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MECÁNICA DE FLUIDOS

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INTRODUCCIÓN

La directriz principal de escribir este libro de texto, es el de apoyar al estudiante de

licenciatura de cualquier rama de la ingeniería técnica, para que este tenga un

enfoque formal en el desarrollo de problemas prácticos de cualquier campo donde

se requiera el conocimiento de la mecánica de fluidos, se ha procurado preparar un

libro que en el nivel de licenciatura de ingeniería ofrezca un panorama lo más

completo posible en una introducción de la mecánica de fluidos, es conveniente

señalar que el contenido total del texto no sea posible cubrirlo en un semestre, por

lo que el catedrático podrá tratar algunos capítulos con mayor profundidad y

tiempo, y otros con menor profundidad o quizás omitirlos, sin que con ello se pierda

la continuidad del texto.

La mecánica de fluidos es ante todo una ciencia basada en la experimentación, a

pesar de su gran formalismo matemático de algunos de sus campos más complejos,

por lo que es indispensable que el estudiante que realice estudios en esta rama del

saber, pueda expresar lo observado en el laboratorio en expresiones matemáticas

fácilmente cuantificables, de lo contrario no podrá aplicar sus conocimientos en los

diversos campos de la ingeniería, razón por la cual el libro en su primer capítulo

(fundamentos de la mecánica de fluidos), explica algunas de las unidades básicas y

conceptos fundamentales de la mecánica de fluidos, con objeto de desarrollar un

estudio unificado.

En el segundo capítulo (hidrostática), se tiene como objetivo principal obtener una

ecuación que permita determinar el campo de presiones dentro de un fluido,

desarrollar instrumentos de medición de presión y analizar las propiedades de un

fluido en reposo entre otras aplicaciones.

En el tercer capítulo (hidrodinámica), se inicia el estudio de los fluidos en

movimiento desarrollando las ecuaciones en forma integral que son aplicables a

sistemas de fluidos en movimiento.

El cuarto capítulo (análisis dimensional y similitud), señala que la evolución de la

mecánica de fluidos, depende sustancialmente de los resultados experimentales, ya

que muy pocos problemas reales pueden resolverse únicamente de forma analítica,

por lo que la solución implica una combinación del análisis matemático con la

experimentación.

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El quinto capítulo (flujo a régimen permanente en conductos abiertos y cerrados),

contiene la teoría para estudiar los flujos viscosos internos, ya sean estos flujos

laminares o turbulentos, los objetivos principales de este capítulo son las de

determinar el gasto volumétrico, el flujo másico, las pérdidas de presión, la potencia

requerida para flujos a través de tuberías y analizar el flujo en conductos abiertos,

entre otras aplicaciones.

El sexto capítulo (sistemas hidráulicos de tuberías), tiene como objetivo estudiar

sistemas hidráulico de tuberías en serie, en paralelo y sistemas ramificados, se

introducen ecuaciones exponenciales que son generalmente de carácter

experimental para el cálculo de pérdidas de presión, de gasto volumétrico, en

general el estudio de sistemas de tuberías en grandes complejos industriales o de

ciudades son extremadamente complejos para ser estudiadas de forma global, por

lo que en este capítulo se estudian solo sistemas hidráulicos aislados de tuberías.

En el séptimo capítulo (fenómeno de cavitación y golpe de ariete), se estudia la

gran influencia del fenómeno de cavitación en el óptimo funcionamiento de los

sistemas hidráulicos, así como el gran impacto en el funcionamiento de las máquinas

hidráulicas, se analiza el fenómeno oscilatorio del golpe de ariete y sus grandes

efectos destructivos así como la manera de controlarlo o de mitigarlo.

Para lograr los objetivos de este libro se han desarrollado para cada capítulo

numerosos ejemplos que se ilustran de forma detallada, en el tiempo de clase el

catedrático puede ampliar los temas que considere especiales o resolver problemas

que para el estudiante resulten difíciles de comprender.

Los requisitos necesarios que deberán de cubrir los estudiantes para un óptimo

aprovechamiento, son los cursos propedéuticos de mecánica de cuerpos rígidos,

termodinámica, ecuaciones diferenciales.

Por ultimo he de mencionar que no existe una metodología de enseñanza-

aprendizaje que de forma global logre que todos los estudiantes obtengan el mismo

aprovechamiento, sin embargo se espera que con la ayuda de este libro el

estudiante logre los conocimientos indispensables para su futuro desarrollo

profesional.

FÍSICO MANUEL HERNÁNDEZ VELARDE

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CAPITULO 1 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA DE FLUIDOS

La mecánica de fluidos es un campo de la mecánica del medio continuo, que a su vez

es una rama de las ciencias físicas, la cual estudia el comportamiento de los fluidos

(líquidos y gases), en reposo o movimiento.

Cuando un estudiante inicia un primer curso sobre mecánica de fluidos, podría

preguntarse cuál o cuáles son la razones por las que debe de estudiar este campo de

la física, esta interrogante puede contestarse al mencionar algunas de las

aplicaciones de esta disciplina como son: el diseño y construcción de estructuras

hidráulicas, sistemas de agua potable, hidráulica ambiental, neumática, transporte y

manejo de fluidos corrosivos, reactivos, tóxicos, inflamables, maquinas

hidráulicas(bombas, turbinas, ventiladores, motores, etc.), refrigeración y aire

acondicionado, plantas generadoras de energía (plantas hidroeléctricas,

termoeléctricas, nucleares, eólicas) aerodinámica, ingeniería de recursos hídricos,

microinformática, ingeniería espacial, entre otras aplicaciones.

1.1 UNIDADES Y DIMENSIONES.

Considerando que la mecánica de fluidos es una rama de las ciencias físicas es

necesario recordar de los cursos básicos, que algunas de las variables fundamentales

son: longitud, masa, tiempo, temperatura, materia, ángulo plano, etc. Ver tabla

(1.1), en este libro se utilizara el sistema internacional.

VARIABLE DIMENSIONES UNIDADES SISTEMA

INTERNACIONAL Abreviación

LONGITUD L metro M

MASA M kilogramo Kg

TIEMPO T segundo S

TEMPERATURA T grados kelvin K

MATERIA Mol Mol Mol

ANGULO PLANO

Α radian Α

Tabla (1.1) algunas variables y dimensiones en el sistema internacional

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Las dimensiones de otras variables son combinación de las variables elementales

como por ejemplo:

VELOCIDAD V= (L/t)

ACELERACION a= (L/t2)

FUERZA F= (ML/t2)

ENERGIA E= (ML 2t -2)

(La unidad de energía en el sistema internacional es el joule)

Factores en base 10 prefijo símbolo

10-12 pico p

10-9 nano n

10-6 micra μ

10-3 mili m

103 kilo k

106 mega M

109 giga G

1012 tera T

1.2 BREVE RESUMEN HISTÓRICO DEL DESARROLLO DE LA MECÁNICA DE FLUIDOS.

Una de las disciplinas científicas más antiguas desarrolladas por el hombre es sin

lugar a dudas la hidráulica, la cual en la antigua Mesopotamia, prolifero por el año

400 a.c, para posteriormente extenderse a otras antiguas culturas como fueron los

imperios griego y romano. Muchos hombres de ciencia han hecho aportaciones al

desarrollo de la mecánica de fluidos, siendo los más destacados:

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ARQUIMIDES Desarrolla las leyes de flotación, también

conocidas como las leyes de flotación.

(287-212 a.c)

LEONARDO DA VINCI Establece la ecuación de continuidad la cual

es básica en el estudio de los fluidos.

(1452-1519)

SIR ISAAC NEWTON

Experimentalmente encuentra la ecuación

que rige el comportamiento de los fluidos

llamados Newtonianos.

(1642-1726)

DANIEL BERNOULLI

Mediante análisis físico matemático

encuentra la ecuación de la conservación de

la energía para un fluido ideal.

(1700-1782)

LEONHARD EULER

Notable matemático que mediante análisis

físico matemático deduce las ecuaciones

diferenciales de movimiento para un fluido

ideal y establece el teorema de conservación

de la cantidad de movimiento para un fluido

ideal conocido como el Teorema de Euler, el

cual es básico en el estudio de las turbo

maquinarías.

(1707-1782)

JEAN LOUIS MARIE POISEUILLE

Experimentalmente determino la ley que

permite determinar el flujo laminar

estacionario de un fluido incompresible y

viscoso a través de una tubería circular,

dicha ley se le conoce como ley de Hagen-

Poiseuille.

(1799-1869)

JULIUS WEISBACH

Optimiza la ecuación de Prony-Darcy,

obteniendo de esta manera la ecuación

universal de pérdidas, Ecuación de Darcy-

Weisbach.

(1806-1871)

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CLAUDE L.MARIE HENRY NAVIER

Ingeniero y físico francés deduce las

ecuaciones generales de la hidrodinámica de

un fluido incompresible.

(1785-1836)

GEORGE GABRIEL STOKES

Al igual que Navier, obtiene las ecuaciones

generales de la hidrodinámica, basándose

en las teorías de Euler, a las ecuaciones

citadas se les conoce como las ecuaciones

de NAVIER-STOKES.

(1819-1903)

OSBORNE REYNOLDS

Estudia las relaciones entre las fuerzas de

inercia y las fuerzas de viscosidad,

introduciendo el parámetro a dimensional

RE, mediante el cual puede caracterizarse un

flujo laminar y un flujo turbulento.

(1842-1912)

NIKOLÁI JOUKOWSKI

Ingeniero mecánico de origen ruso, analizo

el fenómeno del golpe de ariete, fenómeno

que junto con la cavitación son los dos

fenómenos más dañinos en un sistema

hidráulico.

(1847-1921)

LUDWING PRANDTL

Fue un físico alemán el cual realizo estudios

en la hidrodinámica, introduciendo las

teorías de la capa limite, las cuales son la

base para el desarrollo de las teorías

modernas de la mecánica de fluidos.

(1875-1953)

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1.3 PRINCIPIO DE CONTINUIDAD

Puede observarse que todo liquido adopta la forma del recipiente que lo

contiene, y que los gases tratan de ocupar todo el volumen que los limita, por lo que

podría pensarse que líquidos y gases presentan regiones vacías, sin embargo el

PRINCIPIO DE CONTINUIDAD establece que todos los fluidos están constituidos por

una sustancia continua, es decir no presentaran huecos o cavidades, este principio

de continuidad es fundamental en el estudio de la mecánica de fluidos y de la

mecánica del medio continuo, ya que todas las variables que describen al fluido

como sistema así como su comportamiento, son variables continuas, por lo que

variables como la temperatura, densidad, presión entre otras, pueden ser aplicadas

en cualquier punto y en cualquier instante.

Partícula de fluido. La partícula de fluido se define como una porción del sistema en

el cual el valor medio de las variables que describen al sistema permanecen

constantes, en mecánica de fluidos se trabaja con valores medios.

1.4 VARIABLES EN LA MECÁNICA DE FLUIDOS.

Seguramente el estudiante estará familiarizado con algunas de las variables que se

utilizan en la mecánica de fluidos, por haberlas manejado en los cursos elementales

de física, de los cursos de termodinámica clásica las variables se definen como

extensivas, las cuales son aditivas (como la masa) dependientes del tamaño del

sistema, variables intensivas (como la temperatura) independientes del tamaño del

sistema siendo no aditivas.

Densidad

La densidad es una variable intensiva, simbolizada normalmente por la letra griega

ρ, se define como la cantidad de masa por unidad de volumen:

Para un sistema homogéneo

ρ=masa/volumen (M/l3) (1.1)

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Para un sistema no homogéneo

ρ =dm/dt (M/l3) (1.2)

Peso especifico

El peso específico es una variable intensiva, generalmente se representa con la letra

griega ϒ, está definido como el peso por unidad de volumen:

ϒ=peso/volumen=w/v (N/l3) (1.3)

Una observación inmediata es la relación que existe entre la densidad y el peso

específico la cual es la siguiente:

ϒ = W/V = mg/V = ρg (1.4)

En los fluidos en fase gaseosa la densidad varía notablemente con variaciones de la

temperatura y la presión, en cambio en los líquidos las variaciones de la densidad

son menores para los mismos cambios de temperatura y presión.

Una expresión de la ecuación de estado para determinar la densidad en función de

la presión y temperatura es:

dρ/ρ = βTdp -βPdT (1.5)

Donde βT y βP son los coeficientes de compresibilidad isotérmico e isobárico

respectivamente.

βT=1/V0 dv/dp (1.6)

βP = 1/Vo dv/dT (1.7)

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Gravedad específica o densidad relativa.

Considerando que el agua es uno de los fluidos más observados y analizados por el

hombre, por su vital importancia en la vida sobre la tierra, propiedades de otros

fluidos son comparados con las propiedades del agua. Una variable definida en

función de la densidad del agua (o del peso específico) es la densidad relativa o

gravedad especifica:

ρrel = S = ρsus /ρ

ρrel densidad relativa

S gravedad especifica

ρsus densidad de la sustancia

ρ densidad del agua a 40c

Volumen especifico V.

El volumen específico de una sustancia se define como el volumen por unidad de

masa, puede observarse inmediatamente que la densidad es el inverso del volumen

específico:

V = v/m (L3/M) (1.8)

V = 1/ρ (1.9)

Velocidad del sonido en un fluido.

La velocidad del sonido en un fluido es la velocidad de propagación de las ondas

sonoras en el medio, la cual varía dependiendo de las propiedades físicas del medio.

Para un proceso isoentrópico (a entropía constante) puede calcularse mediante la

siguiente ecuación:

C= (1.10)

C es la velocidad del sonido

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Es decir la velocidad del sonido desde el punto de vista termodinámico, es igual a

la raíz cuadrada de la derivada de la presión con respecto a la densidad. La velocidad

del sonido en el aire a 00C es de 331 m/s, en el agua a 250C es de 1493 m/s.

La velocidad del sonido para líquidos puede calcularse en función del modulo de

elasticidad volumétrico Ev

C = (1.11)

Para gases

C = (1.12)

Donde k = cp/cv , cp calor especifico a presión constante, cv calor especifico a

volumen constante.

Experimentalmente se ha encontrado que la velocidad del sonido en el aire es

función de la temperatura, y la velocidad varia 0.6m/s, por cada grado centígrado,

obteniéndose:

V = V0 + 0.6(m/s∙0C)t , t en grados centígrados (1.13)

1.5 Fuerzas en los fluidos

Las fuerzas en los fluidos, obedecen la segunda ley de Newton la cual establece que

la fuerza resultante externa que actúa sobre un sistema es igual a la derivada de la

cantidad de movimiento del sistema con respecto al tiempo

Fex =dp/dt (1.14)

Donde p = mv, p es la cantidad de movimiento, m es la masa del sistema, v su

velocidad. Las fuerzas en los fluidos se clasifican en fuerzas de superficie y fuerzas de

volumen, las fuerzas de superficie actúan solo en la superficie frontera del sistema,

como son la fuerza de tensión superficial, las fuerzas de fricción, las debidas a la

presión, las fuerzas de volumen actúan en cada una de las partículas del sistema

como son las fuerzas debidas al campo eléctrico, campo gravitacional y campo

magnético.

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1.6 Esfuerzo cortante y tensor de esfuerzo

A continuación se definirán dos conceptos de suma importancia para el estudio de la

mecánica de fluidos, (esfuerzo cortante y tensor de esfuerzos) en la fig. (1.1) se

representa una fuerza de superficie F que actúa sobre el sistema S, en el área dA, del

sistema.

Fig.(1.1)

La fuerza F se podrá representar como

F=Ft +Fn (1.15)

Ft es la componente de F tangencial a la superficie dA

Fn es la componente de F normal a la superficie dA

Se define el tensor de esfuerzos como Fn/dA y se simboliza generalmente con la letra

griega ς por lo que

ς =Fn/dA (1.16)

El esfuerzo cortante se define como Fn/dA, generalmente se utiliza la letra griega τ

para representarlo por lo que

τ =Ft/dA (1.17)

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Los conceptos anteriormente definidos serán de gran utilidad para el estudio de la

hidrostática

Y la hidrodinámica, en particular se define el EQUILIBRIO HIDROSTATICO cuando el

esfuerzo cortante es igual a cero τ = 0 y el tensor de esfuerzos coincide con la

presión hidrostática P=ς

1.7 Presión de vapor o de saturación

La presión de vapor o de saturación, es aquella para la cual a una temperatura

determinada la fase liquida y la fase gaseosa se hallan en equilibrio termodinámico,

si se tuviera un liquido y un gas en un recipiente cerrado, por cada gota de liquido

que se evaporara una del gas se condensaría, a las fases se les llama comúnmente

fase liquida de saturación y vapor saturado, la presión de saturación depende de las

propiedades físico-químicas de cada sustancia. La presión de saturación es de suma

importancia ya que los fluidos en movimiento pueden alcanzar presiones por debajo

de la presión de saturación, lo que ocasionara que el fluido comience a evaporarse,

formando burbujas en el sistema ocasionando el llamado fenómeno de cavitación, el

cual es uno de los fenómenos más dañinos en un sistema hidráulico.

Ley de Raoult

La ley de Raoult fue descubierta por el químico francés François Marie Raoult la cual

establece que la presión parcial de un disolvente sobre una disolución P1 está dada

por la presión de vapor del disolvente puro P10 , multiplicada por la fracción molar

del disolvente en la disolución X1.

P1 = X1P10

Ley de Dalton

Fue enunciada por John Dalton y demostrada por Gay – Lussac, la cual establece que

la presión total Pt , de una mezcla de gases es igual a la suma de las presiones

parciales de cada uno de los componentes de la mezcla.

P t =

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1.8 Índice de peligrosidad

Una de las aplicaciones de la presión de saturación es el llamado índice de

peligrosidad ip el cual está definido como

ip = Pv/cmp (1.18)

donde Pv es la presión de vapor de la sustancia, y cmp es la concentración máxima

permitida, el índice de peligrosidad ip , es de gran importancia ya que los fluidos

pueden ser clasificados como corrosivos, reactivos, tóxicos, explosivos e inflamables,

por lo que el manejo de tales sustancias deberá ser permitido si id<1.

1.9 Gas ideal o perfecto Los gases ideales son gases hipotéticos donde no existen

fuerzas internas, y tanto la cantidad de movimiento como la energía se conservan,

los gases que más se aproximan a esta hipótesis son los gases monoatómicos a baja

presión y altas temperaturas. Boyle-Mariotte fueron de los primeros científicos que

estudiaron los gases ideales y encontraron que para gases monoatómicos a

“temperatura constante, el volumen de una masa gaseosa es inversamente

proporcional a la presión que soporta” (ley de Boyle-Mariotte).

PV = C1 (1.19)

Charles y Gay Lussac establecieron que “a presión constante, los volúmenes de un

gas son directamente proporcionales a las respectivas temperaturas absolutas “(ley

de Charles y Gay-Lussac)

V/T = C2 (1.20)

Ley de Avogadro

“Volúmenes iguales de distintos gases, bajo las mismas condiciones de presión y

temperatura, contienen el mismo número de partículas”

De los cursos básicos de termodinámica se encuentra que combinando estas tres

leyes se obtiene que

PVs = RT (1.21)

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A la ecuación (1.20) se le conoce como la ecuación de la ley de los gases ideales, p es

la presión absoluta medida en pascales (pascal es igual a un Newton sobre metro

cuadrado), Vs es el volumen especifico (metros cúbicos sobre kilogramo), R es la

constante del gas, T es la temperatura absoluta (en grados kelvin). La constante R

para el sistema internacional tiene como unidades

R=(pascales)(metros cúbicos/kilogramo-K)=(N/m2)(m3/kg.k)=(N∙m/kg∙k)

En las teorías cinéticas moleculares, desarrolladas por LUDWING EDWARD

BOLTZMANN en 1871, establecen que en un fluido ideal.

El gas es un conjunto de partículas que viajan en línea recta.

Los choques son perfectamente elásticos.

No existen fuerzas internas.

Su energía cinética es función de la temperatura absoluta

1.10 tensión superficial

Es común ver a insectos desplazarse sobre el agua sin hundirse, o pequeños cuerpos

suspendidos en la superficie del agua, para poder dar una explicación a estas

observaciones se tiene que considerar las fuerzas intermoleculares entre las

partículas de los líquidos, si bien es cierto que las fuerzas internas dentro de un

fluido son simétricas es decir la fuerza interna resultante es igual a cero, las

partículas en la superficie son atraídas hacia dentro del fluido por las partículas que

las rodean. A este fenómeno se le conoce como tensión superficial y se define como

la cantidad de energía necesaria para aumentar su superficie por unidad de área, el

agua por ejemplo su tensión superficial se debe a los puentes de hidrogeno, en el

mercurio a sus enlaces metálicos.

Generalmente la tensión superficial se denota con la letra griega ς. Las unidades

para ς son:

ς = energía/metro cuadrado = (joule/m2) = (N∙m/m2) = (N/m)

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1.11 Capilaridad

La capilaridad es un fenómeno que ocurre cuando se sumerge en un líquido un tubo

de diámetro muy pequeño (llamado tubo capilar), cuando esto ocurre el liquido

sube por el interior del tubo, la explicación física del porque el liquido sube por el

interior del tubo capilar, es de que la fuerza de adhesión del liquido es mayor que las

fuerzas de cohesión intermolecular, y se detendrá el movimiento ascendente

cuando la fuerza gravitacional (peso del liquido) equilibre al sistema.

En el caso de que la fuerza de cohesión intermolecular sea mayor que la fuerza de

adhesión del líquido, este bajara a un nivel inferior presentando una superficie

convexa, como en el caso del mercurio.

Para calcular la altura h que asciende un líquido por el interior de un tubo capilar, se

puede utilizar la ecuación de la ley de Jurin la cual puede escribirse como

H=2ςcosα/rρg (1.22)

ς = tensión superficial

α =ángulo de contacto

r =radio del tubo capilar

ρ =es la densidad del fluido

g=la aceleración de la gravedad

Sin lugar a dudas el sistema utilizado para estudiar el fenómeno de capilaridad es un

tubo capilar el cual siempre es colocado verticalmente a la superficie libre del

líquido que se esté estudiando. De la ley de Jurin puede observarse que la

capilaridad es un fenómeno que depende de la tensión superficial.

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1.12 FLUIDO NEWTONIANO

Cuando se desea definir el concepto de fluido, normalmente se piensa en algún

líquido o en el aire así como de las propiedades que estos tienen, y se dice que un

fluido es toda sustancia que puede “fluir”, sin embargo la forma de fluir del agua, es

diferente a la forma de fluir del aceite o de la melaza, y se observa que la capacidad

de fluir de un liquido aumenta con la temperatura, para estudiar la capacidad de

fluir de los líquidos, Sir Isaac Newton llevo a cabo una serie de experimentos, en

base a ellos Newton estableció la llamada ley de fluidos Newtonianos,( llamada

también ley de viscosidad de Newton). Anteriormente se definieron los conceptos

de tensor de esfuerzos (1.15), y esfuerzo cortante (1.16), para llevar a cabo sus

experimentos Newton sometió a las sustancias únicamente a esfuerzos cortantes

(ς=0).

En la figura (1.2a), al tiempo t=t0 se tiene un fluido confinado entre dos placas

paralelas, de una gran área A, donde la placa inferior permanece inmóvil durante el

experimento (V=0), y la placa superior se mueve con una velocidad constante V, bajo

la acción de una fuerza F paralela a ella.

Fig.(1.2a) sistema al tiempo t=t0

El sistema formado por las superficies y el fluido estará bajo la acción del esfuerzo

cortante τ =F/A, la partícula de fluido abcd, se encuentra inicialmente sin

deformación, al tiempo t = to+ dt, la partícula se ha deformado y ocupa el espacio

a1b1cd, como se observa en la fig. (1.2b), y el fluido se desplaza en capas paralelas

como se muestra en la fig.(1.2c), donde la capa de fluido unido a la placa superior se

moverá con la misma velocidad V, las capas de fluido inferiores se moverán con

menor velocidad, hasta alcanzar la velocidad V=0, por lo que se tendrá un perfil de

velocidades uniforme.

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Fig.(1.2b) sistema al tiempo t=t0 + dt

Fig. (1.2c) distribución del perfil de velocidades

Newton encontró que el esfuerzo cortante τ, para un liquido homogéneo a

temperatura constante era proporcional a la relación AV/Y, donde Y es el espesor

del fluido estudiado por lo que

F α AV/Y

Si el proceso es continuo e infinitesimal

F α AdV/dy

De donde

τ α dv/dy

Finalmente se encuentra experimentalmente la constante de proporcionalidad μ,

pudiendo escribir a la ecuación anterior como

τ = μdv/dy (1.23)

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a la ecuación (1.23), se le conoce como la ecuación de viscosidad de Newton, y

todos los fluidos que la obedecen se les llama fluidos newtonianos, a la constante de

proporcionalidad, μ se le define como la viscosidad dinámica o absoluta del fluido,

para poder interpretar el concepto físico de μ, se analizaran los términos de la

ecuación (1.23)

τ es el esfuerzo cortante

μ la viscosidad dinámica

du/dy es el gradiente de velocidad, du/dy=(m/s∙m) =(1/s), por lo que este término es

la velocidad angular de deformación del fluido.

De la ecuación (1.23) se tiene que τ/μ = du/dy, por lo que μ (viscosidad dinámica),

es la propiedad que tienen todos los fluidos de oponerse a la deformación, cuando

μ→ , y el fluido se le define como un

fluido ideal, en base a este análisis se puede definir el concepto de fluido.

Un fluido es toda sustancia que bajo la acción de cualquier esfuerzo cortante, esta

se deforma de manera continua, sin importar la magnitud del esfuerzo cortante

aplicado.

Viscosidad dinámica o viscosidad absoluta μ.

La viscosidad dinámica o viscosidad absoluta μ de un fluido tendrá como unidades,

μ=(N/m2)/(1/s)=(N∙s/m2)=pascal∙segundo=Pa∙s

En el sistema c.g.s. la unidad de viscosidad dinámica es el poise P, P=dinas∙s/cm2, en

la práctica se utiliza el centipoise CP=10-2P, ya que los fluidos tienen una baja

viscosidad.

Viscosidad cinemática ν

La viscosidad cinemática ν esta de definida como:

ν = μ/ρ (1.24)

Las unidades de la viscosidad cinemática son ν = (m2/s).

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En el sistema c.g.s. la unidad de viscosidad cinemática es el Stoke (st), siendo el

centistoke (cst) la unidad más utilizada

1cst=10-2 st

Experimentalmente se observa que la viscosidad de un fluido es función de la

temperatura y de la presión, la dependencia con la presión es poco representativa y

generalmente no es considerada, en el caso de los líquidos la viscosidad disminuye

con el aumento de la temperatura, debido a que las fuerzas intermoleculares

decrecen con el aumento de la temperatura aumentando la capacidad de fluir de los

líquidos, en el caso de los gases la viscosidad es función de la actividad molecular, la

cual aumenta con el incremento de la temperatura, . Ver figura (1.3)

Fig. (1.3) graficas de la viscosidad para líquidos y gases en función de la

temperatura

Clasificación (SAE)

La sociedad de ingenieros de automotores de U.S.A (SAE), clasifico a los aceites en

función de su viscosidad a una temperatura de 100oC , midiendo la viscosidad en

centistoke, agrupándolos en números 20, 30, 40 y 50 SAE, sin embargo el aceite SAE

20, en condiciones de baja temperatura, su viscosidad aumentaba en tal proporción

que no era apto para climas fríos, dando lugar al SAE 10 y al SAE 5. (Para una mayor

información sobre este tema, se recomienda al lector consultar: AVALLONE –

BAUEMEISTER. DEL ING. MECÁNICO-editorial Mc Graw-Hill, 1999)

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Determinación de la viscosidad e un fluido.

Existen diversos métodos experimentales para determinar la viscosidad de un fluido

uno de ellos es utilizando la Ley de Stokes y el principio de Arquímedes, la ley de

Stokes establece que para cuerpos esféricos que se mueven dentro de un fluido

viscoso, actúa la fuerza debida a la viscosidad (fuerza de arrastre), la cual se opondrá

al movimiento y está dada por la expresión:

Fs = 6πμrV

Donde:

Fs es la fuerza debida a la viscosidad, (fuerza de stokes)

μ es la viscosidad del fluido

r es el radio de la esfera

V la velocidad de la esfera con respecto al fluido.

En la figura (1.4), se representa el movimiento de la esfera dentro del fluido, así

como la representación grafica de las fuerzas que actúan sobre la esfera, la densidad

del fluido será ρf, la densidad de la esfera ρe.

Fig. (1.4) representación grafica del movimiento de una esfera dentro de un fluido.

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La esfera al inicio de su movimiento se moverá de forma acelerada, hasta que

alcanza su velocidad final, llamada velocidad límite, la cual permanecerá constante.

Aplicando la segunda ley de Newton a este movimiento.

