MECÁNICA DE MEDIOS CONTINUOS

JORGE EDUARDO CAMARENA AGUILERA

La convección:

 Es una de las tres formas de transferencia de calor y se caracteriza porque se produce por medio de un fluido (líquido o gas) que transporta el calor entre zonas con diferentes temperaturas. La convección se produce únicamente por medio de materiales fluidos.

Lo que se llama convección en sí, es el transporte de calor por medio del movimiento del fluido, por ejemplo: al trasegar el fluido por medio de bombas o al calentar agua en una cacerola, la que está en contacto con la parte de abajo de la cacerola se mueve hacia arriba, mientras que el agua que está en la superficie, desciende, ocupando el lugar que dejó la caliente.

Generalidades

El estudio del fenómeno de la convección es más complejo ya que involucra el

movimiento natural o forzado del fluido.

Igualmente puede ocurrir transferencia de calor en forma simultánea con

transferencia de masa o con cambio de estado (entre fase de vapor y fase líquida o

viceversa). De ahí la importancia de un adecuado conocimiento sobre la mecánica

de fluidos y el establecimiento de condiciones dadas de la conservación de

momento, masa y energía.

En gran número de casos, la transferencia de calor en que intervienen líquidos o

gases, ocurre por el mecanismo de convección.

En la Industria de Alimentos, innumerables procesos implican la transferencia de

calor de líquidos o gases a través de paredes sólidas a otros líquidos o gases en

procesos como esterilización en intercambiadores de calor, destilación en torres,

condensación de vapores en serpentines, calentamientos en ollas o marmitas con

camisas o serpentines de vapor, etc.

La transferencia de calor en los fluidos ocurre por mezcla o turbulencia, eventos

que pueden ser naturales, por cambios en la densidad del fluido o forzados por

aparatos como bombas, ventiladores, etc. Para este segundo caso el mecanismo

de convección forzada puede estar en flujo laminar o turbulento acorde al Número

de Reynolds, como se ha visto en el flujo de fluidos.

En la figura 1-32 se representan los gradientes de temperatura para un flujo

estacionario de calor por conducción y convección entre dos fluidos separados por

una superficie sólida (la pared de un tubo, una lámina, etc.) de espesor X.

Teniendo el flujo caliente a una temperatura T1, el calor fluye hasta el fluido frío

que se encuentra a una temperatura T2

Cuando se tiene un flujo turbulento en una tubería en las proximidades de las

paredes o superficie de la tubería, la velocidad del fluido es aproximadamente

cero; existe una zona relativamente estática o quieta del fluido en contacto con la

pared. Esta zona se denomina película y una considerable cantidad de la caída de

temperatura entre la superficie de la tubería y el fluido ocurre en la película, como

se representa en la figura 1-32.

FIGURA 1-32

Caída de temperatura en películas sobre paredes de una tubería

Para facilitar el entendimiento y por consiguiente los cálculos de transferencia de

calor en flujo turbulento bajo condiciones isotérmicas, se asume un flujo laminar de

la película del fluido y la nueva capa límite se define para un número crítico de

Reynolds.

En los flujos laminares a menudo se asume que el gradiente o caída de

temperatura ocurre totalmente en la película; sin embargo, por la ausencia de

mezcla en el cuerpo principal del fluido esta suposición puede causar errores

sustanciales.

Con estas consideraciones la temperatura del fluido caliente T1 baja a T2 en la

superficie exterior de la película, y pasa a T3 en la superficie interior que está en

contacto con la pared.

En los cálculos de transferencia de calor es conveniente usar una temperatura del

fluido, cercana a la más alta, T1, y no la temperatura exterior de la película T2 ;

puede emplearse una temperatura media entre T1 y T2, considerando que existe

una mezcla total y absoluta en el fluido. Esta temperatura se representa por las

líneas punteadas Tn

Igual consideración puede hacerse en el fluido frío y la temperatura escogida Tm

será la media entre T5 y T6.

