Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena...

164
POLITEXT 111 Mecánica de estructuras Libro 1 Resistencia de materiales

Transcript of Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena...

Page 1: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

POLITEXT 111

Mecánica de estructurasLibro 1Resistencia de materiales

Page 2: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

La presente obra fue galardonada en el octavo concurso"Ajuts a l'elaboració de material docent" convocado por la UPC.

Primera edición: septiembre de 2001Segunda edición: septiembre de 2002Reimpresión: septiembre de 2003

Diseño de la cubierta: Manuel Andreu

© Los autores, 2001

© Edicions UPC, 2001Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SLJordi Girona Salgado 31, 08034 BarcelonaTel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885Edicions Virtuals: www.edicionsupc.esE-mail: [email protected]

Producción: CPET (Centre de Publicacions del Campus Nord)La Cup. Gran Capità s/n, 08034 Barcelona

Depósito legal: B-28576-2002ISBN: 84-8301-622-2ISBN Obra completa: 84-8301-623-0

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las san-ciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o pro-cedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares deella mediante alquiler o préstamo públicos.

POLITEXT

EDICIONS UPC

Miguel Cervera RuizElena Blanco Díaz

Mecánica de estructurasLibro 1Resistencia de materiales

Page 3: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

���

�������

���� ��� ��� ������ ����� � � ��������� ������������ �� �� ����������� � � ���� � ������� ����� � ������� � �������� ���� � � ������ ��� ���� ���� � �� ���� ������ � ������� � ��� �!� ����" �� ������������� ���� � #�������� � $���� � � � %�& ���� � ��������� � ����" �������� � ��������� � � ��� �������� � ��� ������ ��� � ���������� ��$�&���� � ���������� ��� ��� ��'��� ������ ���� �� � ����� ����� � ����� � ���������� � ��(��� ���� ������ ���)� �� � �������"

*� ��� � ������� � ��� (� !���+

� ����� �� ���� ��� � ��������� ���� � ,���� �� '��������� � ����� � � � ��������� � � � #�������� � $���� � � � �� � ������� �� ������ � �'�����-� � ����-� �� ��(���� �� ��'��� �'�.�� ������ ����� ��� �� ������� ���� � �� ��.�� � ��� ������� � ����"

� ����� �� ������� � � ������� ���� � ������ �� '��������� � %�& ����� ��������� � ���� � � �� � ������� �� ������� � �� ���-� ������" � � ����� �� ������� � ��������� ���� � ��� ����� ����� � ����� '��� ������ ��'���� � ���� ����� �" � ������ ������� ������ ���� ���� � �� (��-� ������� /������ � ����.0"

*� �������-� � �� ��'��� ���� � ( '�(����� �� � ��� ���-� � ���1���� 2�� �� �� ��� ��(����� � �� � ��� �&������ � � ���������"

*� ���� ����-� � ��� ��(� (��-�� (����� � ��� ����� � � ����-� ������ � 3445 � � � ������ ����-� � 3444" �� ��� ��(� �������-�� � 6� ���1� ���� �������� ��� � �����-� � ��(�� ������� � ��(��� 2�� �� � � 6� 1��������� � '��� ��������� � ��� ��� '��� ��� � �������-� � �� ���������'�������� � � %�& ���� � ���������"

*�� ����� ������ � �� ��'��� � 7�������� � #�������� � $��1�� � � ��������� � � ������� � � 8��(����� �� �������� � ���� �)� �� �� �1�����-� � � ����� ���-� � �����-� � �� ���" %�������� � ���� ������ �� � ����� � ��'�� 7" 9��� ������ �� (��- � (��-� :�� � ���������"%�������� �������� � �� ��" ������ 9��.& . � #�! 9����. �� � � ���1��-� � �� :���� � ������ �� � ��� ��� � � 7" ������ �� �� �� ����� � �� ���� � ����-�" �� ! ����� � ����� ����� � � �" �" �" � ������� ��������� ���� � � ����� � ��� ��� � � � 8��(����� �� �������� � ���� �)��� ��(�� � ��� �����(�� ������� � ������(���-� ��� � ������-� � ����� �����"

$��� �(� #��. � � �� � ���� 7��.

��� ���� $��� � 5;;3

Page 4: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��� � �������

� ����������� �� ������ ���� �3"3 ���������-� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 33"5 ������� � ����-� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 53"< ��������� � ��� ����" ���� � ������� " " " " " " " " " " " " " " " =

3"<"3 ��������� � ����-� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " =3"<"5 ��������� � ��� ���� � ����6� " " " " " " " " " " " " " " " " " >3"<"< ����-� ��� �� � ��� �������" ����� � ����6� " " " " " ?

3"= ������� ������� � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 43"> ������ � ��� � ������� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 3;3"@ ������� � �'�����-� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 353"? ���� � �'�������� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 3=3"A � ��������� � ��� ����" *� � B��C " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 3@3"4 �������� � ���������-� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 3?3"3; *� � B��C ��� �.��� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 3A

3"3;"3 $-�� � � ����. � ������ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 533"3;"5 $-�� � � ��������� (� ������� " " " " " " " " " " " " " " " " " 5<

3"33 # ���-� ����-�1�'�����-�" ������� ,������ " " " " " " " " " " " 5>3"35 ����-� ����� ����-� ������� � ��:���� � ������� " " " " " " " 543"3< ����-� ���(� �� � ������ � �������� " " " " " " " " " " " " " " " " <3

� ����������� �� �������� �� �� ���������� ��5"3 ���������-� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " <>5"5 �2��(� � � #�������� � $���� � " " " " " " " " " " " " " " " " " " <@5"< ������� � ��.� � ������� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " <?5"= ��������� � � #�������� � $���� � " " " " " " " " " " " " " " " " " <A

5"="3 �������� � ����. " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " <A5"="5 �������� � ���������-� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " <45"="< �������� � �����1D���� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " =;

(

5"="= #��������� ��������� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " =55"> 7:����-� � �'�.�� � ��� ����-� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " =<5"@ # ���-� �� �'�.�� � ������� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " =>5"? ��'�.�� � ��.�� � � ��� ���� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " =?5"A ��������� � ��� ���� � ��.�� ���� " " " " " " " " " " " " " " " " " " =45"4 %����� � � ��� � �������� � � ��� ���� " " " " " " " " " " " " " " >;

5"4"3 %����� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " >;5"4"5 �� ��� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " >5

5"3; ��������� �����&����� 6����&����� " " " " " " " " " " " " " " " " " " >=5"33 *�� � �'�.�� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " >?5"35 #�� ���-� � �������� 6����&����� " " " " " " " " " " " " " " " " " " ?>

5"35"3 $����� � ��������� ���� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ?>5"35"5 $����� � ��� ���� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ?A

� �������� � �� !�<"3 ���������-� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " A3<"5 ��'�.� �,� � ��� ��.� ��� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " A3<"< ������� � (���� ����� � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " AA<"= ��������� ����� ���� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 4<

<"="3 ��������� ����� ���� �����&����� " " " " " " " " " " " " " " " " " 4=<"="5 ��������� ����� ���� 6����&����� " " " " " " " " " " " " " " " 4A

" ������� ��� ��� ##="3 ���������-� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 44="5 E ,�-� ��� ��� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 3;3

="5"3 E ,�-� ��� � ��.�� � � ��� ���� " " " " " " " " " " " " " " " 3;3="5"5 E ,�-� ��� ��!� �� � ��� ������� � ����� " " " " " " " " " 3;?="5"< $������ �&,���� ������� � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 3;4="5"= $-�� �� ������� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 33;="5"> #�������� �������� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 33;

="< E ,�-� ��� �(���� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 334="<"3 ������� � 2� ������� � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 35;="<"5 7'�����-� � F,�-� ��� �(���� " " " " " " " " " " " " " " " " 35=="<"< ������� ����� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 35A

="= E ,�-� ���� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 3<4="> E ,�-� � ��.�� � ���� � ���)� ��(���� " " " " " " " " " " " " " " 3=>="@ ������� � (���� ����� � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 3=@

Page 5: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

(��

� ��� ��� $��%����� ���>"3 ���������-� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 3><>"5 E ,�-� �������� ��� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 3>>>"< E ,�-� �������� �(���� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 3@>

>"<"3 ������� � 2� ������� � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 3@>>"<"5 ������� ����� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 3?A

>"= ������� � (���� ����� � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 3A@>"> G!� � ���� � � ����-� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 34;

>">"3 ����-� ���� � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 345>">"5 ����-� ����� ���� � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 34<>">"< ����-� ������ � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 34=>">"= ����-� � ��� � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 34=

& �������� $������� �##@"3 ���������-� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 344@"5 ���� ���� � � ������� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5;;@"< ���� � �� ����� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5;5@"= ������� ����.�� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 53;

@"="3 ����-� ������ � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 53;@"="5 ����-� �������� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 535@"="< ����-� ���� � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 53=@"="= ����-� ������ � ��-�� � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 53>

@"> ������� � ���)� ���� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 53?@">"3 ������� ������ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 53?@">"5 ������� ����� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5<;

@"@ 7'�����-� � � ��� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5<@@"@"3 H� ������ � ������ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5<A

@"? ��'�.� ������ �(���� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5<4@"?"3 ������� � 2� ������� � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5<4@"?"5 ������� ����� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5=5

@"A ���� � �'�.�� ������� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5=@@"A"3 ������-� � ���� � �'�.�� ������� " " " " " " " " " " " " " 5>3

@"4 ������� � (���� ����� � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5@;

' ������� (����� �&�?"3 ���������-� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5@<?"5 ����-� � ��� ��� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5@>

?"5"3 ����-� ���� � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5@>

���

?"5"5 ����-� ���� � � (���� ����� � " " " " " " " " " " " " " " " " 5@4?"5"< ����-� ���� � 6��� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5?;

?"< ����-� � �����1D���� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5?3

?"<"3 E��� ���-� ��� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5?3?"<"5 %�� ���� � � ������ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5?>?"<"< ����-� ������ � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5?A?"<"= ������� ������ �� ���6�� " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5?4?"<"> �: � �������� ������ " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5A;?"<"@ %�� ���� 6������&���� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 5A@?"<"? ������� ����� � ���)� ���� " " " " " " " " " " " " " " " 5AA?"<"A ������� �� ��� � �� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 54<

?"= ����-� �� ���'�� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 54?

� $��� ���)��� �� ����*��� �� �� �� +� ��� �,�%"3 ������� 6�������� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " <;<

%"3"3 $����� ��&���� �,�� � ��� ����-� " " " " " " " " " " " " " " " <;<%"3"5 $������ � ����� � ��� ����-� " " " " " " " " " " " " " " " " <;@%"3"< ��� ���-� � 2� � '���� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " <;A%"3"= #�����-� � 2� � '���� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " <3;%"3"> �2� ������� � � ����� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " <33%"3"@ � ��� ���� � ����� " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " <3<

%"5 ������� � (���� ����� � " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " <3>

Page 6: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

� ����������� �� ������ ����

�-� .������ ���

*� #�������� � $���� � � � ���� � � � ���������� ���� ���� ��������� � $�&���� � �- ���� 7'���� �� ��� ��� ������ ���� ��� ��2��(�� ������+����� ������ ������ � � �������� /����� � �������0 � � ����. /������ �'��������0 � ����� �- ���� �'���� � �������� � � ����-� � ������� �'�.�� � ��� ���� ��&����" %�������� ����� ���� � �������� � ��� ���� ������-� � ������I ���� ���� � (& � � �� ����� ��� ��� �� ������������ � �� ����� � � ����� � &������ � �� �� ��(������� �� � ������ � ����������)���"

*� #�������� � $���� � ����� �� ����� � �� �����-� � ����� ����� � 1����� ������� � /(����� �� ������ ��"0 ���������� � ����� ����� ���1������� /������ ���� �� ����� ������� ������������ ��"0 � �������� � ���������� � ������� /'�.�� ������ � � �������� ��� ���� � ���� ������� �:��1��� � '��� �������0" ���� ������-� �(�� � ������ � �� �������� ����������� ����� � ������� ���������� ���� � '��� ���-� � ����� 6��-���� � ������� � �� � ��������� ���� �:���� ���� ��� � �� ���-� ��� ����� � �� ����� ���� ��� ������������ � ������� ������� "

*� ���� � � � ���������� �� �� ���� �'���� ��� �� ���&����� � ��'��� �&� ��� � ������ � �������� ���������� � ������� � ����� � �����������������" ���� ��� (� �� ��� �� ����� � �� � �������� ����&���� ������� ���� �� ������ ��� ������� �� (� ��� �� �!�� ������� � ������ ���1���� ��� � ������� �������� ���,������ /��'����� :������ ����� :��������"0 ��� � �� ���-� � � ���� ��� � ��� ��� � ����� �&�����"

7�� ����� � (���� 6���-���� � #�������� � $���� � � ������ ���� �����1� ��� �����:�� � ��������� � ��� � JD�� ��� �� ����2�� � 9� � �� ���� ���� � ����� �7�� G�(�� �������� /3@<A0" � ���� � ������ ������ � � �����

3

� �������� ��� ������� � �������� �

� �� ��� �� JD�� � JD���� 2���� � �� ��&� ������� �������� ������ � �� ��������1�� � #��� B��C� �� 6����� K���� � K�6� ����� �� *���� �� � �6� �%������� ��� ���� �� ���� ����� ���������� � ���� ���� ���� � '��� �����:����(� � � ���� ����� � ��� � J�J ��� �� ����2�� � �6���� L���� /�%���� �' *���� �� G���� �6� ����6� ��� �6 $�6����� %���� 3A;?0� *���� G�1(� /�#����� �� *M��� � $��������� 3A5=0 � ��� � �����1D���� /�#����� ��*M��� � $��������� ����-� � 3A@=0" �� �� ���� � ���� � � � ��������� ������� � :�� � � ��� � JD��� � ��������� � J�J� ��� ���� '��� � �� ����2�� �*" G�(� /3A530� %������� ����6� /3A550� 9��� *��� /3A5>0 � �" � �����1D����/3A@A0� �� ����"7���� ��� ��2��(�� /� ���������0 ������� � #�������� � $���� � � � ����

� � � ��������� ����� ������� ��� �� �&�������� ��� ��� ������� �� � ��1�� � � ��������.���-� � ������ �� � '&�� � ����� � '��� ������ �� &�����������(��" 7�� � ������(� ����� � � 6������ ������� � � #�������� �$���� � ���� ��� ��� ���������� � �� �&� ��� � ���� � � � ���������"�� ��� ��� ����� ����� ������ ���� ���2�� �� ����� � �������� ������� �� ����� �� � '�.�� ��� �.������� ����-�� �'�����-�� ��� ����� ��������� ����� ��� ����� ��" �� �� ������ � � ,���� �(��� � ����� � ���� ��������� ��������� ������ �� �&� ��� �.���� � � ��� � �� ���� �������" �� ������ � ������� � ���� �� �� �������� � ��������� �&����� � � #�������� �$���� � �������� ���6�"

�-� $�� �%�� �� �������

��������� �� ���� �- ��� ������� � � ����-� � �� ������ � '�.�� ,����/����� �� ������ � �������0 � ��� ����� ���������� � ������ �� ��� ����-���� ���� � �� � ��(�� � ��� ����� ��� � ���� �������� � ����� ���� � � ����-�� /( E���� 3"30" ��� �� ,���� ��� ���� � �� ��� ���� �� ������ ��� � ������� ,���� ���� ����� '�.�� � �������-� � ��(�� � � ���:�� � � �� �� ������ �� " *�� '�.�� � �������-� ��� ���� � � �������� � �����-�� �� �������� �������� ��� �� ������� � � �� ���� ��� � ���� ��!� ,�� ��������� ����-� � ����-�"��������� �� ����� ��� � ���:�� � � �� ����� � ���6� ����� � &�

��" * ����� ��� � � '�.� �� � ��� ��� � ���� 2� ��� � ��� ��� ���(�� � &� ��" *� '�.� �� ������ � &� (� ������+

��� ����

��/3"30

Page 7: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

���� ������� � ���� � �

���� ���� �� ���� � � ��� ����

% ��� '�.� �� ������ � &� ��� � ��� ����-� ���� ��� � ���:�� �� ����� ���������" �� � 6�� ��� &� �� � �� ���� ��'���� � &���� � ����� � �� � �:� ���� ����-� � �� ����� ��!� ��� ���:�� � ����+

�� � �������

���

���

���

��/3"50

#����� � ������� � ����-� ���� 6��� �� �������� ���(������+

� *�� ��������� � � ����-� ��� ���� � ��� '�.� �� ������ � ���:��"�� ������ ���������� � ����-� � ��� � ����� � /��0� � ���� � GN��

� *� ����-� ���� � ����� � � � �������-� � � ����-� �����" %��� ��� ����� ���� � ���&� ��'��� ������� ��!� � �������-� ����������� ��� ��� ����-� ���� � ���&� ������� ��'��� ��� ��������� ������"

� �� ��� � � ����-� �� � ���� � � ��� � ��� ���������� ���� �� ������������ ��!� ��� ���������+ � ����-� ���� � � ��� � � ����-���� � � ����-� �������� � ���6� � ���� � � �� ���� � ����� � � E���� 3"5"� �-�� � � � ����-� �� � ���� �+

��� � ���� � �� /3"<0

" �������� ��� ������� � �������� �

���� ���� ����� �� ����� � �� � ���� � �� � ���

�-� � �� ����� �� �/����0���- (����� �� ���������

�-�-� $��%������� �� �������

��������� �� ���� ������� � � ����-� � �� ������ � '�.�� � ��� ����"�� �� ����� � �� ����� � �� � ��� ������ ����� ������� � ����� ����� � ����-� �� ���!� ��!� �� � ��� � �������-� ������� �� ����� ���6� �����"%�� ����� �� ���� ��'���� � (� ���� � '��� 6,������ � � �������1

�� /��� ��� ��0� ��� (���� � � ��� ���� ��� �� � �� ���� ������ � '������������ /�� �� �0 ��� ���� � /( E���� 3"<0" ��� ���� ��� � ������'���� ���!� ��� ����-� �� ��'�� �� � ��� �������� ��!� �� 2� �'���� /( E���� 3"=0" * ������ � � �� ��������� � (��� ����-� ��1�� � � ���� ��� � � � �� ��������� �������� �" *�� ��������� �������� �� ���� �������� � �� (. � �� �������� � �� ��� 2� ��� �� � � ���"

���� ���� ����� ������� � � �!� ���

Page 8: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

���� �������� �� � �������� ���� �� ������ �

���� ��"� ����� �� ������� �� � �� � ���

%��� ��� �� ���� ���� � � 2

������

���� ���!�� �� ���������

�������� ���� ������ ���� � ����� � ��� � ��

� �������� � �� ������� ���� � ����� 2 �������� � �� � ���� � ���:�� ��� � �� ���!��" *�� ��� ��������� � �� ������� �������� � ���� ���:�� �������� ����� 2 � ��� � ���� � ���:�� ��� � �����!�� �� ������� 2 � �� � ��� � � �������� �������� " �� �� ������ �� '���� �� 2� ���������� � �������� ��������� ������(�� �� �� ���� �� ������� � �� 2�" �� �� ���� �� �� '���� �� 2� ���������� � �������� �� ������� ������(�� �������" 7 ��� '���� �� ������� � �����-� ��� ����������� � ������(�� � �����(�� �� � ������-�"

�-�-� � �� ����� �� �/����0��� �� $�� 12

�� ������������ ��� ��� ���� �� ������� �� ���!�� ��� �� ���� �� �� '�1��� �� 2� ��������� /( E���� 3"=0� �� ������ �� ,���� �� �� ������������������ � ���� ��� ��� �� 2�� �� �� ��� ���� � ��� ����� �1������ �� � 2 �� ���� �� ����������� � ����� � �������+

��

�� �� � ��� � �� �

�����

��

� �

��� ��� � ���� � ��� �

������

�� /3"=0

� �

��� ��� � ���� � ��� �

������

��

& �������� ��� ������� � �������� �

%�& ������ ���� ����� �� ������ ��� �� ��������� � ����-� ������1�� ��� �� ���� ������� �� � �� 2� ��� ��"���������� �� ��� ���� ��'���� ���!�� ���� '�.�� �� ������ �

(� ��� ��� ����� ��������� ��������� ��� �� ���� ��� ���" � ������ �6�� �� ���1������� � ��� ���� ��&���� � ���� ��'���� ��� ���" 7 ��� ���� � '�.����!� �� �� �������� ��������� � ������ �� �������� � ��� ���� ����� �� ����6�+

�����

�������

��� ����

� �� � � �

�� � ��

������

������

��� ����

� �� � � �

�� � �� /3">0

������

�������

������

� �� � � �

�� � ��

�� ��� ���� � ��� ���� � ������� � ����� �������� � ��������� � �� ������� �������� �� �� ���� ���� � � ����� �!�� � ������������������� � �� ������� �������� �� � ��� � ��" �� '���� �� � ������������ ����� � 2 � � �� '�.�� �� ���!�� ��� (� ��� ��'���� � ����� �� � �� �" �� ���� � ( � � E���� 3">� � ��������� '��� � ��'�.�� � (� ��� � � �� ��'���� � � ����-� �� � ��:��������� � ��������� �- � �� �� ����� � �� ��������� ��� � � �� ������ ������ ��� ��!� 2 �+

���� ����� �� � �� �� ����� �� � � �

�� � �� /3"@0

� ������ � � �� �

�� � �� /3"?�0

���� ��#� $%&������� � ��� ��� & �� �� ��!� ����

Page 9: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

���� �������� �� � �������� ���� �� ������ '

7 '��� ��& ��� � ����� ��+

��� � � �� �

�� � �� /3"?�0

��� � ��� �

�� � �� /3"?�0

�� � ������ �������� � ��������� � ������� �������� � ���� � �� �� ���� ���� ������� �� �� ��� �� ��������� � �� ������� �������� � ���� �� � ����� ���!� � �� ����� ��� ���� � � �-�� �� � ����� ������ � � ��������� �&����� � � ������� �� ���� � ����� � � E���� 3"@"

���� ��'� ���������� � ��� � ��� � �� � �����

�-�-� (������ ��0�� �� %���� ��0�������- (�������� �� $�� 12

� ������ � ������� �� ���!� ��� �� � ���� ��������� �� ����� �� ������� ��& �:���� �� ��� ��������� ����������+ ��� ��� ��� ���� ���� ���" �������� ��������� �:�� ���� � ������� � �� ����� ��� ���� (��� �����������-�� ���� �� �� � � ����-� �� ���!� ��� ��� ��� � ��� �� ��� �����6� �����"���������� �� � ���� �� �� � �� ��������� � � ����-� �� ��!� ���

�������-� ������� �:���� �� � ��� ���" � �:� �� ����� ��'���� ���� ��� (���� � � ��� �� ���� ��� �� � �� 2� ���������� ��!� ������ � � E���� 3"?" �� ����� ����� �� ���� ����� �� � �� ���������� �� ���� ��� ������� � ����� ��!� ��'��� � ����" *� ��� ����� &� ��� ��& �:���� �� �� ������ ������ ����� �� � �� ���� ,��� ��"*�� ��������� � �� ���� ��� ��� � ���� �� �� � � '����-� � �� ������� ��� ������ ����� ��������� �� ���� ��'���� ��� � ��� ���� � '�.��"�� �

�� � �� � ��� ��

�� ��� �� �� ���� ��� ������ � ������� � � /3"A�0

���+�� � �� � � ����� � �� � /3"A�0

! �������� ��� ������� � �������� �

���� ��(� )������ � ��&�*�

7 '��� ��& ���� �� �

�� � � �

�� � �� � ���+

�� � ��� � � �� �� � �� � /3"A�0

�� � ��� � � ��� �� �� � /3"A�0

$������ ��� � ��� �����+

� � � � /3"40

���� � � � ��� �� (���� ����-� � ���� � �����(����� � � � ���� �������� �� � ���� �+

� �

�� �� ��� � ����� �� � ����� ��� ��

��� /3"3;0

�� �������� � ��������� � �� ������� �������� �� ���� � �������� ��������"7 � ����� � ���� �� �������� ���� � ������� � �� ����� � ��

������ ������ � � ���� � ��� ���:�� ��� ���� �� ���� �� ����� ���� ������ � ����-� �� � ���6� ���:��"�������� � ����-� �� � ��� ���:�� ��� ���� ���� ��� ������ � ���1

����� ���� � � ���:��� ����� ������ �� ��� (��� ���� ��� � ���+

� � �� � ��� �� � � �� �� �� � /3"330

� �� �� � �� �

� � �� �� � ��� ��� ��� ��� � �� ��

Page 10: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

���� �������� ����� ��� #

� (� � � � �������� �������� /��� � ���:�� ���0 �

� �

���� �� � �� /3"350

�-" (�������� %��� �%����

�������� � ,���-� �� ��������� (� � � �� ��������� ��������� � �����-�� ��� � ��� ���:�� �:���� �� ���������� (��� ������� ���� � �� ���

� � � � /3"3<0

��� ������� ��� ��� �������� ��� �� � ����-� � ,� ���(���� ������� � ���:��� � ���� ��� ��� �������� � ���� ��

� � �� /3"3=0

���� � � �� (� � ��� � �� ������� � �-�� � � � ����-� � � �����-��:���� �� ��" ���������� �� ��� �������� ������� � ��� �� �� ���� ����

�� � �� �� � � /3"3>0

���� � � ��� ����. ������� < , <" ��� �� �� ������ � ��������� ��� �6�������� ���� �� ���-�� � ������ �� �������� � ������ �� �� �� � ��

�� � �� � � � /3"3@0

�� ���� ���� ��������� �� ��

�� � ���� � ��� � �� � � /3"3?0

����

�� � �� � �� � �� /3"3A�0

�� � ���� � ���� � ���� � ���� � � ��� � ���� /3"3A�0

�� � �� � /3"3A�0

% � � ��� ����. ��������� � ��" /3"3?0 ��� ���� �� ���� � �� ��� ���� ��� � �� �� � ��� ������ ����� ���" 8�� (. ��������� ������ � ������ ( �� �� ������� � ��������

�� � ��� ��� � � � � �� � � /3"340

�, �������� ��� ������� � �������� �

� ���� �� �� (���� �������� �� ����������� � �� ������ ��������� ������ ��� � ���� � ������� � " �� �� �� ���� �������� �� ���� �� ������������ ,���� � ��� �������� ������� �� ���'������ ���� ������� �������1���� �� ���� �������� �,�-���" �� (���� �� �� � ���� ���6� ���� ���������� � '����� � � ���� � ������� � �� ���� ������� '����� �� ��(� �� ������� � � ����-�"���� �� (� �� � �� ������� ������� � �� ���� ���� � ������ � 1

'���� ��������� �� ��:����� � � �����-� /3"3?0� ��� �� ��� �� ��� ����� ���� � � ������� �� ������ ���� ��������� � �����" *� ��(������� � ������ � � ��(������� � � ��.� � ���� � �������� � ���� �� � ���� � ��������� ���� � �� ���!�� ��� �� � ���� ��� ����� �������� ������� �� �������� ���� � � ���� � �� (� �� � �� ������� ������� �" �� �� � �� �� ����� � ������� ���������� � ��� ���� ���� � �����"

�-� ������ %���� �� ���������

������ �� ��������� ������� � ��� � ���� ���� � � 2 �� ��� � �� � � ��� ����� ��� �� ������� �� ��&� ���� ��������� � � ��� ��� � ������ � ��� �� ���� �� ����� � ��� � �������" ��� � ����� �� 2�� �� � ��� � ��� � ���������� ������ '�.�� �� ������ � ������� � ��� �� � � ��� � � � ���" � ����� ������� ���� ������ �:���� �� �� ��������� ��� ��� ���" ������������� ��������� � ���� � ������� � ��� ��� ����� � � ����� ������ � ����-� ��� ��� ���:�� �������� �� � ������ �� ������ ������ � ������"�� �� ��� �������-� �������� � �� ������ ��� � � ��� � � � � ��� �� (���

���� �� � �:�" �� ��� ����� � ��!� � ,���-� /3"40� � ���+

�� � �� ����� ��� ��� � /3"5;�0

�� � ��� ����� �� ��� � /3"5;�0

���� �� � �� ��� �� ��������� ��������� � � ����-� �� � ����� ��!� � ��� ��" *�� ��������� ���� � �������� � ���6� ����-� � ������ ����1����� �� ��������� �� � �� ��� �� �������� ���� � �������� � � ��� ��������(����+

� � �� ��� �� �� ��� �

� �� ���� �� �� ���

� �� ��� ��� � ��� � /3"53�0

� � �� ��� �� �� ��� �

� ��� ����� �� ���� �� � ��� � ��� ��� � ��� � /3"53�0

Page 11: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

���� ����� ��� �� ���� ��� ��

���� ��+� $����� ��� � � � ��� �

7 �� �������� ������ � ���� �� ,��� �� ���� &��� � � ��� ��� �����-� �������� � � ��� �� � ���+

��� ����� �� ���� �� � ��� � ��� ��� � ��� � � � /3"550

� �������

�� � ���

��� � ��� �

��� ��� ���� � ��

��� � /3"5<0

% ���� � ��� �����-� � ����� 6� � ��� �������� ������� �� �� �� ��� �� ��� � � ����-� �������� � ��� �I ���6�� �������� ��� �� �������� �������1 � � ����-� � �� ������� ���� � ����������� ��� �� ������� ������� �"�� � ������ �� ��������� � ���� � ������� ����������� � ��� � ����

������� �� �� �� /��� ��� ���0 � ����� ������ �� ������� ������� ������� ��� ���������-� �&:�� ����� ���� � � $�6� �� � ����� � � E����3"4" �� � ��� � � � � ������� ���� � �� ���� �� �� ������ ����� ���� ������������� ��� ���� � � � �� ��� � ��� � �� *�� ���������� � ���� � ��� 2� ������� �� (� �� � �� ������� ������� �� �� �� ��� �� � � �% ���� � � ���������-� �&:�� � ���� � � ���� �� �� � �� (� �� � ��

������� ������� �� �� � ��� ����+

�� � �� ��� ��� � ��

���� � ��

��

� ����

/3"5=�0

�� � �� ��� ��� � ��

���

�� � ��

��

� ����

/3"5=�0

�� �������� ��� ������� � �������� �

���� ��,� �-��&�� � ��*� ���� ����� ��� � � � ��� �

������� � ��� ��� &��� � � �� �:� �� �������� ������� � � ����-������ � �� 2� ��� ��" �� ��� ���� � ����-� �������� �&,��� � ����� ����� � ���� � ���� �� � ���+

���� ��

��� � ��� �

���� � ��

��

� ����

/3"5>0

*� ���������-� �&:�� � �� ���� �� � $�6 � ������� ����� � � �������-���� � �� ����� ���,�� � �������� ����� � '��� � �� �&� ���� 2� � � ������������"

�-& $�� �%�� �� ������� ���

��������� �� ���� ��� ���� ������� � � ����-� � '�.�� �� ������� � ���(���� �� ��:����� ���� ��� ����� ��(������� � �- ��� �����" 7��� �� ��,��� ����� � ���� �� �� ��:������� ������ � ����-� � �� '�.�� � ������ �� ���� � �'���" ��������� � � �� ���� �� ���� � �������� '��� ��:������� ����� ���� ��� �� �� ��(������� �� � ������ � ����� � �'�����-� ��� ���)�� ��������� ��� �� ��������� � ����/�������� � ����.0"*� �'�����-� � �� ���� ��'���� � (� ��� � ��������� /��� ��� ��0�

�� ���� �� � ����� � � E���� 3"3;� ��� ��������� � �� ����+�����-� � ��� ���-� /��(������� � �- ��� �����0 � �'�����-� ��� /������ �'���0" G�� �������� � �� ������� � � �'�����-� ��� !�������"

Page 12: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

���� ������� � ���� ����� ��

���� ���.� /����� � �!������� � & �� �� � 0��&�

*�� ���� � ��� ����� ���� ����:��� ��� �������� ������ � ��� ��� ��� ���� �� �� ��������� � �� ��(�� �������� ��� �� �� 2� � '��������� � (� �� � ��� ��� �� � ��� ��� �� � ��� ��� �����(����" %�������� ����������� � �� &��� �� ���� �� '���� �� �� �� ���� � ���� ���� � � �'�����-� (���� ��� ���� � (� � ,������ � ������� �� � ��� �� � ��� �� �

��" � ���� � ��������� �������� � �'�������� ��� � � �� (� ��

��� ��� �� � ���������� � �'�������� ���� �� � �� (� �� ��� ��� ��" 7���� � �������� � ����.� ����� �� �'�������� ��� � ���� �� ���� �� ��� ���)������������ ��� � ������"� �������� ������(�� �� �'�������� ��� � � � �������� � �����(�� ��

� ����������" %�������� � �������� ������(�� �� �'�������� ���� �� ��������� ���������-� � �� &��� �� ���� '������ �� �� � ���� ����������� � �� 2� � '����� � �����(�� �� �� ������� ������ � ���6�� &��� ��"�,������ ���� � ���(� ��� � �� ����� � ��&������� ��-������ ��

������� ���� � ��� ��� � � ���������� ������ �� �� ������� �������� ���(���� ���������� /( ����-� 3"3;0"

���� ����� �������� �� � ��������� & ������� ��������

�" �������� ��� ������� � �������� �

�-' (����� �� ������� �����

��������� �� ���� ��������� � � ��� � � ������ ������ ����� ��" � �:�

���� �'�����-� �! � ������ � � ��� �.������

������ � ����� �� ��������

�� � �'�����-� � ��� ����� ���� �� ���� � � �� ������� � �����1����� � �������� � ��� ������ � �- ��� ����� /( E���� 3"35�0"�� �� ���� � ����������-� �� ��������� ��������� � (����!� � �� �!�� !��!��"

��� �� ������� �� ��������� � ��� �.������ � ����� � ������ � �� � �1�������� �������� ��� ��� �� � � �� ���������� ��

� ���

��/E����� 3"35� � �0+

!� � �� � � ��

��

��

!� � ��

� � �� ��

��

� /3"5@0

!� � ��

� �

��

�� �� �

���� ����� 1�2 �� ���� � 0���� �!������� 1�2 3����4��� ��� ������ � ����������� ��� 1�2 3����4��� ��� ������ � ��� ��������� �

Page 13: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

���� ����� � ���� ������ ��

� ������� ���+� ��� /3"5?0

���� � � � ��� �� (���� � �'�����-� � ���� �������� �:����� �����1���� � � � ���� � �'�������� �� � ���� �+

� �

��� ��

� ��

� ��

� ��

���

� ��

� ��

� ��

��

���� /3"5A0

� ���� � �'�������� � ��������� � 6�� ��������� � �� ���������-� � �� �������� � �- ��� �����"� ���� � � ,���-� /3"5?0 ��� ��������� �� ��������� � ����� �

�'�����-� � �� ����� /���� � �'��������0 � �� ������ ������ � �� ���� ��� ��� ����� � ��� ����� � �'�����-� � ���6� ����"*� �'�����-� ���������� � � ���� ������� � ����� ��������� �! ���

(��� ��+

� � �! � ��� �� �

� � �� �� � �� �

� � �����

�����

���� /3"540

�� �'�����-� ���� � � � ��� 6� � ������ � ,���-�+

���!�� � �� /3"<;0

���� ����� $�� ����� � ��������� � & �� �� & ������

�& �������� ��� ������� � �������� �

�-! ������ ���� 2 ����������- 3�2 �� 4��5�

���� ���� � �'��� ��2� � ����-� � �� '�.�� �� ������� � � ��� ������ ���� ���� � ���� �� '��� ������(�" ���� ������� ��� � ���� � �������� ���� ����� �� ����� � ������� ���������"�� � ����� �� ����� �� ��� �� �'������ &������ �� �'������ �� &�1

�����" *�� �'�������� �� � �� � ������ ������� � ��� ��� � �'�����-� &������ �� ������ � ��� �� '�.�� �� ������� � ��� ��� � �'�����-� �1������ �� � ������ ���������" �� �� (��� �!�� � ������ �� ��'�.�� �� �������� ��������� (� ��� �� �'�������� ������� ��� ������)��� � � ����������� ���6�� ����� ���� �������� &������"��������� �� ,������ ���� �+ � ����� ��� (��� ��������� ���� � � �

E���� 3"3= � � ��� ��� �.������ (���� ! � �� ���� ����� � � � ������������� �� ��� '�.� " �� ����� � ��� ����� � � ���6� (���" *� '�.� " ������� � '��� ����� 6���� �� ���� (� � � � ����2� � ��(� " � ! �������"�� �6�� ��������� � (��� � '��� ����� � ����2���� ������� � ��(� " � ! �������� ���(���� �� ��� (� �� �&,���� � " ���� �� ���� (� � ����"�� ����� ���� &������ �� ���� � ���� � ������ ��������� �� 6�� �'�����-�������� � �� � ������ ������������ � &�����" �� � ���� " ,�� ���� &������ � ��� � ������ � ���� � � � ����� � ������ �'��������������� � � ��� �� ������������ �� � �'������ &�����"�� ����� ,������ ���(���� �� ,��� ��� (� � ���� "�� ��� ��

"� /�� ���� ���� �-,��� � ���0� ����� ���� � ��������� ����� �� �� �������� ���� �� ��� �� ��� �.������� ��� ��������� � � �� '�.�� �� ���������" ��� �������� �:� ������������ &����� ��� � � ����� ���� *�� B��C� �� �� '� ���� ���� �� #��� B��C � 3@?A � �� ����2� �7 �������#�������(� /�' ������0�"

���� ���"� $5���� �� � �&�0� �����6�����4��� ��

Page 14: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

���� �������� � � ���������� �'

$���&�������� � � � B��C � ,��� � � '���+

! � # " /3"<30

���� # � � �������� � ��������� ���� �� � '�.� �� ����� " � ��� �.�1����� ! �� ���� �����" �(������ ��� �������� ���� � � ������ � ��� �� � � �� �������� ��&����� � ����� � � (���"

�-# ���� �%�� �� ��%��%��� ���

�� � ���� � � � B��C � � ����� �� �� ��� �.������� ��������� �� ��'�.�� �������� ��� ��� ���)�� � ���-� � �� ��������� � ����� � �� ���� �� � ���� ������� �� ��� ������ � '��� � ��������� ������ �������� ��� �� ���� �������� � ���������-� � �������� � *��� ����" � �������� � ���������-� ���� � �� �� '���� �� �� ������ � '�.�� �� ������������ � �� ���� ��� ���� � � � ���� � �� '���� �� ������� ��� ������'�.�� �������� �� ������"�� ��� �� ���� ���!� �� ������ '����� �� �� '�.�� "�� "� � "�� ��������

� ���������-� ���� � �� � �������� $ � ��� �.������ � �� ����� ����� � ��!� ��� ���� �����-� � '����� �&+

$ � $� � $� � $� /3"<50

���� $�� $� � $� ��� �� (� �� �� ���� ���������� ��� �.������ ���������!�� "�� "� � "� �� ��� �����(����" �� � � � B��C � �� ���� � �&+

$� � #� "� $� � #� "� $� � #� "� /3"<<0

� ������ �����+$ � #� "� � #� "� � #� "� /3"<=0

���� ���#� /�� ����� � �&���������

�! �������� ��� ������� � �������� �

�� (���� � �� �������� ���������(� � ��������(� � � ����� �� �� � ���� �������� � �������� � ���������-� � ���(� �� � ���� � �� � ��'���� �� �� ������ � '�.�� �� ������ ������ � �� ���� ��� ���������� � ��� � �� �����-� � �� '�.���" $���&�������� �������� � ���������-����� � �� � ���-� ����-�1������ � ��� � � ���� �� ������ �� ��������� �� '������� ��� �"

�-�, 3�2 �� 4��5� ������������

%� ������ � �� ������� � � � B��C� �� ���� � � ��������� ���� ��'�.�� /�������0 � ��� �.������� /'����0� � � ���-� ,����� �� �������� �'�������� �������� � �� �����" ��������� � ��� '���� � ��� �� ����� ����������� � �� ��:����� � ��������� ���� �� ����� ��� ��������������������� � ����� � � �� ����� � � ������ � ����� �� �� ������������ � � �'�����-� ��� ������ � �� �����"%�������� ��������� � ����� ������ ���� �� �� �� ����� ��� ��&��1

����� ��-������ � ���� �� ��� �������� ��&����� ��� ���� � � ����� ����������" ���� 6��-���� � �������� ��&���� �� � ���� ,������� � � ���������� � � ���������-� �� � ���� � ����� �� � :����� �� � �� ���� �����1:������ �� � ����� � '�������� ������ �� ����� � �������-�� ��" % ��� � �� �� �� ����� �� � ������ ��� ��� 6��-���� ��� �����'������� � � ������� �� �����"

���� ���'� $�� �� ��!� ���� � 0��&� � �!������� ��7� � ��� �����

Page 15: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� ��� �� �� ���� ������� �#

��������� �� ���� ��'���� � (� ��� ��� ����� ���� ���!�� �� ��1��������� ��������� � ����-� /E���� 3"3@0" ��� ������ � �'�����-� � ����� � ��� �.� �������� � ���������-�� ������� �� �'�������� ����1����� �� �� ��������� ��������� � ����-� �������� �� ������" �� (���� � � 6��-���� � �������� ��&����� ��������� �� ���� �'�������� ��� �����1����� � � �������-� � �� 2� � '���� ��������"���������� ���� �� ��� ���� ��'���� �- � ���!� � �������� ��

� ����-� ���� � ��� ��� ���� �������" �,������ ��� � ������� ���� ����� � ��-������ �� ������� ���� � �� ������ �'�����-� ���� � � �- �������� �'�������� ��� � ��!� �� ������ � ��� ����� /E���� 3"3@�0" 7����� ��� � � � B��C� ���� �'�������� ��� � �&� ��������� � � ��������� �� �� �� ������� � ���+

��� � ��� � �

��

��%

��� � ��� � �

�� �&��� � �& ��

%/3"<>0

��� � �� � � �

�� �&��� � �& ��

%

���� % � �-�� � � ��������� ���������� � �-�� � � L����� ��� �������� ����� �� � ������ ,������ ���" �� � �� � �� ,������ /3"<>0�� �� ��������� � �-�� � � ��������� ��� � '�.� �� ������ � ���:�����" � �-�� � � ��������� '� ���������� �� #" L���� � 3A;<� ����� ���:����-� ����� � �� � *" G�(� /3A5@0" �� � ��� � ?"3 :���� (� �� ������ �-�� � � ��������� � � ����� ����� � ��� �.���� � ���������-�� ���������(� � ��&����"�� �� ,������ ������ � ���(� �� � �������� ���������� �������

��� (� ������)��� � ����������� ��� � �������� ���� ��� � ��������� � � ��� �

$���� % 9�� $���� % 9��

%�� �� B����-� �

��� � � ���� ���

*��-� ��� 7�� ������ ��

���� ��� % ������ ��

9����� �� E������-� ���

$��� �� ����)� ��

)���� ���� ���&�� � 8�& � ���� ��!� �� ��������

�, �������� ��� ������� � �������� �

����� & �� ��:���� � ��������� ���� ���������� ����� ������ � �������/�" 7" �������� 3A540 �� � ��� �������� '����� � ����� " �� ��� (� � � ��:���� � ������� & � ���� � �� � � � 6����-� (� �� �� �� � �� �"7 '��� ��& ���� � �������-� � � �������� ���� � ����-� �� �����

���� �'�������� ���������� � � ����(�� � � (� �+

��� ���%

��� � ��� � �& ��%

/3"<@0

� � �������-� � � �������� ���� � ����-� �� ����� ���� �'��������+

��� ���%

��� � ��� � �& ��%

/3"<?0

%� ������ �������� � ���������-�� � �'�����-� ��� ��!� 2 � ������ � ����-� ���2���� � �� ������� ���� � ��� ��� �� �& �� � ��� � ��� � ��� "%�& ������ ����& ��� �� �'�������� ��� � �� � ��" �� � ������ � ���+

�� ���%

� &

%��� � ���

�� ���%

� &

%��� � ��� /3"<A0

�� ���%

� &

%��� � ���

��������� �6�� �� �'�������� �� �� ��������� �������� � � � ��1��-� ������ � ��� ����� ���� " �,������ ��� � ������� ��� ��� ����� ��&������� ��-����� � �������-� � ���� ��� � �� ��� � ��������������� � ������� /��� �� ��� � ��� � ��� � � �� � ��� � � ��0 ����� ��� �'���1��-� ���� � / ��� ��� ��� �����(����0 �� ����'��� ���6� ��� ����� ���� ��� �� ���� /( E���� 3"3?0"

���� ���(� 3!������� ��7� � ��� �� � ����

Page 16: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� ��� �� �� ���� ������� ��

��!� � � � B��C� �� ���������� ��������� �&� ��������� � � � ����-��������� �������+

�� ����'

�� ����'

/3"<40

�� �� ��'

���� ' � ��� �������� '����� � ����� �� � ��� �-�� � � ��������� ����1(�� � �-�� � � ����. � ������ � ��� �� ��������� ���"*�� �������� /3"<A0 � /3"<40 ���������� � ,���-� ��� ����� � � � � B��C

��� �.��� ��� �� ����� ��-����" ����� �������� ���� ��(��� ��� ���� �� ��������� � ����� � ������� � '����-� � ����� � �'��������+

�� � (���� � )�� ��� � ' ��

�� � (���� � )�� ��� � ' �� /3"=;0

�� � (���� � )�� � �� � ' ��

���� ���� � �� � �� � �� � � �� �����-� (� ������� � ( � ) ��� �� ��:����� �*���� �:����� �� �� �������� ,������+

( �%&

�� � &���� &� ) �%

�� � &�/3"=30

�-�,-� ������ �� ������� � �������

%�� ����� �� ���� ��'���� ������� ����� ������� � �� ����� � ��� ������� ��� ��� � � � �������� � �� ���� � ���� /( E���� 3"3A�0" ��!� � ���������-� � ���� � � $�6 ���������� /( E���� 3"3A�0� �� �������������� � � �� ����� ��� �� � �� � �� � �� ��� �������� '������ ��&��� � � � ��� �� ��� 2 6��.���� " �� ������ � ��� � � ������� �� ��&������� � ��� �����-� ������� � (� � �� � �� � � � ��� � � ������� �� ��&��������� �� ��� ����-� ������� � (� � �� � �� "�� �� ��������� � ��� ��� �� ���� ��'���� � � ��� ���� 2� �

'���� ��� �� � ������ ��� �� �������� ������� � � ����-� /( E���� 3"340�� ��� �� � �� � �� � �� � �� � �� " �� ��� �������-�� � �������� � ��������� � � � � ���� � ���������� � �� ������� � � �" ��������� ��+

�� � � �� � ��� /3"=5�0

�� � � �� � ��� /3"=5�0

�� �������� ��� ������� � �������� �

���� ���+� 1�2 $����� � ����� � �&�� 1�2 �-��&�� � ��*�

7�������� ��:��������� � ������ ���� �� �������� ��� ��� �� � �� ���������� �� �� � 6��� �� &��� �� �� �� �������" %��� &��� �� �� ������� � ����� ���� ������ (� +

�������

��

��

��

� � �� � ���

� �� � ����� � ��� � ��

/3"=<0

�� �� � � �" �� � � � B��C ��� �.���� � ������� �� �� � � ��� � �� � � ���+

�� ��

%��� � &��� � �

� � &

%� /3"==�0

�� ��

%��� � &��� � �� � &

%� /3"==�0

%��&�+

�������

��

��� �

�� ��� �

� � ��� �

���� �

� �� �

� � �

/3"=>0

��� &��� �� � ���)��" ���� ���� �� �������� /3"=<0 � /3"=>0 � ���+

�� � &

%� /3"=@0

� ������� �� � ��' � ��� ��+

' �%

�� � &�/3"=?0

Page 17: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� ��� �� �� ���� ������� ��

���� ���,� 3�������� ��7� ����� � ����� � �&��

���� ' � �-�� � � ����. � ������" � ���(� �� �� (� � � ���� � )� �1����� ��:���� � *���" �� ������ �� ����� &����� ��-���� (�� ������.����� ��� ���� � �� ��� � ��������� '������ �%� &�� �%�'� - �(�)�"�� �������-� '����� � �.��� ������&������ �-�� � � ����. � ������ �1

� � ������(�� �� � ����� �� � & ��� �" ��� ������ �� � 6�� �������:����� � ������� �����(�� � ����!� ����� " � (� � ������ � &� �����,������ ���� � � �� �� /& � �� �� �� ��0"

�-�,-� ������ �� ������ ���� ����*��� �

��������� �� ��� ����� ��'���� � ���� ���� ��� ��� ������� � � ����-�� ������� ���� � ��� ��� �� �������� ��� ��� ����" *� �'�����-� ��� ��!� �� 2� ��� �� �� � ���� � ��� ��� �� /E���� 3"5;0" �� ����������� (� ��� � ���� ,������ ��� (�����-� ������� ���� �+

�* �

�*��� � ����� � ����� � ���

�/3"=A0

���� �* � ������ � (� ��� ������ � �* � � �� � ������� � ������� � ����� � (� ��� ������ � � �'�����-�"�� � ������� ��:��������� � ��� ������ ��� (�����-� � ���� �+

�* �

�*� � � �� � �� � �� /3"=40

�" �������� ��� ������� � �������� �

���� ���.� 3!������� ��7� � ��� � ������

7 � ���-� ����� � ���(� �� � �� �����-� �!����� � ���� �������������� � (� ���� � ���� �+

�* � � �*

�*� ���� � �� � �� � �� /3">;0

��� ���� � ,���-� � ��� �� �����-� (� ������� � '����-� � �� ���������������� � ����� �� ���� ���� /3"<A0 � � � � B��C ��� �.���� � ���+

���� � �� � �� � �� ��� &%

��� � �� � ��� /3">30

�� ����� ������� � �� ��& ������� ��� ����� ���� � �� �� ����� �� �� � �� � �� � + /����� � ���-� 6�����&����0� ������ (� � � ��� �����-� (� ������� � ���� �+

���� � ���� &�

%+ �

+

,/3">50

����+, �

%

���� &� /3"><0

� ��� �������� '����� � ����� �� � ��� �-�� � � ��������� (� �������� ���� ��������� ���"�� �������-� '����� � �.��� ������&������ �-�� � � ��������� (� �������

�� � ������(�� � ��� ��� ��� �� & � �� �� ���� �� � ��� ��� ����� ��-���� ��:���� � ������� �� � ��������� ��'�� � �� �� �� �������� ���� � ������������ ��������� /, ��0"

Page 18: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� ������ ���� ���������� ������� ����������� ��

�-�� ���� ��� �������6������� ���- ������� � %���������

*� ���-� � �� ����-� � �'�����-� � �� ����� � ������ � '���,������ ������ ������ � ��������" *�� ������ �&� ���� � � � �.� ��� �� � �����-� � � ������-� ��� ��� ������ �� ������� � ����&����� ���� �1.����" ����� ������ � � �.�� �� ������ � �� ,���� � � ����� ��� '�.� "� �����-� � 2 � � �����" * ������ � � &� ������ � � ����-� ����(�� � � ������ � �:� ���� ����-� ������ /����0 � � ���-�+

� �"

�/3">=0

�� ��� ���� ������ � � ������� �� ����� � � ����� �� � � ��������� ���� �������� �� � '�.� �,�� � � �:� ���� �'�����-� �,�� ������ � � ���-�+

� ��

/3">>0

�� � ����� � ��� ������� � (�����-� �� � ��� � �� ��������� ����(1�� � � � ������ � ������� ������ �� � ��� �� �� � � �'�����-� ����(�� ������ ����+

�� ���

�/3">@0

� ����� � � �.� ��������� �����(���� � '�.� " �� ����� � '��� ��� � ����� � ������� �� � ��������� �,�� � � � �� ����������� ����(1�� � �� ����������� � ���� ��( � ����" % ���� � �� ���2����� � (� ���"� �� ��� ��������� � �� �� �� �� ����������� ���2����� � (� �� � ��1��-� � �'�����-� ������ � ��� �� ���" *�� ��� ��� �� � ������ � ��� ��(��� � ������� ��(� � ����-�1�'�����-� � ����� /E���� 3"550"*� ��(� ����-�1�'�����-� ������� ���� � �� ����� � '����� /( ������

� �� �����-� � � ����� �������� ���������(� ,������ �� ���� ��"0 �� � �� �� ������ ��� � �.�� � '��� ���� �.���� ��� ������ �������.�1��� � � ���������� ����� ����" 7 ��� '��� � ������� �� �� �� ����� ����������(�� � � ������� ����� ����������� � ����� �������"

���� ����� $ ���� � ������� & ��5���

�& �������� ��� ������� � �������� �

���� ����� �&�0� � ��� 6�!������� & ��5���

%���� ������������ � ���� ����� � ��'��� � � ��(� ����-�1�'�����-� � ���������� � ��� � �� .���� � ������� ���� ��������+

� ����� �� �������� � ��" �� �� ���� ������ � ���� � � � B��C� ����� � ���-� �� ����-� � �'�����-� � ��� ��� ������� ��'���� (� � �� �� � ��� ���� � �� ������������" *� ������ � ���������� (� � � �-�� � � ��������� � � L���� �%� � ����� " � ��:���� � ������� ��� �� �� �� ���� � ���-� �� � �'�����-�����(�� � � ���������� � & � �����

� ����� ������ � ��" �� �� ���� � ������ � ����� � '��� &������ ����� ��� �� ���.��� �'�������� ������� � �������� � ���� 6������� � �" � ��� ���� ������ ���� � � �&,��� ����-� �� � ��� � ���.���� �� � ����.��� �'�������� �������� ������� ������ �� &������ �� &������" � ���� ��� � ������������ &����� �� ������ ��� � �&� ����� ���(�� �������� � ����� "

� ����� ������ ����" �� �� ���� � ���(� �'�����-� ������ � ������ � ������ �� 2�� � � ������ � �������" � ��� ����� ������ ��� � � � ����-� � ���� � � ��� ����� � �'��� ���� ��������� � � ����-�"

Page 19: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� ������ ���� ���������� ������� ����������� �'

� ����� � ������ ����" �� �� ���� � �'�����-� ������ ��� �� � ��1��.�� �� ������ ������ � � ����-�" B���� �� � ������ � �'�����-� ���������� � �� �'�������� ����(�� � ��� ����� ��� ���'��� � � ��� � � ������� !�� � � �����"

� ����� � ���������� �� � �������� ��%�" % ���� � �� ��������(� � � � �'�����-�� � ����-� ������ ��� ���� ��������� � �'�1����-� � &����� � �������" % �� '�-��� � ��� ���������� ��� �������� � �� (�� ������)��� �� � ������ � ����� ���'�� � �1'�������� � ������ � � ��� �.���-� � ����� � � .��� ���� � � �����"

� ����� � �������� �%� �" �� �� ���� � ���(� �� � ����-� � ������ � � ����� �����.� � �������� � '��� ������ " ��� '�-��� � ��� �.���-� � �� �'�������� ���������� � � ����(�� �� ��� ������ � ����� ���'�� ������ � ������� ��������� *� ����� ������ � ����-�� �� ���� � �� � � �:����-� ������ � � ����-�� �� ��& �� �� ������ &� ������ � � ������ � ��� � �� �� � � ��� &� � � ����������� � �� � ��� ����� � � ������-�" � ������� ����� � ��������� � � �&,��� ����-� ����� � �����"

� ���� � ��(� ����-�1�'�����-� ������ ������� � �� ����� � �������!����� ���� �� 2�� � ��� � ���� �� ������ �� ������ �������1����� � &����� � � ���.�� � ���� ��� �� ��( (��� � �'�����-�" %��� ������� ����� �� �� � 5; �� � �� � 5;; ��� � �� ����� ������� ��� '&�� ��������:��� �"

���� ����� �&�0� � ��� 6�!������� ���� �������� !������

�! �������� ��� ������� � �������� �

�� ���� ����� � ����� �� 2�� �� � '������-�� 6����-� � (����� �1����� ������� �� � ����� ��� .��� � F����� � &����� ��� �:����" �� ��������� � � ���� ���(������ ��� ���� ����-� � F������ �� � � ����������� ��� �'�����-� ������ � ;�5 � /E���� 3"5<0" ����� ����� � ���� ������� �'�����-� /�� � > ��0� ��������� ������������ � ����� ��� � �������� �� ��������"

G� ������� � ���6�� �� � � ���� ������ �� �:�� � �� ����� ������ �����!�� � '&�� � �� �� ������������ ��&���� ���� � ��� ����� � ������������ � ����" %��� �� ��� �!��� � ���������� ����� �� ��� ������� ������������ ��������� '&�� � ��2�� �������� � � � ��� ( ������� �����" �� ��� ���� 6�� '������ � (���� ������ �� ������������ �!��� � � ��� ��������"

7� �)� �� ������� �� ���6�� ����� � '&�� � ,6��� ��������� ��� ��1'��� ��!� ���� �� �������� � �����-� � � ������-�" %�� �� 2�� �� 6����-�� � ������ � �� ���� ����� � ���� �� ������������ ��� '&�� � �����-� ������ �������� ���(���� ��2�" �� ��� ���� �� ������������ � ������-� ����6� �&� �!��� � ����� ��� ����� ��� .��� � �� � F������ � �� �������� �������-� � ���6� ���� �� � �����-�� � ��� � 3; (�� ����� �� ���� ������ � � E���� 3"5="

*�� ���� � ���������-�� � ������� ���� �� ������������ ������ � ���1��-� � � ������-� /��� ��.�� ���� �� ���0� � ��� ������� ����� � F����� �

���� ���"� �&�0� � ��� 6�!������� ���� � *������

Page 20: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� ������ ����� ������ �������� � ����������� �� ��������� �#

���� ���#� �&�0� � ��� 6�!������� �����4��� ���� � ���� � �� ���&����

����� �����" ��� ���� ����� � � ��(� ����-�1�'�����-� � �� ����������� �������� �� ��� � /E���� 3"5>0� � �� �� �- � � �������� �� �������������� � � �� ����� � F�����" ��� ����� � � ���-� � ���� �� �� ��1�� ����� ������ �� ���� 6��.���� � F������ �� ���� ��� .��� � �� ����������� �� �'�����-�� 6������ ��� ��� "

�-�� (������ �)����7 ������� ������0�� 2 ��8 ����� �� ���������

� -���� ������� � ������� ,���� � �� �������� �� � ������� � � ����1���� ��� (� � �:����-� � �� (� � ����� � � ����-� �� ����� ���� ���.� ��� �� ,���� ���� � �� � ����.�� �� '� � ������� � �� �� ��� ��1�� � ����� " %��� � �:� ����� ����� ����� ���� ��� (� � � � ����-� � ��� ����� � ���.� �� ���� � ��������� � �� ���2� � ��� �� � �������� �'�������� ,���(�� ��� �� �������� � ���� � �����" �� �� ����� ��!��� �� �� � ���� ���� � 6������ ������� ���� ����-� ���� � ����-� �F����� /���� � �� 0� ������ �� � �� ����� � '&�� �� ���� 6����-�� � �� ������� ���� ����-� ���� � ����-� � ���� /���� � ��0"��� ������ � � �&������ �� �������� � ���)�� ��� ����2� � ��( � �

����-� �����:����(���� �� ���2� � � ����-� ���� � �� ����������� ��1��� � ������� �" *�� ����(�� ��� ��� �&����� ��� (����� � '�������� ��������� � � ,������� � ���������� �� ��������� �� ������ � � � '��� ���)�+

� ��������"�� ��������� � �� ������������� � ��� �� ����� �������� � ����������� ������ � � �� ���� � 6��������� � ����� � � � ������-� �

�, �������� ��� ������� � �������� �

�� ������ ,������ �� � � �������-� � ����� � �� ���������� � � ��(����� � '�-���� � F����� � �2���-�� �������-� ����� � ������ '������� ��������� � '���� ��� ���� � ���&������ '������ ��"

� ��������"�� ��������� � �� �������� � ������������� � ��� �������� �� ���� � ����:������ � ����� ��� ����� �� /'���� � ��&����� � ������� ��'���� ��������0� �� �� ����:���� �:����-� � � '�� � ������ /����� ��(���� � ����� ,������� �0� �� � (����� ���� ����� � �� ����� .���� ������������� � �� (� ���-� ����� � (��� !�� � � �������� ��"

� ��������"�� ��������� � ��� �#���� � �������� �� �� �� �� 6��-���� ���1� �:����(�� ��������� � �� ���� � �& �� �� �� � ����� ����� .� � ��������� � ��& ���� � �� � ��:�� ��� �������� � ����� � ���� � ��� �.� ����1��� ��:��������"

� ��������"�� ��������� � ��� �#���� � ������������ � �� ���� ��� �1�������� ��� ����� ���������(� �(����� �� ����������� � 2����-� �� ����� � �� ���� �� ����� ��"

� ��������"�� ��������� � ��� �#���� � ����������� � ���������� ������ F2�� � '�-���� � �������-� �����(�� �����-�� �������������� �� ��"

�� ����������� � �:� ����� ������"�� ����� � � '���

���� �����

�� ���� /3">?0

���� ���� � � ����-� ���� � ����� � � � �� ��:���� ���� /� ,������� 1��� ���� 0 �� � ������ ��������� ������ � ��������" *�� �������� ����)��� �� ������ ��� ����� � �� � ����-� � ��� ��� ����� �� ��'�� � (� � � � ����-� ������� I � ���� �� ���� � (� � �&,��� � � ����-� � ��������� �� ���� �� ��

