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Mecánica de Medios Continuos. Tema 6a. Comportamiento elastoplástico de secciones

ARTURO NORBERTO FONTÁN PÉREZ Figura. Simulación del futuro

puente de Messina ante cargas de viento con velocidad de flameo.

Vano principal: 3300 m.

Contenido. Tema 6a. Comportamiento elastoplástico de secciones

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1. Introducción. 2. Esfuerzo axil. 3. Flexión pura. 4. Flexión simple. 5. Flexión compuesta.

ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos

Mecánica de Medios Continuos. Tema 6a

6a.1. Introducción

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- Se observan estructuras con grandes descensos de apoyos o sobrecargas muy superiores a las previstas que resisten más de lo esperado por “resistencia de materiales”, y que no se justifica por el uso de coeficientes parciales de resistencia.

- Existen mecanismos resistentes diferentes a los planteados por la “resistencia de materiales”: plasticidad. - Se plantean dos tipos de análisis:

• Sección transversal (rebanada elemental). • Estructura.

- Hipótesis: • Ley tensión-deformación bilineal:

• Hipótesis de Navier-Bernouilli: secciones transversales planas permanecen planas y normales a la directriz después de la deformación.

- El margen o coeficiente de seguridad en plasticidad es el valor por el que habría que multiplicar todas las cargas actuantes para que la estructura fallase.

- El aumento de capacidad resistente por plasticidad de las estructuras hiperestáticas es superior al de las isostáticas.

- En cálculo plástico no es válido el principio de superposición, la estructura debe resolverse globalmente para la totalidad de cargas actuantes.

- En lo que sigue no se consideran ni no linealidades geométricas ni limitaciones de estado límite de servicio.


σ

ε

σe

εe εu

σe: tensión de plastificación. εe: deformación elástica. εu: deformación de rotura.



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6a.2. Esfuerzo axil

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En una sección transversal de área A sometida a un axil N (de tracción o compresión) todas las fibras experimentan la misma tensión σ:

Si aumenta el axil, la sección se agotará cuando la tensión alcance el valor de plastificación σe.


NA

σ =N

σp eN Aσ= ⋅

Np: axil que agota la sección.

Los 3 cables se deforman por igual, tienen igual tensión pero soportan distinto axil. La estructura se agota cuando los cables alcanzan la tensión σe.

Si A1 = A3: al aumentar N, el primer cable en plastificar será el 2, pero el equilibrio será estable. Los cables 1 y 3 aún tienen capacidad resistente. La estructura se agota cuando los cables 1 y 3 alcanzan la tensión σe o cuando el cable 2 alcanza la deformación εu.

3·P

2·A A 2·A

1 2 3

L

P

1

2

3

L

L

A1 A2 A3

. . .

1 2 31 2 3

1 3

1 2 3

1 2 3

N N N2 A A 2 A

N N3 P3 P N N N 5 A5 A

N 1 2 P N 0 6 P N 1 2 P

σ σ σ σ

σ σ

= = ⇒ = = =⋅ ⋅

=

⋅⋅ = + + = ⋅ ⋅ ⇒ =

⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅

1 2 3 1 3 2

2 1 3 2 1 3

L LL L L L2 L L

2 2 2 2

∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ ε ε ε

ε ε ε σ σ σ

= = = ⇒ = = =⋅

= ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅

;



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6a.3. Flexión pura

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Flexión pura: sólo existe momento flector. Flexión simple: existe momento flector y esfuerzo cortante. Flexión compuesta: existe momento flector y esfuerzo axil. a) Secciones simétricas (eje vertical y eje horizontal de simetría): la fibra neutra pasa por el cdg.


ε σ

M

εe σ

Me

e

ε ε ε < <e σ

M>Me

eu

εe

σ

M>Me

e

εe

εu

σ

Mp

e

- λ “mide” el aprovechamiento de una sección según RM. - La fibra neutra no cambia en todo el proceso. - El volumen de tracciones es igual al de compresiones.

Me: momento elástico. Mp: momento plástico. λ : factor de forma.

p

e

MM

λ =

- Sección en doble T: λ ≈ 1.1 - Sección rectanglar: λ = 1.5 - Sección circular: λ = 1.7 - Sección romboidal: λ = 2

En la práctica se admite que el momento flector Mp que agota la sección es aquel que produce la plastificación de toda la sección.


6a.3. Flexión pura

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b) Secciones disimétricas (sólo eje vertical de simetría): Durante el régimen elástico la fibra neutra pasa por el cdg, pero su posición varía hasta el agotamiento. Nuevamente, el volumen de tracciones es igual al de compresiones. En el agotamiento, la fibra neutra se encuentra en la fibra que divide al área total en dos partes iguales.


eM

σ σ <

M

s e

σ σ <i e σe

σ σ <s e

σe

σ σ <s e

σe σe

σe σe

pMs iS S= T CA A=

Ss: momento estático del área por encima del eje horizontal que pasa por el cdg. Ss: momento estático del área por debajo del eje horizontal que pasa por el cdg. AT: área a tracción. AC: área a compresión.