Como se mencionaba, en la película ocurre una amplia caída de temperatura y se

llega a T3 en la superficie interna de la película, y es la misma temperatura de la

pared sólida. En un mecanismo estrictamente de conducción la temperatura llega

a T4 en la superficie exterior de la pared sólida. La caída de dicha temperatura en

la pared sólida, T4-T3 se determina empleando la conductividad térmica del

material y en la mayoría de los casos es una pequeña fracción de la caída total de

temperatura en el sistema.

En la práctica las temperaturas de las películas se determinan mediante el empleo

de termocuplas muy finas y exactas en tanto que la temperatura del fluido se toma

con un termómetro cuyo bulbo está cerca del centro de la corriente.

Balances de energía

La resolución de problemas de transmisión de calor, se logra con base en los

balances de energía y en las velocidades de transmisión de calor.

Considerando que en los equipos de intercambios de calor no existe trabajo

mecánico y que las energías tanto potencial como cinética son pequeñas en

comparación con lo otros tipos de energía que aparecen en las ecuaciones del

balance total de energía, la ecuación del balance se puede expresar como:

q = H = m (H2 - H1) (1-

83)

Siendo m la velocidad del flujo del fluido Kg/hr

H1 = Entalpía del fluido a la entrada o entalpía inicial Kcal / Kg

H2 = Entalpía del fluido a la salida o entalpía final Kcal / Kg

q = Flujo de calor por unidad de tiempo

Al tener un fluido caliente circulando por el interior de una tubería, en tanto que por

el exterior fluye un fluido frío, como se observa en la figura 1-32, se buscan las

pérdidas menores o casi nulas de calor hacia el ambiente, empleando un

aislamiento adecuado. Así, para el fluido caliente puede escribirse:

q1 = m1 (H1 b - H1 a) (1-83A)

y para el fluido frío:

q2 = m2 ( H2 b - H2 a) (1-83B)

Como el fluido caliente cede calor H1 b < H1 a y el signo de q1 será negativo,

siendo:

m1 = Velocidad de flujo de masa del fluido caliente Kg/hrm2 = Velocidad de flujo

de masa del fluido frío Kg/hr

H1a = Entalpía inicial del fluido caliente Kcal / Kg

H1 b= Entalpía final del fluido caliente Kcal / Kg

H2a = Entalpía inicial del fluido frío.

H2b =Entalpia final del fluido frío

FIGURA 1-33

Intercambio de calor en tubos concéntricos

Dado que el calor perdido, por el fluido caliente es ganado por el fluido frío se

tiene:

q1 = q2 y m1 ( H1 b - H1 a) = m2 (H2 a - H2 b) (1-

84)

que es la ecuación del balance global de energía.

Una suposición válida para líquidos es que sus calores específicos son

constantes, y la ecuación (1-84) se nos convierte en:

q = m1 Cp1 (T1 b - T1 a) = m2 Cp2 ( T2 a - T2 b) (1-

85)

Siendo:

Cp1= Calor especifico del fluido caliente Kcal / KgoC

Cp2= Calor específico del fluido frío Kcal / Kg oC

T1 = Temperatura del fluido caliente

T2 = Temperatura del fluido frío

Para un condensador, en el cual entra vapor saturado para ser únicamente

condensado, sin enfriamiento ulterior

q = mv v = m2 Cp2 ( T2 a - T2 b)

(1-86)

Donde m es la velocidad másica de vapor o tasa de condensación de vapor Kg/hr.

calor latente de vaporización del vapor Kcal / hr.

Cuando se tiene enfriamiento adicional al proceso de condensación se tiene:

q = mv ( v + Cpv Tc- Tf = m2 Cp2 ( T2a - T2b)

( 1-87)

Dónde: Cpv = Calor específico del condensando Kcal / Kg oC

Tf = Temperatura final del condensando oC

Tc = Temperatura de condensación oC

EJEMPLO No. 20

Se desea recuperar calor de un aceite de freido caliente que está a 200 oC y sale a

70oC, cuyo calor específico es de 0,75 y fluye a razón de 0,8 Kg/seg, calentando

aceite frío que está a 20 oC y se espera que salga a 150 oC.