���� � ���� � ���� /3">A0

*� ��������-� � ��:���� � ������� ���� � �� ��� �!�� � '����1�� �� ��� �� � ���� ������ ���� �� ���� � ��������� � � '�� ������� � ������ ���� �� �������� � ������� �����O���-������ �� �������� (���� '� � ������� " � ��:���� � ������� ��� ����� � ������1�� � ���� ���� 2���� � � (��� !�� ������" �� ��� ��� ����� �� ��:����� :2� ��!� � ,������ �������� � �������� ��& ���� � � ��( ���� -����

Page 21: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� ������ ���� ����� � ��������� �� ���������� ��

�� ���� " �� ��:����-� ������� � � ���������-� � ���� ��:����� � ����1��� �� 5 � >� �����&���� (� �� �&� � ��� ��� � ���������-� �� ��� �� ��� � �'�������-�" �� ������� ����!���� � ����� ���������� ��:����� �������� ����� �� 3�> � 5� �� ��������� � ������� � ��& ����� ���������-������(���-� � ����� ���6� �&� ���� 2��"

�-�� (������ �/�������� 2 �������� �� �������� ��

�� � ����-� ����� � 6� ���������� ������� � ����� ������"� �� �������� � ������ � ��������� � ���-� � � ����� ����" ��� ! ���� � �:����� ��� ��� �� ��(��� ����� � � '����-� � ������ � �������� � �� ����� ������� � '�������� ��� ����,�� " ��� ������ � 6������ � �� ����� ������ � $�&���� � �- ���� � � �& �� � � ��������� �� �� ����� � ����2�� ������ ����������� � � ����������� � � ����-�" ���� ��� ��� � ������� ��:�� ������� � ����-� ���� � '��� �� �� ��� �.�� ��2� ���� �� ���,�� "*� ��:�� ��� ����� � � ��:�� ��� �&����� � � �.� ������ ��2� ������ � �������� 2��� �� �� ���� � � �� ��� ������ � ������������ � ������� � ���������� ���" 7���� � �� � 6������ ��� ��( � �� �������-� � �� ����� � ��(��� ������� � ����� �����$���� %������� ���"� �:� ���� ����� %������ /� � ��� �������0 � �� ����� �� ���,�� �

������� � �� (� � ��� �� '����-� � �� ��������� � ���� � ������� /�� �� (� �� � �� ������� ������� � � ���0� �� ��� �� ������� ��� ��(� �� � ����-� � �� ����� ����,�� " %��� ��� ������ �� ���,�� � � ����-� ���%������� � '���� � �������� �� � �������� ��������� ������� ���(� ���"�� ������ �� �� ����� �� ���,�� � %������ � �� ����� ����,�� � �� ���!���� ����-� ���� � � ����-� ���(� �� � ����"� ������� � ����� %������ ���� �� ��� � �� ������ �� ���,�� � ��

������ ������ � ������� �� � ������ ����,�� �" %��� � ,�� �� � �&,�������-� ���(� �� � � ������� �� ��� (� � � � ����-� ������� � �:������ ������ �� �������� ��:���� � ������� � � ����-� ���� ����,�� +

�������� � ���� �����

�/3">40

7 ��� '���� ��� �� � ��������� �������� �������� � ������ ��� �� ����-� � ��� � �:�� ���������� �� ������� ���(� ���� (� �� �� ������� �� ��� (� � ������� "�� � �&����� ������ � ���� ��(��� �:������� ������� � � ����-� ���1

(� ��� �� � ������ � ���� � ��� ���� � �� ��'��� ����� � �� ����"

�� �������� ��� ������� � �������� �

% ���� �:������� � � ������� ������� � ��������" *�� �&� 6������ � ��� ����������+

��� ������ � �� ��

��!� �� ������ ����� '� � ������ �&,��� (� � ���� ��� � ��� � ��������� ������� � � ���.� �� (� � ���� � � ����-� ����" �� ���� �� �� �������������� � ��� �� �� ��� � ����-� ���(� �� �

��� � ��������� � � �� � � /3"@;0

��� ����� �� �� �� ��� ����� � ���� 6����-�� � ��� �� ����������� �� '� � � ����� � ����� ������������ � �����-�� ��!� ��������� � � '�����"

��� ������ � �����

��!� �� ������ ����� '� � ������ � ����-� �������� �&,��� � ���.� (� � ���������� � � ����-� �������� �&,��� � ����� ����,�� " �� ������ �� ������� ������� � ��� �� �� ��� ������ � ����-� �������� �&,����� �

���� � ���

��� � ��

/3"@30

� ��� �� � ����-� ���(� �� � �:� ����

��� � �� � �� /3"@50

��� ����� � ������� ��� ����� � �!��� � �������� � �'�.�� � ������ (���� � �� ��� ������� � � ��( � ���-� 6�����&����"

��� ������ � � ����

��!� �� ������ ����� '� � ������ � ���� � �'�����-� /( *���50 �������� � ������ � �'�����-� � �������-� � ���.� (� � ���������� � � ���� � �������-� ���� � ����� ����,�� " ��!� ��� 6��-����� � ����-����(� �� �

��� �

��

���� � ���� � ��� � ���� � ��� � ����

�/3"@<0

��� ����� � ������� ��� ����� � �!��� � ���� �� ���� � ���������-�� ����� ������� � � ��( � ���-� 6�����&����� � ��� �� ���������� � �� '� �� ����� � ����� ������������ �� ��.� ����� ��!� ����� ���� ��� '�����"

Page 22: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� ������ ���� ����� � ��������� �� ���������� ��

��� ������ � ���������

��� ����� ��� �������� ��� ��� �.���-� � ����� � ���� ��� ��� ������� � �� ��� ����� � � ��( � ���:�������� � ��� � � ���-� 6�����&����"*� ����-� ���(� �� � �:� ����

��� � �� � #�� /3"@=0

���� # � ��������������� � � ���-� �� �� ������� ���� � �����-� � ����1��-�" ��� ����� � ������� ����� ��� ����� � '&�� � ���� �!��� �� � � �� �� ��� � �� ��������� �������� ����������� �� � ���� 6����-� � �� �� ����� ������ ��� ������ ��'���� �� �� �������� � �����-� � ������-�"�� � E���� 3"5@ � ����� �&:����� � ��'���� �� �� ��(��� ������

� '� � �����������" ��� �� ����� � ��� � �������� �� � �� � ������ �� ���� ��������� � �� ������������ � (� �� � ������� ������� � ����� ��������� �� (� � ���� � � ���������� ����-� ���(� ��" ��� ������ ������� � �� ��(�� ��� �:����� ������� � ���������� &������� � ������� ���� � '� �" � �,���� � ���6�� ��(�� ������� � ������ � ����-�������� � � � ���.� �� ����� � �����-�"

���� ���'� $����� ��� � � � ��� �� 1�2 �������� � � 9� : )���� � ;� ����:1�2 �������� � )���� � ��*�6��&����

�" �������� ��� ������� � �������� �

�� � E���� 3"5@� � ������� �� ������ � #��C��� ���� � D�� $��� ����� ����� (� � � � ����-� ����" � ���(� �� �� ������ � #��C�� � ������������ � �� �������� � �����-� � ������-�� �� ��:� ����� ��� ����������� � �����-�O������-�� ��� ��.� ���� ���������" � ����� � D��$��� ��� (� ���� ��� (��-� ��������� � ����� � ����" �� � E����3"5@� � ������� �� ������ � ���� � $�6O��� ��� ��� �� ����� (� � � � ����-� ���� � �����-�" � ����� � $�6O��� ��� ��� (� ���� ������ �.���-� � ����� � ���� ���6� �&� ���,����� � ������������ � � �� ������� �"

Page 23: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

� ����������� �� �������� �� �� ����������

�-� .������ ���

*� #�������� � $���� � �� �� ,����-�� � $�&���� � ��������� ������������ ���� ��� � ��� � � $�&���� � �- ���� �� �� �� � �� ��� ����� � � � ��������� � �� ���� �������� � ��� ��� �� � � ����� � ��� ���� � � ������� �������� ��� ������ ��� �� �� ���-� � '��� ��� �����" ����������� � ��� ��� (�� �:����� '�������� ���� ��+

� &� ��������� � �� �������� �� ��"��� ������" ���� ������-� �'��� � � ������ � �� ����� ������� �� � ��� ���������� � ���������-� �(���� ���-� � � ���� � ������� ����������" %��� � #�������� � $���� �� �� ��� � ��.�� ����&����� /(����� �� ������ ����� 2�� ��"0 �� ��&� ���1������ ����� ���� � �������� � �������� � � ����-� � '�.�� ������ � ��������� ������� � ������� ����� �������� ��"

� &� ��� ���� � ����� '� ���� ���������" ����� 6��-���� ������ ���� ���� �:�� �� ��� �� ��� �� �� ���� ����� �� ��� �� ������ �������������� / �� ��.�� ���� �������� � ��� � ���6��0 ���� �� ������ �12� � ��� ��� �&������� ������������ � / �� ��.�� � ������ ���� ����0"

� ������ � �� ������ �� � '��� �(� �� '��������� � �� ��� �����1� ���� ����������" � ��������� ����� �������� ���� � ���� � ��.���������� ������ � ��� ��"� � ������ ���� � ���������� '�������� ���� ��� �'�.�� ��� ��� ����-�� �������� �����&����� 6����&������ �� � �'�1.��� ��" �� � ! ���� ����-� � ������� � ��� �&���� �������� � � �� ���-� ��������� 6����&�����I ��� �� � ������� �� �������� � ��� ���� � �������1�� ���� � � �� ���-� � � � ������ � '����-� � ������ �� ���� � �� ������� ��� ���-� � �������� 6����&�����"

<>

�& �������� ��� ������� � ����������� � ����������

�-� 90:���� �� �� �������� �� �� ����������

*� #�������� � $���� �� ���� ��� ������� � � $�&���� � ���������� ��1� ���� ��2��(� '�������� ������ � ������ � �� �������� ������ ������ (� �������� � �� ��'��� ������� �� ��� ������ ����� �� ���������-�� (��� !�� "

�� ������� ������� � � ������ �&�������� � ��������-� � �� �1����� � ����-� � �'�����-� � �� �� � ������� (� � ��� ������� �� '���� �� ��'��� ������ � ���� �� � ��������" *� ��������-� � �� ������� ����-� � ������ ��� ������� � �����'����-� � �� ������ � ���������� ���� �� �� ����������� ������(�� � �� ���� � ���� �&������ � ��� �������.� � �������� � �� ��������" �� �� ���� � ��������-� � �� ������� �'�����-� �� � ������ ��� �����'�� �� ������ � ������( �� ��&� ������ ������ � �������� � ������������ � �� ��������"

�� ������ � #�������� � $���� � ���� ���� � �� ���������� � ��������� � ������ � �� �������� ��� �.����" %���� ������� � ������ � ����� ����� � ��� ��� '�������� � �� � � ����� � � �&����� ������ + ������������� � � ���������� � ��������"

� ����� � ���������-� � ��� ������� ���.� �� � ���� ���� � ����" ����� '�� � ������ �� ���� ���� � � �����:��� �� ������� �� �����&� ��� �"���� �����:����-� �(�� � 6�� � '��� ���,������ �� �� �� (� �� � � ��� ����� � ������� ����� � � '��� � ��������� �:����(�� � � �������"�� � ������ ��� � 2��� � #�������� � $���� � ��� (� �� � ������������� � ���������� �����)� ������� �" �� '����-� � �� �� �������������� � ���� � ������������� � �� ����� ������� �� � ���� � ��(� �� ������� � �� ��������� � �����" 7������ � ���� � � '�� � �������� � ������� � � ��� � ����� �����'�� �� �������� �(�����" �� ��� '�� � ��������:�� � ���:�� �� ��(��� �������� ������� � � '�� �(��" �� ��� ��� ������ �:�� � ������� � ���� ���� ������� � �� ������� � ������� /��� ������

���� ���� �� ���� ��� � �������� � � ������ � $���&��&���

Page 24: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

���� ������� � ���� � ������� �'

����� (�(��� ��"0" � ���� ������ � � ���������� � ��� � ������� �� ����"�� ��� ���������-� � ������� � ���)� ������� � �����'������� � ���� ����� �������I �� �� � �� � ������ (� ( � � '�� � �:����-�" � ��������� � '��� �����(� 6���� �� � �����'��� ���������� ����� �� ���������������"

� ����� ������ � ����� � '��� ����&���� � � E���� 5"3� ���� ������� ��� �� � #�������� � $���� � ����)� � � "

�-� $�� �%�� �� %���� 2 ����� ����

� ��� ��� ��������( ���� � "���� � ���� �- ��� ������� �� �� &� � ���� �� � ��( � ������� � ���� �� �� ���� � ��(��� ' �� ��� ������� � � �� � ��� � ������ ����������� ���� � ���6� ���" % � ��� � � ������� �������( ���� ���� � ) � �� ��� � � �� ��(��� ��������� � &� �� � ��� ������� ���� � ������� ������� � � ��.� /( E���� 5"5�0"

*� �����. � � ��.� ��� � ��� ��(� � ������ � ��� � ���� ����� ���� ���� ���"���� /(��� � 6� ��0� ���� ����� /����� (���� �� �-�0 � ���� ����/����� ��� �� ������ ��"0" *� ����-� � � ��.� ��� � �������� � (���� � � ��� � � ��.�� ����� ��� � ���� � ������ ������ � �����"�� �����(����"

���� ���� �� ���� �� 1�2 ��4� ����������: 1�2 ��� ��� � 1�2 <���

�! �������� ��� ������� � ����������� � ����������

� ��� �"����� � ���� ��'���� � ��.� �������� �� ��� ����������� ��:������� �-,���� /( E���� 5"5�0" %��� � ��� ������� � � (������� �� �- ��� ����� �� ��� ������� � ������� ��'���� �" � ��� �"�� � ���� ��'���� � (� ��� ����� �� �� ���� ��'���� � &� � ��� �� ��(������ �� ��� � ��.� ����&���� /( E���� 5"5�0" �� ������ � ���������� � � (��� ���� �� �- ��� '����� �� �� '�� � :��� ��'���� �" *������� � � :�� ��� �� ����� ��'���� � �&����� � ������ � � #��������� $���� �"� ��� ��� � ���� ���� � ��� � ��.� � ��� � � �� � ����-� ��� �

�������� ����� � �� � ��� �� ������ � � �����. � � ��.� � �� ��& �������� ����� ��������� � ���6� � ��� ����" � ��� ��� � �������� ���� � ��� ���.� � ��� � � �� � ����-� ��� � �������� ����� � �� � ��� ������� � � �� ������ � � �����. � � ��.� � �� ��& ������� � ����� ������� �� � � ��� � � �����."� ��� ������� � "����� � ������ ��&���� '����� �� ����� �2 �

��.�� ����&�����" � 6�� � � ������� ���� ������ �� ������� � ����� ����.�� �� '���� � ������� ��&� ��������� � �� ����� � ���� � � �������� ����� � ���� �������" � ��� ������� � ���� ���� � � ������� � ���'����� �� ��.�� � � ��� ����� � �� ��&� �������� � ����� ��������� � ���6�� ��� ����" � ��� � ��������� ���� � � ������� � ��� '����� �� ��.�� ��� ���� ����� � �� ��&� �������� � ����� ������� �� � �� � ��� ����"�� �� *��� � ����&� ���� �������� � ���� �� '�������� ���� �1

������� � ���� � � ��� ����"

�-" ���� �%��� �� �� �������� �� �� ����������

*� #�������� � $���� � � ��� ������ ��� �� � ���� � �� ��������� � 6��-����'�������� �+ �������� � ����.� �������� � ���������-� � �������� ������1D����" *� (� ��. � �� �� ����� �������� ������ ��� ���� ������&�������� � ���� � �����'����-� � ���� ��������� � ���� ������ � �� ��� ���"

�-"-� ���� �%�� �� �������

� �������� � ����. � ��� ���������� ����� � � 6��-���� � ���)�� ��(�1������ �� ����� � ��& ���� � �������� � ���� � ��

*��� �������� � %����"��� � ��� ������� ��"� �� ������ ��� ������(� ����( ��� ��������� ��� ��������� ��������� �� � ����� � ������+,

Page 25: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

���� �������� �� � ��������� �� ������� � �#

���� ���� =��������� �� /�� ����� � �����4

���� 6��-���� ��� ��� �� �� ��(������� � � ������� ������ � ������� ����� ��� ���)��+ �� ��� �.�������� ��������� ��� �� ��������� � ��������� � �� ���� /� ������0� ��������� ��� � ������" �� ��� �������-� ��� ���� � �� �������� � ��� ���� ��� '��� �� � � ������ �'������ � ��� �� �2� � � ��� ��� ����'���� � �� ��� �� ���#������ �� ��� "�� � E���� 5"< � � ���� � ��� ���� � �������� � ����." ��2� � 6��-���� �

���)�� ��(������� /�.�����0� �� ������� � ���������� �- � ������ � ������ ������ � � �� �����I ��� � /��6�0� �� ������� ����� � ��'�����-� � � �������� � ���� � ���������� � �����+

�-"-� ���� �%�� �� ��%��%��� ���

���� �� � �����- � ������ � ������ �� � (& ��� � 6��-���� � ���)�� ��1� �.������� � � ���� � ���&�� � � � B��C� ������ ��� �� � ��� " *��� ���-� � �� ��� �� ������� ��� � ���6� �&� ���� � �� � � ��� �� ��� I ���� � ���� ��:�� ���� � ���� �&������ � �� ��"��� �� ����� �� $��(� �����( ������� � %� �� �������� $��� � �� !����+

%��&�� �� ��� �� � ��� ��� �� ���� �������� � ���������-�" P������ � ��

*��� ��� %� �� ����� � ����� ������� ��"� ��� ������� ��� ������ ��� ���� � ��� ��� %� �������� ���� ��� � ��� ����� �� ����� ������� ��� ������"8�� ���������� �������� � ������ �������� � �� ����� :�� /�������

� �'�������� 0 � ��� ������� ������� � �� ������ � '�.�� �� ���� � ��� � �� �����-� � ���6�� '�.��" ���� ����� �� 2�� �� ��� �.� ���� � ����� �������-� ���� 2� ������������� � � ����� �&� ���� � � ������" �� ����� �

", �������� ��� ������� � ����������� � ����������

���� ��"� =��������� �� /�� ����� � �&���������

��������� � �:����-� � ��& ���� � ������ � ���� � ����� ���� ���������-� ������� � ���� �(����� �:����� � ��� �.����" %���� ������ ����� ��� ��� �.����'������� � #�������� � $���� �"

%��� �� 2�� �� � � E���� 5"= � ����� ��� (��� ��������� ��� � �� ���!��� ������ � ���� ��������� � ��� '�.�� ������ �I �� ������ ��� �����1���� � �� ��� ������� �&� ���� � � � ��� ��'�� � � E����" � ��������� ���������-� ��� ��� �� �� �������� ��(�������� ������� � �'���������� ��(��� ��� � ������� ����� � ����� ������ � ���� � � ���� � ���������� ��(�������� ������� � �'�������� �� ��(���� �� ������ � �� ����� � ��������"

�-"-� ���� �%�� �� +����6;�����

� �������� � �����1D���� ��� �������� � (���� ���� ���� � ��� ��� � ��:�� � #�������� � $���� �� �� �� ���� � ��

*� ��� ��� ��������( ��� ������ %� ��!�� ��"� ��� ������ ���( ��)���� ��� ���� � � �������� � �� ����� � ������( ���� � ��� � �� ���� � ������� ������� � ��� ����� ������� � �� ���� � �� ������ ����������,+

���� 6��-���� ��� ��� �� �� '���� ��� � /'�.�� ����������� ������� (���1����� � ����-�0 �- � �'���� � ��� .��� ��� �.��� � ��� � ��� ��� � �� �������� �� � ������" *� '��� ����� � �� � �� ���� �� ����� � �� ���������(���� ���� ��� �� ��� ��� ��� ���� � ���������-� ���������(� ������ � �� ����1��� � ������ �- � �'���� � ����� ������� � ��� .��� ��� �.���� � ��� ����������,�������� ���� � ����� � � ��.�" � ������ ������� � �� .���� �'�������� �� '���� ��� � � ���� 2� � �� 6��� ������ � ���� � � � ���������"

Page 26: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

���� �������� �� � ��������� �� ������� � "�

���� ��#� =�&������� �� /�� ����� � �� �>; � �

�� � ����-� 5"> � �:� ������� � � ����� ��"� ��� ������( ������������� �� ��������� � � '�.� � � ������ �� ����� � �� '�.�� �������� ��� ��� � � ����-�" � �& �� � � �'�.�� 2��� �� ��� '�������� � � ����� #�������� � $���� � � �& �� � � ���������� �� ��� ��!� �������� ������1D����� �� ������� � ��� ����-� �- � ����� � (� � � �����"�� � E���� 5"> � ������ ��� 2�� �� � (� ���.�� ��� ������ �� ����� �

��� ,���� ���" �� ��� ����� ���������� � ������� �������� � (�������� ����� � �������� ��� ������ ����� ���� �� �� ����� � �����I ������ � ,��� � � �� ���� � �� �� '�.�� 6��.���� �" �� ����������� ���������� � ������� ��������� ���������� � (��� � �����I ������ � ,��� � � �� ���� � �� �� '�.�� ��� ������ ����� � 2� � (���" �� ����� ����������� ������ �� ���� � �� '�.�� �������� ���������� ������ �� � �� ���� � '�.�� � �� �"% ��� � �� �� ����� �.������ � �� ���������� � ���������� � � ��

������� �� ������ ��� ��'���� �� ��� �.���-� � '���� � �& �� � � ��������� �� ���� � ����� � � E���� 5">" ��!� �������� � �����1D����� �� ��������� ����� � �� .���� ���� � � �� ��.�� ������ ,� ���(����� � ��1���� �� ���� � �� '�.�� ��������I �� .���� ,����� �� �������� � (��'������ �� �� '���� ��� �� � � ��������-� � �� ����� ������� ���&������������ �&� ����������"

"� �������� ��� ������� � ����������� � ����������

�� � �&����� ������ � ������ � ����� ������� � �� ���� ������� �� 6��� ��������� �� �������� � �����1D���� � �� ���� � � ���� ����� �� ������� ��� �.����" � �������������� � �� ��.�� �� 6��� � '����-�� �� �� ����� ��� ��������" - �������� � ������� �� ������������ ���������(��������� ��� ���� � ������ � '��� ������� �� '���� ��� � � �� .����� �� �� �� �� ����� �� �� ���� � ��� '��� �� ��� �� ���� �"

�-"-" ������ ����� ����*��� ��

��� �� �� ��������� '�������� � ��������� � ���� �� � �� �� ����� � �#�������� � $���� � ��� (& ����� �� ��.�� ��� ���� � ����� ����������+

� .����� � �� �������" �� ��.�� � �����. ��(�� �� ����� � ��(����� ���� ��� � ����� � ���-� � ����� � �� ��.��" �� ��� ���-� ���'�������� ���)�� �� '���� � � ��(���� ���� �� � ������1� � ��& ���� � ������������ � �� ������� � ��� �.� �� ,�������������� ��� ��.�� � �����. ���"

� .����� � ��� �������/

< 0��������+ *�� ��������� ����(�� � � �� ��.��� ����� � ���6����� � ���)�� � ���-� � �� �������" ���� � ������ ��� �� ����� �� �������� � �����1D���� � �� 6��-���� � �'�����-� � ��������� �� � ��� �.�� 6������ ���" �� ��� ���� �� ��������������������� � �� ������� ���� ��� ����� �� �� ��.�� ����� �����. ������ ��� �� �� ��(������� ��� ���)��" �� ��� � ���������� � �� ������ ����1��� �-��� ��������+

-

��

���

� ��� ��.�� ���� � 6����-� �����

-

��

���

���� ��.�� ���� � 6����-� �������

-

��

��

����� ��.�� ���� � ��� �������

-

��

���

������ ����

< 2��������" �� ��.�� � ����-� (���� � � (�����-� � �� �������������(�� � �� � ����� � ���" *�� (�������� ������ � �� ����1�������� ��������� � �� ������� ������ '���� ��� � �� ��(� ���� �������� � �����1D����"

Page 27: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

���� �������� �� ����� ��� �� ��� ���� "�

�-� =�8�� ��� �� ��������� �� ��� �� ���

7��� ��� (��� ������� � � ����-� � �� ������ � ����� ,����� ����������� ��� ����-� ��� ��� ����� �� ��(�� � ��.� � ��� ����� ��� � ���� ������������ ��� � �� ��� � � ����-� ���������� �� ���� � ����� � � E���� 5"@"� ������ � '�.�� /������� � �������0 �� ���!�� ��� � (��� �� ��� �

��� ���� ��&����" �� ������ ��� � ������ � '�.�� �� ���!� ��� � ��� ���� � ��.� � ��� � ������ � '�.�� �� ���!� ��� � ��� ���� �� ��� ���� � � (��� �� �+

��� � ��� � � /5"30

%�������� ������� ������� ����� � ���� � ��(��� ' � � ����-� �� ������ ��+

�����

� �����

� � /5"50

��������� �6��� �� ������� ��� ���� � �� ��� ���� � � ��.� ��� ���� ��� �� �� ��� ���� ,����� � ������ ����� �� ,���� ���� '�.�� ��������-� �� ����� ���� � 2�� �� ��� � ��(�� � � ���:�� � %��� � ������ 2�& ��� � ��� ��� ���� '�.�� �� ������ ���� � ��� �� ���� �.�� �� ������ �� ����� ����� � '� ���

�" 7 '��� ��& ���� � ��� /�0 2�

��� � ��� /�0 ��� '�.� �� ���� �.� � �� ������ �� ���� ����"

���� ��'� �&�4� � ��� �� ��&��� �� & � �����

"" �������� ��� ������� � ����������� � ����������

�� ��� ���� � � ��� ��� �� �+

��� � �.� � ������

� ���� � �

/5"<0

�� ��� ���� � � ��� ��� �� �+

��� � �.� � ������

� ���� � �

/5"=0

������� �� �������� /5"<0 � /5"=0 � ������ � ����� ��� ���� � ��� /������1�� /5"30 � /5"500� � ���+

���� � ��� � � �.� � �.� � � �.� � ��.� /5">�0

� �����

� ������ � ���

� � ���� � � ���

� � � ���� /5">�0

�� � ������ �� ������� �� ��� ��� 2� ��� � ��� ��� ���� � � � �������������"

* ������ �� ���� ������+ �. � �.� � ��.� � �� � ���� � � ���

� � � ���&������� ��+

�. � ���� � ����� � � ���

��� ���

��

�/5"@0

������ � '�.� �� ���� �. � ������ �� ���� �� � �� �� �� � � '����. � ��� � �� � ���

��� � ���� ������ � ����� �� '�.�� �� ���!�� ��� � ����

� � /� � ��� �0� �& �� � � ��� �����" ������ �. � �� � �� �� �� � �'��� �. � ���� � �� � � ���

��� � ���� ������ � ����� �� '�.�� �� ���!��

��� ��&�� � � /� � ��� �0� �& �� � � ��� ������" �� (���� �� ���������������� ������� � �� ����� ���������"

7:����� ���� �������� �,�-��� ���� ��� ���� � ���� � ��(���' � � ����-� �� � �� 2 � � ���� � � ����-� �� ������� � ��� � ���� ������ � � �����. � � (���� � �� 2� ��� �� ��� �� 2� ������� � � ������ � ����-� � /( E���� 5"?0" ��������� � '�.� �� ���� �. ��� ���� 2� ��:� ����+

��'�.� %,� /

��'�.� ������ 0���'�.� ������ 0�

���� � � ������-� � �. ��!� 2

������

Page 28: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

���� ������ ����� � ������ � ��� ��� "�

���� ��(� 3< ���� � �!&�4�� & � �����

%�& ������� ��������� ������ �� ���� �� ��� �� 2�� � �:� ����+

$����� ���� ��

$����� E ��� ��

$����� E ��� ��

���� � � ������-� � �� ��!� 2

������

�-& ���� ��� ����� ��������� 2 ���������

*�� �� ����� �. � �� � � ��� �����(�� ���������� � ���� �� �'�.�� � �����-�� ��� �� �� ����� ��&����� � �� ������ �� ���!�� ��� � ����-� �" �� ���� � �:��- � ������ � ������ ���6�� ������� ��� �� '�.�� � �������-��� ��� ��� � � (��� 2� ��� � ���� �:����� �� ������ � ���:�� � �����-� �"%��� �� ���� � ����� � � E���� 5"A� ��� �� ��'���� � &� ��� � �

����-� �� �����& ��� ����-� ��� �� ��� ��������� � ��� ����-� ���� �����!� 2 �� � ��� ����-� �������� � ��� � ����-� �" *� ����-� �������� ��� ���������� � �� (.� � ��� ��������� ��������� ��!� �� 2� ��� �������� �� ������� ���� ���� �����(����"��� �� �. � �� '��� �� ������ ���(� �� � ������ � '�.�� ������

��'���� � �� ��� ��� ���� �� �� �������� ������ (����� �+

�. �

��

�� �� � �� �

��

�1 ��� �� /5"?0

���� �1 � (��� � ������-� � �� ����� � ���� � ��(��� � � ����-�� ������������ �1 ��� �� ��"

"& �������� ��� ������� � ����������� � ����������

���� ��+� ����� �� �!&�4�� � � ��� �

*�� ������ ������ (����� � � ���� �������� � �� ������������������� ��� ��" %��� � ���� � �� �������� /5"?0 � �������� �+

/ �

��

�� �� � 0� �

��

��� �� � 0� �

��

��� �� /5"A0

%�& ������� � ������ � �� �������� /5"?0 � �������� �+

�� �

��

���� � � ��� ���� � �� �

��

�� � �� � �� � ���

�� � �� /5"40

����� �������� ������ � ���-� �� �� �'�.�� � �� ������� ��������� ��� ����-� � �&� �� ���� � ����� � �� ������ �� �������"*� E���� 5"4 ����� ���(��� � ������ ��� �.��� ��� �� ��������� �

����-� � � ������" *�� ������� ��� � ����-� ��� ������(�� �� ���� ������� �� ����������� ���2� ������(��" *�� ������� ��� ������(�� ��� ��������� ����� � � ���� ��6�� ������ � �� (���� ������ � ������(�"

Page 29: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

���� ������� �� � ��� �� ���� ��� "'

���� ��,� �� 0 �� � ��� �� � � ��� � � ��� ���

�-' ��������� �� %����� �� %���� �����

��������� ��� ��.� � � ��� ���� �� ���� � �� � ����� � � E���� 5"3;"* ������ 23 � � ��� ���� ��� ������� ������ � � �����.� � � ��� ������� � �� ������� ���� � ������ ������� � �� ����� �� ���!�� ��� ���.�"

� ���� � '���� ��� ��� � ��� ����-� ������ � �:� � � '����������" � 2 � � ������ � � �����. � � ��.� � ���� � ��(��� �

���� ���.� $�!&�4�� ��4�� � ��� � ����

"! �������� ��� ������� � ����������� � ����������

� ����-� '� � ������� ��!� ������ ������(� � ����� � � �����." � 2� ��& ������� � � ��� ���� ��� �� ������� � � ��� ������� � ������ � ����� � 2 �� '������ ��� ��� �� &��� � � �� ������ /����6����0" � 2 �� ���� � �� 2� ��� �� � � ������ �� �� ���� ��� �� �� � �,�-���" %��� � ��� 23 ������� ��� � ��� ��� � 2 � � ������� � � ���"% ����� �� '�.�� ,���� �- � � � ��� 23 � � �� ���� �. � �� '�.��

�� ���!�� � ��� � ��� ��� � � ����-� ��& �������� � ���6� � ���� � � �����1��� � �� �'�.� �,� / /��!� 2 �0 � �� �'�.� ������ 0 /��!� 2 �0"�� ������ ����� � � ��� ����� 0� � �� �" �� ����� ����(�� �������� ���� �� � �� '�.�� �� ���!�� � ��� � ��� ��� � � ����-� � ������� �� � ��� 23 � � ��� ������ F��� � � �� !���� �������� ��!� 2 �" *������ ��� ��������� �� � �� ��� �� �� �� ������ ����� � � ��� ����"% '���� � �� �'�.�� � ��.�� � � ��� ���� ��������� �������

���(��� � ������� �� � ����� � � E���� 5"33+

� � �'�.� �,� / � ������(� �� � � �����-� /��!� ������ ������(� � 2� � � ��� '���� 0 � �����(� �� � � ������-�"

� � �'�.� ������ 0 � ������(� �� 6�� ��� � ������ � ������ ����6����/��!� ������ ������(� � 2 � � � ��� '���� 0� � �����(� � ���� �������"

� � ������ F��� � � ������(� �� � ����6���� ��� � ��� '���� /��!� ������ ������(� � 2 � � � ��� '���� 0� � �����(� � ���� �������"

���� ����� �� 0 �� � ��� �� ���� �!&�4�� ��4�� � ��� � ����

Page 30: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

���� �������� �� � ������� � ������ ������ "#

�-! � �� ����� �� �/����0��� �� %����� �� ���

��������� ��� ���� � ��� ������ ��'���� � ��� ��.� ��� � ��������� ��� � �� ���!�� ���� '�.�� ������� �� ������ � �������� � �����1���� �+�� +�� ��!� �� 2� ���������� �� ������ � � �����. � ���6� ������"�� ���� � ����� � � E���� 5"35� � ���+

�0 �� ��� ���� � '�.�� ��!� 2 �+

�/ � +� ��� �/ � �/� � � +� � ��/

��/5"3;0

�0 �� ��� ���� � '�.�� ��!� 2 �+

�0� � +� ��� �0� � �0�� � � +�� ��0���

/5"330

�0 �� ��� ���� � ������� ����� � ���� � ��(��� � � ��� '���� +

��� � 0� ��� ��� � ����� +����

� � 0�� ����

��/5"350

���� � 6� �������� ������ � ������ ��� ����� � �� '�.�� �������"����� �������� ���� �� ������ ��'���� � �� � � � ����� � �� ��

� �'�.�� � ��� (��� ��� � � ��� ����" �� ����� ���� ��� ���� ���������� ������ �������� ��� �� �� � �� �� � �'�.��" �� ����� �&����� 2��� ���� ������ ��(� � ����� ��� �� �� � � ����2� ���6�� ��"

���� ����� ����� � ���� & � ��� ��� � ��4� ����

�, �������� ��� ������� � ����������� � ����������

*� ��� �.���-� � �� �������� ��'���� � � ��� ���� � � ������ ������ (��� � �����. ��� ��� /�� � � ��� ����0� ������� � ���� '�.�� 1������� �� ������ � ������� � ��������� �+�� +�� +�� ��!� ���� ��� �'���� � ���� ���� � '��� ��& ���� � ���+

+� � ��/

��+� � ��0�

��+� � ��0�

��

0� � ����

��0� � �

���

��

/5"3<0

�-# �%�2�� 2 ���� �� �� ����� ����� �� %���� �����

�-#-� �%�2��

� ��� � ��� � ���� ���������(� �������� � ��� ��� ������� � ���� � �����1����-�" *�� ������ ���� � � ��� '����-� � ����� � ����� �� ��(������� � �� �������� � � ������� �� ����� �� ����� ������� � ���� � ���������-�"� ������� � ����������-�� �� ����� � ����� �&� ���� � � �������� � � ���

����" 7��� �� ��� ����-� � ��� ��.� � � ��� ���� ��� �� ����� � ��������� ��� ������ ���������� � � ��� ���� � �� ��� ������� � � ���� ,����(���� ����� � ������ ��!� ����� ���� ��� � �� �� ����� � ����� � � ����-�� �����" �� ���� ���� � ����� �������� ����� ������ � � ������� ���������� �� ����� ��(������" ����� ������� ���� ����� ���� ���� � � �������� ������� � �� '�.�� �� � ������� ������ � ���� � ���������-�"

>�? �%�2� ���%�� � ���� ����� ����

��� ���� � ����� �- � ����� ��(������ � � ����-� � ����� � ��� �����-���������� � ��� ���-� � � �����-� ������� � � ��� � � ����-� � �����/E���� 5"3<0" *� ����-� �� ����� � ��� '�.� ������� � � � �����-� �������� � ��� � ��(������ �������" %������� � �� ����� ���� � ���������� ������ ��� �� � ���-������ �-�� � � � ����-�� �� �� �� ������-� � �����-���� ���������"

>0? �%�2� 8:� � ���� ��� ���

��� ���� � ����� ����� ���� ��� ��(������ � ��� ���-� � � ����-� ������� �� ���� ��� /E���� 5"3=0" *� ����-� �� ����� � ��� '�.� ������-� � �-�� � �����������" � ��������� ���� ��� ���-������+ �� ���������� � ����-� ����� � ��� 2� ������� �� ��� �����"

Page 31: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

���� ������ � ���� � ��� ���� � ���� ���� ��

���� ����� ����� ����� � ��0��

���� ���"� ����� <7� � �����&�����

���� ���#� $�������� ��

�� �������� ��� ������� � ����������� � ����������

> ? ��%����������

��� ���� � ����� ����� ���� ��(������ � � ����-� � ������ ����� � ��� ���-����� � ��� /E���� 5"3>0" *� ����-� �� � ����� � ��� '�.� � ������-�������-� � �-�� � �����������" � ��������� ���� �� ���-������+ ��� ���������� � ����-� � ������ ��� � ����-� � �����"

�-#-� ���� ��

� ��� ���� � ���� � ���� ���������(� �������� � ��� �� �� �� ��'��� ��.���� '���� ��� �������" *�� � ��� ���� � � ��� '����-� � ����� � ����� �� ��(������� ������� � ���� ��.�� ����� � ����� � � ������� �� ������� ���� ������� � �� ��&�" �� ���� ���� � ����� ������� � � ����-� �� ��� ��� ������ � �� ��.�� �������� ��� ����-� �����" ����� ���������� ���� � � � ������� ������� � �� ��� ��.�� �� � ��� � � ����-� � � ��"� ������� � ����������-�� �� ����� � � ��� �&� ���� � � �������� � � �������"

>�? ���� � ����������

��� ���� � � �� �- � ����� ��(������ ���(� � ��� �����-�� �������� ���� ���-� � � �����-� ������� � � ��� � � ����-� � � �� /E���� 5"3@0"*� ����-� �� ����� � �� �� � '�.��� ���� � � �������� ������� �� � ��(������ �������" � �������� �� ������ ��� �� � ���-�����+ �-�� � � ���������"

>0? ���� ��� ��� � ���� ���� �����

��� ���� � � �� ����� ���� ��� � ��� ���-� ���(� � � ����-� � � ��� ������ ��� ���(� � � ����� /E���� 5"3?0" *� ����-� �� ����� � �� �� �'�.�� � �����-� � �-�� � �����������" �� ��� ����� ���-� ����� � ������������� ��� ���-������+ �� ��������� � � ����-� ����� � ��� 2� ������� ����� �����" � ������ F��� � ��������� �� � � ��� ����� ���-�"

> ? ��%���������� � ���� �)����

��� ���� � � �� ����� ���� ��(������ � � ����-� � � ��� ����� � ��� ���-����� � ��� /E���� 5"3A0" *� ����-� �� ����� � �� �� � '�.�� � ������-�������-� � �-�� � �����������" �� �� ���� ����� � ��������� �� ������ �����-������+ ��� ��������� � � ����-� � ������ � � ����-� � � ��"

Page 32: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

���� ������ � ���� � ��� ���� � ���� ���� ��

���� ���'� $ ��� ����4� �

���� ���(� �����&����� � �� � � &�� �����&����

���� ���+� $�������� �� � &�� �-����

�" �������� ��� ������� � ����������� � ����������

*�� ������ � � ��� ���������� ��� �������� � � ��� ���� ���� '&�� 1��� ��� �.�� ��� �������� ������ �" �� �� ����� �!�� � ����� � ����� � � ����-� � ��� /�� ��� ������ � �� ��������0� � �� ������ �!��� ����� � ������ � � ��� ����� � � ���6� ����"

�-�, ����� ����� �����@�� �� � 1�%�����@�� ��

*�� '�.�� /������� � �������0 �� ���!�� ��� ��� ������� ��� ��� ���� ���� ��&����" ���� �����:�� �� ��� '��� �� ������ � '�.�� � �� ������ � � � ������ �� ���� �� �I �� ������ ��� ���� � �� �������� �� ������� ��� ���� � �������� � �� �����( ��� � '��� (����� � ���������� ����+ �

��� � � /5"3=�0��

���� � � /5"3=�0

���� ��� ����� � ���� ��� � �� '�.�� �� ���!�� ��� � �������� ����

����� ������ � ���� ��� � �� '�.�� ����� � �� ����� ������� � ����� �

� ����� � ���� ��� ����� �� '�.�� �"

�� ���� � �������� � ���� ������� � �� � ���� �� ������ ��������(����� � � ���� � �� �������� ��� �� � � '���+�

����� � � ���

����� � � ���

������ � � /5"3>0

���� �� 2� � � ��&� ��� � ��� � � ������� � 2 � � ������� � ������"�� � �������-� � ��� ���� ��&����� � �� ����������� �������� �� �

,���� ����&������� �� ��� �- � �� ���� � � � ������� ��������� � �����2����� ���� �� �� �����'��� ������� ��� ���� ��� ������� � �� ������ � ������� � '��� ,� ����� �� '�.�� � ������� �� ��� � � �������2� ��� � ��� ���������" �� ������ �� �� ��.�� �� '���� ��� �������� ���� ��� ��� � ��� ����� ���� �� � ������� �� '�.�� � �������� ,��� � ��� �� � ������� 2� ��� �� ��.��" %�& ������� �� ������ � ������� ��� ��� � ��� ���� ��2� � ����-� � �� '�.�� � ������� �����!�� � �� ,���� � �� ���� �� ������ � ��"�� $�&���� � ��������� � ��� ������ ��� ������� � �� �� � (� � �

�� �'�.�� �� ���!�� ��� ���� ��� � �� ������� � ����� �� ��.�� �� �����1�� � �������" ������ �� �& �� � ��� � �.�� �������� ��� �.���� �- � ��

Page 33: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� �������� �� ������� � ������������� ��

�������� � �� ������ � ������� � ��� �������� � ������� ��������+�� ���� �������� � ��� '� ������ � ������� ����������+�� � E���� 5"34 � ������ ��� 2�� �� � �������� ��-��&�����" �� �����

������ �� ���-������ �� ��� ���� �� ������� ,���� � �� �'�.�� �� ���!����� ��� ����-� ��� ���� � � ������� ���� 6� �� ��� �.���� �- � �� ������1�� /5"3>0" �� �������� � � E���� 5"5; � ������ ��� 2�� �� � ��������6����&�����" �� ����� ������ �� ���-������ �� ��� ���� �� ������� ,���� ������ ������� ��� �.���� �- � �� �������� /5"3>0� �� �� �� �!�� � ������� � ��������"*�� �������� '������ �� (���� ��.�� ���� � ��&������� ��������1

���� � ��� � �� � ���� ���� � �� ������� ,���� ����� ������� �������������� � ��� ����+ �� ���� �� ����� � ����.��� �� ������� ,���1� � ������� ������ �� �'�.�� � ����� �� �������" % ���� �������� � � ��� ������� '� ������� � ��� ��� �� ( �� 6�� �� ������ � ��������� � �������� �� �� ��� ������� ������ ���(� ���"%��� � � E���� 5"53� � ������ ��� 2�� �� � �������� ��� �� ��� ���

,������ �����&������ ���� ��� ������ �������� 6����&�����" *�� ��� �1������� � � E���� 5"53� ��� 6����&����� ����� ,��� ���� ��������"��� �� ������ ������ �:�� ���� � 6���������� � ��� ������� ���

���������� � �� ���� � ��� � � ����������-� � �� ������� � �� ������� � �� � ��� ������" 7 ��� '��� ��� � � �:� ����� � '� �������� ��� ������� ���� � ��'����+

- � �� + 4 /5"3@0

���� � � �!�� � ������� /,���� � ������0 �� 6�� �� ����� ������ ������ �� �'�.�� �������� � ��� ��� ����-� � � �������� 4 � �!�� � �������� � � ��&���� � + � �!�� � ���� � �� ���� ��(����� � ������� � 6�� �� ���� ������� ��� ��� ������ �� �'�.��" �(��1���� ���� ��� � �� ���� �� ����� � ��(��� � ������� �� � �����&����� ���� �� ������ �����'�� ������������ �� �������� � ��� ���� ��&����"8�� (. �� �� ��� (� � -� ���

- � � � ������� � ����&�����- 5 � � ������� � 6����&���� � ���� -�- 6 � � ������� � �� �������� � ���� -

�� ������ � 3 � *��� 5 � ��� ��� � ���� � ��(� ��� � � ����1����-� � ���� � 6���������� � �� �������� � � ������ � ����� 2�� ��� ������(��"

�& �������� ��� ������� � ����������� � ����������

���� ���,� $���&��&��� �����������

���� ���.� $���&��&��� *�����������

���� ����� �� ���� � *����������� � �� �

Page 34: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� ����� �� ����� � �'

�-�� 3�2�� �� ���������

�� �� �������� ����&����� � ����� �� �� � � '�.� � ������ �� ������ �. � �� ���� ��� ����-� � ��� ���� � � ������� ��� �.���� !������� �� ��������� ��� ���� ��&����" 7 ����� ��� � ,����� � � ����-� 5">� � �:�� ��� ����� ��� � ����-� ���� �� ��������� � ���� �� ����� ��� �� ������������ �,�-��� ���� ��� ���� � ���� � ��(��� ' � � ����-� �� � �� 2 � � ���� � � ����-� � � ������ � � �����. � � (���� � �� 2���� �� ��� �� 2� ������� � � ����� � � ����-� �"%��� ��������� � '�.� �� ���� �. ��� �� 2� ��� �� ��� � �:�� �'�.�

�,� /� �'�.� ������ 0� � �'�.� ������ 0�� �����(����" %�& �����1�� ��������� ������ �� ���� �� ��� �� 2� ��� �� ��� � �:�� ���������� ��� ������ F��� �� � ������ F��� ��� �����(����"�� � ��.� ���&���� � � � ��� ����� � ���� ���� �� 2� ��� � � '����

��� �� �� � ����� �� ������� � �� ���� �� � ��� ���� � � ��.� �������� �� 2� � �� �� �� � �� � ��� � ������ � �����" �� ���� ����������� ����������� � �. � �� � ���� � �'�.� �,� / � �'�.� ������ 0� � ������ F��� ��� ,� ���(����"� ��� ��� � � ����� � ��������� � � ����� � � �������-� �&:��

� � (�����-� � ���6�� �'�.�� � � ��� � �� ��.�� � � �������" �����������-� ���� ������� ��� ���� ��.�� �� ������� � ���� � �� �� ���'�.�� � ���.�� ��� (� �� �&,����" ���� � ��� ��'�����-� ���������� ��� �������������� � �� ��.�� �� ��� (. ������������� ��� � ���������-� � ������� � �� � ���� � �� ������ � ��������"�� ��� ������� �����&���� � ��������-� � �� �� � �'�.�� ���� ��

����� ��������+

3" ��������-� � �� ������� ,�����

5" ��������-� � � (�����-� � �� ��'��� �'�.�� � ���� ��.��

<" ��������-� � �� (� �� �&,���� � �� �'�.��� � ��( � ��.� � ����1���"

*�� ������ ��'���� � �� �� �� � ����� �� ������ � �� �'�.�� ���1����� � � ����-� 5"A ��� � ��� ��� ���� � � 6�� � �:�� � '��� �� ���� �� �� � �'�.�� � ���� ���"% ����������-�� � ���� �� � ����� 2�� �� ��� ��.�� ���� � �������� �

� ��� ����" � ������& � ���(���-� � ������ �������� � �:�� ��� ���� � � ������ � � ��.� ����&���� ��� /����-� 5"A0"

�! �������� ��� ������� � ����������� � ����������

�:��%�� �-�,-�

�� �� � � ����2� �� �� � �'�.�� � � (��� ��� � � E���� 5"55 ������� � � ����-� � � ���� + ���'����� ������ � ���� ��"

������ � ��� ����� �

������ � ����� �� ���������� � ��� ���� � � ��&���� /���� � '�.�� (����1 � ���� �� � ���� � ������� ����� � ����� � ���� � ��� �����(����0���� ������+

*� � *� � +�

I *� � � +

��

�� ������ �� ������� � �� ������ � � � ��� +

*� ��

�+� � *� �

�+�

�� � �� �� �����

*� � � ������� F���� � ����� �� �� ����� ��� ��� ����-� ����� �������� ���� � � ����-� � �� '�.�� �� ������ � �� ��� � � �����" �� ���� ���

��� ��� ����-� � ��� ��������� � � ����� �� � �� �� ���� ���� ���� � ���+

���� � *� � ��

�+ ��

� ��� ��� � ��� � � ��� � ���� ��� ��� �� �&,��� � � ����-� � � �� � �(� � �� � +����� �� ���� ��� ��� ��� ����-� � ��� ��������� � � ����� ��� �� �� ���� ���� ���� ��� ������+

���� � *� �� +

��� �

��

�+�

����

�� ��� �

��� �� ����� � � � (�����-� � ������ F��� � ����- ��� � � ��������� � � ��� ����� (� � �&,��� � ����� ��(���� ����� � � (���� � ���� ���� ���+

��

���

+�

����

�� �

�� � � �

��

� � ���+

���� ���� ���

�� �

� �+��

���(� �� � � � F���� � �������� � ����� �� � ������� � � �� ��(���"

Page 35: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� ����� �� ����� � �#

���� ����� $���&��&�� �� $7���� ���.��

���� ����� ��� � �!&�4�� �� $7���� ���.��

&, �������� ��� ������� � ����������� � ����������

�� � ������ ���� ��

�� �� ��� � �� ���� �. � ��� ����-� ��� ���� � � (��� ������� �� '�.���� ������ � �� ��� � � ����-�" �� �� ���� � �� ���� ��� ���� !���� �����1��� �'�.� ������ 0� �� �� � ������ �� �,� � ��� �� �� � ���� � ��.�"�� ������� �� �� ���� ���� ���� � ��� �� � � � (�����-� � ��������

� (� � ���� � � ����-� *�" �� ���� ��� � ��� ����-� ������� � ��� ���������� � ����� �� � �� �� ���� ���� ���� � ������-� � �. ��� � ����-� � ���� � � ���� � � ����-� *� �&� � �� ���� � � ���� ������ ��������� �� � ����-� � � � ����-� ���������I �� ������ � � � �'�.� ������ � ��� "� ���+

���� �� � 0� � *� � ���+�

���� �� � 0� � *� � +

��� �

�� ��

�+� � +�

�� �� E����� 5"5<�� � � � � ������ �� �������� �������� � �������F���� � � �'�.�� �������� �����(����" � ���(� �� � ��� (�����-��������� � ������ ������� ��� (�����-� ��� � F���� � �� � ���(�����-� ��� � ������ ������� ��� (�����-� ����- ��� � F���"

�:��%�� �-�,-�

*� (��� ����% � � E���� 5"5= ��& ������� � ��� ���� ������ " � 5;; CG � � ����-� � � � ��� ���� ���'����� ������ + � 5; CGN� � ���� �%

�� �� � � ����2� �� �� � �'�.��"

������ � ����� �

%� ������ �� ���������� � ��� ���� /���� �� � � '�.�� (���� �� ���� �� �� ������� ����� � ����� � � ������ F��� �� � � �� -�� �� � � ��� �����2���� � CG � �� ���� ������ �� �������� �������� /( E���� 5"5>0+

*� � *� � *� � ���

�� � ��*� � �*� � ����

�� � �*� � �

�*� � �� � �

Page 36: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� ����� �� ����� � &�

#�� (���� ���� ��������� � ������ �� (� �� � �� ������� � �����1

����� � � � �� ������ � � %+

*� � ��� CG � *� � �� CG

�� � ��� CG �� � *� � �� CG

�� � �� �� �����

�� ���� ��� ������� � ������� � ��� ��������� � � ����� � � �� �� ���� ������ F��� ���� ��� � �����+

���� � ��� � *� � � ���� � ������ � ��� � ��� " ��� � � � � � ��� �� � �� ���� ������� � ��� -�� �"�� ���� �� � ���+

���� � ��� � *� �� ����� �� � ���� ������ � ������� ��� � ��� " ��� � � �� � � ��� ������ � ����� ���� � ���� CG��" �� ���� �%� � ��� ��+

���� � ���� ����� *� ��� ���� +

��� ����

� ����� � ����� ����

�� � ��� � ����- ���� ��� �� (� � �&,��� ������� � ��� ��������� ���� � ������ �� ��� ������� ���� ���� � �� � ��(��� � � � � ������� ������ � (���� �" �� �� ����� ���� � ��� � � � (� � � ������ ����������� ������ � ����� � � � � CG��"

�� � ������ ���� ��

�� �� ���� � �� ���� � �� '�.�� �������� � �� ��� � � ����-� � ��������� � �������� ��� � � � ����� � ����� � (�����-� � �'�.� ������ � �������� � � �������" �� ���� ��� � �� �� ���� ���� ���� ���6� �� ���� ��������� ���� � *�+

0� � *� � ���� CG�� ���� ��� � �� ���� � �� '�.�� � �� ��� � � ����-� � ������� �� (� ���������� ���� � � ���� � � ����-� *� �&� � '�.� �� ����� � �+

0� � *� � �� � ��� CG

&� �������� ��� ������� � ����������� � ����������

���� ���"� $���&��&�� �� $7���� ���.��

���� ���#� ��� � �!&�4�� �� $7���� ���.��

Page 37: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� ����� �� ����� � &�

�� ! ����� � ���� �% � �������� ����� ���������� � �����+

0� � ���� �� � ���� ��� � ���� � ��

�� � ��� � ��� " G-�� �� � ���� ���� � � � �'�.�� ������� ���������� � ��(��� � � � � ������� F���� ����� � � (���� � /�������� ������0� �� ���� ,�� ��� ���� � � ������"�� �� E����� 5"5>�� � � � � ������ �� ������� � �� �� � �'�.�� �

� (��� ���"

�:��%�� �-�,-�

*� ������� ���� � � E���� 5"5@ ��& ������� � � ����-� � � �������� ��� ���� (���� + � <; CGN�� ���'����� ������ ��� 2 � � (������� ��� ����� �� &��� � � ����� � � 6��.���� " �� �� � � ����2� �� �� ��'�.��"

���� ���'� $���&��&�� �� $7���� ���.��

&" �������� ��� ������� � ����������� � ����������

������ � ����� �

������� � �� �������� � ��� ���� � �� �� �� � ��� ��� �� �������,����" ��������� �� � ���� � '�.�� (���� � � � ���� � ������� � ���������� � ��� ��� � ��� /( E���� 5"5?�0+

.� � �� � �� � � � CG

�� � � � ��� �� ��� ���� � � CG ��

���� � � &��� � � ��� �����-� � �� ���� �� � ��

�� � �� �� �����

�� �� ���� ���� ��� � ��� �� � � � ������� F���� � �� � �� ��������� � � (� � �� � � CG�� �� � (��� ��� ��� ��� �����-� � ��� ���������7 � ,��� � /( E���� 5"5?�0� � ���+

���� � ���7 �

� ��� 7 � � ��� ��

����

*� � � F���� � ����- ��� � ��� � � � � ����� �� � ��� CG��� (� � � ������ F��� � � ����-� � � ���� ��" %�& ������� � � (��� ��� ������ �����-� � ��� ��������� 7� � ,��� � /( E���� 5"5?�0 � �����+

����� � ��� 7� �� � ��� 7� �� � ��� ��

����

� ����- ��� �� ��� �� � �� ���� (� � � ������ F��� � � ����-� � � ���� ��� �� � ���� CG��"

�� � ������ ���� ��

�� �� ���� ���� ��� � ��� �� � � � �'�.� ������ � �� � �� � ��"G-�� �� � � � ������� F���� � �� � �� � �������� �� � ������������� ��(��� ���� � �� �"�� �� ����� �� � �� � ���� ��������� � �� ���� � '�.�� ���

� ��� � � ����-�+

0�� � �� 7 ���� � ���

0�� � ��� 7� �� ���� � ���� � ����

%���� �� ��� ��� �� ���� ������� � ��� (�����-� ����- ��� � F���"

Page 38: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� ����� �� ����� � &�

���� ���(� ��� � �!&�4�� �� $7���� ���.��

�� � ������ � ���

�� �� ���� ���� ��� � ��� �� � � � �'�.� �,� � �� � �� � � ���1���-�� �������� � � (� � / � � CG"�� �� ����� �� � �� � � � �,� � � ����� ��������� � �� ���� �

'�.�� ��� � ���� � � ��� � � ����-�" � ���+

/�� � �� 7 ����

/�� � ��� 7� �� ����

&& �������� ��� ������� � ����������� � ����������

%���� �� ��� ��� �� ���� ������� � ��� ���� ���'��" ���(� ��� ������� ����-�� � ���������-� (����� � �� ����������� �'�.�� ������ � �,� � ���� � � �� ���� � '�.��

��. ��� � ����-�� �� � ��� '�.� (���� "

�� �� E���� 5"5? � ������ �� ������� � �� �� � �'�.�� � � �1������"

�:��%�� �-�,-"

� �-���� � � E���� 5"5A ��& ������� � ��� ���� + � 5; CGN�� ���'��������������� ��!� � ������-� 6��.���� � ���� ��� � � ��� '�.�� ����������6��.���� � � <; CG �� ���!�� � �� ������� % � � /���� '�.�� ������ ������� �� ��� �������� ��� ��� � �� ����� % � � 0" �� �� � � ����2� �� �� � �'�.��"

���� ���+� $���&��&�� �� $7���� ���.�"

Page 39: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� ����� �� ����� � &'

������ � ����� �

� �� �� �� � ��� ��� �� ������� � �� ������ ��� �.���� �� ���������� ���� ����" � ����� �� � ����-� 6��.���� 8� � �� � �+

*� � *� � ��

��*� � � � �� � �

�� �� � �����+*� � ��� CG � *� � ��� CG

�� � �� �� �����

�� �� ����� �% � �� � ����� �� �� � � � ������� F���� � �� �" �����1������ ��� �� � ��� � ���� � � ����-� %� � �� �� ���� ���� ���� � �����+

��7� � ���7

����� 7 � ��������� ��� % �� ��� � � (�����-� ��� �� ��� 7 � � ����1����� (� � � ������ F��� � � ����-� �� �� � ��� CG��"%�& ������� � �� � �� � �����+

��7�� � ���7������ 7� � ��������� ��� � �� ��� � � (�����-� ��� �� � � ����-� �

/7� � ��0 ���� (� � �� � �� � CG��"�� ���� ��� ��� ��� ����-� � ��� ��������� � � � ����-� �� � ���

���� � *� �� ��� �

���

�� � �

� ��� � �� �� ����

�� � ��� � ����- ���� ��� �� (� � �&,��� ������� � ��� ��������� ���� � �����-� �� �� ��� ������� ���� ���� � �� � ��(��� � � � � ����1��� ����� � � (���� �" �� �� ����� ���� � �� � � � (� � � ���������������� � ������ � ����� � ���� � CG��"

�� � ������ ���� ��

� �'�.� ������ � ��� ���� �% � �� � �� � �� �" % ���� � � ����-�% (� � � �'�.� ������ ������� ��� � '�.� 6��.���� �� ����� � ���6�����-�" �� ������ � � � �������� � � (� �+

0�� � �� CG

&! �������� ��� ������� � ����������� � ����������

���� ���,� ��� � �!&�4�� �� $7���� ���.�"

%�& ������� � �� � �� � ��� �� (� � � ������ �� � 6���� � ����-� � "�� ���� � �� � �� � � � �'�.� ������ � ��������� � (� � ������������ (� � � � '�.� 6��.���� �� ����� � � +

0�� � �� CG

�� ���� ��� ��� ����� �� &��� � � ����� � � 6��.���� � ��� ��� ����-�������� � ��� ��������� � � ,��� � � ������-� � � �� ���� � �� '�.����� � ��� � � ����-� � ���� �+

0�� � ��*� � � �� ����� �� ��� ��� � ��� � ��� � � (� � 0� � �� � �� CG ��� � ����-� � /� � �0" G-�� ����� � � �� � � (� � � �'�.� ������ � ��� ���� ������� � � ����-� ��&,��� ������ � ���� ��"

Page 40: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� ����� �� ����� � &#

�� � ������ � ���

�� �� �� �� �� � �� �� �,� � ��� � ������-�� ��������� � � (� � ���� � ��������� (���� � � �� �����(�� ������" �� ������

/�� � /�� � ��� CG

�� ���� ��� �� �� ���� ���� ���� � ���

/�� � ����� � � �� ��� �� �� ����

�� � ��� � ��� � ��� �� (� �� ,���� /� � ��� CG � /� � ��� � CG ��� ��������� � � �� �����(����"�� �� E���� 5"54 � ������ �� ������� � �� �� � �'�.�� � � �1

������"

�:��%�� �-�,-�

�� �� � � ����2� �� �� � �'�.�� ��� � ������� � � E���� 5"<;� �������� ��� '�.� 6��.���� � �������� � � ����-� �"

���� ���.� $���&��&�� �� $7���� ���.�#

', �������� ��� ������� � ����������� � ����������

������ � ����� �

� �� �� �� � ��� ��� �� ������� � �� ������ ��� �.���� �� ���������� ���� ���� � '�.�� � ������� /� �0 � � �������-� � ������ F��� �� � � �-�� � � /�� �� ��� ���� ���0" � ��� /( E���� 5"<3�0+

