REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR

INSTITUTO PEDAGÓGICO DE BARQUISIMETO“DR.LUIS BELTRÁN PRIETO FIGUEROA”

Componentes rectangulares de una fuerza en el espacio

Integrantes :Rafael MartínezEleazar Peña Eduardo Camacho

COMPONENTES RECTANGULARES

DE UNA FUERZA EN EL ESPACIO.

Una fuerza F en el espacio tridimensional se puede descomponer en componentes rectangulares Fx , Fy y Fz. Denotado por:

xx θFF cos yy θFF cos zz θFF cos

zyx θ ,θθ y

Los ángulos que F forma, respectivamente, con los ejes x, y, y z se tiene:

Una fuerza de F se puede descomponer en una componente vertical Fy y una componente horizontal Fh ; esta operación , se lleva acabo en el plano OBAC siguiendo

las reglas desarrolladas en la primera parte de este capitulo.

*Las componentes escalares correspondientes son:

Fy= F cos θy Fh= F sen θy

*Fh se puede descomponer en dos componentes rectangulares Fx y Fz a lo largo de las ejes x y z , respectivamente.

• Una fuerza de F se puede descomponer en una componente vertical

Una fuerza de F se puede descomponer en una componente vertical

• De esta forma, se obtiene las siguientes expresiones para las componentes escalares de Fx y Fz:

• Fx= Fh cos Ф = F sen θ y cos Φ• Fz= Fh sen Φ = F sen θ y sen Φ• La fuerza dada F se descompone en tres

componentes vectoriales rectangulares :• Fx, Fy y Fz.

• Aplicando el teorema el teorema de Pitágoras a los triángulos OBA y OCD:

• F²= (OA)² =(OB)²+(BA)²=F²y + F²h• F²= (OC)² =(OD)²+(DC)²=F²x + F²z• Eliminando Fh de estas dos escalares y

resolviendo para F, se obtiene la siguiente relación entre la magnitud de F y sus componentes escalares rectangulares :

• _______________• F=√ Fx² + Fy² + Fz²

Problemas de vectores en el espacio.

• 1.- Una fuerza de 500 N forma ángulos de 60°, 45°, y 120° con los ejes x, y, y z respectivamente. Encuentre las componentes Fx, Fy, y Fz de la fuerza.

• A) Fx = F cos θx = Fx = 500 N x cos 60°• Fx = 500 N x 0.5 = 250 N.• Fy = F cos θy = Fy = 500 N x cos 45°• Fy = 500 N x 0.7071 = 354 N.• Fz = F cos θz = Fz = 500 N x cos 120°• Fz = 500 N x -0.5 = -250 N.

• Este último resultado es importante. Siempre que una componente tenga un ángulo obtuso, la componente tendrá un signo negativo y viceversa.

• 2.- Una fuerza tiene las componentes Fx= 20 lb, Fy = -30 lb, Fz = 60 lb. Determine la magnitud de la fuerza resultante F, y los ángulos Θx, Θy y Θz.

• _______________ F=√ Fx² + Fy² + Fz² ________________________F =√(20 lb)2 + (-30 lb)2 + (60 lb)2

_____________________________

F =√400 lb + 900 lb + 3600 lb ________F = √4900 lb F = 70 lb.

• b) cos θx = Fx/F θx = 20 lb/70 lb = 0.2857.

• θx = cos-1 0.2857 = 73.4°.

• cos θy = Fy/F θy = - 30 lb/70 lb = -0.4285

• θy = cos -1 -0.4285 = 115.4°.

• cos θz = Fz/F θz = 60 lb/70 lb = 0.8571.

• θz = cos-1 0.8571 = 31°.

• 3.- Una fuerza en el espacio, tiene un valor de 2500 N, y sus componentes Fx = -1060 N, Fy= +2120 N, Fz = +795 N. Calcular los ángulos de dicha fuerza, con respecto a los ejes x, y, y z (Θx, Θy, Θz).

• Cos Θx = Fx/F =- 1060 N/2500 N = - 0.424• Θx = cos-1 - 0.424 = 115.1°.• Cos Θy = Fy/F = 2120 N/2500 N = 0.848.• Θy = cos-1 0.848 = 32°.• Cos Θz = Fz/F = 795 N/2500 N = 0.318• Θz = cos-1 0.318 = 71.5°.

• 4.- Determine la magnitud y dirección (Θx, Θy, Θz) de la fuerza F= (260 N)i-(320 N)j+(800 N)k.

• ____________• F = √Fx² + Fy² + Fz²• ___________________________• F = √(260 N)2 + (-320 N)2 + (800 N)2

• ____________________________• F= √67600 N + 102400 N + 640000 N• ________• F = √810000 N

• F = 900 N.