Determinar la cantidad de aceite frío que se puede calentar por hora, si su calor

especifico es de 0,5 Kcal / kg0C.

Solución: Aplicando la ecuación (1-85)

m2 Cp2 (T2a- T2b) 0,8 x 0,75 (200-70) m = ------------------------------------ = -------------------------- = 1,2

Kg/seg Cp1 (T1b - T1a) 0,5 (150-20)

m = 1,2 x 3.600 = 4.320 Kg/hr

Resp : 4.320 Kg/hr

EJEMPLO No. 21

En un proceso de cocción de vegetales se emplea una olla con camisa de vapor.

Las condiciones de proceso son:

Vegetales 500 Kg

Temperatura inicial, T1a 25oC y final , T2a 85oC

Calor específico Cp = 0,9 cal / gr oC

Vapor de agua (saturado) Tc = 92 oC = v = 540 cal/gr

Agua condensada Temperatura final, Tf = 50 oC Cp = 1 cal/gr oC

Determinar la cantidad de vapor gastado.

SOLUCION: Aplicando la ecuación (1-87)

m2 Cp2 (T1a- T2a) 500 x 0,9 (85 - 25)

mv -------------------------- = -------------------------------- = 46,39 Kg v + Cpv (Tc - Tf) 540 +1(92-50)

Resp: 46,39 Kg/hr

Convección libre

El mecanismo de convección libre obedece fundamentalmente a la mezcla natural

de porciones frías y calientes del fluido, existiendo un movimiento del fluido sea en

un espacio abierto o en un recipiente o espacios delimitados como el interior de una

tubería, tanques, etc.

Cuando el movimiento obedece a fuerzas corporales generadas por el cambio en la

densidad del fluido, consecuencia a la vez de los cambios de temperatura, se tiene

la convección natural o libre.

En muchas aplicaciones de Ingeniería se presenta la transferencia de calor por

convección natural, como en los radiadores, transformadores, líneas de transmisión

eléctrica, cocción de alimentos, etc.

FIGURA 1-34

Un caso particular de convección considerada como natural es el del fluido que se

encuentra estático respecto a la tierra y un sólido a diferente temperatura se mueve a

través de él, creándose movimientos en el fluido por desplazamiento del sólido, como

un avión que se desplaza en el aire.

Si bien la densidad es la propiedad que más influye en el movimiento del fluido

que cambia su temperatura, otras propiedades del fluido y elementos colaterales a

él, también juegan papel importante.

Para el análisis del fenómeno de conducción se toma un elemento de volumen de un

fluido frío que está en contacto con un sólido a más alta temperatura.

Inicialmente el calor fluye del sólido al elemento de volumen debido al íntimo contacto

entre los dos, teniendo lugar flujo de calor por conducción, que es función de la

conductividad térmica tanto del sólido como del fluido

El calor que llega al fluido causa una dilatación o expansión volumétrica, que es a la

vez función de la temperatura del fluido

1 dV

= ---- --- (1-88)

V dT p

expansión volumétrica causa un movimiento lateral y hacia arriba de los elementos de

volumen adyacentes al escogido para el estudio.

La expansión volumétrica puede expresarse en función de la densidad, dado que el

peso del elemento de volumen es constante,

1 d

= - --- ------- (1-89)

dT p

Consecuencialmente se tiene un cambio en la densidad. En la condiciones

establecidas, al incrementar el volumen la densidad disminuye y acorde al principio de

flotación el elemento tiende a subir, causando el movimiento del fluido por la misma

ascensión del elemento y el desplazamiento de los adyacentes. Es natural que a mayor

gradiente de temperatura mayor desplazamiento se tiene y en consecuencia mayor

flujo de calor.

Así, se crean fuerzas ascensionales o fuerzas de empuje, que son función de la

expansión volumétrica, densidad, y diferencia de temperatura.

El incremento de temperatura es función del calor específico del fluido. Para el

elemento de volumen:

dQ = C dT

Al movimiento se oponen la viscosidad del fluido y la gravedad terrestre.