8� �8�� � � � �

*� � *�� � �

8�� 9� *�� 9 � �

*� 9

��8�

9

�� �

� ����+*� � *�� � � � 8� � � � 8�� � �

�� � �� �� �����

�� �� � ��� ��� ��� ����-� ������� � ��� ��������� � � ����� �� � ���

��� � �8� � � � ��

� � ������ F��� ��� � �� ��� � � 9� ��������� (� � � ������ F���� � ����-� �� �� � � �9 �� �� � ����� ��� ��� ����-� ������� � ��� ����������9� �� � � ����-� �� � ���

����� � 8�� �9� �� � � �9� ��

� � ������� ��� ��� (� � �&,��� ��� � �9" �� ���� ���� ��� �������-� ������� � ��� ��������� �� � � ����� �� ��� ������

���� � �8� � � *� � � � ��� ��

� � ������ F��� ��� � ��� (� �� ,���� �� � � �9 � ��� � �9"

�� � ������ ���� ��

% � ��� � �� �� � F���� � ����� �� ����� �� ������� ��� ���'��� ����� ��� � ��" �� �� �� �� � ���

0�� � 8�� � �

0���� � 8�� � �

Page 41: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� ����� �� ����� � '�

���� ����� ��� � �!&�4�� �� $7���� ���.�#

(� �� ���������� ��� �� ������� 6��.���� �" �� � ��� ��� � ���

0��� �

�*� �8�� �

��

�� � ������ � ���

�������� � ���� ���� � � ������� ������ � 6� � � �������� �. ���� � �� �������� � � ������ �� (� �� � �'�.� �,� � ��������� � ���� ��.�"+

/�� � �� � /��� � ��

� � /���� � ��

�� �� E���� 5"<3 � ������ �� ������� � �� �� � �'�.�� � � �1������"

'� �������� ��� ������� � ����������� � ����������

�:��%�� �-�,-&

� �-���� �����&���� � � E���� 5"<5 ��& ������� � ��� ���� + � 5; CGN�� ���1'����� ���������� � ���� ��" �� �� � � ����2� �� �� � �'�.��"

���� ����� $���&��&�� �� $7���� ���.�'

������ � ����� �

� �� �� �� � ��� ��� �� ������� � �� ������ ��� �.���� �� �������� ���� ���� � � �������-� � �� ������ F��� � � -�� � �� �� �" � ��� /(E���� 5"<<�0+

8� �8� � �

*� � *� � � � ��*� � � � � � �� �

�*� � �8� � � � � ��� �� ������ �� ������� ���+

*� � *� � �� CG � 8� � 8� � � CG

���(� �� �� ������� ��� ���������� � ��� � � ������-� ��������� � �-�� �

Page 42: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� ����� �� ����� � '�

�� � �� �� �����

�� ��� ����-� ������ � ���� ��� ��� �.���� �� 2� � '���� ��� �� � �E���� 5"<5 � �� �� ���� � '��� ���� � � ���+

��� � *� ��8� �

� �� �� � � � ��� ��� (� � �&,��� �� � ��� CG��" �� ���� �%� �������� �6��'���� ���� � ����� ������� ��� � ��� � �������� ����� � 2 (���� ������ �� ���� � ���� +

��� � *� ��� ���8� �

� �� ��� ��� � ��� ���� ��� ����2���� ���� ���� � ��� �����+

��� � *� ��8� � � +

��� ��

� �� �� � � �� �

��� �� � ��� �� � �� �� ��

�� � ��� � ����- ��� �� � ��� � � � -�� � � ��� (� �� �&,���� � ��,���� �� ��� � ��� CG��" � (� � � F��� � ���� � � � � CG��" ���(� ��� ���� � ������ � �� ����� � �������� �� F���� � � ����1

��� ��� ��������� ����� � 2 (���� ���� "

�� � ������ ���� ��

�� �� �� �� �� � �% �� ������� ��� ���������� �� �� � � � F���� � �� � ��� " �� (� � � ����� ��������� ��� � ����-� �� ��������� � �����-� � � � %� �����(����+

0�� � �*� �����8� ��� � � �� CG

0�� � �*� �����8� ��� � � �� CG

���� � � &��� � � ��� �����-� � �� ������" �� ���� ��� �� �� �������� ���� � ���

0�� � �*� � + ��� �� ��� � � ��� �

�� � ��� � ��� ��� (� �� ,���� 0� � �*� � 0� � *� � � � (� � �� � � ���� � ���� � �� ������"

'" �������� ��� ������� � ����������� � ����������

���� ����� ��� � �!&�4�� �� $7���� ���.�'

�� � ������ � ���

�������� � ���� ���� �� � �� �� �� �� �,� � � ���� ���" ��� �� ����1��� ����� ��� ������ ��� ��� �������� �����(�� �� ������� 6��.���� � �(���� � � �� ������ �����������" �� ���� � ���� ����� ������������� �� � ������-� � � ���� ��� ��� � ��� � �� �"� ������ ��� �� �� � �'�.�� �,� �

/�� � /�� � ��*� �����8� ����� � ���� � CG/�� � �8� � �� CG

� ���(� �� ��� �� ��������� � ���� ���� �� ���&�� ��� ���������"�� �� E���� 5"<< � ������ �� ������� � �� �� � �'�.�� � � �1

������"

Page 43: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� ������� �� �������� ������������� '�

�-�� ������ ��� �� ����� ����� 1�%�����@�� ��

���� �� � 6� �:���� � � ����-� 5"3;� ��� ������� � 6����&���� ������ �!�� � ������� ,���� �N� � '�.�� ������ ����������� � ���� �� �!�� � �������� � ��� ���� ��&���� �� � ���� �����" *�� ���������������� � ������� ��� ���� �� � ��������� � ��� �� 6����&���� �������� ���������� � �'�����-� � � �������� ��������� �� ����������������� � ��������� ���� � ��(�������" ���������� ���� �������� ��� ��� ��� ���� � �� ( ���������� ��� �� � ������ �� '�.�� � ����(������� � � �������"B�� ��� ������� �&����� ��� ���� �� �������� �������� �+ �#��� �

��� ��"������ /������� ����� �#��� � ��� ����� � �#��� � �$�"������0 � �#��� � %����"��� /������� ����� �#��� � ��� ��������� � �#��� �������0" � ������ � ��������� ���� � ���� � ���� � �� '�.�� ��&������1� ����������� ���� ���-������ � ��� �� ����� �������� �������� � ���������� ���� � ��(�������" � ������ � ��� ���� � ���� � ���� ���� ��1�-������ �� ��(������� � '��� �� ���� �� �� ���������� � ��������� ���� ����� �������� � ��� ���� ��� �� ( ��" %���� ������� � ����� � ��� � *��� 5 � ��� ���" �� �� ������� � ������ ���������� ����� ��������� ������ � � �� ���-� � ��� ������� ���� �� �� ��&������� ����������"

�-��-� �*���� �� ��%���0������

� �#��� � ��� ��"������ ���� �� '�.�� ���� ���-������ � ��� ��" *�� ���1����� � ��� ���� � ����� � '����-� � �� '�.�� �� ������ � � �� �������"�� �� ������� 6����&����� �!�� � ������� � '�.�� ������ �����������,�� �!�� � �������� ���������� � ��� ���� � �� �!�� ��� ����6��� (����� � ��� ����� � '� �������" � � ������ �� ���2���� � '�.�����-����� �������� /������� � ������0� � ���� �� ���������� � ����� �� � �� ������������ � � ������ �� '�.�� �������� �������� ��� �������� ���� �� #�� �� �������� �������� �������� "���" � ���� ����1�� ��� ������� � ��� ��"������ �� ���� ����� ���� � 6� ����� �� ����� �� ��I ��� �����-� �� ����� �� �� ��(������� � � ������� � ��������� ��������� � �� � � ������� ������ " ����� �������� � ,���� � '����-�� �� ���-������ 6����&������ ��� � �� � ����� �� ������ � �������� ��� ����� �&��� ���� �� ���-� ���� ������ ���� ��"

�� *��� 5 � ��� ��� (� (��� � � ���� �� ������ ��� �&� ��� � ������� � ������ �� �� �����-� � �������� ����� ���� 6����&������ (���� ���� ��

'& �������� ��� ������� � ����������� � ����������

���� ���"� $7���� � ���&��&�� *����������

(���� ��������� � �������� ���� ���� � � ��� ����" D���� �6�� � �� �����-�� �� ������ � ��(�� � �� 2�� � ���� �"*� ������� � � E���� 5"<= ��& '����� �� �� �� � ��� � � ��������

����. # �� ������� ��� � ��� �����" � ���� ������ � '�.� �� ���������� �� �� ��� � � ��� ���!� ��� '�.� " ,������� ���� � ����2���"* ����� ��� �� � �� � �� '�.�� �� ������ ���� ��� � �� �� �" *�� ���

�������� � ��� ���� ��&���� �� ���� � ���+��� � �� � �� � �� � " � � /5"3?�0

� ��� � 9�� � 9�� � �9

" � � /5"3?�0

�� �� ��� �� � ���� �� ���-������ � �- � ��� ��������� � �� �� ��� ��� ��� (. 6����&����" � ��� �� 2�� �� ���� '�.� ������� ��" �� '����-�� ����� �� �������� � ��� ���� � ���� ����� ����+

�� � �� � " � �� /5"3A�0

�� ��

" � �� /5"3A�0

*� �����-� �������� ������ ��� �� ( ��� �� � ����� ������� � ����� �� ��(������� � � �������" %��� ��� �.������ (���� � ����� � � � � �������� �� � ���� � � �������� � �� "*�� ��� ��� ��� ��&������� ��������� �� � ��� �� ( � ������

� � E����� 5"<>� � �� �����(����"

Page 44: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� ������� �� �������� ������������� ''

���� ���#� /�� ���� �� �� ������ � ��������������

��� ��� ��� ��� �������� � � E���� 5"<>�� ���2���� � �� ��������� ��� ���� �� � �� � '����-� � � ������� �� � � �����+

�� �"

�� ��

� �� �

�"

�� ��

/5"340

8����� �� ������ '�.�1��� �.������ � �� �� � � � � � ����� �� �� � ���� ��������� �� �� ����������� �� ��� �.������� (���� � � �� ������ � � �

����

�� ���

#�

"

�#� ��

#/5"5;�0

�� ���

#�

�"

�#� ��

#/5"5;�0

���� � � ��� 6��.���� � ������ � ����� ,��� ��� �.������ � ����� �� '����-� � �� ��� �.������� � � � � �� ���� � ����� � � E���� 5"<>�"� ��� �.������ � � � � ����� (� � ���� � �� ��� �.������� � � � ��� ��� ��

�� ��� ���

"

#� ��

#/5"530

� ������ ��� �� ��&������� �������� � ����� � � E���� 5"<>�"�� � ������� �� ���� ��� �2������ � ������� �� ��� ��� ��� ��&����1��� ���������� ��� �.������ � � � ��� ��� �� �� � ���� � � �������� � ���� ���� � ������ ��� ��� � ��

�� � ���# /5"550

���� ���� �� ,������ �������� ��� �� � �� ��� ��� ���� /5"530 � /5"550�� ���

"

#� ��

#�

��

#/5"5<0

'! �������� ��� ������� � ����������� � ����������

� ���� � ����� (� � � � ���-����� 6����&���� �� � "��" �� � �� � ���������� ������ ��� �� �������� 5"34 ����

�� �"

� � �� �

�"

� /5"5=0

����� '�.�� (�:��� �� �������� � ��� ���� ������ �" � � �������� ����� ���� � ��� ������ ��� '&�� ��� ��� � '-�� �

�� ���

#/5"5>0

���(� �� � ���-� � � '�.� �� ���� ������� � �������" � ��� ����� �� (� � ���� ��& ��� ������� ��� ���� � �� ���� ��� '�.�� �������-����� 6����&����" G-�� ������� �� � 6� �� �� ��� �� ������ ���������-� � ��� ���� ������� � ��� ��"������� �� �� ��� �� � ��� ��'� ������"

�-��-� �*���� �� �/����0���

� �#��� � %����"��� ���� �� ��(������� ���� ���-������ � ��� ��� ,���1��� � �� '��� �� � ���� �� ���������� � ��������� ���� �� �� ��������� �����" % ����������-� � ����� �� �������� � ��� ���� � '����-� � �� ��1(������� ��� ������ ��� � ��� � ��� �.�� �� ������ '�.�O��� �.������� �� ����� ����(���� �" �� �� ���������� � ����� �� ������ � ������1�� ��� � ���� �&��� ���� �� ���-� ���� ������ �� ��(������� �����1����� ���-�����" % ���� � ����� � ���� ������ �� '�.�� � �� �����(� (���� � ��� �� ������ '�.�O��� �.������"�� *��� 5 � ��� ��� (� (��� � � ���� �� ������ ��� �&� ��� �

��� ���� � ������ �� �� �����-� � �������� ����� ���� 6����&������ (���� �����1���� � �������� ���� ���� � � ��� ����" % ���� � 2�� �� (���� �6���-�� �� ( � ������� 6����&���� � � E���� 5"<= �� ������ ������ � ����(�������"��������� �� ��(������� � � ������� �� � ������ � � E���� 5"<>�"

%���� � � E���� � ������� �� ��� �.������� ���������� ��� �� � �� � �- ���� � �� ��� ���������� ����� � �� � � ��� 6��.���� � ��( ���� ���������" ��� �� � ���� � � �������-� � ��������� ���� ������� �� 6�6� ��� � � ��� � ������ �� �

�� ��� � �� ��� � �� ��� ���

/5"5@0

Page 45: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

����� ������� �� �������� ������������� '#

�� ��� ���� �� ������ '�.�1��� �.������ ��� �� �� �� � ���

�� � #�� � �� � #�� � �� � #�� /5"5?0

�� ! ����� � ���� �� �������� � ��� ���� �� ���� � � ��� ��" P�������+

�� � �� � �� � " /5"5A�0

9�� � 9�� ��9

" /5"5A�0

����������� � ���� �������� �� ������ /5"5?0 � �������� �� ��!� /5"5@0������ � � '���

#�� � #

��� ���

�� #�� � " /5"54�0

#

��� ���

�� #�� �

" /5"54�0

������� ���� �� ������ � � '���

�� � �� � "

�#/5"<;�0

�� � ��� ��"

#/5"<;�0

��� ������ � �������� � �� ( ��� ����

�� �"

� #� �� �

�"

� #/5"<30

��� �� � �"�� #" 8����� �6�� �� ������ /5"5?0� � ���� �� �� � �� '�.��� �� �� � ����

�� � #�� �"

� � �� � #�� �

�"

� � �� � #�� �

�"

� /5"<50

���(� �� � 6� �� �� ��� �� ������ � ��������-� � ��� ��������� %����"���( �� �� ��� �� ��� ��� �� ��������� ��� �����" G-��������� �� �� �� ����� �������� ���� ����� ���� ��������� � �� �������� ��� ������ � ��������� ����"

� �������� � ��

�-� .������ ���

8�� ��.� ��& ������� � ������� � ��� ����� ��� � ������ ��� ��� ����������!�� !������� �'�.�� �,� �� � ���� '�.�� ���� � � �� ������� � �� ������� ��� �����(�� ����� � ��(��� /( E���� <"30" ���������� ������(�� ���,� � � �����-�� � �����(�� �� � ������-�"7��� �� �� ��'��� �'�.�� �� ���!�� ��� ��� ����-� �� ��� ���� ��

'�.�� � ������� �� ����� � �� ������� �� ���!�� ��� ���6� ����-�� ������� �� �� �������� ���� ���� ����� �+

/ �

��

�� �� � 0� �

��

��� �� � � � 0� �

��

��� �� � � /<"3�0

�� �

��

���� � � ��� �� �� � � /<"3�0

�� �

��

�� � �� � � � �� � ���

�� � �� � � /<"3�0

�(������ ���� �������� ����� � �� ������ ��� ������ � '��� !���� � ���������-� � ������� � � ����-�" �� ������� �� ������ ���� � 6��-�������� �:����(�� ���(�� � � �'�����-� � � ��.� �� ������ �� ��������-�"

�-� �������� � �� �� ��� %���� �� ��

�� ���� � ��� ��.� ��� ������� � �'�.� �,� � 6�� � ������� 6��-���� ��'�����-�� �� � ����� ��� ���� � '� ���� � 3��������/*����� �� � �������� � ��� ��� ��� ������ � � ���� �$�� ��� �������

���������� ������ ����� � ������� � �� ������,+

A3

Page 46: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

!� �������� �� ����� ����

���� ���� $�!&�4� �5�� ���� & � �����

���� 6��-���� ��� �������� ,������ ���� ���� �� � ��.� �� ���� � �� .���� � �� ���� �� ���� ����� �� � 4����2���+7 ����� ��� � 6��-���� ������ ��� ������ ��'���� ������� �� ��

������� �� � �� ��� �'���� � ����� ��� � E���� <"5�� � ����'���� ���

���

�� � ���� ��!� � E���� <"5�� � ����'���� � ���

����

�"

�� ���� /�0 �� 6��& �������-� � �� ����� ��'���� � � (� ���� � ���� �� � �� � � � ����� �� ������ � � ����-� �� � ����������� ��� � ��� � �" �� ���� /�0 � ��� �� � :�4 � �� � :�4� � ����� ��� � 6��-���� � �'�����-� ���� � ������ ��� � :�4 � ��� � :�4 ��� ����� �� ������ � � ����-�" *�� ��������/<"3�0 �� ������� ������� �������� � � �'�.�� ������� �&� ������+

0� � ���

��

�� � � � 0� � ���

��

�� � � ��� � ��� � � /<"50

�� � ������ �� ������� �������� � � �� ���������� ��������� ��� �� ������ � �� � ������ � �'��� ��������� ��!� ���� /�0� � �� ������������� � ������� ��� � ����� � ���� � �����������"

���� ���� ?������� � �!������� � @� �&����

���� ������ �� � �� ��� � �� ����� !�

���� ���� $�� ����� � � � ��� � �� ��� ���

%��&�� � ��!� � ����� � � E���� <"<� � � �'�����-� � � ������ ����� �� :��� � �'���� ��� �� � 2 � � ��.� � ��'� ��� �'�����-� ���������� ��������� ���� �+

�� ��$

��/<"<0

���� �$ � � ������-� /������(� �� � � � �������� � �����(� � ���� �������0� � ������ � ������� ��"�� ����� � � ��.� � &����� ��� � � ���� � � � B��C� � �'�����-�

���������� �� � ���� �+

�� ���%

� &

%��� � ��� /<"=0

���� % � �-�� � � ��������� � ����� � & �� ��:���� � �������" % ��� �� � ������� �� � �� ����� �� ������� ���� � � � ���� ��� �� � 2 � � ��.�� �� � ��� � ��� ���� ���+

�� ���%

�� � % �� /<">0

7��� �� �� �'�������� ��� ���� � ��� ����� �� :���� ������� � ��� �� ��1������ � ���� ,��� ��� ���������-� ���'�� � ������� ���� � �� � ��������-� � � (���" �� ������ �� �������� ����� ������ � �,�� � /<"3�0 ����������+

/ � ��

��

�� � ��� /<"@�0

�� � ��

��

� �� � � /<"@�0

�� � ��

��

� �� � � /<"@�0

Page 47: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

!" �������� �� ����� ����

�� �� �� 2� ��� ��� � � �� 2� ������� � � ����� � � ����-�� ����� �� ���� � ��(��� � ����" �� � �����(�� ���������� � � &� � � ����-�" 7 � �����-� /<"@�0 �� ��+

�� �/

�� �� �

/

%�/<"?0

*� �'�����-� ���������� � � ������ (�� ������)��� � ��� �'�����-� ��� ����� � '��� � ������� � (� �+

�� � �� � �&�� � �&/

%�/<"A0

%�������� �� 6��� ���� �� � 6��-���� � � �������� ���'�� � �� :���� � ���������� ���������-� ���'�� � ������� ���� � � ,���� ������ ��'�.�� ,���� �� ������ ���� ���'����� ������� ��� �� ������� ���1��������" �� ���� � �� � �� ��!� �������� � �����1D����� �� �� ������������� �&� (& ���� ��� ������� � 2���� � ��:���� � �� ������ ���� ��� ���� �� �����" *� ��������� � � �� ��� 6��-���� �& ���� � ���,������������ � �� ��������� ����(�� � � � ��.�" %��� � � E���� <"= � ���������-�� ������� � ���'�� � ��� ����-� �� ���� � ��� ��:������� � 2��� � ��,���� � � ��.�� �� �� � ��� ���� � ��� ���� '��� ��� � �-�� ��&��� ������ �� ����� � �!� ������ "*� (�����-� � ������� ���� � � ��.�� � ���� � ���������� � � ���������

� ����� � ����� �� �������-� � �� �'�������� ���������� � ��� ����� ��

���� ��"� $�!&�4� �5�� � /�� ����� � �� �>; � �

���� ������ �� � �� ��� � �� ����� !�

������� � � ��.�� � ���+

�� �

��

����� �� �

��

/���

%������ /<"40

���� � ����� �� ����� � � � �,� �� /���� ���� � ����-� � � ��.�� ���������� (��� � � ��� � � ������� � � ����" �� � ����-� � � ��.� � � ��������� � � � �'�.�� �,� � � ���'��� � �������� ���� � � ��.� �+

�� �/ �

%�/<"3;0

���� ,���-� ��� ������ ���� �� � / �#� ��� # � %���� �������� ������� � � ��.� � �'�.� �,� "

���� ��#� �5�� & �!���

*�� '-�� �� ������ (� � ����� ��� �'�.�� � ������-� ���� ��� �'�1.�� � �����-�" �� ���� � ������-�� ���� � ����� � (& ��� � �������-� � �� � ��.� �� �� �������� ��� � ���-� � �� ��������� � � ����-� ����(�� ����� � � ���� ��� ���� � � ��.� ��� � ������ � '�-��� �������� ��� ���� � ����"

�:��%�� �-�-�

�� �� � � �������� ���� � ��� ��.� � ����-� ��������� � ������� �� �������� � ����-� � �� ����� ��� ; ���'����� ������"�� �;��� ��� ����:�� � ����� � � ��.�" ��!� � ���(� � �

E���� <"@� � � � �,� � � ��� � � (�� ���� �� � ,���-�+

/��� � ��

Page 48: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

!& �������� �� ����� ����

���� ��'� /�4� ������� � ��� ������

*� � � ������� ��� ���� ����-� � ����� ���� ��� ���� +

�� �/���

�� �

� � ������� ��� " � � �������� ���� �& ���� �+

� � �

��

/���

%��� �

��

���

%�

��

%�

;�

%�

�:��%�� �-�-�

�� �� � � �&,��� ������� �� ��� �� �� ��� ��������� (���� ��� �������� � �� ��� �����" ���-���� ��� ����-� ������� � (� � ��

��!� �� �� ����� � 2����� ������ � ����-� �&,��� � ����� � �����-� ����� � ��� � �� ������ ��� ����-�

���� � �� � � �

�� �

� �� �

�� � �� ���� � ��

��� �� ��� � � �� �������� � ��� ����� �� ��� ����:�� � � ����C�N�� � ��� ����-� ������� � �� � ���� $�� Q 3">;; GN��� ������ �� ����� ������� �&,��� � ���� � � , ��� � Q 5; C�"

���� ������ �� � �� ��� � �� ����� !'

�:��%�� �-�-�

8� ����� � ��� ����:�� ��& ������� � �� ����� ��� � � ��� ���� �������-� " " 7����� � � � (�����-� � � ����-� ��� �� �� ������� ������'��� � � ��� � ���� �����"

���� ��(� /����� ��������� �

7 ��� ���� � � ������� ( E���� <"?� � ��� �����+

/ � �/ � / � ���

��� � (�����-� � �'�.� �,� (�� ���� ��+

�/ � ��� /�0

%��&�� ��!� �� ���������� � ��� ��� �'�.� �,� �� �+

/ � ��� �"

��

���� �� � &� � � ����-� ,��� ��� � �� � �� ��� � ���� " " 7�'�1������ � ,���-� ������ ���� " � �� ��� ���������� � ���+

�/ �"

��

�� /�0

���� ���� �� �������� /�0 � /�0 � ��� ��+

"

��

�� � ��� ��

��

��

"��

Page 49: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

!! �������� �� ����� ����

�������� ��� ! ���� ���� ���� � �����+

��� � ��

"��� � � � � 4

����

��������� � �������-� � ��+

��� � �� � �� � � ��

�� �����+

���� � �� 4����

�� �:� � (�����-� � ����-� � ����� ����� ���������( �� � ������ � E���� <"?" ���(� �� � (�����-� � &� �� �� ��� �� � '��� ,������� � � ���

� 2 � � ��.�" ��� �������� �& ����� �&� &���� ������ ���� �� ���� � ��.� '�� � � ���� � ,���"

�-� +� ����� �� ����� ����������

��������� ��� ��.� '����� �� (���� ����� � � '��� �� �� ���:��� �� �� ��� ��� �� � � �����. � � ��.�" ���� �� ��������� �� � ����-� ���� � ��.� ��& ��(����� � (���� .���� �� ���� ��� � �� ��� � ��� �� &� ���

����������� � �� ����� �� ��� �� �-�� � &����� %�� �� ���� � ������ � E���� <"A�"

���� ��+� ���� � 0����� ��������

���� ��������� � ����� ��������� !#

��������� ������� �� ������ � � �����( �� ��� � � �� ���� � ���� �� ����� � ��������� � � ��.�� � �� ��� �� �-�� � � ��������� %

��� ���� ����� � � ����-� � ��� �:�� �� ������ � %��������� ��� ����� � '���� � � '��� �� � %��%

���������� �� � �'�����-� � � ��.� ��� ��� ��!� � 6��-���� � �1���� �� � ���� ��& ��� � �� ��.�� � �� !���� ����� " �� �� ���� ����� ��:��� ���������� � � � ��.� ��� �������� �'�����-� ���������� �� *� ����-�� �� ����� ������� � ����� � �&

�� � %� �� � �� % �� /<"330

*� �����'���-� � � �����-� � ��� ���� ����� � ���� �6��+

/ �

��

�� �� �

��

�� % �� �� � % ��

��

�� �� � %��� /<"350

���� � � ����� � ����� �� � ��� ��� '���������� � ��� %������ �

� ����-�" % ���� � � �����-� ������ � ����� � �������� � �� :���+

�� �/

%�/<"3<0

� ���������� �� �������� /<"3<0 � /<"330 � ��� �� � ����-� � ��'�� ������� ����� � (� +

�� � %� �� � ��/

�/<"3=0

� �� ��� ��� �� �� ����� � �&� ������ ������� ������� �&� (����� �� ���� � ����� � � E���� <"A�"�� � �&����� � 6������ ��� �.� ������� ���������I �� � ���� � �� �������

��,��� � 6����-� � ���� � ���� � 6����-� ����� ��� ���� � ���" � ��:���� � ���(� ���� �� ��� � 6����-� � � � %��%� � � ��

�:��%�� �-�-�

8�� �� ���� � 6����-� ����� � ������� � � �� ������ ��� ���� � �� ,�������� � " � ���� CG� �� ���� � ����� � � E���� <"4" *� ����-� � ��� ���� � �������� ��� ��� 9 � �� ��� � ��& ����� ��� A ������ � ���� ��&��� < � � ��" *�� �-�� �� &������ � 6����-� � � ��� ��� %� � �

Page 50: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

#, �������� �� ����� ����

���� ��,� ���&� � � *������ ������

9�� � %� � �� 9��� �����(����" � ��� �� �� �+ /�0 �� ������� ��� 6����-� � ���� � /�0 ���������� &����� � � �� ����"

/�0 � &� � ��� � �� � � � �� � <���� � � ��� � &� � 6����-� ��� � 9���� � ��� ��� ������� ���� ����� � '���� 6����-� /% � %�0����� �� ��:���� � ���(� ���� � ��� � �� � %��%� � � %��&�� &� 6������.��� � � ����-� (�

� � �� � ���� � ���� ���

%� ������ �� '-�� �� <"3< � <"3=� � ���� �� �,� � �������� � � (� �/ � " �� ���+

�� � %� �� �/

��

���

���� � ���� �� � �� �� $��

�� � %� �� � ��/

��

� � ������� � ���� �� � ��� � $��

/�0 7��� �� � �'�����-� � ���'�� � � ��� � � �� ����� ���������� &����� � ��� �� �� � � � '���

�� �/ �

%�

���� � �

� � ��� � ���� � ���� �

� �� �� � ���� � � �� �� ��

���� ��������� � ����� ��������� #�

�:��%�� �-�-�

*� ��.� � 6����-� ������� � � E���� <"3;�� � ����-� ������� � ��� 9

/9 � � ��0� � ������� � /� � � �0� � '����� � � ������� ����+ /�0 � ����= ������ � ��� � ��&��� < � � ��� �������� � 6��.���� � ��� ��� '�.�� � �� CG ���� ���� /�0 � 6������� � ����-� �������� � /�0 ��� (. ������� 6����-� � ����� �� ������ �� �� ,���� ��� � ��� *�� �-�� �� &������ � 6����-� � � ��� ��� %� � � 9�� � %� � �� 9��� �����(����" �� �� �+/�0 � ���������-� � ������� �� ���� � ����� � '�������-� � 6����-�� � ���� /�0 �� ������� ��� 6����-� � ��� ��� �� �'�.� �,� ������-� / � �� CG � /�0 ���������� :�� � � ��.�"

���� ���.� $7���� �����

� &� � ��� � �� � � , �� � ���� � � � �� ��� � &� � 6����-� ��� � � � � � �� � ���� � ��� ������� ���� ����� � '���� 6����-�/% � %�0� ��:���� � ���(� ���� � ��� � �� � %��%� � � %��&�� &�6������.��� � � ����-� (� � � �� � ���� � ���� � ���

/�0 *� ����-� � �����-� �� ������ ���� ��� � �� ������ ��� (. ����� �+

�����

��� � ���

�� �� � ���� �� � ���� �� $��

� 6�6� � ���� �� ������� ��� (. ������� 6����-�� � ���(� �� ��� ��� ��� '�.� � �� � �� CG � ������-� ��� �� ������� ,���� � ���.�" ���� '�.� ����� � 6����-� ��� ���������-� ���'�� � ������� �������-� � (� �

����

��� � ������� � � ���� �� � ��� � � $��

Page 51: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

#� �������� �� ����� ����

�� ��� ���� � ����-� � ��� ������ � ����� � '�������-� �

��� � ����������

��� � ���

�� �� � ���� � � � ��� � ������� � � ���� ��

� � 5>�5? $��

���� ��� ������ ������� � � ����-� � ������ � ������ ����� � ������ � ����-� � ���� �� ������"*� ���������-� � ������� � � ����-� ������ � ����� � '�������-� �

������� ������ � �� ����� ��� � ��.� �� �������-� ,��� � ����"

/�0 *� �������-� � �� �'�.� �,� � �����-�/ � �� CG ��� ��� ���� ��������� ����-� � 6����-� � � ��� �

��� ��� � ���

���� � � ���� �� � ��� � � $��

��� � � � �� � ������� � � ���� �� � ��� ��� $��

*�� ������� :�� � ���+

��� � ��� ���� � �� � $��

��� � ��� ���� � � ��� �� $��

� 6� ���������� �� ������ �� ��� �� �,� � �����-� ��� � ��.�� ��� �� 6����-� ����� ������� � �����-�"

/�0 � ���������� ������ � � ��.� �

��� �/ �

% ��

��� � ��� � � � � ��� � ���� � � ���� � � ��� �� � ���� �

� ������� ������� ����� � � ����-� � �,� �� ����� �

�� �/ �

% ��

�� � ��� � � � � ��� � ���� � � ���� � � ��� �� � ���� �

� � �������� :�� � � ��.� �

��� � ��� ��� � �

���� ��������� ����� � #�

�-" ����� ����� ���� ������

� ��� ������� ��������� � ��� � �� ��& '����� �� �� ����� �2 � ��.�������� ���� � ���� ������ ����� ������" % � �� ����� ����� ����� �� ��.�� ������ ��������� ������� F���� ���� � ����� � �� ��� ��� �� ������F��� � �� ,���� � ����� �� ���� � �� �" �� ���� �������������� ������F��� � ����� � �� ���� � ��& �������� � � �� ����� �� � �� ������������ ��� �� ��.��� � �� � �� ������ � � � ��(���� � �� ��.��"�� ��� ��������� � ���� 6������ � �������� � ��.�� ���� ��� ����� �� �1

����� � �� ������� � ��(�� �� �� � �������� ����2�� ,� ���(���� � �'�.��,� � ����� ���&� ���� �,� � ��������� � ���� ��� � �� ��.��" 5����� ���

����� ��� ��� �� ��� ����� � �� ��.��� � ��� � ������� '�� � �� ��&� ������ ���� � ������� ��������� � �� ����� � ����"

���� ����� $���&��&��� �����&�����

Page 52: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

#" �������� �� ����� ����

������� ����� ��� � ���� ������������ ��� ���� �� ������ 6� � �� (� ��� �� �,� � �� ���!�� ��� ���� ��� � �� ���� � � �������"

�-"-� ����� ����� ���� ������ �����@�� ��

�� � ������� ����� ��� � �����-� � �����&����� ��� �� (� ��� �.���� !��1����� �� �������� � � ���&����" ���� ��� ��� �� �!�� � ���-������� ��� ��� � ��� �!�� � ������� ,���� �1 �&� �!�� � �,� �� ������ �� /���� � �!�� � ����0 � ���� � �!�� � �������� � ���&���� �� � ���� � ����� � ��� ��� �� ��� �� � ���� ��� � �!�� ������ �� /� ���� � ���� 5 �������� � ��� ���� � '�.�� ��� ���� ����0"���� �+

�1 � �� � �� /<"3>0

�� � E���� <"33� � ����� ��� ������� ����� ��� �����&���� /�1 � �� �� � ���� � �0� ������ �� � ������� � � E���� <"33� � 6����&���� � ���� 3/�1 � �� �� � �� �� � �0" �� �������� ������ �� � �������-� /<"3>0 � ������� �� �� ������ ��� �� � ������� �� �����&����" %��� � ��������� � �E���� <"33� �����'�� � �������-� /�1 � �� �� � �� �� � �0 �� �� ��� �������� �������� � �� ��� �.������ ������ �� �� ��� ��6� � ��������6����&����"�� ��� ��� ����� � �������-� /<"3>0 F2� ���������� ��� �� ( ����1

���� ����� ���� �����&�����+ ����� �� ���-������ �� �1 ������� ,���� �&� ���� �,� � � �� ����� � � ����� � '����-� � ����� �� ������� �������� ���� ���� � '�.�� � �� ������ �� - ���� ��!� ��� �� �� � ��� � ������ ������(����" � ���������� � � ���� ��� ����� � � ����� 2�� ��"

�:��%�� �-"-�-�

*� ������� ����� ��� ��� � � E���� <"35� ��& '����� �� ��� ���� � ����� ����� � ������� ����(�� � ��'���� � &�� �� � ��" ��� ��� ����(���� " �������� � ���� �� ������+ /�0 �� �,� � � ������� � �� ���� �/�0 ��� �.������ � ���� � ���� " � �� CG� � � �� � � ���� �� � � ������ � �� ���� % � �� � ��� G���"

/�0 *� ������� � �����&����� � �� �,� � � �� ���� 3 � 5 ���� �� �� ���������� � ������� ��� ���� � '�.�� � ���� � /E���� <"35�0"

���� ��������� ����� � #�

���� ����� $���&��&�� �����&���� �� $7���� ��"����

%��+/� �

"

��� �� /� � � "

��� �

*� ��� � ����2� � �����-� � � ��� 5 � ������-�" *�� ������� � �� �������

�� �/�

��

�"

�� ��� �� ���� $��

�� �/�

��

��"

�� ����� ���� � $��

/�0 � � �������� � � ��� � �

!� �/��

%��

�"� ����

����%��

�"

���� ��� �

%��

� �� �� ��

� ���������� � � ��� �

!� ��/���

%��

�"

���� %��

� �� ��� ��

� ��(������ � ����� � ��� �� �� �� � ���� � ����� �� � ������ � E���� <"3<�" �� � � ���(� ���� � ��� 3 � � ��� 6���� � ��� � ��� ���� ��� � ����� � /��!� � 6��-���� � ���)�� ����0" �� �� ���� � ��� 5 ������ 6���� � �� � ��� ��� � ��� � ����� � *� �������-� � �� ���� �����

� � ����� ������ � ������-� � ����� � �� ������ � ����� � ��� � �'�����-� � � �������" *�� ��� �.������� � ���� � � ������� �� (���� �� ��������� � � E���� <"3<�� �� � ������� ������� � 6�����"

Page 53: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

#& �������� �� ����� ����

���� ����� 3����4��� ��� �� ���&��&�� �����&���� �� $7���� ��"����

� ��� �.������ 6��.���� � ���� � � ���� ���

!� � !� � �� ��� �� ���

� ��� �.������ (���� � ����� �� !� � � ��� �� � ����� ��������� ���6���� �.������ ��� � ��� ������� � � � ���� � �� ���� �� ��� +

!� ��� � � !� � !� ����

� ����

!� �!� � !� ����

��� �� �� ��� �� ���

�:��%�� �-"-�-�

*� ������� ����� ��� � � E���� <"3= ��& '����� �� ����� ���� � ���������� � ������� ����(�� � ���� �� � &� �" ��� ��� '�.� 6��.���� ��������� � ���� �� ������+ /�0 �� �,� � � �� ���� � /�0 ��� �.������� ���� � ���� � � �� CG� 9 � � �� � � � ���� % � �� � ��� G���"

/�0 *� ������� � �����&���� � �� ������� � �� ������ � � � ���� ��1����� �� ��� ���� � '�.�� � �������" %��+

8� � � � *� � � � *� � �

���� ��������� ����� � #'

���� ���"� $���&��&�� �����&���� �� $7���� ��"����

%�& ������� �� �,� � � �� ���� ���� �� �� �� ���������� ��� ����� '�.�� �� ����� /E����� <"3>� � �0" %��+

���� � /� � �� � /� � �

���� � /� � � � /� �� �

���� � /� � �

*� ��� � ����2� � �����-� � � ��� = � ������-�" *�� ���� 3� 5 � > ������2�� ��� � ���� �� ����� � �� ����"

/�0 � � �������� � � ��� � �

!� �/��

%��

� �

� 9

%��

�9

%�� �� � ��

� ���������� � � ��� = �

!� ��/���

%��

�9

%�� �� � ��

� ��(������ � ����� � ��� �� �� �� � ���� � ����� �� � ������ � E���� <"3>�" �� � � ���(� ���� � ��� < � � ��� 6���� ���� � ��� ���

Page 54: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

#! �������� �� ����� ����

���� ���#� $%&������� � �����4��� ��� $7���� ��"����

� ��� � ����� � /��!� � 6��-���� � ���)�� ����0" �� �� ���� � ��� =� ����� 6���� ��� � ��� ��� � ��� � ����� �� �� � :2�� �� �� � ��� >�� ����2� *� �������-� � �� ���� ����� � ������ ������ � ������-� � �������" *�� ��� �.������� (���� � 6��.���� � ���� � ��� /E���� <"3>�0+

!� � !� � �� � �� ��� � !� �� !� � !� � �� ��� �� ���

� ��� �.������ ���� � ���� � �

!� ��!��� !�

��

���� ��� � ��� ����� � � �� ��

�-"-� ����� ����� ���� ������ 1�%�����@�� ��

8�� ������� ����� ��� � 6����&���� ������ �!�� � ���-������ � ��� ���� ��� �!�� � ������� ,���� �1 �&� �!�� � �,� � � ������ ��/���� � �!�� � ����0� � ���� �� �!�� � �������� � � ��&���� �� ����� � ����� ��� �� ��� �� ��� �� � ���� ��� � �!�� � ����� ��"���� �+

�1 � �� 5 �� /<"3@0

*� �������-� /<"3@0 F2� �� ��� �� ( �������� ����� ���� 6����&������� ����� ��� ����� � '��� �����&���� �� ���������� � ��� ���� � '�.�� � �� �����" ���� �� � ,� ��- � ������ � 5� � �� ���-� � �������� 6����&��������� ���&�� � ���������-� � �� ���������� � ��������� ���� ��� � �'�1���� � � �������" �� ������ � 3 � *��� 5 � ��� ��� � ������ 2�� ��� �� ���-� � �������� ����� ���� ������ � �� ������ � ��������� ���� � ������ � ��� ����"

" ������� ��� ���

"-� .������ ���

8�� ��.� ��& ������� � �$��� ��� ������ ��� ������� ��&� �� �������� !����1��� �� �� ������ F��� � " *�� �'�.�� �,� / � ������ 0 � ������ ������ ��� �� �� � ����� �� ������� � � ��.�" �� �� ���� ��� ��.� ��& �������� �$��� ��� � ������ ��� ������� ��&� �������� � ������ F��� (���� �� ������������ (�� ������)��� � �'�.� ������" �� �������� � ��� �� �������-� ��& ������� � �$��� ��� ��� ������ ��� � ���!� �� ������ F���� �� �'�.� �,� " �� ! ����� �� ���!�� � � (. ������� F���� � ������ ������ ��� �� � ����-� ��& ������� � �$��������+%�� �� 2�� �� (� ���.� � � E���� ="3� ��& ������� � F,�-� ��� � ����

�� �������� ������ �� � � E���� ="3� ��� ��� � �� ������� � F,�-���� � ��� � F,�-� ���� " %�������� � (��� � � E���� ="5 ��� �� ������� ������� � F,�-� ���� ������ �� �� .���� �� �� ������ � �� �������&� �������� � F,�-� ���� I � 6�6�� ���� � ��� � �� ����� ��� �.���� � ��&����� ��� ������� ����� �.� ��� �������-� � F,�-� ���"

���� "��� ;�����4� ������� � 1�2 A5�� �&�� � 1�2 A5�� �&�� � A5�� �����

44

Page 55: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�,, �������� ���� �� �������

���� "��� ;��� ��������� ������� � A5�� �&�� �& 4� � � ����

*� F,�-� ��� �� �� ������ ���� �&� ���� � � F,�-� �� � ��� � ���������� �� ��� '��� � �� �������-� ���� 6������ � � �&�����" ��� ������ ������� � �� � �� �� �� ����� �� � ����� � �� ������ ���� �� ���� � ������� �&� ������ � F,�-� ���� � F,�-� ��������� ���� �� � ����� ������� � '��� �������� �� ��'����� �� ���� ����� � ����" %������� ������ � ���� � �� ������ � ������ � � F,�-� ���� ��� ��� �.� ��� ���� ����� �������� � ���� � F,�-� ���� �� � ������� ������ �� � � F,�-���������"7��� �� �� ��'��� �'�.�� �� ���!�� ��� ��� ����-� �� ��� ���� ��

'�.�� � ������� �� ����� � �� ������� �� ���!�� ��� ���6� ����-�� � ���� � �$��� ��� ��� ������� F���� �� � �� ���������� ��� ���� �� ������ ����+

/ �

��

�� �� � � � 0� �

��

��� �� � � /="3�0

0� �

��

��� �� � � � �� �

��

���� � � ��� �� �� � � /="3�0

�� �

��

�� � �� � �� � ���

�� � �� /="3�0

�� � ���� � (�� � ������ � 5" ����� �������� ����� � �� ������ ��� ������ � ���������-� � ������� � � ����-�" �� ������� �� ������ ���� � 6��-�������� �:����(�� ���(�� � � �'�����-� � � ����-�� � '��� ��& ��� � ���� � 6�.�� ���� � �'�.� �,� " ���������� ���� ���� �&� �������(� � F,�-� ���� (���� ���� � � ��� ���� /��� �� � ����-� ��� �� � ��� � ������ ���������� F������ � ���6� � ���� ( E���� ="<�0� ��� �� ������ � ���� ��� � ����-�������� �� ������� � �� � ��� ��� ���� /( E���� ="<�0"

���� ����� �� � ���� �,�

���� "��� ��5�� 1�2 ���� ��4�� � ��� � ���� � 1�2 �0����

"-� ��� ��� %��� �� ��

"-�-� ��� ��� %��� �� %����� �� %���� �����

��������� ��� (��� ���� � ����-� �������� � ��� �� � ��� � ������ ��1�������� � ������� � F,�-� ��� ��!� ���6� � ���" * ������ �� � � ��� ��� �������-�� ��� � �� ����� ������� ��� � ��� ���� /� ������0I �� ������ ������ F��� ������� �- � ��� �������� �� /E���� ="<�0% ��� � F,�-� ���� ������ F��� �& �������� � � ��� � � ��.� ��

�� ������ � �'�����-� �������� �� ��� �& � ����� � ����� �� ������� � � (���" �� ����������� � �����. � � (��� � �'���& � ��� ��(� � ��(������������� � ���� � �� ��� � �����'���� � ���� � �������� � � ��� ������� � � ��.�� �� ���� � ����� � � E���� ="=�"��������� �6�� ��� ����-� ��� � ��� ���� � � ��.� ������� � F,�-�

���� �������� � � ������� �� ��(�� � � ��.� � ��� ���� ��� � ���" ������������� �� ���6� ����-� � ����'��� � � ����-� ��� � �'���� � ��� ���"%�& ������� � ����-� � � ����'��� � ���� � �'���� � ��� ���" �������� � � ������ � � � �� �������-�� �� ������� �'������ �� � ��� ���� ��������� ��� ����� � � ��� ���" %��&�� �� ����������� � � ��.� � � ����� � �'�����-�� �� ������� �'������ �� � ��� ��� � �������� �� �� ���� � ����� � � E���� ="=�" �� ������ � ����-� � �� ����� � ��� � �'���� � ��.�" %��&�� ���� � ������ � ��� �� ����� � ����� � ��� ��� �� ���� �� ���� � ��(���� � � �����." �� �����������

Page 56: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�,� �������� ���� �� �������

���� "�"� 3!������ � �� �������4 � � ��� ����� � ����� A5�� �&�� ����

�� � �'�����-� � ��� ��.� ��� ������� � F,�-� ���� ��� ������� ���� ������ ����� � ������� � �� � ������ � �� �������,+���� � � 6��-���� � �'�����-� � ����� �1G�(�� � � �� � ���� ������

� �� ���� � �� �������-�" %���� 6� ���� ���������� ���� ���&������ � �.���1������ � ���� ,� ���(���� ���������� �� ���� � !������� � ���� ���� � ����� ������ �� (� ��. ��� � ��������� ,������ ��� � ���������� �&���� �"��!� � 6��-���� � �'�����-�� �� :��� ���������� � �� '���� � ������

� ��(�� ����'��&���� � ���� � �����'���� ����������� ��� � �'������ � �����. � � ��.�� �� ���� � ����� � � E���� =">�" �� �� ����� ��'�����-�� �� :��� ���� ������ � �������� �� �������" �� ��� ��������&� �������� � �'�����-� � ����-� ���������� � �����-�� � � ������-�� ������" % � �'�.� �,� ��� � ����-� �� �� �� ���� �� ��+

/ �

��

�� �� � � /="50

�� ������ ��� ��� � �� :��� ���&� �������� � �����-�� ��� ������� ������1���� � ������(�� ��� 5 �� � ��� � ������-�� ��� ������� ���������� � �����(����� 6 ��" �� ����������� � � �'�����-�� ,����& ��� ��� �� ��(���& � ����-�� ��� ��� ���������� � ��� ���������� � � � �� � ����-� ���������� �&�� � /�� � �0" % � � �'�����-� � ��� ��� � ��� ����� �& ��� ���� � �������� � ��� �� ����� � � ��� ����� �& ��� ��� ������� � � ���6�� ��� � ������" % ��� ���� �������� � � ��� � � ����-� � ������� � � � ��� � ������� � ��� ) ����"

���� ����� �� � ���� �,�

���� "�#� 3!������� � �� ��� ��� A5�� ����

�� ����������� ��� ����� � F,�-� ��� � ��.�� ���� � � ��� ����� �6��-���� � ���� �1G�(� ��� ��� �� ���� ����-� ��� ��� ���-� � ��� ����-��-,��� � ��� � �� 2 ����� ) ����� ����������� � ��� � � �'�����-��� � ���� �� � ��� � � ����-� ���� �� ���� � ��(���� � � �'������ � �����."7��� �� ��& ��� ����� � ���� �� ���� � �� � ���� � 6��-���� � �1

��)�� ��(�������� ��� � F,�-� �� � ����� � ���� ������� �<�� � ���)�

�� �� ������ � ���� �����:�� �� ���� ���������� �� ��� ��� ��� �����(���������" �� ����������� ��� �����:��� � �'�����-� � � ������ ��'�1��� ������� � � E���� ="=� ��� � ���������� ����.���-�� �� ���� ������� � � E���� =">�"%�� ����� �6��� � ��� � � �'�����-� � ��� ������ � ������� ��'�1

��� ��� �� � ����� �� ���� � ����� � � E���� ="@" �� � ����-� 6��������� 2 � ��!� � ��� � ������ /2 ������� � ����� � � ����-�0� � 2 �� ������� � � ������ ��������� ��� 2 ���� ���� � ������-� ���6�� ����������" 7 � ��2��.� � �� ��&��� �� �� � �%� � ����+

��

��

%�

�% ��

=�

��� ��

�� �� � � �

=�

/="<0

���� =������ ���� � ��(���� � �� :��� �������� ��� 2 ����� ���� ��

2�� � � :�� ��� � �������� � ��� � ��������� � ��� :�� ������� ���� ��2�� � � :�� ��� � 2 ���� � �� ����� � �'�����-� ���������� � ���

Page 57: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�," �������� ���� �� �������

���� "�'� $�� ����� � � ��� <���� � �������&��� � � ��� �

� ���� :���" � ���(� �� �� � ��������� �� � �� :��� ��� ��������� � � ���������� � ����� � 2 ����� �I � ����� ��� ���� � �� �������� �� �� ��!� � � � B��C /� ���������� �� �� ������� ���� � � � ���� ������� �� � � � ����-� ��� ������� � '�� � �� ������� ���� �� ��� �� ��� �� 66 ��0+

�� � % �� � �% �

=�/="=0

�� ������ � ���������-� � ������� � ��� � ������ �������� � � ����� ����-������ �� ������ �������� ��� ���� ��� �� � 2 ���� ���� � �& �� � ��� �������� �������� ��� ���6� 2 ����� �� ���� � ����� � � E����� ="@ � ="?"�������� ��� ���������-� � ������� � ���������� �� �'�.� �,� ���

� ����-� � �� � � ���+

/ �

��

�� �� � �%

=�

��

� �� � � ��

� �� � � /=">0

*� ����� �� �� ��� �� � ������ ��&���� � � ����-� ����� � 2 ����"�� ������ 2 ���� �� ���� �� ���� � ��(��� � � ����-� ' � ���������������� ��� ������ 2 ������� � ����� � � ����-� /2 �0" �� ������(� � �� ������ ����� � � ��� ����� � ���� ����������� ��+

�� �

��

�� � �� � �%

=�

��

� � �� � � /="@0

���� ����� �� � ���� �,�

���� "�(� 3������&��� � � ��� � A5�� �&�� ����

�� ��� ���� ������ �� ���� � �� ������� ����� � 2 ���� ��� ���� � ������ F��� �������+

�� � ���

�� � �� �%

=�

��

�� �� �% ��=�

/="?0

����� �� ����� �� ������ � ����� � � ����-� ����� � 2 �" �� �����+

=��

��

%��/="A0

*� ,���-� ������� ������ �� � ��(����� >� � ��=�� (��� ��������� ���� ������ F��� ���������� � � '��� ��(����� ��������� � ������� %��� ����� ����. � F,�-� � � ����-�" � ���(� ������� � � ,���-� ����� ����� �:����-� � ��(���� >� � ��=� � �<���� /( E���� ="@�0� � ���+

�<� ���

=��

��

%���� /="40

���� �<� � &��� � ���(� ����� �� ��� ������� �� � ������ ��� ��������'���� " � ��� ���(� ���� �� �� ��� ������� ,���� � � ��.� � ������������� ��� ���(� � � ��� � ���� � ��.�� � ���+

�<� �

��

�<� �

��

>� �� �

��

��

%�� ����� /="3;0

���� � � � ������� ���� � � ��.�" �� � (��� � � ����-� ��������� � �����-����� �<� � ��� � �� ������� ,���� ����� � � ��� �& ���� �+

�<� ��� �

% ��/="330

Page 58: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�,& �������� ���� �� �������

E��� ���� �������� ���� � ��(���� =� � �� �������� ="= � ="? � �����+

�� � ��� �

��/="350

,���-� �������� ���� �� � 7����( �� ���� �� �� � � ����-� ���� � ������� � � ����-�� �������� �� ��������� � 2 ����� � �� ��� ��(���� �����:��� � ���������-� ��� � �� ������� ���� � � F,�-�" �� ��(�� �� ��������� �&,���� � ��&� � �� ������ � � ����-� �&� � 2���� � 2 ���� � �� � ����-� �&,��� � ������-� �� � ���� � � ����-� �&,��� � �����-�� �� (� �� �� ���������� � �� �����(�� :��� ,���� � ���� � ��(��� ��� ���� � /(��� 2�� �� �� ����� �������� � � E���� ="?0" %�������� �� 6��� ���� �� � 6��-���� � ���������-� ��� � �� �'�������� � �� :���� � � ���������1� � ���������-� ��� � �� ������� ���� �� ��� ,����� ������ �� �������,���� ��&� �� ������ �������� � �� '��� ��� �� ������� ���������1��" �� ���� � �� � �� ��!� �������� � �����1D����� �� �� ����� ����������� (& ���� ��� ������� ��:������� � 2���� � �� ������� ���� � �� ���� ���������" *� ��������� � � �� � (�:�� ��� 6��-���� � ���,�������� ���� � �� ��������� ����(�� � � � ��.�"% ������ �� ������� ���� ���� � � �� :��� ���������� �� �� �����

��'���� � �� ��'� �������-� ���� �� � ���� �� &��� �� ���� ������ ����"�� ������ �� ���������� �� � �� ��� �� �� � ���� ����� /( E���� ="A0 �� �(���� � � � � B��C� �� ������� �������� � ����������� ������� ����� ��� ��� � ��� � �" �� ������ �� ��������+

0� �

��

��� �� � � � 0� �

��

��� �� � � � �� �

��

������ ����� �� � � /="3<0

� ���� � �����������"

���� "�+� �&� ��� � ��������� � � �&���� �� �!������� ��� A5�� �&��

���� ����� �� � ���� �,'

���� "�,� ��5�� ���� ������� � & ��� � ��� ����� � � ����

"-�-� ��� ��� %��� ���A� �� %���� %��� �%�� �� ���� ��

� ���� � � � ����-� ����� � ���� � ��������� �� � (��� ��� �� � ��� ���������� � ������ � �� ���!�� �� ������� ,����" ���� ������ �����:�� �� ������ �� ���� � �� ������� ���� � �� ����� � 2 � � ��� ������������ /( �����-� /="@00"���������� �6�� �� � ��.� ��& �� ������� � F,�-� ��� �� �� �� � ����1

��� �� ��������� � � ��� '����� �� �� 2� � �� �� %� #� �� � �� ����� ������ ����������� � � ��.�" ��������� �� ������� ��� �� ���� �� (& ��� � 6��-���� � ���� �1G�(� � �� � ���� � � � � B��C� �� ������� ���&������ �� � �����-� /="=0" �������� � ���-� �� �'�.�� � ������� ��� �����-� ,�� �� ��

�� �

��

�� � �� � �%

=�

��

� � �� � � /="3=0

���� �������-� ��� ��� ��

��� �

��

� � �� � � /="3>0

� ���� �� ������ �& �� � �� �� 2� ��� �� ��� �� )� ����� ��� � ������ � ��������+ �� ������ � ���� � F,�-� ���� ��� � � ����-� ����� ��� �������� � ��� ���� �& ������� (& ��� � ������� ��� � ��� � ������� ���� �� ������ F��� ���! � �� � ��� �� ������� � ��� � �� 2� ������� � � ������� ���� ���� �� � ��� � �� �������-� �������� ��� ��� � �� ������ ����� ����� ��� � �$���" ��� �� ���� '� ������� �� ���� (. �� ��� � �������� �����1D���� � 3A@="

Page 59: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�,! �������� ���� �� �������

*� ���� � F,�-� ��� �������� 6���� ���� � ������.� �� 6�6� � �� � ���� � � %� � ����� �� � �������� �� �$��� ������� ��� � ���� � ���������� �����( � � ) ���� � ������ � � ����+ �� �� ����(� ��� ����� �$��� ��� ��� � �$��� � 7����� � 6����2 � ������ *���� G�(� /3?A>13A<@0 �� � ���� ��-" 7��� �� ���� ����-� ��� � ���� ��� � ���� ������� �� ������ � ���� ����� �� ����� ��� ��.� � F,�-� ���" �� � E���� ="4 ������� ����� � F,�-� ��� ��� ������� � (���� �������"

%�������� �� 6��� ���� �� ����� � '��� � �������� ���&� � �� �1'�������� ���������� � �� � ������ ���� �'�������� ����(�� � � (� ��� � �� � �&��� ���6&���� ����(�� ��� � ��� � � ��.� � �� �� :�����&� ���������� ��� ����������� � �����6&���� ����(�� ��� � ��� ���1������ ���������� ���� � ����� �� � ��(�� �� ���� ��� �� � 2 ����"% ��� ��(���� ����(�� � ��� ����������( � ��& �:���� � 2 ������ (� � !> � �&>� � ���� �� ���� � ��(���� � 2 ���� != � �=�&� ����> � = ��� � ��(���� � ���� � ��(���� ���������� � /( E���� ="3;0"7� �)� ��� :�� ���� �� � 6��-���� � �� �� ������� ���� ����1

�� � ���� ������ � � �'�����-� � ���� � � � �'����� � � �����. ������� ��������� � ���� �� �� ���� � ������� �������-� ��� ����� � ������������ � ����� " �� ������ � 6��-���� � ���� �1G�(� ��� ,��1�� � �� ����� � �� ����� �� �� 6�������� �� ��-����� �� &�����" ���

���� "��.� �&�0��&�� ��� �0���� � � ����������

���� ����� �� � ���� �,#

������ ��� ���� � � � ������� � 6� ������� �� � ��.� � 6������� ��� ����� � ��-���� � &����� ��� " �� ���� �������� � � � ������� ��(��& ���� �� � � � G�(�"

"-�-� �������� �@ ���� ������0���

���� � ��� ����-� ������� � F,�-� ��� � � � ������� � ��� � �� (� ���&,���� � ����-� � ��� ��������� � �� :��� �&� � 2���� � 2 ����"* ������ ? � ?� � �� ���������� � �� :��� ����� ��'�� � � ����-� � 2 �� � @ � @� � �� ���������� � �� :��� ,���� � �.����� � ��6� � 2�� �����(���� /( E���� ="33� � �0" ��� ���&�� �� (� � ���� ��� � ��&,��� ����-� ������� � ����� " ��������� ���� �� ��� ����-� � ���� � �����-� �� � ������-�"� �&,��� ������ ����

��� ��� ������ � ����-� �� ������� � F,�-� ���

��!� 2 ������� � ����� �� � ��� �� ������ ��!� � � � G�(�� �������-� ���� � �� � � :�� ����� � � � :�� ��'��" ��� �� �����+

����

��

������"�?� ?��

� ���

�����?

�����?�

�/="3@0

%�& ������� � ���& �:�� �&,��� ����������

��� ��� ����� � ����-�

�� ������� � F,�-� ��� ��!� 2 ������� � ����� �� ����

����

��

������"�@�@��

� ���

�����@

�����@�

�/="3?0

���� "���� ������4���� � ��� <���� 5����� A5�� ����

Page 60: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��, �������� ���� �� �������

����� �:������� ���� ��� �.�� � ���� � �� ����� ���� ��'�� ����-��&,��� ������� � �����-� ��

��� � ������-� ��� " �� �� ����� ��� ���������

�� �� ������� �&,���� ������(�� /�����-� � :��� ?� � @� ������-� � :���? � @�� �����(����0� �� �&�+

������ �� � ���

������?

���� ��?�

��

����

!�� ���

������@�

���� ��@

�/="3A0

� �� ������� �&,���� �����(�� /�����-� � :��� ? � @�� ������-� � :��� ?�

� @� �����(����0� �� �&� /� (� � ���� ���0+

������ �� � ���

������?�

���� ��?