6a.3. Flexión pura

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Diagrama momento-curvatura: La curvatura, concepto puramente geométrico, es la variación unitaria del ángulo relativo que giran las dos

caras de una rebanada:

Este diagrama es muy útil para calcular movimientos a partir de las fórmulas de Bresse:


1 d Mr dx E I

ϕχ = = =⋅

Régimen elástico

Régimen elástico y plástico tan

x

x

dxd d zdx dx dx z

εϕ ϕ εχ

⋅

= ≈ = = ⇒ x

zεχ =

1

MMp

1

χχe

MMp

e

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 2y

y2 y1 y1 yy1 1

2 2y

2 1 y1 2 1 2 1 y1 2 1 y 2y1 1

2 2y

2 1 y1 2 1 2 1 y1 2 1 y 2y1 1

Mdx dx

E I

Mu u Z Z Z Z dx u Z Z Z Z dx

E I

Mw w X X X X dx w X X X X dx

E I

ϕ ϕ ϕ χ

ϕ ϕ χ

ϕ ϕ χ

= + ⋅ = + ⋅⋅

= + ⋅ − + ⋅ − ⋅ = + ⋅ − + ⋅ − ⋅⋅

= − ⋅ − − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − − ⋅ − ⋅⋅

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

ee

ME I

χ =⋅

M

dφε ·dx

dx

x

z


6a.3. Flexión pura

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Proceso de carga y descarga de una sección: Dado un momento flector M1 tal que: Me< M1 <Mp, si aplicamos un momento flector de signo contrario M2,

todas las fibras comienzan a descargar elásticamente (mientras M2 <2·Me):


ε

σe

OO

-σe

εe

M1

e

M <M2 M -M21

M -M21

σeσ

M1

e

M -M21

2·σeσ

M1

e σe

+

+

+

=

=

=e

M =M2 e

M =2·M2 e


6a.3. Flexión pura

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Descarga de una sección: Para descargar totalmente una sección es necesario aplicar un momento flector igual y contrario. Puesto que normalmente λ<2, la descarga total es mediante una rama elástica:


Si descarga elástica

descarga elásticaSi

descarga plástica

pp e 1 e

e

1 epp e

1 ee

M2 2 M 2 M M 2 M

MM 2 MM

2 2 M 2 MM 2 MM

λ

λ

< ⇒ < ⇒ < ⋅ ⇒ < ⋅ ⇒

≤ ⋅ ⇒> ⇒ > ⇒ > ⋅ ⇒ > ⋅ ⇒

σ

M1

e

+ =-M1

Distribución de tensiones que se produciría si toda la carga fuese elástica.

Tensiones residuales (autoequilibradas).



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6a.4. Flexión simple

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En hormigón, los dimensionamientos a flexión y a cortante son relativamente independientes. En acero, el momento flector y el esfuerzo cortante no son independientes. Aplicando el criterio de

plastificación de Von Mises-Hencky: En flexión pura existe un único valor del momento flector que produce el agotamiento de la sección: Mp. En flexión simple existen infinitas parejas de valores que producen el agotamiento de la sección: (Mp’, Vp’).


e2 2

e ee

03

03

σ σ τσ τ σ στ τ σ

= ⇒ =+ ⋅ ≤ ⇒ = = ⇒ =

Para obtener puntos del diagrama se aumentan los esfuerzos proporcionalmente hasta alcanzar el agotamiento de la sección:

M cteV

=

Vp: cortante que agota la sección. γ: coeficiente de seguridad global:

M'p

Mp

V'pVpO

A

B

OBOA

γ =

b

h

σe

σe

τe

2 23σ τ+ ⋅


6a.4. Flexión simple

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Cuando las fibras extremas plastifican por tensión normal, no soportan tensión tangencial y el esfuerzo cortante debe ser resistido por el resto de la sección.

A medida que las fibras extremas plastifican por el momento flector creciente, las tensiones tangenciales aumentan en la zona central (se concentran en una zona cada vez menor y esfuerzo cortante creciente).

La sección se agota en el momento en que alguna fibra plastifica por cortante, pues al no soportar nada de

tensión normal no podría cumplirse la hipótesis de Navier (se comprueba experimentalmente).


e

σe

τ τ< e

e

σe

e

σe

τeτ τ< e

e

σe

τe



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6a.5. Flexión compuesta

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Núcleo central: lugar geométrico de los puntos donde se puede aplicar una carga de forma que todas las tensiones normales en la sección tienen el mismo signo.

Flexión compuesta: el axil se aplica fuera del núcleo central. Tracción o compresión compuesta: el axil se aplica dentro del núcleo central. La posición de la fibra neutra varía durante el proceso de carga hasta el agotamiento.


s e

σ σ <i e

σe

σ σ <i e σe σe

σe σeσe

σ σ <i e

σ σ <s e

σ σ <i e

σe

σ σ <i e σe

σe σeσe

σ σ <i e

M

e N MM N e eN

= ⋅ ⇒ =


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