El flujo de calor es función entonces de:

q = f (K, , , C, T, , g, A)

relación que se formula, mediante análisis dimensional en la ecuación

q = h A T

(1-90)

donde h es el llamado coeficiente de película o coeficiente de transferencia de calor por

convección y es función de las propiedades del fluido y del gradiente de temperatura.

Las unidades del coeficiente, deducidas de la ecuación son:

BTU Kcal W

-------- ---------- ---------

hr ft2 0 F hr m2 0C m2 0 C

La ecuación (1-90) recibe el nombre de Ley de Enfriamiento de Newton.

La determinación del Coeficiente de Película h, es experimental ya que no se tiene una

correlación directa entre las propiedades del fluido las cuales varían muy

diferentemente en función del cambio de temperatura. La configuración del sólido en

contacto también influye en su valorización.

Algunos investigadores han desarrollado ecuaciones basados en los comportamientos

de los fluidos en sus capas limites hidrodinámicas empleando analogías, sin embargo

los resultados no son satisfactorios.

Como se planteó anteriormente, el fluido presenta una capa o película donde se

efectúa la transferencia de calor por conducción y es en esta película donde se tiene el

mayor porcentaje de caída o diferencia de temperatura, como se aprecia en la figura 1-

31. El fenómeno es análogo al gradiente de velocidad que se presenta en la capa limite

hidrodinámica en el movimiento de los fluidos.

El análisis experimental y el análisis dimensional han permitido encontrar las relaciones

adecuadas para obtener el Coeficiente de Película. (ver lectura complementaria)

En la figura se aprecia la variación de temperatura para un fluido que se calienta como,

para uno que se enfría teniendo:

Tw ,temperatura de la pared en contacto con el fluido

Tn, temperatura media del fluido

Tf, temperatura de la película de fluido

Ta, Tb Temperatura máxima o mínima del fluido.

Cuando fluye calor de una pared sólida a una corriente de fluido, el primer fenómeno es

de transferencia por conducción a través de una subcapa laminar del fluido que esta en

íntimo contacto la pared. La transferencia de calor depende del espesor de la subcapa

y de la conductividad termica del fluido, a la vez el espesor de la subcapa depende de

las variables que constituyen el No. de Reynolds.

El flujo de calor de la subcapa al grueso del fluido se hace por remolinos que estan

presentes en una capa de transición.

La capacidad de un remolino de determinado tamaño para transportar calor desde la

subcapa es proporcional a la capacidad calorífica del fluido; a la vez la magnitud y

distribución de los remolinos es función también del No. de Reynolds.

Se ha establecido que en el proceso de enfriamiento de un fluido se presenta una

temperatura de película, diferente a cuando se calienta en los mismos limites de

temperatura con idéntica configuración del sólido. Ello obedece a que las capas limites

térmicas son diferentes, ya que dependen de la viscosidad del fluido, y a la vez el

comportamiento de la viscosidad en un fluido es diferente cuando se calienta a cuando

se enfría dentro de los mismos valores de temperatura

Cuando un líquido se enfría, se parte de una temperatura alta, se tiene una viscosidad

más baja y se tendrá mayor fluidez.

Cuando se calienta, se parte de una temperatura baja, con viscosidad mas alta y

menor fluidez.

La capa limite térmica tiene un espesor (T ) definido por las propiedades del fluido y

está relacionado con el espesor () de la capa limite hidrodinámica.

Matemáticamente se ha encontrado una relación entre las capas límites.

Considerando una placa plana sobre la cual hay un fluido en movimiento, figura 1-

35

FIGURA 1-35

el espesor de la capa límite hidrodinámica, , para la distancia x del punto 0 o de iniciación del flujo, es:

5 x

= --------- (1-91)

Rex 1/2

donde Rex es el Número de Reynolds para el punto x, y está definido por :

Rex= v X / (1-92)

siendo v la velocidad del fluido

Recuérdese que la capa límite es la zona que está delimitada por la pared y un

punto en donde la velocidad del fluido es igual al 99% del gradiente entre la

velocidad media del fluido y la pared.