• b) cos θx = Fx/F θx = 260 N/900 N = 0.2888. θx = cos-1 0.2888 = 73.2° .

• cos θy = Fy/F θy = - 320 N/900 N =

• -0.3555 θy = cos-1 – 0.3555 = 110.8°.

• cos θz = Fz/F θz = 800 N/900 N = 0.8888

• θz = cos-1 0.8888 = 27.3 °.

• 5.- Determine la magnitud y dirección de la fuerza F, (cosenos directores) (Θx, Θy, Θz) dada por la ecuación:

• F= (320 N)i+(400 N)j-(250 N)k.• ____________• F = √Fx² + Fy² + Fz²• ___________________________• F = √(320 N)2 + (400 N)2 + (- 250 N)2

• ____________________________• F= √102400 N + 160000 N + 62500 N• ________• F = √324900

• F = 570 N.

• b) cos θx = Fx/F θx = 320 N/570 N = 0.5614. θx = cos-1 0.5614 = 55.8° .

• cos θy = Fy/F θy = 400 N/570 N =

• 0.7017 θy = cos-1 0.7017 = 45.4 °.

• cos θz = Fz/F θz = -250 N/576 N =

• - 0.4340. θz = cos-1 -0.4340 = 116 °.

• 6.- El tirante de una torre, está anclado por medio de un perno en A. La tensión en dicho cable es de 2500 Newtons. Determine las componentes Fx, Fy y Fz de la fuerza que actúa sobre el perno, conociendo que dx = -40 m, dy = +80 m, dz = +30 m..

• A. Fx=-1060 N, Fy= +2120 N, Fz= 795 N

• ____________• d = √dx² + dy² + dz²• _______________________• d = √(-40m)2 + (80 m)2 + (30 m)2

• ____________________________________

• d = √ 1600 m2 + 6400 m2 + 900 m2. • ________• d = √8900 m2.• d = 94.33 m

• Fx = dx F• d• Fx = - 40 m (2500 N)• 94.33 m• Fx = - 0.4240 (2500) = -1060 N.• Fy = dy F• d• Fy = 80 m (2500 N)• 94.33 m• Fy = 0.8480 (2500) = 2120 N.• Fz = dz F• d• Fy = 30 m (2500 N)• 94.33 m• Fy = 0.3180 (2500) = 795 N.

• 7.- Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección dada por los ángulos Θy=55° y Θz=45°. Sabiendo que la componente de la fuerza en x (Fx)= -500 lb, determine a) las otras componentes (Fy y Fz) y la magnitud de la fuerza y b) el valor de Θx.

• Lo primero que hay que hallar es el ángulo faltante es decir en este caso Θx.

• cos2 Θx + cos2 Θy + cos2Θz= 1 despejando • cos2 Θx tenemos:• cos2 Θx= 1- (cos2 Θy + cos2Θz).

• Sustituyendo valores: • cos2 Θx = 1 - (cos2 55°+ cos2 45°)• cos2 Θx= 1 - (0.3289+0.5)= 1-(0.8289)= 0.1711. • Este resultado es el resultado del coseno

cuadrado de Θx, por lo tanto se le saca la raíz cuadrada para obtener el valor del coseno de Θx:

• ______• cos Θx= √0.1711 = 0.4136.

• Una vez obtenido el valor del coseno de Θx (0.4136) se procede a hallar el valor de la fuerza resultante F, utilizando la componente Fx, tomando su valor absoluto, es decir de forma positiva. con la ecuación:

• Fx = F cos Θx. despejando F tenemos: • F= Fx/cos Θx• Sustituyendo valores: F= 500 lb /0.4136 = • 1209 lb.

• Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F, ya se pueden hallar las otras dos componentes de la fuerza Fy y Fz con las ecuaciones ya conocidas: Fy= FcosΘy y Fz= Fcos Θz.

• Sustituyendo valores: • Fy= 1209 N x cos 55° F y= 1209 N x 0.5735• Fy= +694 N• Fz= 1209 N x cos 45° F= 1209 N x 0.7071=

+855 lb.

• Finalmente se halla el valor del ángulo Θx, mediante la siguiente ecuación:

• Fx= Fcos Θx. Despejando cos Θx= Fx/F. Sustituyendo valores tenemos: cos Θx= -500 lb/1209 lb= cos Θx= -0.4135.

• Θx= cos-1 -0.4135. Θx= 114.4°.• Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la

componente tiene un signo negativo, el ángulo respectivo será obtuso y viceversa.

• Recapitulando: las respuestas son:• Fy= +694 lb, Fz= +855 lb, b) F= 1209 lb, c) Θx= 114.4

• 8.- Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección, definida por los ángulos, Θx=69.3° y Θz=57.9°. Sabiendo que la componente y de la fuerza es de Fy = -174 lb, determine: a) el ángulo Θy, b) las componentes Fx y Fz de la fuerza y la magnitud de la fuerza F.