Cuando V alcanza su valor límite V =VL , la aceleración es igual a cero por lo que se

puede escribir:

Fs + Fa – W = 0 (1.25)

En donde Fs es la fuerza de Stokes, Fa es la fuerza de empuje ascensional de

Arquímedes, Fa =ρfgV, ρf es la densidad del fluido, g la aceleración de la gravedad, V

el volumen de la esfera, W es el peso de la esfera W = mg = ρegV, al sustituir los

valores de Fs, Fa y W en la ecuación (1.24), se obtiene:

6πμrVL + ρfgV - ρeVg = 0 (1.26)

Como V =( 4/3)πr3, al sustituir en la ecuación (1.25) y despejar a μ, se obtiene:

μ =(2/9VL)gr2(ρe-ρf) (1.27)

Esta última expresión es utilizada para determinar experimentalmente la viscosidad

cinemática de un fluido.

EJEMPLO 1.1

¿Cuál es el peso de una esfera?, si esta tiene una densidad relativa, ρrel = 0.80, y su

volumen es de Ve = 0.001m3.

Como ρrel = ρe/ρagua (ρe la densidad de la esfera)

ρe = ρrelρagua y ρe = me/Ve , se obtiene me = ρrelρaguaVe

el peso W = meg=ρrelρaguaVeg sustituyendo valores

W = 0.80(1000kg/m3)(0.001m3)(9.81m/s2)

W = 7.848 N.

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EJEMPLO 1.2

La masa de un recipiente vacio es de .200kg, se vierten dentro de él un litro de agua

y un litro de aceite, se pesa el recipiente con su contenido en una báscula de

precisión, dando una lectura de 14 N. ¿Cuál es el peso especifico del aceite?, y ¿ cuál

es su densidad relativa?

Wt = Wr + Wagua + Wa

Wt es el peso total

Wa es el peso del aceite

Wa = Wt-Wr-Wagua

Wa = N =2.228N

ϒa = Wa/Va =(2.228/0.001)N/m3 = 2228N/m3 (peso especifico del aceite)

Su densidad relativa es ρ ρrel = ϒa/ϒagua

ρrel =( 2228/9810) = .227 (densidad relativa del aceite).

EJEMPLO 1.3

La velocidad del sonido en el aire es de 331.7 m/s a una temperatura t = 00C, ¿cuál

será la velocidad del sonido para una temperatura de 150C?

De la ecuación (1.13)

V = V0 + 0.6 (m/s∙0C)t

V = (331.7 + 0.6∙15)m/s

V = 340.7 m/s

24

EJEMPLO 1.4

En un sistema para estudiar un fluido newtoniano, se tienen dos placas planas

paralelas de área A = 10 m2, la placa superior se mueve con una velocidad constante

de 1 m/s, bajo la acción de una fuerza paralela a las placas F = 10 N, la placa inferior

se encuentra inmóvil, existiendo entre ellas un capa de fluido de espesor Y 4∙10-3 m,

como se muestra en la fig. (1.5), para este sistema calcule:

1) La velocidad angular de deformación.

2) El esfuerzo cortante.

3) La viscosidad dinámica del fluido.

Fig. (1.5) sistema para estudiar a un fluido newtoniano

1) Si se considera un perfil lineal de velocidades, la velocidad angular de

deformación está dada por la expresión du/dy.

du/dy = (V-0)/(Y-0) = V/Y = (1m/s)/(4∙10-3 m)

du/dy = 0.25∙103 (1/s)

2) El esfuerzo cortante

τ = F/A = 10N/4m2) = 2.5 N/m2

3) La viscosidad dinámica del fluido se obtiene de la expresión:

μ = τ/(du/dy) = (2.5N/m2)/(0.25∙103 1/s) = 10-2 N∙s/m2

25

EJEMPLO 1.5

Encuentre el esfuerzo cortante que actúa sobre la placa en movimiento de la figura

(1.6), así como la dirección de este, al considerar que la capa de fluido entre las

placas es un fluido newtoniano y su perfil de velocidades esta dado por la expresión

Figura (1.6), representación de los datos del ejemplo (2.5)

V = Vmax

(1.28)

El esfuerzo cortante se determinara por la expresión dada por la ecuación (1.23).

τ = μdV/dy

El termino dV/dy es la velocidad angular de deformación, la cual puede obtenerse al

derivar la ecuación (1.27) con respecto a y.

dV/dy = d/dy(vmax)

dV/dy = -Vmax/H

La Vmax para este ejemplo es la velocidad de la placa superior por lo que se tiene:

dV/dy = -(2m/s)/(0.001m) = -2∙1031/s

Para determinar la dirección del esfuerzo cortante así como su magnitud se

sustituyen valores en la ecuación (1.22), obteniéndose:

τ = (1.03∙10-3)N∙s/m2(-2∙103)1/s

τ = -2.06N∙s/m2

El signo menos indica que el esfuerzo cortante actúa en el sentido negativo del eje

ox.

26

OBJETIVOS DEL CAPITULO 1

Después de que el estudiante haya terminado de estudiar el primer capítulo, habrá

desarrollado las siguientes habilidades.

a) Conocerá diversos campos de aplicación de la mecánica de fluidos.

b) Podrá realizar análisis dimensional.

c) Recordará a los científicos que mayor aportación han hecho, para el desarrollo de

esta ciencia.

d) Dominará el principio de continuidad.

e) Manejará con facilidad las variables que describen a un sistema de fluidos.

f) Conocerá el aspecto operacional de leyes y principios de la mecánica de fluidos.

g) Resolverá los problemas del final de este capítulo.

27

PROBLEMAS

1) Encuentre las dimensiones, de las siguientes variables en el sistema c.g.s.

(centímetro, gramo, segundo)

a) densidad e) viscosidad absoluta

b) peso especifico f) viscosidad cinemática

c) presión g) potencia

d) esfuerzo cortante h) tensión superficial

2) ¿para que condiciones la cera y la brea pueden ser considerados como fluidos?

3) mediante un dinamómetro correctamente calibrado se pesa un cuerpo de masa m,

dando una lectura de 48.75 N, si el volumen del cuerpo es de 0.40m3, determine:

a) su peso especifico

b) su densidad

c) la masa del cuerpo

4) ¿cuál es la viscosidad cinemática de un fluido newtoniano, de densidad relativa

0.80?, si un esfuerzo cortante de 3 N/m2, le produce una deformación angular de

160rad/s.

5) Determine la fuerza necesaria para mover una placa, con un área de 2 m2,, a una

velocidad constante de 3m/s, paralela a una placa fija, si entre ellas existe un fluido

newtoniano de 3mm de espesor, viscosidad cinemática 1 st (stoke), y densidad

relativa 0.8.

6) Calcule la fuerza necesaria para subir un bloque de peso 480 N, y con una área plana

de 1m2, a una velocidad constante de 4 m/s, por un plano inclinado de 200 con

28

respecto a la horizontal, si entre las superficies de contacto existe una capa de fluido

newtoniano de 1.2∙10-4m de espesor y viscosidad cinemática 4 st (stoke)

7) Un liquido tiene una densidad relativa de 0.80 y una viscosidad dinámica de

aproximadamente 4 N∙s/m2, ¿cuál es su viscosidad cinemática?

8) Sobre un fluido actúa una fuerza de superficie F = 5i + 6j + 3k, determine el esfuerzo

cortante y tensor de esfuerzo, que actúa sobre una área de 3m2 localizada :

a) Sobre el plano XY

b) Sobre el plano XZ

c) Sobre el plano YZ

9) ¿cuáles son las condiciones para que se presente cavitación a la entrada de una

bomba?

10) Para una temperatura de 3800K, el volumen de un gas de .003m3, si la presión es de

1.02 MPa y su masa 0.02kg, determine el valor de R (constante del gas, para un

fluido ideal).

11) Un fluido con una densidad relativa de 0.85 tiene una viscosidad cinemática de 2 st

(stoke), ¿Cuál es su viscosidad dinámica en el sistema internacional (m,k,s).

12) En un tubo capilar de diámetro 0.003 m, se determina que la altura que asciende un

liquido es de .004 m, el ángulo de contacto 200, si la gravedad especifica del liquido

es 0.90, determine el valor de la tensión superficial.

13) En un recipiente de cristal, con agua a 200, se coloca una esfera de densidad relativa

1.2 y diámetro de 4 cm, si la aceleración de gravedad es de 9.78 m/s2 en ese lugar,

determine la velocidad con la cual la esfera toca el fondo.

14) Una disolución contiene 2.00 moles de heptano y 3.00 moles de octano a una

temperatura de 380c, determine la presión de vapor de cada componente y la

presión de vapor de la disolución.

15) Se deja resbalar libremente desde el reposo un bloque de 100 kg de masa, con un

área plana superficial de 1m2 por un plano inclinado 200 con respecto a la horizontal,

si existe un fluido newtoniano como lubricante entre las áreas de contacto, con

29

espesor de 0.001m, ν = 2 CP, ρ = 800kg/m3, y la distancia que recorre en el plano es

de 10m, determine

a) La velocidad final del bloque

b) El tiempo en recorrer la distancia de 10 m, por el bloque

16) Un globo es inflado con 0.01 kg de aire, si la temperatura permanece constante a

200 determine el trabajo realizado.

17) Los líquidos son generalmente considerados incompresibles, ya que se necesita una

gran presión para comprimirlos, si el modulo de elasticidad del agua es e

aproximadamente 2.2∙109 N/m2, determine la presión necesaria para reducir su

volumen en un 2%.

18) Los coeficientes de compresibilidad isotérmico e isobárico están dados por las

expresiones (1.6) y (1.7) respectivamente, determine sus unidades en el sistema

internacional (m,k,s) y (c,g,s).

19) La velocidad del sonido en líquidos y gases esta dado por las expresiones (1.11) y

(1.12), determine las velocidades del sonido en el aire y en el agua para una

temperatura de 180 C.

20) Si el perfil de velocidades de un fluido newtoniano con viscosidad cinemática de 5

cst

Fluye por una tubería de 0.10 m de diámetro, esta dado por la expresión

V(r) = 4(1-800r2)

Determine el esfuerzo cortante para

a) r =0.05 m b) r = 0.02 m

30

BIBLIOGRAFIA

FRANK-WHITE –mecánica de fluidos-editorial mcgraw-hill-2004

CENGEL YUNUS A- mecánica de fluidos fundamentos y aplicaciones-editorial mc

graw-hill-2006

BARRENO-mecánica de fluidos-editorial mcgraw-hill-2005

POTTER-WIGGERT-mecánica de fluidos-tercera edición-editorial Thomson 2003

ROBERT-MOTT –mecánica de fluidos-sexta edición –editorial Pearson 206

STREETER-WYLIE-mecánica de fluidos-novena edición-editorial mcgraw-hill-2000

AVALLONE-BUAMEISTER-manual del ingeniero químico-tercera edición-editorial

mcgraw-hill-1999

EDUARDO W.V. CHAVES-mecánica del medio continuo-segunda edición-editorial

cimne-2007

31

CAPITULO 2

HIDROSTATICA

La hidrostática (fluidostatica), estudia el comportamiento de los fluidos cuando no existen

esfuerzos cortantes en el sistema en estudio, por lo que no existirán desplazamientos

relativos entre las partículas y el tensor de esfuerzos ς = FN/A coincidirá con P (presión

hidrostática).

En un fluido en equilibrio hidrostático todas las partículas están reposo o tienen la misma

velocidad con respecto a un marco de referencia.

En este capítulo se analizaran sistemas en equilibrio hidrostático, para encontrar las

ecuaciones que rigen su comportamiento y de esta forma poder examinar sus propiedades.

2.1 PRESION

La variable más importante en la hidrostática es la presión, la cual se expresa en diversas

unidades, en el sistema internacional está dada en pascales Pa = N/m2,

En el sistema ingles en Libras/pulgadas2 = psi, en centímetros o pulgadas de columna de un

líquido, como son centímetros de columna de agua, pulgadas de columna de mercurio, ver

tabla (2.1)

1 atmósfera = 1.013 bar = 1.013∙106 dinas/cm2 = 14.695 lb/pulg2 = 760 mm.c.hg

=1.013∙105 Pa

1 kg/cm2 = 14.22psi = 0.967 atmósfera

1bar = 14.503lb/pulg2 = 750.187 mm.c.hg = 105Pa

1dina/cm2 = 0.1Pa = 3.501∙10-4 mm.c.hg

1gr/cm2 = 0.142lb/pulg2

1kg/m2 = 0.2048 lb/ft2

1 lb/pulg2 = 6.894∙104dinas/cm2= 51.723 mm.c.hg = 6.894 Pa

1 Pascal = 10-5bar = 10-6 N/mm2=0.102 Kp/m2 = 0.987∙10-5atm.

1 torricelli = 133 Pa = 0.00133 bar = 1.33∙10-4N/mm2

Tabla (2.1) unidades de presión y conversiones

32

PRESION ATMÓSFERICA

La tierra está cubierta por una capa de mezcla de gases (nitrógeno 78%, oxigeno 21% ), los

cuales son atraídos por el campo gravitacional terrestre, ejerciendo una presión sobre la

superficie de todo el globo terráqueo, a esta presión se le llama presión atmosférica, la cual

tiene un valor máximo de aproximadamente 1.01∙105 pascales (1kg/cm2 en el sistema

técnico), en la superficie de los océanos, y disminuye con la altitud, temperatura y densidad

del aire.

El instrumento para medir la presión es el barómetro, por lo que la presión atmosférica se le

llama también presión barométrica.

PRESION MANOMETRICA O PRESION RELATIVA

La presión manométrica se mide con respecto a la presión atmosférica, a los instrumentos

para medir la presión manométrica se les llama manómetros, los cuales pueden ser

mecánicos, electromecánicos, electrónicos entre otros.

Un instrumento muy rudimentario para medir la presión manométrica es el del tubo

abierto, consiste de un tubo en forma de U, el cual contiene un fluido llamado fluido

manométrico de alta densidad, generalmente se ocupa mercurio para medir presiones de

líquidos o agua para medir presiones de gases, uno de los extremos del tubo se conecta al

sistema del cual se quiere conocer su presión

El fluido manométrico se elevara(o bajara) en uno de los brazos hasta que las presiones se

igualen.

La diferencia de alturas entre los brazos del manómetro, es la presión manométrica ya que

se mide con respecto a la presión atmosférica. Ver figura (2.1), Este instrumento de

medición de presión es utilizado con frecuencia en los laboratorios de mecánica de fluidos,

la lectura se reporta en unidades lineales comúnmente en cm o pulgadas del fluido

manométrico.

Figura (2.1) manómetro de tubo en U

33

PRESIÓN ABSOLUTA

La presión absoluta se ocupa generalmente cuando se estudian fluidos compresibles.

(Gases).

La presión absoluta = presión manométrica + presión barométrica

= presión manométrica + presión atmosférica (2.1)

PRESIÓN DE VACIO

Son las presiones por debajo de la presión atmosférica, se miden mediante vacuometros e

indican la diferencia entre la presión atmosférica y la presión absoluta.

Pvacio = Patmosferica - Pabsoluta (2.2)

PRESIÓN HIDROSTATICA

Es la presión bajo la superficie libre de un fluido, debida al propio peso de este.

2.2 PRINCIPIO DE PASCAL

El principio de Pascal establece que la presión dentro de un fluido es independiente de la

dirección. Para demostrar este principio se considerara una partícula infinitesimal de fluido

como se indica en la figura (2.2a), de masa despreciable (w→0) y dz = 1.

Como la partícula se encuentra en equilibrio hidrostático, no existen esfuerzos cortantes, y

los tensores de esfuerzos serán perpendiculares al área de la partícula, analizando el

sistema mediante un diagrama de cuerpo libre figura (2.2b) y aplicando la segunda ley de

Newton .

Figura (2.2a) figura (2.2b)

34

Considerando la sumatoria de fuerzas a lo largo del eje OX.

(2.3)

De la figura (2.2a)

senƟ = dy/dr (2.4)

Sustituyendo (2.4) en (2.3) se obtiene

Pxdy – Prdrdy/dr = 0 (2.5)

Simplificando (2.5)

Px = Pr (2.6)

En forma análoga se analiza la sumatoria de fuerzas para el eje OY

(2.7)

De la figura (2.2a)

cosƟ = dx/dr (2.8)

Sustituyendo (2.8) en (2.7) se obtiene

Pydx – Prdrdx/dr = 0 (2.9)

Simplificando (2.9)

Py = Pr (2.10)

De las ecuaciones (2.6) y (2.10), se concluye

Px = Py = Pr (2.11)

Por lo que la presión tiene el mismo valor en todas direcciones del fluido, y por lo tanto la

presión hidrostática es una magnitud escalar.

35

2.3 ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA

La ecuación fundamental de la hidrostática, permite determinar la distribución de presiones

dentro de un sistema de fluido, para obtener esta ecuación, se consideraran las fuerzas

debidas a la presión y la fuerza de volumen debida al campo gravitacional.

Figura (2.3)

En la figura (2.3) se representan solo las fuerzas que actúan a lo largo de la vertical, por lo

que P, será solo función de y

P = P(y) dy =( P/ y)dy =( P/ Y)δy/2 (2.12)

Aplicando la segunda ley de Newton se tiene

)

Desarrollando (2.13) y simplicando

2dPδxδz = - W (2.14)

Sustituyendo (2.12) en (2.14) y considerando que W = ϒ δxδyδz, se obtiene

2( P/ y)(δy/2)δxδz = -ϒδxδyϒz

Finalmente se obtiene

p/ y = - ϒ (2.15)

36

Como P únicamente es función de y, la expresión (2.15), será una derivada total

dP/dy = -ϒ (2.16)

A la ecuación (2.16), se le conoce como la ecuación fundamental de la hidrostática

La ecuación fundamental de la hidrostática para un fluido incompresible

Una de las primeras aplicaciones de la ecuación (2.16), es para obtener la variación de la

presión en un fluido incompresible (ρ = constante).

De (2.16), dP = -ϒ dy que al integrar se obtiene lo siguiente

P-Po = ϒ(Yo – Y), por un cambio de variable h = (Yo – Y)

P = Po + ϒh (2.17)

En la ecuación (2.17), se considerara el marco de referencia con su origen en la superficie

libre del fluido, por lo que h será h > 0, cuando se mide hacia abajo.

La ecuación (2.17) es una relación de la presión en función de la altura y es frecuentemente

utilizada para calcular la presión en líquidos. De la ecuación (2.17) se puede observar que

a) Todos los puntos de igual presión en un fluido en reposo se encuentran en el mismo plano

horizontal.

b) La presión aumenta linealmente con la profundidad en un fluido liquido

c) Si P0 es la presión atmosférica entonces P es la presión absoluta, y ϒh es la presión relativa,

llamada también presión manométrica.

Ejemplo 2.1

Un barómetro de mercurio indica que la presión atmosférica es de 30.7 pulgadas, calcule la

presión atmosférica en:

a) cm de columna de agua

b) pascales

Solución:

a) De los datos del ejemplo

Hhg = 30.7 pulgadas

= 30.7 (2.54) cm

= 77.978cm

37

Como

Patmosférica = ϒhgHhg =ϒ h20Hh20

Despejando a Hh20

Hh20 = (ϒhgHhg)/ϒh20

Sustituyendo datos y recordando que la relación de los pesos específicos es la densidad

relativa del mercurio (13.57)

Hh20 = 13.57 X 77.978m

= 1058.16cm

b) Para determinar la presión atmosférica en pascales

Patmosférica = ϒh20Hh20

=9810N/m3 (10.581m)

= 103 799.61 Pa

Ejemplo 2.2

Considere el manómetro en U de la figura (2.4), el cual se conecta a la tubería T, que

transporta agua, para las lecturas de h1 = .50m , h2 = .70 m, ¿cuáles son las presiones

absoluta y manométrica en el punto de conexión? Si el fluido manométrico es mercurio (hg)

y la presión barométrica es Pb = P0 = 1.013 X 105Pa.

Figura (2.4)

38

Solución:

De la ecuación (2.17)

Px = PT + ϒh1 (2.18)

Py = Pb +ϒh2 (2.19)

Como X y Y están en el mismo plano horizontal Px = Py

PT + ϒah1 = Pb + ϒhgh2

Por lo que

PT = Pb + ϒhgh2 – ϒah1 (2.20)

Donde

Pb = 1.013 X 105 Pa

ϒhg = 1.331 X 105 N/m3

ϒa = 9810 N/m3

h1 = .50m

h2 = .70m

Sustituyendo valores en (2.20).Se tiene que la presión absoluta en la tubería T en el punto

de conexión es

PTabsoluta = (1.013 X105 + 1.331 X105X.70 – 9810X..50)

= 1.895X105 Pa

Para obtener la presión manométrica o relativa se considera a la presión atmosférica igual a

cero por lo que se obtiene

PTmanométrica = .882X105 Pa

39

Ejemplo 2.3

Ecuación fundamental de la hidrostática para un fluido compresible a temperatura

constante.

La aplicación de la ecuación fundamental de la hidrostática será aplicada a un fluido ideal a

temperatura constante, (proceso isotérmico) para un fluido compresible la densidad ya no

será considerada constante. De la ecuación (1.21) para un fluido ideal se tiene

PVs = RT

Como la temperatura T es constante y el volumen especifico Vs = 1/ρ, puede escribirse

P/ρ = Po/ρo (2.21)

De la anterior ecuación se despeja ρ

Ρ = Pρ0/P0 (2.22)

Considerando a la ecuación fundamental de la hidrostática (2.16) y a la ecuación (2.22) se

obtiene

dP/dy = -(ρ0/P0)gP (2.23)

La ecuación diferencial (2.23) puede integrarse de P0 a P y de Y0 a Y

g/P0

Al evaluar la integral y substituir los limites

Ln(P/P0) = -(ρ0g/P0)(Y-Y0)

Por las propiedades de las funciones logarítmicas, puede escribirse

P = P0 Exp(-ρ0g/P0)(Y-Y0) (2.24)

La ecuación (2.24), permite calcular las variaciones de la presión en función de las

condiciones iniciales P0, Y0, ρ0 a temperatura constante, de la misma ecuación puede

observarse que la presión disminuye exponencialmente con la altura.

40

Ejemplo 2.4

La ecuación fundamental de la hidrostática para un líquido de módulo de compresibilidad

constante K.

El módulo de compresibilidad k puede escribirse como

K = ρdP/dρ (2.25)

Despejando dp

dp =( k/ρ)dρ (2.26)

de la ecuación (2.16)

dp = -ρgdy (2.27)

Igualando las ecuaciones (2.26) y (2.27) se obtiene

(k/ρ)dρ = -ρgdy (2.28)

Separando términos e integrando (2.28)

(2.29)

ρ= kρ0/( k+gρ0(y-yo) ) ( 2.30)

Sustituyendo (2.30) en (2.27) e integrando

Simplificando

P= P0 + k ln k/(k +ρ0g(y-y0)) (2.31)

41

Ejemplo 2.5

La ecuación fundamental de la hidrostática, y un gradiente térmico constante

La ecuación fundamental de la hidrostática puede ser aplicada para estudiar las variaciones

de presión atmosférica, para un gradiente térmico lineal

El gradiente térmico se define como

(2.32)

β = 0.00365 0C/m para una atmosfera estándar

Si β es constante la ecuación (2.32) se integra fácilmente

(2.33)

Por lo que se obtiene

T = T0 – βy (2.34)

El signo menos indica que la temperatura en la atmosfera disminuye con la altura, si se

considera a la atmosfera como un gas ideal

PVs = R(To –βY) (2.35)

Como Vs = 1/ρ, al sustituir en (2.35), y despejar a ρ

ρ= P/R(To-βy) (2.36)

Sustituyendo (2.36) en la ecuación (2.16) y despejando se tiene

dp/P = - g/R(To-βy)dy (2.37)

si se integra (2.37) entre los limites Po a P, Yo = 0 a y

42

/p = -g/R

(2.38)

Finalmente se obtiene al integrar (2.38), y despejar a P

P = Po g/Rβ (2.39)

Para una atmosfera estándar T0 = 200C

2.4 fuerza hidrostática sobre superficies planas sumergidas en un fluido incompresible

La ecuación (2.16) será utilizada para determinar la fuerza hidrostática que actúa sobre

una superficie plana sumergida en un fluido incompresible y en reposo. Como no existen

esfuerzos cortantes la fuerza será perpendicular a la superficie sumergida. En la figura (2.5)

se representa una superficie vertical de área total S

Figura (2.5)

La fuerza que actúa sobre el diferencial de área ds estará dada por

dF = pds (2.40)

Considerando que para líquidos la presión que se utiliza es la presión manométrica de la

ecuación fundamental de la hidrostática (2.16) se tiene que para un líquido

P = (2.41)

Por lo que la fuerza que actúa sobre la diferencial de área ds es

dF =

43

la fuerza total que actúa sobre el área S se obtiene integrando (2.42)

F =

=

(2.43)

Como

es el momento de inercia de primer orden con respecto al eje 0X

Fp =ϒYcS (2.44)

De la ecuación (2.44) se concluye que la fuerza hidrostática que actúa sobre una superficie

plana sumergida es función del centro de gravedad Yc de la superficie plana. Un análisis

análogo puede llevarse a cabo cuando la superficie plana esta inclinada.

Para calcular el punto de aplicación Yp de la fuerza resultante Fp sobre la superficie plana

sumergida, se considera que el momento debido a Fp con respecto al eje OX, es la suma de

todos los momentos de la distribución de las fuerzas de presión sobre el área S,

considerando que las fuerzas debidas a la presión son perpendiculares al área puede

escribirse

FpYp =

2ds = ϒ

2ds (2.45)

De la ecuación (2.45),

2ds es el momento de segundo orden Ixx de la superficie S con

respecto al eje OX, por lo que

FpYp = ϒIxx (2.46)

De las ecuaciones (2.44) y (2.46) puede obtenerse finalmente que el punto de centro de

presiones está dado por

Yp = Ixx/YcS (2.47)

Ejemplo 2.6

El depósito de la figura (2.6) contiene agua, calcule la fuerza que actúa sobre la superficie

plana S, si esta tiene 3m de anchura y determine el centro de presión

44

Figura (2.6)

De la ecuación (2.44) Fp = ϒycS, sustituyendo los datos de la figura (2.6)

Fp = 9810N/m3(4 + 2sen450/2)m(3m)(2m)

Fp = 277060.30 N

El centro de presión se encontrar a una distancia Yp - Yc , por debajo del centro de presión

por lo que de la ecuación (2.47)

Yp - Yc = 3(23/12)/

= 0.050m

2.5 fuerzas hidrostáticas sobre superficies curvas sumergidas en un fluido incompresible

Anteriormente en la sección (2.4), se consideró que las fuerzas debidas a la presión

hidrostática tenían la misma dirección y perpendiculares al área plana, en el caso de que el

área sea curva las fuerzas debidas a la presión variaran en dirección. Para calcular la fuerza

hidrostática se divide en dos componentes una horizontal que actuara sobre la superficie

curva, y una componente vertical que también actuara sobre la superficie en estudio, ver

figura (2.7)

Figura (2.7)

45

Componente horizontal Fh

La componente horizontal debida a la fuerza de presión hidrostática sobre la superficie

curva es en magnitud igual a la fuerza hidrostática que se ejercería sobre la proyección

vertical del área curva

Componente vertical Fv

Considerando que el fluido esta en reposo, la componente vertical debida a la presión

hidrostática es igual al peso del fluido que se encuentra por encima de la superficie curva

hasta la superficie libre del fluido.

Ejemplo 2.7

Con base a los datos de la figura (2.8), calcule la fuerza horizontal y vertical debida a la

presión hidrostática del agua, si la superficie curva tiene una anchura de 2m, perpendicular

al plano de la figura.

Figura (2.8)

De la ecuación (2.44), puede fácilmente calcularse la fuerza horizontal

Fh = ϒhcA

=9810(2)(2∙2) = 78 480 N

Considerando que la fuerza vertical sobre la superficie sumergida es igual al peso del fluido

sobre ella.

Fv = ϒV, ϒ es el peso específico del agua y V es el volumen sobre la superficie

F = 9810 N

= 56 081.95 N

46

2.6 Principio de Arquímedes (fuerza de boyamiento)

El principio de Arquímedes o de boyamiento establece, que todo cuerpo sumergido

en un fluido recibe una fuerza de empuje vertical de abajo hacia arriba igual al peso

del fluido que desaloja. Para demostrar este principio debe de considerarse que la

fuerza horizontal hidrostática es nula, de la figura (2.9) la proyección del área ABC

será igual a la proyección de ADB, por lo que las fuerzas Fh1 y Fh2 serán de igual

magnitud pero de sentido contrario. El empuje será entonces solo vertical debidas a

las fuerzas F1 y F2, cada una de estas dos fuerzas serán en magnitud igual al peso de

la columna del fluido cuya base es la superficie del cuerpo, y la superficie libre es la

superficie superior, por lo que la fuerza resultante es igual al peso del fluido

desalojado por el cuerpo ABCD.