La capa límite térmica, por analogía es aquella delimitada por la pared y un punto

en donde se tiene un gradiente de temperatura, respecto a la pared, igual al 99%

del gradiente entre la temperatura media del fluido y la de la pared. Por lo tanto la

temperatura de película es la más representativa del proceso de transferencia de

calor y es así como la mayoría de los investigadores emplean dicha temperatura

para evaluar las propiedades del fluido en su aplicación a formulismos para cálculos

del coeficiente de película.

1.3.3 Gradientes de temperatura

Se mencionó que en iguales condiciones de flujo los fenómenos de calentamiento,

enfriamiento, llevan a establecer valores diferentes en los coeficientes de película

y ello obedece a que el gradiente o caída de temperatura desde la pared al centro

de la corriente del fluido es diferente para cada fenómeno como se aprecia en la

figura 1-36, la curva abc muestra un enfriamiento en tanto que a’bc’ un

calentamiento, tomando como temperatura promedio del fluido el valor de T; para

los dos casos, las propiedades Cp, y K serán iguales.

Observando, la figura 1-36 se encuentra que la temperatura promedio de la

película laminar es mayor que t para el caso del calentamiento y menor que t

cuando el líquido se está enfriando, a la vez si el fluido es un líquido, la viscosidad

es menor para la película laminar en el calentamiento que aquella para el

enfriamiento y puede expresar que el espesor de la película laminar durante el

calentamiento sea menor que en el enfriamiento. Esto conlleva a que el valor de h

es mayor en el proceso de calentamiento que el de enfriamiento.

Para gases la viscosidad es menor en el enfriamiento, la película y el coeficiente

serán mayores en el enfriamiento.

Para determinar la viscosidad en la pared de una tubería, W , debe establecerse

el valor de Tw.

La determinación de Tw exige cálculos por ensayo y error obteniéndose las

siguientes expresiones:

Para llegar en el calentamiento

Tw = t + Ti (1-93)

Para el enfriamiento

Tw = t - Ti (1-94)

donde t es la temperatura promedio del fluido y la T caída de temperatura del

fluido que circula por el interior de la tubería y se determina mediante la expresión.

1 /h1

Ti = ------------------------ T (1-95) 1/h1 +D1/D2 h2

FIGURA 1-36

Esta ecuación requiere determinar previamente los coeficientes h1 y h2. Estos

coeficientes se calculan mediante formulismos, dependiendo del equipo en el cual

ocurre la transferencia de calor y que serán estudiados más adelante; por ejemplo

Para simples tuberías cilíndricas.

h2 = 0,35 + 0,56 ( D2G / )0.52

(1-96)

Siendo D2 el diámetro exterior de la tubería

G el flujo másico y

Viscosidad del fluido

Cuando dos fluidos circulan interior y exteriormente en una tubería pueden hacerlo

en dos formas, una en paralelo en la cual, los fluidos circulan en la misma

dirección y otra en contracorriente en la cual los fluidos circulan en sentido

contrario, figura 1-36

Durante un proceso de intercambio de calor entre un fluido caliente y un fluido frío

en tuberías la variación de temperaturas respecto a la longitud de la tubería ocurre

como se representa en la figura 1-37, acorde al tipo de flujo que tiene lugar, es

decir, si es en contracorriente o es en paralelo.

Refiriéndose a la figura 1-38 la caída de temperatura T1 es mucho mayor en la

izquierda que en la derecha, T2, por lo tanto es más rápida la transferencia de

calor en el lado izquierdo que en el lado derecho y la ecuación general de

transferencia de calor:

FIGURA 1-37

q = UA T

Solamente puede aplicarse, cuando la superficie de calentamiento o enfriamiento

se divide en un gran número de segmentos.

dq = Ud A T (1-97)

La resolución de esta ecuación implica que el coeficiente total, U, debe ser

constante, al igual que los calores específicos de los fluidos y que las perdidas de

calor al interior del sistema sean despreciables y que el flujo de calor sea

estacionario.

Debe tenerse en cuenta que el coeficiente total, U, no es una constante, sino

función de la temperatura, pero el cambio de temperatura es gradual como se

aprecia en la figura y en pequeños gradientes de la misma, el suponer que U es

constante no induce a errores apreciables.

