiculares trazadas forma el punto (x, y).Utilizando las coordenadas de los puntos (x, y) en un plano cartesiano, se pueden determinar informaciones al respecto, como por ejemplo: la distancia que existe entre dos puntos en el plano, el punto medio entre dos puntos y además; si los puntos son vértices de un polígono se puede calcular su perímetro como la suma de las medidas de sus lados.

Distancia entre dos puntos en el plano:Conociendo las coordenadas de dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano, por ejemplo: P1(x1, y1) y P2(x2,y2), se llama distancia (d) del punto P1 hasta el punto P2 a la medida del segmento P1P2 y está dada por la raíz cuadrada de la diferencia de sus abscisas al cuadrado más la diferencia de sus ordenadas al cuadrado.

En forma gráfi ca y analítica se tiene:

Dadas las coordenadas de los puntos extremos de un segmento: A(x1, y1) y B(x2, y2), se pueden determinar las coordenadas del punto medio del segmento AB mediante;

• La abscisa del punto medio del segmento es igual a la semisuma de las abscisas de sus puntos extremos; o sea:

Entonces el punto medio está dado por las coordenadas x e y .

Punto medio de un segmento: ( x , y )

a. Calcula la longitud que debe tener una escalera para que apoyada en la pared alcance una altura de 2,50m y forme con el plano del piso un ángulo de 63º.

Recuerda que para resolver situaciones problemáticas debes considerar los siguientes procesos:

Datos del problema Incógnita del problema Función trigonométrica que emplearé Efectúo la operación Formulo la respuesta Compruebo el resultado

Fuente: Ministerio de Educación y Cultura. Matemática y sus Tecnologías, Primer Curso. Educación Media. 2007. Paraguay

a) Formula el enunciado de una situación problemática.

b) Halla el valor de la incógnita h.

c) Verifica el proceso y resultado obtenido.

y

h

d = √ (x2-x1)2 + (y2-y1)

2

x1 + x2 x = 2

y1 + y2 y = 2

• La ordenada del punto medio del segmento es igual a la semisuma de las ordenadas de sus puntos extremos; o sea:



12 "Desde casa también se aprende" Perímetro de un polígono:Conociendo las coordenadas de los vértices de un polígono, se puede calcular su perímetro mediante la suma de las medidas de sus lados.

Luego de haber leído las informaciones, realiza las siguientes actividades:1) Determina la distancia entre los siguientes pares de puntos y construye la gráfi ca. a) A(2, 5) B(1, 1) b) K(-2, -3) L(6,-3)

Grafi ca en cada caso:

b) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES DE FUNCIONES:Para facilitar el cálculo de los límites de funciones podemos recurrir al uso de las propiedades que se enuncian a continuación:

1. Límite de una constanteEl límite de una constante es igual a la constante; es decir: , siendo k la constante.2. Límite de una constante (k) por una función f(x)El límite de una constante por una función es el producto de la constante por el límite de la función, es decir:.3. El límite de la suma de dos funciones El límite de la suma de dos funciones, si x tiende a un número a es igual a la suma de los límites de esas funciones, es decir: 4. Límite del producto de dos funciones El límite del producto de dos funciones, si la variable x tiende a un número a, es igual al producto de los límites de las funciones, es decir: 5. Límite del cociente de dos funcionesEl límite del cociente de dos funciones (si existe), cuando la variable x tiende a un número a, es el cociente de los límites de las funciones, siendo el límite del divisor distinto de cero, es decir: , siendo

3) Calcula la longitud del segmento que une los puntos medios de los lados AB y BC del triángulo de vértices A (2,6), B (8,4) y C (-2,-2).

4) Calcula el perímetro del polígono cuyos vértices son los puntos P(2,7), Q(4,1), R (0,-5) y S (-2,1). Grafi ca.

5) Grafi ca en el plano cartesiano y halla el perímetro del polígono que tiene como vértices los puntos A (-2,-1), B (1,-4) y C (4,5).

a. DEFINICIÓN DE LÍMITE DE FUNCIONES:Cuando los valores de x se aproximan cada vez más a un número a, por la derecha y por la izquierda y, en consecuencia, los valores de f(x) se aproximan cada vez más a un número L, decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a a es igual a L, y escribimos:

Fuente: Ministerio de Educación y Cultura. Matemática y sus Tecnologías, Tercer Curso. Educación Media. 2007. Paraguay.

LUEGO DE HABER LEÍDO LAS INFORMACIONES, REALIZA LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES:1. Halla los límites de las siguientes funciones:

2. Calcula el valor de los siguientes límites:

3. Resuelve las indeterminaciones en los siguientes casos para calcular el valor:

4. Verifi ca los siguientes límites:

c) LÍMITES INDETERMINADOSEn el cálculo de límite de funciones, frecuentemente nos encontramos con expresiones en las cuales no es posible determinar cuál será la tendencia. Eso ocurre cuando se llega a las situaciones del tipo:

Estos casos se denominan indeterminaciones.

Se trabajarán los casos: y ,

1. Cuando nos encontramos con una indeterminación del tipo para

funciones racionales, debemos recurrir a la factorización del numerador y del

denominador, con el fi n de simplifi carla y así salvar la indeterminación.

2. Cuando nos encontramos con una indeterminación del tipo para funciones

racionales, debemos dividir cada término del numerador y del denominador

por la mayor potencia de la variable utilizada, con el fi n de simplifi carla y así

salvar la indeterminación.

Estamos construyendo la nueva escuela pública paraguaya

lim limkf(x)=k f(x).x→a x→a

lim [f(x) . g (x)]= f(x). g(x)x→a

limx→a

limx→a

lim [f(x)+g (x)]= f(x)+ g(x)x→a

limx→a

limx→a

lim k = kx→a

g(x)≠0limx→a

f(x)

g(x)limx→alimx→a

limx→a

f(x) =g (x)

2) Encuentra las coordenadas del punto medio de los segmentos cuyos extremos son: a) C(-3, 6) y B(1, -3) b) E (-4, 5) y F(-2,5)

f(x)

xa

y

Nivel 3 . Educación Media

f(x)= Llimx→a

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