Figura (2.9)

Ejemplo 2.8

Un bote cilíndrico de metal se introduce en un recipiente con aceite del cual se

requiere conocer su densidad, el bote tiene un peso de 9.81 N en el aire, y cuando

está dentro del aceite es de 2.2N, el volumen del cilindro es de .001m3

Solución

En la figura (2.10) se representan las fuerzas que actúan sobre el bote cilíndrico

47

Figura (2.10)

Por la segunda ley de newton

W - Fe = Wa (Wa es el peso del cilindro dentro del aceite), de los datos del enunciado del

ejemplo se obtiene

(9.81N – Fe) = 2.2N

Despejando Fe

Fe = (9.81 – 2.2) N = 7.61N

Por el principio de Arquímedes

Fe = ρgV

De donde se puede obtener una expresión para ρ

ρ = Fe/gV

ρ = 7.61/(9.81X.001) Kg/m3

ρ = 775.739 kg/m3

Ejemplo 2.9

Un bote de forma cilíndrica de radio 0.20m y 0.30m de altura se introduce en un recipiente

que contiene dos capas de fluido la superior de S1 = 0.80 y la inferior de S2 = 1.2, determine

la posición de la base inferior del cilindro con respecto a la línea de separación de los

fluidos, si el peso del cilindro es de 480N

48

Figura (2.11)

Solución

De la figura (2.11) se determinara el valor de H2.

Por la segunda ley de Newton para que el sistema esté en equilibrio

Basándose en el principio de Arquímedes

F1 + F2 –W = 0 (1)

Donde

F1 es la fuerza de flotación debida al fluido de S1 = 0.80

F2 es la fuerza de flotación debida al fluido de S2= 1.20

W es el peso del cilindro

De la definición de peso especifico

F1 = ϒ1V1

F2 = ϒ2V2

W = 400 N

Sustituyendo en (1)

ϒ1AH1 + ϒ2AH2 = 480 (2) (A es el área transversal del cilindro)

49

De los datos del ejemplo

H1 + H2 = 0.30m

Despejando

H1 = 0.30m – H2

Sustituyendo en (2)

ϒ1A(0.30m – H2) + ϒ2AH2 = 480 (3)

Considerando que

ϒ1 = S1ϒh2o = 0.8ϒh2o = 7848 N/m3

ϒ2 = S2ϒh20 = 1.2ϒh20 = 11 772 N/m3

A = r2 = (0.20)2 = 0.125 m2

Sustituyendo valores en (3)

(7848N/m3)(0.125m2)(0.30m – H2) + (11772N/m3)(0.125m2)H2 = 400 N

Resolviendo para H2

H2 = 0.21 m

Ejemplo 2.10

Una cubeta de plástico tiene un volumen de .010 m3 y una masa de 0.2kg, determine

a) cuantos litros de agua como máximo puede contener sin hundirse en el agua.

b) cuantos litros de un fluido de ϒ = 12 000N/m3, puede contener sin hundirse en agua

50

Figura (2.12)

a) En la figura (2.12) se representan mediante un diagrama de cuerpo libre las fuerzas que

actúan en el sistema

Fe es la fuerza de empuje que actúa sobre la cubeta con agua

Wc es el peso de la cubeta

ϒh20V es el peso del agua dentro de la cubeta

V es el volumen de agua dentro de la cubeta

Aplicando la segunda ley de Newton al sistema se tiene

Fe – Wc –ϒh20V = 0

La suma de fuerzas es igual a cero, ya que el sistema debe de estar en equilibrio, despejando

el volumen V de la anterior ecuación se tiene

V = (Fe – Wc)/ϒh20 (a)

Como la magnitud de la fuerza máxima de empuje ocurre cuando la cubeta está

prácticamente sumergida

Fe = (.010m3)ϒh20

51

Sustituyendo datos en la ecuación (a)

V = /9810 m3

= 0.0098m3

= 9.8 litros

b) para determinar la cantidad máxima de litros que puede contener del fluido mencionado

de peso específico ϒ = 12 000N/m3. Considere la ecuación (a) de este problema y sustituya el

peso específico del agua por el mencionado en este inciso.

V = (Fe – Wc)/ϒ

Sustituyendo valores

V = /12 000 m3

= 0.008 m3

= 8 litros

2.7 equilibrio relativo en fluidos en movimiento

Cuando un fluido se encuentra en equilibrio hidrostático los esfuerzos cortantes son igual a

cero, y la distribución de presiones puede ser calculada por la ecuación fundamental de la

hidrostática, cuando un fluido liquido se traslada con velocidad uniforme de tal forma que

las diversas capas del fluido no se mueven con respecto a las capas adyacentes, el fluido se

moverá como si este fuera un sólido, como en el caso de que el fluido este contenido en un

recipiente y este se traslade con aceleración constante o gire alrededor de un eje vertical de

manera uniforme.

Fluido en translación con movimiento de cuerpo rígido

Considere un fluido dentro de un recipiente el cual se mueve con aceleración constante, en

plano XY como se muestra en la Figura (2.13), experimentalmente se observa que la

superficie libre se inclinara, para analizar este fenómeno físico se elegirá una partícula M

del fluido, y se representaran las fuerzas debidas a la presión que actúan sobre ella Figura

(2.13 a), más la fuerza gravitacional en el plano XY

52

Figura (2.13)

(p +

(P -

(P+

δX/2)

(P -

δX/2) - ϒ

W= ϒ

Figura (2.13a)

Por la segunda ley de Newton max

(P -

- (P+

δX/2) max

53

Por lo que

-

max

De donde

= -ρax

/

aX (2-48)

En forma análoga may

- (p +

(P -

δX/2) – ϒ = may

Desarrollando la ecuación anterior dividiendo por y simplificando se obtiene

ϒ (1 + ay/g) (2.49)

Como el movimiento es solo sobre el plano XY, la presión solo será función de las

variable X y Y.

P = P(x,Y)

Por lo que la diferencial de P es

dP =

(2.50)

Sustituyendo (2.48) y (2.49) en (2.50)

dP =

aX dx ϒ(1 + ay/g)dy (2.51)

Integrando la ecuación (2.51) para un fluido incompresible, y considerando el marco de

referencia en (x0,y0) = (0,0)

aX

-ϒ(1 + ay/g)

54

Se obtiene

P = P0

aX X ϒ(1 + ay/g) Y (2.52)

Si P = Po, se obtiene la ecuación que caracteriza a los puntos de igual presión, por lo que se

obtiene que

Y/X = - ax /(ay + g)

De la anterior ecuación se concluye que las superficies de igual presión en un fluido en

equilibrio de translación tienen la misma pendiente de inclinación, siendo paralelas a la

superficie libre.

m = -ax /(ay + g) (2.53)

Ejemplo 2.11

El depósito abierto de sección transversal cuadrada de la figura (2.14), tiene 1.5 m de altura

y está lleno de agua, el depósito se acelera con una aceleración de ax = 9.81m/s2 determine

a) El volumen de agua que se derrama.

b) La aceleración horizontal para que se derrame la mitad del agua contenida en el depósito

(ay=0).

Figura (2.14)

Solución

a) Como el movimiento es horizontal ay es igual a cero, de la ecuación (2.53)

m = - ax/g

De la figura

tag ax/g

55

Considerando valores absolutos

y/x = ax/g

Despejando y

y = (ax/g) x

Sustituyendo el valor de los datos

y =(9.81/9.81)(1)m

Y = 1m

Por lo que el volumen derramado es

V = (1∙1/2)(1) m3

= 0.5 m3

b) Para calcular la aceleración horizontal para que la mitad del agua se derrame Y deberá ser

igual a Y = 1.5m.

De la ecuación (2.53), como ay = 0 y considerando valores absolutos

y/x = ax/g

Despejando ax

ax = gy/x

sustituyendo datos se obtiene

ax = (9.81∙1.5)/1 m/s2

=14.715m/s2

Fluido en rotación con movimiento de cuerpo rígido

Si se considera el movimiento de un líquido en rotación alrededor de un eje dentro de un

recipiente se observara que el fluido adopta la forma de un paraboloide de rotación, donde

cada partícula de fluido girara en torno al eje con la misma velocidad angular, los esfuerzos

cortantes en el fluido serán iguales a cero, y la aceleración será radial apuntando al eje de

giro ver figura (2.15), para analizar este movimiento se considera una partícula de fluido,

figura (2.15a)

56

Figura (2.15)

En la figura (2.15a), se muestran las fuerzas debidas a la presión que actúan sobre una

partícula de fluido, con presión p en el centro de ella, A es el área transversal de la partícula

Figura (2.15a)

Aplicando la segunda ley de Newton, y considerando que la aceleración radial es aR = - 2r

(p-dp)A – (p + dp)A = - m 2 r (2.54)

Como la presión solo es función de r

P = P(r) dp =( )δr/2 (2.55)

Sustituyendo (2.55) en (2.54)

(p -( ) δr/2)A – (p + ( ) δr/2) A = - m 2r

57

Simplificando

( 2r

Como δrA es el volumen de la partícula, y la presión solo es función de r

dp/dr = ρω2r

Separando variables y considerando que ρ = ϒ/g

dp =( ϒω2/g)rdr

Integrando entre los limites p = po a p = p, y de r =ro a r = r

ϒω2/g)

Por lo que se obtiene

P = Po + (ϒω2/2g) (r2 - ro2)

Si el origen es para ro = 0, Po = 0

P = ϒω2r2/2g

Dividiendo entre el peso específico ϒ

P/ϒ = ω2r2/2g

Si p/ϒ = Y y r = X

Y = ω2X2/2g (2.56)

La ecuación (2.56) demuestra que

a) Las superficie de igual presión son paraboloides de revolución

b) La forma del paraboloide será función de la velocidad angular ω

c) Un dato importante para la resolución de problemas es que el volumen del paraboloide de

revolución es igual a la mitad del volumen del cilindro circunscrito

58

Ejemplo 2.12

Con que velocidad de rotación debe girar un recipiente cilíndrico de radio r = 0.5 m, de

altura h = 1m, abierto a la atmosfera y lleno de agua

a) para que el vértice del paraboloide de revolución tan solo toque el fondo del recipiente.

b) Que volumen de agua se derrama

Solución

a) Para que el vértice del paraboloide de revolución tan solo toque el fondo de recipiente un

punto de la superficie libre del líquido deberá ser P (0.5,1), ver figura(2.16)

Figura (2.16)

De la ecuación (2.56)

Y = ω2x2/2g

Aplicada al punto P (0.5, 1)

1=ω2(0.5)2/2∙9.81

De donde

ω = 8.858 rad/s

b) Como el volumen del paraboloide de revolución es igual a la mitad de un cilindro, con el

mismo radio y la misma altura

V = ½( r2h)

V = ½( 0.52)(1) m3

V = 0.392 m3

59

Objetivos del capitulo

Después de que el estudiante haya terminado de estudiar este segundo capítulo, habrá

desarrollado las siguientes habilidades.

a) Describirá cuando un fluido se encuentra en equilibrio hidrostático.

b) Podrá realizar conversiones de valores de la presión en diversos sistemas de medida.

c) Dominará los conceptos de presión relativa y presión absoluta.

d) Manejará la ecuación fundamental de la hidrostática, pudiendo aplicarla en el estudio de

fluidos incompresibles y compresibles.

e) Será capaz de integrar la ecuación fundamental de la hidrostática para estudiar las

propiedades de los fluidos en equilibrio hidrostático, obteniendo la relación de la presión

con la altura, y con la temperatura.

f) Podrá resolver problemas referentes a superficies planas sumergidas en un fluido en

equilibrio hidrostático, determinando la fuerza resultante y el punto de acción de las fuerza

de presión.

g) Resolverá problemas que involucren superficies curvas sumergidas en un fluido en equilibrio

hidrostático, determinado las fuerzas horizontales y verticales así como la línea de acción de

estas.

h) Aplicará el principio de Arquímedes para resolver problemas de cuerpos sumergidos en un

fluido en equilibrio hidrostático.

i) Podrá resolver problemas de equilibrio relativo de translación de fluidos con

comportamiento de cuerpo rígido.

j) Resolverá problemas de equilibrio relativo de rotación de fluidos con comportamiento

análogo a la de un cuerpo rígido.

k) Aplicará la teoría analizada en este capítulo para resolver los problemas propuestos.

60

Problemas

1) ¿Cuál es la condición para que un fluido se encuentre en equilibrio hidrostático?

2) ¿A qué se le llama presión absoluta?

3) ¿Cuál es la diferencia entre presión absoluta y presión relativa o manométrica?

4) Mediante un manómetro se encuentra que la presión de un deposito presurizado es de

p=60 Pa determine la presión en.

a) Lb/plg2

b) kgf/m2

c) metros de columna de agua

d) centímetros de columna de mercurio.

5) Un barómetro registra una lectura de 750 mm de columna de mercurio, si un depósito

presurizado está a una presión manométrica de 400 Pa, determine la presión absoluta en

pascales a la cual se encuentra el depósito mencionado.

6) En un deposito abierto a la atmosfera se hayan dos capas de fluido el inferior con una

gravedad especifica de S1 = 2.2 y el de la capa superior con S2 = 1.2, el espesor de la capa

superior es de 0.3m y la presión en el fondo del depósito Pf = 10 500Pa, determine el

espesor de la capa inferior.

7) El manómetro en U de la figura (2.17) está conectado a la tubería A la cual está a una

presión PA = 8 500 Pa, y a la tubería B la cual está a una presión Pb = 6 000 Pa, si el fluido

manométrico es mercurio determine la lectura h del manómetro, si el fluido que

transportan las tuberías es agua.

Figura (2.17)

61

8) En la figura (2.18) el fluido que transporta la tubería T tiene una gravedad especifica S=0.8

Si el fluido manométrico es mercurio determine la presión absoluta en la tubería si la

presión barométrica es de 740 mm.c.hg.

Figura (2.18)

9) Considere la figura (2.17), ¿cómo se modificaría la lectura manométrica? si la presión en

la tubería A disminuye en 2 000 Pa y la presión en B aumenta en 4 000 Pa.

10) Determine a qué altura sobre el nivel del mar la presión atmosférica disminuye en un

10%, si se considera una atmosfera isotérmica.

11) Determine el valor del módulo de compresibilidad K atmosférico, si a una altura de 9 km

sobre el nivel del mar la densidad del aire disminuye en 1.5 %.

12) Para una atmosfera estándar cual será la presión a una altura de 17 km.

13) ¿Cuál es el peso máximo W que puede sostener el sistema de la figura (2.19)?,

Figura (2.19)

14) En la figura (2.19) si W es de 88 KN, determine el valor mínimo de la fuerza F necesaria.

62

15) un recipiente cilíndrico de radio 0.25m y una altura H, se llena con dos capas de fluido la

inferior de S1 = 1.2 y h1 = 0.30m y la superior S2 = 0.80 y espesor h2, se presiona la tapa del

recipiente con una fuerza de 2kN, si la presión en el fondo es de 20kPa, determine la altura

del recipiente.

16) Una superficie plana de forma de triángulo equilátero, Figura (2.20) se sumerge en un

líquido de S = 0.8, si la compuerta puede girar con respecto a B, determine

a) La magnitud de la fuerza debida a la presión hidrostática. b) El momento necesario para mantener a la superficie plana triangular en equilibrio.

Figura (2.20)

17) Determine la fuerza resultante debida a la presión hidrostática en la figura (2.21), y el

momento resultante con respecto al punto de giro A, si la anchura es de 2m.

Figura (2.21)

63

18) De la figura (2.22) determine la fuerza resultante sobre la superficie curva de 2 m de

anchura, y el momento resultante con respecto al eje de giro A.

Figura (2.22)

19) Si un cuerpo pesa 750 N en el aire y sumergido en el agua 320 N, determine su

gravedad especifica.

20) Un cuerpo pesa 700N sumergido en un líquido de S1 = 920, y 630 N cuando se sumerge

en agua, determine su peso cuando se sumerja en un líquido de S = 1.2.

21) Un recipiente en forma de cilindro cerrado de radio r = 0.20m, largo L =1.80 y gravedad

especifica S = 0.80, se desea hundir totalmente en agua. Determine el peso de un lastre de

gravedad específica SL = 1.75 que ha de unirse al cilindro para que este se sumerja

totalmente.

22) determine el volumen que se sumergirá en el agua una viga de sección cuadrada de lado

a =0.30m, longitud L = 3m y S = 0.75.

23) Un recipiente de sección cuadrada de lados L= 0.60m y altura h=1.20 m, se llena

parcialmente de agua hasta una altura de 1.0m, si el recipiente pesa 45N y resbala sobre un

plano inclinado de 200 con respecto a la horizontal, determine el ángulo de la superficie libre

del agua con respecto a la horizontal, si la fricción es despreciable.

24) Un recipiente rectangular de base 0.60m por 0.30m y altura 1.30m se llena totalmente

de agua y se baja por un plano inclinado de 20o con respecto a la horizontal, si el peso del

recipiente vacío es de 50N, determine el volumen de agua que se derrama si el coeficiente

de fricción cinético es de 0.25.

25) considerando el problema anterior. Determine el ángulo de inclinación del plano para

que el agua derramada sea de 0.006m3.

64

26) Un cilindro vertical abierto y lleno de agua se hace girar con respecto a su eje de

simetría, si el radio del cilindro es de r = 0.30m y la altura h = 1.5 m determine

a) La velocidad angular para que el agua derramada sea de 30 litros.

b) si la velocidad angular es de ω = 120 rad/s, determine el volumen derramado

27) Un recipiente cilíndrico vertical de radio r = 0.30m, peso w = 27N, y altura de h = 1m,

gira con respecto a su eje de simetría con una velocidad angular ω = 70 rad/s, al mismo

tiempo el cilindro tiene una aceleración vertical de ay = 8m/s2 determine el volumen de

líquido derramado, si inicialmente estaba lleno de agua.

65

BIBLIOGRAFIA

FRANK-WHITE –mecánica de fluidos-editorial mcgraw-hill-2004

CENGEL YUNUS A- mecánica de fluidos fundamentos y aplicaciones-editorial mc graw-hill-

2006

BARRENO-mecánica de fluidos-editorial mcgraw-hill-2005

POTTER-WIGGERT-mecánica de fluidos-tercera edición-editorial Thomson 2003

ROBERT-MOTT –mecánica de fluidos-sexta edición –editorial Pearson 2006

STREETER-WYLIE-mecánica de fluidos-novena edición-editorial mcgraw-hill-2000

AVALLONE-BUAMEISTER-manual del ingeniero químico-tercera edición-editorial mcgraw-

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EDUARDO W.V. CHAVES-mecánica del medio continuo-segunda edición-editorial cimne-

2007

SHAMES, I – Mechanics of Fluids, 3rd. McGraw – Hill, New York, 1992

COHEN, E. and TAYLOR, B.-The Fundamental Physical Constants, Physics Today-1994

BIRD. R., STEWART, W., AND LIGHTFOOT, E.-Transport Phenomena, John Wiley and Sons,

New York, 1968.

66

CAPITULO 3

HIDRODINÁMICA

Uno de los campos del medio continuo más complicados de estudiar es la

hidrodinámica, las ecuaciones generales de movimiento así como la solución de ellas

son por lo general difíciles de obtener, los movimientos de los fluidos pueden

manifestarse de diversas maneras por lo que su estudio requiere un conocimiento

de diversos campos de la física. En las aplicaciones de los diferentes campos de la

ingeniería por lo general aproximaciones con un error entre 5% y 10% son

prácticamente aceptables, sin embargo existen casos para los cuales es necesaria

una gran aproximación, para ello el ingeniero deberá de conocer la física requerida.

Para estudiar el movimiento de un fluido puede describirse por el método de Joseph

L. Lagrange (1736-1813), en el cual se considera el movimiento de cada una de las

partículas en función del tiempo, este método en la mayoría de problemas del flujo

de fluidos es demasiado complicado, otro método es el de Leonhard Euler (1707 –

1783) en donde se describen las propiedades del flujo en función del espacio y del

tiempo, dentro de este método se estudia el comportamiento del flujo, en puntos o

volúmenes fijos

3.1 Regímenes de corriente

Para estudiar el movimiento de los fluidos desde el punto de vista Euleriano se

definen conceptos como son los regímenes de corriente, en función de sus

propiedades físicas.

a) Flujo a régimen estacionario o permanente.

Se define como aquel en el cual las propiedades físicas medias en un punto fijo no

dependen del tiempo, la mayoría de problemas en este texto son a régimen

estacionario.

b) Flujo uniforme y no uniforme.

Uniforme si en cualquier punto de una sección transversal a la corriente la

velocidad es la misma, en caso que la velocidad varié será flujo no uniforme.

67

c) Flujo laminar y turbulento.

Laminar si el flujo es perfectamente ordenado en placas paralelas (si el flujo tiene

lugar entre placas paralelas) o en capas cilíndricas coaxiales (si el flujo tiene lugar en

una tubería de sección transversal circular, en el caso de que las partículas no se

desplacen en forma ordenada como anteriormente se describió será régimen

turbulento.

d) Flujo viscoso

Es aquel en el cual los efectos de la viscosidad son determinantes en el flujo.

e) Flujo inviscido

Es el cual los efectos de la viscosidad pueden ser ignorados, en la práctica los flujos

externos al sistema pueden ser considerados inviscidos.

f) Flujos incompresibles y compresible

Flujo incompresible es aquel en la cual la densidad permanece constante (ρ = cte),

en un flujo compresible la densidad es variable.

g) flujo tridimensional, bidimensional y unidimensional.

En un flujo tridimensional la velocidad V será función del espacio y del tiempo

V = V(x,y,z,t)

En un flujo bidimensional

V = V(x,y,t)

En un flujo unidimensional

V = V(x,t)

h) Flujos desarrollados.

Son aquellos en los cuales el perfil de velocidad no varía con respecto a las

coordenadas espaciales en la dirección del flujo.

68

3.2 líneas de corriente y tubo de corriente

Línea de corriente

Es la trayectoria que recorre una partícula de fluido en régimen permanente, donde

la velocidad de flujo es tangente a la línea de corriente, en un flujo continuo todas

las partículas que pasan por un punto dado seguirán la misma trayectoria, dado que

nada cambia con respecto al tiempo.

Tubo de corriente o de flujo

Es un tubo formado por líneas de corriente en régimen permanente, como dos

líneas de corriente no pueden interceptarse, la cantidad de fluido que entra al tubo

es la misma cantidad que sale.

3.3 Ecuaciones de Navier-Stokes

Las ecuaciones fundamentales de la hidrodinámica de fluido, son conocidas como

las ecuaciones de Navier – Stokes, el primer científico que las obtuvo fue el

ingeniero francés constructor de puentes Claude Louis Navier en el año de 1882, el

cual modifico una serie de ecuaciones ya existentes del matemático Euler, y 20 años

después Stokes las fundamento mediante un análisis físico matemático, debido a la

alta complejidad del análisis en este libro solo serán sintetizadas a continuación,

para un flujo incompresible en coordenadas rectangulares.

Si el campo de velocidades V está dada por

V = Vxi Vyj +VzK

La densidad ρ será considerada constante

La presión

P = P(x,y,z)

La aceleración de la gravedad g

69

Las ecuaciones de Navier- Stokes pueden ser escritas de la forma siguiente

ρ

x + μ( 2Vx/ x2 + 2Vx/ y2 + 2Vx/ Z2)

ρ

y + μ( 2Vy/ x2 + 2Vy/ y2 + 2Vy/ Z2)

ρ

z + μ( 2Vz/ x2 + 2Vz/ y2 + 2Vz/ Z2)

Considerando que el operador nabla se define como

Las ecuaciones de Navier –Stokes pueden ser escritas en forma vectorial como

ρDV/Dt = - P + ρg + μ 2V (3.1)

La ventaja de esta notación vectorial es que las ecuaciones pueden ser escritas en

otros sistemas de coordenadas, como son las coordenadas cilíndricas y esféricas.

3.4 Teorema de transporte de Reynolds

El teorema de transporte de Reynolds relaciona la derivada Lagrangiana de una

integral de volumen de un sistema, con una integral en derivadas Eulerianas, para

analizarlo se definirán algunos conceptos como son:

70

Sistema

El sistema es una parte del fluido que se aislara para su estudio, puede cambiar de

forma o de posición pero siempre tendrá la misma cantidad de materia.

Volumen de control

El volumen de control es una región en el espacio en el cual el sistema intercambia

alguna propiedad física, el volumen de control es fijo y determinado, a la superficie

de contorno del volumen de control se le llama superficie de control

Sea N la cantidad de alguna propiedad del sistema, y la propiedad N por unidad

de masa η = N/m, y V la velocidad.

El teorema de transporte de Reynolds matemáticamente puede escribirse como

dN/dt =

V∙dA (3.2)

Por lo que el teorema de transporte de Reynolds establece que la rapidez de

aumento de una propiedad N del sistema, es igual a la rapidez de aumento de la

propiedad N dentro del volumen de control, mas la rapidez de flujo de N a través

de la frontera del volumen de control.

3.5 Principio de conservación de la masa.

El principio de conservación de la masa establece que en un sistema donde no

existen fuente o sumideros la masa dentro del sistema permanece constante, puede

obtenerse la ecuación que rige este principio de la ecuación (3.2), donde N será la

masa dentro del sistema (N =m) por lo que.

dm/dt = 0

De la ecuación (3.2)

0 =

v∙dA (3.3)

71

Como η = N/m =1

Se obtiene

0 =

v∙dA (3.4)

Si la ecuación (3.4) se aplica a un flujo permanente el primer término de la ecuación

se anula y puede escribirse

0 =

(3.5)

La ecuación puede ser integrada considerando la superficie de control de entrada

SC1 y la superficie de control de salida SC2 de un tubo de flujo ver figura (3.1)

Figura (3.1)

De la figura (3.1) se observa que V1∙dA1 = -V1dA1 y V2.dA2 = V2dA2 , por que la

ecuación (3.5) se escribe como

1dA1 = ρ2

2dA2 (3.6)

Donde V1 y V2 son las magnitudes de las velocidades de entrada y salida

respectivamente, por lo que el principio de conservación de la masa para un flujo

permanente puede escribirse como

1A1V1 = ρ2A2V2 (3.7)

72

Haciendo un análisis dimensional en el sistema internacional de medidas de la

ecuación anterior.

ρAV =(kg/m3)(m2)(m/s) = (kg/s)

De donde la ecuación (3.7) representa el flujo másico que entra y sale del sistema

para un fluido compresible, (ρ1 ρ2).

ṁ = ρAV (3.8)

Para un fluido incompresible (ρ1 = ρ2) la ecuación (3.7) se reduce a

A1V1 = A2V2 (3.9)

Llevando a cabo un análisis dimensional

AV = (m2) (m/s) = (m3/s)

Por lo tanto la ecuación (3.9) representa el flujo volumétrico que entra y sale del

sistema, generalmente en ingeniería a la expresión AV se le llama caudal o gasto y se

denota con la letra Q.

Q = AV (3.10)

Ejemplo 3.1

Por una sección de tubería de 0.10m de diámetro fluye agua a una velocidad de

5m/s, en otro punto de la misma tubería el diámetro es de 0.20 m, determine

a) La velocidad en donde la tubería tiene un diámetro de 0.20m.

b) El flujo másico del sistema.

c) El caudal que fluye por la tubería.

Solución

a) De la ecuación (3.9)

A1V1 = A2V2

Despejando V2

V2 = A1V1/A2 (3.11)

73

Donde A = r2

A1 = )2 m2 = 0.0078 m2

A2 = (.10)2 m2 = 0.0314 m2

Sustituyendo valores en (3.11)

V2 = (0.0078)(5)/0.031415 m/s

= 1.242 m/s

b) Para calcular el flujo másico, se obtiene de la ecuación (3.8)

ṁ =ρAV

Donde ρ = 1000kg/m3

ṁ = 1000(1.242)(0.0314) kg/s

= 38.998 kg/s

c) El caudal Q se obtiene a partir de la ecuación (3.10)

Q = AV

= (0.0078) (5) m3/s

= 0.039 m3/s

Ejemplo 3.2

A través de una tubería de 10 cm de diámetro fluye hidrogeno, con un flujo másico

de 0. 02 kg/s, si la presión es de 10kPa y la temperatura T = 400oK, determine la

velocidad promedio por una área transversal de la tubería, si la presión barométrica

es de 101 300Pa

Solución

De la ecuación (3.8)

ṁ = ρAV

V = ṁ/ρA (3.12)

74

Donde

A = r2 =

2 m2

A = 0.0078 m2

ṁ =0.02 kg/s

Para determinar ρ, de la ecuación de los gases ideales (1.21)

PVs = RT

Como Vs = 1/ρ

P/ρ = RT

Por lo que

ρ = P/RT (3.13)

Como el hidrogeno se encuentra en fase gaseosa se utilizan valores absolutos

Pa = Pr + Pb

Pr= 10 000 Pa

Pb = 101 300 Pa

pa = (10 000 + 101 300) Pa

Pa = (111 300) Pa

La constante R para el hidrogeno es

R = 4 121 N∙m/kg∙0K

Sustituyendo valores en (3.13)

ρ = 111 300/(4121∙400) kg/m3

= 0.0675 Kg/m3

De la ecuación (3.12)

V =(0.02)/(0.0675)(0.0078) V = 37.98 m/s

75

Ejemplo 3.3

Para los datos de la figura (3.2), si no existe influencia del aire determine el diámetro

máximo de salida de la manguera para que el caudal Q sea de 0.003m3/s.

figura (3.2)

Solución

De la ecuación (3.10)

Q= AV

Q = D2V/4

D = 2 (3.14)

Para determinar la velocidad V, se utilizara la ecuación cinemática de movimiento

Vy2 = Vyo

2 – 2gy

En el punto más alto de la trayectoria Vy = 0

0 = Vy02 – 2gy

Vyo = (2gy)1/2 (3.15)

De la figura (3.2)

Vyo = V sen 40o (3.16)

76

Sustituyendo (3.16) en (3.15) y despejando V

V = (2gy)1/2 /sen 400

Como g = 9.81m/s, y = 4m

V = (2∙9.81∙4)1/2/sen 40o m/s

= 13.781m/s

Finalmente el diámetro se determina por (3.14)

D = 1/2 m

= 0.0166m

3.6 La ecuación de momentum lineal

La segunda ley de Newton establece que el cambio de la cantidad de movimiento

con respecto al tiempo es igual a la fuerza resultante externa que actúa sobre el

sistema, generalmente la cantidad de movimiento de denota con la letra P.