Cuando los calores específicos de los fluidos son constantes, el flujo de calor es

estacionario, las temperaturas varían respecto al flujo de calor, q , linealmente, de

tal forma que la representación gráfica de T contra q da rectas (figura 1-38). En la

parte superior están representadas las temperaturas de los fluidos en relación a q

y en la parte superior la diferencia o gradiente de temperatura con respecto a q.

Tomando a qT como el flujo total de calor en toda la superficie de la tubería, puede

expresarse.

d (T) T2 - T1 .-(198)

--------- = -----------------

dq qt

FIGURA 1-38

Variación lineal de temperaturas

reemplazando el valor de dq, ecuación 1-97

d (T) T2 - T1

-------------- = ------------------ (1-99)

Ud A T qt

T2 A

d T / T = U (T2 - T1 ) dA / qT

T1 0

T2 U ( T2 - T1 ) ln --------- = ----------------------- A (1-100)

T1 qt

Ecuación que puede escribirse

T2 - T1

q = U A ------------------------- = UATL (1-101)

ln (T2 / T1 )

Siendo

T2 - T1

TL = ---------------------- (1-102)

ln T2 / T1

Expresión muy similar a la que define el radio medio logarítmico, ecuación 1-36

Cuando los T son aproximadamente iguales puede emplearse la diferencia

medio aritmética de temperatura, sin que se cause un error apreciable.

Se ha integrado la ecuación 1-99 en la suposición de que el coeficiente total de

transferencia es constante. Cuando el coeficiente U varía considerablemente de

un extremo a otro en la tubería, puede suponerse que U varía linealmente con la

caída de la temperatura a lo largo de la superficie y

U1 T2 - U2 T1

qt = A -------------------------------- (103)

ln ( UT2 / UT1 )

Siendo U1 y U2 los coeficientes totales de transferencia de calor para los

extremos de la tubería, y T1 y T2 , las caídas de temperaturas entre los fluidos

para los extremos de las temperaturas.

El caso de la tubería representada en la figura 1-36 y cuyas variaciones de

temperaturas de los fluidos que circulan interior y exteriormente en ella se

representan en la figura 1-37 constituye el ejemplo más sencillo de intercambiador

de calor y en él pueden efectuarse procesos de calentamiento, enfriamiento,

evaporación y condensación.

EJEMPLO No. 23

En el diseño de un intercambiador de calor para enfriar en contracorriente de 86 a

560C un líquido caliente mediante un líquido frío que se caliente de 46 a 51 0C, se

tienen valores de coeficiente totales de transferencia de calor U1 y U2 de 300 y 150

Kcal/hr0C respectivamente.

Determinar el flujo de calor por unidad de área, empleando:

- La diferencia de temperatura, media aritmética

- El coeficiente total promedio y

- La ecuación correspondiente.

Solución : Se pide encontrar q/A teniendo

T1 = 86 - 46 = 400C

T2 = 56 - 51 = 5oC

U1 = 300 Kcal/m2 hr0C

U2 = 150 Kcal/m2hr0C

La diferencia de temperatura media aritmética es

T1 + T2 40+5

Tm = ------------- = -------------- = 22,5 2 2

y q = UA T

Como se ha especificado el valor de U que se va a emplear tomando el valor

promedio de

U = (300 + 150)/2 = 225 Kcal / m2hr0C, se tiene:

q/A = 225 x 22,5 = 5063 Kcal / m2hr Se aplica la ecuación

q/A = U TL siendo U = 225 Kcal / m2hroC

como

T2 - T1 TL = ----------------------

ln T2 / T1

40 - 5 35

TL = --------------- = ------------ = 16,83oC

ln (40 / 5 ) 2,079

Luego q/A = 225 x 16,83 = 3787 kcal / m2hr

- Aplicando la ecuación (1-103)

(300 x 5 ) - (150 x 40) - 4500 q / A = ------------------------------------ = ---------------- = 3.246 kcal /

m2hr ln ((300 x 5) / (150 x 40)) - 1,38

Resp: 3.246 kcal / m2hr