��

����

!�

� ���

������@

���� ��@�

�/="340

"-�-" ������� �����������

���������� �� � ����-� ��& �� ������� � F,�-� ��� �� �� �������� ��������� � ��� ��� � �� �� � ����-� �&,��� ������� � ����� � ���� � �����-� ��� ������-�" 7� ���� �� ��+

�� �� ��������

���

A�

��� A� ���

������ ���

��"�?� ?��/="5;0

% � ���-� A� � ������� ������ ����� � �� ������ �� �� �� ) � � ������������ ��� �"% ��������� ��� (��� �� ������� �� �� ������ ��� ����� ��� ����-� �

�-�� � ������ �� �� ���� �+

A� ��

��/="530

�(������ � ��� �:�� �-�� � ������ ��� ���� 2 ������� � F,�-������ ������������ ��������� � � ����-�"

"-�-� ����������� ����*��� �

����� ��� ��!� � � � G�(�� �� ������� �&,���� � ������ � �� �������&� � 2���� � 2 ���� � ����� �� ��� ������� (� � � � ����-� ������� ��� �� �� �� � �� ���� ������ � � ����-� � ���� ������� � (� � ��'�� � � ������� � � ���� �� ����� �� ��& ���� ��� ���(�6���"

���� ����� �� � ���� ���

���� "���� ���� B����C � A5�� ����

*� '��� ��� � ��� ����-� �� ����2 � F,�-� ��� �&� �� ������ ��� ��� ���� ����� �������� � � ���� ��������� ����� � 2 ����" *� ��1��-� -������ ��� �� &� � � �� ����� - ������ �& ��� � �� ���� �� �����-�� � � �������� ����� � 2 � F,�-�" � (� � �&,��� � �-�� � ������������� � ��� ����-� ��� �������� ��� ���� ����� ��������� � �� :���,����� � ��������� -� � ���� � ��(���" �� �� ����� (� � � �-�� ������� �& /���������� �� 2�� �� F,�-� � ��� � 2 �0+

A ����

���

�������

�������

��-

/="550

���� - � ����� � � ��.�� � �� � ��������� �� �� :��� ,����" ��� �������-� ��� � '��� �������� � &� � � ����� -� � ���& �����+

A� � B� A���� � B�

�-

��� � � B� � � /="5<0

���� B� � �� ��:���� ���������� �� � ��� �������� ���#���� � �������� �� �� �� ) �+

�(������ � ���� �:�� �� ��������� ��������� ��� ���� 2 ������� � F,�-�� ���� ������������ ��������� � � ����-�"

� �������� �������� � ���� ��� �� � ������� � ����� � � ��.���& �2� ���(�6��� ������ ���� �� (� � � B ��� 2 � F,�-�"

Page 61: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��� �������� ���� �� �������

� (� � � �������� �������� � � ����� � �� ������� �&� ���� � � �������+

B �

���� �: � ��&��� � ��� ������� � ��� ��

B � �

���� �: � ��&��� � ��� ������� � C � ��� � � '���� �

B � �

��� ��� �� ���� �� � ������

B ��

���� ������� ������ �� ����.���

B ��

���� ������� ���� ���

B ��

���� ������� ������� �"

�:��%�� "-�-�

8�� (��� ���� � ����-� ���� � �� ����2� � F,�-� ��� � �� '��� �� � � :�� ����� � ����� ��� ����-� � ������-� ��

���� ���$��� � � � :��

��'�� ��� ����-� � �����-� � ��

���� ��$��" 7�����+ /�0 � �������-� � 2

����� /�0 � ���6�� � � � (���� /�0 ������ F��� �� �� ����� � � (��� � /�0 �&,��� ������ ������� �� � ����-� �&,��� ������� � ����� � �� � ��$��

���� "���� ���� �� $7���� "����

���� ����� �� � ���� ���

/�0 ���� � (�����-� � ������� � � ��� � � � ��� � � (��� � ��� � �������-� � 2 ���� � ����� �������� � ���� � �� ������� ,����" 7 � ��2��.� � ��&��� �� '��� � '���� � ���+

-�-��

��

���

�����

����

���

���� � ��� ������ � ��������

-� � -� � ��-�-�

"-� � � ��-� � �� ��

/�0 � 2 ���� �� ���� �� ���� � ��(��� � � ����-�� �� ������ ������ ��&���� � ���� ����� � 2 � �� � �� �" �� �� ��� ���� ��������� ��&����� � � �� � � � � �� ������+

� �� � ��

����� 4 -� � �-� � 4�

��

�-� � �-� � 4��� �-� � 4�

��

4

#-�� � �-� � 4��

$� � ���

���� �4 � �-� � 4

�� ������� ����� ������� ��&�����+

��

�������

���� � 4

#-��� �-� � 4��

$� 4� �-� � 4

� � �

� ����+

� �-��� �-� � 4��

�-� � �

��

� ��� �� ��

/�0 � ������ F��� ,��� � ���� � ������ �� ���� � �� ����������� � ����� � 2 ����" * ������ ����� � ���� � �� ������� � ��������� �� ���!�� ��� � �� � � �� �����(����+

� �� � ����� �

��

��

����-�4�

�-��

��

���

���

-� � 4

-�

��-� � 4�4

��-� � 4�

� � � ���� �

��

��

��� �-���

�-��

��

���

���

-� � 4

-�

��-� � 4��

��-� � 4�

����������� (� ��� � ���������� � ��� ���CG�� ����� � �� ��� CG�� ������������ (� ��� � ����� ������ F��� �� ���!� ��� � ����-�+

�� ������ ����� � � �� CG ��

Page 62: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��" �������� ���� �� �������

% �����(����� � ��� ���� �� � �� ��� � � � G�(� � ��� ���� � �� ������ � � ����-� � �� �� � ����� � ����-�" ��� �� � ����� �� �� ����� ������ � ����� � � ����-� ����� � 2 �

�� ��

� -� � �-� � 4�� 4�

�-� � �-� � 4� 4

��

�-� � �-� � 4��� �-� � 4�

��

��

� ��4� �4 �-� � 4

��

� �� �� �� ���

%� ������ �6�� � � � G�(�� �� 2�� �� � �� :��� ������� ���� � �� ��&,��� ������-�+

����� � ��� -���

� �� � � �� CG"�

/�0 � �&,��� ������ ������� �& �� 6�� �� � � ���� �� � � :�������� �� �� -� � ��" �?� ?��

����

�� ���

�����-�

�����-�

��

����-�

� ��� � �CG"�

�:��%�� "-�-�

�� �� � �&,��� ������ F��� �� ��� ������ ��� (��� � ����-� ������ �� ���6� � � � ��� - ��!� ��� ��� 2� ������� � � ������ �� � ����-� ������� � ����� � ��"

/�0 � ������ �&,��� ������� ����� �������� � � ��� �� � �� �����

��� ����-� ���� � �� � �� :��� ,���� /� � � -� 0" ��+

�� �����

���

�����

���-�

�� �����+

����

� ��

���-�

�� �

��

��-�

��� �A� �

���� ����� �� � ���� ���

���� "��"� $7���� "����� ����� ���� �&��� �����7� �� � A5�� ����

���(� �� � ��� A� � ����� �-� � �������-� � �� �� ������ B� � ���

/�0 � �&,��� ������ ������� ����� �������� � � ��� �� � ����� ��& �1

����� �- � ��� ��������� ���������� �� ��������� � � - %��+

����

� ��

��-��

��

�� �

��

�-��

��� �A� �

���(� �� � ��� A� � ����� -�� � ��������� � �� �� ������ B� � ��� �������� � ���-� �� �� ��� ������� �&,���� �+

�����

�����

��-�

!��

�-��

!���

A�

A�

�-

�:��%�� "-�-�

B� � �� �-�� �� ������� A��A� � �� ��������� ��������� B�� B� � �: � � E���� ="3>"

� &� � �: � ���� �+

� � � � � � � � � � � � � �� ���

Page 63: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��& �������� ���� �� �������

���� "��#� ���� �� $7������ "����

*� ������-� � ���� � ��(��� ���� �������� ��+

��

� �

�����

��

���� � ��� � � � � �� � � � � �� � �� � ��

��

� � �� � �� /� 2 � ������0

*�� ������� � ����� � � ����-� ��� ����� � �� 2� ��� �� ���+

�� ��

� � � �� � �

� � � �� � �

� � � �

� ���� � ��

�� ��

� � � �� � �

� � � �� � �

� � � �

� � � � � ��� ��� � � � � � � � ��� � � � � ��� ���� ���� �� ���

*���� �� �-�� �� ������� � �� ��������� ��������� ����� � �� 2���� �� ��� ���� � �+

A� ���

������ ����� �

�� ��� � ��� � B� �

A�

��

���� �

�� � � � �� �

A� ���

������ ����� ��

�� ��� ���� �� ��� � B� �

A�

�-

����� ��

�� � � � �� ���

���� ����� �� � ���� ��'

�:��%�� "-�-"

K����:�� ��& � �� ��� ��������� � � ��.� � ����-� ������� � ��� 9��������� � E���� ="3@ � � �&� ������� ��� ����2� � F,�-� � � ��� (���� "

���� "��'� ���� � �&������� �� $7���� "���"

� ������ � ����� � ��� ����-� ������� � ����� ����� � ��� ���2 �� ���� �� ���� � ��(���� � (�

� �9�

*� ����-� �&� ������� ��� ����2� � F,�-� �& ��� � �� ���� �����-�� � ������" %��� ��� � ����-� � � ������-� /�0+

A� ��

9� �

9�

������ �� ��� � ������-� /�0 � ���+

A� ��� 9�

�9�

��

7��� �� ������ �&,��� ������� � ���� �A�� ��� ��� ����-� ����1��� � ��� � ����-� � � ������-� /�0 ��� ������ �� ������

� (�� ����

�� � � ������-� /�0"

Page 64: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��! �������� ���� �� �������

�:��%�� "-�-�

7����� �� �-�� �� ������� � ��� ��.�� ������ �� � ����-� - � � �� �1����� � '��� �������� /����� ���� � -0� ��!� ����2� � '��� �� ����� ����������"

���� "��(� ���� � ���� �&���� �� $7���� "���#

/�0 ��� �� ��� (���� ����2���� � '��� �� ����� ������ �&,��� � ��� �� ����� ������� ���� � � � ����-� ������� �� � �� :��� ,���� � � (����������� /( E���� ="3A�0� � ���+

����

� � � � ��-� �

�- �

��-� ��

� ��� �� �-�� � ������ �+

A� �����

���

��-�

/�0 ��� �� ��� (���� ��������� ����2���� � '��� ��������� �������&,��� � ��� � ��� �� ����� ������� ���� � � �� � �� :��� ,����� ���� ��� � �� (���� /( E���� ="3A�0� � ���+

����

��

� � � ��

-

� � �

-

���

��-� ��

� �� � �� �-�� � ������ �+

A� �����

����

��-�

���� ����� �� � ������� ��#

���� "��+� 3������&��� � � ��� � $7���� "���#

�� � ��� � �-�� � ������ � �� (���� ����(���� �� �� � ����� � �-�� ������� � � (��� ��������"*� '��� �������� � �'���� � F,�-� ��� � �� ��� (���� ��!� ����2�� �

'��� �� ����� � �������� ��� ���(�� � � E���� ="34"

���� "��,� 3!������� $7���� "���#

"-� ��� ��� %��� ������

� ��� �� ��� ��.� ��& �� ������� � �$��� ��� ������ ������ ��� ��� ����������!� �� ������ F��� ���'�� � � ��� � � ������ �������� � �� � ����������� � �� � ���� ������� � � F,�-� � � ��.�( � ���� �� �� (��������� �� ������� ��� ������� � �� 2� ������� � � ����� � �� ������������ � ����� � � E���� ="5;" %������� � ��� ����-� ������ � �� ����� �� �������-�� ���� '��� � �� 2� ������� � � ����� � � ����-�� � ����������� '��� � 2 ����"

Page 65: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��, �������� ���� �� �������

���� "��.� ��5�� �0����

"-�-� ������� �� �:�� %��� �%����

���������� ��� ��.� ��� ������� � F,�-� ��� �(���� �� � ����-� � �� �� �������� � �-�� � � �� ������ � ��� ,���� � ��������� � �� � ��� ����� ���� � ����� � ���� � �����������( � ��.� ��� ��� � ��� � � ����-� /(E���� ="53�0" 7����������� (��� ������ F���

��� /������� � � � ���

� ����0 � ��� ��� ��������� ��!� �� 2� ������� � � ����� � � ����-��� ���� �� ��������� � (��� ������ ��!� ���6�� 2�+ �� � � ��� � ��� �� ��� �� ���� � � &��� � '����� �� (��� ������ ��� 2 � /(E���� ="53�0"

� �������� � ����������-�� �� '���� �� �� ����������� ��� ������ ��������� ��� �� ��� ��� �������� � ���������-�"

*� �������� �� ���!� � � ��� �� � ����� ��� �� ����� � � ����-� ���������� ��� �� ��� ����-� ���� ���� � /( ��" /="3500+

�� � ���

��� /="5=0

��!� �� ���(���� � ������ ���� ����� �������� ��� ������� � �������/� ���� ������� �� ������(�� ������� �� :��� ��� �������� � 5 �0"

%�& ������� � �������� �� ���!� � � ��� �� � ����� ��� �� ����� � � ����-� � ��������� ��� ��� ��� ����-� ���� � (� �+

�� ���

��� /="5>0

/� ���� ������� �� ������(�� ��������� �� :��� ��� �������� � 5 �0"

���� ����� �� � ������� ���

���� "���� ��5�� �0���� �!���� � 7� ��� ������ � �� �����

���� "���� 3������&��� � � ��� � A5�� �0����

Page 66: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��� �������� ���� �� �������

������� �� '���� � �� ��� ��������� � ������ F��� �� � �����+

�� � ���

��� �

��

��� /="5@�0

� �

����� �

��� �

��� �

���

�/="5@�0

���(� �� � ���������-� � ������� ������� � ��� � �� �" *� ���������-� �������� �& ��� � ��� ������ ���� � ����� � � E���� ="55"*� �����-� � 2 ���� � ����� ���� ��� �������� � �� ������ � ��

�� � ����-� ���� � �� �� � ���+

���

��� �

��

��� � � � ��� � ��� �

��� �

��� �

��� � � /="5?0

���� � � �����-� � ��� ��� �� ���� �� ���� � ��(��� � � ����-� ���� ��� ������+

��� D ��

��

��

��

�������� �

��� ������ ��� �

����

/="5A0

���� � � D ��� �� &��� �� '������ �� (������ � 2 ���� ��� 2 ��

�����(���� /( E���� ="5<0" ���(� �� 2 ���� �� � ������� � ��� �� � ��.� � � ��� � �� �������-� � � ��� � ���� ���� �� �� � ��� ���� � � ��� ��� ��� ��� ������� ����� � 2 �� ���� � ��� ������� ������ ��

���� "���� 3< ���� � � �&��� A5�� �0����

���� ����� �� � ������� ���

2 ���� ��� ��� ������ ���D � ��� � ������� ������� � ��� &��� � ��(��2 E � &��� � �� '��� (��� ������ ����� � 2 ����"

*�� &��� �� � � D �- � �������� /E � �0 ��+

3" 8�� � �� ���������� �� � ��� � �� �I � ���� �� ������ ���!� ��!��� � ��� ������� � ������ � ��� ��

5" ����� � � I � ���� ������ ����� �� �������� ��� ������� � � ������ � �� � ������ ������� � � � �����-� ���"

��� �� ���� '� ������� �� ���� (. �� �����1D����� �� � ��� ��- � ���� ����-� � �#���� � *������ � #�������� � �� ����� �- ����� �G�(� /3A@=0"

�����1D���� �)� -� ��������� �� ,��� ��� ������� ���-� �������� �� � ��.� � � ��� � �� �������-� ���� �� ��� �� �����-�+

�� ���

��

��

��

��

� � /="540

2 ���� ���� �� ��� �� �����-�+

��

��

��

����

� �

�����

��

�����

� � /="<;0

� � ��� ���� � ����� � � ����-� �� ��� �� �����-�+

��

1��

���

1��

� � /="<30

���� 1� ������ � 1� �

������ ���2� � � ���� ��� �� ����� � ��� � �

����-� ����� � �� 2� ������� � � �����" �� '���� � '&�� ������� �� ���������� �� ) ���� � �� �������� ���)����� � �� ���� �� ���� � ������������� �� � �� �� � ����� � ������ � �� ������+

���� ������� �� �� � � ���������-� �&:�� � � E���� ="5= ��� 6� � 2 ����+ ����� ��.� �� ���� � ��(��� � ��� ����-� ��� ��� � � ��������� � � ��� ���� � ����� � �� ������ � �������-� � ���� ��� � ��.�� � ��� � �� �������-�" G-�� ��� (. �&� �� �� �������� ��� � ��� �- � ���������� � �� � ��� ��� ������� ��� ��� � �� 2� ������� � � ����� � �����-�� � ���� �� � ��� ���� � ����� � ��� �����'����"

Page 67: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��" �������� ���� �� �������

���� "��"� 3���� ���� ���<�� �� 7 &��� A5�� �0����

"-�-� =������ ��� �� B� ��� %��� ������

%�& ������ � ������ ������� � � ��� ������ � �'�����-� � ��� (��� ���������� � F,�-� ��� �(���� ������������ ������ F��� ������� � ������������ ��!� �� 2� ������� � � ����� � �� ������ �������� � �����1����-�" *�� ��'���� � � �� &��� �� � F,�-� �� ��' ��� ������ ��'���� ����6�� ��� ������ � �� ������� �� � ��� ���� �����(����+

�<��

��

%���� � �<

��

��

%���� /="<50

���� �<�� �� ��� ��'���� �������� � � ��� ��� � �<

�� �� ��� ��'����

�������� � � ��� ��� �� ���� � ����� � � E���� ="5>"*� ���������-� (����� � ���� ��� �������� ��'���� � ���(� � ��� �����-�

��'���� ���< � ���������

�<���<�

!��!� �� 2� ������� �" ���� �����-� ���

�� �-�� �+

�< ���<�

�� �<�

���

%

���

���

���

���

�� ��

%

����� �

���

����� �

���

�� /="<<0

�� �� ������ � ��(���� � � �'����� � � �����. � � ��.� ��� �� �� �������� � ,���-�+

> ��

=�

�<

����

%

���

���

���

���

��

%

����� �

���

���� ��

���

/="<=0

���� ����� �� � ������� ���

���� "��#� &��������� � �!������� � A5�� �0����

���� "��'� /�� � � ����������� � ��� � � A5��

Page 68: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��& �������� ���� �� �������

�� ��� ���� &��� � �� '��� ���� ��� ��'���� ���< ��� 2 � �+

�<�

�<�

���

��

����� ��� D /="<>0

�� ������� ��� � �����-� � 2 ����" �� ������ � �'�����-� �� F,�-� ������ � � ��� ���� � 2 ����� � � �� � � ������ � ����-� ��� �� &��� �� (� � �< � ��� � 2 ����" ���(� �� �� �'�������� ��������� �� �� ����������� ���� ������1

�� �� ������� ��� � ����� � � �'�����-� �� ���� � ����� ������� �������� ��� ��(� � ���� � � � F,�-� ���'�� � � ��� � � ��.�" *� ��(���� � ��'����� � ���� ����-� � ��������� � ������ �������I � � ��� ��������� F,�-� ��� �(����� � ��� ���������� ���� � ��� (��� � ����-� ���'��� � ��(���� � �������� ��� ����� �� ������� � � �'����� � 2 � � (��� � ����� � �����'����"�� ����� � F,�-� ��� �(����� � � ����� ��� � 6��-���� � ���� �1

G�(�� �� ������� ���� � ������� � ���� � � �'�����-�� ������ � ���� 2 ���� � ����������� ������� �� � � �'����� � � �����." ������������� � �� ���� � ����� � � E���� ="5@� � �'����� � 2 � � ��.�� �� ��� � �����'����� �������� � � ��� ���� � 2 ���� ��� � ��� ��� ������� ��� � ��� � �� �������-� / �� ������ � ������ F��� �������0"7 �6� ���� � �$��� ������ ��� �� ���� � �� �������-�"

�:��%�� "-�-�-�

8�� ����-� ������ � � ���6� � � �� �� � � ��� - � �� �� ��& ������� � �����-� � �� ������ F��� �(���� �������� � � ��� � ��� � �� ������� �� � ����-� � � (� �� � �� CG��" �� �� �+ /�0 � �����-� � 2 ����� /�0 ��������� �&,���� � /�0 � ��(���� � � �����. � � ������� �� �-�� � &�����(� % � � 9��"

/�0 �� �� ���� �� ������� � ����� � � ����-� ����� � ��� 2� ������� �� ����� ���+

�� ��

� -�� �

� �� � ��� � ����� ���

�� ��

� �-� �

� �� � ��� � ������ ���

���� ����� �� � ������� ��'

���� "��(� ���� �� $7���� "������

�� ��� ���� � ��������� �� ������ ��& �������� � � ��� � ������� �� � ��&��� � � �� ��� ������ � � E���� ="5?� �� ��������� � ������F��� ����� � �� 2� ��� �� ���

�� � � ���� � �� � ��� �� CG"�

�� � � ���� � �� � ��� �� CG"�

�� ������ � �����-� � 2 ���� �+

��� D ��

��

��

��

����� ��� �

������

������

�������

���� ��� (� � � E���� ="5A�� 2 ���� ������� � �� ���� ��� � ���������� � ��&��� �� � ��� �� ��� �� ���� ��� ����� ������� � '����&:��� �� ���� � ����� � � E���� ="5A�" ��� �� � ����2� � ��� ���� ������ � � ����-�� ��� ���2� ���� � � �� ���� � ���� 1� �

����� � 33�>=? ��

� 1� ������ � �� �� ��� � � ����2� 2 ���� ���� ��&��� ���2����� � �

�����-� � � ��.� � � ��� � �� �������-�"

/�0 7��� � �����-� � 2 ����� �� ������� �&,���� � ��� � �� ������ �� �� � �� �� �������� � �&,��� ������-� � �����-� �����(����+

�� � ���

���� �

��

����

� � �� � ����� � ���� �� � �

�� � ���� � ���� ���� ��� �� � ��� $��

Page 69: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��! �������� ���� �� �������

���� "��+� ���&��� �� $7���� "������

�� � ���

���� �

��

����

� � �� � ����� � ���� ���� �� �

�� � ���� � ���� �� �� �� � ��� $��

*� ���������� ���������-� � ������� ��� (� � � E���� ="5A�"

/�0 � (� � � � ��(���� ��� �� �� �� ����+

> ��

%

���

����

���

���

��

� � ���

���� � ������� � ������ �

��� � �������� � ������ ��� � � ���� � ���� ���

� �� ������� � �� ���� � ��(���� � = � ��� �"

"-�-� ������� ���� ��

� ��� ���� � ������ � � F,�-� ��� �(���� � '��� ������ ��� �������� �������� ������ F��� ������� � ��������� ��!� �� 2� ������� �� �����" ��������� ��� � ��� �������-� ���� � ������� � � E���� ="54������ � � D ��� �� &��� �� '������ �� (���

��� � 2 ���� ��� 2 ��

���� ����� �� � ������� ��#

���� "��,� $��&��� ������ � �� A5�� �0����

�����(����� � E � ��D �� � � &��� � � �(��2� � ���� &��� � �� '��� (��� ������ ����� � 2 ����"%������� � 6��-���� � ���� �1G�(� � �'�����-� � ��� � �� �������

������ � ��� � 2 ����� � ������-� � ��� :�� �� ���� �� �� ����� ;

������� � � ����-� �+

�� � �F

=/="<@0

���� F � � ��������� � ����� ��������� � 2 ���� /������ ������(� �� �������& � � .��� ��������� � � ����-�� � �����(� � ���� �������� ( E����="54�0 � = � ���� � ��(���� � � �'����� � � �����. � � (���" �� ����� � � � B��C� � ����-� ���� � ���6� :�� (��& ���� ��+

�� � % �� � �% F

=/="<?0

Page 70: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��, �������� ���� �� �������

���� % � �-�� � � ��������� � ����� � � ��.�" �������� � ���������-�� ������� � ��� �� �� �� ���� �+

/ � � �

��

�� �� � ���

%F

=�� � �%

=

��

F �� /="<A0

� �� ������ �� 2 ���� ���� �� ���� � ��(��� � � ����-�"� ������ �� ���� � �� ������� ����� � 2 ���� ��� �+

���� � ���

�� F �� �

��

%F

=F �� �

%

=

��

F� �� �% ����

=/="<40

���� ���� �� � ���� � � ������-� � ������ F��� � ��� 2 ����/���� � � ��� E� ( E���� ="54�0 � ���� � ������ � ����� � � ����-������ � ���6� 2"7 � ,���-� ����� � ����� (� � � � ��(���� � � �����.+

> ��

=�

����

%����

/="=;0

���� ,���-� � � ��(���� � � �����(� � � ������� � ������� �����������-� /="<=0" � �������� ���� � ��(���� = � �� ,������ /="<?0 � /="=;0�� �����+

�� � �����

����

F /="=30

���� � ��� '-�� � ��� �& �� � � ������� � F,�-� �(���� � �����(� � ������-� /="5@�0" �� � �� �� (���� �� �� ������� ��� ��������� � � ���������� � 2 ���� / � � G�(�0 � ��� �� ������ �� ������� �&,���� � ���� �� :��� �&� � 2���� � ���6� 2� �� ���� � ����� � � E���� ="<;" ���(� �� ��� ���� � �� � ���! ��!� ��� � �� 2� ������� � �

������ ��� '-�� � � ��� � �� �������� ��� F,�-� ��� ���+

�� � ��� �

��� �� �

�� �

��/="=50

��!� (��� ������ � ���! ��� � � 2 � � � 2 �� �����(����� � ��� �� ���(���� � ������ ���(������ �"*� ,���-� /="=30 ���� �� �� � (� � � �� ������� � � ����-� ����

�� � ����.�� � ����-� � 2 ����" P��� ��� ������� ������� �� ������ �� ���� � �� ������� �� ����� � 2 ��� � �� �" �'���(����� ������ !� � � ��������� ��� ����� ; � 2 ��� /( E���� ="54�0� � ���+

� �

��

�� !� �� � ���

����

����

F !� �� � �����

����

��

F !� �� /="=<0

���� ����� �� � ������� ���

���� "��.� 3������&��� � � ��� � A5�� �0����

� ���� � ���� ����F !� �� � �" %6�� ���� ���� �� E � &��� � �� '����

�� �� �� ��� � 2� �F� B� � �!�� �� � � ��� �� F � !� ��� E � !� ��� E� � ������+

� �

��

F !� �� �

��

�!� ��� E � !� ��� E� !� �� �

� ��� E ����� � ��� E �� /="==0

� ����

��� E � ������

��/="=>0

�� ��������� ������ � ����) E� � ���� � �� ������� ����� ��� � � ����-�

����� � �� 2� �!�� !��� �:����� �� � ��� � �������-� � ������ /����� �� ���� � ����� � � E���� ="54�0"

�:�� � �� "-�-�-�

������� �� �� ,������ �������� � ������ ����� � � F,�-� �(������������ ��� �� �������� � ������ �� ������ �������� � ���������-�"

/�0 *� ��������� F ��� �� ����� ; � � ����-�� � ��������� ;��� �� ������ �� 2� ������� � � ������ � 2 ���� ���� �����-� �+

���

��� �

��

��� � �

Page 71: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��� �������� ���� �� �������

� �� �� � '&�� ��� ����

F �� ��

��� �

��

���

��

���

���

���

���

���� � ������ ����� ������(� ��� F �� ����� ; ��& � � .��� ��������� � � ����-�� � �����(� � ���� �������"

/�0 ��������� �� ��� ,������ � �����(�� �������� ��� � � � �������+

�� � ���

��� �

��

��� � �� � �����

����

F

� �� ��� ,������ � �����(�� �������� ��� � ��(����

> ��

%

���

����

���

���� > �

=�

����

%����

� (���� � ,���-� ��& ����� � F � '����-� � �� ��������� ;��� �� ����� � ��2� ������� � � ����� � � ����-�� � ������� �� �� ,������ � �����(���������� ,������� �� � ������ ��+

����

����

��

���

����

���

���

/�0 ��� �� &��� �� �� D � E �� �:����� � � E���� ="54�� � ���+ � � &��� ��� (��� ������ '��� ��� 2 �� D � &��� � �� 2 ���� '��� ��� 2 �� � E � ��D � &��� � � �(��2� � ��� &��� � �� '��� (��� ��������� 2 ����"�� ��� ���� ������ � ����� � � ����-� ����� � 2 ����� � ����

� �� ������� ������� � � ������ �+

���� � �� ����D � �� ����D � ��� ��� D

� �� ����D � �� ����D

� � �� 2� ��� �� ������� � � ����� /��� � �0" �� ��� ���� � ������-� � ������ ��!� 2 ���� �+

���� � � ��� E

� � ��� ��� D�

� � ���� � ��� D � ��� � ��� D�

� �� ��� D ��� ��� D

���� ����� �� � ������� ���

/�0 � &��� � D ��� �� �� �� � '����-� � �� ��������� ������� � � ������" �� '���� � ��� ��+

��� D ���

��

����

�� �� � �����+

��� �D ��

� � ���� D�

��� �

��

��� �

�� ���

� ���

��� �D � �� ���� D ���

� ���

��� �

�� ���

� ���

/�0 8�� �.���� ���� ,������ � ������ � ��� ��+

����

����

��� ��� D ��� ��� D�� ����D � �� ����D

���

� �� ���� ��

��� ���

�� ���

� �����

� ��� �

�� ���

� ���

���� �

�� ���

� ��� �

��

����

��

� ��

� ���

� ��

! �

� /�""�"0

� �� ������ � ���(� ���� �� �� ,������ 6� ���� � ������ � � F,�-��(���� '��� � �� 2� ������� � ��� �� �������� � ������ �����"

�:�� � �� "-�-�-�

7����� �� ������ �� ���� � � ���������-� � ������� ���� � �������� ������ ����� � F,�-� �(����� �����-� /="=30� � ���� � ������ F���������� ��� � ����-�"

* ������ ���� � ���� � �� ��������� ���� ��!� 2 ���� ��� � ��

2 ������� � ���� �����(���� /( E���� ="54�0" * ������ �F� B� � ����������� � ���6�� 2� � �� ����� ������ � � ����-� ; � ��������� ��� ������� � �� 2� ������� � � �����"

Page 72: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��" �������� ���� �� �������

� �������� � 2����� ���� �������� �� � (�:��� �� ������ � ��� ���������+

���� � ���

��F �� � ���� �

��

��B ��

��� � ���������-� � ������� ���� � ������� � ������ ������ ��� ��

�� � �����

����

F

/�0 �� �� ��� ���� ������ �� ���� � � � � ������� ����� � 2 ����+ �

��F �� �

��

�����

����

F� ��

� �����

����

��

F� ��

� �����

����

����

� ����� /�""�0

/�0 �� �� ��� �6�� ������ �� ���� � �� ������� ����� � 2 �1������ � � 2 ����+ �

��B �� �

��

�����

����

FB ��

� �����

����

��

FB ��

� �����

����

���

� ���� /�""�0

�� '���� ��� �� &��� �� �� D � E �� �:����� � � E���� ="54�� � ���+ � � &��� � �� (��� ������ '��� ��� 2 �� D � &��� � �� 2 ����'��� ��� 2 �� � E � � � D � &��� � � �(��2� � ��� &��� � �� '��� (��� ������ ��� 2 ����"�� ��� ���� ������� � ����� � � ����-� ����� � 2 ����� � ����

� �� ������� ������� � � ������ �+

��� ��� � ��

��� D � ��� ��� D

� ��� � ��� ��� D ��� D

���� ����� �� � ������� ���

� � �� 2� ��� �� ������� � � ����� /��� � �0" �� ��� ���� � ������-� � ������ ��!� 2 ��� �+

���� � � ��� E

� � ��� ��� D�

� � ���� � ��� D � ���� ��� D�

� �� ��� D ��� ��� D

8�� �.���� ���� ,������ � ������ � ��� ��+

����

����

�� ��� D ��� ��� D��� � ��� ��� D ��� D

������� ���������� � ������� ����

� ��� �

�� ���

� ���

���� �

�� ���

� ��� �

� � �

�� ��

��

� ��

� ���

� ��

! �

� �����

����

/�""�"0

���� � 6�� ����� �� ,������ �������� � �2����� ����� ��� ���D � ���D���� ���� �� ����+

����

����

��

�� ��

��

� ��

� ���

� ��

! �

������� � ���6� �2�����"���� ! ���� ��������-� � ��� ����� ������� � � '���+

��� E �����

����

� � �������

���� E � &��� � � �(��2 �� '��� (��� ������ ��� 2 ���� /(E����� ="54� � �0"

�:�� � �� "-�-�-�

7����� �� � �����-� � 2 ���� ������� � ������ ����� � F,�-��(���� ������� ��� � �� �� ��� � ������ ��!� �� 2� ������� �"

Page 73: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��& �������� ���� �� �������

*� ��������-� � �������� ���� �������� �� � ������� ��

��� E � ������

��� ��� ��� D�

������� �

��

��

� ��� D ���

��

����

����� � ��(�� �� &��� �� �� D � E ��� �� �:����� � � E���� ="54�� � ���+ �� &��� � �� (��� ������ '��� ��� 2 �� D � &��� � �� 2 ����'��� ��� 2 �� � E � � � D � &��� � � �(��2� � ��� &��� � �� '��� (��� ������ ��� 2 ����"

�� �� ���� ���� �� ������� � ����� � � ����-� ����� � �� 2� ��� ���:����� �� � ��� ��� � � �����-� � (��� ������� � �� � ������ � �E���� ="54�" �� � &��� � �� �� 2� ��� �� � �� 2� ������� � � ����� ��� ��"� ���+

�� ��� � ��

��� � ��

��� �� ��� ��� ��� �� ��

��� �

�� � ��

� �� � ��

��� �� �� � ��� ��� �� ��

����� �

�� � ��

��� �� �� � ��� ��� �� ����� ��� � � � � �� 2� ��� �� ������� � � �����" �� �����+

�� ��� � ��

��� � ��

��� �

��� �

�� � ��

� �� � ��

��� �

����� � ��� � ��

��� �

����������� � ������+

��� E � ������

��

���� � ��� ��� �

��� � ��� � ��� � ��� ��� �

���� � ��� ��� � ����

��� � ��� � ��� � ��� ����� �� ���� ���

��� � ��� ����

�� � �� ���� �

������ ���D� � ���� ���D

� ��� ��� D� /�""�"0

���� ����� �� � ������� ��'

�:��%�� "-�-�-�

#�� ( �2�� � ="<"5"3 ��� �.���� �� '-�� �� �������� � ������ ����� � � F,�-� �(����"

���� "���� ���&��� �� $7���� "������

/�0 �� �� ���� ���� �� ������� � ����� � � ����-� ����� � �� 2���� �� � �:����� �� � ��� ��� � � �����-� � (��� ������� �� ���� ������� � � E���� ="<3�" � ���+

�� ��� � ��

��� � ��

��� �� ��� ��� ��� �� ��

�� ��� � ��

� �� � ��

��� �� �� � ��� ��� �� ��

����� �

�� � ��

��� �� �� � ��� ��� �� ��

����������� �� (� �� �����������+ �� � � � ���� ��� �� � �� � ���� ������ � � � &��� � � � �#���� ����� /��� � � �� ��I��� � � �� �0� � ���+

�� � ��� � � ���� �� � �� � ��� �� � ���� �� � ����� � �� �� � ���� ��

Page 74: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��! �������� ���� �� �������

�� � ������ � ������ � 2 ���� ����� � (��� ������ �+

��� E � ������

��� � �� �� � ����

��� � � ���� � ��� ����

��� � �� &��� � � �(��2 � E � ���� ��� �� ���� � ����� � � E���� ="<3�"

/�0 � ������ � ����� � � ����-� ����� � 2 ���� �+

���� ��� � ��

� �� � ��

��� �� D� � ��� ��� �� D�� ��� � � ���� ��

��� D � �#���� ����� � ����� D � �� � �� �� ���� � ����� � � E���� ="<3�" ����(�� �� ���� � ��

�� ��� ���� � ������-� � ������ ��!� 2 ���� �+

���� �� ��� E � �� � �� �� � �� CG"�

7��� � �����-� � 2 ����� �� ������� �&,���� � ��� � �� ������ � � �� � �� �� �������� � �&,��� ������-� � �����-�� �����(����" *�� ����������� ���� ������ � 2 ���� ���+ F� � � ���� � � ��� F� � �� ���� � � � ��"*�� ������� � ���� ������ (� �+

�� � �����

����

F�

� � �� � ������ � � ���� �� �� �� �� � ��� $��

�� � �����

����

F�

� � �� � ������ � � ���� ���� �� �� � ��� $��

*� ���������� ���������-� � ������� ��� (� � � E���� ="<3�"

/�0 � (� � � � ��(���� ��� �� �� �� ����+

> ��

%

����

����

��

� � ����� � ���

��� � � ���� ��� � � ���� � ���� ���

� �� ������� � �� ���� � ��(���� � = � ��� �"

���� ������ ����� ��#

"-" ��� ��� ���%��

� 6� ���� ��� � �� ������ � ������ � ���� � �� �������-� �� � 6� ���1������ �$��� ���( �� ������� � ��� � � ������� F���� �������� � � ��� � � ��.�" ��� ������ ���� � F,�-� �&� '���� � (���� ���� ���'�.�� ���� � � �� 2 � � �$��� ��� �� � � �� � � � ������� F����� (���� " �� ���� ��� ���(�� � � E���� ="<5� � (�����-� � ������F��� ,��� �� ��� ���� � � ������ ��'���� � �� ��� �� ������� � ���.� ���! �� �'�.� ������ � ���������+

0� � � ���

��� 0� �

���

��/="=@0

� �'�.� ������ �� ��� � � ������-� � ���������� ���� �� � ��������������� � � � ����-�� ���� � (& � ������ � ����������" ���� ���1������� � � ,������� � ���� ���������� ���� ��� ���&� � ������� �� ��������� � �� :��� ���������� � ������ � � F,�-�� � ����� ���� �'�1����-� � �� ������� � ����" ��� '�-���� �� ��� ���(�� � � E���� ="<<�� ����� ��� ���� � ���"� � �� ������� ����" 7��� �� �� �� ������������� �� � F,�-� ��� � ����� � � 6��-���� � �� �� ������� ������� ����� � ���� ��� � ���� ��� 6��� � ������ � �� ���� �� ����� ������ ���� � ���� � �� ��� � ����.��"

���� "���� $%&������� � ��� ��� � ����� �� A5�� �����

Page 75: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�", �������� ���� �� �������

���� "���� 3!������� A5�� ������ 1�2 �� �!�����: 1�2 �!������� �� ����� � 1�2 �!������� �� �����

���� "��"� $�� ����� � ��� <���� A5�� � 1�2 �� �!�����: 1�2 �� ����� � 1�2�� �����

���� ������ ����� �"�

�� ���� � � F,�-� ���� � � ����� � '� ���� ���������� � 3��������7����( �� ,��� ��

*��� ������� ���� �������� ��$���� $ ������ ���"� � �� � ���������( �� ����%���� � ���� �� �� � ���� � �� ��� ����� ��� ��������� ��� ����+,���� 6��-���� ��� �.��� ����� � ��� � �� ������� ����� �� ������

���"� ������ �� ��� ������� �-,����" �� ��(�� �� � ��� ���(� � �� ��� � ����-� ��� � ���'�� � �'�.� ������ � �������� � � ��� � � ��.�"�� ���� ������������� � 6��-���� ��� �.��� � �- � ��� � ��$�������� ������� � ��� � ���� �� �'�������� ���������� � ��������� �� �'�.� ��������� ���6� ���� �� �� ��������� �� ������ F���" *� ���,�����-� ������ �2� ������ ��� �� � ���-� �����N �. � � ��.�� � ���� ������ �&��� �� �� ����" ��� ��.�� �� ��� '��� � � ��� � ������� � ������ ����� (���� � ���� ������ � ���� ��� ��� �� ���� ����������"�� � ����� � 6��-���� ��� �.���� ������� ��!� � ����� � � E���� ="<=�

��� �������� �� � ������-� � ��� :�� �� ���� � ��� �� � �'���� ��� � ������ /��� � ���0� � �������� � � ������-� �� � �������� �� ��'�����-� '�� ���� ���� /��� � ���0" 7��� �� ����� �� ,������ ����������� � F,�-� ��� � ����� � � �������� � �� ��������� ���������� � � ��:���� � ��(�� �� �� � ����� � 6��-���� ��� �.��� � �'�����-� � ���� �1G�(�� � ���� ���� � �� ,������ 6� ���� ��� ���� � � F,�-� ��� ����,���� � ���� �&� ��� � � F,�-� ���� " %�� �� 2�� �� � ���� �F,�-� ���� �(���� ��� (& ���� �� ,������ �������� ��� � � � �������/���������-� ��� 0+

�� � ���

��� �

��

��� /="=?0

� � �����(�����

�� �����

����

F /="=A0

� ������� � �� �� ������ � �����-� � 2 ����+

��

��

��

����

/="=40

� �� ���(������ ���(�� � ���6� 2 �� � ,������ � ������� ���������1�" ������� ��� (& ���� �� ,������ �������� ��� � ��(���� � � �'������ � ��� ����

> ��

=�

�<

�7��

%

���

���

���

���

/=">;0

Page 76: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�"� �������� ���� �� �������

� � �����(�����

> �����

%����

/=">30

��� �)� �� ��� ������ �� � F,�-� ���� � �'����� � � �����. �� ��� ��� � �����'����� �� �� � ��(���� (���& � ����-� � ����-�� � (��� ������ F��� �������" �� ��� � ��� �'����� �� ������ �& ��� ��(�� ���� �� (� � ���� � �� � F,�-�� ����� (���� � � ����.�� ���� ��!� ����� � ��� � �� �������-�� �� ���� � ������ �� 2�� �� � � E���� ="<>"�� ���� ������ � � F,�-� ���� ��� /� ��� � �� �������-� ��������� ���1

� ��� ��� � �� � ���� ������� � � F,�-� � � ��.�0 �� ,������ ��������� (& ����� �������� ���� �:�����" �� �� ����� � �'����� � � ��� ����� ��������� ��� ��(� � ���� �� �� � ��(���� ��������"

���� "��#� ��5�� ����� �� ��� � � ����� �� ��� �

�:��%�� "-"-�

� ��� �� � ����-� � ���� ��.�� ����&����� ��� ��� �.� ���� ���� ��� �2��� � ������ � � �� � ������ � �� �: ���� �.��� ��G A; /���6�9 � � ��� � ��� � � �� ��� �� � ��� � ���� �� � �� � ���0 � � ��� ����-� ���� ������� � /���6� 9 � ����� � ��� � � ����� ���� 4 � ��� ��� ��� �� ������� ��� � ���0" 7�����+ /�0 ��& � �� � � �&� ������� �� ����� (�� � ����������� � ���� (���� ������� � /�0 (� � � � ��� �� ����� ������������� ����� ������"

���� ������ ����� �"�

���� "��'� ���� � �� $7���� "�"��

/�0 *�� ��� ������� ���� �� ������ �������� ������� � � �����" *����������� � ������ � (���� ��!� �� 2� ������� � ��� �� ���+

�� � � ���� � �� ����

�� � � ���� � �� �� �

+� ��� .�C !,D *� �����-� � 2 ���� ��� �� ������ � �+

��� D ��

����� �

��� �������� ��

�� ���

��� �

�� �� �� �� D � ��� �� ����

*� ����-� �&,��� � ����� � �� ������ �&� � 2���� � 2 ����� � ����� �� ������ � � � /E���� ="<?0� � �� (� � ��� �� �� ��� ��� �� ������ �RCG"�S ����+

�� � ���

���� �

��

����

� ��� ��� � ����

��� � � ���� �� � � ���� ��� �� � ������ � � ����

�� � � � ����� ��� ���� �� $�� /������-� �&,���0

*� ����-� � ����� � ��� ����� (� � ���� ���� �� � � ����� �������� ����� ������� � � �&,��� �����-�"

+� ��� (�0����D *� �����-� � 2 ����� � �� ����� � ���� �+

��� D ��

����� �

��� �������� ��

�� ���

��� ��

��� � � �� �� D � ���� � ���

Page 77: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�"" �������� ���� �� �������

���� "��(� $7� &���� � �& ��� � ��5��� � ��� $7��� "�"��

*� ����-� �&,��� � ����� � �� (����� � � � � � ����-� � �� (� �� ����� ������ � RCG"�S� � ���� �+

�� � ���

���� �

��

����

� ��� ��� � ������� �� � ���� � � ���� � �� �� � ����

��� � � ���� �� � ����� ��

� ���� ��� $�� /������-� �&,���0

*� ����-� � (���� � � ���� � (� � ���� ���� �� � � �����-�"7 �� (� �� � �� ������� �&,���� ��������� � ���(� ��� ��� � �� ���1

����-� ���������� � ����-� ���� � � ��� ����� �� �: ��G A;� ����� ���'���� � ��� � �� �� � ���,��������"

/�0 ��� �� &��� � � ��� ����� � ��� �����+

� � ���

��� �

��

���

� �

����� �

��� �

��� �

���

�����-� �&,��� � �: ��G A;+

������� ��

����� ���� �

��� ���� �

�� ��� � ��

�����

���� ����� � ���� � �� � �� ������ ���� ��� �"�

����-� �&,��� � � ����-� ���� �+

��������

��

�� ��� ���� ��

��� ���� �

��� � �� �

�����

���� ���� � ���+

��� ���� � �

� �

�� ���� � �

��� ����� ��

��� � ��� �

� ����

��� � ���� �

��� ���� ��� ��

�� ���� �� �� � � � � ������ ���

�(������ ��� &��� �� ��'��� � � � ������ ���� � ��G � �&� ������� ���� ��� ���� �-�� � ������ A� ��� &��� �� ������ � � � ������ ���� �����-� ���� � � �&� ������� �� �� ��� ���� �-�� � ������ A�

"-� ��� ��� �� %����� %����� �� %�/��E� �������

%���� � ������ � 5 � 6� �:���� ������� � ��.� ����&���� � �� '����� ��� �� � �� ��.�� ��(��� � ���� � ,������-� '�� � � F,�-� � 6� ���������� � � 6��-���� � �� � �����. � � ��.� � ���" �� (����� ��� �������� ���6�� ����� �&������ � ����� ������� � ��.�� � �����. ������ ��� ��(������� �� 2�� �� �� ����" 7 6�6�� �� G�(� � ����- � ������ � � F,�-� ���.�� � ���� � ���)� ��(���� � � ���� ����-� � �� ��� � #�������� �$���� � /3A5@0� ����� �������� � ����� �� �& �� � � ���� ��������� ���� � �����"7:����� ���� ���� ����� � %�8� �������� ��� �� ��.�� � �����.

� ��� � �� �� � ��(���� ������ � >�� ��=

�� � ������� '�� � ����� � �

��.� -� � ���� - 66 =�" ���������� �� � � �'�����-� � ��� � ���� ��.��

������� � �$��� ��� � �� ���� � (& ��� � 6��-���� � �'�����-� � ���� �1G�(�� � ���� ��������� �� �� ��������� � �������� � � �����. � � ��.�/( �����-� /="A00+

�>���

=�

� �

=�

���

%��/=">50

���� =�� =

���� �� ����� � ��(���� � � �����. ���� � ������ � � �'���1

��-�� �����(����� �� � ������ F��� ������� ��� � ��� �� ������ � � �����. � �� � ������� � ����� ����������" �� ��� �������-�� �� '-��1 �� �������� � �� ������ � ��� ��.�� ���� ��� ��� ���� ���,�����-� ���

Page 78: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�"& �������� ���� �� �������

���� "��+� 3������&��� � � ��� � ��4�� �&�0�� ��D �� ���-� � E� 9��

������ � ��.�� � ���� � ���)� ��(����" �� ������ �� � (& ��� � ,���-� � � � � ������� / � � G�(�0�

�� � ��� �

��/="><0

� � �� �������� � ,���-� � ��� ���(� �� ������� ��:������� �-,����+

�<��

��

%���7 /=">=0

��2� �� ������ 6��-����� ������� ��� ��� �.�� � � ���� � ��.�� � ���� � �1��)� ��(���� �� ,������ �������� ��� �$��� ������ � ��.�� ����"�� � ��(���� ������ � � ��.�� >

�� ��=

�� �� � ������� '�� � ����� �

� ������ �� '-�� �� ������ �� ��� �����'�������" �� �� ����� � ��� ��� ����� � 6����� � �$��� � ���� ������ /3A>A0" �� �� ����� T��C ������ �6��-���� � �� �� ������� ���� ������ � ���� � � �'�����-�� �� ���� ����� ��� ����� � � ��(���� ������ � � ��.�� �� :��� ���������� � ���� ������ ��'���� �� ���� � ����� ������� �� �� ������ �� �'�������� �������� �� � ������ � �� �� ��� �� ��������� � ��� ��������� �� ) ����"�� �� ����� � ���������-� � ������� �� � ��� � 2 ���� �� ���� �� ���� � ��(��� � � ����-�� �� ���� � ����� � � E���� ="<A"

"-& +� ����� �� ����� ����������

��������� ��� ��.� '����� �� (���� ����� � � '��� �� �� ���:��� �� �� ��� ��� �� � � �����. � � ��.�" ���� �� ���� � ����� � � E����="<4� � ����-� ��� � � ��.� ��& ��(����� � (���� .���� �� ����������� ��� ����� �� ��� �� �-�� � &����� %�� ���� ��� � �� ��� � ��� �� &� ��"

���� �������� � �� ��� ���� ����� �"'

���� "��,� ���� � 0����� �������� ������� � A5��

�� ��� ��.� � ��� ����� .� � � �� � 6�� �� �� ��� �� ����������������������� �������� /( ����-� %"5 � %������ %0� ������� � F,�-� �����!� ��� � ��� � ���� ������� � � ����� ��&����� �� 2�� �� � �� ������F��� �� �������� � � ��� ��" ���������� �� � �'�����-� � � ��.� ��� ��� ��!� � 6��-���� � ����� �1G�(� � ���� ��& ��� � ���� ��� � ����.�� � �� !���� ����� /( E���� ="<40" �� �� ����� �� ������� ������� ���� � � �'�����-� � � �'�����-� ���������� � ��� :�� �& ��������� � � ��������� %� � ���� � 2 ����� ��� � � 2 � � � ������-� �� �6�� ������������ ���

�� � � %�=�

/=">>0

�� �� ��������� ����� � � � ����-� ���� � � � � B��C� � ����-� � ��� :���&

���% �� � � % �� /=">@0

���� % � � ��� �� � ����� � � :�� ����������" % � �� � �,� �� ���!� ��� � ����-�� � �����'����-� � � ���������� �����-� � ��� ��������� ,�� ��+

/ �

��

�� �� �

��

� % �� �� � �%

=�

��

%� ��� � � ��

%� ��� � � /=">?0

� �� ��� ��� �� 2 ���� ���� �� ���� ��&���� � � ����-�� �������� ��������� ��� ��� 2 ������� � ����� ��&���� � � ����-� /2��� � %� � �"

Page 79: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�"! �������� ���� �� �������

�������� ������ �� ���� � �� ������� ����� � 2 ����� � ���&+

�� � ���

�� � �� �%

=�

��

�� ��� �%��=�

/=">A0

� �����

=��

��

%��/=">40

,���-� �� � ��� � � �����-� /="A0 ��� ������� � �� �� � ����� "���������� �� ,������ /=">@0 � /=">40 � ��� �� � ����-� � �� �����

��� ���� � � ����-� (� +

�� � % �� � � ��� �

��/="@;0

*� ,���-� ����� � ���(� �� � � � � G�(� ��� ������� ���������I� �� ����� � � � ������� � ��� �� ��.���� �� ���� � ����� � � E����="<4"D���� �� ������ �� �� ,������ �������� ��� F,�-� ��� � ��.�� � ��

!���� ����� ���� ��� �.�� � ���� � ��.�� � (���� ����� �" %�& ���1��� ��� 6��� � ���� � F,�-� �(����"�� ������ �)� � �� �� ,������ ������ ��� (& ���� �� � ���� � ��� 1

�������� �&�����+ /�0 �� � �'�����-� � �� ������� � � ��� /6��-���� � ���� �1G�(�0� � /�0 �� ������������ � �� ����� � � &����� ��� / � � B��C0"��� �� � ���� � ��� ������� � ������ �� � ���-� �� �� ��'�������� � � � ��.� �� � ��:������� ����� ���� ��� �� ���� � ���������� �� � ��� �� � ����.��� ��(������� ���(�� � �� ���:���" ��� �� ����� � ������ �������� (� � � �� ������� �� � � ��:������� ��2����� ��� �� �� � ����.��� '�-���� �� ��� �� �� � ���� � F����� � &�����/� ���� � ���0� � � :�����-� � �����-� � �� ��������� � ������-� /� ���� � 6����-�0"���� ��� ��� ��� � ��� � ������ � ������������ � ��.�� ������1

��� �� (���� ����� � � �� ��� ���� 2� '�� � � ���� � �� *���� � ���� ������ ��� �� 6��-���� � ������� �������� � ���� ���� ����"�� 2�� �� �� (���� � 6����-� ����� ���� �� ������������ ��� ��'1

�� � ���� �������" *� ��2� �������� � �����-� � 6����-�� � ���-� � ���������� � ������-�� 6�� �� � 6��-���� � ������������ &����� �� ,���1����� ����(����" �� � �&������ �� ������� ���� ����� � ���������� 6����-� � ����� ������� � �����-� � � ����� �� ���� ���� � :�����-�� �� ����� ������� �" ������������ � ������� ������� � ���)� ��

���� �������� � �� ��� ���� ����� �"#

� ����� � � �� ������ ����� ��� � ��� ������� /�� 2�� �� �� ��������������1��(����0 � �� � �� ������ ������"�� � �� ����� � ���������"%�������� ��� ����� ������ ��� ����� ������������ ���2���� � 6�1���-� � ���+ ��� � ���� ��������� �& �� � � �� �������� � ��� �2 � � �� ��������� �������� ��" �� ����� ��� ���� � ���� ���� ����� � (���� ��������� �� � ��� �.�� � �

�&������ �� � ���� �� ����� ����9��'� �� � ���� � ��������� ���� � ����!��������� � ����� � �� �������� � ����.� � � (. �� ������ ���"

�:��%�� "-&-�

*� ����-� � ��� (��� � 6����-� ����� � ������ �� � ����� - � �� �� ����6� � � � ��� � ��& ����� ��� = ������ � ��� � ��&��� < � � ���� ������ ��� �� ��������� 1 � � ��� ����� ��� �� ����� � �� ������ � � ��� � � (���" *�� �-�� �� &������ � 6����-� � � ��� ��� %� � � 9�� �%� � �� 9��� �����(����" � ��� �� �� �+ /�0 �� ������������ ��&����� � � ����-�� /�0 �� ������� ��� 6����-� � ��� ��� �� ������ F��� �2 6��.���� �� � � CG� � /�0 ������ ������(� ��� �� � ������ � :�����-��� � �������� � �����-� � 6����-� � G� � $��"

���� "�".� ;��� � *������ ������ �� $7���� "�'��

Page 80: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��, �������� ���� �� �������

/�0 � &� � ��� � �� � � � �� � ���� � � � �� ��� � &� � 6����-�� �� � � � - � �� � ���� �� ��� ������� ���� ����� � '���� 6����-�/% � %�0� ����� �� ��:���� � ���(� ���� � ��� � �� � %��%� � �

%��&�� &� 6������.��� � � ����-� (� � � �� � ���� � ���� � ���

� ���� ��&���� � � ����-� ��& � /( E���� ="=;�0+

�� ����� � � � � ��� �� � � � �� � �����

���� �� ��� � ��

������ ��� ���� �������� � ��&��� � � � ����-�" � ������ ��&����� ����� ����� � 2 ������� ��&���� 6��.���� /2 �0 �+

�� ��

� � � ��� � � � �� � ��� � �� � ��� �� � � � �� � ��� � ��

� � ���� �� ���

/�0 %� ������ � '-�� � /="@;0 � ��� �� �� ������� �&,���� � 6����-����+

�� � � � � ��� � ��� � � ������ � � ���� �� � ��� ��� $��

��� � �� � ��� � ��� �� � ����

�� � � ���� �� � ��� ��� $��

� ������-� � �����-� �����(����" *� ����-� � ��� �

�� � � � � � � ��� � �� �� � ������ � � ���� �� � � @�@<? $��

*� ���������� ���������-� � ������� � ����� � � E���� ="=;�"

/�0 � ������ �� ����� ��� ����-� � 5 $�� � �� :��� ��'��� � �����-� �

���

� ��� G�?�

��� � � ���� � � � � ���

��� �� � ����G �� � �� �� CG ��

���� ��� ���(�� � �� 2�� �� � ,������ � �� 6����-� �� :��� ��� ����-� � 6����-� ����� �� ������� � F,�-� � ��� ������(�" ��� ���� ���������� �� ������ ������ � � :�����-� � �����-� � 6����-�� �� �������� ������-� � 6����-� � �� ������� � ��� � ����� ��� ��� ���)������������ ��� ��� �����(�� ������� ������� �" �� ��� �.-�� � ���� ������� �������������� �&����� � �������� � 6����-� ����� �� ��� � :��� �����-�"

���� �������� � �� ��� ���� ����� ���

�:��%�� "-&-�

� ������� ��� ����-� ��,�� '����� �� ��� ��� � 6����-� � 3;; �� � ���6��� 5; �� � ���� 6��������� ��� �� �: ��& ��� B�� =;; /�� � ���� � ���

� �� � ����� ��� � *�� �-�� �� &������ � 6����-� � � ��� ��� %� � � 9��� %� � �� 9��� �����(����" � ��� �� �� �+ /�0 �� ������������ ��&������ � ����-�� /�0 � ���������-� � ������� ��� 6����-� � ��� ��� �������� F��� � �� � ��� CG"� � /�0 ������ ������(� ������� �� � ����-�������� � ������-� � 6����-� � ��

�� �$�� � � ����-� ������� � ���

� � ��� � �� $��"

���� "�"�� ���� ��5�� �� $7���� "�'��

/�0 ������� ���� ����� � '���� 6����-� /% � %�0 ����� �� ��1:���� � ���(� ���� � ��� � �� � %��%� � � %��&�� &� 6������.���� � ����-� (� � � �� � ���� � ��� � � ���

� ���� ��&���� � � ����-� ��& � /( E���� ="=30+

�� � ��� � �� � � � ���� � � �

��� � �� ��� �� ��

������ ��� � ��� � � ����-�"� ������ ��&���� � ����� ����� � 2 � ����� ������� 6��.���� � �+

�� ��

� ��� � �� � ��� � � � ���� ��� � � �

������ � ���� � � ���� ����

�� �� � � � ��� ���

Page 81: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��� �������� ���� �� �������

/�0 %� ������ � '-�� � /="@;0 � ��� �� �� ������� �&,��� � ������ � 6����-� ���+

�����

� � ��� � ��� � �� � � ������ � � � ���� �� � ��� �� $��

�����

� � ��� � ��� � �� � � ������ � � � ���� �� � ��� � $��

����� � ������-�" *�� ������� ,���� � ��� ���

���

� � � � ��� � ��� � �� �� �� � ������ � � � ���� �� � � 4�A@ $��

����� � � � � ��� � ��� � ����� ��� � ������ � � � ���� �� � � 333�;A $��

� ������-� � �����-�� �����(����" *� ���������-� � ������� ��� (�� � E���� ="=3"

/�0 � ������ ������� ��� 6����-� � �� ����� ��� ����-� � 5; $��� �� :��� ������ � � ����-� � (�

��

� ��� �

?��� � � � ���� � �� � � ���

�� � � ����G �� � ����� �� CG ��

� ������ ������� ��� ��� � �� ����� ��� ����-� � 5;; $�� � ��:��� ��'��� � � ����-� � (�

��

� ��� �

�� ��

?���� � � � ���� � ��� � � ���

� � ��� �� � ����G �� � ���� � CG ��

� ������ ������� � ������ � ���� ���� �����

� ���� � CG��� � ���� ���.� �� ����-� ������� ���� �� 6����-�"

� ��� ��� $��%�����

�-� .������ ���

8�� ��.� ��& ������� � �$��� ��� ��� ������ ��� ��� ����-� ������ � ������ ���!�� ���� �&����� �� �'�.� �,� / /�������� � ������� ' � �����-�0 � �� ������ F���

��� /( E���� >"3�0"

���� �� �������-� � ��&������� ���(� �� � ��� '�.� ���� !���� � �-�� �/ �������� ��� �� ����� " � � ����-�� � �� ���� �� ������ � ���'�.� ����� � ' �� ���� �

���� ��� �

��'" � ��

/ ���� />"30

���� ��� ��� �� ����� " �� ��� ��� � ��� �������-� � � ��� ��� �������-� � F,�-� ��� � ��� � � ����-� /9� � � E���� >"3�0� �� � ��(������������ � � � �����-� � (��� ������ /9 � � E���� >"30� � � ��� ���������� ���� � ��(��� ���� � � ���-� �� �� �-�� �� � ������ � � �,� I��� �

'" ��

/� �9'9� �

/>"50

% � ��������� '" � ��� $���������" �� �� ����(� � � F,�-� ��������� ������� ������� ������� � ��� ����� $�#������ ��!� � '�.� ���� /�������� � ����� " �� � �����-� � ������-�� �����(����" � ����� " ��� �����-� � � '�.� ���� � ��� ���� � ������I � ��� ����� � ������� ��� �������� � �� ����� � ������ � �� ��������� ������� � � ��.�"����� �'�.� �,� ���� ������ F��� ������ ������� ���� � ���

�� ������� � � ��.�� � ������ � �� ���������-� � ���� �������� � �� ��� �������� � ���������-� � �� �� ����� �������� � �� �������� ���������1�� � ������ � �'�.� �,� � � ������ F���� �����(����" �� ���������� �� ��������� ���� ���� �&� �������(� � �$��� ��� ��� ��� /���

3><

Page 82: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��" �������� ��� ��� ���������

���� #��� ��5�� ����&���� 1�2 �5�� � ��� ��: 1�2 !&�4� ����� 5�� �����

�� ������ � ��� � �� �������-� � F,�-� ������� ��� ��� � �� � ���� ������� � ������ � � ����-�0� ��� �� ������ � ���� ��� � �$��� ��� ��� ������/��� �� ������� �� �������� � F,�-� � �� � ��� ��� ����0" %��&�� �� ������F��� (��� � ����-� � ����-�� �����& ���� �&����� �� �'�.� ������ ����& ��� � ������� �������� �� �� ���� � (& � ������ � �������"

*�� ������� ��������� ��� � F,�-� �������� ����� � �������" � ���� ��1���� � � F,�-� �������� ��� � ��� ��.� � ����-� ������ � '� ���������� L����� ��� �� ����� ��� ������ � 3A;?" ��� ������ ������ ��� � �F,�-� �������� � �� � K" %" �" ���� �� � ��� ��- � 3A>4� � �� ��� ���#�������� � $���� �" U��.& ���6�� � �� �� ����� � �������� ������������ ��� � 3A=;� � � ��)���� � � V�� �� ����� � �6������ � ����"

���� ����� �� ������ ����� ���

�-� ��� ��� ��%����� �� ��

8�� ����-� ��& ������� � �$��� ��� ��� ��� ������ ������ � �'�.���� � �� ����� � ��� � �� �'�.� �,� / � �� ������ F��� � ������� � �� ���� ����� �� � ������ � �� ������"���������� � � �� ���� ���� � ��� (��� � �����. ��� ��� �������

� F,�-� �������� ���" ��� ��� � ��� ������� ���!� �� �'�.� �,� � (� � /� �� ������ F��� ��� � '���� � ���� �� ��������� �������� � � ���������� � ����� �� ������ � �� 2� � �I (��� ������ ���� �� ������!������� �������� ��� �� ���� � ����� � � E���� >"5"%������� ������ ��� �.���� �������� � ���������-� � '����� �� ���� �

����� � � E���� >"<" *� �'�����-� ����� � �,� � ����� ��!� � 6��-����� ���� � / �� ������� ���� � ��� ���� ����������� � ���� � ��� �� � ��������0� ������ �� � �'�����-� �� F,�-� � ����� ��!� � 6��-���� ����� �1G�(� / �� ������� ���� ���� � ��� � 2 ���� ������������ ���� � ������� �� � � �'����� � � �����.0"�� ���������-� � '����� ��� ����-� � � ������ ,������ ��� ��� ���-�

�$� ��� � � 2 � /����� � �,� 0� � �� ��� �<�� � ��� � 2 � /����� �

F���0� ���(�� � ��� ����-� ��� ��:������� �-,���" ���� ��� ���(��� � E���� >"<� � ���������-� � ����� ��(�������� ��� ���-� �&� ���� ���(� ��� !���� ��� � ��� � �� ) ������ �� � ���� ������-� /����� 0 � ������&�&� �� ���"*� ����-� ���� �� ���!� ��� �� ����� ������ � � ����-� �& �������

� ���� � � ����-� ����� � �,� � � ����� � F���" ��!� � 6��-���� ��'�����-� ������� � ���������� ���&�� �� � ���� � � � B��C� � ���

���� #��� ��5�� ����&��� ����

Page 83: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��& �������� ��� ��� ���������

���� #��� 3!������� � & � ��� ��� ������� � A5�� ����&��� ����

�� � ����-� ��� �� ����� ������� � ��� ��������� � � 2 � �+

�� �/

�� �� �

��/>"<0

�� ������ �� ���� � ����� � � E���� >"=� � ���������-� � ������� � ��� � � �������� �� � �� ������� �&,���� � ��� � �� :��� � � ����-��&� � 2���� � 2 �� � (� �+

�� �/

�� �� ?