P = mv

En el teorema de Reynolds, N = P, η = P/m = V, y la ecuación se convierte en

F =

V∙dA (3.17)

Para un sistema de flujo en régimen permanente

VdV = 0

Si M1 y M2 son los vectores de momentum a la entrada y salida del sistema

respectivamente (M1 =F1, M2 = F2), de la figura (3.1)

M1 + M2 =

1ρ1 V1∙dA +

2ρ2 V2∙dA

Integrando se obtiene

M1 + M2 = - ρ1QV1 + ρ2QV2 (3.18)

77

3.7 Momento de la cantidad de movimiento.

La ecuación del momento de la cantidad de movimiento de un sistema establece

que el cambio de la cantidad de movimiento angular con respecto al tiempo es igual

a la resultante de los momentos de torsión T que actúan sobre él, recordando que el

momento angular de una partícula se define como el producto vectorial del vector

de posición por el vector momento lineal, esto es:

L = r X mV (3.19)

Entonces el momento de la cantidad de movimiento es

T =dL/dt (3.20)

Donde L se obtiene del teorema de Reynolds

Lsistema =

=

(3.21)

El momento de torsión resultante, es producido por fuerzas de superficie o fuerzas

de volumen, o por flechas que interactúen con el sistema

T = rxFs +

(3.22)

Ejemplo 3.4

Se utiliza una manguera con una boquilla de 0.005 m2 para lavar una placa de metal,

si la velocidad de salida es de 25 m/s, el liquido que se utiliza es agua, el cual actúa

perpendicularmente a la placa determine la fuerza que actúa

Solución

De la ecuación (3.18), como la velocidad del chorro de agua actuara

perpendicularmente a la placa, puede considerarse que V2X = 0, por lo que la

magnitud de la fuerza estará dada por:

F = ρQV

78

Donde

ρ =1000kg/m3

Q = AV

= (.005)(25) m3/s

V = 25m/s

F = 1000Kg/m3(.005∙25)m3/s)(25m/s)

F = 3125 N

Ejemplo 3.5

Un alabe de un sistema hidráulico desvía el agua como muestra la figura (3.3),

determine la fuera que actúa sobre el alabe si el caudal Q = .010 m3/s.

Figura (3.3)

Solución

De la ecuación

Q = AV

V = Q/( 2/4)

V =0.010/( 0.052/4)

V =5.09m/s

79

De la ecuación (3.18)

Fx = ρQV1x +ρQV2x (la densidad y el caudal son constantes)

De la figura (3.3)

Vx = Vcos400

= 5.09cos400 m/s

= 3.89 m/s

Fx = 1000∙0.010 (5.09 – 3.89) N

Fx = 12 N

Como la componente vertical de la velocidad inicial Vy = 0

Fy = 1000∙0.010(3.89 sen400) N

Fy = 25 N

Ejemplo 3.6

Si el alabe de la figura (3.3) no estuviese estacionario con respecto a la boquilla de

salida y se moviera con una velocidad de 1 m/s en la misma dirección inicial del

agua, determine la fuerza que actúa sobre alabe.

Solución

La velocidad relativa del agua con respecto al alabe se obtiene de

Vr = Vagua - Valabe

Vr = (5.09 – 1) m/s

= 4.09 m/s

Y los valores para Fx y Fy se obtienen en forma análoga al ejemplo (3.5)

80

Q r=AVr = (.052/4)(4.09) m3/s

=0.008 m3/s

Fx = 1000(0.008)(4.09-4.09cos40o)N

Fx = 7.65 N

Fy = 1000(.008)4.09sen400N

Fy = 21.03N

3.8 Principio de Bernoulli

Este principio fue publicado por primera vez por el científico Daniel Bernoulli en el

año de 1738, a este principio también se le conoce como ecuación o trinomio de

Bernoulli. Es junto con la ecuación de continuidad una de las relaciones

fundamentales de la ingeniería de la mecánica de fluidos, está basado en las

condiciones de flujo siguientes

a) Flujo en régimen estacionario

b) Fluido ideal (μ = 0)

c) Flujo a lo largo de un tubo de flujo

d) Fluido incompresible (ρ constante)

El principio establece que todo fluido que cumple las condiciones anteriores, su

energía es la misma en cualquier punto de su trayectoria, puede obtenerse de las

ecuaciones que rigen la mecánica newtoniana, sin embargo será obtenido a partir

del teorema de trabajo y energía dado que relaciona las variaciones de energía

debidas a la presión, la energía geopotencial y la energía cinética. Considerando un

flujo a régimen permanente, ideal e incompresible a través de un tubo de flujo de

sección transversal variable ver figura (3.4)

81

Figura (3.4) tubo de flujo de sección transversal variable

La porción de la tubería mostrada en la figura tiene una sección transversal uniforme

A1 en la entrada del fluido, si se considera una porción infinitesimal X1 el

segmento de la tubería puede considerarse horizontal, y tendrá una altura

constante y1 con respecto a la línea horizontal de la figura, el fluido a la entrada

tendrá una velocidad media V1 y tendrá una presión P1 la tubería aumenta su área

transversal uniformemente en dirección del flujo, hasta tener una área A2,

nuevamente se considera una porción infinitesimal X2 por lo que el segmento de

tubería será horizontal el fluido tendrá una velocidad media V2 y tendrá una

presión P2 a una cota constante de altura y2, al considerar que el flujo es a régimen

permanente las presiones y las velocidades permanecerán constantes, y por la

ecuación de continuidad el volumen X1A1 = X2A2 , considerando que el análisis de

este sistema será en base al teorema de trabajo y energía, el cual establece que el

trabajo total realizado por una fuerza externa resultante es igual al cambio de la

energía interna del sistema

Wtotal = 1/2mV22 + 1/2mV1

2 (3.23)

Se encontrara el trabajo total realizado sobre el sistema y se igualara a la ecuación

(3.23)

82

1) Considerando que el sistema es a régimen permanente el trabajo W1 realizado a la

entrada del sistema estará dado por

W1 = P1 = P1V1

W1 = P1A1 X1

2) El trabajo realizado a la salida será negativo ya que el sistema es el que realiza el

trabajo por lo que

W2 = -P2A2 2

3) El trabajo debido al campo gravitacional será considerado negativo ya que el sistema

realiza el trabajo para vencer a la fuerza gravitacional

W3 = -mg(Y2 – Y1)

Por la ecuación (3.23)

1/2mV22 -1/2mV1

2 = P1A1 X1 -P2A2 2 -mg(Y2 – Y1)

Como X1A1 = X2A2 =

1/2mV2

2 - 1/2mV12 = P1 -P2 -mg(Y2 – Y1)

Dividiendo por mg

V22/2g - V1

2/2g = P1 /mg-P2 /mg - Y2 + Y1

Como

ϒ = mg/

V22/2g - V1

2/2g = P1/ϒ – P2/ϒ – Y2 + Y1

De donde

P1/ϒ + Y1+ V12/2g = P2/ϒ+ Y2 + V2

2/2g

Como los subíndices son para cualquier par de puntos en el tubo de flujo

P1/ϒ + Y1+ V12/2g = P2/ϒ+ Y2 + V2

2/2g = constante (3.24)

83

A la ecuación (3.24) se le conoce como ecuación o trinomio de Bernoulli, si se realiza

un análisis dimensional de los términos del trinomio, las dimensiones son de

longitud por lo que en el campo de la ingeniería de la mecánica de los fluidos se les

llama como

P/ϒ altura de presión

Z altura geodésica o altura geopotencial

V2/2g altura de velocidad o altura cinética

Es importante señalar que la ecuación (3.24), es solo válida para un fluido en

régimen permanente, incompresible, no viscoso (fluido ideal) y en un sistema

cerrado.

Ecuación de Bernoulli para un fluido real

En un fluido real la viscosidad origina una transformación de energía hidráulica a

energía térmica, debidas a la fricción del fluido con las paredes de la tubería, así

como entre la interacción de las mismas partículas del fluido, por lo que el principio

de Bernoulli ya no se cumple, sin embargo es importante señalar que el principio de

conservación de la energía se seguirá cumpliendo ya que la fricción solo provoca un

cambio de estado térmico del fluido, la energía térmica liberada por la fricción

dentro del campo de los fluidos incompresibles no es aprovechada y solo en ese

sentido se le llama energía perdida, y se denotara como Hr , por lo que la ecuación

de Bernoulli se escribirá como:

Ecuación de Bernoulli con pérdidas

P1/ϒ + Y1+ V1

2/2g = P2/ϒ+ Y2 + V22/2g + Hr1-2 (3.25)

Donde

Hr1-2 es la perdida de energía hidráulica entre los puntos 1 y 2 del sistema.

84

Ecuación de Bernoulli generalizada

Si la corriente de flujo atraviesa una o varias maquinas que le suministren energía

(bombas, ventiladores) el sistema experimenta un incremento de energía, la cual

será expresada en forma de altura y se le llamara Hb, en el caso de que la corriente

atraviese una o varias maquinas a las que le ceda energía (turbinas) el sistema

experimentara un decremento de energía, que expresada en forma de altura se le

denotara como -Ht. por lo que la ecuación de Bernoulli se escribirá de la forma

siguiente

P1/ϒ + Y1+ V12/2g = P2/ϒ+ Y2 + V2

2/2g + Hr1-2 - b t (3.26)

La ecuación generalizada de Bernoulli es ampliamente utilizada en los diversos

campos de la ingeniería, la cual en realidad es una expresión matemática de balance

de energía, algunos autores le llaman el principio fundamental de la hidrodinámica,

en la practica la ecuación generalizada de Bernoulli y de continuidad son las bases

fundamentales para el cálculo y diseño de sistemas hidráulicos de tuberías.

Potencia

La potencia es uno de los conceptos dentro de la ingeniería de la mecánica de

fluidos de gran aplicación, recordando que en los cursos de física elemental la

potencia se definió como el trabajo realizado por una fuerza por unidad de tiempo

esto es

P =W/t = FV

En el campo de la ingeniería de la mecánica de fluidos la potencia generalmente se

escribe en función del peso específico, el caudal y la altura de energía.

P = ϒQH (3.27)

ϒ = (N/m3)

Q = (m3/s)

H = (m)

P =(N/m3)(M3/s)(m) = Watts

En el sistema técnico (m,k,s)

P = ϒQH/75 C.V (caballos de vapor) (3.28)

85

Ejemplo 3.7

Por una tubería circulan 0.029m3/s de agua del punto ① al punto ②, donde Y1 =

6m y Y2 = 8m si la presión en el punto① es de 29 KPa, determine la presión en el

punto ② desprecie las perdidas, ver figura (3.5).D1=0.20m, D2 =0.30m.

Figura (3.5)

Solución

Por la ecuación (3.24)

P1/ϒ + Y1+ V12/2g = P2/ϒ+ Y2 + V2

2/2g (3.24)

P1/ϒ = 29 000/9810 m

= 2.95 m

Y1 = 6 m

V 1 = 4Q/ D12 = (4 0.029)/ ( 0.202)m/s

V 1 = 0.92 m/s

En forma análoga

V2 =.410 m/s

Y2 = 8 m

86

Sustituyendo valores en (3.24)

2.95m + 6m + 0.922/2 9.81m = P2/ϒ + 8m + 0.4102/2 9.81m

P2/ϒ = 0.98m

P2 = 9.613 KPa

Ejemplo (3.8)

Por el sistema de bombeo de la figura (3.6) se bombean 0.100m3/s de aceite de

S=0.80, del depósito ① al ② si la perdida de energía del depósito ① a la entrada

de la bomba es de 2m de altura de energía y la pérdida de la salida de la bomba al

depósito ② es de 8m, determine la potencia de la bomba. (En la práctica las

velocidades medias de las superficies libres de los depósitos son despreciables, en

régimen permanente).

Figura (3.6)

Solución

Por la ecuación (3.26)

P1/ϒ + Y1+ V12/2g = P2/ϒ+ Y2 + V2

2/2g + Hr1-2 - Hb

Como el fluido es líquido se consideran presiones manométricas, considerando que

los depósitos están abiertos P1/ϒ= P2/ϒ =0

Y1 = 20m

Y2 = 70m

0 + 20 + 0 = 0 + 70m + 0 + 2m + 8m - Hb

Hb = 60m

87

Por lo que la potencia de la bomba se calcula por (3.27)

P = ϒQH = 0.8 (9810)(0.100)(60) W

P =47.088KW

En el sistema técnico

ϒ =0.8 (1000kgf/m3) = 800 kgf/m3

P =(800)(0.100)(60)/75 C.V

P = 64 C.V

Ejemplo 3.9

Un venturímetro es un dispositivo que se utiliza para medir caudales, consta de una

tubería convergente, una divergente y un manómetro en U, el cual toma las

presiones en la entrada y en la garganta del venturímetro, en la figura (3.7) se le ha

instalado en una tubería horizontal que transporta un liquido de peso especifico ϒ,

el fluido manométrico tiene un peso específico ϒm, si el área de entrada es A1, el

área en la garganta A2, y si no existen perdidas en el sistema determine el caudal

para una lectura manométrica H.

Figura (3.7)

88

Solución

a) Como no existen perdidas de la ecuación (3.24)

P1/ϒ + Y1+ V12/2g = P2/ϒ+ Y2 + V2

2/2g

Considerando que el venturímetro es horizontal Y1 = Y2

P1/ϒ + V12/2g = P2/ϒ + V2

2/2g (A)

De la ecuación de continuidad

A1V1 = A2V2

De donde

V1 = A2V2/A1 (B)

Sustituyendo (B) en (A)

P1/ϒ + (A2/ A1)2 V22/2g = P2/ϒ + V2

2/2g

Factorizando V22/2g

P1/ϒ- P2/ϒ = (1 – ( A2/ A1)2) V22/2g

Si 1/C se le define como

1/C = (1 – ( A2/ A1)2)

P1/ϒ- P2/ϒ = (1/C) V22/2g

V2 = C1/2

1/2 (C)

Para obtener el valor de P1-P2 en función de valores conocidos, se analiza el

manómetro en U.

Como X y Y están en el mismo plano horizontal

Px = Py

89

De la ecuación fundamental de la hidrostática se obtiene

Px =P1 + ϒL + ϒH

Py = P2 + ϒL + ϒmH

Igualando presiones y simplificando

P1 – P2 = (ϒm –ϒ)H (D)

Sustituyendo D en C

V2 = C1/2 –

1/2

El caudal que fluye por la tubería es Q = A2V2

Q = A2 C1/2

–

1/2

90

Objetivos del capítulo 3

Al término del capítulo 3, el estudiante habrá desarrollado las siguientes habilidades

a) Definirá las variables indispensables para describir a un fluido desde el punto de

vista hidrodinámico.

b) Manejará los conceptos de los diversos tipos de régimen de los fluidos, como

régimen permanente, incompresible, entre otros.

c) Podrá enunciar con claridad los conceptos de línea de corriente y tubo de flujo en

régimen permanente.

d) Conocerá las ecuaciones generales de la hidrodinámica (Navier -Stokes).

e) Dominará los conceptos de volumen de control y superficie de control.

f) Será capaz de analizar el teorema de Reynolds.

g) Podrá obtener las ecuaciones de continuidad y cantidad de movimiento, a partir del

teorema de transporte de Reynolds.

h) Formulará las ecuaciones de momento de la cantidad de movimiento.

i) Interpretará con claridad la ecuación de Bernoulli para un fluido incompresible, no

viscoso, en régimen permanente en un sistema cerrado.

j) Manejará la ecuación generalizada de Bernoulli.

k) Podrá resolver problemas en sistemas a régimen permanente.

l) Resolverá los problemas propuestos de este capítulo.

91

Problemas

1) Aire en condiciones normales entra a un compresor a un flujo másico de ṁ =20L/s,

el compresor comprime al aire hasta una presión de 1000KPA y a una temperatura

de 35oC, si el diámetro de salida es de 0.002m2, determine la velocidad de salida.

2) Un tanque cilíndrico de diámetro 40 cm y altura 1.20m contiene aire comprimido, la

velocidad de salida por un chiflón de 0.5 cm de diámetro es de 155m/s, si el proceso

es isotérmico a una temperatura de 200C y la presión es de 1Kpa, determine como

cambiará la densidad dentro del tanque.

3) Una alberca rectangular de 10m de largo por 5m de ancho y 1.50m de altura se

vacía, por un coladera en el fondo, si el caudal de desfogue es de 10 L/s en el

momento inicial, determine la velocidad de la superficie libre de la alberca.

4) A través de una tubería de sección circular de 0.20m se conduce anhídrido

carbónico, la presión interna de la tubería es de 2KPa y la temperatura 40oC, la

velocidad media de flujo 4 m/s, determine el flujo másico ṁ, para una presión

atmosférica estándar.

5) Por una tubería circular fluye aire, en un punto ① del sistema la presión es de

50KPa, y la velocidad del aire 12m/s, temperatura 300C, en un punto ② aguas abajo

(aguas abajo es adonde fluye el fluido) la presión disminuye 30KPa y la temperatura

aumenta a 400c, determine la velocidad V2. Para una presión barométrica de una

atmosfera.

6) Determine el caudal que fluye a través de una tubería vertical, si en ella se ha

instalado un venturimetro vertical con los mismos datos de ejemplo (3.9).

7) Por una tubería circulan 30 L/s de agua en el punto ① el diámetro de la tubería es

de 10cm y esta a una cota de 6 m respecto a un eje horizontal de referencia, la

presione es de 500Kpa en el punto ② el diámetro es de 30cm y la presión de

150KPa y esta a una cota de 25m, determine las pérdidas de ① a ②.

8) Del problema anterior determine:

a) La altura de la bomba que debería instalarse entre ① y ② para que la presión en ② fuese de 200KPa

92

b) La potencia de la bomba.

c) La cantidad de calor generado por la fricción.

d) Si la longitud de la tubería fuese de 3000m, ¿cuál sería la perdida por unidad de longitud?

9) De la figura (3.7) si fluye anhídrido de carbono a una temperatura de 300C, el

diámetro de entrada es de 0.15m y el de la garganta 0.05m, determine el flujo

másico si la presión a la entrada es de 30KPa, el fluido manométrico es mercurio y la

lectura del manómetro es de 20 cm, no existen perdidas.

10) Un chiflón de 5 cm de diámetro, descarga agua tangencialmente sobre un alabe de

una turbina a una velocidad de 35m/s, determine la potencia comunicada al alabe.

11) En un sistema de bombeo, se extrae agua de un deposito ① situado a una altura de

20m, para alimentar un tanque de regulación ② situado a una altura de 60m,en un

punto ③ la presión es de 695KPa y está situado a una cota de 35m, determine la

potencia de la bomba si las pérdidas de ① a la entrada de la bomba son de 6m, de

la salida de la bomba al punto ③ 8m, del punto ③ al depósito ② de 12m.

12) De un chiflón de 15cm, fluye anhídrido carbónico, con un flujo másico de 4kg/s si la

velocidad de salida es de 80 m/s. determine la presión para una temperatura de

300C.

13) Una bomba térmicamente aislada bombea 3L/s de agua con una temperatura de

entrada de 200C, si su eficiencia es del 75% y su potencia es P = 20C.V, determine la

temperatura de salida del agua.

14) A través de un codo de 900 y de área transversal 0.003m2 fluye agua si el caudal es

de 30L/s, determine la fuerza que es necesaria para mantenerlo fijo.

15) A través de un codo reductor de 900, de área de entrada 0.003m2, y área de salida

0.002 fluye un caudal de agua de 50L/s, determine la fuerza necesaria para

mantenerlo fijo.

93

BIBLIOGRAFIA

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COHEN, E. and TAYLOR, B.-The Fundamental Physical Constants, Physics Today-1994

BIRD R. STEWART, W., AND LIGHTFOOT, E.-Transport Phenomena, John Wiley and Sons,

New York, 1968.

94

Capitulo 4

Análisis dimensional y similitud.

El análisis dimensional es una de las herramientas más útiles, cuando se quiere

simplificar el estudio de un fenómeno o sistema físico, que requiere un gran número

de variables independientes para su estudio. En la practica el diseño o estudio de un

sinfín de sistemas hidráulicos son proyectados y construidos, basándose en el

análisis dimensional y semejanza dinámica, por lo que todo ingeniero debe de

conocer y dominar este campo del conocimiento.

El análisis dimensional es la base de la construcción de prototipos en los diversos

campos de la ingeniería, ya que a partir del comportamiento de los prototipos se

adquiere información del comportamiento del sistema a diseñar y a construir,

también se puede obtener información sobre la razón por la cual algún sistema

hidráulico falla o es de escasa eficiencia.

Mediante el análisis dimensional se deducen las expresiones matemáticas que

describen un fenómeno o sistema físico, una de las directrices primarias en el

estudio de las ecuaciones matemáticas que rigen en el campo de la mecánica de

fluidos, es que se cumpla la igualdad dimensional.

En síntesis puede decirse que mediante el análisis dimensional

a) Se expresan variables derivadas en función de las fundamentales.

b) Puede haciendo uso del principio de homogeneidad dimensional descartar o aceptar

expresiones matemáticas.

c) Pueden obtenerse ecuaciones matemáticas que caractericen a un fenómeno o

sistema físico de forma experimental o empírica.

Desde el punto de vista económico el trabajo en el laboratorio es frecuentemente

muy caro y generalmente requiere de mucho tiempo, en este sentido una directriz,

es la de obtener la mayor información con el menor costo experimental, por lo que

el análisis dimensional constituye una herramienta que facilita y economiza la

experimentación. En el estudio de fenómenos dentro de la mecánica de fluidos

intervienen muchas variables por lo que se utilizan la menor cantidad de

parámetros.

95

Una forma de disminuir el número de variables, es agrupar variables importantes en

parámetros sin dimensiones.

A lo largo de la historia de la mecánica de fluidos, se han encontrado un gran

número de parámetros a dimensionales, entre los más importantes se encuentran

los que a continuación se describen.

4.1 Número o parámetro de Euler

El número de Euler o parámetro de Euler, expresa la relación de la perdida de

presión entre la energía cinética y la densidad se define como

Eu = P/0.5ρV2 (4.1)

Analizando las dimensiones de Eu

ΔP = (FL-2)

ρ = (ML-3)

V2 = (L2t-2)

P/0.5ρV2 = ( FL-2/ ML-3 L2t-2 ) = (F/MLt-2) = (F/F)

Por lo que el parámetro de Euler no tiene dimensiones.

El número de Euler se utiliza generalmente en el flujo de fluidos, cuando la variación

de la presión es significativa, generalmente utilizado en experimentos

aerodinámicos.

4.2 Número o parámetro de Reynolds

El numero de Reynolds o parámetro de Reynolds, se define como la relación de

fuerza de inercia entre la fuerza debida a la viscosidad

Re =ρLV/μ (4.2)

96

Analizando las dimensiones de Re

ρLV = (ML-3L Lt-1)

μ = (FL-2t)

ρLV/μ = (ML-3L Lt-1/ FL-2t ) = (MLt-2/F) = (F/F)

Con lo cual se demuestra que el parámetro de Reynolds no tiene dimensiones

El parámetro o número de Reynolds se utiliza para estudiar fluidos viscosos, flujos

en la capa limite y flujos internos, generalmente se utiliza para determinar cuando

un fluido se encuentra en régimen laminar o turbulento.

4.3 Número o parámetro de Froude

El número de Froude o parámetro de Froude, se define como la relación de la fuerza

de inercia entre la fuerza de gravedad

Fr = V/ (4.3)

Analizando las dimensiones de Fr

V = (Lt-1)

= (LLt-2)1/2 = (Lt-1 )

V/ = (Lt-1)/ (Lt-1)

El parámetro o número de Froude no tiene dimensiones, se utiliza generalmente

para estudiar fluidos con la superficie libre a la atmósfera, influenciados por el

campo gravitacional.

4.4 Número o parámetro de Mach

El número de Mach se define como la relación de la fuerza de inercia entre la fuerza

de compresibilidad

97

M = V/c (4.4)

Es inmediato que el número de mach es un parámetro sin dimensiones, en la

expresión del parámetro de Mach, V es la velocidad del flujo y C es la velocidad del

sonido en el fluido, experimentalmente se ha demostrado que el número de Mach

es fundamental para estudiar la compresibilidad de un fluido, si el numero de mach

se escribe como

M = (ρV2/ρC2)1/2

Se interpreta como la relación de la fuerza de inercia entre la fuerza de

compresibilidad.

4.5 Número o parámetro de Weber

El parámetro de Weber se define como la relación de la fuerza inercial entre la

fuerza de tensión superficial

We = ρV2L/ (4.5)

Analizando las dimensiones de We

ρV2L/ = (ML-3 L2t-2L)/ (F/L)

= (MLt-2)/(F) = (F/F)

El parámetro de Mach es importante en el estudio de las interfaces, gas-liquido,

liquido-liquido, o cuando el fluido esta contacto con las fronteras del sistema.

4.6 Análisis dimensional

El análisis dimensional es una técnica que sirve para estudiar la forma como las dimensiones derivadas están relacionadas con las fundamentales. Mediante esta técnica se puede:

1) Obtener expresiones matemáticas de principios o leyes que relacionan a las

dimensiones derivadas en función de las fundamentales.

98

2) Comprobar si las formulas que rigen un fenómeno físico están sustentadas de

forma lógica.

3) sustentar nuevas expresiones matemáticas obtenidas de la investigación

experimental.

En el capitulo uno se menciono que en el sistema internacional M, L, t son parte de las dimensiones fundamentales dentro de las ciencias físicas, y que otras como la velocidad, la fuerza, el trabajo, la potencia son variables derivadas de las fundamentales, así por ejemplo la fuerza F

F = (MLt-2)

Es una dimensión derivada de M,L,t, en general en un curso introductorio de la ingeniería de la mecánica de fluidos en el sistema internacional de medidas, casi todas las cantidades son combinación de las dimensiones de masa, longitud, tiempo, y las tres están relacionadas en la dimensión de fuerza.

4.7 Teorema de Buckingham

El teorema de , es una técnica que permite que la observación de un fenómeno físico pueda simplificarse al reducir el número de variables que lo describen, mediante su uso se llega por análisis dimensional a un número de parámetros adimensionales, que describen al fenómeno físico en estudio.

El teorema de de Vaschy Buckingham, es conocido como el teorema fundamental del análisis dimensional, establece que toda propiedad física expresada por una ecuación que relaciona n magnitudes o variables físicas, que se expresan en términos de k cantidades físicas dimensionalmente independientes, puede escribirse la ecuación original en forma equivalente a una ecuación con n-k parámetros adimensionales, construida con las variables originales.

Si se tiene una ecuación física F que relaciona n variables

F(X1,X2,………Xn) = 0

En donde las Xi son las variables que se expresan en términos de k unidades físicas independientes, entonces existe una función G tal que

G( 1, 2,………… n-k) = 0

99

En donde i son los parámetros adimensionales construidos de n-k, ecuaciones de la forma

i= X1m1X2

m2∙∙∙∙∙Xnmn

El análisis dimensional de un problema consiste de tres etapas

a) Generar los parámetros necesarios b) Mediante el teorema de , se obtienen los parámetros adicionales. c) Mediante la experimentación se determine la relación funcional entre los

parámetros

4.8 Similitud

Los fenómenos que ocurren en el campo de los fluidos son generalmente tan complejos, que frecuentemente es difícil estudiarlos con métodos matemáticos únicamente, esta dificultad hace recurrir al ingeniero al empleo de técnicas experimentales, con la finalidad de obtener soluciones prácticas, las aplicaciones más comunes se presentan en el diseño de bombas, turbinas, ventiladores, estructuras sujetas a la acción de un fluido, en el estudio de la acción de las mareas, acción del oleaje sobre embarcaciones, conducción de fluidos, vertederos etc. La aplicación de métodos matemáticos o experimentales tiene sus limitaciones ya que lo óptimo de los resultados depende de la complejidad del fenómeno.

Modelos matemáticos

Un modelo matemático es un conjunto de hipótesis y variables, que describen un fenómeno, sintetizadas generalmente en una ecuación diferencial parcial, la cual debe de resolverse por medio de métodos matemáticos.

Modelos análogos

Dos fenómenos físicos de diferente naturaleza se les llaman analógicos, cuando la ecuación matemática que los rige es idéntica, generalmente uno de ellos es más familiar o más fácil de interpretar y se emplea para estudiar de forma análoga al otro.

100

Modelos reducidos

Los modelos físicos reducidos son modelos de prototipos a escala reducida los cuales deben de satisfacer, las similitudes, geométrica, cinemática y dinámica.

Similitud geométrica

Es cuando las relaciones entre las dimensiones homologas en modelo y prototipo son iguales, la similitud geométrica implica una relación constante para una longitud L, a esta relación se le llama escala de líneas de longitudes.