• Lo primero que hay que hallar es el ángulo faltante es decir en este caso Θy.

• cos2 Θx + cos2 Θy + cos2Θz= 1 despejando • cos2 Θy tenemos:• cos2 Θy= 1- (cos2 Θx + cos2Θz).

• Sustituyendo valores: • cos2 Θy = 1 - (cos2 69.3°+ cos2 57.9°)• cos2 Θy= 1 - (0.1249 + 0.2823)= 1-(0.4072)=

0.5928. • Este resultado es el coseno cuadrado de Θy,

por lo tanto se le saca la raíz cuadrada para obtener el valor del coseno de Θx:

• ______• cos Θx= √0.5928 = 0.7699.

• Una vez obtenido el valor del coseno de Θy (0.7699) se procede a hallar el valor de la fuerza resultante F, utilizando la componente Fy, tomando su valor absoluto, es decir de forma positiva. con la ecuación:

• Fy = F cos Θy. despejando F tenemos: • F= Fy/cos Θy• Sustituyendo valores: F= 174 lb /0.7699 = • 226 lb.

• Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F, ya se pueden hallar las otras dos componentes de la fuerza Fx y Fz con las ecuaciones ya conocidas: Fx= FcosΘx y Fz= Fcos Θz.

• Sustituyendo valores: • Fx= 226 lb x cos 69.3 ° Fx= 226 lb x 0.3534• Fx= 79.9 lb• Fz= 226 lb x cos 57.9° Fz = 226 lb x 0.5313 =120.1 lb.

• Finalmente se halla el valor del ángulo Θy, mediante la siguiente ecuación:

• Fy= Fcos Θy. Despejando cos Θy= Fy/F. Sustituyendo valores tenemos: cos Θy= -174 lb/226 lb= cos Θy=

• -0.7699 • Θy= cos-1 -0.7699. Θy= 140.3°.• Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la

componente tiene un signo negativo, el ángulo respectivo será obtuso y viceversa.

• Recapitulando: las respuestas son:• Fx= 76.9 lb, Fz= 120.1 lb, b) F= 226 lb, c) Θy= 140.3°

• 9. Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección definida por los ángulos Θx=70.9°,y Θy=144.9°. Sabiendo que la componente z de la fuerza es de Fz = -52 lb, determine: a) el ángulo Θz y b) las componentes restantes (Fx y Fy) y la magnitud de la fuerza F.

• A. a) 118.2°, b)Fx=36 lb, Fy=-90 lb, F=110 lb• Lo primero que hay que hallar es el ángulo faltante es

decir en este caso Θz. • cos2 Θx + cos2 Θy + cos2Θz= 1 despejando • cos2 Θz tenemos:• cos2 Θz= 1- (cos2 Θx + cos2Θy).

• Sustituyendo valores: • cos2 Θz = 1 - (cos2 70.9°+ cos2 144.9°)• cos2 Θz= 1 - (0.1070 + 0.6693)= 1-(0.7763)=

0.2237. • Este resultado es el coseno cuadrado de Θz,

por lo tanto se le saca la raíz cuadrada para obtener el valor del coseno de Θz:

• ______• cos Θz= √0.2237 = 0.4729.

• Una vez obtenido el valor del coseno de Θz (0.4729) se procede a hallar el valor de la fuerza resultante F, utilizando la componente Fz, tomando su valor absoluto, es decir de forma positiva, con la ecuación:

• Fz = F cos Θz. despejando F tenemos: • F= Fz/cos Θy• Sustituyendo valores: F= 52 lb /0.4729 = • 110 lb.

• Una vez obtenido el valor de la fuerza resultante F, ya se pueden hallar las otras dos componentes de la fuerza Fx y Fy con las ecuaciones ya conocidas: Fx= FcosΘx y Fy= Fcos Θy.

• Sustituyendo valores: • Fx= 110 lb x cos 70.9 ° Fx= 110 lb x 0.3272• Fx= 36 lb• Fy= 110 lb x cos 144.9° Fy = 110 lb x - 0.8181 =

- 90 lb.

• Finalmente se halla el valor del ángulo Θz, mediante la siguiente ecuación:

• Fz= Fcos Θz. Despejando cos Θz= Fz/F. Sustituyendo valores tenemos: cos Θz= - 52 lb/110 lb= cos Θz=

• -0.4727 • Θz= cos-1 -04727. Θz= 118.2°.• Con el resultado anterior, se corrobora que cuando la

componente tiene un signo negativo, el ángulo respectivo será obtuso y viceversa.

• Recapitulando: las respuestas son:• Fx= 36 lb, Fy= - 90 lb, b) F= 110 lb, c) Θz= 118.2°