��

�� �/

��

�� ?�

��

/>"=0

���� #�"� 3������&��� � � ��� � ������ A5�� ����&��� ����

���� ����� �� ������ ����� ��'

���� ? � ?� ��� �� ���������� /� (� � ���� ���0 � 2 � � �� ��� :��� ,����������(����" ���(� �� ��!� � �������� ���(� � �� ������� � � ����-������������ � �,� � � � F,�-�� �� ������� � �� :��� ,���� ���� ���� ��� ����� ������ �� �,� " %��� � � E���� >"=� ����� �� ������� ���� ����� ����� �� �'�.� �,� � ������ �� � � E���� >"=� F��� ��� � �������� ��:���� ���� ��� 6�� ���� ������� � ����� ������� � � �'�.� �,� "���� � ,� ��- � � ���������-� � �� ���� �,� / � �� ����� � ������� �

� ����-� '� �&� �������� ��� �� ������ � �'�.�� ��&������� ���(� ��� ��� '�.� ,������� !���� � (� � / �� ����� � ����� " ������� � ��� ���������4� � �������� ����� ��� 2 �� � �� ���� �� �� � �/ 4� /��� '�.����� ������(� ��� ��� ,��������� ������(� ���(� � �� ������ �� �����(�0"�� �������-� � ����� � � E���� >">"�� ������ � ����-� � �� ����� ������ � � ����-� ������� � ��� ��������� �

� 2 ������� � � ��� ,��� � � '���+

�� �/

�� �� �

��/>">�0

�/

��

/ 4� �

��/>">�0

�/

�� �

4� �

1��

�/>">�0

���� 1� ������ � ���� � ��� � � ����-� ����� � 2 �"

���� #�#� ��5�� ����&��� ���� ���� !&�4� ����� 5�� �����

Page 84: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��! �������� ��� ��� ���������

�� �:����-�� 2 ���� � ��� �������� � �� ������ �������� � ����-����� �� �� ��� �� ,���-� � ���� �+

� �4� �

1��

� � � � �1��

4�/>"@0

� ���(� �� 2 ���� ��� � ��� ��� ��� � � 2 � /������� � � ���.� � � ��� � �� �������-�0� � �� ������-� �� ���� � (� � � � '�.� /� ����� � ,��������� 4�" G-�� �� ����� � �� �����-� � � '�.� ���� � 2���� ��&� ��������� � ���� ������� ����� � 2 �" G-��� ����������� ������ ��� � � ,���������� ���� � � ������ � 2 ����� ��� �������� ���� �� � ������� ���(��� '��� � �,� � �&� 2�� ��& 2 ����� 2 � /�� �� 2�� �� ���� � � E���� >"=�0� �� �������� ������ ����� � ,���������� ��� � � ������ � 2 ����� ��� �� ������ ���� ��� ������� ���(��� '��� � F���� �&� ��� ��& 2 ���� � 2 � /���� 2�� �� ���� � � E���� >"=�0" *� ���������-� �&:�� � � E���� >"@ ��������� � ������-� � 2 ���� � ���� � � ,���-� />"@0"�)� ��� �� ! ���� ��� ����� � ���� ���� � ����� � 6� ������� ��

� �����. � � ��.� ������� � F,�-� �������� � ���� ���6�� ����� �&������� ����� ������� � ��.�� � �����. ������ ��� ��(�� ���� �� 2�� � ������" ���������� �� ������ ���� � ���� ����� � %�8� ��������( ����� ��� �� ��.�� � �����. � ��� � �� �� � ��(���� ������ � >

�� ��=

��

� ������� '�� � ����� � � ��.� -� � ���� - 66 =�" �� �� ����� ���

���� #�'� 3���� ���� ���<�� �� 7 &��� A5�� ����&��� ����

���� ����� �� ������ ����� ��#

������� �� � ������� ������ � �� ��������� :��� �� '���� � ������ ��'���� ���� ���,�������� � ����� �������" �� ����������� � ��� ������ ��+/�0 � 6��-���� � ����� � /� �������� ���'�� � �� :���0 � (& ��� � �

�'�����-� � �,� � �/�0 � 6��-���� ��� �.��� � ����� �1G�(� / ������-� � �� :��� ����1

����� � �� ��������� � 2 ����0 � (& ��� � � �'�����-� � F,�-�+%���� 6��-����� 2���� ��� � �� �����-� � �������� � ���������-� � � � � �

B��C� ����� ,��� �� �� ����� �������� ��� � F,�-� �������� � ��.������ � ���� � ��.�� � ���� � ���)� ��(����� ����� � �� ����� � F,�-� ������� � F,�-� �(����"

�:��%�� �-�-�

*� (��� ��������� � � E���� >"?� � � ����-� ������ � � � - / � � �-� �� ����� � �-� 0 � ��& ������� � �� �� � '�.�� �� � ������-�� ��������� � � ��� ��� (���� � � ������ � � ��.�� � �� ������ � �� ������� � ������ ������� � � �����. � � (��� ��� ��� ,������� 4� � 4 ��� � ���������-� �������� � �� ������� � � (���� ��� (� �� �&,���� � ������� � (� � �&,���� � ,��������� ��� �� � (��� ��� ���� ��� ������� � ������-�"

7��� � �� �������-� � � (���� �� �� � �'�.�� ��� ���'��� �� �� ���� ������ � � E���� >"?�� � ���

/ � �� � �� � � 4

�� ������ � (��� ��& ������� � F,�-� �������� ���" *� ���������-� � �������� ��� � �- � ���� � � � ��� � �� :��� ����� � 2 �" %��� �� (� ���&,��� � ������ � �� ������� � ��� � �� :��� ,���� / � � � -� 0 � (� �+

�� � � �

�-� �4�

���

��

� � �

�-

����4

-

��� � � �

�-�

�4��

���

��

� � �

�-

����4

-

�G-�� ��� ��� � � ������-� � ,��������� ������(�� � ����-� � � :��

������ ��� � ��������� � ������-�" �� ��� ���� � ����-� � � :����'��� ��� � �& ������� � ������-� �� 4 6 -��� � � �����-� � ���� �������"*�� �����(�� ������������ � ������� � ������ � �� E����� >"?� � �"

Page 85: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�&, �������� ��� ��� ���������

���� #�(� $7���� #����

� 2 ���� � ��� ��� ��� � � 2 �� � �����-�+

� � �1��

4�� � ��

�4�� �

���-�

�-4� � �

-�

4

��� 4 6-�� � ��� �� � 5 �-� � ��� �� 2 ���� �� ���� � � ����-�" ���45 -�� � ��� �� � 6 �-� � � 2 ���� ���� � � ����-�"

�:��%�� �-�-�

*� (��� ��������� � � E���� >"A� � � ����-� ������ � � � - / � � �-��� � ���� � �-� 0 � ��& ������� � ��� ���� (���� �������� ���'��������������� � (� � +� � � �� �� � '�.�� �� � ������-�� �� ������ � �� ������ ��(��� � �� ������� � ����� ���+ /�0 � ��(� � ������ � � ��.��/�0 (� � ������ � �� '�.�� � ��� �� �� 6��� �������� � � ��.� � /�0 ����������-� � ������� � �� ������� � � �� ��� � �� � ��� �� (� � � �

���� ����� �� ������ ����� �&�

���� #�+� $7���� #����

/�0 7��� � �� �������-� � � (���� �� �� � �'�.�� ���� �� ���� � ������ � E���� >"A�+

/��� � �� � ����� �+

� � � � � �

�� ������ � (��� ��& ������� � F,�-� �������� ���" *� ��(� � ������� ��� ��(� � � ��� ��� ���� ,���-� (�� �������� �� � ������-� � ������� � ������ � ���� ����-�" %���

4���� � � �����

/����

+

�� � � � � �

�� � ��� ��&�� � ��� (� � �&,��� 4��� � �� � � +�����

/�0 *� ����-� �&� ������� � '���� � �� ���.��� ��������� � � ����-����� � �� ������ ������ F��� �&,���� � ��� � � �� ������� ��� ����,���������" ��!� 2����� ������ �� ����&� �������� � � :�� ��'��

Page 86: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�&� �������� ��� ��� ���������

� � ����-� ���� �� � ,��������� � ��� ����-� � ��� �� -��� � ��+

4��� � �� � � +����� 6-

�� � 5

+��

-

/�0 *� ���������-� � ������� � �� ������� � � �� ��� � �� � ��� (� �� � �+����- � ����� � � E���� >"A�" �� � ����-� � � � ������ F��� ��� �� 4� � � �� �� ������ � ���������-� � ������� � ���'�� � � (� �

���� � �� � ����� � �� � � �

�-� ��

+��

�-�

�� � ����-� � � ��� � ��� �� � ���� �+�� � 4� � ���� ��+���� � � -�� *��������� ,���� (� �&�

�� �� � ���� � � �

�-

����4

-

�� ��

�-� � �

��

+��

�-�

����� � ���� � � �

�-

����4

-

�� ��

�-� � �

��

+��

�-�

% � 4 6 -��� �� ������� ��� ����� � ������-�" �� � ����-� � � �� � ����� � +���� � 4� � +����� � -�� *�� ������� ,���� (� �&�

�� �� � �� � � � �

�-

����4

-

�� � �

�-� ��

+��

�-�

����� � �� � � � �

�-

����4

-

�� �

� � ������� �� �� 6�� �������� � ����� � ���� � � ��.�"

�:��%�� �-�-�

8� �� � � ����-� ������ � � � - ��� � �� ���� � ������� � � � � ������ ���'�.� � ������-� � � ��� CG ������ ��� ������ ��!� ����� � E���� >"4"�� �� �+ /�0 �� �� � �'�.�� � � ��.�I /�0 ������-� � 2 ���� � ��������-�I /�0 ������� ���� � �&,���� � ���� ����-�"

*�� ������������ ��������� � � ����-� ���+

� � �� � �� � � �� ��� � �� ��

� �� � ��� � ������ ���

�� �� ������ 1��� ���� � ���� �� ��" %��&�� � ����� &��� � � ��� �����-� �

� '�.�� � �#�����-� �� � �#���� ���� � ����� �� ��� �������� ���)�"

���� ����� �� ������ ����� �&�

���� #�,� $7���� #����

/�0 �� � �'�.�� � � ��.�

*�� ������� ��&� �������� � F,�-� ������� ���� ��� ���� � ������������� ��� 2 � � ���� ����-�" *� ,��������� � � '�.� � '����-� � ���������� � � � ����-� ��������� � ,��� ����� � �� � �+

4���� � � ��� �-

�� ������ �� �� � �'�.�� ���+

/��� � �� ��� � ��0���� � �� ��� � ��

-

����� � �� ��� 4���� � ��-

� �'�.� �,� � �������� � � ��� � � ��.�� ������ �� F��� �� ��� ��� ��� �"

/�0 ������-� � 2 ���� � ���� ����-�

� 2 ���� � ���� ����-� � ��� � � 2 � � ���� ����-�� � ���� � 2 �� � ������+

9 ��� � � 1��

4� ���� ��� �� �

���

Page 87: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�&" �������� ��� ��� ���������

�� ������ 2 ���� � ���� � ���� � ��(��� � ����� �� �� � ���-� ���� �� ���� � ����� � � E���� >"3;"

/�0 ������� �&,���� � ���� ����-�

*�� ������� � �� ����� ��� ���� � � ��.� ���+

�� �/

���

4� �

1��

��

/

��� �

9���

��������� � ������-� � 2 ���� � '&�� ( �� �� ������������ � �������

�&� ���� �� ����2���� � � E���� >"3; ��� �� ������� ��� � �� � � ��� � �

*�� �&,���� ��������� � ������ � �� :��� ������ /���� � � � � �0� �(� �+

����� ��� �/

�� �

�� ���

��

/

�� � �

��� ������� ����� ���� � �� �� � �5�;A< $�� � ����� ���� � �� � �<�<<< $��" *���&,���� �������� � ������ � �� :��� ��'��� /���� � � � � �0� � (� �+

����� ��� �/

��� �

�� ���

��

/

��� ��

��� ������� ����� ���� � �� �� � ;�=3@? $�� � ����� ���� � �� � 3�@@? $��"

���� #��.� �&������ �� $7���� #����

���� ����� �� ������ ������� �&�

���� #���� ��5�� ����&��� �0����

�-� ��� ��� ��%����� ������

� ��� �� ��� ��.� ��& �� ������� � �$��� ��� ��� ������ ������ ��� ���������� ���!� �� ������ � �'�.�� �� � ��� � �� �'�.� �,� / � �� ������F���� �������� � �� � ��� ������ � �� � ���� ������� � � F,�-� � � ��.��� ���� �� �� (��� ������ �� ������� ��� ������� � �� 2� ������� �� ����� � �� ������� /( E���� >"33�0" � �'�.� �,� � ������ �����&������� ���(� ��� � ��� �� � '�.� ���� / ,�������� �� �������� �������� � �� � ���� ������� � � ����� /E���� >"33�0"%������� � ��� ����-� ������ � �� ���� � �� �������-�� ���� '���

� �� 2� ������� � � ����� � � ����-�� � ���� �������� '��� � 2 ����"

�-�-� ������� �� �:�� %��� �%����

��������� ��� ��.� ��� ������� � F,�-� �������� �(���� ��2� � ����-� ��� �'�.� �,� / � �� ������ F���

��� � �(���� ����� � �� 2� ������� � �

����� � � ����-� /( E���� >"33�0" 7����������� (��� ������ F������

� ��� ��� ��������� ��!� �� 2� ������� � � ����� � � ����-�� � ���� ����������� � (��� ������ ��!� ���6�� 2� �� � ��"7 '��� ��& ��� � � ������ � F,�-� �������� ���� � �'�����-� � �

������ ��� ������ � �� ��� �������� � ���������-�" %��� � �'�����-�

Page 88: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�&& �������� ��� ��� ���������

����� � �,� � ����� ��!� � 6��-���� � ���� � / �� ������� ���� � ��� ��������������� � ���� � ��� �� � �� ������0� ������ �� � �'�����-� �� F,�-�� ����� ��!� � 6��-���� � ���� �1G�(� / �� ������� ���� ���� � ���� 2 ���� ����������� � ���� � ������� �� � � �'����� � � �����.0"�� ���������-� � '����� ��� ����-� � � ������ ,������ ��� ��� ���-��$� ��� � � 2 � /����� � �,� 0� �� ��� �<�� � ��� � 2 � /����� � F�����0� � �� ��� �<�� � ��� � 2 � /����� � F��� ��0� ���(�� � ��� ����-���� ��:������� �-,���" *� ���������-� � ���� ��(������� ���(� � �� !������� � ��� � ) ����( ���� ������-� � ������& �&� �� ���"� (� � � �� ������� ���� � � �� ����� ������ � � ����-�� � ���������

��� �� ����� � �� 2� ������� �� ��� ����� ������� �� ������ ��������� ���������-�" �� �� ����� � ������� �� ������� �������� ��� �'�.��,� � �� ����������� � F,�-� �(����� � � '���+

�� �/

�� �� �

���

�� �

��/>"A0

���(� ��� � ����� � � 6��-���� � �'�����-� � ���� �1G�(� � � � �� B��C� � ���������-� � ������� � ��� � �� ��������� �� �"

�� ��� ���� �,� / � �� ����� � ������� � � ����-� '� �&� ��������� ��� �� ������ � �'�.�� ��&������� ���(� �� � ��� '�.� ,������� !����� (� � / �� ����� � ���� � ������ "� ���� ������-� ����� � �� 2�������� � " �4�� 4�� (�� ���� �� �� ������+

�� � / 4� � �� � �/ 4� />"40

� ����

4� ���

/� 4� � ���

//>"3;0

�� F,�-� �������� �(����� ���� � ������ " �� ��& ������� ��� �������� �� 2� ������� �" *� �����-� '" /� ��� � � E���� >"330� ������� � (���������� � � ��.� � � ��� � �� �������-�" ��!� � ������ � ����-� � �� ����������� � � ����-� ��� ,���� ������� ����+

�� �/

�� �� �

���

�� �

��/>"33�0

�/

��

/ 4� �

���

/ 4� �

��/>"33�0

�/

���

4� �

1��

�4� �

1��

�/>"33�0

���� ����� �� ������ ������� �&'

���� 1� ������ � 1� �

����� ��� �� ����� � ��� � � ����-� ����� � ��

2� /�� �0� �����(����"�� �:����-�� ) ���� � ��� �������� � �� ������ �� ���� ����-�

���� �� �" �� ������ ���� ���� � �� � ,���-� �� ���� �� �� � �� �������� ����� � �����-� � 2 ����+

� �4� �

1��

�4� �

1��

� � />"350

�(������ ���� � � �����-� � ��� ��� �������� � � ��� ��" 7��6� ����� ��� �� ���� � ��(��� � � ����-� �� � ��� � �� � � �������� � ���.� � � ��� � �� �������-� /�����-� ���0"�� � ��� � � � � �� ������ � �������-� � 2 ���� ��� �� 2� ��� ���

�����(����� � ���+

��� � � � � � 9 � �1��

4������ 9 � ������ � ����� �

��� � � � � � � � �1��

4������ � � ������ � ����� �

7� ���(�� �� �� ���� � ������ " � ���� � ���� � ��(��� � � ��1��-� '� ��� �� � ,��������� ��������� ������ F��� ��� ��� ���������� ���(� � 2 ���� � � 2� � � ����-�� ������ ���� � ������� � �����-� �������-�� ��!� �� ����� � � '�.� ���� / " �� '���� ��� 4�� 4� � ��9� � � �" �� �������� �� " � � 2� � '� ��� �� � ,��������� ������� �F,�-� ��� ���� ���������� ���(�� 2 ���� � ���� � ���� � ��(���� � ����-� ������� � � ����-� ��(������� � � ��� .����� ��� ���������� � ������������ �4�� 4� � �� 9� � � ��"*� ���������-� �&:�� � � E���� >"35 ��� ������ 2 ���� � ����

� �� ,������ ������"��������� � �����-� � 2 ���� ��� � ,���-� � � ��� ���� �

����� � � ����-�+��

1��

���

1��

� � />"3<0

� ���(� �� ,��� ��� ������� ���-� �������� �� ���� � ������" /4�� 4�0 � 2 ����� �� ��� ������� ������� �� � ) ���� � �� ������ ���� �� ���� � ������ �� �� � �� �� � ����� � ������ � �� ������"���� �������� �� �)� ��� �� ��� � 3A>4� ���� �� ������������ �&:��� � � E���� >"3< ��� ������ 2 ����� ��!� ���� � ������ �� ,���� ����� � � ��� ���� � ����� � � ����-�� �����(����"

Page 89: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�&! �������� ��� ��� ���������

���� #���� 3���� ���� ���<�� �� 7 &��� A5�� ����&��� �0����

���� #���� 3���� ���� ���<�� �� 7 &��� � ������ �� � ��� � ����� � � ������ � ���� � � ���� � �� �����

���� ����� �� ������ ������� �&#

���� #��"� � ��� � ����� � %& � �����4� ���� & � ����

7��������� � ����������-�� ��� ������� �� �� �� !�� � � 6�� � ��1���� �!� � ���� � ��� ����-� /( ����-� >">0+ �� ���� � ������ "� ��� �.� � � ��� � ��� ��� 1� �� 2� ����� ����������� � �� �����(����������� � " ��� ���� �� ���� � ��� � �� ����� ." 7��6� ����� . � ������ � � � ��� 1 ����� � � ��� ���� � ����� � � ����-� /E���� >"3=0"�� '���� ���������� �� � ��� 1� ��� � ��� � ��( ���� � ������

" � ���� � �� 2� ������� � � �� ������ "� � "�� ����� ���������� � ���� ���(��� ��� +� � +�� �����(����" �� ������ �� �����-�� � '��� ���-����� �+

+��

+�� � />"3=0

������ � ������-� � " ������� ��� �� ������ "� � "�� ������ � ����� ������ F,�-� �������� ���� � �� �����(�� 2� ����� �&� ��� �� � �� 2�������� � � ������ � � ��������+

� � �1��

+�� ��� " � "� � � � �1��

+�� ��� " � "� />"3>0

����� ��� ���� � ����� � �� ����� . ���� ��� �� ��� �� ���������+

�� � �1��+�

� �� � �1��+�

/>"3@0

� �� �� ��������� ������ � � � ��� 1 ����� � � ��� ���� � �����"���� ���� � ������� �������� ��� ��� ������ ������ �� � � ��� 1"

Page 90: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�', �������� ��� ��� ���������

D���� �6�� �� ��� ��� �������-� � �� ��� '�.� ���� / ���! � �� ����������� " � � ��� 1� � ��������� ��4�� 4��� 2 ���� ���������� ������ ����� ." � �������� � ���������-� ����� �� �� '���� � � '�.� /

�������� � " ��� ���(� ��� � � ����-� � ��� '�.�� ���� � /� � /�� �� ������� "� � "�� �����(����� �� � ��+

/�

/�

4�+�

�/�

/�

4�+�

/>"3?0

�� �� ��� � ���� � �� ������+

�� � �/� +� � �/ 4� />"3A�0

�� � �/� +� � �/ 4� />"3A�0

%��&�� � ��� ����� " ��� � ��� 1� � ���� ��

/� �/� � /

�4�+��

4�+�

�� / � � � / />"340

����� /� �� ����� � "�� ���� /� �� ����� � "�� ������ ����-� ���� �� �� ����� .I �� ����������� � ���������-� � ������ ���(� �� � / �� ������ " � ����� ������� ����-� ���� �� � � ." �� ������ 2 ���� ���� �� .��� ��� ������-� ������ � " ��� � ��� 1"

�:��%�� �-�-�-�

8� �� � � ����-� ������ � �� - ���� �� ���� � ������� � � � � � ������ ���'�.� � ������-� � � ��� CG ������ ��� ������ ��!� ����� � E���� >"3>"�� �� �+ /�0 �� �� � �'�.�� � � ��.�I /�0 ������-� � �����-� � 2 ����� ���� ����-�I /�0 ������� �&,���� � ���� ����-�"

*�� ������������ ��������� � � ����-� ���+

� � �� � �� � � �� ���

�� ��

� �� � ��� � ����� ��� � 1�

��

���

� ��� �� ��

�� ��

� �� � ��� � ������ ��� � 1�

��

���

� ���� �� ��

�� ���&�� � ������ �� &��� ��+

� � �#�����

-� �#����

�� � �#����

��

�� �#����

��� �

��

���� ����� �� ������ ������� �'�

���� #��#� $7���� #������

���� �� � -� � ��

/�0 �� � �'�.�� � � ��.�

�� �� ��� ���� �� ,���������� � � ���� � '����-� � � ��������� � � � ����-� ��������� � ,��� ����� � �� �+

4���� �-

�� 4���� �

�� ������ �� �� � �'�.�� ���+

/��� � �� ��� � ��0���� � �� ��� ���� � ��� ���

0���� � �� ��� ��� � � ��� ���

����� � �� ��� 4���� � �� �

����� � �� ��� 4���� � ��-

� �'�.� �,� � �� ������� ��� ��������� � � ��� � � ��.�� ������ �� �� F���� ��� ��� ��� ��� �"

Page 91: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�'� �������� ��� ��� ���������

/�0 ������-� � �����-� � 2 ���� � ���� ����-�

� 2 ���� � ���� ����-� ���� � �� 2� ��� �� � � ����-� � �� ������ � ��� � ���������

9 ��� � � 1��

4� ���� ��� �� �

��� � � ��� � � 1�

4� ���� ��� �� �

���

�� ������ 2 ���� � ���� � ���� � ��(��� � ����� �� �� � ���-� ���� ��!� � ����� � � E���� >"3@"

/�0 ������� �&,���� � ���� ����-�

*�� ������� � �� ����� ��� ���� � � ��.� ���+

�� �/

���

4� �

1��

�4� �

1��

��

/

��� �

9���� �

����

��������� � ������-� � 2 ���� � '&�� ( �� �� ������������ � �������

�&� ���� �� ����2���� � � E���� >"3@ ��� �� ������� ��� � �� � � ��� � � *�

���� #��'� �&������ �� $7���� #������

���� ����� �� ������ ������� �'�

�&,��� ������-� � ����� � ����� �� ������ ����� �.������ � (� +

����� �/

�� �

� �

�� �����

�� �

��

��

/

�� � �� �

��� ������� �� ���� � �� �� � �<�<<< $�� � �� ���� � �� � �>�A<< $��" *� �&,��������-� � ����� � ����� �� ������ ��'�� ��6�� � (� +

����� �/

���

� �

�� �����

�� �

��

��

/

��� �� ��

��� ������� �� ���� � �� �� � 3�@@? $�� � �� ���� � �� � =�3@? $��"

�:��%�� �-�-�-�

8�� ��.� � ����-� � W ��& ������� � ��� '�.� ���� � ������-�/ � 3>; CG��� ����� � ����� " � � E���� >"3? /����� � ��"0" �� �� �+ /�0 �������1��-� � �������I /�0 ������-� � �����-� � 2 ����I /�0 ������� �&,����� �/�0 ���������-� � ������� � � ��� � � � ��'��"

���� #��(� ���� �� $7���� #������

Page 92: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�'" �������� ��� ��� ���������

��� ����.� � �� �� �� �� ������������ ��������� � � ����-�" � &� �+

� � � � � � � � � � �� � � � ��� � ���

� ������� � � ����-� ��& �������� ��� ����� � �� 2� ��,� ��� �?�� @��� �+

@�

� ����

��

�� � �� � � �� � ��� � � �� � ����� �

� ��� �� ��

?�

� ����

��

�� � �� � � �� � �� � �� � ��� ���� �

� �� �� ��

*�� ������� � ����� ����� � �� 2� ����������� �?�@� ���+

�� �

�� � ���

� � � � � ��� �����

� � � ���

� � � � � ��� �����

�����

� � �� � � � ��� ����

�� � ��� �� ���

�� �

�� � ���

� � � � � ���� �����

�� � ���

� � � � � ��� �����

��� � ���

� �� � � � ��� ����

� ���� �� ���

��� � � � � � �� � � ��� � � � � � � �� � � �� � � � � �� � ���� �� � ���� ��� ����� � ���

*�� 2� ������� � � ����� � � ����-� � ���� ������ ��+

��� � �������� �

� ����� � ���� ��� � ��� �� � �� ��� � ��� ���

� �� ������� � ����� ����� � �� 2� ������� � � ����� ���+

�� � �� ���� � �� ���

� � ��� ��� � ���� � ���

�� � �� ���� � �� ���

� � ��� ��� � ����� � ���

*� ,��������� � ����� " �

4 ��4�� � 4�� �

����� ��� � ��� ��� � ��� �� ��

� �� �� � �-�� � � ������ F��� ����� � � ,��������� � � ����+

� � / � 4 � ��� � ��� � ��� �� � ���� G �� � ������ � G ����� ������ '��� ��� 2 @ �� &��� � H ���� �+

���H ��� �

��� �� �� �� H � �� � �

���� ����� �� ������ ������� �'�

���� #��+� $7���� #������� ������������ �� ��� �� ��D ��� 7� ��� ������

� �������� �6�� ������ ��!� �� 2� ������� � � ����� /( E���� >"3A0+

�� � � ���� � � ���� � H� � ����� � G"�

�� � � ���� � � ���� � H� � ������ � G"�

/�0 7��������-� � �������

*�� ������� ���� � ���� �� �� �� ������ � ,���-�+

�� �/

�� �� �

���

�� �

��

� � ��� � ���

�� � ���� � ������ �

���� � ���� � � ���� � ����� �

���� � � ���� � � ���� ��

� ���� ���� �� ��� � � ��� � � � $������ �� ��������� ��� �� ���� � ��"

/�0 �2 ����

� ����� � �����-� � 2 ���� ���� ��� �������� � �� ������ �� ��������-� ���� �� �� � ���+

�� � � � ���� ���� �� ��� � � ��� � � ��� ��� ������ � '��� ���-���� ����+

��� � ��

� �� �

Page 93: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�'& �������� ��� ��� ���������

���� #��,� $7���� #������� ����� ���� �� 7 &���

���� 9 � ��� � �� � � � � � �� ��� �� ��������� � �� ������ � �������-�� 2 ���� ��� �� 2� ������� � � ����� /E���� >"34�0" 7 � ������-� � ���� � ������� � ����� �� �,� � � ������-�� � ���� �� 6�� �������� ������-� � � ��6� � 2 ���� � �������� � � �.����� � ���"

������� �� � ��� ���� � ����� ��� ���2� 1� � �� � �� � 1� � �� �� ����!� �� 2� ��� �� � �����(����� ��� ����� ������� � ������-� � 2 ���������� � ���������-� �&:�� � � E���� >"34�" �(������ �� ���� ���������� �� �� ��� ��� ��������"

/�0 ������� �&,����

P���� � ������ � �� ������ �&� � 2���� � 2 ���� ��� ��!� � E����>"5;� ��� �� ������ % � �� � ��������� /� ��0 %�?�@� � ���� �� �� �� � � �?�@� ����� �� �� �� ��� �� �� � ������� � ���� ������ � ������ ����'��� ������� ��������� � ������ � 2� ������� �" � ���� ��� � �� ������+

� � ? ��� �@ ���

� � �? ��� �@ ���

���� � &��� � �� '���� �� 2� ��� �� ��� �� 2� �?�@� � ������ ��� ����������� /� ��0 %��� �� � � �� ������ ��� � � ��� �� � ���� ��� �� ���

���� ����� �� ������ ������� �''

���� #��.� $7���� #������� �������&��� � � ��� � ���� �� �����

���� #���� $7���� #������� �������&��� � � ��� � ���� � ��� � !����

Page 94: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�'! �������� ��� ��� ���������

����������� ���� ��������� � � � � ������� � ���+

�� � ���� ���� �� ��� � ���� ��� � ��� � � � ���� ��� $��� ��� � �� $�� /������-�0

�� � ���� ���� �� ��� � ���� ��� � ��� � � � ���� ��� $��� ���� �� $�� /�����-�0

��� �� ������ ��?�@� � ���� ������ �� � ��?�@� � � ��� �� ��� ��� �� '���� � �� 2� ������� � ��� �� ��� ���� �� � ����� ������ �� � ���� �� � � ��� �� �� ���� ����� �� �������+

�� � ���� ���� �� ��� � ����� ��� � ��� � � � ���� �� $��� ���� � $�� /������-�0

�� � ���� ���� �� ��� � ����� �� � ��� � � � ���� ��� $��� ���� � $�� /������-�0

��� ���(�� �� �� ������� � ���� ��� ������ ��� ���� �� � ����-��&,��� � ������-� �� � ����� � ����� %"

/�0 7��������-� � ������� � � ��� � � � ��'��

*� ���������-� � ������� � � ��� � � � ��'�� � ����� ��.���� ��� ��� 2 ���� �� ����� � � �� ����� ��� ,���� � � ����� /( E���� >"530"� (� � � �� ������� ���� � � �� ������ ��?�@� � ���� �� �� �� � ���?�@� �

���� �� �� �� ���� �� �� �� ����������� �� (� �� � ��� ��������� /���� �� ����� �� �� ���� ����� �� � ����� � ���� ���0 � � ,���-� � ��+

�� � ���� ���� �� ��� � ���� �� � ��� � � � ���� ��� $��� �� � �� $�� /�����-�0

��� � ���� ���� �� ��� � ����� � � � ��� � � � ���� ��� $��� ���� ��$�� /������-�0

�-�-� ������� ���� ��

� ������ ����� � � F,�-� �������� �(���� ��� ������ ��(������ ���1����� � ���������-� � ��� �.���� �� �� ����� �������� � ������ � �'�.��,� � ������ ����� � � F,�-� ��� �(����" ��������� ��� � �������-� � � E���� >"55�� � � �� ���!�� ��� � ����-� �� �,� /� ������� � ���� ���(���� � �� ������

���� �������� � � ��� �� ��� �� ��.� � ��� ���

���� ����� �� ������ ������� �'#

���� #���� $��&��� ������ � �� A5�� ����&��� �0����

* ������ 11� � � ��� �� ���� �� ' � �� ��� �� �����-� � �� ����� 2 ���� ���������� � � �������-� � ������ �(����

��� � &��� � � �(��2

E �� '��� (��� ������ ��� � ��� 11� � ��� �� �� � ���� � � ����-�="<"< � �� �� ��

��� E � ������

/>"530

���� �� 2� ��� �� � �������� ��� � ��.� � � ��� � �� �������-� � (��������� �����(���� /( E���� >"55�0"%� ������ �������� � ���������-� � �� ,������ �������� ��� �'�.�

�,� � �� ��� ���� � � ������ ����� � � F,�-� �(����� �� ���� � ������ �������� � �����-� � � ��� 11�� � ����-� ���� � �� ����� ������ � �����-� ;� ������� � ��� ��������� 1 � � ��� 11�� � ��� �� �� � � � '���

�� �/

�� ����

����

1 />"550

���� � � &� � � ����-������ �� ��� E � � ������-� � ������� ��� � ��� 11�� ���� � ������ � ����� � � ����-� ����� � ���6� ��� � 1 ����� ������(� �� ����� ; ��& � ��� � �� ���� ����� ���������"*� ��������� �������-� � F,�-� �������� ��� ������� ������� ����

����� � � �������-� � ��� '�.� ���� / �������� � ���� � ������ " �

Page 95: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�!, �������� ��� ��� ���������

,�������� ������� ��� � ��.� � � ��� � �� �������-� ��� � � ��� ��������� 4 � ���� � ��(���� �� �� �

��� � � ��� E � �/ 4 ��� E /���� / ��� ����� � 4

���� ���(��� � ������ � 10� �� ���� � ����� � � E���� >"55�" �������� �,���-� />"550 ��� ������ ����

�� �/

��

/ 4 ��� E

���

1 />"5<�0

�/

�� �

4 ��� E

1���

1

�/>"5<�0

���� 1��

� �����

��� � ���� � ��� � � ����-� ����� � � ��� 11�

% ���� � � ,���-� />"5<�0 ��� ����� � �����-� � 2 ���� ���

����

� �4 ��� E

1���

1 � � 1 � � 1���

4 ��� E/>"5=0

�� ������ 2 ���� ��� � ��� � � � ��� 11�� � ��& ������� � ��� ���������� � �1�

���� � 4 ��� E �� � ���6� ��� � � ��� ������� � ���� �� ���� �

������" ��� �� ���� 2����:�� � ���������-� �&:�� � � E���� >"5<"7:����� F ���� � ��������� � ����� ; � 2 ����� � '��� �� �� ������(�

�� ����� ; � ������� ' ��&� � ����� ��� � 2 ����� � �����(� � ������������ � �����-� />"5<�0 ��� ������ ���� ��� ����+

�� �/

F

�/>"5>0

���� #���� 3���� ���� ���<�� � �� ������� �� 7 &���

���� ����� �� ������ ������� �!�

���� #��"� 3������&��� � � ��� � A5�� ����&��� �0����

� ��� �� � ����� �� ���� �������� � ���� � � 6��-���� � ���� �1G�(� � � � � � B��C� �� �� ����� ��� ���� ��� ���������-� ��� � ����������� (� �� ��������� � � � ��������� � 2 ����" %��� ���(���� � E���� >"5=� � ������ �� � /�� � � ����-� � �������� � ���� �� ��2��.� � ��&��� �����+

����

�F

� �� � ��

F

��

/

F

�/>"5@0

*� �����-� />"5>0 � ��� ,���-� � �����(� � � ������� �������� /���"/@"33�0 � /@"35�00 � ���� �& �� � ����� � �� ������� � F,�-� ���������������� � ������-� � 2 ����"���� ��� ���(�� � � E���� >"5=� � ����-� �&,��� � �� � �� :��� �&�

� 2���� � 2 ���� � �� (� � �+

�����

�/

F���

�/>"5?0

�:�� � �� �-�-�-�

7����� �� � ���������-� � ������� � � �����-� />"5>0� ������� � ������ ����� � � F,�-� �������� �(����� � ���(� �� � � � �����-� /@"35�0�������� � ������ ��!� �� 2� ������� � � �����"

Page 96: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�!� �������� ��� ��� ���������

��������� �� 2� ������� � � ����� � � ����-� ��� ��� �� ���� � ������� � E���� >"33" �� ���� � �����- � � ����-� >"<"3� � �����-� � 2 �����'��� � ���6�� 2�� �+

� �4� �

1��

�4� �

1��

� � />"5A0

*� ��������� F � �� ����� ; � � ����-�� � ��������� ��� �� '���� � ��2� ������� �� � 2 ���� � ��� �� �� � ��� �������� ����+

F �� �

�� �

���

� �� �

�����

��

���

���

���

���

�� />"540

�� ������ �� � ��������� � � ���� � ��(��� '��� �� � 2 ���� �+

� ����

��

���

���

���

���

�� />"<;0

�� ������ � ���-� F�� � ���� ���+

F

�� ��

4� �

1��

�4� �

1��

/>"<30

� � ����-� � ����� ; �+

�� �/

F

��

/

�� �

4� �

1��

�4� �

1��

�/>"<50

� �� ������ � ���(� ���� �� �� ��� ,������ �������� ��� � � ��������"

�:��%�� �-�-�-�

8�� ��.� � ����-� � W ��& ������� � ��� '�.� ���� � ������-� / � ���

CG� �� ����� � ����� " � � E���� >"5> /����� � ��"0" �� �� �� ��� �.���� ��'-�� �� � ������ ����� � � F,�-� �������� �(����+ /�0 ������-� � �����-�� 2 ����� /�0 ���������-� � ������� � ������� �&,����� � /�0 ���������-� �������� � � ��� � � � ��'��"

���� ����� �� ������ ������� �!�

���� #��#� $7���� #������

*�� ������� � ����� � � ����-� ����� � �� 2� ����������� �?�@� '����� �� ���� � �2�� � >"<"3"5+

�� � � ��� �� ��� � �� � ���� �� ��� � ��� � ����� � ���

�� �� ���� �6�� �� ������� � ����� � � ����-� ����� � �� 2� ��� ���:����� �� � � ��.� � � ��� � �� �������-�'" � (��� ������� ������� �� � �����" � ������ '��� ��� 2 @ �� &��� � H ���� �+

���H ��� �

��� �� �� �� H � �� �

�� �����+

�� ��� � ��

��� � ��

��� H� ��� ��� H

� ����� ��� ���� ��� �� � ��� �� � �� ���

�� ��� � ��

� �� � ��

��� H� �� ��� H

� ����� �� � ���� �� � �� � ���

� ����� � ���

Page 97: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�!" �������� ��� ��� ���������

���� #��'� $7���� #������� ����� ���� � �� ������� �� 7 &���

��� ��� � ��

��� H� ��� ��� H

� ����� ��� � ��� � ���� �� �� �� ���

/�0 ������-� � �����-� � 2 ����

� &��� � � �(��2 E � � ��� 11�� ��� � � 2 ���� ���� ��� (���������� ��!� 2 � /( E���� >"5@0� � �� �� � � � '���

��� E � ������

� ��� �� ������ ��

� ��� �� E � ���� ���

�� ������ &��� � � � ��� 11� ����� � 2 ? (� +

! � ��� � H� E � ��� � �� � � � ��� ��� � ��� ���

� ������ � ����� � � ����-� ����� � 2 11� (� +

���� ��� � ��

��� � ��

��� ! � ��� ��� !

� ����� ��� �� ���� ����� � � � �� �� ���

���� ����� �� ������ ������� �!�

���� #��(� $7���� #������� ����&�� � ��� ����� ���� �� 7 &���

����� �� &� � � ����-� � � � ��� � ���� ���� � ��� � ���� ������ 2 11� (� +

1���

� ����

�� ��� � � ���

*� ,��������� � ����� " �

4 ��4��� 4�

��

����� ��� � ��� ��� � ��� �� ��

�� �� ������ � ��������� � 2 ���� ��� � 2 11� (� +

� �1���

�4 ��� E��

��� � �

���� �� � ��� ����� ������ � �� ��

/�0 7��������-� � ������� � ������� �&,����

*� ���������-� � ������� � �� ���� � ����- � � E���� >"5;� (������ ��� ��� ��� � ��������� � 2 ����" *�� ������� �&,���� � ��� � �� �������&� � 2���� � ���� � ���� � �� ������ % � �

Page 98: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�!& �������� ��� ��� ���������

��!� � ����� � � E���� >"5?� � ��������� F � 2 ���� � �� ����� ������� � ����-� ;� � ��������� ;�?�@�� ��� �� �� �� � '����-� � � ��������� �� &��� � !� � � '���+

F � �� 1

� �� ? ��� ! �@ ��� !

%� ������ ��� ,���-� � �� ������ % � � � � ��������� /� ��0 %�?�@� ����� �� �� �� � � �?�@� � ���� �� �� ��� � ��� F� � �� ��� �� � F� � ��� ��� ��" *��������� � ���� ������ ���� ��!� � �����-� />"5>0+

�� ����� � ����� � ���� � �� ���

� �� �� � ��� � �� $��

�� ����� � ����� � ���� � ���� ����

� �� �� � ���� � $��

�� �� �� ���� �� ������� � �� ������ ��?�@� � ���� ������ �� � ��?�@� �

� ��� �� ��� ��� ����� ���������� � 2 ���� ��� F� � �� ��� �� � F� � �� ��� ��������(����� � ��� �� � ���� �� $�� � �� � ���� �� $��" ��� ���(���� �� ������� � ���� ��� ������ ��� ���� �� � ����-� �&,��� � ������-��� � ����� � ����� %"

/�0 7��������-� � ������� � � ��� � � � ��'��

*�� ������� ���� � � �� ������ ��?�@� � ���� �� �� �� � ���?�@� � ���� �� �� ��������� ���� �� �� �� ����������� �� (� �� � ��� ���������� � 2 �����F� � ��� ��� �� � F�� � �� � ��� � � ,���-� � ��" ������������ � ������� � �� � �� $�� � ��� � ���� �� $��"

�-" +� ����� �� ����� ����������

���� � ������ �� ������� ��������� ��� ��.� '����� �� (���� ����� �� '��� �� �� ���:��� �� �� ��� ��� �� � � �����. � � ��.�" ���%� �� (� �� � �� �-�� �� � ��������� � �� ��'��� ����� � � � ��.�� ���� �� � %��% �� ����������� ��:����� � ���(� ���� ����� � �-�� �� ��������� � '����� % ���������� ��������� ��������� �� �������������������� � �� ����-� /( ����-� %"5 � %������ %0+ ���� ��&����� &�6������.��� � ������� ������� � � ����� ��&�����"

���� �������� � �� ��� ���� ����� �!'

�� ��� ��.� � ��� ����� .� ��& ������� � F,�-� �������� ��� �� ��������� � �.�� �� ������ �������� � ���������-� � �� �� ����� �������� ��� � �������-� � �'�.� �,� /����-� <"<0 � � ������ F��� /����-� ="@0" %����� 2�� �� ������� �� �������� /<"3A0 � /="@=0 � ��� �� � ����-� � �� �������� ���� � � ����-� (� +

�� � �

�/

�� �� �

��

�/>"<<�0

� �/

�� �

4� �

1��

�/>"<<�0

���� � � &� 6������.���� �� � ������ ������� � ����� ��&��������� � 2 �� 1�� � �� � � � ���� � ��� ��&���� � � ����-� ����� � 2�� � 4� � ��� � / � � ,���������"

D���� �� ������ �� �� ,������ �������� ��� F,�-� �������� ��� ���.�� � �� !���� ����� ���� ��� �.�� � ���� � ��.�� � (���� ����� �"%�& ������ ��� 6��� � ���� � F,�-� �(����"

�:��%�� �-"-�

*� ��.� � 6����-� ������� � � E���� >"5A�� � ����-� ������ � � � -

/- � �� ��� � � � ��0 � ������� � /� � � �0� � '����� � � ������� ����+ /�0� ���� = ������ � ��� � ��&��� < � � ��� �������� � 6��.���� � ��� ���'�.� � � � � CG ���� ���� /�0 � 6������� � ����-� ������ � � ���� �� �������� ����� �� ��������� 1 � � ��� ����� ��� �� ����� � �� ������� � ��� � � (���� � /�0 ��� (. ������� 6����-� � ����� �� ������ �� ��,���� ��� � ��� *�� �-�� �� &������ � 6����-� � � ��� ��� %� � � 9��� %� � �� 9��� �����(����" �� �� �+ /�0 � ���������-� � ������� �� ����� ����� � '�������-� � 6����-�� /�0 � ����-� ������ � �� ������� /�0 ���������� � � ��(���� ������ � � ��.�� /�0 �� ������� ��� 6����-� � ��� ��� �� ������ F��� � �� � � CG� � /0 � ��(���� :�� � � ��.�"

� &� � ��� � �� � � , �� � ���� � � � �� ��� � &� � 6����-� ��� � � � �� � �� � ���� �� ��� ������� ���� ����� � '���� 6����-�/% � %�0� ��:���� � ���(� ���� � ��� � �� � %��%� � � %��&�� &�6������.��� � � ����-� (� � � �� � ���� � ���� � ���

Page 99: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�!! �������� ��� ��� ���������

���� #��+� $7���� #�"��

� ���� ��&���� � � ����-� ��& � /( E���� >"5A�0+

�� ����� � � � � ��� �� � � � �� � �����

���� �� ��� � ��

������ ��� ���� �������� � ��&��� � � � ����-�" � ������ ��&����� ����� ����� � 2 � �+

�� ��

� � � ��� � � � �� � ��� � �� � ��� �� � � � �� � ��� � ���

� � ���� �� ���

/�0 � 6�6� � ���� �� ������ � ���(� �� � �� ��� ��� '�.� � �� � �� CG� ������-� ��� ��� ,��������� � 4� � � �-� � 7� 1� � � ���� �� �� � � �� ��� ��� � � �� ��� �� ������� ,����" ���� ��(��� �� ������ F��� ���'��� (� � �� � �/ 4� � ����� � ���� � ���� � � � ����� � ��� � � � ��� G�"

���� �������� � �� ��� ���� ����� �!#

���� F,�-� �������� ����� � 6����-� ��� ���������-� ��� � ��������� �� �� ������� �&,���� ���+

���

���� � ������� � � ���� �

��� � � � ���! � ���� � � ����!�� � � ���� ��

� ��� ��� $��

���

� ���� � ������� � � ���� �

��� � � � ���! � ���� �� � ����!�� � � ���� ��

� ��� ��� $��� �����-� � ������-�� �����(����"

/�0 *� ����-� � ��� ������ � ����� � '�������-� �

���

� � � � ���

�� �� � ����

� � �&

��� � ������� � � ���� �

��� � � � ���! � ��� � � � ����!�� � � ����

'��

� � >�@<> $��

���� ��� ������ ������� � � ����-� � ������� � ������ ����� � ������ � ����-� � ���� �� ������"*� ���������-� � ������� � � ����-� ��� (� � � E���� >"5A�" ���1

(� �� ��� ���������-� � ������� � ������� ������ � �� ����� ��� � ��.��� �������-� ,��� � ����"

/�0 � ���������� ������ � � ��.� �

��� �/ �

% ��

�� � ��� � � � � ��� � ���� � � ���� � � � �� � ���� �

� � ��(���� ������ � ��� �� �� � ����

>�

��

�� �

% ��� ��� � ��

� � �� � � � ���� � � � � ��� � �� � � ���� ��� � � �� � � ���� ���

� �� ��� ��� �� ���� � ��(���� � =��� ���� �� ��� ���� � ��(���� ��

���2� � � ��.�"

/�0 *� �������-� � �� ������ F��� ������(� �� � � CG� ��� ��� ���� ���1����� � ����-� � 6����-� �

��� � � � � ��� � ��� � � ������ � � ���� �� � ��� ��� $��

���

� � � � � ��� � ���� �� � ����!�� � � ���� �� � ��� ��� $��

Page 100: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�#, �������� ��� ��� ���������

� ������-� � �����-� �����(���� � �� ������� � ����-� � ��� �

��� � � � � � � ��� � ��� � � � ����!�� � � ���� �� � � @�@<? $��

*�� ������� :�� � � 6����-� ���� �� ������

��� � ��� ���� � � �� � � $��

��

�� � ���� ����� � � �� �� $��

� � ���

��� � ��� ���� � � � � ��$��

*� ���������-� :�� � ������� � � ����-� ��� (� � � E���� >"5A�"

/0 � ������� � ��(���� ����� � � ����-� � ������ �

�>� ��� �

% ���

� � ��� � � � � ��� � �� � � ���� �

�� � �� �� � ���� ���

� � ��(���� :�� �

>�� � >�

� ��>� � �� ��� � ���� ���

� �� ��� ��� �� ���� � ��(���� � =�� � ���� �� �� ��� ���� � ��(���� ������� � � ��.�"

�-� CA ��� ������ �� �� �� ���

� 6� ��������� �� �������� �� � ��� ����-� ������� � F,�-� ������������ � �(����� �� ���������� ���� � ������ � ���� � ���� � ��1(��� � � ����-�� ��� �� � ,��������� ��������� ������ F��� ��� ������ ���������� ���(� '�� � �,� � 2 ���� � � 2� � ������� � �����-� � ���� � ���& ������� � �����-� � ������-�� ��!� �� ����� � �,� "�� �������� �� ���� � ������ � � 2� � ���� � ��(���� ��� �� �,��������� ������� � F,�-� ��� ���� ���������� ���(�� � 2 ���� ����� � ���� � ��(��� � � ����-� ������� � � ����-� ��(������� � � ���.����� ��� ���������� � ��� ���������" �� ����� 6�6� � �� 2 ������� � �� � � ����-� ���� � � ,��������� � � '�.� ���� �� ����� � ��� (� � � ����"

���� ������ ����� �� �� ������ �#�

���� #��,� FD��� � ���� � & � �����

����� ����� �� ���� 6����-� � � ���������� ���� ��� �������� ������-� ��� ���)� � ���-� � �� �������� � ������-�" �� � ������ ���������� ��& � � .��� � �� ��� ��� ������� ����� � �� �����-� � ��� '�.����� �� ���!� ��� � ����-�� ��� �� ���� ��� ������� � ������-�"� �:� �!��� ����� � ��� ������ ���� ��� �������� � �� ������

�� � ��� ������� ���� ���� � ������ � �����-� � ������-� ,��������������� ������� ���� � � ����� ����� � ����� �� ������ � � ����-�"��� ������ �!� � ���� 6���� ��� � �� �������� ��������+

�0 ��� �� � ����-� ��� ������� � ������� ���� � � ����� ����� � ������� ��:���� �� 2 ���� �� ��� � � ����-�"

�0 ���� � ������ � 2 ���� ���� �����(����� ����� ������ � � ��������� � ����� � � ��� � ����� � � ����-�"

�� ����������� �!� � ���� � ��� ����-� ��& '����� �� �� ������������ � ��� ��(� ����� ��� �������� � �� ������ ��� ����� � � ������� � ������ � �� ���� ������� �� '���� � �(� (�� ���(,� � �����-�"� ������� � �!� � ���� � ��� ����-� ��� (���� �.�� ��� �&� '��� ����

�� � ��� � ����� ��� �� ���� � ����� � � E���� >"54+

Page 101: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�#� �������� ��� ��� ���������

3" � �!��� ����� � �� ����� ������+ �� �� � '��� ��� ���� ��������������� ��:������� � 2���� � ���� � ��(���� � ��� � ������� � �� ��� ����� � ������ ��:������� � 2���� � ������� � ��������2� ����� ��:������� �-,���� � ��� �� ������� � � ����-�"

5" � �!��� ����� ������ �� "������� � �� ������ ���� ��� ������( �� ��� ����� � ������ ��:������� �-,���� � ���� � ��(��� � ���1����� 2� ����� ��:������� � 2���� � ��� ���� ��� �� ���� � �����-�"

<" � �!��� ����� � �� ����� ���$� � ����$�+ �� �� � '��� � ������ ��.����� �� ������ � ��(� '���� � ���6� ����� �� � ����� ����� ������"���� �������� �� ��� �� ������ ������ �� � ���6�� ���� � ������ ��.��� ����� ����� 2� ����� ������� � � ������ ����$� � � ����-�� ���� � ������� "

=" � �!��� ����� � ������ � �� ������ ����$� � �� ������( �� �� ������� � ������ ��� �� ������ �� �� �� ���� � �� ���� � �� ����������� � �� ���!�� ��� � ����-�I �� ����� ��� ����� � ����� ����� /�����-�� ������-�0� �� �� ���� �� ���� ��������� �� �� ����� ����� � � �(� (�� ���(,�"

����� ������� ���� � �:����-� � ������ � �& �� � � �!� � ���� ���� � ���� �� �� ��� ��- � �� ��� ��� #�������� � $���� �� ��� ����� �3A>4" D����� � ����������-�� �-�� � ������ �!� � ���� � � ����� ������������� ��"

�-�-� +� ��� �� ����

�� ��� ����-� ���� � � ���� . ��� ��� 2 �� ��� �� ���� � ���� � �2 ������� � ����� � ���� � ��� ���������� �

1� ��

��

� .���

� .��

�.

��

/>"<=0

�� ������ ���� � �!� � ���� � ��� ����-� ���� � �& �� ���� � ����������/( E���� >"<;0" �� �� ���� ���� � �!� � ���� ��������� �� 2 ������ ������ � � ����-�" ������� �� 2�� �� ���� � �������� � � :����'�� � ���� �� � �����-� � � �." �����:����� ��� �����-� ��� � ,���-���� � 2 ���� � F,�-� �������� ��� � ��� � 2 ��

��4� �

1��

� � />"<>0

���� ������ ����� �� �� ������ �#�

���� #��.� FD��� � ���� � & � ����� ����&���

� ���+

� �4 ��.��.� ��

� � 4 �.

�/>"<@0

���� 4 � ���� � ���� � �� ������� � �!� � ���� � � ����-� ���� �� ���� ."