Lmodelo/Lprototipo = L

Amodelo/Aprototipo = L2 (4.6)

Similitud cinemática

Si la comparación entre prototipo y modelos es con respecto al movimiento, existiendo similitud de movimiento en los sistemas, se establece la similitud cinemática, es por esto que la relación de velocidad debe de ser constante, y es denominada escala de velocidades.

Vmodelo/Vprototipo =( Lmodelo/tmodelo)/(Lprototipo/tprototipo) = (Lmodelo/Lprototipo)( tmodelo/ tprototipo)

= L( tmodelo/ tprototipo)

Si T =( tmodelo/ tprototipo)

Vmodelo/Vprototipo = L/T (4.7)

Para que exista similitud cinemática, tiene que existir similitud geométrica.

Similitud dinámica

Existe similitud dinámica, si las fuerzas que actúan en masas correspondientes en el modelo y el prototipo, conservan la misma relación en todos los campos de flujo.

Fmodelo/Fprototipo = mmam/mpap

101

Si M =mm/mp

Fmodelo/Fprototipo = M (Vm/tm)/Vp/tp)

Como

T =( tmodelo/ tprototipo)

Vmodelo/Vprototipo = L/T

Fmodelo/Fprototipo =ML/T2 (4.8)

Ejemplo 4.1

En el estudio de movimiento de una esfera en movimiento uniforme, la fuerza de resistencia F, depende del diámetro de la esfera D, su rugosidad superficial Ɛ, su velocidad V, la densidad del fluido ρ y la viscosidad μ del fluido. Determine los parámetros adimensionales que caracterizan al movimiento de la esfera.

Del enunciado del ejemplo, las variables que intervienen son

Fuerza de resistencia = MLT-2

Diámetro de la esfera = L

Rugosidad superficial de la esfera = L

Velocidad de la esfera = LT-1

Densidad del fluido = ML-3

Viscosidad del fluido = ML-1T-1

102

Del teorema de

N =6 (número de variables)

K = 3 (número de dimensiones)

Por lo que existirán N-K = 3 parámetros adimensionales π

1 = Ɛρx1Vx2Dx3

2 = F ρx4Vx5Dx6

3 = μρx7Vx8Dx9

1 = MoLoTo = Ɛ(ML-3)x1(LT-1)x2(L)x3 = (L) (ML-3)x1(LT-1)x2(L)x3

0 = X1

0 = -3X2 + X2 + X3 + 1

0 =- X2

0 = X3 + 1 , X3 = -1

1 = ƐD-1 1 = Ɛ/D

2 = MoLoTo = F(ML-3)x4 (LT-1)X5(L)x6 = MLT-2(ML-3)x4 (LT-1)X5(L)x6

0 = 1 + X4

0 = 1-3X4 + X5 + X6

0 = -2 –X5

X4 = -1 X5 = - 2 X6 = -2

103

De donde

2 = F/ρV2D2

3= μ(ML-3)x7(LT-1)x8(L)x9=(ML-1T-1) ( ML-3)x7(LT-1)x8(L)x9

0 = 1 + X7

0 = -1-3X7 + X8 + X9

0 = -1 –X8

X7 = -1 X8 = -1 X-9 = -1

3 = μ ρ-1V-1D-1

De donde

3 = μ/ρVD

Ejemplo 4.2

Determine un parámetro adimensional que relacione el diámetro D, la velocidad V, la viscosidad μ y la densidad ρ.

Solución

Por el enunciado del ejemplo las variables y sus dimensiones son las siguientes

= L

= LT-1

= ML-1T-1

= ML-3

104

Para encontrar al parámetro adimensional

= MoLoTo = x1 x2 x3 x4

= Lx1(LT-1)x2(ML-1T-1)x3(ML-3)x4

De donde

0 = X3 + X4 (A)

0 = X1 + X2 – X3 – 3X4 (B)

0 = -X2 – X3 (C)

De (A) De (C)

X4 = - X3 X2 = -X3

De (B)

0 = X1 – X3 - X3 + 3X3

X1 = -X3

De donde

= D-x3 V-x3 x3ρ-x3

= x3

Donde X3 puede tomar cualquier valor diferente de cero, si X3 = 1

= = 1/Re

105

Objetivos del capítulo 4

Después de que el estudiante haya terminado de estudiar el capitulo cuatro, habrá

desarrollado las siguientes habilidades.

a) Sabrá de la utilidad del análisis dimensional.

b) Podrá definir el concepto de parámetro a dimensional.

c) Definirá los parámetro a dimensionales

Euler

Reynolds

Froude

Mach

Weber

d) Aplicará el teorema de de Buckingham

e) Será capaz de aplicar las propiedades de similitud

Geométrica

Cinemática

Dinámica

f) Podrá obtener parámetros a dimensionales que caractericen a un problema.

g) Resolverá los problemas propuestos de este capítulo.

106

Problemas

1. Determine la potencia que le comunica el agua a una turbina en función del peso

específico, el caudal y la altura de energía.

2. Determine la ecuación que rige el movimiento de un cuerpo que se desplaza en el

aire, en función de la densidad, viscosidad y el tamaño del cuerpo.

3. Determine la relación de caudales entre modelo y prototipo, cuando solo influye la

gravedad y la velocidad.

4. A través de una tubería de diámetro D, fluye un liquido a una temperatura t,

viscosidad y a una velocidad V, determine la velocidad V1 que debe de fluir otro

liquido en una tubería de diámetro D1, viscosidad 1 para que los flujos sean

dinámicamente semejantes.

5. Elija un conjunto apropiado de variables que describan el movimiento de un cuerpo

en el agua, y determine el número de parámetros adimencionales que caracterizan

el movimiento.

6. Un esfera de diámetro D, densidad ρ cae dentro de un aceite de densidad ρa y

viscosidad μ si la aceleración de gravedad es g, determine el numero de parámetros

que caracterizan el movimiento de la esfera, y la forma de la ecuación que describe

el movimiento.

7. Obtenga la ecuación de la velocidad de salida de un liquido que sale en el fondo de

un recipiente, en función de la altura del liquido H, la viscosidad del liquido, la

densidad, y el diámetro del orificio.

8. Encuentre la ecuación que determine el momento de torsión, requerido para hacer

girar un disco de radio R, a una velocidad angular ω, dentro de un liquido de

viscosidad μ.

9. Determine el número de variables que describen el movimiento de un cuerpo en un

plano inclinado, y determine el número de parámetros a dimensionales que

caracterizan el movimiento.

10. Determine la fuerza por unidad de área que se ejercerá sobre una presa de

contención si un modelo a escala 1:40 experimenta una fuerza de 49 N.

107

BIBLIOGRAFIA

FRANK-WHITE –mecánica de fluidos-editorial mcgraw-hill-2004

CENGEL YUNUS A- mecánica de fluidos fundamentos y aplicaciones-editorial mc graw-hill-

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POTTER-WIGGERT-mecánica de fluidos-tercera edición-editorial Thomson 2003

ROBERT-MOTT –mecánica de fluidos-sexta edición –editorial Pearson 2006

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EDUARDO W.V. CHAVES-mecánica del medio continuo-segunda edición-editorial cimne-

2007

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COHEN, E. and TAYLOR, B.-The Fundamental Physical Constants, Physics Today-1994

BIRD R. STEWART, W., AND LIGHTFOOT, E.-Transport Phenomena, John Wiley and Sons,

New York, 1968.

108

Capitulo 5

Flujo a régimen permanente en conductos abiertos y

cerrados.

El flujo de un fluido real puede dividirse de acuerdo al medio de transporte como flujos

internos y flujos externos, siendo los flujos internos aquellos que están limitados por una

frontera solida, como es el caso de los flujos a través de tuberías, los flujos externos son

aquellos que se mueven alrededor de los cuerpos sumergidos en el fluido, de tal forma

que la superficie frontera del fluido se encuentra lo suficientemente alejada del cuerpo.

Otra forma de definir el flujo de un fluido es como laminar y turbulento dependiendo del

valor que tome el parámetro a dimensional conocido como numero de Reynolds, la

directriz de este capítulo es la de estudiar el flujo de fluidos a régimen permanente en

conductos abiertos y cerrados en los cuales existen fuerzas debidas a la viscosidad, por lo

que existirán esfuerzos cortantes y gradientes de velocidad.

5.1 flujos internos

Al considerar que los flujos internos están limitados por las superficies solidas de los

conductos, la velocidad del fluido en contacto con las paredes internas debe de ser cero a

lo largo de toda la tubería, debido a que las paredes internas de las tuberías no se deslizan

con el fluido, la superficie de contacto ejercerá una fuerza de resistencia al flujo, la

velocidad del fluido en el eje de simetría del tubo aumentara del tal forma que cumpla con

la ecuación de continuidad, recordando que en la mecánica de fluidos del medio continuo

se trabaja con valores medios

Vmedia = 1/A

(5.1)

La capa limite se define como el espesor donde ocurre el gradiente de velocidad, por lo

que la velocidad varia de un valor cero al valor de corriente no perturbada ver figura (5.1),

cuando el fluido entra al tubo el flujo es errático, hasta que la capa limite alcanza el eje de

la tubería, a la distancia L se le conoce como longitud de entrada, la forma del perfil de

velocidades será función del tipo de flujo (laminar o turbulento) el cual no cambiara en un

régimen permanente.

109

Figura (5.1)

Experimentalmente se ha encontrado que en flujo a régimen laminar L , (D

diámetro de la tubería), y para un flujo turbulento L varía entre 25 a 40 veces el diámetro

de la tubería.

5.2 régimen laminar y régimen turbulento

Cuando entre partículas de fluido en movimiento existe una diferencia de velocidades, se

desarrollan fuerzas internas de fricción que actúan tangencialmente entre ellas, estas

fuerzas de fricción provocan un momento angular que inducirá un movimiento de

rotación, al mismo tiempo la viscosidad del fluido tratara de impedir la rotación.

Osborne Reynolds (1842-1912), estudio el movimiento interno del flujo inyectando una

tinta colorante como trazador, a un líquido que fluía en una tubería, experimentalmente

observo que la tinta se movió linealmente en la dirección axial para bajas velocidades, y

que al aumentar la velocidad, las líneas de flujo del fluido se volvían inestables teniendo

un movimiento completamente aleatorio ver figuras (5.2) y (5.3).

Figura (5.2), flujo laminar.

110

Figura (5.3), flujo turbulento.

Este comportamiento es debido a las pequeñas fluctuaciones de velocidad, en base a sus

experimentos Reynolds concluyo, que el cambio de régimen era función de la densidad,

del diámetro de la tubería, de la velocidad media del flujo y de la viscosidad del fluido, en

forma matemática el numero de Reynolds fue mencionado en el capitulo anterior y se

definió como la fuerza de inercia entre la fuerza de viscosidad

Re

El numero de Reynolds permite definir el tipo de régimen laminar y turbulento, para

algunos autores si

Re 2 000 el flujo es laminar

El flujo se mantiene estacionario y se desplaza en forma de tubos concéntricos en una

tubería circular, o en forma de capas paralelas.

Para números de Reynolds

2 000 Re fase de transición

El colorante trazador presenta pequeños remolinos, y se pierde estabilidad

Si

Re el flujo es turbulento

111

El estudio de flujo turbulento en tuberías circulares es de gran importancia en el campo de

la ingeniería, ya que en la practica la mayoría de flujos en sistemas de tuberías son

turbulentos. Muchos de los flujos turbulentos son estacionarios, sin embargo la presencia

de fluctuaciones de velocidad variable, provoca que el estudio de flujo turbulento sea

extremadamente complicado. En un flujo laminar unidimensional, el esfuerzo cortante se

relaciona con el gradiente de velocidad por la ley de Newton para un fluido viscoso

5.3 Perfil de velocidades

El perfil de velocidades en una tubería, depende de la rugosidad interna de la tubería,

en la práctica todas las tuberías presentan rugosidades internas, cuando la capa viscosa

del fluido en las paredes internas de la tubería es muy delgada, la rugosidad sobresale y la

tubería es considerada rugosa, en teoría se supone que tuberías de plástico y de vidrio son

consideradas lisas ( = 0).

5.4 Capa límite

En el estudio de flujo de un fluido ideal (μ = 0) no existe fricción, sin embargo en el análisis

del flujo alrededor de cuerpos sumergidos en un fluido, se producen dos resultados, uno

de ellos es la resistencia al avance de cuerpo, el otro de ellos es que el fluido no se desliza

uniformemente sobre el cuerpo, en 1904 Prandtl introdujo por primera vez el concepto de

capa límite para explicar estos resultados, la base del concepto es que la fricción esta

confinada a la capa limite y a la estela detrás del cuerpo en el cual el flujo es rotacional,

pero fuera de estas zonas la viscosidad no tiene influencia, el concepto de la capa limite ha

proporcionado una herramienta muy útil para el análisis de resistencia en los fluidos y ha

contribuido al progreso de la mecánica de fluidos moderna. El mecanismo de la capa

limite se puede describir de la forma siguiente, al fluir un fluido a lo largo de un cuerpo

una cantidad de partículas de fluido permanecen en reposo en la superficie del cuerpo,

desarrollándose un gradiente de velocidad, este fuerte gradiente de velocidad provoca un

gran esfuerzo cortante, que hace disminuir la velocidad de capas de fluido sucesivos, ver

figura (5.4).

112

Figura (5.4)

El espesor de la capa limite se define como la distancia perpendicular a la superficie del

cuerpo, al punto donde el perfil de velocidades alcanza el 99% de la velocidad no

perturbada.

5.4.b Separación de la capa limite

La separación de la capa limite figura (5.5), se produce en un flujo en retroceso, la causa

es un gradiente de separación adverso y a la baja velocidad que tiene el fluido en la región

cercana a la pared, la separación de la capa límite de la superficie del cuerpo produce una

zona de recirculación de flujo , la cual genera una disipación de la cantidad de

movimiento, esto provoca una pérdida de energía hidráulica, que impide la recuperación

de la presión, al existir un gradiente de presión entre las zonas anterior y posterior del

cuerpo se producen fuerzas de arrastre, el punto de separación influye en la zona de

disipación y en las fuerzas de arrastre, el proceso de la separación de la capa limite

depende de si el flujo es la minar o turbulento.

Figura (5.5)

113

Un registro cinematográfico de la zona de separación muestra que se forma remolinos

inestables, los cuales son barridos volviéndose a formar absorbiendo en este proceso

energía del flujo para disiparla en forma de calor, al descomponerse en una zona corriente

abajo del punto de separación.

5.5 Flujo laminar en un tubo

El estudio del flujo en un tubo circular, es de una gran importancia en el campo de la

ingeniería, puesto que la mayoría de flujos en aplicaciones practica son en tuberías

circulares, en la figura (5.6) se muestra un tubo de flujo dentro de una tubería de radio R,

en régimen permanente e incompresible, donde el perfil de velocidades no cambia en la

dirección de x, por lo que la cantidad de movimiento a la entrada y a la salida son iguales y

Figura (5.6a) Figura (5.6b)

Por la segunda ley de Newton aplicada en la dirección horizontal

x = 0

P1 2 – P2 r2 + 2 rL = 0 (5.2)

Donde

(5.3)

114

Sustituyendo (5.3) en (5.2)

P1 2 – P2 r2 +

2 = 0 (5.4)

Por lo que

P r2 = - 2 rL

(5.5)

De donde

Pr = -2L du/dr (5.6)

du = - P

(5.7)

Integrando (5.7)

(5.8)

u = -( 2 + C (5.9)

Para determinar la constante de integración C de la ecuación (5.9), se considera que

cuando r = R (radio de la tubería), el fluido no tiene velocidad, ya que la tubería es fija, por

lo que

Si

r = R u = 0

0= -( 2 + C (5.10)

Obteniendo el valor de C

C = ( 2 (5.11)

Sustituyendo (5.11) en (5.9)

U(r) = ( (R2 – r2) (5.12)

115

la ecuación (5.12) se le conoce como la ecuación de Poiseuille, la cual representa

matemáticamente la distribución de velocidades parabólico, llamado también flujo de

poiseuille.

Considerando que la velocidad media se define por la ecuación (5.1)

V = Q/A =1/A

De la ecuación de Poiseuille (5.12), para un tubo de flujo de radio r, ver figura (5.6b)

V = (1/ R2)

(R2- r2)2

V = ( /2μLR2)( R2r2/2 – r4/4)oR

V = ( /2μlR2) (R4/2 – R4/4)

Por lo que la velocidad media es

Vmedia = PR2/8μL (5.13)

la tubería r = 0

V máxima = = PR2/4μL (5.14)

De las ecuaciones (5.13) y (5.14)

Vmedia = ½ V máxima (5.15)

De la ecuación (5.13) puede calcularse la caída de presión en una longitud L de la tubería

2) (5.16)

De la definición de esfuerzo cortante, y la ecuación (5.12)

( (R2 – r2)

116

Si 0, para r = R, se obtiene la expresión matemática de caída de presión en términos

de 0

0

De la ecuación (5.16) multiplicando y dividiendo por la expresión 2ρVg y considerando

que R = D/2, se obtiene

2)( 2ρVg/2 ρVg)

Como ϒ = ρg

= 2) (2V/2 ρVg)

=

v2/2g (5.17)

Como el número de Reynolds está definido como Re = ρDV/ , la ecuación (5.17) puede

escribirse como

= hr = ( 64/Re)

v2/2g (5.18)

Donde hr es la perdida de altura de energía hidrostática, la ecuación (5.18) es únicamente

válida para un régimen laminar (Re 2 000), en el caso de que el régimen sea turbulento

la ecuación (5.18) se escribe de la forma

hr = f

V2/2g (5.19)

A la ecuación (5.19) se le conoce como la ecuación universal de pérdidas primarias, o la

ecuación de Darcy – Weisbach, el parámetro adimensional f es el factor de fricción. Se

analizara más adelante en este capítulo que f es función de la rugosidad relativa /D

( e.

117

Ejemplo 5.1

Por una tubería de diámetro D = 2.0 cm fluye agua a una temperatura de 20oC, y a una

velocidad de V = 0.1m/s, determine la perdida de altura de energía por cada 1000 m de

longitud de la tubería.

Solución

Primeramente se calcula el número de Reynolds, para conocer el tipo de régimen del flujo

Re = ρVD/μ = VD/ν (ν = μ/ρ, viscosidad cinemática)

De las tablas de propiedades del agua para 20oC ν = 1.007 x 10-6m2/s

Re = (0.1)(0.020)/(1.007x10-6)

= 1986

Como el numero de Reynolds es menor que 2 000 el flujo es de régimen laminar

La altura de velocidad V2/2g = 0.5x10-3m

L/D = 1000/0.02 = 50 000

De la ecuación (5.18)

hr = ( 64/Re)

v2/2g

= (64/1986)(50 000)(0.5x10-3) m

= 0.80m

Ejemplo 5.2

Se necesita transporta un fluido en régimen laminar por una tubería circular, a una

velocidad de 2m/s, si la viscosidad cinemática del fluido es de 2.3 X10-5 m2/s, determine el

diámetro de la tubería.

118

Solución

Como el régimen es laminar

Re

De la definición de Re

Re

D 2000(2.3 X10-5)/2 m

D 0.023 m

5.6 Flujo de Couette o de Poiseuille

El flujo Couette o de Poiseuille es un flujo en régimen laminar, que tiene lugar entre placas

paralelas, la figura (5.7) muestra una lámina de fluido de profundidad unitaria bajo la

acción de las fuerzas de presión y el esfuerzo cortante, la placa inferior se mantiene fija y

la superior se mueve con una velocidad constante U.

Figura (5.7) flujo laminar entre placas paralelas

Aplicando la segunda ley de Newton a la lamina de fluido

Pdy –(p + dp)dy – + ( + d

Pdy –pdy - dpdy – + + d

119

-dpdy + d = 0

(5.20)

Como

(5.21)

Sustituyendo en (5.21) en (5.20)

d2u/dy2 (5.22)

d2u/dy2=

(5.23)

Como u solo es función de Y, y la presión P función de X puede obtenerse mediante una

primera integral

y + C1 donde C1 es una constante de integración

Integrando nuevamente con respecto a y

=

u =

y2 + C1y + C2 (5.24)

Para determinar los valores de las constantes de integración, se observa que cuando y = 0

u = 0 por lo que C2 = 0

Si y = a, u = U

U =

a2 + C1a (5.25)

Despejando C1 de la ecuación (5.25)

C1 =

(5.26)

Sustituyendo los valores de las constante C1 y C2 en la ecuación (5.24)

u =

y2 +

120

Factorizando

u =

y2 –ay) +

(5.28)

de la ecuación (5.28), si U = 0 se le llama flujo de Poiseuille, en caso de que la velocidad U

sea diferente de cero se le llama flujo de Couette.

5.7 análisis dimensional de un flujo viscoso

Una forma de estudiar los efectos de la viscosidad en el flujo de un fluido viscoso en una

tubería circular, es mediante un análisis dimensional, esta técnica permite que el flujo sea

analizado de una forma generalizada, relacionando las variables que determinan el factor

de fricción , en el capitulo cuatro se menciono la forma de determinar los parámetros

adimensionales que sirven para analizar un proceso, los cuales son de gran utilidad en la

parte experimental.

Figura (5.8)

La figura (5.8) muestra una tubería de un diámetro D, que tiene una rugosidad en las

paredes internas de la tubería, la cual transporta un fluido de viscosidad μ, densidad ρ a

una velocidad promedio V, en el ejemplo 4.2 se determino mediante la técnica de análisis

dimensional la forma de como el flujo dependía del numero de Reynolds, en el

mencionado ejemplo no se considero la rugosidad interna de la tubería, para introducir

un parámetro adimensional que considere la rugosidad, se define el parámetro

adimensional de la rugosidad relativa

por lo que el factor de fricción ocasionada por la

viscosidad considerando el resultado del ejemplo (4.2), será matemáticamente de la

forma

(5.29)

121

De la ecuación (5.29) se puede observar que el factor de fricción , será función del

número de Reynolds y de la rugosidad relativa, que en el caso de que el flujo sea a

régimen laminar e, es importante señalar que los factores de fricción son los

mismos para diferentes tuberías, si estas son geométrica y dinámicamente similares.

5.8 Perdidas de energía en conductos abiertos (canales)

En un flujo permanente en un conducto abierto de sección transversal constante, el

esfuerzo cortante varia en la superficie interna del conducto, y se considera el esfuerzo

cortante promedio promedio el cual cumple con la ecuación

promedio = K

V2 (5.30)

En donde K es un coeficiente adimensional, la figura (5.9) muestra un conducto abierto de

sección transversal constante por donde fluye un líquido del punto① al punto ②

Figura (5.9)

El análisis del flujo del fluido se puede llevar a cabo por medio de la ecuación (3.25),

(ecuación de Bernoulli con pérdidas)

P1/ϒ + Y1+ V12/2g = P2/ϒ+ Y2 + V2

2/2g + Hr1-2

Como el área transversal del conducto es constante, por la ecuación de continuidad la

velocidad V1 es igual a la velocidad V2, y como el conducto es abierto a la atmósfera las

presiones manométricas P1 = P2 = 0, por lo que la ecuación de Bernoulli se reduce a

Hr1-2 = Y1- Y2 (5.31)

122

Por la ecuación de Darcy – Weisbach

Hr1-2 = f

V2/2g

Se obtiene

Y1- Y2 = Hr1-2 = f

V2/2g (5.32)

La ecuación (5.20), demuestra que en un flujo por gravedad, las perdidas hidráulicas son

iguales a las diferencias de cotas, como la ecuación de Darcy – Weisbach, fue deducida

para tuberías circulares, y se está analizando el flujo en un conducto abierto de cualquier

área transversal, se define un nuevo concepto que es el llamado radio hidráulico h

h=

(5.33)

Para una tubería circular

h = ( 2

h =

o D = 4 h (5.34)

La ecuación (5.20) puede escribirse como

Hr1-2 = f h) V2/2g (5.35)

Definiendo a S como la pendiente de perdidas o perdidas por unidad de longitud

S = Hr1-2 /L (5.36)

Se obtiene

S = (f/8g)(V2/Rh) , si se define a C =(f/8g), S = C V2/Rh, obteniendo para la velocidad

V = C1(S Rh)1/2 (5.37)

123

A la ecuación (5.37) se le conoce como la ecuación de Chezy, en donde el valor de C1 se

obtiene experimentalmente. Otra fórmula para el análisis de flujo en sistemas de

conducción abierto es la ecuación (5.38) llamada ecuación de Manning.

V =

Rh 2/3S1/2 (5.38)

En donde C = 1.49 para el sistema inglés, y C = 1 para el sistema internacional, el valor de n

se encuentra experimentalmente, en las tablas (5.1) y (5.2) se dan los valores para n de los

materiales más comunes.

La ecuación de Manning es el resultado de una serie de ajustes de curvas obtenidas

experimentalmente, debido a su gran simplicidad cumple en gran medida con las

aplicaciones prácticas, el valor de n es muy variable y es función de diferentes variables,

como son la rugosidad de material de construcción del canal, la variación de la sección

transversal del canal, de la sedimentación, de la erosión, de la obstrucción, entre otros

factores, para determinar el valor del coeficiente de n, el ingeniero debe de hacer uso de

sus conocimientos teóricos y prácticos, en los manuales de hidráulica así como en libros

de texto se encuentran un gran número de tablas, donde se muestra en base a datos

experimentales el coeficiente n de Manning, como en las tablas (5.1) obtenida de

, y la tabla (5.2) además existen una

serie de formulas basadas en la experimentación para la obtención de n, en general todas

ellas expresadas de la forma n =mD1/6, donde m es el factor de escala y D es el diámetro

característico del material del lecho como por ejemplo D50, D75, entre otros que son los

diámetros correspondientes al 50 y 75 % de la curva granumetrica, existen fórmulas

empiricas para la determinación de n como son las siguientes

Lane-Carson, recomendada para lechos con piedras grandes n = D751/6, diámetro medido

en pulgadas.

La ecuación de Bray n =D500.16, con el diámetro medido en metros.

124

Coeficiente de Manning

Cunetas y canales sin revestir

En tierra ordinaria, superficie uniforme y lisa 0,020-0,025

En tierra ordinaria, superficie irregular 0,025-0,035

En tierra con ligera vegetación 0,035-0,045

En tierra con vegetación espesa 0,040-0,050

En tierra excavada mecánicamente 0,028-0,033

En roca, superficie uniforme y lisa 0,030-0,035

En roca, superficie con aristas e irregularidades 0,035-0,045

Cunetas y Canales revestidos

Hormigón 0,013-0,017

Hormigón revestido con gunita 0,016-0,022

Encachado 0,020-0,030

Paredes de hormigón, fondo de grava 0,017-0,020

Paredes encachadas, fondo de grava 0,023-0,033

Revestimiento bituminoso 0,013-0,016

Corrientes Naturales

Limpias, orillas rectas, fondo uniforme, altura de lamina de agua suficiente

0,027-0,033

Limpias, orillas rectas, fondo uniforme, altura de lamina de agua suficiente, algo de vegetación

0,033-0,040

Limpias, meandros, embalses y remolinos de poca importancia

0,035-0,050

Lentas, con embalses profundos y canales ramificados

0,060-0,080

Lentas, con embalses profundos y canales ramificados vegetación densa

0,100-0,2001

Rugosas, corrientes en terreno rocoso de montaña 0,050-0,080

Tabla (5.1)

125

Material coeficiente de Manning - n

Asbesto Cemento 0.011

Asfalto 0.016

Latón 0.011

Ladrillo 0.015

Hierro Fundido, nuevo 0.012

Concreto - Encofrado de Acero 0.011

Concreto - Encofrado de Madera 0.015

Concreto- Hecho Centrifugado 0.013

Cobre 0.011

Metal Acanalado 0.022

Hierro Galvanizado (HG) 0.016

Plomo 0.011

Polietileno, con paredes internas lisas 0.009 - 0.015

Polietileno, con paredes internas

acanaladas 0.018 - 0.025

PVC, con paredes internas lisas 0.009 - 0.011

Acero - esmalte de alquitrán de hulla 0.010

Acero – Nuevo 0.011

Acero – Rolado 0.019

Bastón de madera 0.012

Tabla (5.2)

126

Ejemplo 5.3

Determine el caudal que transporta un canal rectangular que tiene un ancho de fondo de 2 metros, y una profundidad de 1.5 metros, la pendiente del canal es de 0.0008, el canal tiene un revestimiento de ladrillo.

Solución

Figura (5.10)

Como el radio hidráulico Rh =

Rh =

S = 0.0008

Para la ecuación de Manning

V =

Rh 2/3S1/2

C =1

El valor de n se obtiene de la tabla (5.2)

n = 0.015

V =

2/30.00081/2 m/s

V = 1.34 m/s

127

A transversal = 3 m2

Por la ecuación de continuidad.

Q = AV

Q = 3/s

Q = 4.02 m3/s

Ejemplo 5.4

Por un canal de sección transversal trapezoidal se transporta un caudal de 10 m3/s, la velocidad máxima no debe de exceder 1 m/s para evitar la erosión, determinar el área transversal.