�-�-� +� ��� ����� �� ����

�� ��� ����-� ����� ���� � � ����� .� � .�� ,��� ������ �����(�������� ��� 2 �� ��� �� ���� � ���� � � 2 ������� � ����� � ���� ���� ���������� �

1� ��

��

� �.�� �.�

����

� �.�� �.�

���

.�� �.�

�/>"<?0

�� ������ ���� � �!� � ���� � ��� ����-� ����� ���� � �& �� ���� �����������" %� ������ �� ����� ���� � � ��� �.��� ��� � ����-� ���� �� �� �� �1��� ���� � �!� � ���� ��������� �� 2 ���� �� ������ � � ����-���� 2�� �� � � :�� ��'�� � ���� �� � �����-� � � �.� �����:����� ��������-� ��� � ,���-� ��� � 2 ���� � F,�-� �������� ��� � ���� 2 �� � ���

� �4 ��.����

����

� � 4 �.�� �.�

�.�

5.�

�/>"<A0

���� 4 � ���� � ���� � �� ������� � �!� � ���� � � ����-� ��������� �"

Page 102: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�#" �������� ��� ��� ���������

���� #���� FD��� � ���� � & � ����� ���� �&���

�-�-� +� ��� �� ��������

*� �(� (�� ���(,� ��� ����-� ������ � � ��������� � , - � � ���������-�" *�� ����� � ��� ����� � �� 2� ������� � � ����� ��� 1�� � -��� �1�� � ���� " ��������� � ��� ��� �� 2 ���� ��������� ��� ��� ��� ������-� � � �-� I ���� � ������ ���������� � ������ � � � �����-�� 2 ���� �+

� �4� ���

��

1��� � 4� �

-

�/>"<40

7 '��� ��& ���� ��� 2 ���� ��������� ��� ��� ��� � �����-� � �

�� � ���� � ������ � ����� / ��� ,��������� 4� � ���������� ���� � ������ �� ������ �/� �� ����������� 2�

����� ���� � ��� � ����� �� �� �� � � ������ � � � ����/ ����� � � ��� ���� � ����� � � ����-�" �� ��� ������ ����� � �� 2� ��� ��� �!� � ���� � �� ���� � ������� � -�� � ���� �����(����� ��!� � ���(�� � E���� >"<3"

�-�-" +� ��� �� ��0�� �

*� �(� (�� ���(,� � ��� ����-� � ��� � �������� � �� ��&��� �� �� ����� ����� � � E���� >"<5" �� ������ �!� � ���� �& �� ���� ���� �

���� ������ ����� �� �� ������ �#�

���� #���� FD��� � ���� � & � ����� ���� )

���� ������ �� �� �������� � ��� ������� � (��&� ����� �� �� ����� ���� � � ����-� � �����-�"*� ������-� � ����� � � ������� � ������� �� ��� ��� � �����-�

� � �-� � � 2 ���� ���������� � �� � �� ���� � ������+

� �4� ���

��

1��� � 4� �

1��-

/>"=;0

�� ��� ����� / � �� 2 ���� ���������� ��� � �����-� � � �� � � ���+

� �4�

��

1��� � 4� � � 1

��

�/>"=30

�:��%�� �-�-�

7���2� �!� � ���� � � ����-� W � � E���� >"<< /����� � ��0"

*�� ������������ ��������� � � ����-� ��� /( �2�� � >"<"3"30+

� � ��� � ��� �� � ���� � ��� �� � ����� � ���

��� �� 2� ������� � ��� �� '������ �� &��� � � � ��� ��� ��� �� 2� �?�@� �������� �� ����� � ��� ���+

1�� ��������� �

��� �� �� � ��� 1�� �

����� �

��� �� ��� � ���

Page 103: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�#& �������� ��� ��� ���������

���� #���� ���� �� $7���� #�#��

��� ���� �!� � ���� 6� ���� �� ����� � ������ ������������ �� 2� ����� �(� (��� � � ����-� /E���� >"<=�0" *� �����-� � 2 ����� '����-� � �� ,���������� � ���� � ������ �+

� �4� �

1��

�4� �

1��

� �

� �� ��������� � ���� � ������� � '����-� � �� ��������� � �� ������� �������-� � 2 ���� ��� �� 2� ������� � � ����� /9� �0� ���+

4� � �1��

94� � �1�

*� �����-� � 2 ���� ��� '��� � �� 2� ������� � � � ����-� �+

� � �� �� � � ��� ��

�� ��� ������ � '��� ���-���� ����

���� �� ��

��� �� �

� �� ��������� � �� ������ � �������-� � ����� ��� �� 2� ������� � ���+

9� � ���� �� �� �� � ���� � ��

���� ������ ����� �� �� ������ �#'

���� ���� � ������ "� �������� � 2 ���� �� ��� �� �������� ������1���+

4�� � � ��� �

���� �� � ��� �� ��

4�� � � �� �

��� �� ��� �� ��

#������� ����� ��� 2 ���� ��� � �����-�+

� � �� � � � � � �

"9� � �� � � ���� � � �� �� ��

� ������ �� ��������� � ���� � ������ ���������� "�+

4�� � � ��� �

� � � � ��� �� ��

4�� � � �� �

� �� �� � ��� �� ��

��� 2 ���� ��� � �����-�+

� � ���� �� � � ��� ��"

9� � ���� �� ���� � ��� �� ��

�� ��������� � ���� � ������ "� ���+

4�� � � ��� �

��� ��� ��� �� ��

4�� � � �� �

�� ��� ��� �� ��

��� 2 ���� ��� � �����-�+

� � ��� � � � ��� ��

"9� � ���� �� ���� � ��� �� ��

�� ��������� � ���� � ������ "� ���+

4�� � � ��� �

��� ��� ��� �� ��

4�� � � �� �

��� �� � ��� �� ��

��� 2 ���� ��� � �����-�+

� � ��� �� � � �� ��"

9� � � �� �� ���� � ���� �� ��

Page 104: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�#! �������� ��� ��� ���������

���� #��"� FD��� � ���� � �� ����� �� $7���� #�#��

�� ��������� � ���� � ������ "� ���+

4�� � � ��� �

� �� �� � ��� �� ��

4�� � � �� �

���� �� � ��� �� ��

E��� ��� ��� 2 ���� ��� � �����-�+

� � ��� �� � � �� ��"

9� � � �� �� ���� � �� � �� ��

�� ��������� � ���� � ������ "� ���+

4�� � � ��� �

�� ��� ��� �� ��

4�� � � �� �

� � ��� ��� �� ��

� �!� � ���� � � ����-� �� �� � ������ ����� ���(,� ������� �� ��� ����� ���� �� �� �� ����� � ������ �������� "� � "� /E���� >"<=�0"

& �������� $�������

&-� .������ ���

� ��� �� ��� ����-� � ��� ��.� ��& ������� � ����������� � �������� ��������� � ���!� �� �'�.� ������� � ���� ��� �� ���� � '�.�� ��� �� � � ��� � � ����-�" 7��� �� � ,������� � �'�.� ������ ��� ��� � ,�������� �� ������ F��� (���� � ��� ������ ��'���� � ��� ��.� ������� �������� ��& ������� ������� � F,�-�" D��� � � �� ���� ��� � ������� ������ ���� �� 6�6� ��� ���� � ������ � �� ������� ����������� � ���������-� � ������ F��� (���� � �'�.� ������" %������� �������� ����� ��� � ����-� �� �'�.� �,� �N� �� ������ ����" �� �� ����� ���������� �� �������� � ���������-� � �� ���� � �� �� ����� �������� ��� ������ � ��� ���� ��� ��� �� �������� � �� ������ �� �����������"*� �������-� � �� �'�.� ������ �0 ��� � ����-� ��� ��� � ,������� � ���

���������-� � ������� �������� � �� ��� � ��� � � ����-�� � �� '��� ��� ���� � � ���-� ����� +

�0 �

��

�� �� /@"30

���� �����-� (����� ��� ,����� '��� � �� 2� ������� � � ����� � �����-�� ��� ��� ���� ��� �������� ����� � ��� ��+

0� �

��

��� �� � 0� �

��

��� �� /@"50

���� 0�� 0� ��� �� ��������� � �'�.� ������ � ���� ��� �� ��������� � � ����-� �������� "*�� �������� ������ �� ������ ��� ������ � ���������-� � �������

�������� �� ����� ������� ���� � �� ������ �� ������� 6�� 6��-���� ��� � �'�����-� � � ������" 7�������� 6��-���� � �'�����-� ��� ��� � ������1��� �� �����" �� � �� ���� � �������� ����� � ����� ���� ����� �

344

Page 105: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�,, �������� �� ����� ��������

�� ��������( ������ � ��� 6��-���� � �'�����-� ��� ���� " � ������� � �����1�����-�� � ���� � � ������� � �� ������ ������ � � 6��-���� � �'�����-�� F,�-� � �����1D���� /6��-���� ��� �.��� � ����� �1G�(�0"

&-� (���)� ��������� �� �� ��������

*� 6��-���� �&� ���� �� ��� 6��� ����� � � �'�����-� � ��� ������� ��� ��.� ����&���� ������� � ������� � �� *��� ������� ���������� ������� ����� � � ���� ������� � �� ������ � �� �������� �� � ���� �����,+�� �� ����� � ��� ������ � ������� �� �� ���� � ������� � � E���� @"3�������� � � ����-� � �� �'�.� ������ � ��� �������� �����-�� ��� ����-����� � �� ���& ����� � ��� ��:������� �-,��� �� �� ��� �.������ ���(�� (� � �?� � � �����-� � ������ �������" *� �������-� ���� � �������� ��� ����� ��� ���� � � ������ (��& ���� ��+

��?

��/@"<0

�� ������ � ������ ��& ������� � �� ����� � �������-� ���'�� � (� � " ��� ���� � � � B��C� � ����-� �������� �� ���!� � �� ����� ��� ���� � � ����-� (� +

� � ' /@"=0

���� ' � �-�� � � ����. ����(�� � ����� � � ��.�"

���� '��� ?������� � �!������� � �� )��-� �� ���

���� ����� ������ � ���� �� �,�

���� � �� ���� � ���� ������� �� � ���� � �'�.� ������� � ������ ���������-� ���'�� � ������� �������� �� � �����-� ��������� ��� � � �'�.� ������� � � (� �+

� �0

�/@">0

���� � � &� � � ����-�" *� �������-� ���� � (� �& ������+

�0

'�/@"@0

G-�� �� � �������� � ��� :�� ��� ����� �� 2�� �� � � :�� �� �� �� ����� � ��(��� � �� ��� ������� ,���� � � ������� (�� ���� ��+

�� �������?��

������

/@"?�0

� �� � ���

� � � /@"?�0

� �

/@"?�0

% � ���)� (� � � � �������-� ���� � � �� � �������� ���������� ��������� ������� �� �� ������ �� � ������ ������� ���� � ��������� � �����-� � �'�.� ������"���� ���� ���� � � ������� �� � ��������� ������� ���� �� ���1

� �� ���������� � ��� ���� ����� � �- ���� �� ���� � �������� � ������ �3 �� � ������ �� (�� � �������� � ��������� � �� ������� �������� �" ��'���� ��������� ��� ����-� � ��� ��.� ������� � �'�.� ������ (���� �

���� '��� ) ��� � �� � ����� ���� � �� ��� � � �� �����

Page 106: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�,� �������� �� ����� ��������

���� '��� ��������� � � �� ���-� �� ���� & �� � ����� ���� � ��������

�� ���� � ���6� ����-� �-,��� � �������� �� ���� � ����� � � E����@"5" �� � ����-� �������� � ��� ���6� ���� � (���� � �� ���� ���������!� � ���� ���� � ��� ����-� ��� ��������� � ��� �������� ��1�� � �������� ��� � ��� �������� � ������ � �" ��!� �������� � ������������� � ���:�� ��� � � ��.�� ������� � � ����-� ���� �� ,���� ����������� ���� � ������ � ��" ��� � ��� � ��� ���:�� ��� � � ��.���& �� � �������� ��� �� �� � �� �" �� ������ � !���� �����-� ����� � � ����-� �������� � � ������ �-,���� � ������� � � ����-�� � � ������ � ����� �������� ���������� � � 6��-���� ������ � �� � �����-� � � ����-��������� ������� ��� � � �'�.� ������ �������"���� ������������� ������ �� � ���� ���� � � ������� � ���� � ���

6��-���� � �'�����-� ,���(���� ���� �:����" ��� ������ � 6������ ��� �.���� ���� ���� ��� � �.� �& �� � � ������ � ��.�� ������ ���6� ������� � �� ����� /( E���� @"<0"������� � � �� ���� � ���� � ��� ���� ���,����� � �������

� �� �&� ������ ��� �� ��� ���� �����'��� �� ���������� � ��� ���� ������ �- ��� �� �� ���� �� �������� ��� �� 6��-���� � �'�����-� ��� �.���� � ������ � ������� ���� � ��������� �� � F,�-� � � ��.�"

&-� (���)� �� $��������

��������� ��� ��.� ����&���� ��� � ����-� ������� �� �������� � � ���� � ��.�� ������� � F,�-� ���� ��!� �� � ��� ������� � ����� /F,�-� ���0"���������� � '���� � ���� � �� ��� ��� ������ ��'���� � � ��.����!�� �� ������ F��� (���� �� � �� �'�.� ������ 0�� ����� ���������� � ��� ������� � ����� �� /( E���� @"=0"7 ��� ���� � ������� � � ������� ������� �� ��� ������� � /'���� 0

� �� /���� 0� ������� ��� ��������� ��� � ����� � ���-�+

0� � ����

��/@"A0

���� ����� � ���� ���� �,�

��������� �6�� � ������ ��(����� �� ��� ���:�� � ��� ������� ��� �� 2 � � (��� � �� ���� � � ��� �� �� ��.� ��� � ��� � � ����-� � �� � ��� ���� �� ��.� ��� � ��� � � ����-� ��" ��������� ��� ���� �'�.�� ��!� 2 � �� ���!�� ��� � ��� ����� � � ������ /30 �� ������ ����� � ���6� ���:�� � ���" 7 ����� ��� � � ������� � G�(����� � ��� �� ���!�� ���� ������� ���� � ������ � �� ���� �� ���� � ��� � ��� � � ����-� /30� ������� �� � ��� ����� (� +

� �

��

�� � �

��

���

��� � � ���

����

�� � /@"40

���� � � ��� � � ����-� ��� � �� � (� !� ���6� �� ���� /&� ������ � E���� @"=0 � ��

�� � �

��� � � ������ ��&���� � ����� � 2 �"

7 ���� '���� ��� � ��� � ���!�� ���� ������� ���� � ������ � � ����-� � ������ �� � ���� ���� �� ���� � � �� (� +

� � �� � ���

�� � ���

��� � � ��� � ���

����

�� � /@"3;0

*� ��'���� �� ����� '�.�� ���� � �+

�� � ����

����

�� � /@"33�0

�0� ��

����

�� � /@"33�0

���� � 6� ����� � ����� �� ��� � �0� ��"

���� '�"� 3�&���� � �� !���&�� � ������ �

Page 107: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�," �������� �� ����� ��������

G-�� �� � ,���-� ����� � ��������� � (� ��� � ������ F����� �� �- � ���� � ���� � ���� � � (�����-� � ���6� ������ �� �� � ������� ������ 0�" ���(� ������� ��� � � 2 � �� 2 �� ���� �� �������� � ����-�� ������ ��&���� ����� � ���6� 2 � &� ����� ������� ������� � � ��� �� � ���� � � (� � ���� ���� � ������ ��&���� � &� ��������� ���2� � ����"

���������� �� ��� ���� �� ������� �������� � �� � ��� � � ������/50� ������� �� ���2� � � ��� � ���� 2� ��� � ��� /30 �����" * �������. � � �� ���� � ���� ������� �������� � � ��� ����� ��

�. � ��

���

� �� /@"35�0

� �� ���� ��� /@"35�0

���� ��� � � ������� � ������ �� � ���� ���� �:���� ���� � ����-������ ���� � � ���:�� ������"� ��� ���� � '�.�� ��!� � �����-� � � ���� ��'���� /30 ,�� ��

�. � �� /( E���� @"=0 �� �� ������ ���� ���� �� �������� /@"33�0 � /@"35�0� ���� ��+

���� �0��

��� �

�� ���/@"3<0

*� ,���-� ����� � �������� ���� ������ � :�������� /3A??0� ����� �� ����1�� ���,����� � (� �� ������� ������ � (���� 6���� ���� �� ��� �.��� �� K���1X�C� � 3A== ��� �� �� � (���� � ���� � (���� ������ ��� �� ���� � ��� ������� ��� � 3A>@" ���(� �� ���6� '-�� � �� ��������� (� � � � ����-������ � �� ����� ������� ���� (� � ���� � � ����-� �������� ����� � � ��� � � ���:�� � ��������"G-�� �� � ������� ��� ���� � '�.�� ��!� 2 � �� ���!�� ��� �

��� ����� � � ������ /50 �� ���� �� ���2� � ���6� ���:�� � ��� ����� �� � '�.� ����� �� � ��� /30 2� ��� ���� � ������� � (� � ���� � �.� � � ������ ������� � �� ���!� ��� � ��� ����� /( E���� @">�0" *��������� ������ � � ���:�� � ��� � � ��� /50 ���� ��(������ � ���� (� � � ������ ������� � �� �� ���!�� ��� � ���:�� � ��� � � ��� /30"

�� �������� � ��������� � �� ������� �������� �� 2���� � �� �����1�� ������� ��� �� � 2 � � ��.�� �� ����� � � ���:�� ������� ������ ��� � �� ����� ���� ��������� � � ��� � � /� � ��0� ���� ��� ��������� � � ��� �� /� ����0 �& ���� � ���� ����� � � ���������� ����-��������� �������� � � ���:�� � ��� ������" ����� ������� ������ ��� �� ������� � � �� � ������ � � E���� @">�" ���(� ��� ��!� ��������

���� ����� � ���� ���� �,�

���� '�#� ) ��� � ���� �� � �� � �����

� ���������� ����� ���&� �������� 6���� � ��� /6���� ��� � �� ����0 � �����&� � � /���� � ����� � �� ����0"

�� ������ � '-�� � � �� ����� /@"3<0 ��� ���� 6� �� �� � ����� ���� �� �-�� �� ����� � ����-� ����� ���� �� ���!� ��� � ���:�� ������ ���� � ����-� �������� ���� �������� � � ����-� � /� ��0� � � ��� � �� /� ����0� ���� � ��� ���� ����� � �'�.� ������" *� ����� ���(���-� ����������� ��� ����� ���� ������ � ���� ������� �������"

7 � '-�� � '�������� � ���� �� �� ������� �������� � ��� �� �� � �������� �&� � 2���� � 2 �� �� �� ��� ����� � (�:�� �� ������ ��&�������������� ��

�� � � �� �+ � ����� ����� �� � �� � &� � � �

��'�� �� � ���� � &� � � ����-�� � � �� � ������ ��&���� � � ����-������ � �� 2 ���������� ���� 2 �"

�� �������� �� �� �� � � ������-� ����� � � '-�� � � �� ����� �6� ������� �� ����� �'�.� ������ ���� ������ F��� ������ ���������� ��� � �� � ���� ������� � � ����� � � ������� ���� � �� ���� � F,�-����� ���" �� (����� ��� ������ �� ��� �� 2��� ������ F��� � � ������-� � ������ ��������� � �� �� ������ ���� !������ ������ �� ��������� �� ����� ����" ���������� ������� � F,�-�� �� �� ����� ������ (�����-� � ������ F���� ������ �������� �'�.� ������ �� ��(������

Page 108: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�,& �������� �� ����� ��������

��������� ������� �������� � � �������" �� ������ � ������-� ����� � ���,��� '&�� ��� � ���������� � �� �� �'�.� ������ ���! ��!� ��� � ��2� ������� � � ������ � ��� � �� � F,�-� �� �(����� ��� � %� �� ����������� ����� ���� �# ������� � ��� � ��� ����� ����� ��� � �$���+

�:�� � �� &-�-�

������� �� � ���������-� � ������� �������� � �� ��������� � '-�� � ��� ����� �����'�� �� ������ ����� � � ��� ���� �����"

% �� '���� ������ �� � '-�� � � �� ����� ,��� �� �� ������������ ����� ������ � �� ������ 0� ���� ����� ������� � ������ �� � ���������� ������� �� � 2 � /( E���� @"@�0� � (� �+

��� �0� ��

����

�� ����

��������� � ��� ��� �� � �� ���� � ���6�� ��������� ��� � ���� � �'�.� ������ ������� 0�� � ���+�

��� �� �

���

���

0� ������

�� �������� ��

�0���

���

���

������ ��

�0���

�� � 0� /�""�0

�� '���+ � ����

�����

������ �� �

� ����

�����

������

����

!� ��!�� �!� ��

������

������

� ����

�����

!� ��!�� �!� ��

������

������

!� ��!�� �!� �!� � ?��

������

������

!����!�� �!� � ?��

�����

������

!� ��!�� �!�

��

!���� � ?���

!� ��

� ��

���� ����� � ���� ���� �,'

���� '�'� $�� ��� ��!� ����� � ��� � ��� ��� ��������

���� � 6� ��� �.��� ���� � E����� ��� ����� � ���� ��� ����� � � 6�6� � �� 2 � �� ���������� /

��!� �� � �0"

%�& ������� � ��� �.� � '-�� � � �� ����� ��� �� �� � �� ������������ ����� ������ � ����� ������ 0� ������� � ����-� �� � ���� ������

������� �� � 2 � /( E���� @"@�0+

��� �0� �

�����

�� ����

��������� �� � �� ���� � ���6� ���������-� � ������� ��� � �� �+��

��� �� �

� ��

���

0� ������

�� �������� ��

�0���

� ��

���

������ ��

�0���

���

� � /�""�0

�� '���+ � ����

�����

������ �� �

� ����

�����

� �����

����

� ��������

���������� �� �!� ��

� �����

������

� ����

�����

� �������

���������� �� �!� ��

Page 109: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�,! �������� �� ����� ��������

������

������

� ��������

����������!� �@�� � �� �!�

��

!� � �� �@�

��

� ��

� ��� � �

� �

���� 6��� ��� �.��� � ��(� ���� � E������ � 6�6� � �� �� 2� ��� ����� ������� � � ����� � � ����-�"

*� ���������� � �� �'�.�� ������ ��� ���� � (������ ������ ��,������ ���� " %�� ����� ��� (��� ���� ��� �������� ������� � F,�-����� � �� ���� � �� � ����� � � E���� @"?�" ��������� �� ��� ���������� � � ��.� ��!� �� � ��� 6��.���� ��� �� ��(�� � (��� � ��� ����+ /30 �������� �� ����� � � ��� � ��� � /50 � ������� �� ���2� � ���" % F��� �(��� ����� � � ��� � � ���:�� ��� ���� ������� �������� � ������ �������� �� � ��� /30 �� �� ��� � /50� � �� 6��� �� � (��� � ������ ������� ��.� !����� �� ���� � ����� � � E���� @"?�" �� ��� ��!� ��� '��� � � �� ���� /30 � /50 ���(��� ���� ��� ��������� /��� �.������0� ����������� ������ �� �������� � ���2���� � ��������� � '��� ���� �����'��� �� ���� � ����� � � E���� @"?�"

���� '�(� 3!������� � & � 0��� ������� � A5�� ������ 1�2 �� � ��� ����� �� � 1�2 �� � ��� � ���� ��

���� ����� � ���� ���� �,#

�� � ��� ��� (���� ���������� � � ��� �� ����� ����2� �� ��������� ��1������� ��� � �������� � F,�-� � '��� �������� /( �2�� � ="5">0� � ��(��� �� �.������ � ��� ��� � ��� � ������ ��� � ������-� � �� �������'�.�� ������" % �� '���� ��� ���� �� ���� ��������� � �� ��.�� �1����� ��)��� ���� �� ������� � ��� ��� ��� ���������(� �� �� ����. � ��������� ����� �� '�.�� ������ �����������"

�:��%�� &-�-�

*� (��� ��������� � � E���� @"A� � � � � � � �.� ��& ������� � ��� �������'����� ������ + � � CGN�" � ��� ������� � ���� � �� ��.������������ � =; , 3; ��� ������ ������ �������� �� ���� � ������ � �:���" 7�������� ��&��� � ���6�� �������� ������� �� � �� ���� � ������������ � � 3> �� � ������-� �� ��� � �� � ����-� �������� ������� � �� � �� � �� $��"

���� '�+� ;��� ������ �� $7������ '����

� ������ �&,��� � � (��� � �� � �� ������� � ����� � � ���� � ��������� (���� � � �����+

0��� �+�

�� � �

� � CG

*� ����� � � ����-� ����� � 2 ���������� 6��.���� (� +

� ��

� �� � ��� � �

��

� �� � ��� � �� � �� � ��

����

� �� � ���� ��

Page 110: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��, �������� �� ����� ��������

��!� � '-�� � � �� ������ � ����-� ����� ���� ��� �� ���:��� ��������� �� �� � �� � � �� � � ����-� �

���� �0 ��� �

� �

���� ��� � � ������ ��&���� � � � ����� � 2 ���������� 6��.���� �� � ���6� � � ���:� � ��������� � ��+

��� � � �� � �� � � ��� � �� �� ��

� � �� � �

��� � �� ���� � �� ��� $��" ���� ������ � � .��� � ������ �� ������ ���'�.� ����� � (� �

. � ���� � � � �� ��� � ��� � �� � � �� �� G � � � CG

��������� �6�� �� � ���� ���� � � ������� � �� ���� � ������� ��� �� � ����-� ����� � ���� ��� �� �

� ��� �.

����

� ��

� ���� &� � ���� ������ �� ��

���� .

��� � � � ��� �� � ��� �� � � � � ���

�� �� ������� ��� � ����-� ���� �� � ��� �� ��&��� ������ � < � ���"*�� �& �� �� ������ ���������� ��&��� ������ � �� ������� � ��

������� �-,���� � �� ������� ���� �'�.� ������ � �&,���" 7��� �� � (�����-� � ������ � ��� � � ��� � � (���� ��� (� �� ������� ������ �� ��� ������� � ���� � � �.� � ����� ������ �������� � ��������� � ����� �� �� ������� ������ ���������" %��� �� 2�� �� � �� <���� ���� � � � (��� ������ � ��'�� � 0 � �� � CG � � ����� ������ �������� � � � �� �� ��� �� � ����-� � �� ������� ��� � ����-� ������� ����:����"

&-" +� ����� �� ����

&-"-� +� ��� �� ��������

��������� ��� (��� � ����-� ������ � ����.� � ��������� �� - � ����1����� ��� �.���� � ���� � �� ������ � ����-� �������� � � �� ����� ��� ����� � ����-� ���� ������� � �� �'�.� ������ (���� � (� � 0 "

���� �������� ������ ���

���� '�,� ) ��� � �� � ����� � ���� �� ����� ���� �&���

��!� �������� � ��������� � �� ������� �������� �� � ������ ����� � �� � ������� � � ����-� /( E���� @"40 ����� ��� ��� �������� ��!����6� ������� � ���� ��� (���� �" �� ������� � ����� � ������� ��� �" �� ������ � ���� 6��-���� ���� �:����(�� ��������� �� � ���� ����� � � ��� ��� �� ������� �������� � ��� ��� �� � �'�.� ������ 0 � � ���� ���(���� � � �� � ���������-� � ���'�� � � ��� � � ��� ���" � ������ � �� ������� ������� ������� ��(����� ��� � �'�.� ������" �������� (� � � ���� ����� ������� ��� (� � ���� �� ��������� � '-�� � '�������� �� ����� � � ��� � ����-� ������� �� ����� � � ��� ���" �� �� ����� �����0� � 0� �� � �-��� � � � � � ������ ��&���� � � ��� � ����-� ������� ������� � � ��� ��� ��� �� �� �� � '����-� � � ������ � � ��� � (�

������ � �

�-

��

� ��� �

�-�

����

�/@"3=0

�� ������ ����������� �� (� �� ������ � � '-�� � � �� ����� � ���+

���� � ������� ��

0

�-

(��

� �

-

��)

/@"3>0

7 ��� ,���-� � ���� �� � ���������-� � ������� �������� � � ��� ����-������� � ������� � �'�.� ������ (���� � ����- ��� � '����-� � � �������� � �� � � �� :��� ,���� �� � �-� �� � ��� �� (� � �&,��� � �� ������ � 2 � /� � �0 ���� (�

���� ��

0

�-��

0

�/@"3@0

Page 111: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��� �������� �� ����� ��������

�� ����������� � ����-� �������� �&,��� � �� >;Y ���� �� � �� � ����1� ��������� ��� ���������-� ���'�� � ������� /K���X�C�� 3A==0� �� ���� �������� � �� ��� � ���� ���� � � �������" ��� ������� �)� � �� ����� � � ������ ����� � ��������+

0� �

��

��� �� �

���

0

�-

(��

� �

-

��)� �� � 0

0� �

��

��� �� � �

/@"3?0

*�� (� �� �� ��������� � ,���-� /@"3>0 �� ��� ,������ �� �� ��� ���,�1������ ����� �&� ������ ���� �� � ���-� -��" �� 2�� �� �� � �� �� �� ������ � ���� � � � ��������� �� (� �� ,����� ��� �� ������ � 2 � �� � ��� � ��1��� �� � ���������-� �� � ���'�� � � ��� � 2� ���� �� 6�� �� �&,��� � �� ������ � � � � � �� ������ � ����� '" *�� '����� � �����-� �� 6������ �� ��� ����� � (� � ���� �� �� ��� ���,�������� � ��� � � ��� � @"3" ���(� � ����� �� '���� � � � ������ ��� -��5 �"

-�� � -�� � � -�� � �� -�� � ���

� � � �� ��� �� ��� �� ��� �� ���

� � � �� �� ��� �� � � �� ��� �� ���

)���� '��� ;����� � �������� ���� � ��� � �� � ����� � 7 �G.

&-"-� +� ��� ���*��� �

��������� ��� ����-� � '��� ������� �� ��� �� 2 (���� � ������ � ������������ 2 ������� � ����� �" ��������� ���&� �� ��� � ����-����!� �� �'�.� ������ 0 ��� � � 2 � ������� �� ���� � ����� � �E���� @"3;" *� ����-� � � �� ����� ��� ���� ���& ��� ���������� ��� � ������� �� � �� 2� � � �� �����(����"��� �� �� � � �������� (���� ���� � � ��� � ��� ��� 6��.���� ���

� �� ��� � '-�� � � �� ����� +

����

�� ��� �0 ��

����

�� ����/@"3A0

���� ���� � � ������� � ������ ���� �� (��� ��� � ������ � � ��� � �����-�"

���� �������� ������ ���

���� '��.� ���� ��������� ������� � ����� �

�� � ������ ��� (���& ��!� � 6��� � ���-� ��

��������� �� ��������( �&

�&,��� ��� �� ������ �������� ��� 2 �� � �� � �� � ���6�� � � ����-����� �.�� �&� &���� �� ��

���� � ����� �� ��� ������� � 2 �� ���� �����

�� 2�� �� � �� ���� � � �� ��&��� � ��-�� �"�� �� ������ ,���� � � �� � ������� � ����-� �������� � �� �

������ � ������� �� � ����������� ��� �������� � ����� � �� ����� � � 2 �" ���������� � '��� ���� �:����� �� ��� ���� ����� ������� �� � � ��� � �����-� � � � �� �� ���� �� �" �� �� ����� � �������� 6��.���� � �����-� �������� (� ��� ���� �����+

��� � ��� ��� � /@"340

���� &��� � � (��� ��� ���� ������ � ���� � '����-� � �� ��������� ��� ��� ����� ���������" *� ����-� ���� � � �� ����� ����� � � ����-�� (� ����1��+

���� �� ������� ��

���

������ �

/@"5;0

*� ����-� �&,��� � ��� ��� ��� � �� � ������� � � ���� �+

���� ������� D

/@"530

���� &��� � D � �- � '����-� � � ������ �"

Page 112: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��" �������� �� ����� ��������

G����� � ��(� �� � �� ����� ������ � � ����-�� � �����-� � � ����-��������� �� ������� ��� � � �'�.� ������ 0 � ���� �� ��� ��������� ��!� �� ��� 2� ������� � � �����"

&-"-� +� ��� �� ����

*� ����-� ���� � � �� ���� ������ � � ����-� ��������� ��� � ��� ������ � ����� ��� 2 �� ��� �� ���� � ��(��� � 2 � ������ �� �� ������������ 2 ������� � �����" ����������� �� 2�� �� �� �'�.� ������ ��� ������-� � 2 (���� � � �� ������ �"

������ ��� ��� ����-� � ���� 1� �� �� � �1��� � � � �1� %��&�� ����6�� � ��� ���� ��� � � 2 �� ������� � � ������ �� � ���� �

�1� � ���

� ������ ��&���� � � ���:�� ������� �� ����� � � �

��

���� �

��

� �1� � �� �� �

��1� � ���

� /@"550

�� ������ � ���������-� � ������� �������� � (���� � ���� ��� �+

������ �0 �

��1� � ���

����

��

�1� � ��

��

0

���

��1

���

/@"5<0

���� '���� ���� ����&��� ������� � ����� �

���� �������� ������ ���

� ���� ��� '����-� ����- ��� � � ������ �" %��&�+

��� D ���

1�

�1� � ��

1�

���

��1

��/@"5=0

�� ������ � ������� � ��� �� ������� �������� � �&,����� � (� �+

���� ������� D

��

0

���

��1

��/@"5>0

� ���� ��� '����-� ������ � � ������ �"7 � ����� � ���� �� � ����-� �������� �&,��� � ����� � �� ������

� 2 � �� � ��� � (� +

���� ��

0

�/@"5@0

� �� �� � �� ��� ���� � � �� �� ���� �� 0 � ����� ���'����� ����� � ���:��� ��!� � ���� ���� " �� � �� �� � � ���������-� � ��������������� � � � ��� � 2 � ��!� � ���� � � � ���������� �� �� �� � �����1����-� �� � ���'�� � � ��� � ���6� 2� ���� �� ��� �� �&,��� � ������ (� +

���� �� � &

�� � &�

0

�/@"5?0

���� & � ��:���� � ������� � ����� � � ��.�" ��� & � �� �� ���1������� � ���� � ��� ���� ��� ���0��� � ���� �� �� � � ����� � �������� ��������� � �� �� �� ��� ,� �� ���,�����-�"�� '&�� ������� �� � ���� � �� ������ ����� �+

0� �

���

��

0

���

��1

������� �� � 0

0� �

��

��� �� � �/@"5A0

���� ������ �� ������ ����� � 2 �"�)� ���� � ��(�� �� ����� � ������ �� ���� � �� �'�.� ������

���!� ��!� ��� � �� 2� ������� � � ������ � ����-� �������� � �� ����������� � � ����-� ��� ��������� ���� ��� ��!� �� ��� 2� ������� �" �������� � ��� � � �����-� � � �� ������� ��� � � 0 "

&-"-" +� ��� ���������� ���� ����

��������� ��� ����-� ������ � ��-�� �� �������� ����� � 2 (���� � ���� � � � ��� -� �� ������� �� �'�.� ������ (���� 0 /E���� @"350"

Page 113: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��& �������� �� ����� ��������

���� '���� ���� ���� �&��� ������� ������� � ����� �

*�� 2� ��� �� ��� 2� ������� � � ����� � � ����-�� �� � � 2 � ������� ��&��� �" � ��� �� �� � �-����" *� ����-� �������� ��� � � ��� � � ������ ��� �� �� �� ������+

������ �0 ��

����

�� ����/@"540

��� ���� � � -���� ���-� � ������ � ������ ��&���� ����� � 2 �� � � ���

����� � ��&��� � ������� �� � ��� ���� � (� �+

������ �

����

� -

�� �

� (���� �

�� �

)/@"<;�0

�����

� -

�� �

��� �

-

�/@"<;�0

�� ������ � ���������-� � ������� �������� � ��� � � ����-� ������ � �+

��� �� 0

�-�

� -

�� �

��� �

-

�/@"<30

��� ���(�� �� � ���������-� � ������� �������� � � ��� '����-� ����- ���� � ������ �� � (� � �� � ��� �� ������ � � -�� � � � �-��� � ���� � (���� � � � ��� � ��&��� �" %��&�� � ����-� �������� ��� �&,��� ������ � �� ������ � ��&��� � � ������ � ���� �+

������

�� 0

�-�

�-

�� �

�� � � �

-

�/@"<50

���� �������� � ��� ��� ������� ��'

���� '���� 3������&��� � � ��� � �� � ����� ���� ���� �&�� �������

� �� (� � �+

����

�� ��0

�-��

0

�/@"<<0

���(� �� (� � �&,��� � �� ������� �������� � ��� �� ������� ��� �������� �������� � � � ��� � �������" �� '���� ��� � � � (� � � � �������������� ��� �+

���� ��

0

�-��

0

�/@"<=0

%����� � �� ����� &��� � D � �� �� ��� D � ��� -� �� ������ �� ���������6��.���� � ��� (� � � �������

� ������ � ��� ��� D ��0

-�

�-� �

��� �

-

�/@"<>0

�� �� ������

� ���� ������� D

(� �

��

-

��)���

� 0

�-�

�-� �

��� �

-

�/@"<@0

&-� +� ����� �� %�/��E� ��%����

&-�-� +� ����� �0������

�� �� ������� � ���)� ���� ������� � ���� � � ������� � �� ��������� ������ ��� ���6� �����-� � ���������-� � �� ������� �������� ������� � �'�.� ������"% '���� � �� ��� � '-�� � � �� ������ ��������� � ������ ���� � �

� E���� @"3=� ��(����� �� ��� ���:�� � ��� ������� ��� � � 2 � � ��.� �

Page 114: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��! �������� �� ����� ��������

���� '��"� ���� ������ � �%&H� ����� ������� � ����� �

�� �� �� ��.� ��� � ����-� �� ��� ��� �� ���� � � ��� ���� �� �:� �'��� � � ����-� / ��� � ��.�� � �� E����� @"3=� � �0" 7 ��� ���� � '-�� ���� ���������& (� � � � ����-� �������� ���� ������ � ��� � ���� � ������-� � � ��� ����� � ��� � ���#� �� � ���+

% � ���� ���)�� � ��� ����� ��� ��� � �� � ���������-� �������� �������� � � ���'�� � ��(�� � ����" %��&�� � ��� ������ ����� ���� ����� � � ��� �� �� ������� �������� � ���� � ����� �����-�� ���� � ��������� � �� ������ � ��� � ������ � �������� � ���� ������ � � ��� ���� �� � (�����-� � ���� � ��� � ����� " �� ������ � ����-� ������ ��������� � '-�� � � �� ����� � ��� ���� ���,�����-� � �� �������� � �� � ������ � ��(�� � ���� � � ����-�"

�� ����� � ���� � %�8� � ��� � �� ���������( ��� ���'� � ��$��������( %� ��� ������ ��������� ���( � ��� ���( ������� � �� ���� ����� �� ������( � %� �� �����"����� � ������ � ���#� �� � ���+ &� �������� ��� ����� �������� � �� ��� � �� �!� � �� ���� � �� ������( � �� � ���������� �� � ���� �����+

���� �������� � ��� ��� ������� ��#

���������� � '���� � ���� �� ���� � ��� ��.� ����&���� � ����-������ � ���)� ����� ������� � �� �'�.� ������ �������� ��!� 2������� � ����� � � � ����-�� 0� � 0� �� ���� � � � E���� @"3=" �������� �������-� � � ����� � � �� ����� �� �� � �� ������� �������� � �:����� � ������� � ��� 7 � 7�� ����� � � ��� � � ��� ���� � ���� � ��� � ���,����� �� 2�� �� �" %�������� �� ���� � � ����-� ���� (��� � � ��� � � ��� ����� � '����-� � � ������� � ��� 7"�� ���� ����������� � '-�� � � �� ����� ��� ��� �� � ����-� �������� �

� �����-� � � ��� ���� (� � ��(�� � � ��� ��� � ���� 4�7��� �+

��7�� �0� �

��7��

�� 4�7��/@"<?0

���� ��

��7�� � ������ ��&���� ����� � 2 � � &� ����� ����" ���1

������� &� � �: ��������� � � ��� � � ��� ����� � ��� ������� ���6� ������ � ���� �+

��

��7�� �

���

��7� 4�7��7 /@"<A0

���� 7� � � ������� � ��� �� � � �" ���� ,���-� � ��:������� ������� ���� 4 � ���)� ����� � 7�" � ������ � �� ������� �������� � ��������� ��� ����� ��� � ���� � �� ������������ � ��� ���� ,������ ��������� ������ � �� � ������ � � E���� @"3="��������� � ����������-� � ����� ������� ������ � ���)� ���� � �����

�&�����"

+� ��� �� ��0�� (

��������� ���� � ��� ����-� � ��� � �������� ������� � �� �'�.� ������0 (���� ������� /( E���� @"3>�0� � �� �� ��� � ��� ��� �� ���������(���� � � � ����-� �������� � ���� � ��� �� ��������� 6��.���� �� ���� ����� �����"*� �������� (���� � � ����-� �������� ��� � �� �� � �� ������ � '-�� �

� �� ����� � ���� 6��.���� � � � ����-�� �� ���� � ����� � � E���� @"3>�"�������+

��� �0 ��

�� �/@"<40

���� � � � ����6��� � ���" � ����� �� ������ �� � ���� � � � � � ��� (� � � ��� ,������ ��� '�� ��������������� �� �� � ���� � � � � � � � �� � � � � 4 � � �� /( E���� @"3>�0" 7��� �� ���� � ���)�� 4 66 ��

Page 115: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��, �������� �� ����� ��������

���� '��#� ���� ���� ) ������� � �!&�4� ����� � ��D � ����� ) ��� ��� � ����� 0�������

� �� � �� � ����-� ������ ������ � ������� '�� � � � � �� � � ������� �&�������� � �� ���� ���� �'�.� ������ (���� 0 "�� � ��� ��� (��� ���� � 6�� ��

����� � '����-� � � ������ �" ����

(�����-� � ����- ��� � �������� /( E���� @"3>�0+

��

���� � �4�

-

�-

� �

�4�

�-

��

�� �4�

-

4

�-�

�� ��

�/@"=;0

� (� � ������ � �� ������� (���� � � � �� � �� � �� ������ ,���� ������ � � ��� ��� � � � -� � � (�

����

���

0

�� 4

��4�

-

�/@"=30

������ �� (� � �&,��� � �� � � � ��� � �������� '� ��� � � �� � (�

����

���

0

�� 4

��4�

-

4

-�

�/@"=50

���� � (& � �2����� @">"3"3� � ��'���� �� �� (� �� ������� /� � ���0 � �&,��� /� '0 � � ��&�� � � ���)� ��� �� �: � ���� �.����" ���� ����� ��� �������� �� � ���������-� � ������� �������� � (���� � �

���� �������� � ��� ��� ������� ���

���� '��'� ���� ���� ) ������� � ����� �� ) ��� � �� � �����*���4� ����

���'�� � � ��� ��� �� (� � �+

��� � ����

���

0

����

/@"=<0

���� ���� � -4 � &� � � ��" ���� ���,�����-� ��� ��� �� ���� � �� � � �� (� �� �&,���� ��� �: � ���� �.����� �� � ��" � ������ � �� ������� �������� � ��� � � �� �������� ����� ���� ��� � �'�.������� 0 "

�� ������ �� ������� (���� � ��� � �� � �� ��� ������� �� �� �� ��� ����������� 6��.���� � ���� �� ���� �� �� �� � '��� ��& ��� � �� �����1�� �� ������ � '-�� � � �� ����� � ���� (���� � � � ����-� /E���� @"3@0"

Page 116: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��� �������� �� ����� ��������

���� '��(� ���� ���� ) ������� � ����� �� ����� � ��� � ��� ��� � ����� � ���� ��

�������+

��� �0 ��

��7�

�� 4�/@"==0

���� ��

��7� � 74�-� � ������ ��&���� � &� ����� ���� ����� � 2

�" %��������� �� � ���� ���)�� �� �� ������� � � ��� � �� ������ �� � ���'���" ����� 0� �� � 4� ��������� � (������ ��

��7� ��� ��� ���

7� � ���������-� � ������� �������� � � �� � �� �& ��� � ��� (� � �� � � ��,����" � ������ � �� ��� � ������ ��� ����� ��� �� ������������ ���� ����� �� � ���� � ����� � �� E����� @"3@ � @"3?"*� E���� @"3? ����� �� '�.�� ������ ��'���� � � ����� � ���-� �

� � ����� ��� � ��" 7� ���� ��� �� ��� ���� � '�.�� � � �����-� � 2 �� ��+

�. � �.� /@"=>0

���� �. � � '�.� ����� � ,��� ����� � � �� � �.� � ���� ��� � �� '�.�� ������ � �� � ��� � �� ��� ���� � �� �� �� ������ � � ����-� ����������� � � �� �������-� ����� � 2 �" � ���+

����� 4 �� � ���� 4� �� /@"=@0

���� �������� � ��� ��� ������� ���

����� ����� � ���� �� ������� �������� � � � �� � � �� � �� � ����� ����-�� �����(����" �� ������ �� ��� ���� � �� ���� � � ������� ���-��� ����� (� ��+

�����

� ���� 4�

4/@"=?0

*� ���������-� :�� � ������� �������� � /��� ��� ����������� �������0 ������ � � E���� @"3A" �� � � ��'�� �� ������� �������� � ��� �������������� �� � � � ������ �� ������ � � ����-� � ���������� � � �� �������-� ������ 2 � � ���(� � � ��� ��!� �� ���,�������� � �.����� � ���� �� � �����-� � � ����-� �������� � �� ����� � � ����-� ���� � � '��� � � ����-�� � �� � � �����-� � �'�.� ������� ��!� � �� ���- � �������� � ���� �������"��� �������� ������� �� � ���������-� � ������� 6� ��� �����'�� ��

�������� � ��� ���� �����" * ����� . � * � �� �� ����� � �� ��������������� � � �� � �� � � � ��� �����(����I �� (� � ��� �� �� �� '&�� 1��� 6� ���� &� � �� �������� � ������� �������� � � �� ��� ������ �� ���� ����������" �� � ��� � �� ���� * (� +

* �0

�� 4

��4�

-

4

-�

�- 4 /@"=A�0

�0

��

��4�-�

4-�

�/@"=A�0

� 0 /@"=A�0

���� '��+� 3������&��� � � ��� � �� � ����� ����� ���� ) ������� ��!&�4� ����� �

Page 117: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��" �������� �� ����� ��������

�� �� ������ � ����� � �: � ��������� ������ � ����� ����� � �� � ��� (� +

�� � �4�-�

4-�

� /@"=40

�� ��� ���� � ��(��� �� ������� �� � �� ���� ���� � �� ������� �����1��� � 6��.���� � � �� � �� � �� �� ���� ������� � 6�6� � �� 0� � �

�:�� � �� &-�-�-�

������� �� �� ������� (���� � � � �� � �� �: ������� � ��� � ����� � '��� ���,�������� ���'�� ��� &� � � ��"

* ����� ���� � ��� � &� � � �� � � � � � ����-�� �����(����� ��:����� � ���-� ( � ����� ��� �� ��" �� �� ����� � � �� � � � ��4 � 4�� ��� ���)�� '�� � ����� � ���6� � � ����-�� - � �� ������ /( E����@"3>0+

�� � ���

�-

��

��

� ����-

� �-�

���

�� �

(

�� �������+

������ � -

���

����'� � -

��� �

-

� ���� �

-

���

�� �

(

��� ������ �� (� �� �&,��� � ������ � � ����-� �������� � � �� ���� �1����(����+

����

�� � ����'� �0��

��'�

��4

� 0 �� ���

� �

!��

� ���

� �

!4

�0

����

� � �

� � �

����

�� � ������ �0 ��

����

��4

� 0 �� ���

��

� ���

� �

!4

�0

����

� � �

���� �������� � ��� ��� ������� ���

��� �� �: � ���� �.���� � ���� �� 2�� �+

��� �� ( � �� � ������

������

� �� ��������

������

� �� ��

B�� �� ( � �� �� ������

������

� �� ��������

������

� �� ��

� �� ������ � (� ��. � ������� � ���������-� ���,�������� ���'�� �� (� �+

��� � ����

���

0

����

� � ������� � ��� � �� 3; Y / �� � ��0 ���� �� � ���-� ( �

����� ��� 6 �� �

�:�� � �� &-�-�-�

7����� � ���������-� � �� ������� �������� � � � ����-� � ��� � � �E���� @"34 ������ ���!� ��� � �� �'�.� ������ 0 � � �����-� � 2 �"

���� '��,� ���� ���� ) ������� � ����� � ��� �0����

� ������ � ����� � � ����-� ����� � 2 � �+

�� � ��4�

� ��

���4�

� ������ ��&���� ��� ��� ����-� � �� � �� � ������� 7 /E���� @"34�0 �+

��

��7� �

4�7

��� 7�

Page 118: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��& �������� �� ����� ��������

���� '��.� 3������&��� � � ��� � �� � ����� ����� ���� ) ������� ������ � ��� �0����

�� ������ �� ������� �������� � � �� � �� ��� ���� � �+

����7� �0 ��

��7�

�� 4��

0

��

7 ��� 7�

�� ������ �� ������� �������� � (���� ����- ������ � � ��� � �� � ��� ����� (� � �� � ��� 7 � � � 7 � � 6���� �� (� � �&,��� � � ���-� � � �� ���� �+

���� � �

�7 �

��

0 ��

� ����

0�

�4���

0�

���

��� �� ���� ����� ������ �� �� �'�.� ������ 0 ��& ������ ,� ���(������ �� � ��"� (� � � * � �� ���� � �� ������� �������� � � �� � ��� ��� �� �� ��

6� ���� &� � �� �������� � ������� �������� � � �� ��� ������ �� ���� 4�+

* �

��4����� �

0

+� ��� �� F

��������� ��� (��� � ����-� � 8� ������� � �'�.� ������ 0 � �����-���� � � �� � �� � � ������ �������" �� - � � ��� � �: � � � ���6��� �� � ��� 4� ���� � �� � �� � 4 ���� � � ��" 8�� �.���� �.���������

���� �������� � ��� ��� ������� ��'

���� '���� ���� I ������� � ����� �

��& ���� � �� ������ � � ����-� ������ � ����-� �������� ����� � ������ 0� ����� � � � � ����� /( E���� @"530 � ��� �� �� � ����+

��7� �0 ��

��7�

�� 4�/@">;0

��� ��

��7� � 74�-� ��� 4� 66 -" �� ����������+

����7� �0

��

7-

/@">30

� ���(� �� �� ������� �������� � � � ��� � � � (���� ��� ��� ��� ��

Page 119: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��! �������� �� ����� ��������

(� � �� � � ,��� � 6���� �� (� � �&,��� � � ���-� ��� � �� ���� �+

��7 � �� �0

��

�-

/@">50

� ������ � �� ������� �������� � (�� ���� �� ��� ���� � �� '�.������ � �� ���!�� ��� &� ����� � �� '�.�� ������� �� ���� � ������ � � E���� @"53�"*� ����� ,���-� � ����� ��� � � ��'��� �� (� �� �� ������� ������

� ������� ���� ������ ������� � �� � � � �����"�� ������ �� �� � �� ������� �������� � � � ��� �� 2�� � � �� �����

� ������� � ��� ��������� � �� ����� � 2 �� ������ ��&���� � �� ���� �+

��

���� � �4�

-

� 4

�-

� �

��

�-

� �

�/@"><0

���+

���� �0�4�-

��4�

0-�

���

(��

� �

-

��)

/@">=0

���� ��� ������ � � ,���-� ������ � (�����-� � �� ������� �������� �� � �� � �������� � ����- ���� ��� �� (� � �&,��� � 2 � �� � �� �� ����� �+

������

� ��� �� � �� �0�4�-

��4�

0-�

���/@">>0

���� '���� 3������&��� � � ��� � �� � ����� ����� I ������� � ����� �

���� �������� � ��� ��� ������� ��#

* ����� . � * � �� �� ����� � �� ������� �������� � � �� � �� � � � ��������(���� /E���� @"550I �� (� � ��� �� �� �� '&�� ��� 6� ���� &� � �� �������� � ������� �������� � � �� ��� ������ �� ���� ����������"�� � ��� � �� ���� * (� +

* �0�4�-�

���

04-�

� ��/@">@�0

�0

��

��4�-�

4-�

�/@">@�0

� 0 /@">@�0

�� �� ������ � ����� � �: � ��������� ������ � ����� ����� � �� � ��� (� +

�� � �4�-�

4-�

� /@">?0

� ���(� �� � �� ���� ������ �'�.� ������� ��� ���������-� ���1���� � �� � ��� ��� ��� ������ ��&� �������� � ������� �������� � 6��.��1�� �" *�� �� ����� � ���� ������� � �� � ��� .� ��� � ���� � � � ��������������� �� ��� ����� �� �� 0� � �

7 ���� ��& ��� � ������ �� � ���� � � ����-� � C ������� � �����-� � �� ������ ����(�� ��!� �� 2 ������� �� �� ���� � ����� � �E���� @"5<� � ���������-� � ������� �������� � � � � � E���� @"5=" �� ������� � ���������-� � � ��� � �� � �� � ����- ���� ��� �� �&,��� � �� ��������������� � ��� ��� 2 � /� � �0" � ��� ������� �� �� �� ����� � ��������� ��� ���� ��� � �� � �� (� � � �� ���� * � 0� "

���� '���� ���� I ������� � ����� � ��� �0����

Page 120: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��, �������� �� ����� ��������

���� '��"� 3������&��� � � ��� � �� � ����� ����� I ������� � ����� ���� �0����

&-�-� +� ����� �������

� ��� �� ��� � ������ � ���������-� � ������� �������� � ����������� �� �'�.� ������ � ��� ����-� ���� � ���)� ���� � 6����&��������� �� �� � ��� ������ (� � � �� ������� �������� �� � � ��� ��� !���� ��� � ��(�� � ����� ��� �.���� �- � ������������ � ��� ����"

� ���������� ��� �� ( ���� ����� � ���� ����" �������� � ����-����� � � E���� @"5>� ������� � �� �'�.� ������ ��!� ��� � ��� 2� �����1�� � � �����" ���������� �� � ����-� �������� ����� � �� ������ ��� ����� ��� � ������-� �������� � ��(�� � ���� 4�� � ���'�� � ��� �� (� ���� ����������" � ���������� F�2� �������� (� I� � ��4� �������� �� ����� ������ � � E���� @"5>� � ����-� � � �� ����� ������ � � ����-� � ���,��� ����

� �7� � �� �7� � ��4�4�7�

/@">A0

���� 7 ��� � ������-� � ����� ������ ����� � ��� 99� � �� �7� ����� �����-� � ���6� ����� ��� ��� ����-� � ���� ������� �� �"��� �� � ����� ���� � ��� ���� � �� ���� � ��� ���������-� � ������� �������� � ���F�2� �������� I � I� � ��(����� �� �� �� �� � ����� ����

* ��I �7 � � ������������ �� �"

��������� �6�� � �'�����-� �� ��� ���������-� � ������� �������� ������ ��� � ����-�" ��!� � ����� � � E����� @"5@� � �� � ����� ��� �� ����� ��'���� � �� � ���� �������� ��� �������-� ���� � � (� � � ��'�

���� ' � �-�� � � ����. ����(�� � ����� " ���� �������-� ��(��� ��

���� �������� � ��� ��� ������� ���

���� '��#� 3���� ���� � ��� � ��� � �� � ����� & � ����� ������

��(������ ��'���� � � ����-�� � � �����-� ���������� �� ������� � � �����-�� � (� �

�! � �7 /@">4�0

��

'�7 /@">4�0

��

'

��� �7� � ��

4�4�7�

��7 /@">4�0

7��� �� � ����-� � ���� ��(������ ���������� ���� �� � �� �� � ���� �����+

! �

+�! /@"@;�0

+��'

�7� � �4�

+�7

' 4/@"@;�0

� !� � !� /@"@;�0

� � /@"@;�0

� ���� � ��� ���� (� � ���-����� �� �� �� ( ��� ��� � � '���+

�� � �

+��'

�7

4�

+�7

' 4

/@"@30

���(� �� (� � � �� � �� �� ��(��� ��� �������-� ���'�� � � ����-��� ������� ,������� (� � � ��(������ ���������� �� � �������� � � ����-� ������� !�

Page 121: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��� �������� �� ����� ��������

���� '��'� 3�������� ����&���� ��� ��� � ��� � �� � ����� & � ����� ������

*� �����-� � ��������� ���� /@"@;�01/@"@;�0 ������ � �� �-�� � � ����.����(�� �� (���� � � ��� � � ��� ���� � � ����-�I �� ������ � ,���-�/@"@30 � �� ���� � ������� � (���� ����� � /( ������� � ����-� @"4 ��� ���������-� � � ���������-� �� � �� ����0" �� ���� � ������� 6�������� � ,���-� /@"@30 ��� ��(����� ���� �:���"�� ! ����� ��� �)� � �� � ����� ��� �.� ��������� ���� ������ �

������� �� ��� � ��" � ��� �� � ������ �� ������� �������� � ���1��� � �� �'�.� ������ ��� ��� ����-� �1� � � � � (�� 6����&����" ��� ( ����������� � F�2�� ���-����� I � I�� � � �� �� � ��(�� � ���� ������ ��� �.���-� �������� �� ���� �� �����(�� �� � ��" *�� � �������� � ���1������ ���� �� �� (� ��� �� � ������ � ����� �� �� ��� �.������� ���������� � � �� �� � �� ��� �� ��� ��� �� !� �

*��! � �� � � �� ��

���� �������� � ��� ��� ������� ���

�:�� � �� &-�-�-�

7����� � ���������-� � ������� �������� � ��� � ����-� ������ � 6���� � E���� @"5? /��������� � ��0 ������� � �� �'�.� ������ (���� � (� �0� � ��� G"

���� '��(� ���� ���� �&��� *&�� ������� � ����� �

� ������ � ����� � � ����-� ����� � 2 � �+

�� ��

� ��� � � � �

� ��� � �� � � � � � ��� � �� � � �

� � � ��

� � ��� ���

��������� �6�� �� ��� � ��(� � � ������ �� ��� �� F�2� ���-����� I� ���4�� �� ���� � ����� � � E���� @"5A" *� ���������-� � ������� �������� ���� � ���������� ����-� ����� �� � ����� � � E���� @"5A�I � ������������� � 2 �� ��� �� (� ��+

����

��� � ��� � � � � � ����� � ���� � � ���� �� � �� ��� $��

����

��� � ��� � � � � � � � � �� � �� � ����� � ���� � � � ���� �� � ��� ��� $��

����

��� � � � � �� �� � �� � ����� � ���� � �� � � ���� �� � � ��� $��

Page 122: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��" �������� �� ����� ��������

���� '��+� 3������&��� � � ��� � ����� ���� �&��� *&��

% ���� � ���� �� ����� � ��� �� �� � � ����� +�� �7 � �

��

� �� ��� � ��

�� ���� ��� � ��� �

�� � ��� � ��

�� ���

�� � ��� � �� � ���

� ��� ��� � ��� GN�� (� � � �� � ����� �� ������ � ,���-� /@"@30� �������� ���� �:����+

� � � �

+�� �7

4�

+�7

4

��� ��� � ���

� � ��

���

����

�� �

�� ����

��

� �� � � $��

*� ���������-� :�� � ������� �������� � ��� � ����-� ���� � ������ � E���� @"5A� ��� �� (� �� �� � � ��� $��� �� � �� ���$�� � �� � �� ���$��"

+� ����� ������� ���*��� ��

�� ���� ������ � � �� � ����-� �� �������� ����� � 2 � �������-�� �'�.� ������� � ���������-� � ������� �������� � �� ��� �������'&�� ��� ��� �.���� � '-�� � � �� �����"

���� �������� � ��� ��� ������� ���

���� '��,� ���� ������ ��������� ������� � �!&�4� ����� �

�� �� ����� �� ������� �� ������� ������ ��� � ��� � ������ ���� �� ��" #���������� � ������� �������� � � ���� � � ����-� ����������� 2 � ������ ��� � �� ��" �� ������ � '���� � �& �� �� � ����-� ����������� ���� ��� ����� ������� ������� ����2���� � '��� ��,�������"7 ��� ����� � �� ��� ��� ���� �� ������� � � � ��� ���� � �

����-�� �� ������� �������� � � �&� ��� �� � � ��� ���� � � ����-�� ����������-� ���'�� � ��(�� � ���� � � �-�� � ���� �+

��7�� �0� ��

��7��

��� 4 �7���

0 ��

��7��

�� 4�7��/@"@50

���� ��

��7�� � ������ ��&���� � &� ���� ����� � 2 �" �� � '-�� ��

�� � ������ � ����� ���� � � ����-� ����� � 2 �" �� ������ � �'�.� ������ 0 � ������� �� ������� � �� ������� �������� � �&� �� � � E���� @"54"������� �� 2�� �� � ����-� ���� � ������ � � � E���� @"<;�� � �����

- � ���6� �� ������� � �'�.� ������ ������� � (� � 0 " 7��� � ������� � ����-� � � � �� �������-�� ��� ��� �.�� ���� � ����� � � E���� @"<;����� �� ���� ��� ������� � C � � ����� - � ���6� �� ����2���� ��,�������� ���������� �� ������ ����� 0� ���� ��� � ��" *� ���������-� � ���������� ���� ��� � �� � ��& ��� � � ������� � � E���� @"55" ���(� �� ��������� �������� � ��� 2 � ������ ��� �� ��"%�& ������ � ��� ��� �.� � ����-� ���� � ������ � ��� � � � � E����

@"<;�� � ����� - � ���6� ��� ������� � �'�.� ������ ������� � (� � 0 "

Page 123: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��& �������� �� ����� ��������

���� '��.� ���� � ������� ���������� �������� � �!&�4�� ����� �� ��D � 7� �����-�

���(� �� � �� ���� ��� ��� ���� �� �� � ��� ��� �" 7��� ������� � � ����-� � � � �� �������-�� ��� ��� �.�� ���� � ����� � �E���� @"<;�� ��� �� ���� ����� ������� � C � � ����� - � ���6� �� ����2������,�������� � ��������� �� ������ ����� 0�� ���� ��� � ��"

&-& =������ ��� �� ���0��

�� � ���������-� � � ����-� �������� ����� � �� �'�.� ������ (���� 0� '�����'�� � ���� � ����-�� �� ���� � ������� � � ���� ���� � � �������� � �'�����-� �� �������-� � � ������ ��� ������� �������� � � ����-�� �� ���� � ����� � � E���� @"<3�� � � (� �+

�� ����'

�0�'�

/@"@<0

���� �������� �� ���� ��'

���� '���� 3!������� � �� ��� ��� ����� �� �!&�4� ����� �� 1�2 ���-��� ���: 1�2 ���-� � ������ �

��� ������ �� � ����-� �������� (���� (��� � � ����-� � ����� ��� �'-�� � � �� �����+

��� �0��

����

�� ����/@"@=0

�� �� �� �� ����������� ���������� ���� �� ��������� (���� ��!� ��� �

��& ��� �� �� ��� �.-�� � ����-� �� ����� � ���� ���� �� ��' ��� �'�����-�'�� � �� � ���� �� ���� � ����� � � E���� @"<3�" % �� '��� � ����������"� � �� ������+�� �� :��� ,���� ���� ���� � ��� �� ��� � �� � �������-� � �� � �� � �

� �� &��� �� �� ���� :��� � �� ������� ���� � ������� ����" �� �� :���� �� �� ��� �� � � ����� �������-� ���� �� � &��� � ������ ��� ��� �� �� :��� ���������� � � � ����-� ���� �� � ������ ��� � � �'�����-�" � ���� � �������-� � ���� &��� �� (��� � ���� :��� � ����� ��!� � ���������-�� ������� �������� �" �� ������ �� ��� ������� ������ �� � ���� ��� � � :�� ���� ''� � ��� �� ������� �������� � �&,���� �� �� ������ � �������-��&,��� ���

��"

�� � (��� � � ����-� �������� � �'�.� ������ � ���'��� � ��� �&���� ��� ����� �� �������" �� �� �������-�� � �'�����-� �� �'�.� �������� ��� ��� (�����-� � ������� � �� :���� � �� ,������ ��� �� ����������� � �������� � ������ � F,�-� ��� /��� �'�.� ������0� ��������� �� �� ������� ������ � ����� ����� ����� (& ����" �� ���� ������������� �

Page 124: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��! �������� �� ����� ��������

������ ������ �� ���"� ������ �� ��� ������� �-,���� � ������� /6��-���� ��� �.��� � ���� �1G�(�0 ��� �� �� � ,������ �������� ��(� ��." ���� �� �� ������� � �� ��� � ��� � �� �'�������� ���������� ������� � � ��� ���(� ��� ���6� ���� �� �� ������ � F,�-�� � ����� �&������� �&� �� �� �� � ��.�� � ���� ������ ���� �� �� ���-� �.N����� /(������� � ����-� ="=0"

&-&-� G��� ���� ��� �� �������

%���� �� ������� �������� � �'�.� ������ ��'�� � ���� � !�� (� �� (� � ���� � � �������-� � � ������� �:���� � ���� � ��(������ ����(�� ���(� � ��� ����-� ����� � ��� ��:������� �-,��� /E���� @"<30� � ���+

���

�� ��?