Solución

De la ecuación de continuidad Q = AV

Q = 10 m3/s

V = 1m/s

A =Q/V =10 m2

5.9 Perdidas primarías

El cálculo de las perdidas primarias en tuberías es uno de los objetivos básicos de la ingeniería de la mecánica de fluidos, en la actualidad existen un gran número de manuales de hidráulica, que contienen tablas, curvas, ábacos y monograma para su cálculo, esta serie de manuales deben de ser utilizados de acuerdo al fluido circulante, al tipo de flujo y al tipo de material de la tubería que transporta al fluido, ya que existen tablas que contienen datos únicamente para flujo laminar, o flujo turbulento dentro de ciertos intervalos del número de Reynolds, así como datos únicamente validos para tuberías de cierto tipo de material y diámetro, o para determinados fluidos por ejemplo agua, generalmente en las tablas no se menciona el concepto de viscosidad.

128

Ya en la sección (5.5) se introdujo la ecuación (5.19) de Darcy-Weisbach, como la ecuación fundamental de pérdidas primarias

Hrp = f

v2/2g (5.19)

Donde

Hrp son las pérdidas primarias

f es el coeficiente de perdidas primarias, función del número de Reynolds Re y de la

. rugosidad relativa

L es la longitud de la tubería

D el diámetro de la tubería

V la velocidad media del flujo

g la aceleración de la gravedad

Una variante de la ecuación de Darcy – Weisbach es escribirla en función del caudal como

Hrp = 0.0826 f L Q2/D5 (5.39)

De la ecuación (5.20), como f es una constante se puede concluir lo siguiente:

a) Las pérdidas de energía hidráulica son proporcionales a la longitud de la tubería.

b) La altura de energía hidráulica perdida aumenta exponencialmente con el caudal

transportado por la tubería.

c) Las pérdidas de energía hidráulica son inversamente proporcionales a D5.

La ecuación de Darcy –Weisbach, es universalmente aceptada, en todos los libros de

texto, así como también en los diversos manuales de hidráulica, en donde existen tablas,

monogramas, curvas, formulas empíricas y analíticas para la determinación del coeficiente

de pérdidas primarias para diferentes tipos y condiciones de flujo. De todos los diagramas

que existen en la literatura especializada en la determinación del coeficiente f, el

diagrama de Moody figura (5.11) es el de mayor difusión, ya que permite calcular f, para

cualquier diámetro de tubería y cualquier caudal, puede utilizarse en tuberías no

circulares sustituyendo el diámetro D de la ecuación de Darcy-Weisbach por el radio

hidráulico Rh, por lo que su uso tiene valides universal, el diagrama de Moody es la

129

representación grafica en papel de escala doblemente logarítmica del factor de fricción f,

en función del número de Reynolds y de la rugosidad relativa

( la rugosidad

absoluta interna de la tubería) ver tabla (5.3).

5.10 Ecuaciones empíricas en el diagrama de Moody.

Las ecuaciones empíricas representadas en el diagrama de Moody están en función del

número de Reynolds

Para Re 2000

Ecuación de Poiseuille, válida para tuberías lisas y rugosas

f = 64/Re (5.40)

Para 2000 e 100 000

Ecuación de Blasius, válida para tuberías lisas

f = 0.316/Re1/4 (5.41)

Para Re 100 000

Primera ecuación de Kármán –Prandtl, válida para tuberías lisas

= 2log10 (Re ) – 0.8 (5.42)

Turbulento zona de transición, ecuación de Colebrook- White, es la rugosidad absoluta

) (5.43)

Turbulento zona final, segunda ecuación de Kármán - Prandtl

(5.44)

130

Tabla (5.3)

RUGOSIDAD ABSOLUTA DE MATERIALES

Material (mm)

Plástico (PE, PVC) 0,0015

Poliéster reforzado con fibra de vidrio 0,01

Tubos estirados de acero 0,0024

Tubos de latón o cobre 0,0015

Fundición revestida de cemento 0,0024

Fundición con revestimiento bituminoso 0,0024

Fundición centrifugada 0,003

Fundición asfaltada 0,06-0,18

Fundición 0,12-0,60

Acero comercial y soldado 0,03-0,09

Hierro forjado 0,03-0,09

Hierro galvanizado 0,06-0,24

Madera 0,18-0,90

Hormigón 0,3-3,0

131

Figura (5.11) diagrama de Moody

132

5.11 Tipos de problemas de flujo interno

Los flujos turbulentos en tuberías de longitud L, en donde las únicas pérdidas son debidas

a la fricción se pueden agrupar en tres diferentes tipos, en donde las variables L, ν, Q, ,

Hrp, V, son las que se utilizan para analizar y dar solución a los problemas de flujo interno,

en este tipo de problemas las ecuaciones generalmente utilizadas son, la ecuación

generalizada de Bernoulli, la ecuación de continuidad y la ecuación de Darcy-Weisbach

junto con el diagrama de Moody.

Problema tipo I

Variables conocidas Q, L,D,ν, ; incognita Hrp

Ejemplo (5.5)

Determinar la potencia de una bomba, que debe instalarse en un sistema de bombeo, en

donde el caudal es de 10 l/s de agua a una temperatura de 20oC, la tubería es de acero

comercial ( = 0.03 mm), con un diámetro de 10cm, la longitud de la tubería 1500m, y la

diferencia de cotas de la superficie libre del agua del cárcamo de bombeo, a la superficie

libre del tanque de regulación 70m.

Solución

De la ecuación generalizada de Bernoulli

P1/ϒ + Y1+ V12/2g = P2/ϒ+ Y2 + V2

2/2g + Hr1-2 - Hb (5.45)

Como el fluido es liquido se trabaja con presiones relativas, por lo que P1 = P2 = 0, las

alturas de velocidad en los depósitos es despreciable por lo que la ecuación (5.45) se

reduce a

Hb = Y2 – Y1 + Hr1-2 (5.46)

Por la ecuación de Darcy - Weisbach (5.46) se puede escribir como

Hb = + f

V2/2g (5.47)

De los datos del ejemplo

70 m

L = 1 500 m

133

D = 0.10m

Q = 10 l/s

V = 4Q/( D2) = 1.27 m/s

Faltando por determinar f de la ecuación (5.47), se puede leer en las tablas de las

propiedades del agua que la viscosidad cinemática para 20oC es ν = 1.007 10-6 m2/s

Como f es función del número de Reynolds y la rugosidad relativa,se determina el valor de

Re = VD/ν

Re = (1.27)(0.10)/( 1.007 10-6)

Re = 1.26 105

Como Re 2000 el flujo es totalmente turbulento

Como la rugosidad relativa está definida como e/D

e/D ==.03/100 = .0003

Para los valores de número de Reynolds y rugosidad relativa calculados, se lee en el

diagrama de Moody

f =0.018

Sustituyendo los datos encontrados en la ecuación (5.47)

Hb = (70 + 0.018

1.272/2 ) m

= 92.19m

A la altura Hb se le conoce como altura dinámica de la bomba, para el cálculo de la

potencia de la bomba de la ecuación (3.27)

P = ϒQHb

P =9810(0.010)(92.19) W

P = 9.043 KW (en el sistema internacional)

P =1000(0.010)(92.19)/75 C.V

P = 12.292 C.V (sistema técnico)

134

Problema tipo II

Variables conocidas Hrp, L,ν,

Ejemplo (5.6)

Se instala una bomba que suministra una altura de energía hidráulica de 45 m, a una

tubería de hierro galvanizado de diámetro 12cm, , y longitud de 800 metros,

si el fluido que se transporta es un aceite de viscosidad cinemática ν =1.06 -5m2/s,

determine el caudal que se transporta, si la diferencia de cotas del depósito de

alimentación al depósito de almacenamiento es de 20m, considere que los depósitos no

están presurizados.

Por la ecuación generalizada de Bernoulli

P1/ϒ + Y1+ V12/2g = P2/ϒ+ Y2 + V2

2/2g + Hr1-2 - Hb

Si se consideran las velocidades de las superficies de los depósitos despreciables, y las

presiones en los depósitos iguales a cero, se obtiene

Hb = Y2-Y1 + Hr1-2 (5.48)

Hb = Y2-Y1 + f

V2/2g (5.49)

De los datos del enunciado del ejemplo

Y2-Y1 = 20m

L = 800m

D = 0.12m

Hb = 45 m

ν = 1.06 10-5 m2/s

Sustituyendo valores en la ecuación (5.49)

45m = 20m + f

V2/2g (5.50)

135

En este tipo de problemas no es posible determinar el valor de f de forma analítica dado

que no es posible conocer el valor de la velocidad V, para dar solución al problema se

recurre al diagrama de Moody, dando un valor para f = 0.04 (o cualquier otro valor de

preferencia un valor medio) , de la ecuación (5.50)

25m = 0.04

V2 (5.51)

De la ecuación (5.51) puede obtenerse fácilmente el valor de V.

V = 1.35 m/s

Teniendo el valor de la velocidad, el número de Reynolds se puede calcular, ya que se

conocen la viscosidad y el diámetro.

Re =

105

Re = 1.52 104

De los datos del ejemplo se calcula la rugosidad relativa

Conocidos los valores del numero de Reynolds y de la rugosidad relativa, del monograma

de Moody puede encontrase el valor de f requerido

f 0.026

Sustituyendo el valor de f encontrado en la ecuación (5.50), se obtiene

25m = 0.026

V2

De donde el valor de la velocidad es

V = 1.68 m/S

El caudal se obtiene de la ecuación de continuidad Q=AV

Q = D2/4)V =( 2/4)1.68 m3/s

Q = 0.019m3/s = 19L/s

136

Problema tipo III

Variables conocidas Hrp, Q, L, e, ν incógnita D

Ejemplo (5.7)

Se desea transportar un caudal de 20 L/S de agua a 20oC, mediante una tubería de acero

comercial (e= 0.03mm), instalando una bomba que genera una altura dinámica de 45 m, la

longitud de la tubería es de 1200 m, y la diferencia de cotas del cárcamo de bombeo al

tanque de regulación es de 30, determine el diámetro de la tubería.

Solución

De la ecuación generalizada de Bernoulli

P1/ϒ + Y1+ V12/2g = P2/ϒ+ Y2 + V2

2/2g + Hr1-2 - Hb

Las presione manométricas P1 y P2 son iguales a cero

Y2 Y1 = 30m

Las alturas de velocidades son despreciables. Por lo que

Hb = Y2 Y1 + Hr1-2 (5.52)

De los datos del ejemplo

Q= 20L/S

e = 0.03 mm

Hb = 45 m

L = 1200 m

ν = 1.007 10-6 m2/s

Sustituyendo datos en la ecuación (5.52) (Hr1-2 = f

V2/2g )

45m = 30m + f

V2 (5.53)

De la ecuación de continuidad

V =4Q/ 2

V2 = 16Q2/( 2D4) (5.54)

137

Sustituyendo (5.54) en (5.53) y simplificando se obtiene

D5 = 0.0026f (5.55)

En forma análoga al ejemplo (5.6) se propone un valor para f, sea f = 0.04

D5 = 0.0026 (0.04) m5

D =0.159 m

El valor de V, se calcula de la ecuación (5.54)

V2 = 16(0.02)2/(π20.1594)

V = 1.007 m/s

Como ya se conoce el valor de la velocidad V y del diámetro bajo la suposición de que

f=0.04, se pueden calcular los valores de Re, y de

Re = (1.007)(0.159)/(1.007 -6)

Re= 1.59 X 105

=

=0.0001

Del diagrama de Moody se obtiene el valor de f requerido

f 0.017

Sustituyendo el valor de f encontrado en la ecuación (5.55) se obtiene que

D5 = 0.0026(0.017) m5

D = 0.134m

5.12 Perdidas secundarias o menores

Las llamadas perdidas secundarias o menores en el flujo de fluido en tuberías son debidas

a cualquier accesorio como son codos, válvulas, bridas, etc; o a cualquier cambio de

dirección de la tubería, ensanchamientos o contracciones, en el caso de que la longitud

de la tubería sea muy corta, las perdidas secundarias frecuentemente son mayores que

las perdidas primarias, la ecuación general de las perdidas secundarias está dada en

función de la altura de velocidad como.

138

Hrs = KV2/2g (5.56)

Donde K es llamado coeficiente de pérdidas secundarias, tiene diferente valores

dependiendo del tamaño y estado del accesorio, en la tabla (5.4) son tabulados valores

para el coeficiente K, para la formula general de perdidas secundarias, los diferentes

coeficientes son obtenidos experimentalmente y pueden variar de un fabricante a otro.

Valores del coeficiente k para perdidas secundarias o menores, para algunos accesorios.

Accidente K

Válvula esférica (totalmente abierta) 10

Válvula en ángulo recto (totalmente abierta) 5

Válvula de seguridad (totalmente abierta) 2,5

Válvula de retención (totalmente abierta) 2

Válvula de compuerta (totalmente abierta) 0,2

Válvula de compuerta (abierta 3/4) 1,15

Válvula de compuerta (abierta 1/2) 5,6

Válvula de compuerta (abierta 1/4) 24

Válvula de mariposa (totalmente abierta) 30

T por salida lateral 1,80

Codo a 90º de radio corto (con bridas) 0,90

Codo a 90º de radio normal (con bridas) 0,75

Codo a 90º de radio grande (con bridas) 0,60

Codo a 45º de radio corto (con bridas) 0,45

Codo a 45º de radio normal (con bridas) 0,40

Codo a 45º de radio grande (con bridas) 0,35 -

Tabla (5.4)

139

Los manuales de hidráulica contienen una gran cantidad de tablas para la obtención del

coeficiente K de perdidas secundarias, por ejemplo para tuberías que conectan a un

deposito K =0.5 si la entrada es recta, K=0.01 si es redondeada, K = 0.8 si es entrante al

depósito, se recomienda al estudiante consultar los manuales de hidráulica para conocer

las diversas tablas que contienen los valores del coeficiente K.

Es importante señalar al estudiante que las pérdidas totales en un sistema hidráulico es

la suma de las perdidas primarias mas las pérdidas secundarias.

Ejemplo 5.8

Para el sistema hidráulico mostrado en la figura (5.12), determine el caudal bombeado del

depósito ① al depósito ②, si la longitud de la tubería es de L =2 000 m, con un diámetro

de D = 0.20 m, Y1 = 10m y Y2 = 30 m, la altura dinámica de la bomba es de 5m.

Figura (5.12)

De la ecuación generalizada de Bernoulli, se tiene

P1/ϒ + Y1+ V12/2g = P2/ϒ+ Y2 + V2

2/2g + Hr1-2 - Hb

Las alturas de presión son iguales a cero y las alturas de velocidad en los depósitos son

despreciables por lo que

Hb = Z2 – Z1 + Hrt1-2 (5.57)

Donde las pérdidas totales Hrt1-2 = Hrp1-2 + Hrs1-2

Hrp1-2 = f

V2/2g

140

Hrp1-2 = 0.03

V2/2g

H rp1.2 =300 V2/2g (5.58)

Hrs1-2 = V2/2g ( K1 + K2 + K3 K4 )

Hrs1-2 = V2/2g (0.5 +3 +8+0.5)

Hrs1-2 = 12 V2/2g (5.59)

Sustituyendo (5.58) y (5.59) en la ecuación (5.57) se obtiene

50m = (30 10)m 300 V2/2g 12 V2/2g

30m = 312V2/2g (5.60)

Despejando de la ecuación (5.60) la velocidad se obtiene

V = 1.373m/s

Y de la ecuación de continuidad Q = AV

Q =( (0.20)2(1.373) m3/s

Q = 43.13L/s

141

Objetivos del capítulo 5

Al término del capítulo 5, el estudiante habrá desarrollado las siguientes habilidades

a) Definirá el concepto de flujo interno.

b) Determinara cuando un fluido se encuentra en régimen laminar o régimen turbulento.

c) Analizara los perfiles de velocidades.

d) Dominara los conceptos de capa límite y separación de la capa limite.

e) Analizara flujos en régimen laminar en un tubo.

f) Comprenderá el análisis de flujo de Couette, y de Poiseuille.

g) Podrá hacer uso del análisis dimensional para estudiar flujos viscosos.

h) Calculara las pérdidas de energía en conductos abiertos.

i) Definirá el concepto de pérdidas primarias.

j) Podrá interpretar el diagrama de Moody

k) Podrá resolver problemas de flujo interno en régimen permanente de fluidos viscosos de

diferentes tipos.

l) Calculara las perdidas secundarias en un flujo interno.

m) Podrá resolver los problemas propuestos de este capítulo.

142

Problemas

1. Si la altura de pérdida de carga es de 12m, por una tubería de 1200 m de longitud y

diámetro de 0.15m, por la cual fluye agua, determine el esfuerzo cortante en las paredes

de la tubería.

2. Por una tubería de acero comercial fluye agua a 20oC, si la perdida de energía es de 12m,

determine el caudal que fluye, si la tubería es horizontal, con longitud de 1200m, y

diámetro 0.15.

3. Por una tubería de fundición, de 1200m de longitud, 0.15m de diámetro fluye gasolina (s

=0.737), con viscosidad cinemática 7.49 X 10-6 m2/s, determine la potencia de una bomba

0.75% eficiente, que ha de instalarse para llevar un caudal de 60 L/s.

4. Determine el diámetro de tubería de acero comercial que ha de instarse en una línea de

conducción, para transportar un aceite de viscosidad cinemática 2 X 10-4 m2/s , si la

tubería tiene una longitud de 2500 m ,el caudal es de 16L/s, y la bomba da una altura

dinámica de 80m, la instalación es totalmente horizontal.

5. Determine la potencia de la bomba que ha de instalarse, en una tubería de acero

comercial de 1600 de longitud, diámetro 0.10m, para transportar un caudal de 36L/S de

gasolina con viscosidad cinemática 5.45X10-6 m2/s, si la diferencia de cotas entre los

depósitos es de 37m.

6. Por una tubería de fundición de 0.10m de diámetro y 1990m de longitud, se transporta un

caudal de 17L/s de agua a 150C, con una pérdida de altura de carga del punto① al punto

② de 18m, determine la altura de presión en el punto ① si

La altura de presión en ② debe de ser de 1.8kgf/cm2, la diferencia de cotas del punto ①

al punto ② es de 21.5 m.

7. Por un canal de sección transversal rectangular circula un caudal de 3.5m3/s, el canal tiene

1830 m de longitud, y un desnivel de 0.72m, si el material del canal es de ladrillo,

determine las dimensiones del canal.

8. Determine la pendiente de un canal que transporta 1.20m3/s de agua, si el canal es de

sección transversal rectangular, de ancho 3m y una profundidad de 1.40m, la velocidad

debe de ser de 0.70m/s, para evitar la erosión, el material del canal es asfalto.

143

9. Un canal de sección transversal triangular, de asfalto de 4 metros de anchura, y un ángulo

de vértice 1200, transporta 15 m3/s, si la profundidad es de 1.20m, la pendiente S=

0.0003, determine el valor de n.

10. Lecturas manométricas reportan una caída de altura de presión de 15m, en una tubería de

acero comercial de 8cm de diámetro, 210m de longitud, si la viscosidad del fluido es

1.3X10-6 m2/s, determine la velocidad del flujo si la tubería es horizontal.

11. Se transporta un caudal de 30L/s de agua a 200C de un deposito A, situado a una cota de

17m a un deposito B, situado a una cota de 38m, la tubería es de acero comercial de

longitud 1690m y 17cm de diámetro, la tubería tiene 4 codos de 900 y dos válvulas

esféricas totalmente abiertas, determine la potencia de la bomba que ha de instalarse si

su eficiencia es del 80%.

12. En un sistema hidráulico que transporta agua a 260C, la tubería de succión es de 12cm de

diámetro y de acero comercial, si el caudal es de 35L/s, determine la altura máxima de

instalación de la bomba, considere que no existen accesorios ni cambios de forma de la

tubería.

13. Determine el diámetro de una tubería de hierro fundido, para que transporte 42L/s de

agua a 250C, con una pendiente de pérdida de 0.005.

14. En un sistema hidráulico con una tubería de acero comercial, de diámetro 9.5cm y

Longitud 900m, se conectan dos depósitos con una diferencia de cota entre ellos de 21m,

en el sistema existen cuatro codos rectos, y dos válvulas esféricas totalmente abiertas,

determine el caudal que fluye.

15. Se bombea 36L/s de aceite de S=0.86 y ν = 1.8X10-5 m2/s, de un depósito a una presión e

2.4kgf/cm2 a otro depósito a una presión de 4 Kgf/cm2,la tubería es de acero comercial de

diámetro 15cm y longitud 2110m, en la instalación existen 3 codos de rectos, y dos

válvulas esféricas de control, determine la potencia de la bomba que ha de instalarse en el

sistema.

144

Bibliografía

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CENGEL YUNUS A- mecánica de fluidos fundamentos y aplicaciones-editorial mc graw-hill-2006

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BIRD R. STEWART, W., AND LIGHTFOOT, E.-Transport Phenomena, John Wiley and Sons, New

York, 1968.

145

Capítulo 6

Sistemas hidráulicos de tuberías.

En el capítulo anterior se estudió el flujo interno viscoso a régimen permanente en

tuberías, considerando tres tipos de problemas de flujo, los cuales se resolvieron

mediante la ecuación de Bernoulli, la ecuación de continuidad, la formula universal de

perdidas primarias,(ecuación de Darcy-Weisbach), la ecuación general de perdidas

secundarias, el diagrama de Moody, y la ecuación de Manning para sistemas abiertos,

generalmente los problemas prácticos ocurren a régimen turbulento, en este capítulo se

introducirán ecuaciones exponenciales para el cálculo de pérdidas por fricción, las cuales

son usualmente empíricas, y con frecuencia son utilizadas en el cálculo de proyectos

hidráulicos, en general los sistemas hidráulicos de ciudades o grandes complejos

industriales son extremadamente complejos para ser estudiados de manera global, así

que en este capítulo se estudiaran sistemas de forma aislada.

6.1 sistemas equivalentes

Un sistema de tuberías será equivalente a otro si con las mismas perdidas de energía

transporta el mismo caudal, este concepto permite estudiar un sistema complejo de

tuberías por un sistema de una sola tubería equivalente.

Ejemplo 6.1

Considere una válvula con un coeficiente de perdida secundaria K, determine la longitud

de una tubería de diámetro D que sea equivalente a la válvula.

Solución

De la definición de equivalencia

K V2/2g = f

V2/2g (6.1)

Eliminando la altura de velocidad, se obtiene

K = f

(6.2)

De donde

(6.3)

146

Ejemplo 6.2

Por una tubería de diámetro D=0.15m, circula un caudal de 20 L/s, la longitud de la tubería

es de 1600m, y el coeficiente de perdida primaria f1=0.012, determine el diámetro de una

segunda tubería de longitud L =800m, y coeficiente f2 = 0.012, para que sea equivalente a

la tubería de 0.15 m de diámetro.

Solución

Como los sistemas deben ser equivalentes, las perdidas en los dos sistemas serán iguales y

transportaran el mismo caudal.

Hr1 =Hr2

Q1 = Q2

V1 = 2

Q = 0.020m3/s

V1 = 1.13m/s

Hr1 = 0.012

1.132/(2 9.81) m

Hr1 = 8.33 m

V2 = 22

Hr2 =8.33m = 0.03(800/D2)16Q2/ 2D24

Q = 0.020m3/s

8.33 = 0.012 (800/ 22g)(16Q2/D25)

Como Q = 0.020m3/s, se obtiene para D2

D2 = 0.13m

147

6.2 Sistemas de tuberías en serie.

De la figura (6.1) se define como sistema de tuberías en serie, cuando

Q1 = Q2 = Q3 (6.4)

Hrt = Hr1+ Hr2+ Hr3 (6.5)

Figura (6.1)

Ejemplo (6.3)

Del sistema en serie de la figura (6.1), si L1 = 1200m, L2 = 1300m, L3 = 1500m, f1 =0.03, f2 =

0.035, f3 = 0.015, D1=15cm, D2=20cm, D3=25cm, determine el caudal que transporta, si las

pérdidas totales son de 15m.

Solución

Se obtendrá una tubería equivalente del sistema de un diámetro D=15cm (puede elegirse

cualquier otro diámetro).

Suponiendo un caudal de 40L/s

Las pérdidas en la primera tubería se calculan por la ecuación de Darcy-Weisbach

Hr = f

V2/2g

Donde la velocidad es

V = 4Q/ D2

V = (4X0.040)/ (0.15)2 m/s

V = 2.26 m/s

148

Hr1 = 0.03

(2.262/2g) m

Hr1 = 62.47m

En las pérdidas de la segunda tubería, la velocidad V es

V = (4x0.040)/ (0.20)2 m/s

V = 1.27 m/s

Hr2 = 0.035

(1.272/2g) m

Hr2 = 18.70m

Para la tercera tubería, la velocidad V es

V = (4x0.040)/ (0.25)2 m/s

V = 0.81m/s

Hr3 = 0.015

0.812/2g m

Hr3 = 3.0m

Las pérdidas totales son la suma de las tres perdidas encontradas

Hrt = (62.47 + 18.70 + 3) m

Hrt= 84.17m

Para que los sistemas sean equivalente se necesita que con una pérdida Hr =84.17m se

transporten Q =40 L/s.

84.17 = 0.03

2.262/(2g)

149

Obteniéndose para la longitud L equivalente

L = 1616.62m

De los datos iniciales del problema la perdida totales del sistema son de 15m, de la

ecuación de Darcy – Weisbach

15m = 0.03

V2/2g

Obteniéndose para V

V = 0.954 m/s

El caudal que circula por el sistema es

Q = (.15)20.954/4 = 0.0168m3/s

Ejemplo (6.4)

Considerando el sistema hidráulico de la figura (6.1), si la caída de altura de presión entre

los nodos es de 8kg/cm2, la diferencia de cotas Z = 8m, y el fluido que se transporta es

agua = 1000Kg/m3, la viscosidad cinemática a 200 C es = 1.007 10-6 m2/s, siendo los

datos del sistema los mostrados en la tabla (6.1)

Tubería L (metros) D (centímetros) e (milímetros) n

1 350 8 0.12 8

2 400 10 0.20 12

3 450 12 0.24 20

Tabla (6.1)

Determine el caudal que transporta el sistema en litros por segundo.

150

Solución.

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B de la figura (6.1) se obtiene

PA/ + ZA + VA2/2g = PB/ + ZB + VA

2/2g + HrA-B (6.6)

De (6.6) se obtiene para las pérdidas entre los puntos A y B.

HrA-B =

+ + ( Va

2- Vb2 )/2g (6.7)

De la ecuación de continuidad

A1V1 = A2V2 = A3V3 (6.8)

A partir de los datos de la tabla (6.1)

V2 = 0.64 V1 V3 = 0.444 V1 (6.9)

Donde

V1 = Va y V3 = Vb

HrA-B = 8 X104/103 + 8 + Va2/2g (1 – 0.197) m

HrA-B = 88 + 0.802 Va2/2g (6.10)

Como el sistema es un sistema de tuberías en serie

HrA-B = rp + rs (6.11)

De (2.10) y (2.11)

88 + 0.802 V12/2g = rp + rs (6.12)

Como

Hrp = f

V2/2g y Hrs = K V2/2g

151

De los datos del ejemplo y de las ecuaciones (2.9) se obtiene

88 + 0.802 V12/2g = V1

2/2g( f1

+ 8 + f2

(0.64)2 + 12(0.64)2 + f3

(0.44)2 + 20(0.444)2 )

De donde

88 + 0.802 V12/2g = V1

2/2g ( 4375f1 + 1638.4f2 + 739.26f3 + 16.857)

88(2g) = V12/2g (4375f1 + 1638.4f2 + 739.26f3 + 16.857 – 0.802)

1726.56 = V12 (4375f1 + 1638.4f2 + 739.26f3 + 16.055) (6.13)

Para determinar los valores de f1,f2,f3, se procede de forma análoga a lo visto en la sección

5.11.

Sean f1 = 0.03, f2 = 0.02, f3 = 0.025

Por lo que la ecuación (2.13) puede escribirse como

1726.56 = V12 (4375

1726.56 = (V12 )(198.554)

V1 = 2.94m/s

De las ecuaciones (2.9)

V2 =(0.64)(2.94)=1.88m/s V3 =(0.444)(2.94) = 1.305m/s

De los datos del ejemplo se obtiene para la rugosidad relativa

(e1/D1) = 0.12/80 = 0.0015

(e2/D2) = 0.20/100 = 0.002

(e3/D3) = 0.24/120 = 0.002

152

Los valores de los números de Reynolds, son respectivamente

R1 = V1D1/ =(2.94)(0.08)/1.007 -6 = 2.33 105

R2 = V2D2/ = (1.88)(0.10)/1.007 10-6 = 1.86 105

R3 = V3D3/ = (1.305)(0.12)/1.007 10-6 = 1.55 105

Del diagrama de Moody se obtiene

f1 = 0.0225

f2 = 0.024

f3 = 0.0245

Corrigiendo los valores de f1,f2,f3 en la ecuación (6.13)

1726.56 = V12(4375 + 1638.4 0.024 + 739.26 0.0245 + 16.055)

Obteniéndose

V1 = 3.16 m/s

Por lo que el caudal en litros por segundo que fluyen por el sistema es

Q = ( 0.082/4)(3.16 l/s

Q = 15.88 l/s

Ejemplo (6.5)

Para el sistema de bombeo mostrado en la figura (6.2).

a) Determine la longitud máxima de la tubería de succión desde la superficie libre del líquido

del depósito a la entrada de la bomba.

b) Calcule la potencia de la bomba en caballos de vapor (C.V)

153

Si las perdidas secundarias totales son de 1.5m, el fluido es agua a una temperatura media

de 20o C, la presión barométrica es de 760 mm de columna de mercurio, la rugosidad

absoluta de la tubería = 0.20mm, diámetro de la tubería D = 0.07 m, el caudal Q =15 l/s.

Figura (6.2)

Solución a)

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos ① y ② se obtiene

P1/ + Z1 + V12/2g = P2/ + Z2 + V2

2/2g + Hr1-2 (6.14)

Considerando como referencia Z = 0, la superficie libre del líquido del depósito donde V=0

La longitud máxima de la tubería de succión se determina, considerando que el sistema

bombeara el agua hasta que se produzca cavitación en la entrada de la bomba del

sistema, puede leerse de las tablas termodinámicas que la presión de vapor para el agua a

una temperatura de 20oC es de

Pv = 0.0239 Kg/cm2 (absoluta)

ɤ = 998 kg/m3

Por lo que la altura de presión es

P2/ɤ = Pv/ɤ = 0.239 104/998 m

Pv/ɤ =0.2394m

154

Como se trabaja con valores absolutos, ya que a la entrada de la bomba el líquido cambia

de fase liquida a vapor de agua

P1/ɤ = Pb/ɤ = 10.336m

La velocidad del agua dentro de la tubería se obtiene por medio de la ecuación de

continuidad

V2 = 4Q/ D2 = 4(0.015)/ (0.07)2 m/s

V2 = 3.89 m/s

La altura de velocidad correspondiente es

V22/2g = (3.89)2/2(9.81) m

V22/2g =0.77m

La ecuación (6.14) puede escribirse como

P1/ + Z1 + V12/2g = P2/ + Z2 + V2

2/2g + f

V2/2g + Hrs

Sustituyendo datos en la anterior ecuación

10.336 = 0.2394 + 1.5 + 0.77 + f

(.77) + 1.5

6.3366 = 11f L (6.15)

Para obtener el valor de f se tiene que

/d = 0.20/70 = 0.0028

155

Para una temperatura de 20oC

= 1.007 10 -6 m2/s

Por lo que el número de Reynolds es

R =

= 3.89(0.07)/(1.007 10 -6)

R= 2.70 105

Del diagrama de Moody para /d = 0.0028, R= 2.70 105

f = 0.025

De la ecuación (6.15)

L = 6.3266/(11 0.025) m

L = 23.04 m (longitud de la tubería de succión)

Solución b)

Para calcular la potencia de la bomba, se aplica la ecuación de Bernoulli del punto ① a la

salida de la bomba (punto s), en tales puntos no existe cavitación por lo que se consideran

valores relativos

P1/ + Z1 + V12/2g = Ps/ + Zs + Vs

2/2g + f

V2/2g + Hrs - Hb (6.16)

En donde

P1/ = 0

Z1 = 0

Ps/ = 0 (descarga a la atmosfera)

156

Zs = 1.5m

Vs2/2g = 0.77m

H rp = f

V2/2g = 0.025

)0.77 m

H rp = f

V2/2g = 6.336m

Hrs = 1.5m

Por la ecuación (6.16)

Hb = (1.5 + 0.77 + 6.336 + 1.5) m

Hb = 10.106m

La potencia de la bomba

P = b/75 C.V

P = (1000)(0.015)(10.106)/75 C.V

P = 2.02 C.V

6.3 Sistemas de tuberías en paralelo.

Los sistemas de tuberías en paralelo son sistemas análogos a los sistemas eléctricos en

paralelo, están constituidos por más de una tubería que partiendo de un nodo, vuelven a

unirse en otro nodo, como se muestra en la figura (6.3)

Figura (6.3)

157

De la figura (6.3), se obtienen las siguientes relaciones fundamentales para el estudio de

sistemas hidráulicos de tuberías en paralelo.

a) Qt = n (el caudal total del sistema es igual a la suma de los caudales que fluyen por

cada una de las tuberías.

b) Hrt = Hr1 = Hr2 = ….. Hrn (en un sistema hidráulico de tuberías, las pérdidas son las mismas

en cada una de las tuberías.)

Ejemplo (6.6)

Con referencia a la figura (6.4), la altura de presión en el nodo A es PA/ɤ = 25m y la altura

de presión en el nodo B, PB/ɤ = 16 m, para los datos del sistema tabulados en la tabla (6.2)

determine el caudal que fluye por cada una de las tuberías, si ZA = 8m y ZB = 2m.

Tubería L (m) D(cm) f

1 500 8 .025

2 550 10 .020

3 600 12 .017

Tabla (6.2)

Figura (6.4)

158

Solución

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre el nodo A y el nodo B se obtiene

PA/ + ZA + VA2/2g = PB/ + ZB + VA

2/2g + HrA-B

Considerando que el diámetro en la tubería de entrada en el nodo A y el diámetro de

salida en el nodo B, son iguales las velocidades son iguales VA = VB

Por lo que se puede escribir

HrA-B = PA/ - PB/ + ZA – ZB (6.17)

Sustituyendo datos en la ecuación (6.17), se obtiene

HrA-B = (25 -16) m + (8-2) m

HrA-B = 15m

Como el sistema de tuberías esta en paralelo

Hr1 = Hr2 = Hr3

Por la ecuación de Darcy-Weisbach

15 = f1 (L1/D1) V12/2g

15 = f2 (L2/D2) V22/2g

15 = f3 (L3/D3) V32/2g

Sustituyendo valores

15 = .025

V1

2/2g

15 = .020

V2

2/2g

15 = .017

V3

2/2g

159

Obteniéndose los valores de la velocidad de flujo en cada una de las tuberías

V1 = 1.372 m/s

V2 = 1.63 m/s

V3 = 1.86 m/s

Finalmente a partir de la ecuación de continuidad se obtiene el valor del caudal en cada

una de las tuberías

Q1 = (.082/4) (1.372) m3/s

Q1 = 6.89 l/s

Q2 = (.102/4) (1.63) m3/s

Q2 = 12.8 l/s

Q3 = (.12)2/4 (1.86) m3/s

Q3 = 21.03 l/s

Ejemplo (6.7)

En el sistema mostrado en la figura (6,5a), la tubería tiene una longitud de 1200 m, un

diámetro de 20 cm, 0.20mm, el fluido transportado es agua a 20o C, = 1.007 10-6m2/s

a) Determine el caudal que fluye por la tubería de la figura (6,5a)

b) Si se instala en paralelo una segunda tubería con una longitud de 1200 m, un diámetro de

10 cm, = 0.20 mm, que porcentaje aumenta el caudal, figura(6.5b)

Figura (6,5a)

160

Figura (6,5b)

Solución a)

Como el flujo es por gravedad, las pérdidas son iguales a la diferencia de cotas

HrA-B = ZA- ZB

= (20 – 8) m

= 12 m

Por la ecuación de Darcy – Weisbach

HrA-B = f

V2/2g

Sustituyendo datos en la anterior ecuación se obtiene

12 = f (1200/.20)V2/2g

12 = 305.8 f V2

0.03924 = f V2

Suponiendo f = 0.03

0.03924 = 0.03 V2

V = m/s

V = 1.14 m/s

161

De los datos del ejemplo

=

= 0.001

R =

= (1.14 -6

R = 2.26 5

Del diagrama de Moody para

= 0.001, R =2.26 5

f = 0.019

Con el valor de f = 0.019 se corrige el valor supuesto de f = 0.03, para obtener el valor real

de V de la relación

0.03924 = f V2

0.03924 = 0.019 V2

V = 1.437 m/s

De la ecuación de continuidad se obtiene el valor del caudal Q

Q = (0.202/4) (1.437) m3/s

Q = 45.14 m/s

Solución b)

Al considerar la tubería ② de la figura (6,4b), se procede en forma análoga al inciso a),

por lo que se obtiene lo siguiente

Δ Z = f

V2/2g

20 – 18 = f (1200/0.10) V2/2g

0.01962 = f V2

162

Suponiendo f = 0.03

V = m/s

V = 0.808 m/s

De los datos del ejemplo inciso b)

= 0.20/100 = 0.002

R = VD/ = (0.808 0.10)/1.007 10-6

R = 8.02 104

Del diagrama de Moody para = 0.002 y R = 8.02 104

Se lee f =0.025

Con el valor de f = =.025, se corrige el valor supuesto de f = 0.03 obteniéndose lo siguiente

0.01962 = 0.025 V2

V = 0.885 m/s

El caudal se obtiene a partir de la ecuación de continuidad

Q2 = (0.102/4) (0.885) m3/s

Q2 = 6.95 l/s

Por lo que el caudal aumenta aproximadamente

15.38%

163

Ejemplo (6.8)

Con referencia a la figura (6.6) determine los caudales que fluyen a través de cada una de

las tuberías del sistema.

Figura (6.6)

Solución

El problema de este ejemplo se resolverá por medio del llamado método de porcentajes,

el cual consiste en lo siguiente

a) Se supone una pérdida entre los nodos ① y ②.

b) Con la perdida supuesta se determinan los caudales que fluyen por cada una de las

tuberías.

c) Se calcula el porcentaje de caudal que fluye por cada tubería, con respecto al caudal total

calculado en b).

d) Con el porcentaje calculado en c), se aplica al caudal real que entra al sistema por el nodo

①.

a) Suponiendo una perdida Hr1-2 = 50 m

b) Para la tubería de diámetro D = 25 cm se tiene

50 = f1L1/D1(V12/2g)

50 = 0.03

V1

2/2g

164

Obteniéndose para V1

V1 = 4.04 m/s

El caudal se calcula por la ecuación de continuidad

Q1 = (.252/4) (4.04) m3/s

Q1 = 198.48 l/s

Para la tubería de D =30 cm y L = 400m

50 = 0.020

V2

2/2g

Obteniéndose para V2

V2 = 6.06 m/s

Por medio de la ecuación de continuidad

Q2 = (.302/4) (6.06) m3/s

Q2 = 428.72 l/s

Para la tubería de D = 0.30m y L =500m

50 = 0.017

V3

2/2g

Obteniendo para V3

V3 = 5.88 m/s

Por la ecuación de continuidad

Q3 = (.302/4) (5.88) m3/s

Q3 = 415.92 l/s

165

c) El caudal total es la suma de los caudales individuales

= Q1 + Q2 + Q3

= (198.48 + 428.72 + 415.92) l/s

= 1043.12 l/s

Calculando el porcentaje de cada caudal con respecto al caudal total se tiene

Q1 = 19.02% (Qt)

Q2 = 41.11% (Qt)

Q3 = 39.87% (Qt)

d) Para determinar los caudales reales que fluyen por cada una de las tuberías, se considera

el caudal real que entra al sistema por el nodo ①, en este caso el caudal es Q = 800l/s

Obteniendose

Q1R = (.1902)(800) l/s

= 152.16 l/s

Q2R = (0.411)(800) l/s

= 328.8 l/s

Q3R = (.3987) (800) l/s

= 318.96 l/s

166

6.4 sistemas ramificados

Un sistema ramificado está constituido por dos o más tuberías que se ramifican a partir

de un nodo, y no vuelven a unirse, ver figura (6.7)

Figura (6.7)

Generalmente los problemas asociados a este tipo de sistema, se resuelven encontrando

la altura de energía del nodo, donde = 0 (en forma análoga a los sistemas eléctricos

en donde la suma algebraica de corrientes que fluyen a un nodo es n = 0).

Ejemplo (6.9)

Con referencia a la figura (6.8), y los datos tabulados en la tabla (6.3)

a) Determine el caudal que suministra la bomba P al sistema, si la altura de energía del nodo

N es de 50 m (HN =PN/ + ZN + VN2/2g).

b) Determine la potencia de la bomba.

Figura (6.8)

167

Tubería longitud (m) Diámetro (cm) f

1 800 50 0.02

2 1200 40 0.016

3 900 25 0.013

4 700 20 0.015

Tabla (6.3)

Solución a)

Como la altura del nodo N es de HN = 50m

HN HA

HN HB

HN HC

Para el cálculo de las pérdidas en la tubería 2.

HrN-A = HN- HA

De la ecuación de Darcy-Weisbach

(50-36) m = 0.02

V2

2/2g

V2 = 2.13 m/s

Por medio de la ecuación de continuidad se determina el caudal Q2

Q2 = (.402/4)( 2.13) m3/s

Q2 = 268.87 l/s

Para el cálculo de las pérdidas en la tubería 3.

HrN-B = HN- HB

168

De la ecuación de Darcy-Weisbach

(50-38) m = 0.016

V3

2/2g

V3 = 2.02m/s

Por medio de la ecuación de continuidad se determina el caudal Q3

Q3 = (.252/4) (2.02) m3/s

Q3 = 99.24 l/s

Para el cálculo de las pérdidas en la tubería 4.

HrN-C = HN - HC

De la ecuación de Darcy-Weisbach

(50 – 42) m = 0.03

V4

2/2g

V4 = 1.22 m/s

Por medio de la ecuación de continuidad se determina el caudal Q4

Q4 = (.202/4) (1.22) m3/s

Q4 = 38.41 l/s

El caudal que suministra la bomba es n = Qt

Qt = (268.87 + 99.24 + 38.41) l/s

Qt = 406.43 l/s

169

Solución b)

Para determinar la altura dinámica de la bomba HB, se aplica la ecuación de Bernoulli de la

entrada de la bomba al nodo N.

PE/ + ZE + VE2/2g = PN/ + ZN + VN

2 + HrE-N –HB

HB = HN – HE + HrE-N

HB = (50 – 0 + f

V2

2/2g) m

De la ecuación de continuidad se calcula la velocidad V2

V = 4Q/ D2

V = 4(.406)/ 0.502) m/s

V = 2.06 m/s

HB = (50 + 0.02

2.062/2g) m

HB = 56.92 m

De la ecuación P =

se determina la potencia de la bomba

P =

C.V

P = 308.12 C.V

Ejemplo (6.10)

Con referencia a la figura (6.9), y los datos tabulados en la tabla (6.4), determine el caudal

que suministra la bomba al sistema, cuando el caudal de agua que va del nodo N al

depósito A es de 180 l/s.

170

Figura (6.9)

Tubería longitud (m) Diámetro (cm) f

1 1200 40 .020

2 1600 35 .018

3 900 30 .015

4 800 45 .030

Tabla (6.4)

Solución

Como el flujo del caudal de QNA = 180 l/s es del nodo N al depósito A

HN HA

Aplicando la ecuación de Darcy – Weisbach del nodo N al depósito A, se obtiene

HN = HA + f

2/2g

HN = (20 + 0.020

2/2g

Por medio de la ecuación de continuidad se calcula la velocidad

V = 4Q/ D2

De los datos del ejemplo

V = 4(.180)/ (.40)2 m/s

V = 1.432 m/s

171

Por lo que

HN = (20 + 0.020

1.4322/2g) m

HN = 26.27 m

Observando la figura (6.7), la altura del depósito B es mayor que la altura del nodo N

HB HN

Pudiendo concluirse que un caudal fluirá de depósito B al nodo N, las pérdidas son la

diferencia de elevaciones

HrB-N = HB – HN = (28-26.27) m = 1.73m

Por la ecuación de Darcy-Weisbach

1.73m = f

V2/2g

De los datos de la tabla de este ejemplo

1.73m = 0.018

V2/2g

V = 0.642m/s

Por medio de la ecuación de continuidad se calcula el caudal del depósito B al nodo N

QBN = ( D2/4) V

De los datos de la tabla de este ejemplo

QBN = (.352/4)0.642 m3/s

QBN = 61.76 l/s

De la figura (6.7), se observa que

HN HC

Las perdidas entre en nodo N y el depósito C son

HrNC = (26.27-23) m

HrNC = 3.27m

172

Por medio de la ecuación de Darcy-Weisbach

3.27 m = f

V2/2g

De los datos de la tabla de este ejemplo

3.27 m = 0.030

V2/2g

V = 1.096 m/s

Por medio de la ecuación de continuidad se obtiene

QNC = (.452/4)1.096 m3/s

QNC = 174.31 l/s

Para determinar el caudal total que suministra la bomba al sistema, se consideraran que

los caudales que entran al nodo son positivos y los que salen negativos.

n = QPN + QBN - QNA – QNC = 0

QPN = QNA + QNC - QBN

QPN = (180 + 174.31 -61.76) l/s

QPN = 292.55 l/s

6.5 Ecuación de Hazen-Williams

Una formula empírica para el cálculo de fricción en tuberías industriales, cuando el flujo es

agua o para fluidos con viscosidad similar a la del agua es la ecuación de Hazen-Williams,

la cual puede escribirse de la forma

V = 0.8494 C R0.63 S0.54 m/s (6-18)

Dónde:

V es la velocidad media del fluido en la tubería expresada en m/s.

C es el coeficiente de perdida, el cual depende de la rugosidad de la tubería, ver tabla 6.5

R es el radio hidráulico.

S es la pendiente de alturas piezométricas (S=

=

)

173

C Tuberías

140 rectas y extremadamente lisas

130 de concreto y hierro fundido

120 de acero soldado nuevas

110 de acero ribeteado nuevas

100 de acero ribeteado, con varios años

60-80 tuberías en malas condiciones

Tabla (6.5)

Ejemplo (6.11)

Con referencia a la figura (6.10), y los datos tabulados en la tabla (6.6) si (PA - PB)/ = 40

m, y las tuberías se encuentran en un mismo plano horizontal determine el caudal que

circula en cada una de las tuberías.

Figura (6.10)

Tubería longitud (m) diámetro (cm) C

1 5000 0.30 100

2 5600 0.25 120

Tabla (6.6)

Solución

En este ejemplo se usara la ecuación de Hazen -Williams

V = 0.8494 C R0.63 S0.54 m/s (6-18)

Para la tubería ①

C = 100

174

R = D/4 (de la definición de radio hidráulico R =

)

R =

m

R = 0.075 m

S =

= 0.008

V1 = (0.8494) (100) (.075)0.63(.008)0.54 m/s

V1 = 1.21 m/s

De la ecuación de continuidad se obtiene el caudal

Q1 = ( D2/4) V

Q1 = ( (.302/4) (1.21) m3/s

Q1 = 85.71 l/s

Para la tubería ②

C = 120

R =

R = 0.0625 m

S =

S = 0.0071

De la ecuación de Hazen- Williams

V2 = (0.8494) (120)(.0625)0.63(.0071)0.54 m/s

V2 = 1.226 m/s

175

De la ecuación de continuidad se obtiene el caudal

Q2 = (.252/4) (1.226) m3/s

Q2 = 60.18 l/s

Ejemplo (6.12)

Con referencia a la figura (6.11) y los datos tabulados en la tabla (6.7), si la altura de

presión a la salida de la bomba P es de Ps = 80 m, determine los caudales en las tuberías

del sistema.

Figura (6.11)

Tubería longitud (m) diámetro (cm) C

1 1000 50 110

2 1200 40 100

3 800 30 120

4 800 40 120

Tabla (6.7)

Solución

La altura de energía a la salida de la bomba es

Hs = Ps/ + Zs + Vs2/2g

176

En este tipo de problemas se desprecian las perdidas secundarias, las cuales son de la

forma K V2/2g, por lo que también la altura de velocidad Vs2/2g será despreciable

Hs = Ps/ + Zs

Hs = (80 + 15) m = 95m

El ejemplo se resolverá por un método de análisis gráfico, ya que no existen datos

suficientes para calcular los caudales de forma directa

Como

Hs Zc

Hs ZB

Hs ZA

Existirá un caudal de la salida de la bomba al nodo N, analizando la figura (6.9) puede

concluirse que fluirá un caudal de N a B, por lo que

HN HB

Para introducirse al método gráfico y generar los datos necesarios, primeramente se

supondrá un valor para HN

Sea HN = 70m (puede suponerse cualquier otro valor si este es menor de 95m y mayor de

50m), se supone el valor de HN = 70m, para minimizar cálculos

Para la tubería ①

Las pérdidas de la salida de la bomba al nodo N, son iguales a la diferencia de altura de

energía

Hr1 = (95 – 70) m = 25m

S =

= 0.025

D = 0.50m

177

R =

= 0.125 (radio hidráulico)

C = 110

Por la ecuación de Hazen – Williams

V = 0.8494 (110) (0.125)0.63(0.025)0.54 m/s

V = 3.43 m/s

Por la ecuación de continuidad

Q1 = 2/4) (3.43) m3/s

Q1 = 673 l/s

Para la tubería ②

Hr2 = 0 (ya que se hizo la suposición de que HN = 70 m)

Para la tubería ③

Hr3 = (70 – 60) = 10m

S =

= 0.0125

D = 0.30m

R = 0.30/4 = 0.075m

C = 120

Por la ecuación de Hazen – Williams

V = 0.8494 (120) (0.075)0.63(0.0125)0.54 m/s

V = 1.87 m/s

178

Por la ecuación de continuidad

Q3 = (.302/4) (1.87) m/s

Q3 = 132 l/s

Para la tubería④

Hr4 = (70- 50) = 20m

S =

= 0.025

D4 = .40m

R =

= 0.10m

C = 120

De la ecuación de Hazen- Williams

V4 = 0.8494 (120) (.10)0.63(.025)0.54 m/s

V4 = 3.25 m/s

Por la ecuación de continuidad

Q4 = (.402/4) (3.25) m3/s

Q4 = 408 l/s

Determinando la suma de caudales que fluyen al nodo N, se obtiene

N = (673 132 – 408) l/s

Q4 = 133 l/s

Graficando en un sistema de coordenadas (HN , N)

179

Figura (6.12)

Como N = 133l/s, la altura del nodo N debe ser mayor de 70m.

Suponiendo HN = 72 m

Para la tubería ①

Hr1 = (95 – 72) m = 23m

S =

= 0.023

D = 0.50m

R =

= 0.125 (radio hidráulico)

C = 110

Por la ecuación de Hazen – Williams

V = 0.8494 (110) (0.125)0.63(0.023)0.54 m/s

V = 3.28 m/s

180

Por la ecuación de continuidad

Q1 = 2/4) (3.28) m3/s

Q1 = 644 l/s

Para la tubería ②

Hr2 = (72 – 70) m = 2m

S =

= 0.001

D = .40m

R =

= 0.1 m

C = 100

Por la ecuación de Hazen –Williams

V2 = 0.8494 (100) (0.1)0.63(0.001)0.54 m/s

V2 = 0.477 m/s

Por la ecuación de continuidad

Q2 = (.402/4) (0.477) m3/s

Q2 = 60 l/s

Para la tubería ③

Hr3 = (72 – 60) = 12m

S =

= 0.015

D = 0.30m

R = 0.30/4 = 0.075m

C = 120

181

Por la ecuación de Hazen – Williams

V = 0.8494 (120) (0.075)0.63(0.015)0.54 m/s

V = 2.06 m/s

Por la ecuación de continuidad

Q3 = (.302/4) (2.06) m/s

Q3 = 145 l/s

Para la tubería④

Hr4 = (72 - 50) = 22m

S =

= 0.0275

D4 = .40m

R =

= 0.10m

C = 120

De la ecuación de Hazen- Williams

V4 = 0.8494 (120) (.10)0.63(.0275)0.54 m/s

V4 = 3.43 m/s

Por la ecuación de continuidad

Q4 = (.402/4) (3.43) m3/s

Q4 = 431 l/s

Determinando la suma de caudales que fluyen al nodo N, se obtiene

N = (644 - 60 – 145 - 431)l/s

Q4 = 8 l/s

182

Graficando en un sistema de coordenadas (HN , N), los nuevos datos generados con los

de la figura (6.12).

Figura (6.13)

Determinando la pendiente de la línea recta que une los puntos generados

m =

m = 62.5

Extrapolando para obtener un valor de HN, mas aproximado de tal forma que se cumpla

que N = 0, se obtendrá el punto (HN , 0)

62.5 =

HN = (72 +

) m

HN = 72.128m

Proponiendo el valor encontrado para HN

HN = 72.128m

183

Para la tubería ①

Hr1 = (95 – 72.128) m = 22.87m

S =

= 0.0228

D = 0.50m

R =

= 0.125 (radio hidráulico)

C = 110

Por la ecuación de Hazen – Williams

V = 0.8494 (110) (0.125)0.63(0.0228)0.54 m/s

V = 3.27 m/s

Por la ecuación de continuidad

Q1 = 2/4) (3.27) m3/s

Q1 = 642 l/s

Para la tubería ②

Hr2 = (72.128 – 70) m = 2.128m

S =

= 0.001

D = .40m

R =

= 0.1 m

C = 100

Por la ecuación de Hazen –Williams

V2 = 0.8494 (100) (0.1)0.63(0.001)0.54 m/s

V2 = 0.477 m/s

184

Por la ecuación de continuidad

Q2 = (.402/4) (0.477) m3/s

Q2 = 60 l/s

Para la tubería ③

Hr3 = (72.18 – 60) = 12.128m

S =

= 0.015

D = 0.30m

R = 0.30/4 = 0.075m

C = 120

Por la ecuación de Hazen – Williams

V = 0.8494 (120) (0.075)0.63(0.015)0.54 m/s

V = 2.06 m/s

Por la ecuación de continuidad

Q3 = (.302/4) (2.06) m/s

Q3 = 145 l/s

Para la tubería④

Hr4 = (72.128 - 50) = 22.128m

S =

= 0.0276

D4 = .40m

R =

= 0.10m

C = 120

185

De la ecuación de Hazen- Williams

V4 = 0.8494 (120) (.10)0.63(.0276)0.54 m/s

V4 = 3.44 m/s

Por la ecuación de continuidad

Q4 = (.402/4) (3.44) m3/s

Q4 = 432 l/s

Determinando la suma de caudales que fluyen al nodo N, se obtiene

N = (642 - 60 – 145 - 432) l/s

Q4 = 5 l/s

Podría repetirse el procedimiento para encontrar un valor de HN, de tal forma que N

sea lo más próxima a cero, pero para este ejemplo será aceptable la aproximación

obtenida por lo que

Q1 = 642 l/s

Q2 = 60 l/s

Q3 = 145 l/s

Q4 = 432 l/s

186

Objetivos del capítulo 6

Al término del capítulo 6, el estudiante habrá desarrollado las siguientes habilidades

a) Conocerá el concepto de sistema de tuberías equivalente.

b) Podrá analizar sistemas de tuberías aplicando el concepto de tuberías equivalente en serie

y en paralelo.

c) Dominará el concepto de sistemas de tuberías en serie.

d) Podrá analizar sistemas de tuberías en serie por el método de sistema equivalente.

e) Conocerá el concepto de sistemas de tuberías en paralelo y sus propiedades.

f) Será capaz de analizar y resolver problemas de sistemas de tuberías en paralelo por el

método de sistema equivalente.

g) Dominará los conceptos teóricos de sistemas ramificados.

h) Resolverá problemas prácticos de sistemas ramificados, para sistemas de bombeo.

i) Conocerá la ecuación de Hazen – Williams.

j) Resolverá problemas prácticos por el método de porcentaje.

k) Analizará sistemas complejos de tuberías por métodos gráficos

l) Podrá resolver los problemas propuestos en este capítulo.

187

Problemas

1. Para el sistema de la figura (6.14) y los datos tabulados en la tabla (6.8)

a) Determine el caudal que circula en el sistema, si el fluido que circula es agua a 20oC.

b) Determine el aumento del caudal si se instala en el sistema la tubería④ dibujada a trazos

en la figura

Figura (6.14)

Tubería longitud (m) diámetro (cm) (mm) K

1 1200 40 .012 8

2 1500 35 .014 12

3 1300 30 .016 18

4 1800 40 .030 16

Tabla (6.8)

2. Para el sistema de la figura (6.14), determine el diámetro de una tubería equivalente al

sistema, si la longitud de la tubería equivalente debe de ser de L= 3000m, = .012, K = 20.

3. dos tuberías horizontales conectadas en serie conducen agua a una temperatura de

20oC, con una caída de presión de 30m, la primera tubería tiene 830m de longitud y un

diámetro de 15 cm, y la segunda tiene una longitud de 600m y un diámetro de 12 cm, las

dos tuberías son de acero comercial, determine el caudal que circula en el sistema.

4. dos depósitos están conectados mediante tres tuberías en paralelo, si el caudal que

circula en el sistema es de 180 l/s, determine la diferencia de elevación de los depósitos si

L1 = 300m, D1 = 20cm, L2 = 320m, D2 = 17cm, L3 = 310m, D3 =25cm ( =0.76mm para todas

las tuberías).

188

5. dos tuberías conectadas en paralelo comunican a dos depósitos con una diferencia de

elevación de 12m, si L1 =2500m, D1 = 50cm, C1 = 120, L2 = 2600m, D2 = 60cm, C2 =110,

determine el diámetro de una tercera tubería con longitud L3= 2500m, C3 = 120, de tal

forma que el caudal circulante en el sistema aumente en un 30 %.

6. determine el diámetro de una tubería de acero comercial con una longitud de 2600m,

que pueda reemplazar al sistema del problema anterior, cuando el sistema ha aumentado

su capacidad en un 30%.(el fluido es agua a 20oC).