��/@"@>0

� ��� ��� ������� � ����� � ��� ����-� � ��� ���� �����-� � &� ���1(� �� ��� � �� �� ������ � �� �����-�� �����"���� ��� �����( �������� � ����� �������-� ���� �� � � ����-� � " %�� �� 2�� �� ��� � �����-� �

� ��� �����+

���

�� �0�

' �

�0�

' #��/@"@@0

���� � � #�� � ��� ������� � ����� ��!� � ) �+ % '���� ���������� #� � ��� ���� � ����� ��!� � ) �

� &� ������ ��� ��� ����-� ���� � �� �� � ������ '-�� �� �������������������� ��&����� � ������� ��������" 8�� �.���� ���� ! ������ � ��� ��+

� �����

���

����

����

��

��

/@"@?0

���� � ���(� �� ���� � ��� ����������� �������� � � ����-�"%�& ������� ��� ��� 2 ������� � ����� � � ����-� � ���&+

� �����

���

����

�����

��

��

/@"@A0

����-� ������ � ���� � ��� � ��� � ����� � ������� ��� �� ����

)���� '��� ;����� �� ��� ��&���� � ����� � ���� ��!� �� ����� �

���� ������ ��� ��� ���� � ��#

*�� (� �� � &� ������ � ������ ��� � ����� � �� ����� � ������� �&����� � � ������ � � ��� � @"5"

�:�� � �� &-&-�

�� �� � &� ������ � ������ � ��� ����-� ������ � � ��������� -� �"

� ���� ��!� � ����-� @"="3� �� �� � ���� ��-� ������� � ��� ��

��-� �� � ��

�"

�� �����+ ��

���

����

��

�� �

���

��

����

�� ���

����

��� ��

� ��-�

� &� ������ � ������ � ��&��� � ��!� 2 ������� � �+

� �����

���

����

�����

�� �������-�

����-�

��

��

&-' �������� ������� ������

� ��� �� �'�.� ������ � ������ ������ ���!� � ��� �����-� ��'�� � � � �� 2� ������� � � ����� � � ����-�" ���� ��� ������ � ��������� ������� ���� �� ��& �������� � ������� � �� � ���� ������� � � F,�-� � � ��.�"

&-'-� ������� �� �:�� %��� �%����

�� ��� �������-� ��� ��������� �'�.� ������ �0 � ��� �������� 0�� 0���!� �� 2� ������� � � ������ �� ���� � ����� � � E���� @"<5" %� ����1�� �������� � ���������-�� � ��� ������ 6�� ������ ���������� ����� ��� � �� ��������� � '��� ��������� � ���� � ���������-� ���� � ������� �������� � �������� ��� ���� ����� � � ����-�� �� ������� ���1����� � ������ � ���� ��� � �� ���������" �� �������� �)� � ��� ��!� � ���� � �� ������ �� �������� � �� ����� �������� � �� ��� �� �������(� �����( ��� �� �������� �� � ���� ����� � ������+ �� ������ � ���������-�� �� ����� ����������� � ���� ��� � �� ��������� ������� � � �'�.�

Page 125: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�", �������� �� ����� ��������

���� '���� 3����������� � & ����� � �0���� �&� ����� �� ��D ��� 7���� ������

������ ��� ��� � ���� ������� � �� ������� �������� � �������� ��� ������� � ��+

��� � ��� �0�� ���� �0�� /@"@40

���� ��� �0�� � ��� �0�� ��� �� ������� �������� � ������ � �� ��������� � �'�.� ��!� �� 2� ������ � 0� � 0�� �����(����"

%��� �� 2�� �� � � E���� @"<<� � ����� � �����������-� � �� �'�.������� �(���� �� ���!� ��� ��� ����-� ������ � ����.� � ��� �����(����������� ��!� �� 2� ������� � � ������ 0� � 0�� �����(����" �� �E���� @"<<� � ������ �� ������������ � ������� /�����0 �� ���� �� �� ����� ���� ��� � �� ��������� ��� �.���� � '-�� � � �� �����" ��� � �� ���������� � � �� �� ������� �� ��(��� ���� ��� � �� ��������� � �'�.������� �� � �������� ��� � �����-� � ������ ����������� � ���� ��������� 0� ��(��� �- � ��������� ���� ������ �� � �������� 0� ��(����- � ��������� ��� � �� ���� � ������ (����� ��� ����� ������������ � �� � ����� � � E����" �� �� ����� ������ � � ����-� � ����-� �������� �� ��� � �����-� � ������ �������" �� ������ �� �� ������� ��� �������� � ����-� ����� � �����-� � ���"

#������� �� �������� �� � �� ������� � ���)� ����� �� �������� ��� ����� �������� � �� ��� � �� �!� � �� ���� � �� ������( � �� � ���������� �� � ���� �����+ �� ������ � ���� � �'�.� ������ �(���� �

���� ������ ��� ��� ���� � �"�

���� '���� ����� � �0���� ���&� �� ���� & � ����� ���� �&���

������� � ���)� ����� � ��� 6� � �-�� � � � ����-� �������� � ������� �� ���������-� ������ � '����� �� �� � �����-� � � � ����� � ������ ��� ����� ��������� � �'�.� ������" %��� � ��� �����+

� � � ��0��� ��0�� /@"?;0

*�� ������ ��� � � ,���-� ����� ������� �� �� ������� � �� �����(�������������� ��� � ������ � ����� � � 6�� � ���� �� '���� � �� ������������ � �'�.� � � ���� � � �.� � � ������"%��� �� 2�� �� � � E���� @"<=� � ����� � �����������-� � �� �'�.�

������ �(���� �� ���!� ��� ��� ����-� � ��� 0 � ��� �����(�� �������1�� ��!� �� 2� ������� � � ������ 0� � 0�� �����(����" �� � E���� @"<=�� ������ �� ������������ � ������� �� ���� �� �� �� ��� ���� ��� � �� ��������� ��� �.���� � '-�� � � �� ������ ��� ���� �� ���� � ����1 �� � ���������" �� �� ����� �� ������� :�� � ��� � �� ��� �� ������,� ���(���� � � �������� 0� � �'�.�� �� �� � �������� 0� �� ����1� ������� ������ � ��� ����" ��� ������ �� ������� ���� � ��� �� � ����(�� � ���� ���������� �� ��������� �� ���� ��� � �� ���������"

Page 126: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�"� �������� �� ����� ��������

���� '��"� ����� � �0���� ���&� �� ���� & � ����� ���� )

&-'-� ������� ���� ��

% �����(����� ��� � ����� ������ ����� � ������ �(����� ���� ���1������� � ������ ����� � � F,�-� �(����" �� '���� ��������� ��� ��.�����&���� � ����-� ������� �� �������� � � ��� � � ��.�� ������� � F,�-����� �(���� /( E���� @"<>0" 7 ��� ���� � ������� � ��� ������ �����1�� �� ��� ������� � � ��� ������� �� ��� ��������� ��� � ������ �� ��������'���� �+

0��� � ������

��� 0��� �

�����

��/@"?30

���� ���� � ���� ��� �� ��������� � ������ F��� ����� � 2 ���� ���

� � �� 2 ������� � � ���� ���" %�& ������ � �:�� �� ��������� 0���

� 0��� " ���������� �� ���� ������� �� � ��� � �� �������-� � ����� � ��������� � � ��" �� ������ 2 ���� ��� � ����� �����-� � ����� �������"��������� �6�� � ������ ��(����� �� ��� ���:�� � ��� �� ���� ��

��.� ��� � ��� � � ����-� � � ��� �� � ��� � � 2 � � (��� /( E����

���� ������ ��� ��� ���� � �"�

���� '��#� $��&��� ������ �� ����� � �0����

@"<@0" ��������� ��� ���� � '�.�� ��!� 2 � �� ���!�� ��� � �������� /30 �� ���� �� ����� � ���6� ���:��" ��� � ��� �� ���!�� ����������� ���� � ������ � ���� ���� �� ���� � ��� � ��� � � ����-� /30� ������� �� � ��� �� (� +

� �

��

�� � �

��

�����

����

F � � �����

����

��

���� � /@"?50

���� � � ��� � � ����-� ��� � �� � (� !� ���6� �� ����� F � ���������� � 2 ����� ���� � ������ � ����� � � ����-� ����� � ���6� 2� ��

���� � ���F � � ������ ��&���� � /&� �����0 ����� � 2 ����"

7 ��(� � 6� ��� �.��� � 6��-���� � ���������-� ��� � ������� ��� ���� �F,�-� �(����"7 ���� '���� ��� � ���:�� � � ��� � � ��� ��� �� ���� � ����������� �� � � ��� � (� �+

� � �� �

��

����� � �����

����

F � � ����� � �����

����

��

���� � /@"?<0

*� ��'���� �� ����� '�.�� ���� � �+

�� � ������

����

��

���� � �0�����

����

��

���� � /@"?=0

���� � 6� ����� � ����� �� ����� � �0��� ��"

Page 127: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�"" �������� �� ����� ��������

���� '��'� 3�&���� � �� !���&�� � ������ � 1��&��� ������2

% ���� � ����� � �� ��& ��� ���������� � �� ��� � � ����-� @"< ������ � '-�� � � �� ������ '��� � �� 2� ��� � ���� ����+

���� �0��� �

����� �

���� ���/@"?>0

���� ��� � � ������� � ������ ��" #������ �� ��� '-�� � ����6� � � ����-� �������� ���� � � ��� � � ��� �� � � �����-� ���� ���� ���� ��� ���� ������ �� ������ ��� ����� ���"

�:�� � �� &-'-�-�

7����� �� �� �� ����� � �� ������� �������� � �������� � ����������� � ������ �(���� � �� �������� ���� � ������ � 2 ���� ��� 0���

� 0��� � �����(����"

������ ���� � ���������-� � �� ������� ���� ������� �� � � ���1��-� � 2 ����� ������� � ����-� �� � ���� ��� �� � ���6� 2+

��� �0��� �

���� �F�

���� � �F�

�� �� ���� � �� ���� � ���6�� ���������+��

��� �� �

����

���

0��� ����� �F�

���� � �F�� �F� �F

���� ������ ��� ��� ���� � �"�

�0���

����

����

���

��

��� �F� �F

�0���

����

����

� 0��� /�""�0

*� ��������-� � �� ���� �����

���

������

��� �F� �F � ��& ��� � � � �.��� � �2����� @"<"3" /( ������� E���� @"<?�0"

%�& ������� �� �� ���� � ���������-� � �� ��������� ���� ��� �� � ������-� � 2 ����� ������� � ����-� �� � ���� ������� �� � ���6� 2+

��� �0��� �

��� �B�

���� � �B�

� ���� ������ (�� �������� �� ������������ � ��� ����" �� �� ���� ��� ���� � ���6�� ��������

��� �� �

����

���

0��� ��

��� �B�

���� � �B�� �B� �B

�0���

����

����

���

��

��� �B� �B

�0���

����

���

���� '��(� 3�!� ����� � ��� � ��� ��� ��������

Page 128: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�"& �������� �� ����� ��������

*� ��������-� � �� ��� ��������

����� �B� �B � ��& ��� � � � �.��� �

�2����� @"<"3" /( ������� E���� @"<?�0"

�� ��� ���� � �2����� ="<"3"5 � � ����-� ="<� ������ ����� � � F,�-��(����� � �����- ��+

��� E �����

����

��������

���� E � &��� � � �(��2 �� '��� (��� ������ ��� 2 ����� /(E���� @"<>�0" 7��� ��� ��� ������ � ��� ����� � ��� ������� �� ��������& �������� � � ��� � ����� � ��� �� '��� �� &��� � E ��� 2 ���� � 2 ���� /( E���� @"<>�0" �� �����+

��� E � �0���

0����

�������

� ������� ������ � ����� � ������ ����������� � ����������

��� �� �0���

����

����� � 0��� /�""�0

&-! $����� �� ��������� ��������

7 '��� ��� ������ � 6� ������� �������� �� � ��� � ����-� � �'�.������� ���� �� ���� � ��(��� � � ����-�" 7 6�6�� � ������� � ���6��'�.� ��� � ��� � � ����-� �� 6� ����)��� ����!� ��� � �� ������1������ � ��� ���� ��� �.���� ��� ���� � '-�� � � �� ����� �� �� � ������ � ���������-� ���������� � ������� �������� � /(� �� ����� � �������0������ � � F,�-� ���� " ��� ������ � ������ � ������ � �������� �� ��� ���� � ���6� ���������-� ���� ���� �� ���� � ��(��� � � ����-�"D��� � ����������-� ��� � ��� � ��� �� ��� �� �� ������ � ������ �������� ������� � ���� � � ����� ������ � �� ������� ���� ����� � �� �����-� � � �� ���� � �� ������� �������� � ��(����� � � F,�-� ���� "��������� �� (� ���.� ��� ����-� � C � �������� ����� � 2 � /������� �

�����0� ������� � �� �'�.� ������ �������� � � ��� � � ��.�� � (� � 0��(���� �������� ���� ��� � ����-� ���� �� �� ����� � ������� � ��� ���������� � ����� � ���� � ��(��� � � ��" �� - � � ��� � �: � � � ���6��� �� � ��� 4� ���� � �� � �� � 4 ���� � � �� /( E����� @"<A� � �0"*� ���������-� � ������� �������� � �� ����� �� ������ (���� ��� ��

�: � �� ���� � �����- ��� ������� � � ����-� @">"<� � � ����� � �E���� @"<A�" ������� � ��� ���������-� ��� � ������� 6��.���� � ��� ��� �� � ��� ���������-� ����- ��� � ������� (���� � ��� � ��" * ������ .

���� ����� � ��� ���� �������� �"'

���� '��+� � ��� � �!&�4�� ����� �� � & � ����� I

� .� � �� �� ����� � �� ������� ��� � � ����� ��'��� �����(������ * � � �� ���� � �� ������� ��� � ��" ��� �� � ���� �� �� ��������� ��� ���� ������ ������ '����� �� �� '�.�� .� .� � * /( E���� @"<A�0�� � ��&������� ���(� �� � '����� �� �'�.� ������ �������� ��� ����� �� �� � ����� � � E���� @"<A�" ��� �� �� ���� �� ��+

/�0 *�� �� ����� . � .� � �� ������� �������� � � �� � �� ��� � ���� �� � ������� �������� �� �� 0� � �" �� (� � ��� �� �� �� ����+

. � .� ��

0���4� ���

�� 4��4� �

0� ��-4�

���/@"?@0

Page 129: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�"! �������� �� ����� ��������

/�0 *� �� ���� * � �� ������� �������� � ��� � �� � ���� � ������0�� * � 0�� ��!� � ������- � � ����-� @">"3"

/�0 %��&�� �� � �� �'�.�� ��� � ����-� ���� � � �� '�.�� � �� ��������� ����� � �� �������� ������ � �� ������� ����� � ��� �������� �� � ���� � �������� �� �'�.� ������ 0�" ������� ������������ � ����� � �� �+

0� � � .-

�.�

-

� . - /@"??0

� ����+

� �.-

0��

��-�4�

���/@"?A0

�� ���� ���-�� ������ � ������� �������� � �� �� ��� � ��&������� ���1(� �� � �'�.� ������ 0� �� ���!� ��� � ����-� ������ �� #� ��� �� � ��� �" � ���(� ���&� �� � ������-� � ����� � �- � ���� � � ������� � ����-�� � �� � (� � � ������ ������� 0�" ��� �� ������ ��� ������������������� � � ����-�"���� ��������-� ��� ������ ������ �� $�� ��� � �� ��� � �

���� � �� ������ �� � %� ��� �� ������ � ��� ������ ��������� �"����� �� �$��� ��� � �� ����( �� � ���� ������+ 7��6� ����� � ����������� � ������� � � ����-� � � ����� ��� ���� � ���� � � ����� ������ ��� ������" � ������� � ���� � �'�.�� ������� � ������ ��� �� �� � � ���� � #" $�� �� /34550"*� ���������-� � ������� � ���� � �'�.�� ������� �� ��� � �������

� �:����-� � ������ ���� ������ � ���� � ��(��� � � ����-�� �� ����� ������2� � ������ � 5" ��������� ��� ����-� �� ������� �� �� ������ ��'�.�� �� ������� � �� ������ F��� �� � �� �'�.� ������ �0 � �� ���������� ���� ������� � ���� � ��(��� � � ����-�� �� ���� � ����� � �E���� @"<4" � ������ � '�.�� '����� �� �0 � ���� ������� � ���� � ��1(��� ' /E���� @"<4�0� � ��&������� ���(� �� � ������ '����� �� �0 � ���

� �������� � ���� � �'�.�� ������� � /E���� @"<4�0� ���+

��� �

� ���� � �

���'���

0 /@"?40

��������� �����:���� '����� � ������ ���

� ��� �� ��������� ����� � ����-� ���!� ��� ���������-� � ������� �������� � �� �� � ����-� �

���� ����� � ��� ���� �������� �"#

���� '��,� �&���� � �!&�4�� �� � ��� � �!&�4�� ����� ��

�� ����� ������ � ���� �� �� �������+

�����

�� � ���� ��� ����'���

0 � /@"A;�0

� ���� � ����'���

0 � /@"A;�0

� ���

�1 � �� �� ����'�

��

�� �� � /@"A;�0

� ���

��1 �

���'

�� �� �� � /@"A;�0

� ���

�1� � �� �� � /@"A;0

���� �1 � �1 ��� �� � (��� � ������-� � �� ����� ������ � � ����-� ������ '� � �1� ��1���� ��� �� ��� � ���������� (��� � ������-� ����� � ������ � ��������� ����� ��� /( E���� @"=;0" � �������� �� ������ �� ��

� � ������ �� ���� � �� ������� �������� � ���� � ����� � ���� � �������"�� ����������� � ,������� � �� � '�-��� � ����-�� �� ���� � ������& � ������ � �-,���� � � ������� �������� � ��������� � ����� ���� � (� � � ������ ��

� � ������ � ���� � �'�.�� �������� � �� � (� � � ��� ������� ���� � ��(���" �� �� ��� �.-� �� ��

� ��� ���� � ����� ��������( � � ���� � �'�.�� ������� � ��� ������� ���� � ������+�������� 6�6� � �����-� � ������ ���� � ���� � �'�.�� ��������

���� �� �� �� �����+

/�0 0 � � � ��

� �� � *� ����-� ��& �� ������� !������� � ������ � � ������� �$��� ��� / ������ � �� �0 � �� ������� �������� � ��� �� ������!������� � ������ ����"

Page 130: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��, �������� �� ����� ��������

���� '�".� ����� ���� �� � ��� � �!&�4�� ����� ��

/�0 0 �� � � ��

�� �" *� ����-� ��& �� ������� !������� � �$��� ��� � � ��

������� �������� � ��� �� ������ !������� � 0 ������� �� ����� �"

/�0 0 �� � ���

��� � *� ����-� ��& �� ������� � �$�������� � �� ������� �����1

��� � ���� � �&� �� ������ � F,�-� /��&������� ���(� ��� � �'�.������� 0 ������� �� ����� �0 � � ����-� /���(� ��� � ������ ������

�0"

�� ���� ���-�� � ������ ����� � ������-� � ���� � �'�.�� ���������� ��� �:�� ������ ���� � ������� ��� � ����-�" �� ������ �� ������� ��� � ��� ������� ��� �� ������� ��� ���� � ��(���� �� �� ��������� ��� �������� � '��� ����(���� � F,�1����-�"���� 2�� �� (���� ��� ��� � (� ���.� � ����-� � C ��� �� 6���

��.��� � �������-�� ��!� �� ���� ��� � ��� � ����-� � � ���� � �� ,���/�� �� ������ � �'�.� ������0" �� � E���� @"=3� ������ ���� �� ����� �'�.�� ������� � �� � ������� � �� ������ ���� ��

���� � �� � ����-�

��& ������� �������� � �$����" �� � E���� @"=3� ������ �� ���� �� ��� �� � ������ � ����-� ��& ������� � �$��������� ��� �� ������ ���� � ��

�� 0 �� ����6����� �� ��(��� �� ��� � ����-� � ������ �������� � � :���"

�� � E���� @"=3� ��� � ������ �� ��� �� ������ ���� � ������ 6����������� � � � :��� �����" ��� ��� ����� �� 2�� �� ����� � �� ����� ���� ������ �� �� ������ � ��� � ����-� � 0 ������ �� ���� � ��(���� � ����-�" �� ������ ��� ��.� � ����-� � C � ����2���� ��2� � ����-� � ������� ��� ��!� �� � ��� ������� � ����� ����� ��& ������� � ����-�"

��� ��� �.-� ���� � �'�.�� ������� ��� ������� ���� � ���� � �$���"

���� ����� � ��� ���� �������� ���

���� '�"�� ;�����4� �� ����� I ������� � �!&�4� ����� � ��D ��0�����- �� � �����

&-!-� ���� ��� ��� ����� �� ��������� ��������

*� ������-� � ���� � �'�.�� ������� � � ������ �������� � ���� � ���:����-�� � ���� �� ������-� � �� �� �� �'�.� ������ � �����-� ��� ������������ �� ����� � � � ��&������� ���(� �� � ������ � '�.�� �� ���� � �� ������� �������� � ������ � ���6� �'�.� ������" �� ������ �� ������� �� �'�.� ������ � �����-� ��� ����� ������� �� ����� � �� ����� � ������� ������� � � ����-� �� � ���� � ������ �� ���� � �� ��������������� � ������ � ���6� �'�.� ������� ����� � ����� /( E���� @"=50"�� ���+ ��

� � �0 �

��

�1� � �� �� /@"A30

�� ��� � ���� � ��� �����-� ��� ��� ���-������+ �� ��� ��������� � ������ � � ��� � � ����-�" �� ������ ��� �� ( � 6�� �� � ���� � ��� (������ �������

��0 �������� ��!� ��� �������� ���������" �� 6������ � ���� � ���

������� �������� ��!� �� ��� 2� ������� � � ����� � � ����-�� �� �� ������ �� ��� ����� � ������ � ����� ��� ��� � ������ ��� /�� �(����0"������ � ����-� ��� �� 2 � ������� ���� � ������� ��& � ���6� 2�

�� ������� ��� � �� � ��� � ��� � �������� ���-����� � ���� � �������"

Page 131: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��� �������� �� ����� ��������

���� '�"�� 3���� ���� � �� ������� �� � ��� � �!&�4�� ����� ��

�� � ����� �� 2�� �� � � ����-� �C �������� ��������� ���� � ������-�� ���� � �'�.�� ������� � 6� �� �� ��� � ������� ,������� � ���� ���� ������� � � �����-� /@"A30"

�� � ����-� ��� ��� � �&� 2� � ������� ���� � �'�.�� ������� ��&��������� � � �������-� � ���6�� 2� � ������� ��� ���� � ��(���"�� � ����� �� 2�� �� � �� ������� ������ �� � ���� ��� ��� ���� � �� ������� ��������� � ��� 0

�� �� ������� ������ � ���)� ���� '������ �� ����� ���� �� ���1��� � �� ������ �� � ���� �� �� � ������ � � E���� @"=<� ���6� ����� ���������� ���� � �'�.�� �������� � � �� � � ���� � �������� �1���� � ���6� ������ � �� ������� �������� � �� �� �'�.� ������ ������������ ��� � ����-�"

���� '�"�� /������ �� � ��� � �!&�4�� ����� �� ���& �� ����� � ������&����

���� ����� � ��� ���� �������� ���

���� '�""� 3���� ���� � �� ������� �� � ��� � �!&�4�� ����� �� & ������ ������

D���� �-�� � �� ��� ���������� ��� � ���� ������ � � �� ������������� � ���)� ����� �� ��� �� ����� ����� " ��� �� � ������� ������-� � ���� ��� � ������� /@"A30 ��� ��� ������� ��������� �������� � ���� � �'�.�� ������� �� ��!� �� �������� ������� � � �����" %��� �������� � ��� ���� �� �'�.� ������ 0�� ��� � � 2 ������� � ������� ������� �� ���� � �'�.�� ������� �� � ������� �� ��� �������� � ��� �� � � ���������� ���������-� � ������� �������� � � � ��� � � ������� � � ����-� � � � ���7�� �� ���� � ����� � � E���� @"==�� �� ������ �'-�� � � �� ����� ����������+

� ��7� �0� ��

��7�

�� 4�7�/@"A50

� ���� � ������� ����� � �� ����� ��� ���� � � �'�.� ������ 0� � � �� ������� �������� � �� ��������� �� ���+

�� 0� �

��

�1 ��� 4 �7 �

��

10� ��

�� 44 �7 /@"A<0

���� 1 � 1�7� � � ��������� � � ������ � � ��� ���� � � ����-� � �����

7 �6� � ���� � ��������� �� � ���� � � ����� � ��� �� ������ � � �����-�� 2 � /��� �� ������� � � 0� �������0+

�� ��

��

��

��

��7� 1�7� �7 /@"A=0

Page 132: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��" �������� �� ����� ��������

� ��� ����� ��� �� �'�.� ������ 0�� ��� � � 2 ������� � ������� ������� �� ���� � �'�.�� ������� � �������� � � �� �� � � ������1���� ���������-� � ������� �������� � � � ��� � � ��� ���� � � ����-��� � ���7�� �� ���� � ����� � � E���� @"==�� �� ������ � '-�� � � �� ���������������+

� ��7� �0� �

��7�

�� 4�7�/@"A>0

� ��� �6�� � ���� ���+

�� 0� �

��

�1 ��� 4 �7 �

��

10� �

�� 44 �7 /@"A@0

7 �6� � ���� � ��������� �� � ���� � � ����� � ��� �� ������ � � �����-�� 2 � /��� �� ������� � � 0� �������0+

�� ��

��

��

��

��7� 1�7� �7 /@"A?0

*� �������-� � ����� ���� � ����-�� � ���������� �� � �� � ����� � ��1���� ���� � �'�.�� �������" � ���(� �� � ������-� � ���6� ���� ���������� � �� (� �� � 0� � 0�"�� �� ������� ��� � '��� �������� � ���� ���� ��� �� ������� �

���)� ����� �� ��������� �� ����������� ������������ � ��������������� � � '��� ������� � ���� ����� � ��� ��� � ���� 2� � ���6�� �����"%'����������� � ������� ����.��� ������� � ���� �������� � ������������ ���� � �'�.�� ������� ��& ������� � �� ������� � ���� ���(���" %��&�� �� ����� � ����-� � (���� ��� � ��� � ��������� ��� � ��� �.���-� ,���� � ���� � �'�.�� ������� ��� ����� ����������� �&������"

�:�� � �� &-!-�-�

� ��������� (� ���.� � � E���� @"=> ��� ��� ���� (���� ������� ���1'����� ������ � (� � + � � CG��� �������� ,� ���(���� � �� �� ��1����� ���� � �� ,���� (� � � � ����-� ������� � �� � ��$��" � ���+/�0 �� �� � � ���������-� � ������� ���� � � ������� �� �� � ,�� (�1 � ������� " /�0 7���2� � ���������-� � ������� �������� � ������ � ������� �� �� � (� � �&,��� � � ��.�" /�0 �� �� � � ����2� � ������-� � ���� ��'�.�� �������"

���� ����� � ��� ���� �������� ���

���� '�"#� ;�����4� �� $7���� '�+����

*�� ������������ ��������� � � ����-� ��� �� ��������+

� � � � � � � ��� � � � ���� � ���

��

� � � � � � � � � ��� � �� ���� ��

���� �� ��� ��� ��

�� � �� � �

� �(�

� ��� ���� � � � ���� � � ��

�� � � �

�� ��

��)

� ��� ���

/�0 *�� �� � ������� F���� � �'�.�� ������� ������ � � ���� + ���+

���� ��

+�� � 0 ��� � +�

��� (� �� �&,���� � � ����-� � ���������� /� � �� �0 � (� �+

���� � � � ���

� �� CG ��

0��� � � � �� � ��CG

*�� ������� ���� � �&,���� � � ����-� � ���������� ���� �� �� �������� � '-�� � �������+

���� ��� ?

��� �� � ��� � �� � � � �� ��� � ����

��� � ���� �� � ��� �$�� 6 ��

Page 133: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��& �������� �� ����� ��������

���� '�"'� /������ �� � ��� � ���0���

/�0 *� ���������-� � ������� �������� � ��� ����� �� ������ � '-�� �� �� �����+

��7� �0� �

���7�

�� 4

�� � � ������ (� � � ������ ��&���� ���� � '����-� � � �������� 7� �

���� �+

����7� � 4 7 �� � � � �� ���� 7

��� ����

� � � �� 7� �� � 7� ���

�� ������ � ����� � � ����-� �������� � �� �� �� � �" �� ����� � /7 ���� � ��� (� � � ������ ��&���� � ���� � ��

� � ���� ��� �� �� �����������

� ����-� �������� � ���6� ����� �+

�� �0����� � ���� � ���� ��� � ���� � � ���� �� � �� � �� � ��

�� 0� $��

��� 0� � GX����" #�� �.���� � � ,���-� ����� (� � � �'�.� ������0� �� 0��� � �� � ��� G � ����� �� � �� ���$��" �� ������ � � ����-�� ���������� � � �� �������-�� �� ������� � � � ��'�� ��� �� � ��� � � ��� � ��� � �� ���$��" *�� ������� � �� ������� � �� � �� ��� �� � � E����@"=?�� �� � ���� ��� ������ �� ���� �� ������������ � ��� ����"

�� � ��� ������ ��&���� ����� � 2 � ��� �� �� �� � '����-� � ��������� � � ���+

������ � ���� � �� � �� �� 4

�� � � � �� � ���� ��� �� ���

���� ����� � ��� ���� �������� ��'

���� '�"(� 3������&��� � � ��� � �� � ����� � ����� �

� (� � �&,��� � ������ ��� ����� � /� � � ���� � ����� � �� � ���� � ��

�I � ����-� �������� � ���6� ����� �+

�� �0����� � ���� ������� ��� � ���� � � ���� �� � �� ���� � ��

�� 0� $��

�� ��� �'�.� ������ 0��� � �� � ��� G �� �� ���� � �� � �� ��� $��" ��(� � ������ � (� � � �� ������� �������� � ������ � ������

'�� � �� ������� ���� � ������ � ������ F���"

/�0 % � � ����-� �������� ����� � 2 �� ���� � �'�.�� �������� ���& ��������� ������� ��� ���6� 2� � 6�� �� �� �� � �� ������-� ������" ��� � ���������� ���� �������� � �� ������ ��� � ����-� �� ������(���� �� ��� �� ���� � �'�.�� �������� �� ���� � ����� � � E����@"=A�" *� ���������� ���������-� � ������� �������� � � ��������� �� ��������� ��� � �� �� ��� � ������� ����� � �� 2�� �" �� �� ��� (� �� �� �� ����� � �� ������� �������� � � �� � �� . � .� � � � �� *

/E���� @"=?�0" �� �� ����� ���� (� �� � ���� ���� ��� �.���� �� ,�������� �� ���� � ������� �����+

. �

� �������

���

0�����7�

�� 44 �7

�0���

������

�� � � 7� �� � 7�� �7� �� ��� 0�

Page 134: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��! �������� �� ����� ��������

���� '�"+� 3���� ���� � �� ������� �� � ��� � �!&�4�� ����� ��

; � . ��� ��� � �� � �� 0�

* � � � ���� � �� �

���� ����� �� � ���

������ 0�

� �� ���� 0�

G-�� �� * � ; � 0�" ���� ���� ������� ����� � ����� � �� ������� �'�.�� '������ �� 0�� �� �� ���� � �� �� ����� .�.� � *� �� ���� � �����+

0� � � * � �� �� � � �� ��*

0�� ��� �� ��

�� ��������� � ������-� � ���� � �'�.�� ������� � ��� 2 � ������� � ����-�"

�:�� � �� &-!-�-�

�� �� � � ������-� � ���� � �'�.�� ������� � � ����-� ������ � ����� � E���� @"=4 /( ������� �2����� @">"5"30"

�� ������ � � ����-� ����� � 2 �� ���� � �'�.�� ������� � ��&��������� ������� ��� ���6� 2" ��� �� �� � �� ������-� ��� ���� �������1��� ���� �������� � �� ������ ��� � ����-� �� ������ (���� �� ��� �� ���� � �'�.�� �������� �� ���� � ����� � � E���� @">;�" *� ���������-�� ������� �������� � ������ � � F,�-� ��� �� �� �� � '��� ��& ��� � ����

���� ����� � ��� ���� �������� ��#

���� '�",� ���� ���� �&��� *&�� ����������

� 6�.� � �2����� @">"5"3� � �� �� � � ����2��� � � E���� @">;�� ���+

�� � �� �� � 0� $�� I �� � �� ��� 0� $��

�� � �� ���� 0� $�� I �� � �� ���� 0� $��

��� 0� � GX����" �� �� ��� (� � � �� �� ����� � �� ������� �������� �� �� � �� .� � .� � � �� � ��� *� � *� /E���� @">;�0+

.� �

��

� �� � �� ��� �

�� ���� � �� � ��� 0�

.� �

��

� �� � �� �� �

�� ���� � �� ���� 0�

*� �

�� �� �

���� � ���

�� �� � �

�� ���� � �� ��� 0�

*� �

���

��� �

��� � �

�� �

��� �� � �� �

�� ���� � �� ���� 0�

���� ���� ������� ����� � ����� � �� ������� � '�.�� '������ �� 0�/( E���� @">;�0� �� �� ���� � �� �� ����� .��.�� *� � *� /( E���� @">;�0��� ���� � �����+

0� � � *� � �� � �.� �.�� � �� � � �� � � ��

�� ��������� � ������-� � ���� � �'�.�� ������� � ��� 2 � ������� � ����-�" ��� ���(�� �� ��� � ������ � <�453 �� � ���� � ��(������� �.��� � ������ � � �� � ���� �����"

Page 135: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�&, �������� �� ����� ��������

���� '�#.� 3���� ���� �� � ��� � �!&�4�� ����� ��

&-# +� ����� �� ����� ����������

*� ������-� � �� ,������ ��� � ��������-� � �� ������� �������� ������� � �'�.� ������ � ������� '������ �� (���� ����� � ��� � �.��� '��� ��& ��� � ���� � 6� 6�6� � �� ������ � ��� ������� 6��������� ����&� �� ����2� ��� � ������ '���������� /( ����-� ="@ � %������ %0 � ��� �� ����������� ��������� �������� ����������� � �� 6��- ���� ���������"%��� �� 2�� �� ��������� ��� ����-� '����� �� (���� ����� �" ���

���� ����� � �� ����-� � ��� �:�� �� ������ � %��������� ��� ����� � '���� � � '��� � � %�%� ���� % � �-�� � � ��������� � '����"*� '��� � � �� ����� ������ �6�� � '���+

���� �0� ��

�� �

�� ���/@"AA0

���� �� � ������ � ����� ��&���� � � ����-� 6������.��� ����� � 2 �� 2 ������� � ����� ������� � ��

�� � � ������ ��&���� ��&���� � &� 6������.��� ����� � ���6� 2� �� � �� �� � ����

���� � �

��

� � �� /@"A40

%�& ������� ������� � ���� ������� � � ����� ������ � �:� ���� ���� � �'�.�� ������� � � ����-� 6������.���"

���� �������� � �� ��� ���� ����� �&�

�:��%�� &-#-�

�� �� � � ������-� � ���� � �'�.�� ������� � � ����-� � ��� � � �E���� @">3� � � �� ����� � � � ��'�� ��� �� ��:���� � ���(� ����� � *�� ��������� ��� - � �� ��� � � � ��� 4� � �� � 4 � � ��"

���� '�#�� 3���� ���� �� � ��� ��� ��� � �!&�4�� ����� ��

/�0 �� �� ���� ���� �� ������������ ��&����� � � ����-�" 7��� � ������� � ����-� ����� � 2 � ���� ��&���� ' ���& ������� ��� ���6� 2 ��� ���2� � ���� � ��(��� '" *� ������ � ' ����� � ' �+

�� ��4� �

�� ��4�

���

!�4� � -4� ��4�

� � � � � � � � � � �� �� � � � �� � � � � � �

� �� ���� ����� 2 ������� � ����� ��&���� � ������� ��� 2 � � ������

� ����� ��&���� � � ����-� ����� � 2 �� ��� � ���,�������� ���� � ����� � �� ������ ��&����� � �� ��� � ��� ��� � ��

�+

�� � ��� � ��

���4�

� � �

��4�

� � ����� �� � ���� ��

� ���� ���

Page 136: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�&� �������� �� ����� ��������

/�0 7��� � ������ � � ����-� ����� � 2 � ���� ��&���� � �'�.��������� � ���& ������� ��� ���6� 2" ���������� �� ��� � �� ����� �������� � ��� � ��� ��������� -� � � � ����� � -� � � � ��'�� /-� � -� � -0"�� �� ����� � ����������-�� � ���������-� � ������� �������� � ���������� ��� �'�.� ������ 6��.���� 0� �� ����� � ���6� ���� � �'�.�� �������" ��(���� � �� �� ����� �������� � �2����� @">"5"5� � ���������-� � ���������� �� � �� � ����- ���� ��� (� � �� � � �� ,���� � (� � �&,��� � ������ ���-� ��� � ��� �� ���� � ����� � � E���� @">3�"

� (� � �&,��� � � ����-� �������� � � � ����� �+

����� �0�

��4� ��

!�� 4�

�0� �

� ��

� (� � � .�� �� ���� � �� ������� �������� � � � � ������ ��� �� 1�� �� 6� ���� &� � ������� � ������� �������� � � �� ��� ������ �� ���� 4�+

.� �

������ �4� �

0� ��4�

� ��� 0�

���

��

%�& ������� (� � �&,��� � � ����-� �������� � � � ��'�� �+

����� �0� �

��4� ��

!��4�

� 0� �

� ��

� (� � � .�� �� ���� � �� ������� �������� � � � � ��'��� �+

.� �

������ �4� �

0� ��4�

� ��� 0�

���

��

��� ���(�� �� � ���� �� 0� � .��.�� �� �� �� � ������

�� � ��������� �� � �� � ���� ������ � '��� ��������� � ��� �����(�� ������"���� ���� �6�� ������� ����� � ����� � ���-� � � �� ��� � � ��'���

� ���+

0� -� � .�- -� �.�

0�

- ����

��-

� ����

-� ���

��- �

-

�� ��� �� ��

' ������� (�����

'-� .������ ���

8�� ��.� ����&���� ��& ������� � ������ ��� � ������ ��� ��� ������� ���!�!������� �� ������ �� ���� �� ��� �������� �- � ��!� 2 � � ���.�� � ���� �� ����� �����( �� /( E���� ?"30" �� ���� ������ � � �� ������ ���� ������� �� �������� � � ��� � � ��.�� � ��� �� ������ � ������ ���"

#������ �� � ��������-� � ������ ���� �� 6��� ����� � ���� � �'�.�� ������� � � � ����-�� ��� ��� ������ � �� ���� ����� ����� ��� �� ���!� ��� � /( ����-� @"A ������� � ���� �� ����� ������ � ������ � �����0" �� �� ������ � � ����& ������ ������ ���� �� � �� � 6�� '���� � ������ ���� ��� �� �������� � �������& � �� �:����(� ����������"

���� (��� /�4� ������� � ��� �� ������

5@<

Page 137: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�&" �������� ���� �� ������

*� �������-� � �� ������ ���� ��� � ����-� ��� ��� � ������-� � ��������������� � ��� � ����-�� � �� '��� �� � ���� �� �� ������ ����� �+

�0 �

��

�� �� � � � ��� �

��

�1� � �� �� /?"30

���� �1� � (��� � ������-� ����� � ���� � �'�.�� �������" ����� ����� ������� ���6�� �������� �� ������ ��� ������ � ���������-� �������� �������� �� �� � �� � ������ 6�� 6��-���� ��� � �'�����-� � � ������� ���� (� ��. �� � �(� ��� �� � ,������"� ������ ��� � ��.�� ����&����� �������� � ������ ���� � �� ���

���� 2� �� ����� � �� 6��-���� '�������� � � �� �� � ���� � #�������� �$���� �" *� ��:�� ��� ������� ������� � ��� � ��� � �� ������� �������� �����-� �� ������ � ����� ���� �� ��'� �'�����-� '�� � �� � ���� '�-����������� ��� ���� � ���"�" �� '����-� � �� 6�6�� � �������� �� ��������� ���( ������ � ��� ���(� � ������� � � ����-� �� ��� ���( ������ � ��� ���(� �� � ���������"*� ����-� ���'�� � ������ ������ � ���� � ��� ���� (& ��� ��� �����1

�� � �� �� �� � ����� � ��� � � ����-�� � � ���� � �����1D����� �&���� � (& ��� ��� ���������� ��� � ��� ���(�" %���� ����� ��� �������� � ��� � ��������� ��� � � #�������� � $���� �" �� �������� ������ � ��� ���(� � (��� �� � ��� � � ����� �� � 4����2���� � ���� �� ��1����� � ��� ����-� �� ����� ,� ���(���� � (� � � ������ ���� ��� �" �� ���� ���������� ������ ����� ��������� 6�� ����� '�� � ������ �� �����-� � � #�������� � $���� �" � ��� �� � ��� �� ( ��� ��� ��������� �� '�� �������� � �� � ����� ���� ���� � �� ������ �� ��� ����� ������ � ��������� ��� � � ���� � � ���������"�� �� ������ � � ������& � ��� � ����-� ���� � ���� �� ������� �

����-� ���� �� ������ � ���� � ��� ���" � ��������&� ��������� � ����� �����1D���� ��� ����-� ���'��� � � ������&� �� ��� ����� �������� ���������� � ����-� � ��.�� � ����-� �������� ���������� �� ����� � ������&����� ��� ������ � �: � � ���)� ����� ����� ������ ���� �����"�� ����� � � �� ���� � ����& '�������� ��� ���� � ����-� ���'��I����� � � ����-� ?"= � ����� �(��� ��������� � ���������� � ����-��� ���'��� � �2� ��� �� ���� ����� �.���� ��������� ��� ��� � ����"7� ����� ��� �������� ��� � ������ ����� ���� ����� ��� �

����-� �'�.�� �,� �� F���� � �������" �� �� ����� � ��������� �� ��������� ���������-� � �� ���� � �� �� ����� �������� � �� ������ � ��� � ����-����'�� ��� ���� ��� ��� �� �������� � �� ������ �� ������"

���� ����� �� ������ �&�

'-� (������ �� $�����0

'-�-� +� ��� �� ����

��������� ��� ��.� ����&���� ��� � ����-� ���� � ��������� ������� ��� ����� � ������ ��� ��2� � ����-� � ��� ������� ��� ���� � � � ��������������� �� ������ � ��� ������� ,����"���� �� ������������ ���������� ������� � � ������ � � ��.� � � � �� �1

������-� /( E���� ?"50� ��� ����� ����� ��� ��� �� ����� � � �'�����-��� ����-�+

� �� ������� ���� ���� � ��� � �� ���� � ��(���� �� ������ �,�� ����� � 2 � � ��.�"

� �� ������� ���� � ����(�� ���� �� � � ���� � � �'�����-�" �� '���� �� ������� ��� ����� ���� �� �� ������ �,�� ����� � 2 � ���.�" %��&�� ��� ����� � ���� �� ������ � � �� �������-� ������ ��� ��� ����-� ���"

� �� ����� � � ����-� � ����(�� ���� � � �'�����-�� �� ������ � ��� �������-� ����� � ��� ��� ����-� ���"

���� (��� /�4� � ����� ����&��� ������� � ������ �&��

Page 138: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�&& �������� ���� �� ������

� &��� � �� ��� ����� ��� ����� � � ����-� ����� ��� ���� � ��'�����-�� �� ������ �,�� ����� � 2 � � ��.�"

�� ����� � �'�����-� �� ����-� � ��.�� ���� � ����-� ���� � � ��������� ������ � 6��-���� � �" %" � ��� ��� /3?A=0� �� ��� �������+�� ��� ��� ��� � ������ �������� ������ � ������ ���( �� � �������� � ��

%� ���� ������ ���� ������� � �� ���� ��� � ������ � �� ���� � ��� ���"���(���� �� ��� �� ����� ������+ &�� �"��� ������������ � �� ��� � � ����� �'#����,"��2� � 6��-���� � ���)�� ��(������� � �'��������� �� ���� � ����-� ���

��:������� ���)�� � � ��(���� � �� ���� � 6� �� � �� :��� �'��������� ������ ������� � � ���� ����� ���� ������ ��� ����"*� 6��-���� � �'�����-� � ��� ��� ��� (�:��� ,������ ��� �

������� ��� �� �� ����� � � ���� � � � ���������� ��� ��� ������ ���������� � (���� � � ��� � 2 � � ��.�� � ���� � ���������� � ������ ��� �" ���(�� �� ! ����� �� � 6��-���� � ��� ��� � ������ ��������� �

���� �� ������ ������������ &����� � ����� � � ��.�" �� � �� ������������� �� ����� � &����� �� ���&�� �� � � � B��C � �� ���� "

%�� ����� ��� ������ ��'���� � ������� �� � ��� ��.� ����&���� �����-� ���� � ������� � ������ ��� �( �� ���� � ����� � � E���� ?"<�"��������� � � ���� ��'���� ����� ������� ��� �� �� ���� � ����=� ���������� ��� 2 � � ��.�I ���6� ���� � �'���& � ����-� ��!� ���� ������ ������ � � E���� ?"<�� ���� �� � � ��� ��� ������� � 6� ��� ������� ��:������� � �� � �� ���� �������� ��� ����" *� �'�����-����� � � ���� (��& ���� ��+

� ��� ����

���

=�<�

��� = E /?"50

���� � 6� ���������� &��� � � ����-�� <�� � &��� � � ����-� �� ������ �

�������� E � �<����" ���(� �� ��� � ����-�� <

�� � �� &��� �� �� ������

� ���������� � � � ��� � ������ ��" �� �������� ��� � ����-� �������� � �������� E� � �� &��� � �� ������ � ������� � � ��� � ��N* � ���� �� ����������� �� �� ���������� ��� ��������� � � =+

� = E /?"<0

7 ����� ��� � � � B��C� � ������� �������� � � ���� ���� ������������ � � �� �'��������� � � '���+

� � ' � '=E /?"=0

���� ����� �� ������ �&'

���� (��� �� ��� ������� � ������ � ��&����

���� ' � �-�� � � ����. � ������ � ����� " ����� ������� �������� ����� �� �������� � ������� �� � ������ � �� E����� ?"<� � �" � ���(��� �� ������� �������� � � �� ����� � � ����-� ��� ������� �� � ������ ���� �� ���6� ������ � �� (���� ��� ��� ��� � ��������� = � ���� � �����-�" �� ������ �� (� �� �&,���� � ��� � ������� � ����"� ������ �� ���� � �� ������� �������� � �� � ���� � ������

���� ������� ��I �� ����������+

�� �

��

= � �� �

��

' E =� �� � 'E

��

=� �� � 'E �� /?">0

���� �� � ������ �� � � ����� � � ����-� ���� �" ��� �� ���� � � ����1� � �� � � 1�� � � ��� � ����-� �� ������ � ������� E (� +

E ���

'��/?"@0

Page 139: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�&! �������� ���� �� ������

� ������� '�� � ������� ������ �������� � � ����-�" ����������� �� (� �� � ,���-� /?"=0 � �� ������� �������� �� � �����+

� ��� =

��/?"?0

�� ������ � ��� ����-� ���� � (� � � � ����-� �������� �&,��� � �� � ������'���� ,��� � �� (� � (�� ���� �� � ,���-�+

���� ��� 1

��� ��

�1�

��

A�

/?"A0

�� ��� ���� ��� � ���� � F,�-�� � (� � A� � ���1��1� � �1�� � ��������� � ������ � � ����-�"�� ������� �� �� �� �� ����� ��'���� � �� � ���� � � E����

?"= ��&� �������� � ������ ���" % �� ����� ������� �������� �������������� � �� � ��� � ���� � �������� � ���� ��� 2 ���������� � � ��.�"�� ����� � � ��.� ��� ��������� � �����-� � ������-� � (� �� �������� � ���� � ����-� � ����� � �� � ��� ������� � � 2 � � ��.�� ������ �����-� �������� �&,��� � ���.� (� � � ����" ��� ���� � ���� � ���!�� � ������ � �� ��� � � ��� ��� � � ��&�� �!��� " �� �������� �� ����� � � ��.� ���� ���� � �����-� �� � ������-� � ���� � ������� �����-�� �������� ����� 6 ������ � � ��� ��� 2 � � ��.�" ��� ���� ����� �� ��� ���� � ��&�� '&�� � � �� � ����� � ���� 6�� '������� 6����-� � �� ����" ���(� ������� �� � ���������-� � ������� �������� ���� � ���� ���+

��0 �

��

��� �� � � /?"40

����� � � ������ ���� � � ���������-� � ������� �������� � ��� � ����-�"� ��� ���� � � ��.� ����� � ����-�� �� ��� ������� ,����� �+

<� �

��

E �� �

� �

�� ���

'�� ����� /?"3;0

���� � � � ������� ���� � � ��.�" �� ���� ������ � � ����-� ��� � ��.�� ����-� ��������� ��� ���� � ����-� �� ��+

<� ��� �

'��/?"330

���� ����� �� ������ �&#

���� (�"� &��<��� � ���&�� � ��4� ������� � ������ � ��&����� 1�2 ���&���D����: 1�2 ���&�� !�����

'-�-� +� ��� �� ���� �� ����� ����������

��������� ��� ����-� ���� � '����� �� (���� ����� � ��������� � '�������������� ��� �� ��������� �� � ����-� ��� � � ��.� ��& ��(����� � (����.���� �� ���� ��� � �� ��� � ������� � �� ����� �� ��� �� �-�� � �����. ���(�� '�� �� ���� � ����� � � E���� ?">�"��������� ������� �� ������ � � �����( �� ��� � � �� ���� � ��� �

�� ����� � ��������� � � ��.�� � �� ��� �� �-�� � � ����. ����(�� ' ��� ���� ����� � � ����-� � ��� �:�� �� ������ � %��������� ��� ����� � '���� � � '��� �� � '��'

*�� ������������ ��������� �� ������� � � 6��-���� � ��� ��� � � ,1���-� � �� ���������� ���� �� ��(��� � �� �����-� /?"<0� ������� � �����-� ������ � ��(����� �� ���� ������� � �� ����" %��� � ����� ��� � � � B��C� � ����-� �������� � �� ����� � � ����-� � ��������� � ���'��������� � � '���+

� � ' � �' � �'=E /?"350

Page 140: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�', �������� ���� �� ������

� ������ �� ���� � �� ������� �������� � �� � ���� � ������ ����������� ��+

�� �

��

= � �� �

��

�' E =� �� � 'E

��

=���� � 'E �� /?"3<0

���� �� � ������ �� � � ����� ������� � � ����-� ���� �" �� ������ ��� � ����-� �� ������ � ������� E (� +

E ���

'��/?"3=0

����������� �� (� � � � ,���-� /?"350 � �� ������� �������� � � �����+

� � ��� =

��/?"3>0

*� ���������-� ���������� � ������� �������� � � ��� �� ��.���" �� �E���� ?">� � ����� ��� ���������-� ��� ��� ����-� �������� � ��� ����� ��� � �� '� 6 '�

'-�-� +� ��� �� ���� 1�� �

*� ���������-� ��� � ������� �������� � ������� ��� ��� ����-� ���� � ��1��.� ���� ���(� �� � ���6� ����-� ����� ��& ���� ���(�6���� �� ���� ���� � � ����-� � ��������� ��� �� �� :��� ,���� ����2� � �

���� (�#� 3������&��� � � ��� �� 1�2 ����� ����&��� � 0����� ��������1�2 ����� ����&��� *&��

���� ����� �� � ����� � �'�

����-� ������� � �� :��� ������ ����2�&� � ��� ����-� �������� ��� ��'1��" ��� �������� �� �2� ���(�6������ � ����� ��� �.���� ��� ����-����� � 6���"��������� ��� ����-� ���� � 6���� ��� 1� � 1� ���� ����� ,��� �����

� � ����-�� �����(����� �� ���� � ����� � � E���� ?">�" *�� ������1������ ��������� � �� ,������ �������� � �� ��� ������� ������ ������(������ �� ���� � ������� � �� ����" 7 6�6�� � ����-� 6��� ��� �����1��� ���������� �� ��� ����� �� � �� ��� � ����� ������� ��� ����:���� � ���(� ���� �� �� � � ���������-� � ������� � ��� ����-� ���� �� � ������� � � E���� ?">�"

� ������ � ����� �� � �� � �-�� � � ����-� � � ����-� 6��� (� �+

�� �� �1�� � 1�� �

� A� �

��1��

� �1�� � 1�� �

1�/?"3@0

%��&�� �� ���� � � ����-� � ���)� � ���-� � ���� ,��� � ���+

1�� � 1�� � �1�

� � 1�� ��1� � 1���1� � 1�� � � 1�� 4 /?"3?0

���� 1� � ���� � � ��� ���� � � ����-� /1� � �1�� 1��� 0 � 4 � ����/4 � 1� � 1�0" %6��� � ��� ���,���

�� � � 1�� 4 � � 1�� � A� ���1�

� � 1� /?"3A0

���� � �1�4� ���� � &� � � ����-�" 7 ��� ����� � ��� ����-� ���� �6��� � ���)� ����� � ����-� �������� ����� � ������ ���� �� � ���������� ��� ��� � ���� � ����-� � � (� �+

���� ���

A�

���

� 1�/?"340

� ���(� ��� �� ����� ��& ��� ��� ���(�6��� � �� ������� ���� �� ����)� ���� �� �������� � ����-�� �� �� ���� ����� ��& ������� � ����-��&�������� ���'��"

'-� (������ �� +����6;�����

'-�-� ������� ��� �������

���� 6��� (����� � �� ���-� � ��� �� � � ����-� � ��� ��.� � ����-� ���� �� ����� ��������� ���� 6��-���� � �'�����-� �� �� ������� ���� � � ��.�

Page 141: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�'� �������� ���� �� ������

���� (�'� 3������&��� � � ��� � �� � ����� � ������ & � ����� ���� �&���� 1�2 ���-� � ��&����: 1�2 ���-� � �� �>; � �

������ � ���� � ���� ��� �'����" ���� 6��-����� '��� ��� �� ��� ���� '��� ����� �&� ��� �� G�(� � ���� � ��� ��.� ����&���� � ����-� ������ �� ����� � � ���� ���-� ����� �������+ ��� �� �������� ������ ���� ��� &��� � � ����-� � ��(����� ��������� � ������ �� � � ����� ������ ������� � � ����-� � �� (� �� �&,���� � � ����-� �������� � ������� �� ������ �&� � 2���� � ���6� �����"���� 6��-���� ��& � ����������-� ��� �� ���������� � �������� �� ���� �

����� � � E���� ?"@�� �� �� � ����� ��� ��� ���� � G�(�� � ���� ����� "� �������� � ����-� �������� ���� ����� ��!� � �����-� ���� � ������'" " �������� � ����-� � � ����� �������� ��!� �� �������� �� �� ������� ��� ��� ��������� ��� � ���" ��!� �������� � ��������� � ��������� �������� � ���� ������ ,���� ��� ����-� ��� � ����� " � ��� ����:�� ��� � � ��.�" ���� ��& � ����������-� ��� 6�6� � ��� � ��� � � ���:�� ��� � � ��.� ��& �� � ������� ������"�� ������ ,������ � � �.���� ��� ��.�� � ����-� ������ � � �����1

�� ��+

� � �������-� ���� � � �&,��� � �� ������ ����� � �� ���� �&� ����� ��&��� �� �� �� ��� �� ������ �&� � 2���� � ������� � � ����-�������� �� � �� �������� �� �� � ���� � �������-� � �� �" ���� ��� ����� � ���������-� � � ������� �������� � � ��� ����-� ������ � ��� ���� � ����� � � E���� ?"@�"

���� ����� �� � ����� � �'�

� �� ������� ���� � �� ��.�� �� ������ ����� � � �������� � ����-������ �� � � ����"

����� (������� ,������ � ������� � ����� �� � ���� � ��� ��� ��� ������� ��� ����� '�-��� � ����-� � ��.�� � ����-� �� ���� �"*� �� ���-� ,���� � ��� �� � ������ ��� ��� � ��.�� ����&����� � '���

������� '� ������� �� �����1D���� /3A><0� ��������� �� � �'�����-� ���� ���� ��� �� �������� ��� ����� �� ������� � � ��.� � �� ������� �+

/�0 ��� ������� ������ � �� ������� � �� � ���� �

/�0 �� ���"� � �� ������� '�� � �� � ���"

�� *��� 5 � ������& �� ���� � ��� � �� ������� � �� � ��� ����������� ���� � �'�.�� �������� ���� ������-� ��� �� �� �� �� ����� � ����- � ������ � @" �� ��� �.-�� � ���� � �'�.�� ������� � ��� ������� ���� � ������ � � ����-�" �� ����-� ���'��� � ��� ��������� �� ����� � ����-� � ��� ) � ������( � � �� 2 ��� � � � �����. � � ��.�"�� � E���� ?"? � ����� � �'�����-� � ����-� ��� � ��� ��.�� ����&������

��� � ����-� ���� � � ��� � ����-� ������ �" *� ��.� � ����-� ���� � �

���� (�(� 3!������� ��� ������ � 1�2 ��4� � ����� ����&��� 1�2 ��4� � ����� ���� �&���

Page 142: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�'" �������� ���� �� ������

�'��� ��!� � 6��-���� � ��� ���� ��� �� ��� � ���� � �� ������� ���������� � ����" �� �������� � ��.� � ����-� ������ � � �'��� ��!� � 6��-���� � �����1D����� � �� ������� ���� ���� � �� � ��� � ���&� �2�� �� � ����� � ���� � � ����" �(������ � ���� � ��� ��� � �� ���� ������ �� � ���� � �����1D���� � �� � ��� � �� �"

�� � ���� � �����1D���� ����� ��� � ����-� �� ������ � �������� E� ���� � ��� ��� ���'��� � � ��� � � ��.�" �(������ ����� �� � ��� ����'�� ��� ����� �� ������� ���� �:�� � ��������� � ��� ��� �� �� ���� '��� �� ����� ������� ���� � ������ � '�-��� � � ���" ��� ������� '���� �� ��� ��.� ������� � ����-� ���� � ���� ����-� ����(�� �� ������ ����� :2�� ���� � ���� � �� ������� � ���������� �� �� ����� ���� ����� � ����-�" ���� ������-� � � ��� � ��� ����-� ����(�� �� ��� � � ������-� � ����-� �� ���'�� � � ��� � � ��.�" *� ��F����� �� � ��� �� ���'�� ��� � ������������ � ��� ��.� �� ������� � ����-���� � �������� ������ �� ������� ���� ��� ������ � � ���)� ������� � ������� � �� ������ ����� � �������" �� � ����-� ?"= � ������(��� ��������� � ���� ����������"

� ������ ���� �� � ��� �� � � ����-� ���'�� /� � �����1D����0 � 6�������� � ���� � � � ���������" 8�� '��� � &���� � � ���� � '� ������� ��*" ����� � 34;<" � ����� �� ,��� ��� '����-� ��� � < � <��� ��� ����� ������ � �����( �� �� �� ������� �������� � (��� ����� �� �� ��(��������� � � ���6� '����-�� ��� �+

��� ��<

��� ��� � ��<

��/?"5;0

� ��� ������ �� � ��������-� � �� ���������� � ��� ��"������ �� ������� �� � ��� �� &����� ��� �� ���������� ���� �� � ����-� ��� ��1(���� � �� �������� /?"5;0 ��� ��� �� � '����-� < �����'��� � �����-� ��'���� /� ��(���� ����� �0+

�< ���<

����

��<

���� � 'E /?"530

��� � �������-� � ������� � �� � '����-� � ����-� �� �������� � � ��� � ������� � � ����-�" *� �� ���-� � ��� �����-� ��� ������� � '��� �������� �� ��� �� ����&���� ���� 2�� �� � ����� � �� ( ������ ��������������� ���,������� �� � ���� �� ��'����� :������ �� ����� :����� � �� ����� � �������"

���� ����� �� � ����� � �'�

'-�-� ������)� �� �� ���0����

7 '��� � �����(� � � �� ���-� � � �����-� /?"530 ������ ������� ��� ������ ���������� � �� ���-� � �� ��� ��� � ����-� ���'�� ��� ������ ������ � �������� � �� ��"����� ���������� ������� �� ����� /34;<0" ��������� ��������� &����� 6������� ����� ���� � ������� :2�� ��� �� ������� ���� � � ����-� ��� � � ��.� �� � ��� ������� ������� � ��� �����-� ���'��� ��� ���� � � ��� ���-� ���� ������� ���'�� /( E���� ?"A�0" �� � ����-�� �� ��� ��� ���,�� � ���� ��� 6���� ������� ����� � ���� ��� � ���������� � ��� ������� /( E���� ?"A�0"�� I � ���-� ���� �� ������ � ���:�� � � ������ � ; � �����-�

���'�� �� ������ � ������� � ������� � � �����" * ������ < � <��� �� � �'����-� �� ��������� � F�6� � � ������ � ���� ����� � � ��� �� � ����� � �����-� ��'���� � ��(���� ����� � � � �'����� � � ������ �+