7. para el sistema de tuberías de la figura (6.15) y los datos de la tabla (6.9), determine el

caudal que circula en el sistema si (ZA – ZB) = 30m.

Figura (6.15)

Tubería longitud (m) diámetro (cm) C

1 1200 40 120

2 1200 50 130

3 1800 60 110

Tabla (6.9)

8. si el caudal que circula en el sistema de la figura (6.15), es de 150 l/s, determine la

diferencia de cotas de los depósitos A y B.

9. determine el diámetro de una tubería de longitud 1200m, C=110 que instalada en

paralelo con las tuberías ① y ② del sistema de la figura (6.15), aumente la capacidad de

flujo del sistema en un 20% .

10. en el sistema mostrado en la figura (6.16), y los datos de la tabla (6.10) el caudal que

circula del nodo N al depósito A, es de 70 l/s.

189

a) determine los caudales que circulan en cada una de la tuberías y la potencia de la

bomba si, la altura de la presión de succión es de

= .30m

b) si se instala la tubería ⑤ al sistema, determine el flujo en cada una de las tuberías, si la

potencia de la bomba es la misma que la del inciso a).

Figura (6.16)

Tubería longitud (m) diámetro (cm) C

1 1200 30 110

2 800 40 120

3 600 35 110

4 1800 50 120

5 1200 30 120

Tabla (6.10)

190

Bibliografía

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CENGEL YUNUS A- mecánica de fluidos fundamentos y aplicaciones-editorial mc graw-hill-2006

BARRENO-mecánica de fluidos-editorial mcgraw-hill-2005

POTTER-WIGGERT-mecánica de fluidos-tercera edición-editorial Thomson 2003

ROBERT-MOTT –mecánica de fluidos-sexta edición –editorial Pearson 2006

STREETER-WYLIE-mecánica de fluidos-novena edición-editorial mcgraw-hill-2000

EDUARDO W.V. CHAVES-mecánica del medio continuo-segunda edición-editorial cimne-2007

SHAMES, I – Mechanics of Fluids, 3rd. McGraw – Hill, New York, 1992

COHEN, E. and TAYLOR, B.-The Fundamental Physical Constants, Physics Today-1994

191

Capítulo 7

Fenómeno de cavitación y golpe de ariete.

Un líquido comienza a evaporarse cuando no existe energía suficiente para mantener las

moléculas unidas del líquido, fenómeno que origina la formación de burbujas de vapor,

este proceso es función de las variables termodinámicas presión y temperatura. A la

presión atmosférica de un bar, el agua se evapora a una temperatura de 100oC, puede

observarse experimentalmente que en un proceso isotérmico donde la presión disminuye,

el líquido comienza a evaporarse a una presión menor, llamada presión de vapor. Las

burbujas de vapor se mueven con el líquido hasta una región de alta presión donde las

burbujas implotan de manera súbita.

7.1 Fenómeno de cavitación.

El fenómeno de cavitación es de gran importancia en la ingeniería de la mecánica de

fluidos, y en el óptimo funcionamiento de las maquinas hidráulicas, generalmente la

cavitación se inicia en una zona donde la presión desciende hasta alcanzar la presión de

saturación.

El fenómeno de cavitación puede presentarse en sistemas hidráulicos de tuberías o en

máquinas hidráulicas, la cavitación es la aparición de burbujas de vapor de forma

homogénea y su estudio es relevante dentro de la mecánica del medio continuo, en

algunos casos el tiempo y dimensión son a escala molecular.

La reducción de la presión para la formación de burbujas, puede ser debida a una alta

velocidad como en el líquido alrededor de los alabes de un impulsor de una bomba o de

una turbina, también en una tubería cuando disminuye el diámetro causando un gran

aumento de la velocidad del líquido, la variación de esfuerzos normales puede provocar

ondas de presión en un líquido provocando máximos y mínimos de presión, estos valores

mínimos pueden inducir la formación de burbujas.

Experimentalmente se encuentra que a presiones ligeramente positivas puede iniciarse la

formación de burbujas debido a las grietas de las paredes y partículas sólidas que sirven

como núcleos de cavitación. La variación del tamaño de una burbuja puede ser en un

192

proceso isotérmico si el cambio de burbuja a líquido es lo suficientemente lento. La masa

de gas y vapor contenida en el interior de una burbuja varía por el proceso de evaporación

condensación, la cantidad de gas disuelto en un líquido provoca un aumento en el tamaño

de la burbuja. Las burbujas formadas llamadas también cavidades viajan en el líquido a

zonas de mayor presión donde implotan, produciendo una estela de gas y un posible

arranque de metal de la superficie en la que ocurre la implosión, en la zona donde las

ondas de presión chocan, el material se daña metalúrgicamente provocando erosión,

dañando la superficie y causando una pérdida de presión y por lo tanto una zona de

mayor formación de burbujas de vapor. La formación de burbujas por el fenómeno de

ebullición es causado por el incremento de calor al sistema o por la reducción de la

presión, en el caso de la cavitación el fenómeno es local, provocado por la disminución de

la presión por debajo de la presión de vapor, la variable termodinámica más importante

para la producción de la cavitación es la temperatura ya que la presión de saturación es

función de la temperatura, la zona donde ocurre la cavitación puede ser estable o

inestable, las regiones donde puede existir depresiones como consecuencia de la acción

dinámica del movimiento son debidas a la conversión de energía de presión a energía

cinética.

7.2 Fases de la cavitación.

Fase 1

Formación de las burbujas. Ocurre cuando las condiciones físicas de presión y

temperatura son las adecuadas para la formación de burbujas.

Fase 2

Desarrollo y crecimiento de las burbujas. Cuando las condiciones físicas no cambian

permitiendo un aumento y crecimiento de las burbujas.

Fase 3

Implosión. Ocurre cuando las burbujas se desplazan a zonas de mayor presión

provocando un colapso, dado que la presión exterior es mayor que la presión del interior

de la burbuja, el gradiente de presión es tan elevado que produce un efecto de

desprendimiento de material, el colapso provoca una onda de choque que es lo que

usualmente se escucha y se le llama fenómeno de cavitación. La cavitación provoca ruidos

y vibraciones en los sistemas hidráulicos disminuyendo drásticamente su eficiencia,

193

dependiendo de la intensidad de la cavitación puede producirse desde una pérdida parcial

de eficiencia hasta un daño total del sistema.

7.3 Influencia del aire.

Los líquidos siempre contienen gases que sirven para iniciar el fenómeno de cavitación y

provocan una mayor cantidad de burbujas, en la succión de un sistema de bombeo existe

un gran ingreso de aire al sistema, el cual se incrementa con el aumento de la altura de

succión, una solución práctica es disminuir la altura de succión e instalando un sistema de

variación de frecuencia del motor de la bomba para controlar la velocidad del impulsor de

la bomba.

7.4 Alturas de energías.

La energía específica, del líquido en el punto final de la tubería de aspiración y la entrada

del impulsor de una bomba se le llama altura de energía disponible, la cual puede

calcularse, por la ecuación de Bernoulli, como

Hd (altura de energía disponible) = Pa/ + Za + Va2/2g = Pi/ + Zi + Vi

2/2g + ai

Generalmente Za = Zi

Pa/ Pi/ = Vi2/2g Va

2/2g + ai

Donde ai es la variación de la presión entre el final de la tubería de succión y la entrada

del impulsor de la bomba.

Es importante señalar que para que se presente la cavitación, Pi debe de ser igual o menor

que la presión de vapor a la temperatura media del líquido.

Altura neta de succión positiva, experimentalmente se encuentra que para un caudal en

la tubería de aspiración existe una presión mínima superior a la presión de saturación

(presión de vapor) Ps = Pv, que por debajo de ella el sistema de bombeo cavitará, la cual se

expresa en metros de columna de líquido, y se le conoce como la altura neta de succión

positiva (NPSH).

194

Altura de energía de entrada, al aplicar la ecuación de Bernoulli entre la entre la entrada

del tubo de aspiración y al final del mismo se obtiene lo siguiente:

Po/ + Zo + Vo2/2g = Pf/ + Zf + Vf

2/2g + Hrof

Si se considera un sistema en régimen permanente y valores absolutos, tomando como

marco de referencia la entrada al sistema, Vo = 0, Z0 = 0, Po es la presión atmosférica.

Po/ = Pf/ + Zf + Vf2/2g + Hrof

La altura de energía disponible a la entrada de la bomba es

Hd = Pf/ + Vf2/2g = Po/ Zf − Hrof

Hrof es la altura de perdida de presión en la tubería de succión.

Altura neta de succión disponible, la altura de energía anterior llamada energía

disponible a la entrada de la bomba, se utiliza de forma práctica hasta que Pf = Pv (presión

de vapor), a partir de dicho valor se presenta la cavitación, por lo que se define la altura

neta de succión disponible como

(NPSH)D = Hd – Pv/

La altura neta de succión disponible, es útil para la instalación del tubo de aspiración para

que la cavitación no se presente en la succión, por lo que su valor es independiente de la

bomba del sistema.

Altura de aspiración, para determinar la altura de aspiración Ha, que es la altura máxima

del nivel del líquido a bombear al eje de instalación de la bomba, es necesario considerar

el caudal máximo de trabajo del sistema, ya que es cuando existe mayor peligro de

cavitación, existen en la practica un gran número de curvas, para determinar la altura de

aspiración siendo adoptada la expresión

Ha =

– Hr – NPSHr 0.5 m

Hr es la perdida de altura de energía en la tubería de succión

NPSHr es la altura de energía requerida a la entrada del impulsor de la bomba (valor dado

generalmente por el fabricante), entre menor sea su valor mayor puede ser la longitud de

la tubería de succión, y el sistema será más eficiente para soportar la cavitación.

195

Ha por regla general no supera los 6.5 m, siendo de un valor marcadamente menor,

pudiendo dar valores negativas (cuando la bomba se encuentra sumergida en el fluido, se

dice que trabaja sobre carga, cuando la bomba está instalada sobre el fluido de dice que

trabaja sobre succión).

7.5 Formas de cavitación.

Cavitación por vapor.

Cuando existe una insuficiente NPSH disponible en un sistema de bombeo el fluido pasa

de fase liquida a vapor, el mismo fenómeno ocurre cuando existe una recirculación

interna en el sistema, produciéndose la cavitación por vapor, este fenómeno disminuye la

eficiencia del sistema de bombeo, generalmente se manifiesta por altas vibraciones o

ruidos en el sistema, dañando las partes internas del sistema por picaduras y erosión.

Cavitación por gas.

Es debida a los gases disueltos en los líquidos, generalmente provoca una pérdida de

capacidad del sistema.

Cavitación en sistema de tuberías.

Ocurre cuando en una tubería el flujo viaja a gran velocidad y la presión hidrostática del

líquido alcanza valores iguales o menores a la presión de vapor.

Cavitación por ondas.

Es debida a la formación de ondas formadas por cambios bruscos de caudal como el caso

del golpe de ariete, o por ondas debidas a explosiones y otras perturbaciones

ondulatorias.

196

7.6 la Cavitación en los cambios bruscos de velocidad del líquido.

La cavitación por cambios bruscos en la velocidad del líquido, pueden aparecer en las

partes móviles de máquinas hidráulicas, como son en los alabes del impulsor de una

bomba o de un rodete de una turbina, o en partes fijas como en los estrangulamientos

como es el caso del tubo Venturi, en válvulas reguladoras de caudal, en la regulación del

flujo por orificios. El fenómeno de cavitación es estudiado por diversos campos de la

ingeniería, ya que el colapso de las cavidades provoca una gran pérdida de energía

hidráulica, y causa un gran daño a casi todo tipo de material disminuyendo la vida útil del

sistema hidráulico, la cavitación puede considerarse como un proceso continuo de erosión

o picaduras, el colapso de las burbujas puede inyectar líquido a velocidades por arriba de

los 1000 m/s, provocando severos daños sobre la superficie golpeada.

Figura 7.1 cavitación en una válvula de mariposa

Figura 7.2 cavitación en una válvula de compuerta

197

7.7 control de la cavitación por cambios bruscos de velocidad.

La cavitación por cambios bruscos de velocidad, es un fenómeno físico que depende de las

condiciones de operación, por lo que cuando se proyecta un sistema hidráulico debe de

intentarse que el fenómeno sea controlado, por lo que la selección y operación de las

válvulas deben de elegirse considerando el fenómeno.

Las válvulas son seleccionadas y operadas siguiendo las recomendaciones siguientes.

a) Las válvulas de mariposa y compuerta solo pueden trabajar completamente

abierta o completamente cerradas.

b) Las válvulas de control de paso anular deben de ser elegidas en función de la carga

de trabajo, es decir deben de dimensionarse de forma adecuada.

c) En el caso de que la cavitación no pueda ser controlada por válvulas especiales, se

recurre a sistemas combinadas, generalmente con el uso de orificios a

contrapresión.

7.8 Fenómeno de golpe de ariete.

El golpe de ariete es un fenómeno dinámico oscilatorio, que puede ocurrir en un conducto

cerrado en donde fluye un líquido a tubería llena, cuando existe un cambio brusco de

caudal en la tubería, como puede ser cuando se cierra o se abre una válvula, encendido o

apagado de una turbomáquina, dando lugar a una transformación de energía cinética a

energía de presión y a cambios de sentido del flujo en la tubería. Debido a la sobrepresión

o depresión que causa este fenómeno es de gran importancia llevar a cabo un análisis

para la construcción de instalaciones hidráulicas, para evitar accidentes que pueden ser

desde impactos ligeros hasta desastres extremos donde se pierdan vidas humanas, daños

al medio ambiente, destrucción del sistema hidráulico, el fenómeno de golpe de ariete es

un movimiento transitorio en una conducción a presión donde existen grandes variaciones

de velocidad y presión. Generalmente el golpe de ariete se produce en los sistemas

cuando estos son operados, por lo que es de suma importancia considerarlo como un

fenómeno que ocurre con gran frecuencia.

7.9 Golpe de ariete como fenómeno transitorio suave.

El fenómeno del golpe de ariete puede presentarse de una manera poco impactante,

como es cuando se abren o se cierran las válvulas de control de flujo de una forma lenta,

en estos casos la tubería es considera rígida y el fluido incompresible.

198

7.10 Golpe de ariete como fenómeno transitorio brusco.

El golpe de ariete como fenómeno transitorio brusco, ocurre por ejemplo cuando por

ejemplo se abre o se cierra bruscamente una válvula, causando un gran cambio en las

variables hidráulicas como son la presión y la velocidad del flujo, en este caso la

sobrepresión a la que es sometido el sistema provoca que el líquido se comprima y la

tubería deje de ser considera rígida.

7.11 Golpe de ariete por gravedad.

Uno de los casos más estudiados del golpe de ariete es el caso por gravedad, en el cual se

considera que el fluido es a través de una tubería por una diferencia de alturas

piezométricas, en el extremo inferior de la tubería se haya una válvula de control de flujo

la cual se cierra instantáneamente, provocando que el agua más próxima a la válvula se

frene de manera brusca y sea empujada por inercia por el resto del fluido, este proceso

crea una onda de sobrepresión que viajara de la válvula al extremo superior de la tubería,

de tal forma que el líquido contenido en la tubería sufrirá una compresión y la tubería

sufrirá una dilatación , debida a la transformación de la energía cinética a energía de

presión, cuando la onda de compresión se detiene se inicia por reacción una onda de

descompresión del extremo superior de la tubería hacia la válvula, el fenómeno de

descompresión provoca que el diámetro de la tubería se contraiga del punto de dilatación

hasta un valor menor que el punto de equilibrio, donde nuevamente la tubería por

reacción tratara de recuperar su forma original, provocando nuevamente una onda de

compresión, el proceso debido a las ondas de compresión y descompresión es el llamado

golpe de ariete estacionario.

7.12 Golpe de ariete por una bomba.

En el caso de un sistema de bombeo cuando la bomba es parada, se presenta un golpe de

ariete en el sentido inverso que el provocado en el cierre de una válvula en un flujo por

gravedad, ya que en el extremo de la tubería el líquido se detendrá al ya no existir una

presión que provoque la circulación del líquido, por lo que existirá una onda de depresión

de la salida de la bomba al extremo de la tubería. Considerando que la tubería

generalmente abastece a un depósito, en este la presión será mayor que la presión en la

tubería, ya que en ella existe una onda de depresión, por lo que el líquido fluirá del

depósito hacia la válvula de retención del sistema, considerando un caso ideal y se

desprecian las perdidas hidráulicas, por el teorema de Bernoulli la energía del líquido en el

199

deposito se transformara en energía de presión y energía cinética, y el flujo será a la

misma velocidad y presión pero en sentido contrario, el líquido al chocar con la válvula de

retención provocara un golpe de ariete similar al golpe de ariete por gravedad.

7.13 Tiempo para alcanzar el flujo permanente.

Para el estudio cuantitativo del golpe de ariete existen algunas ecuaciones prácticas para

analizar al fenómeno hidráulico, una de ellas es la ecuación que permite calcular el tiempo

necesario para que el flujo en una tubería se establezca de forma permanente cuando se

abre de forma “instantánea” una válvula.

T

(7.1)

En dónde:

L = longitud de la tubería.

V = la velocidad media del flujo en la tubería.

H = la altura de energía disponible para el flujo.

7.14 Ecuaciones diferenciales para analizar el golpe de ariete.

En base a la ecuación de movimiento de Newton y al principio de conservación de la masa

(ecuación de continuidad), se puede encontrar mediante un análisis matemático, las

ecuaciones diferenciales de flujo transitorio para el golpe de ariete, considerando la

presión p, y la velocidad V como variables dependientes y a L longitud de la tubería y

tiempo t como variables independientes.

g sen

= 0 (7.2)

es el angulo de inclinacion de la tubería con la horizontal.

ρ es la densidad del líquido.

f es el coeficiente de fricción.

ρa2

= 0 (7.3)

200

Siendo:

a2 =

(7.4)

Ecuación encontrada por Joukowsky, en donde:

K módulo de elasticidad volumétrica del fluido.

ρ es la densidad del líquido.

D es el diámetro de la tubería.

espesor de la pared de la tubería.

E módulo de elasticidad de Young de la pared de la tubería.

En base a un análisis matemáticas las ecuaciones (7.2) y (7.3), pueden combinarse para

obtener la ecuación siguiente:

g sen

= 0 (7.5)

7.15 Velocidad de propagación.

La velocidad de propagación de la onda de presión a través del líquido en la tubería se le

llama celeridad, la cual depende de las características físicas de la tubería y de la

compresibilidad del fluido. Una ecuación propuesta por Allievi es la siguiente:

a =

(7.6)

K =1010/ , donde

201

Por ejemplo para una tubería de fundición =1010 (kg/m2), por lo que K = 1

e es el espesor de la tubería.

D el diámetro de la tubería.

En la práctica existen tablas donde se encuentran los valores de la celeridad de la onda de

presión.

En el caso de que la conducción está constituida por tubos de diferentes condiciones

físicas.

= L1/a1 + L2/a2 + ……. (7.7)

7.16 Celeridad de Joukowsky.

Joukowsky demostró que la celeridad de la onda de presión en un líquido sin fase gaseosa

que fluye por una tubería de espesor e, y diámetro D, está determinada por la ecuación

siguiente:

a2 =

(7.8)

Donde C es un valor que depende del tipo de anclaje de la tubería, en el caso de un

excelente anclaje con juntas de dilatación su valor es la unidad, K es el módulo de

compresibilidad del fluido, su densidad, E el módulo de Young del material de la tubería.

El módulo de compresibilidad del agua es de aproximadamente 2.2 109 N/m2, es

importante señalar que en el caso de que en el fluido existiera gas disuelto las

propiedades del fluido varían y modifican el valor de la celeridad.

Joukowsky demostró mediante las ecuaciones (7.2) y (7.3), que la altura de sobrepresión

producida por el golpe de ariete cuando existe un cambio de velocidad de flujo en la

tubería está dada por la expresión

(7.9)

Si el cierre de una válvula es instantáneo o con tiempo de cierre Tc 2L/a, puede

considerarse que 0, por lo que la ecuación (7.9) puede escribirse como

ΔP/ = aV0/g (7.10)

202

7.17 Ecuación de Michaud.

Una de las ecuaciones para el cálculo de la altura de sobrepresión si el cierre es lento, que

ocurre cuando el tiempo de cierre Tc 2L/a, es la ecuación de Michaud, la cual puede

escribirse como:

P/ =2LV0/gTc (7.11)

Ejemplo 7.1

Por una tubería de acero ( =2 1010 kg/cm2), de 30 cm de diámetro fluye un caudal de

100 l/s de agua, el espesor de la tubería es de e = 2 cm, el sistema es horizontal y la

altura de presión en la válvula de control de 42 m, si ocurre un cierre instantáneo

determine:

a) la celeridad (velocidad) de la onda de presión.

b) La presión máxima provocada por el golpe de ariete en la válvula de control.

Solución:

a) Por la ecuación de Allievi (7.6)

a =

(7.6)

Como K =1010/

K = 1010/2 1010 = 0.5

D/e = 30/2 = 15

Sustituyendo datos en (7.6)

a =

m/s

a = 1325.31 m/s

b) por la ecuación de Joukowsky

ΔP/ = aV0/g (7.10)

203

De la ecuación de continuidad

V0 = 4Q/ D2 = (4 0.100)/ 0.302) m/s

V0 = 1.41 m/s

ΔP/ = 1325.31 m

ΔP/ = 190.44m (sobrepresión debida al golpe de ariete)

La altura de presión total sobre la válvula será de

ΔP/ = m

ΔP/ = 232.44m

Ejemplo 7.2

Por una tubería de hierro ( = 2 1010 kg/m2), de 50cm de diámetro, espesor e = 0.06 m,

longitud L = 2 900m, circula un caudal de agua de 320 l/s, el sistema es horizontal y la

altura de presión en la válvula de control es de 80 m, si la válvula se cierra en un tiempo

Tc= 6 s, determine:

a) la celeridad de la onda de presión.

b) la presión máxima provocada por el golpe de ariete en la válvula de control.

Solución:

a) Por la ecuación de Allievi (7.6)

a =

(7.6)

Como K =1010/

K = 1010/2 1010 = 0.5

D/e = .50/.06

D/e = 8.33

204

Sustituyendo datos en (7.6)

a =

m/s

a = 1366.78 m/s

b) determinando el termino T = 2L /a

T = (2)(2900)/(1366.78) s

T = 4.24 s

Como el tiempo Tc = 6 s es mayor que el tiempo calculado T = 4.24 s, el proceso se

considera de tiempo de cierre lento, por lo que se calculara la sobrepresión por la

ecuación de Michaud.

P/ =2LV0/gTc (7.11)

De la ecuación de continuidad

V0 = 4Q/ D2 = (4 0.320)/ 0.502) m/s

V0 = 1.629 m/s

P/ = (2)(2 900)(1.629)/(9.81)(6) m

P/ = 160.51 m (sobrepresión debida al golpe de ariete)

La altura de presión total sobre la válvula será de:

P/ = m

P/ = 240.51 m

7.18 Sistemas para el control del golpe de ariete.

Un sistema hidráulico de tuberías puede ser protegido mediante la instalación de válvulas

de cierre lento, válvulas controladoras de presión las cuales permitan que el líquido salga

del sistema cuando exista sobrepresión, en el caso de que haya disminución de la presión

se instalan sistemas de aire comprimido que absorben los cambios de presión, debe de

dimensionarse correctamente el sistema de tuberías para que no exista un incremento de

la velocidad de flujo.

205

Algunos de los dispositivos más utilizados para el control del golpe de ariete son las

válvulas de retención en los sistemas de bombeo, las cuales también evitan el reflujo, sin

embargo estas válvula también producen perturbaciones en el sistema ya que pueden

abrirse o cerrarse en función de la sobrepresión causando vibraciones en el sistema, otros

dispositivos utilizados son los volantes de inercia en los motores de las bombas, los cuales

protegen al sistema cuando la bomba detiene su funcionamiento, los volantes de inercia

tienen la propiedad de oponerse a los cambios de operación ocasionados por las

oscilaciones de presión, el inconveniente de estos sistemas es el alto costo, y que

incrementa el tiempo de funcionamiento, considerando que la sobrepresión ocasionada

por el golpe de ariete está en función del tiempo de cierre de la válvula, se tratara de

instalar válvulas de cierre programadas de tal forma que pueda controlarse el golpe de

ariete a niveles permitidos de diseño, las válvulas de control de fluctuaciones son

controladoras de presión cuando existen interrupciones de energía, actúan produciendo

una abertura para descargar el fluido de la tubería, una vez controlada la presión se

cierran lentamente.

Las cámaras de aire son dispositivos sumamente eficientes para el control de las

variaciones de presión, las cuales generalmente se encuentran instaladas cerca de las

estaciones de bombeo, en la parte inferior de la cámara existe un volumen de agua y en la

parte superior aire comprimido, cuando existe una interrupción del sistema de bombeo, el

aire inyecta el agua del fondo de la cámara hacia la tubería, evitando cambios excesivos en

la velocidad del flujo.

Tanques de compensación, son sistemas instalados a gran altura y por lo tanto con gran

energía geopotencial, los cuales dotan de agua al sistema cuando existe una interrupción

de energía eléctrica, los tanques de compensación son sistemas de excelente eficiencia

para controlar el golpe de ariete.

Las válvulas de alivio son dispositivos hidráulicos que actúan de forma automática y muy

rápidamente, permitiendo la salida de líquido de la tubería hasta alcanzar una presión

prefijada.

En la actualidad existe un sinfín de dispositivos para prevenir o controlar los efectos del

golpe de ariete, por lo que los profesionistas de la ingeniería tendrán que hacer uso de la

tecnología más adecuada según sea el caso particular del sistema hidráulico.

206

Objetivos del capitulo

Después de que el estudiante haya terminado de estudiar este séptimo capítulo, habrá

desarrollado las siguientes habilidades.

a) Conocerá el fenómeno de cavitación y su gran importancia en los sistemas

hidráulicos.

b) Describirá las fases del fenómeno de cavitación.

c) Podrá instalar sistemas hidráulicos donde la influencia del aire no aumente la

cavitación.

d) Dominará los conceptos de alturas de energía para el estudio del fenómeno de

cavitación.

e) Analizará las diferentes formas de la cavitación.

f) Conocerá la influencia de la velocidad del flujo de líquido, en el fenómeno de

cavitación.

g) Comprenderá el fenómeno del golpe de ariete.

h) Dominará los conceptos de golpe de ariete, como fenómeno transitorio suave y

brusco.

i) describirá el golpe de ariete por gravedad y el provocado por un sistema de bombeo.

j) Conocerá la ecuación que cuantifica el tiempo para alcanzar el flujo permanente, en

un sistema de hidráulico de tuberías.

k) Analizará las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento del golpe de

ariete como fenómeno transitorio.

l) Aplicará la ecuación de Allievi, para calcular la celeridad del fenómeno del golpe de

ariete.

m) Conocerá y aplicará las ecuaciones de Joukowsky y Michaud, para calcular la

sobrepresión ocasionada por el golpe de ariete.

n) Comprenderá el funcionamiento de diferentes sistemas hidráulicos, para el control

del golpe de ariete.

o) Aplicara la teoría comprendida en este capítulo, para resolver los problemas

propuestos.

207

Problemas

1. Describa las principales causas que provocan cavitación, en la tubería de succión en un

sistema de bombeo.

2. ¿Cómo puede evitarse la cavitación en una tubería de descarga de gran longitud?

3. ¿En qué fase de la cavitación ocurren los mayores daños en una bomba?

4. ¿Cuál es la importancia de los conceptos de alturas de energía?

5. Describa la influencia de la velocidad de flujo en el fenómeno de cavitación.

6. Describa mediante una gráfica el golpe de ariete en una tubería horizontal cuando se

cierra bruscamente la válvula de control de flujo, situada al final de la tubería.

7. ¿Cuáles son las causas por las cuales un golpe de ariete puede considerarse como un

fenómeno suave y un fenómeno brusco?

8. De un depósito de grandes dimensiones llego de agua y de una altura de 6m, se

alimenta una tubería horizontal de longitud L = 180m, si la válvula de control situada

en la entrada de la tubería de descarga se abre de forma súbita, determine el tiempo

necesario para que se establezca un flujo permanente con una velocidad V0 = 1.9 m/s,

en la tubería.

9. Por una tubería de acero ( =2 1010 kg/cm2), de 40 cm de diámetro fluye un caudal

de 200 l/s de agua, el espesor de la tubería es de e = 2 cm, el sistema es horizontal y

la altura de presión en la válvula de control de 80 m, si ocurre un cierre instantáneo

determine:

a) la celeridad (velocidad) de la onda de presión.

b) La presión máxima provocada por el golpe de ariete en la válvula de control

10. Por una tubería de hierro ( = 2 1010 kg/m2), de 60cm de diámetro, espesor e = 0.06

m, longitud L = 3 000m, circula un caudal de agua de 400 l/s, el sistema es horizontal y

la altura de presión en la válvula de control es de 95 m, si la válvula se cierra en un

tiempo Tc= 12 s, determine:

a) la celeridad de la onda de presión.

b) la presión máxima provocada por el golpe de ariete en la válvula de control.

208

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