�< ���<

����

��<

���� � I

;/?"550

��� � �������-� � ������� < � � � � ��� � ������� � � ����-� /� < � :�4 ��� ������� � �� 6���� ������� �� �� 6��0" ���� �����-� � ��& ��� � � ��������� ����� ��� � '����-� � ����-� � ��� �� � � ����-�� � ���� ������������� � � �� � ���� I�; � 'E" �� ������ ������ � �������-� � � ��1�:�� �'����� � � ������ �� ��(�� � ��( � ���� ����� �� ����������� � '����-� � �������� (���� ���� ������ ��������� ���(�� � � ���������-�� ������� �������� � � ��� �� � � ����-�+

���� (�+� � ����-� � �� ����� �� 1�2 ���� �� �� 5� 1�2 ���� �� �� B*&��C

Page 143: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�'& �������� ���� �� ������

/�0 *� �������� � � ����-� �������� � �� ����� ��!� � �����-� ���� � � ��(� � ��( � � ������ �� ���� �� ���6� ����� � �� �" �� �����

������

���

(��� ���� � � ��(� � ��( /7 � � ������� ��!� � �����-� ������ � ���(� � ��( 0" �������+

�� � �� � ���� ���7� ���

��

�7�

�<

��

��

�7�

�<

��

��

�7�

�<

�7� � /?"5<0

� � � F�6� �������� � � ��� � � ��(� � ��( " �� ��������� � ����-��������� � �� ����� ������ � � �����-� ��� � �����-� � � ������ � ���(� � ��( �� ���� �� ���6� ����� /( E���� ?"40" �� ������ �� � ����-��������� � ������� � ��� � � ���"

/�0 *� �������� � � ����-� �������� � � �� ����� ������ � � ����-� ������ ����+

� ������ � ���� �

���<

��

��

��<

��

��

� ����<�� /?"5=0

� ���� � ����-� �������� � ���� � �-�� � � ������ � � '����-� <� � ���������� /���� 0 � � ������ � � ������ � ���6� ����� /( E���� ?"40" �������� � ����-� �������� �& ���� � �� .���� � � ����-� ���� � ���������� ���� ������ � ������ �&� ������ ���� �� ��(�� � ��( �� ��"

���� (�,� � ����-� � �� ����� �

���� ����� �� � ����� � �''

/�0 � ������ ���� �� ���!� ��� � ����-� � ������� /���� 0 � ��� � (� ��� ����� �� � ������ �'�����+

�� �

��

�1� � �� �� /?"5>�0

� ���

�1� � ��< �� /?"5>�0

� ���

�� � �< �1�� �

��

��� � �1�� <�� /?"5>�0

� � �

��

<�� /?"5>�0

� * /?"5>0

���� � 6� �� ����� ���� � � ��(����� � � 6� �������� ��� ������ ���� ����� �� � ����-� � �� ����� ���� ��� ���,� � �� � '����-� < ���� � � �������"�� �� ,������ ������ � '����-� < � <��� �� ����� ����� � � '����-� �

����-� � ��� �� � ����-� ���� � �� ��& ���� � '����-� F�6� � � ������ &�����" � ��� ����� � /�� ��� ������ �� �� �� ����� �������� � ���� ��� ��� �� � ���+�� ������ � ��� ���� � � ������ ��������� ��� ����� ��� �����(� � ����1

������(� � � ���������-� � ������� �������� � �� ����� � ��� ����-� ��1����� � �'�.� ����" %�� �� 2�� �� � ��� ����-� ������ �� �� (����������� ����� ���� ����-� �������� �� �� �� �� � ������ � � ������ �

���� (��.� 3������&��� � � ��� � ���� ����� � � ����� ��� �����-��

Page 144: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�'! �������� ���� �� ������

�� � � ���6�� ������� � �� ��������� � ����-� ��� ���� �� � � E���� ?"3;�I ��������� �&,���� � ��� � �� ������ ����� � �� ���� �&� ����� %� � ��� ���� � ������ � � ������ � �&,���" �� ������������ ��& ���� � ���� ��� ��� ����-� ���� � � � E���� ?"3;�� � ����-� � �� � � �� &��� �� �� �������� ��� ������%�� ��:���� � �� &��� �� ������ ����" �� � �&������ � (��� ������ � ����� ����� �������� �� &��� �� ������" �� � E���� ?"3;� � ���1��� �� ��������� � ����-� ��� ��� ����-� ���� � 6���I �� ������ ���� ������ �� ��� � �����'����� ������������ �� ���� ��������� ��� � ���� ���� ���"

'-�-� +� ��� �� ��������

*� �� ���-� � ��� �� � ����-� ���'�� � ��.�� � ����-� ������ � �������� � '��� ��� ����� �� (���� � �����-� /?"530 ��� �� ������� ������1 �" ��� ����� �� ������� �� 6�� �� ��� �.� ��&� �&� � & � ��( � ���� �����&���� ��� �.��� � �� ���" ��� ������ �� �� ����� � ���6� ��& ���� ��� �������� (� � �&�����" % ��(�� � � ��� ���� � � ������ � ��� ��� �������� �����(� � �� ��������� � ����-� ��������� ��� �� � � �����-� � �� ��1����� �������� �� �� ��� ���� �� �������� � � E���� ?"3;�" � �-�� � � �����-� � ���� ����� � � ����-� � ��������� � � ������ � � ������ ����6� �����I � E���� ?"@� ����� ��� ����� ��� �����(� � (� � � �� �������� � ��� � � ����� ���� ���� �"��� ��� ����-� ������ � � ���� ��:� ���� � � ��� �&� ���� � �&,���

����-� �������� � �� � �� ������ ����� � �� ���� �&� ���� � ��&��� � �(� +

���� ���

��:�/?"5@0

���� � � �� (� � �� ���� � � ���-� ��: 5 �" � ��� � ����-� �� ������� ������� (�

E ���

' D�:�/?"5?0

���� D ������� ���� � � ���-� ��: *� ��� � ?"3 ��������� (� �� � ��

��: 3 3"> 5 < @ 3; �� ;�5;A ;�5<3 ;�5=@ ;�5@? ;�544 ;�<35 ;�<<<D ;�3=3 ;�34@ ;�554 ;�5@< ;�544 ;�<35 ;�<<<

)���� (��� ��<�� �� ���� ����� � ���� �&����

���� ����� �� � ����� � �'#

��:����� � � D ��� (���� (� �� � ��� ���-�" ���(� �� ����� � ���� D����� � (� ��� ������ ��&��� � � ��� � ���6�"

'-�-" +� ����� �� ���������� ����� 1��

*� ��� ���� � � ������ ���� ���� ��� �� ���-� ��� ���� � � ��� ��� � ����-� � ��� ��.� ����&���� � ����-� ������ � ���6� � ����������� : � ��� � 55 :"�� '���� �� ��&��� � � ��:������� ���� � ��� ������ '���

� �� ,���� � ��� ��� � �'�����-� � � ������ � .���� ��:�������� 2���� � ��" ���� ���(� � ��� ��� �� (� � �� .���� �-,���� � �� ,����� � '����-� �� ����� � F�6� � � ������ �- � ���� � � �������� � /(E���� ?"33�0� � ��� �� � < � <���" ������� � �����-� /?"550 � ��� �

��<

���� � I

;/?"5A0

�� ��� ������ '&�� ��� ��� �� ���������� � ������� /( E���� ?"33�0+��<

��

����

� � �

��<

��

������

� ���� � �I :�

;/?"540

��� �� � �� ���-�+

< � <��� ��

� �:

�� � ��

�I

;/?"<;0

*� ������ �'����� �� �� ������ �� �� ���� � ����-� ����- ��� /( E����?"33�0� � �� � F�6� �&,��� ! �+

! � <�� � �� �:�

I

;/?"<30

%��&�� (� ��� ������� �� � ������ �'����� � � ��� ��� �� �� ������� �� ���� ����- ��� �+

* �

�! : � �

�:�

I

;/?"<50

8�� �.���� � ��� ���� � � ������ � ������� �� � ���-� � ��� ���� �I�; � 'E� � ������ �� �������� ,������ (& ���� ��� ��� �� � ����-�+

�� ��

��:�'E � * � ���� � :'E � ���� /?"<<0

Page 145: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�!, �������� ���� �� ������

���� (���� � ����-� � �� ����� � ����� ���� �&��� ����*�

� ����+E �

��

' �

��:�

���

'��� ���� �

�� :�

��:�

��� :

��/?"<=0

���� �� � �:��� � � ������ � ������ � �� ������ � A� � ���: � �:��� � ������� ������"%��&�� � � ��&�� � � ������ (��� ��� ���I �� ������ � ���������-�

� ������� �������� �� � � ��� � �� ��� ����(�� ���� � ��� +

���� � �����

:� �

�� �

��/?"<>0

��� �� (� �� �&,���� � �� ������ � � �� � �������"*�� ,������ ������ ��� ����� �&� ���,������ ������ ���� � � ���-�

��:" ��� ��: 5 �� ���� �������� ���� ,�����"

'-�-� ���8��� ��������� �0������

*�� ,������ /?"<=0 � /?"<>0� �������� ��� ������� ������ �� ���6��� ��1�� �� ����� � '��� ���,������ � ������� ������ � ����� � ���� ���'���� �� ��� ������ ��� �� �� ����� � ����:������ ��� ���� ���6� ���1���" �� �� � ���� ���� �������� ��� � ������� ����:����� � � ��� ����� � ����-� /E���� ?"350" � ������� ��� ��� ��� �.���-� ������� � �����

���� ����� �� � ����� � �!�

���� (���� /�<�� ������� � ����� & �!���

�� � �'����� � � ������ �&� ���,��������� �� �� ���� ����- ��� � ������� �

B�� �� �)� � �� ��� ���,�����-� ������ �� '���� ��� � �� ����� �� &��� �� ������ � � ����-�� �� � ���� �� &��� �� � � � � � E����?"35�" ��� ������ � ��� ���� � � ������ ���� �� � �� &��� �� ������� ���6�� ������ � ������� ����� � ��:����" �� � �&������ ���6�� ����� ������� (���� �������� ���6�� &��� ��" ��� ������� ������ � ���� � � ��������� �� � ���-� �� � ����-� �&,��� � � ����� � � ����-� ����6� �� �� ,������ ������� ����� � ���� &��� �� � '����-� � � ���-� .�: �� ���� � ��(���� � � ���-� � ���� � � ��.�� �� ���� � ����� � �E���� ?"3<"�� ���� � �: � �������� ����:������� � �� �� �� �������� � �� �1

���� � �� ������ �� �� ������� ��� ���������� �� � ���� �� ���:� 55 �

/( E���� ?"3=0� � ������� ������� � ������� ���,�����-�"�� �� � ��� � ������ ���� �������� �� � ����� �� $47��9 � �� E

&��� � � ����-� � � ����-�� ������� ���� ��� ����� �� ������ /����-����'��0" �� ���������� �� ���� ��� ���� ��� '����-� � ������ �������� ��������� � �� ����� ����. � ����-�� ��� �� ��

��� ���� � ���+

E ���

'�

��� :��

���

'�

��� :��

/?"<@0

�� ������ � ��� �:��+

�� ���

���

����� ��

�����

�� :�

�/?"<?0

Page 146: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�!� �������� ���� �� ������

���� (���� $!��� � �� � ������ � � ��� � � �&��� ��� �� !& ��� � �������� �����J�����

���� � ����� � ����-� � � ����-� /���� � �� ����������� � �� �������������0" %��&�� ��!� � ��� ���� � � ������� � ����-� �&,��� � ���� ������ ��& � � ��� � �� �������� � (� �&+

������� � 'E :� ��� :���

/?"<A0

� � ����-� �&,��� � ��& � � ��� � ���� ����+

���� ��� :���

��

���� ���(� � ����� �� ���� ����� �� ������ �: ���� �� ��� ��1������� � ������ ����� ������������ � �� ��&�" �� � ��� ���� � �������� � �'����� ���� � ���,�������� ���� � � �'����� � �� ���1������ ������ �'��&���� ������������" G���� ���� ��� ���,�����-������� �� '���� ��� � �� ���� � �� ������ �� �� ��(��� ������"��� ���� � ���,�����-� ��� ��� ��� ,���� � ������� ������ � ���)�

���� '������ �� ������ � ��������� ����� �" ����� ��� � �� ��� ���1���� � ��:���� � ���(� ���� �� �� ��������� ����� �� �� ���� � �:��-

���� ����� �� � ����� � �!�

���� (��"� /�<�� ������� �� 0������� � ������

� � ����-� ?"5"5� ���� ���-� �� �-�� � � ����. ����(�� � ���� ���1�� � �-�� � � '���� �� � '��' ��� ������ �:��� � ����� � ����-����(� �� � � ��.� ����

�� ���

���

��!���

�����

�� �� :�

�/?"<40

� ����� �� ���� ��� � � ����-� ������& ��� '����-� � ������ ���� ���� ��������� � �� ����� ����� ��&����" �������� ��� � ����-� �� ������ � ������� �&+

E ���

'��/?"=;0

%��&�� � ����-� �&,��� � ���� ��� � � ����-� � ��& � � ��� � ���������� � (� �&+

������� � '� E :� � ��

�� :�

��/?"=30

B�� �� �)� �� :�� ���� �� �� �� ����� �������� � ��� ����-� ��� (& ������� �: � �������� ������ �������� � ����-� ���'��� ��� �� ��������� �� � ��� ���(� �� ��������� ������� � � ��.� � ������� " �� ��� 6��-������ � ������ � ������������ � �� ���� � ������� ��� � ��� ��'��� ���� �������" 7 6�6�� ����� � �� ���������� � ������ � ����-� � ��1��� ���'�� � ��.�� ��������� � �: � ������" �� � ����-� ?"= � � ������� �������-� � '��� ��������(�" � ����� � � ���� � ���������-� � ��������������� � � ���� ���������� � ��� ��'�� � �� �������� � ��� ����-�"

Page 147: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�!" �������� ���� �� ������

�:��%�� '-�-�-�

�� �� � � ����� � ����-� � �&,��� ������ ���� �� ��� ����� ��� ��.�� ����-� ��� � ���� � �"��� � ���� 1 � ���� 4� ��� ��� ����-� �������� ������� ��"

���� (��#� � ����� ����&��� ������

*� ����� � ����-� � � ����-� �+

�� ��

��4� �

� �1 4� �

�� 4�

� �� ������ ��!� � �����-� /?"<=�0�

����

��

�� ��

4��

��4��

� � ����-� �� � � ���.� �- � � � ��� � ������� � � ����-�"

�:��%�� '-�-�-�

� (� ���.� � � E���� ?"3@ ����2� ��� ��� ���� (���� ������� ���'����������� � (� � + � � CG�� /( �2�� � @"A"5"3" � ������ � @0" �� � ��� ��������-� � �� ����� (���� � � �� ������ � �� ����� � ��(��� � ���������� � ���+ /�0 �� �� � ������ ���� � �� ���!� ��� ���� ����-�"/�0 �� �� � (� � �&,��� � �� ������� �������� � ������ � ������ ������ � ����-� �&� �� �������" ������ ��� �� �� ����� �������� � ������� /�0� �2�� � @"A"5"3" � ������" /�0 �� �� � ��� � ����-� �� ��' ,���� (� ���.� � ������ �� ����" ���� ' � �� 9��"

���� ����� �� � ����� � �!�

���� (��'� ;�����4� �� $7���� (���#��

/�0 ��!� � �� �� - � �2�� � @"A"5"3 ���� � �'�.�� ������� � �����-� � ��& ������� ��� 2 � ������ � � ����-�� � � �.����� � � ��� �4�@;@ �� � ���� � ��(��� ' % ����� �� ����� � � ��� �� ������ � ������� � ��(��� � �� ������� � ����� �� ���� � �'�.�� ������� ��������� ��� ���� � ��(���� � ����� � ���� ����-� �� ������ ���� � � (� �+

�� � 0� � �' � �� ��� � ���� 0� CG ����� ������ 0� ,����� � CG"

/�0 % ����� � �� �: ����� � ���)� ����� �� ������� �������� ��&,���� ������ � ������ ���� ��

� ���� �� �� �� ������ � ,���-�+

� ���

� 4

��

����� 4 ���� � �: " *� ����� � ����-� � � ����-� � ���� �+

�� ��

��4� �

�� � � � ��� � � � � � ���� �� ���

���� � � � ������� � � ��� ���� � �: " �� ������ (� � � � ����-��������� �&,��� �+

���� ��� ��� � ����0� � � ����

���� ������� �� � �� ��0� $��

Page 148: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�!& �������� ���� �� ������

���� (��(� /������ �� � ��� � �!&�4�� ����� �� � ��� �� ������ ���

��� (� � �&,��� � �'�.� ������ 0��� � �� CG� � ����-� �������� �&,��� ����� � � ����-� � ���� � ��� ��$��"�� � ������ �� �� ���� ��� ������� � ������� /�0 � �2�� � @"A"5"3�

� ���(� �� � ����-� �������� �&,��� ����� � ������ ���� � ���,�����1��� ��� (�� ���� �� � ����-� �������� �&,��� ����� � �'�.� ������"

/�0 � ��� � ����-� �� ������ � ������� � ���� �+

E ���

'���

�' �0�

'���

�' � +�'��

����

���� �' � �� ��� � ���� �� + � �CG�� � '�� � � � � G���" �� ������ (� � � ��� � ����-� �� ��' ,��� � (� ���.� � ���� �+

<� �

��

E �� ��' +

'��

� �

��� ��' +��

'��� �� ��� �� � ��� ���

���� ��� ���(�� (� � � ��� � ����-� � ,��� � (� ���.�� ��� (���� � ���� '�� � �� 6��-���� � ���)�� ��(�������" *� ����-����� �:��� ��� ����� ��� �� ����-�"

'-�-& ������)� 1�������@�� �

%��&� � � ��� ���� � � ������� ,���� ���� ��� ��� � &����� ��� ��������� ������ ��& ���� � � � ��� �� � ����-� ���'��" %��� �� 2�� �� ���� ���� 6������&���� /%" 9" 9�6� � 343;0 ���� � ��� ���-� �� ��� ��

���� ����� �� � ����� � �!'

���� (��+� � ����-� *������ �����

��&���� � ����-� � �����1D���� � ��� ����-� � ��� �� 6������&���� ����� ��(������ � �� F���� ��������� �� (������ � �� ���� � �������� ����-� �� ������� ���:���� /( E���� ?"3A0" 9�6� �)� - �� � '����-� � ����-� � ��� �� � ����-� � ����&������� ��& ��� � � ������ � ������ � ��� ��6������&����"�� '���� � �����-� � ����������� ��� �� F���� ����� ���"� ��� F�2� �

� ��� �� �+�� � �? � �?�

���

�?���

� � /?"=50

�� ������ ���� ,��� ��� '����-� ��� � < � <��� �� �� ��+

?� ��<

��� ?� � ��<

��

� �� �����'�� � �����-� � ����������� �����������" 7��6� '����-� ��� ���1� � ������ � ������( �� �� � '&�� ������ �� �� ��(�� <��� �� � :�4 ����������� �� ���� � ����� � F�2�"�� F�2� � �� �������� � (�������� �J � ������ � � ��� �����+

�J � ��� �? �

��?���

� �?���

��� � �

���<

����

��<

���

��� � J�� /?"=<0

���� �� � �� (��� ������� � � �����-� � 2 ���������� � ����" �� ������� ��� �����:��+

�< ���<

����

��<

���� �J /?"==0

Page 149: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�!! �������� ���� �� ������

���� �����-� �� ��(������ ��& ��� � � �� �:� � � ������ � ����� � ����� � ��� �� � ����-� ���'��" 7 ���6� ��� ���� � ���� �� � �� ��������� � ( ������ � F���� � � ����-� �������� ���� � ����� �����-� � (� ����������� �" �� ������ �� ���� � ����� � ��� �� 6������&���� ������������ � �� ��������� � ����-� � ��� �� � ����-�" �� ������ �� ���� � ( ������ � �� ������ � ������� � ������ � ���� � ����� ��� ��� ��������� �������� �" %��&�� �� ������� � ������� ��� &��� �� ���(,�� � �� � ( ������ � �� � �� �� ����������� � ����-� ������� � �" ���� ���������� ������� �� ����� 6��� ������� ��� � ��� ���� � � ������ /( E�����?"3A � ?"3;0"

'-�-' +� ����� ������� �� %�/��E� ��%����

�� ��� ������ � ��� ��.� � ����-� ���� � ���)� ���� ������� � ����-����'�� � ��������� ��� ���� � �� ���� ��'���� ���� � � E����?"34" �� � ���� ���)� � ��!� ��� ���� � ��� ���� 6������&���� ��� ������� ��������� �� � ���������-� � ������� �������� � /( �������0 � ��(��� ���� � ���'��" G-�� � ��'���� ��������� � ��� 6��-���� ����� � ����������-� � ������� �������� � ������� � ��(�� � ���� � �: � ������"

���� (��,� ���� ������ � �%&H� �����

���� ����� �� � ����� � �!#

�� ��� ���� � '�.�� ��!� � �����-� � 2 �� �� �+

� � 4� ��� � � 4� �� � � /?"=>0

���� 4 � ���� � �� ����� ���� � � ����-�" 7 � ,���-� ������ ����� ��+

� � 4� � � � 4� � I � :�4 /?"=@0

*� �� �����:�� �� � ��)� � ������ ��������� � ������ � ���#� �� � ���(I � � 4 �'� ���� � 3���" *� ����� ���� ���-� � ,�� � � ��� ���� 6�����1�&���� �� ����������� /����(���-�0 � F�2�"��� 6� � � ����-� ��� ���� ��� � � ����-� � ���� � � ���� ��� ��

������ �� ���� � �� ������� � ������ ���� �������� ����� � ������� ����� ��� ����" � ���+

�� �

��

1 � �� �

+�

1 � 4�7 �

+�

I1 �7 � I

+�

1�7 � I

+��

��� � I�� /?"=?0

���� 1 � � ��������� � ����� /�������0 � � ������ � �� ����� ���� � � ��� ����� 7 � � ������� � ��� ����� ��� � ��� ����� � �� � � ���:������� �� � ��� ���� � � ����-�"�� ������ F�2� � ������� I � ���� �+

I � � 4 ���

��/?"=A0

���� ,���-� � ����� ���� ����� ������ � 3��+

���� (��.� K�� ������ ��� �� �- � ����

Page 150: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�#, �������� ���� �� ������

�� ������������ ��������� � ��� ����� �� � ������� ����� � �1��)� ���� ��� � ����-� �� ������ � �������� E� �+

E ��

'��

+�

I

4�7 /?"=40

� � �������� � � I�4 ���� � ��4� � � ���+

E ���

' ���� �

*�

�7

4

���

'��/?">;0

�����-� �� � ����� ���� ������ ������ � 3��� � � � �� � ����� (� �� � ����� � ����-� � �� ���� � ����-�+

�� ����

�*�

�7

4

/?">30

*�� ������������ �� ����� ����� � ,���-� /?"=A0 ��� ������ ��&��1��� �� �� ����������� (& ���� ��� ������� ����� � ���)� ���� '�������� ����� � ��������� ����� �" 7:����� ��:���� � ���(� ���� �� ����������� ����� � ���� ���-� �� �-�� � � ����. ����(�� � ���� ��1��� � �-�� � � '����� �� � '��'� � �����-� /?">;0 � ���� ����

E ���

'��/?">50

��� � ����� � ����-� ��&���� �:���� ����

�� ����

�*�

�7

�4

/?"><0

�:��%�� '-�-'-�

�� �� � � ����� � ����-� � �&,��� ������ ���� �� ��� ����� ��� ��.�� ����-� ��� � ���� � ������ � ���� 1 � � ���� 4 �� � ����-� �������� ������� � ��

*� ����� � ����-� � � ����-� ���� (� /( ��" /?">30 � ��" /?"3A�00+

�� ����

�* �7

4

����1���

�1

4

� �1�4 � �1� � ��

���� ����� �� � ����� � �#�

���� (���� � ���� ����&��� ������

� ��������� ��� � ����� � ����-� � � ����� ����-� ����� /( �2�� � ?"<">"30� ��� � ���-�+

������������

��1�

��4�

� ��14

��

� ������ ���� �&,��� �� ��!� � �����-� /?"=A0+

����

�� ���

�4 � �1�4�� � �1��

� ����� �� ������ � � ����-� ����2�� � ����-� ��� � � ���� ���'��"�� � ������ �� �� ���� ��� ������� � �2�� � ?"<">"3 ��� � ����-�

�"��� � ���� &� � ��� ��� ���-�+

������

���

������

���

��1��

��4��

� ��14

�%���� �� ����� ������� � ��������� � �� ������� ����� '�� � ��

������ ��� ����� � (���� � � �������� '�� � � �� �������-� � ����-����'��"

�:��%�� '-�-'-�

7�������� � ������� 9 � � ����-� � � E���� ?"55� �� ������� �� �� ���������� �� � ��� CG��� ������� �� � ����-� �������� ������� � �� � 3;; $��"�� �� � &��� � � ����-� �� ������ � ������� �� �-�� � � ����. ����(�� � ' � ��� 9��"

Page 151: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�#� �������� ���� �� ������

���� (���� ���� & ���&���

� (� � � � ����-� �������� � ���'�� � ���� � ����-� � (� +

� ���

��4

���� � ���

�9 � �� � � � � ��� ��� � ���� � ���� ��

��� � � ���

� � �9� �� � � $��

B������ � 6 � � � ��� $�� � ��� 9 5 ��� ��" *� ����� � ����-� � �����-� ��� 9 � � �� (� +

�� ����

�*��

�� � �� � � �� � � � � ����!�

� � �� � � � � ��� ���� �

���

� ���� �� ���

*��� &��� � � ����-� �� ������ � ������� (� +

E ���

'��

���� � ���

��� � ��� � ���� �� � ���� ��N�� �� ��� � ���� ��N�� �� ���� N�

���� ����� �� � ����� � �#�

'-�-! +� ����� ����� ��������

� ���� � ������� �� ��� � �� �������� � ����-� ���'�� � ��� ������ ������� ,����-� � ���� ���� � � �� ������" ���������� � � �� ���� �������-� ��� � �� ��� ��� �.� ��� �� �� ����� � ���� �1� � �� ��� ����� ���(��� ����� �" � ����� ���� �� �� ����� ��� ���� ���)�� ������ �� ��������� ����(�� � � � ����-� � '��� �� � �� ���� � 6��-���� ���� � ����(���-� � F�2� � ������� �������� � � � ���������-� ���'�� ��� F�2� � ��(�� � ����"

�� � ����-� ��� � � ������� � � E���� ?"5<�" ������� F�2� � ��������������� � ���� � ����� �� ���������� � ����� � � �� ���-� � �������� �������" %��� ������ I� � I� � �� F�2��� � ������ ������� ����6����� ������ �� � ��� � �� � � �� 3 � 5� �����(����" % � ��� � � ��� �������-� �� ��� �� � �� F�2� I�� � ���� � � ���� � ������ � �� F�2�� � ���� � �� ��������" �� '���� ��!� � E���� ?"5<�� ��� ���� � '�.�� ��!� ������-� � 2 � � ���� � ,�� ��

�I� ��� I� ��� I�� �� � � /?">=0

� ����

I�� � I� � I� /?">>0

��� 6� � F�2� � ��� � ���� �� � � 6�� �� � ���� �� �������������������" ��� � � �� ��� � �����-� /?"=40 � ���� ��� � �� �� � ��� ����������� ��� � ����-� �� ������ � ������� � �������� ��� ����� �� �� � �� � �

���� (���� ���� �&�����&���

Page 152: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�#" �������� ���� �� ������

����-�I � ����

'E ��

��

+�

I��7

4/?">@�0

'E ��

��

+�

I��7

4/?">@�0

���� �� � �� ��� �� ���:��� ������ �� � ���� ����� � �� ��� �� � �� � 7� � ������� � ��� ����� ��� � ��� ���� � �� �� � ��"����� ��� �������� ���� �� (� ��� ���� �� F�2�� I� � I� � '����-� �

E � (� � � ��� � '����-� � ������ ���� ������� � ��� �� �� � ����������� ������ ���� �� ���!� ��� � ����-� �� ���� � ������ �� ���� � �� F�2�� �������� ��� �� ����� � �� ����� ����� ��� ����" � ���+

�� �

��

1 � �� /?">?�0

+�

I 1�7 /?">?�0

+�

I� 1�7�

+�

I� 1�7����

I�� 1�7 /?">?�0

� I� ��� � ��� � I� ��� � ���� �� �I� � ��� /?">?�0

� ��I� � ��I� /?">?0

���� 1 � � ��������� � ����� /�������0 � � ������ � �� ����� ���� � � ��� ����� � �� � &� � ��&��� � ��� �� ���� � ������ � � E���� ?"5<�"�� ���� � ��� ����-� �1� � �� '����� �� ����� � ��������� ����� �� �

��� � ���� �� ������ � � �������� � � '���

'E ��

��

+�

I��7

�4/?">A0

���� ' � �-�� � � ����. ����(�� � '���� � � � ��:���� � ���(�1 ���� � ����� ����������" *� �� ���-� � �� ������ ���� ���� ��F�2�� � ��� � ��� �� � �� � '����-� � &��� � ����:�� E P�� ��� ������ ���� � � �����-� � ��� ���� �����

�� � �����

�� I� /?">40

�� ���� � �� � ����-� ���� ������ ����� � ��� � (���� 2�� �������������� ��� � ���(�6��� ��� ���� �:�� �� �& �� �� �������" %��� ��2�� �� � � ����-� � � E���� ?"5=� F�2� I � ��� � �� ����� �� � �� �

���� ����� �� � ����� � �#�

���� (��"� ���� � �&�����&���� �� �����-�

��������" �� � E���� ?"5=� �- � � ������ ������� F�2� � �� ����� �� � ��,���� I� � F�2� � � �� � � ����� I�

�:��%�� '-�-!-�

�� �� � �� ������� �������� � �������� � � ����-� � � E���� ?"5>� ���������!� ��� � �� ���� ���'�� � ������ ����6���� � (� � �� � � CG�� / ������� ��&� ������ � ��� �� ���� �����0" �� �� � &��� � � ����-� �������� � ������� �� �-�� � � ����. ����(�� � ' � ��� 9��"

* ������ I�� I� � I� � �� F�2�� � �� �� �� � �� �� ������� � ����-�" � ������ � �������� �� ���� �� �� � �� � ����� � ������� � �����-� /?">A0��� ���� ��� � �� �� � ��" %��+

'E ��

��� � ����� � ��� � ��

�I� �

��

��I� � I�� �

��

��I� � I��

� 'E �

�� � ����� � ��

�I� �

��

��I� � I�� �

��

��I� � I��

� 'E �

�� � ����� � ��

�I� �

��

��I� � I�� �

��

��I� � I��

Page 153: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�#& �������� ���� �� ������

���� (��#� ���� �&�����&��� �� $7���� (���+��

7 � ������ � ��� �������� � ���� �� I� � I�� �� ���� �� ��������� �� ������ � �� �� � �� 5 � <" �������� � ��� ����� 6��.���� ������2� � � �� ������ ������� � I� � I� � I�� � � ��� ����� (���� �����������2�" *� ����-� � ������� ���� �� '�� ���� � �� ���

I � I� � I� � I� ���� � ����

� 'E� � ��'E /�0

�� ��� ���� �� ������ � �����-� /?">A0+

�� � � ���� � �� � �� � �� � �� � ��� I� ����

I ���

���� � ���� /�0

8����� �� �� ����� /�0 � /�0 � ����������� �� ����� � �������� � ���+

I ���

��

�� � ���

���� � ���� � ���� GN� � �� CGN�

E ���

'���

� � ������ � ��� � � � ���� ��N� � �� �� ��N�

*� ����-� �������� � ���'�� ��� �� ���� ,���� � � ����-� /(E���� ?"5>�0 � (�

� �I

4� �� � ���� � ���� �� � � $��

���� ����� � ����� � �#'

'-" (������ �� ��������

�� � ���� � �����1D���� � ����-� ���'�� � ����� �� ����� ��� � ����-��� ������ � ������� ���� � ��� ��� ���'��� � � ��� � � ��.�" �(������ ����� �� � ��� � ���'�� ��� ����� �� ������� ���� �:�� � ���������� ��� ��� �� � ��� 6��-���� �� ��� �� ��� � � �&����� ��� ���6�'������" %��� �� 2�� �� � '���� �� ��� ��.� ������� � ����-� ��� ����� ���� ����-� ����(�� ��� � ��� �������" �� �� � ���� � �� �������� ����������� �� �� ���� � ���� ����� � ����-�" �� ��� ���� � ������ ����-� ���� � ��� �� (���� � � ��� � � ��.�� � ��� �& ����� ���������� ���� �� ���� �� ���!� ��� ���� ����-� �� �� � ������ � ��� ���(� �� ������� �� �&� � ��� � ������� " *� ��F����� �� � ����� ���'�� ��� � ������������ �� �� ������� � ������� ����.�� � �������� � � ��� �� ��� � �������� ������ �� ������� ���� ��� ������� � ���)� ����"��������� (� ���.� � � E���� ?"5@�� ������� � ����-� ��� �� � ����-�

� �� ������ ���� �� �� ����� � �� ,��� ��" *� ����-� � ��� ��� ��������� � ����� - � ���6� �� ��� ���� ���'�� 4 � �� � �� � � ��"���������� �� ���������� � �� �� ����� � ��� � � ����-� �

����������� � � � � �� � ������� � � (���� �� � ��:������� ���� ���������-� � � ��� �� �'���& �&�������� � � ����-� � ,���� � � � �� ����� ���& ������� � ������� � �����1D����� ��� ��� ���������-� ���� � �� ������ � � E���� ?"5@�" � (� � �&,��� � ���� ������� �

���� �� � �� � 'E 4 ��� 4

��/?"@;0

���� �� � � �� -� 4��� � � ����� � ����-� � � ����-�" 7 ����� ��� � ����� �����1D���� �� ���!�� ������� ���� � ��� ��� ����-�"�� ��� ���� �� ������� � �����1D���� ��� �� �� � � ����-� � �����1

������ �� �� � ��� �� � �� ��� �� ����� � ���� �� � � �� ����-� � ��� ��& ���� ��� �������" *� ����� .� � �� ������� �������� � �� ���1�� � � ����-� � ���������� � ������ �� � �������� /( E���� ?"5?�0 ������ ���� �� �� �� � '�.�� 6��.���� � � �������� ��� �� � �� � �����-� ,��� �� � �� � ����-� � �� '��� �� ������ � '�.�� �� ������ ��&������� ���(� �� � ������ ���� �������" �� ��������� � ����.� � ��� � ��� ������� �� �� ��� � �� ����2�� ������������� �������������� � F,�-� ���� � ��� � 2 �" �� � ����-� � ���������� ���F,�-� ����� ��"� ���� ��� � ��� ����� �� �� ���� ���� ������� �������� �

Page 154: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�#! �������� ���� �� ������

���� (��'� )����� ���� & 0�����4� � ����� ������ ���� )� ) ��� � ���� ������� 5����

������ � � ����-� � �� ������ 0� � �� �� � ���� �� �������� � � E���� ?"5?�� ���� (� � �&,��� �

���� �� � �� ��

�4��

��

-�4/?"@30

�� �� ���� ���� ������� ���� � ������ � �� ������ F����� � ��� �� � ���� �� �������� � � E���� ?"5?� � ���� (� � �&,��� �

������� �� � �� �����

4���� ���� �

-��4/?"@50

���� ����� � ����� � �##

���� (��(� )����� ���� & 0�����4� � ����� ������ ���� )� ) ��� � ���� ������� � �������� ��

���(� �� ����� � '�.� �� ���� ��� ���� ������ F��� ���� � ����������� �������� � � ���� � � �� � ��� � ����-� ���� / �� ��� � ��0" % ��� ������� F���� ��� �� � ��� ���� � � �������� � ��� "������"�� � ������ � '����-� � � 6��-���� � �'�����-� ��������� � ����� �:��

��� ������������ � ������� ���� ��� ��'��� ��� ��� ������ ��� ��&����1��� ���(� ���� �� �� ����� ���� �� ���� �� � � ������ �� ���� ���� � ������ ���� �������" ��� ���� ��� ��� (�� � �� ���������� � ��� ��������� �:��� ��� ��������� ������� ���� ��� ��'��� ��� ����������+

� ��� ����� � � ����-� ��� ������-� � � ���� � �� ������ ����� �4����2���� ��� �

� ��� ����� � � ������-� � � ���� � �� ������ ����� � ���"���� ������ ��

Page 155: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�,, �������� ���� �� ������

�� ������� ��������� ��� � 6 � 6 �� ���� � ������-� � � ��� (������ � ���� � �� � �� �� � ������ �� ��� ��������� ������� ������� ���������� ���� � ��� ����� � ����� ��� �� � ���������-� � ������� ��,���� � �������� � ��� ������-� ���(� �� ���� � � � ��� ����� ��� � �������-� ����� ������ ���� ������� � ��� � �� ������ � �����1D����� �� ������ � � ���+

�� ������ ������ /?"@<0

G-�� �� ���� �� ����� ��������� � ����� �������� � �����1D����� ���� �� ������� ��� ��� ������� ��������� � (� ���.� /�� 2�� �� ��� �� ���������� ,����0 ��� ��'��� � ��� � �� ������ ���� � �������� � � ��� � � ��.�I � ���� �� ������� �� ���!�� ��� ��� ����-� �� ����� �- �� (� � � �� �'�.�� �������� ��� �� ���� ������� � � ������-� � ���� � ���.�"7������������ ��� �� '��� � � ������-� � � ��� � ,���� � ��1

������ ���������� ����� '�� � �� ��������� ����(�� � � � ��.���� ������� ������ � ���)� ����� ��������� (�������� �����:����(�� � �������������� � ������� �������� � � ���� �" ���� ��� ��� ��� ��� �� �� � �'��� �����'������ �� ������� �� ���!�� � ��� ��� ��.�� � ���� �������1����� �������� � ����-�� � ������ ������ � � �!� ���������� ��� ����������� ���� ����-� � � ��.�� �� '������� � ������ ���� ����������� � ������������ ������" ���� �- � ��� �������� � ���� � � ���������-� ,���� �� �'�������� ��������� � ���� ��� � ��"%��� �� 2�� �� � (� ���.� � �� ��� ��������� ������ � �����1D����

� ��������� � ��� � ����-� �� ������ � �������� � ��+

����� � '�� E��� /?"@=0

�� ��� ���� � ��� ����-� ������� � ���� � � ���� ��� � ����-� ���� ������ ��� ��� �.������ ��� � �� � �� @ /( E���� ?"5A0� � �'���

<� �@

-� /?"@>0

� ��� � ������ ��� ������ F��� � � '��� /( ������ � 5 � *��� 50+

��@

����

��

%�����

/?"@@0

���� ����� � ��4�� �� �����+

�� � %����

��@

���� %����

-

��<����

� %����

-

�E

��/?"@?0

���� ����� � ����� � �,�

�� �� E � �<���� �� ! ����� � ��� ��

����� � �- � -���

��/?"@A0

�� �� �� '�.�� � ��� �������� ����� � � (�����-� � �F���� �� �������1���� � ���-� /?"@?0 � � �����-� /?"@A0 � ��� :�� ��� ��+

����� �%����

� -�

��E

���� %��

��E

���/?"@40

���� �� � ��-�4� � � ��� ������ � ���"� � ������� %�� � ��� ������ ����"�" ����������� �� ������ /?"@=0 � /?"@40 � � �����-� /?"@<0 � ���+

%����E

����'��E ��� /?"?;0

�� � ��� �����-� ��'���� �� �� �� (� ��� �� ���������� � ��������������� � ���� ���� ��� ���� E � E���� ��� � ����-� �� ������ � ������� � � ��� � � ��.� 8�� (. ������� ���� �� �������� /?"@=0 � /?"@40 ���������� ���'�����-� ������ ��� � '��� � �� ����� ��������� � ����-� � ���������� � ��� � � ��.�" � (� � � ��&��� ����������

K ��

�%��'��

/?"?30

��������� ��� ��� � � ���������� ���(� �� � ����-� � � ��� � � ������1D����" D� �� ���)�� � K �������� � ���������� � ����-� ���'��

���� (��+� K �&�� � ������ ������ � & �!���

Page 156: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�,� �������� ���� �� ������

���� (��,� ����� �� � ��� �� ������ � �� �>; � � � � ��� �� ����������� � �� ����� � �� ��4� ���� 0����� 0����� � �� ������ �� �� � ���� � �����

� �� � ������

�������� � (��(��" *� E���� ?"54 ����� � (�����-� ��� �����(� � � ���-������� � '����-� � � ������-� � � ����-� � �� (� ���.� ������� � ���������� ��������� ��� ��(��� (� �� � K ��� ���(�� �� �- � ��� (� ����� ���)�� � � ����. � � ��� � ��� ������� �� � ������-� � ���1������� � �� '��� ��� " �� �: � ������ � ���)� ���� K � ��������� � � ���-� �-��4�� �� �� � ������ �- � � ��:������� ���)� � ��.�� ����� ���"

� ������ � ��& ���� �� ���� ���� ,������ �&������ ��� �� �� � (� � � �� ������� � ��� � ����-� �� ������ � �������� � ���������� ��� �� ����-� �� ���'��� � ���� 2� � �� � ����& ����" � ��� ������� ��������� � � ��(��� �,��� ����� �.���� � � ��� ����'��"

� $��� ���)��� �� ����*��� �� �� �� +� ���

�-� +� ����� 1����*����

�-�-� ������� ���@�� � � ��� �� ��� �� ���

=�8�� ���

�� � ��� ����-� �������� � �� � ��� ��� �� � ���!�� ���� 2� ����������,�-���� /�� �0� �� ���� � ����� � � E���� %"3" � �:�� ���� ������������ � � ����-� ����� � �� 2� /�� �0 �� ����� �+

�� �

��

� �� � �� �

��

� �� /%"30

���� �� � �� ���� ��'���� � &� /�� �0 ��� �� ���������� � ��� � �� 2����������"� ������ ��&���� � ��� ����-� ����� � �� 2 ��� � ������(�� �����(�

� �� �� �������� � � ������-� � �������-� � � ����-� ����� � ���" *����������� � ������ ��&���� ���

#�

$I �� ������ � �� � ���� � ��

���� ���� ��� ��� �������� �5���� � & � �����

<;<

Page 157: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�," �������� � ������� ���� ��������� �� �� ������

���� ���� @���� ��� � & � �����

$����� �� �������

� �:� ���� ���� � ������� � "������� � � ����-� � � ����� ' � ����1����� /�

�� ��� �� �����'�� �� ������+

���

��� ���

���

� ���

��� ���

���

/%"50

7 �� �������� /%"30 � /%"50 � ���� �� �� ������� ��&����� � � ����-�� ��� ����� � �� 2� /�� �� � ���� ,��� ������� � � '���

�� � ��� I �� � �

�� /%"<0

���� � ����� � &� � � ����-�" %�������� � ���� � ���� �������� ��

������ ��&���� � ��� ����-� ����� � �� 2 � �� � �� � �- � �� ���6� 2 ������ ������� � � ����-�"�� '&�� ���(� �� �� � ����-� � ��� �� 2 � ������� ������ ��&����

��� ����� � ���6� 2 � ��" �� '���� �� ���� � ����� � � E���� %"<� ������ ����-� � � �� 2 � �� 2 � ������� �� ���� ���� �� ��� �������� ������(� ,��� ��� ���� �������� ��� ��� ������� � �����(�� ��� �� � � ������������� � �� �������� /%"50� �

�� �� � ���� ���� � ��(��� � �

����-� ��& ������� ��� 2 � ������"�������� ����� ���������� � ������ ������� �� �� � ����-� ���

��� 2� � ������� ������� ������� ��� ����� � �������-� � �� ������"������ � ����� � ����� � ����� ������ ��� '��� ���� ���� � ��(���� � ����� �������� �� 2�� �+

���� �������� ���� ��� �,�

���� ���� ���� �� & 7 � �����-�

���� ��"� @���� ���� ���� �&�� � ������������

���� ��#� @���� ��� � & ���� �&��

Page 158: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�,& �������� � ������� ���� ��������� �� �� ������

� �������� � �����������+ ������� ������� ��� ����� � �������-� � �� ������� � � �� ������� � /( E���� %"=0" �� �� ���� ���� ��� � ��� 2 � ������ � � ����-�� � �� ������ ������ ��&���� � � ����-������ � �� � �� �"

� ��������+ ������� ��& ������� � ����� � �������-� � �� �� �1������ /E���� %">0" *�� ������� �� ��� 2� � ������� �� ��� ������ &� � ������ ������������� � ��� � ��� ���"

�-�-� �������� �� ���� �� �� ��� �� ���

������� �� ���� �� � ��� 2 ����� �� ����

�� � ��� ����-� �������� � �� � ��� ��� �� � ���!�� ���� 2� ����������,������ /�� �0" � �:�� ���� ������ � ������ � � ����-� ����� � ��2� �� ����� �+

�� �

��

�� �� � �� �

��

�� �� /%"=0

���� �� � �� ���� ��'���� � &� /�� �0 ��� �� ���������� � ��� � �� 2����������"� ������ � ����� � ��� ����-� ����� � �� 2 � ���� ������(�" *��

��������� � �� ������� � ����� ���#�

$I �� ������ � �� � ���� � ��

� ������� ����� � ���� � �� ������ ��� �� �� � �� ) � � ��. �������� � ���-� �� ������ � ����� � &� � � ����-�" ��� �� 2� /�� ����� ������� �����(����+

1�� ����

� 1�� ����

/%">0

���� ��'� ��� ��� � � ���� � & � �����

���� �������� ���� ��� �,'

������� �� ���� �� %����

�� � ��� ����-� �������� � �� � ��� � �� ����� � ���6� � ��� /E���� %"@0"� �:� ������ � ����� �� � �

�� � ����-� � ����� � ����� ���� �

�����

�� �

��

=� �� /%"@0

���� �� � �� ���� ��'���� � &� � = � �� ��������� � ����� "% ���� �� ������ � ����� �,�� � ������ �� � � ���� ������(� �

��� ��������� ��� �"�� � ��.�� ��� 2� ������� � �� ���� �� ����� /E���� %"@0 � � ����

�� ���������� �� � � �� ��'���� � &� �� � ���6�� 2�� � ��� �����+

=� � �� � �� /%"?0

�� �� �����+

�� �

��

=� �� /%"A�0

��

��� � ��� �� /%"A�0

��

�� �� �

��

�� �� /%"A�0

� �� � �� /%"A�0

7 � ,���-� ����� � ���� �� ������ � ����� �� � ����� � ����� � ���� � � ���� � �� ������� � ����� ����� � ��� 2� ������� � ������ �� ���6� �����"7 � ������� ����� ������� � ���� �� �� � ���� � ������� � �����

�,�� � � �� ��(����� ��� ��� ��� �� � 2� ������� � �� ���� �� ����������"

����� �� �� ���� ��

� �:� ������ � ������ � � ���:�� � ����� � �� 2� /�� �� ���� ������

��� �

��

� � �� /%"40

� ������� � ����� � ��� ����-� ��� � ������(�� �����(� � �� �" ��� ����1����� ��� �"

Page 159: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

�,! �������� � ������� ���� ��������� �� �� ������

���� ��(� )�������� � 7� � �!� ���

�� ��� ����-� � ��� �� 2 � ������� ������� � ����� � � ����-� ������ ���6� 2 � � ��� 2 ������� � � ��� � �� �" �� '���� � � E���� %"< ������ ��� ����-� �������� ����� � 2 (���� �� � ���(� �� � ���� ������'���� � &� �� ��� ������� � ������(�� �������� �� ������� ��� ������������ ��� ������� � �����(�� ���� ������ � ��� ����� (� � � ������ ��� ���������� � ����� � ���� ����� ��'���� � � ��� ��"

�-�-� (����� ��� �� �:�� �� ������� ��

������� �� ���� �� � ���

�� �� �� 2 ���������� � � ����-� � � �� � �� 2 ��� � � ��� � ��� ����������� � ����� /E���� %"?0" � ������ � ����� �� ��� �� �� �� ����

�� �

��

�� �� /%"3;�0

��

��� � ���� �� /%"3;�0

��

��� �� � ��

��

�� �� � ���

��

�� /%"3;�0

� ��� � ���� /%"3;�0

���� � ������ ����� � � �����-� /%"3;�0 � �� � �� � �� �� 2 ����������"�� ������ � ����� � ������ � ��� ������ �� �� � �� ) ��"������ � ������ �� ���� �� ����� � ������ �� �� �� ) "����#����� ������ �� ) ��������� � ��� � �� ������ ���� ������ �� � �������� � �� �������� �� ��"�� )�

���� �������� ���� ��� �,#

������ � 4����"�� � ��� � ��

�� /%"330

7�(������ ��� �����-� �� &� � � ����-� � ���+

1�� � 1��� � ��� /%"350

���� ,���-� ���� ����� ���� � ����� � � ����-� ����� � �� 2 �'����-� � ���� � ����� ����� � �� 2 ���������� ��� �"

������� �� ���� �� %����

��� �� �� �� ������� � ����� � ��� ����-� ����� � ��� 2� �� � ������ ����� � � �� �

� ������ � ����� �� � � � ����-� ����� � ���6�

�����" �� � �������� ��� 2� ����������� ���� ��� ��� �� � �� ������ /(E���� %"?0� � � �� ��� ���� � ����� � �����+

��

� �� � �� /%"3<�0

� ��� � ��� �� ��� � ��� � /%"3<�0

� ��� �� � /%"3<�0

*� �������� ������ ����� ���� ������ � ����� �� � � ��� ����-������ � �� ����� ��� ���� � � ���� � ������ � ����� �� � � � ����-������ � ������� ' � � ��������� �� ����� ������"

����� �� �� ���� ��

7 ���� ����� �� � ����� ������� � ����� � ��� ����-� ����� � ���� 2�������� � /��� ��� ������������ � � ��� ���� (� � � ������� � ���������� � ���� 2� ��������� /�� ��� ��� �� � �� ������ � �������� � ������������� �� � �� 2� ����������� /( E���� %"?0� � ��� ��

��� �

��

� � �� /%"3=�0

��

��� � ��� ��� � ����� /%"3=�0

��

�� �� �� � ��

��

�� �� � ��

��

�� �� � �� ��

��

�� /%"3=�0

� ��� �� � �� �� � /%"3=�0

���� � 6� ���������� � � �� � ��� � � �� � ��" *�� �������� ������ � ��� � ������-� /%"3=�0 ��� �� �� �� � �� ������� ��&����� � � ����-� ����� � ���2� �����������"

Page 160: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��, �������� � ������� ���� ��������� �� �� ������

���� ��+� ������ � 7� � �!� ���

�-�-" ���� ��� �� �:�� �� ������� ��

��� ��� �� /��� �

�� ��� ������� � 2� ��������� �� '���� �� �� �� &��� �

�� �� ���� � ����� � � E���� %"A" *�� ��������� � ������ /��� ��� ����,���� � '����-� � �� ��������� � ������ /�� �� � � '���+

��� � ���� � � ���� /%"3>�0

��� �� ���� � � ���� /%"3>�0

8�� �.���� ���� ,������� ������ � ����� � � ����-� ����� � 2 ��

� ��� (� �� ����+

��� �

��

��� �� /%"3@�0

��

��� ����� � ������ �� /%"3@�0

��

�� ���� � �� ���

�� ���� ���� �� �

��

�� ���� � �� /%"3@�0

� �� ���� �� �� ���

� �� ��� ���� ��� 7� /%"3@�0

%�& ������ ���� �� �� �� �� ,������+

��� � �� ���� �� �� ���

� �� ��� ���� ���� /%"3?�0

����� � ��� � ��� ���� ����� ��� ����� �� ���� �� /%"3?�0

���� �������� ���� ��� ���

*�� �������� ������ � ���� ����� � � '���+

��� ��� � ��

��� � ��

��� �� ��� ��� � /%"3A�0

��� ��� � ��

� �� � ��

��� �� ��� ��� � /%"3A�0

����� ��� � ��

��� �� ��� ��� � /%"3A�0

���� � 6�� ��� �.��� �� ���� ���� �������������+

���� � ��� ��� �

� ���� � �

�� ��� �

/%"34�0

��� � � ���� ���� � ��� � � ���� �� ���� � /%"34�0

�-�-� �:�� %��� �%���� �� ���� ��

�� ���� ��� � ����-� � ��� � '��� �������� ���� � ���� 6� � ���2� ������� � ����������� ��� �� �� � ���� �� ������� � ����� � �����-� ����� � �� � �� �" % ���� 2� � � ������� )� ����� ��� � ������(� �� ��� � ��� ���������� � ������ � � F,�-� � ��.�� ����&�����"� &��� � � �� �� 2� ������� � � ����� � ��� ����-� /�� �� '���� ���

��� ������ � 2� ���������� /?�@� /( E���� %"40� � ����� ���� ���� � �� ������-� /%"3A�0 �� ����� � �� 2� /?�@�" 7 ��� '��� � �����+

��� � � � ����� � ��

/%"5;0

G-�� �� �� ��� ����-� � �������� ����� � �� 2� ������ '����� �� ��1�6� 2 � ��� 2 ���������� ������� � � ��� � ������� � ������ �� �� ���������� ������� � ����� � �� �"�� � ���� � �� �������� /%"3A�0 � �%"3A��� � ����� &��� � � ��� �� ���

������ �&,��� � ������� � �����+

������

� ���� � ��� ��� �� ��� ��� � � � /%"530

� ������� � � � ���

�� � ��/%"550

���� �����-� ������� ��� � /%"5;0 � ���� ��� �� ������ �� ��� ������ � ��������� ����� ��� � ������ ����� ���� �� ��$��� � ������ ����� � �������$���� � �� ������ �� �� � )� "����#������+

Page 161: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��� �������� � ������� ���� ��������� �� �� ������

���� ��,� $7� ��� ������ � & � �����

�� ���� ������ � � �� �� ��� ������� � ����� ������� � ��� ���� ���� � ��� ������ ������ � ����� (� � ����� ����� � ��� ��� 2 ��1��������" %��&�� ������� � ����� �& �� � ����� � ��� ��� ������ �2� ����������� ������� � �� �� ������ ��� ��� 2 ���������� � 2 ������� ������ � � ����-�" �� � ����� �� 2�� �� � � ����-� ���� � � � � ����-��������"

�� � ,���� �� (� �� ��� � � ��� �� � '����-� � (� � ��� � � � ���������� �� �������� /%"3A�01/%"3A�0 � �����+

����

��

�� � ��

���

�� � ��

��

� ������ /%"5<0

,���-� � �����(� �� ���� �� �� � �� ������� � ����� ������� � ��� ����������� �� (� �� � �� ������� � ����� ��� ��� ��� ��� ����� � ���� 2��?�@� ��� �����"

*�� ������ � ���� ����� ��� � � ����-�� 1� � 1�� ��������� � �� ��������������� � � ����� � ��� ����-�� ���+

1���

���

� 1���

���

/%"5=0

���� �������� ���� ��� ���

���� ���.� $���� � ���� � � ���� � & � �����

�-�-& ���%�� ������ �� ���� ��

��� /�� �� �� 2� ������� � � ����� � ��� ����-� � ����� � ��� =�� =

� ��

����������� ����� � ���" � ������� �� � ����� � ������ � �� ������ � � ��� � �����-�+

��

1��

���

1��

� � /%"5>0

��� �� ��� ��� ������ � ������� � � ����-� � �� ��� �� ���2 ������� 2 ������� � ����� ���� � ��� � � ����-� ����� � ��� 2 ������� /E���� %"3;0"*� ��� ���� � ����� � �� ���� � ��� ������� �� ����� ����� ��1

���� � ����� ����� � ��� ��� 2 ����������"� ���� � ��� � ��� �����-�� ������� �� ��� �� ������� � � ����-�

� ����� �&:����� ��.���� � ������ � � ��� ���� � ����� ��� � ����6� �����-��� ������� � ��������� ��� ������� ' � ����� � ��������/E���� %"3;0"

Page 162: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��" �������� � ������� ���� ��������� �� �� ������

)���� ���� �������-������ ���������� � ���& �� ����� � ��� ��

���� �������� � ������ ��������� ���

���� ����� ���� � 0����� ��������

�-� +� ����� �� ����� ����������

��������� ��� ��.� '����� �� (���� ����� � � '��� �� �� ���:��� �� �� ��� ��� �� � � �����. � � ��.�" ���� �� ��������� �� � ����-� ���� � ��.� ��& ��(����� � (���� .���� �� ���� ��� � �� ��� � ��� �� &� ���

���������� � �� ����� �� ��� �� �-�� � &����� %�� �� ���� � ����� � � E���� %"33"��������� ������� �� ������ � � �����( �� ��� � � �� ���� � ���

� �� ����� � ��������� � � ��.� � �� ��� �� �-�� � � ��������� %

��� ���� ����� � � ����-� � ��� �:�� �� ������ � %��������� ��� ����� � '���� � � '��� �� � %��%

� �:� ��� '����������( ��� %������ � ��� ������� � � ����-� � ������

� �

��

��� /%"5@0

���� � ����� ��:���� � ���(� ���� � ���� ����� � � ����-�" � �:����� ���� � ������� � �� ������ '���������� � ���� ������� � ����� '�� ���������

��

��

��

�� �����

���� ��

��

��

�� �����

���/%"5?0

����� � ���� 2� ��������� �,�-���� ���� ��� � ������-� � �������-� �������"

Page 163: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

��& �������� � ������� ���� ��������� �� �� ������

#����� � ���� ��&����� � ���� ����� � ���� 2� ��������� �,�-������� �� �� ���� �� � � � �:�� �� ������ � ������ �������� � � ����-� � � '���

�� �

��

�� ��� � �� �

��

�� ��� � ��� �

��

� � � �� /%"5A0

� ��� )� ����� ��� � ������ � �� ������ '���������� � )� ����� ����������� � � ����-� � ���� 2� ��������� �,�-���� ��� �� ��� ���� � ������&���� � �� � �� ����� � �� ������� ��&���� � ����� �� �� �� ��� �+�

� ��� � � �

��

� � �� � � � ��� �

��

� � � �� � � /%"540

#�� �� (���� �� ��� ��� ����-� 6�������� ��� �� � �� !���� ����� � ���������� � &� ��&����� ���� ��&����� ������� � ����� ��&����� � 2�������� � ��&����� �������� ��� �� �����(�� �������� ���������"

���������

��� ����� ������ � ������� ������� � �� ���� ��� ������� �� ������������� �� ���!��� "��#�� �� "�����

$���� %� �� & '�(��#��� �� � ����)�� ������� ���� ��� �� � ����� ��� "�*�+,-����

$���� %� �� & '�(��#��� �� � ����.�� ������� � ��� ����� "�*�+,-����

$�������� /� ���0)�� ������ � �� ����� ������� �������

$��12���� 3� $� ������� ������� � �������� �������� � ������������ �4�� "������� ��567!�+���

8��1� � 9� & :����� 3� 8� ������� ������� �������� �� ��� ����� ����#��� -���

8������� '� ���;��� ��������� � ��� �����

�<�!9��� ���00�� ������ �� � � ������� � �� ���� ��� ������������ �� ��������

�<�!9��� ����.�� ������� ��� �� ����� ������ ��� �� �� ������������ �� ����,����

*������ '� �� & %����� �� ����=�� ��������� � ��� ����� �����#���� �� ������,������� >�������� �� ?��������

*���� '� "� �@))��� �������� �� ��� ����� $���1�A8����

*���� '� "� & �4��(��1�� �� �� ����;�� ������� � ��� ����� *��5� ���#����!����4B����

C������ � '� & ���(��� � � ����;�� ������� � �������� "�*�+,-����

"�����#� 8� ���;��� � ������� �� !�� ���"� 9�����

"�D��� 8��#� '� �@)))�� ������� � �� ���� ��� 8!"<�� ��������� >�8�

.�0

Page 164: Mecánica de Estructuras. Tomo I. Resistencia de Materiales (Ediciones UPC). Miguel Cervera y Elena Blanco 2p

� � �����������

/���� '� � & �55������ �� �� ������� �������� �� ������ �� ���� �� "�*�+ -����

/�#�� $������� C� ������� ��������� � !�� ����� "�*�+ -����

/�#�� $������� C� ������� ����������� "�*�+ -����

������1�� *� ��� :1���� �� ��� & "#���� ?� ?� ���0��� ������ � ��������� ���� ����� "���

��5�� �� �� ������� ���� ��� �������� �� ������� ����#��� -���

���E����7��� ������� %� ����)�� ��������� � ��� ����� $��������

�4�#E� F������ �� ������� ��������� � ��� ����� 8������ �� !��� �� 84�����8���� & ����#���

����&� %� $� & �4�#(� '� /� ����@�� ������� �������� �� ��� ����� 3���&�

�(4��� !� -� ������� ������� �� � ����� ��� ����#��� -���

�4��(��1�� �� �� ����@�� ��������� � ��� ����� ��5�78�5��

�4��(��1�� �� �� ����.�� #���� � �� �� ���� �� ��� ����� 9����

�4��(��1�� �� �� & *������� '� ���;��� $� %� � �� ����������� >�4��

�4��(��1�� �� �� & :����� 9� -� ���0��� �!���� � ��������� � ��� �����"��#��� & ��4���

?G�D��� %���G����� "� ������� ��������� � ��� ����� <����

?G�D��� %���G����� "� & C�5�� �B���� �� ������� ������� �� � ����� ��� ��������<����