El problema de una carga puntual actuando en

un medio elástico, es un caso teórico límite de

un gran interés. Muchos casos reales pueden

asimilarse con gran aproximación a una carga

aislada, o a una suma de ellas aplicadas a un

medio elástico. Por otra parte, muchos otros

casos teóricos de cargas repartidas han sido

resueltos por integración de las fórmulas

correspondientes a los casos de cargas

aisladas.

MECANICA DE MEDIOS CONTINUOS

TEMA: ANALISIS DEL

COMPORTAMIENTO DE UN

SUELO DEBIDO A UNA CARGA

APLICADA

INTEGRANTES: Ing. Palomino Zegarra Liz Margot Ing. Enciso Navarro Eriber Washington Ing. Zedano Cornejo Julio César Ing. Ibarcena Lajo Carlos Ing. García Mucha Andrés Alfredo

DOCENTE: Dr. Luis Mosquera Leiva

1

CONTENIDO

I. INTRODUCCIÓN

II. OBJETIVOS

III. MARCO TEORICO

3.1 Teoría del medio continuo

3.2 Modelos constitutivos

3.2.1 Elasticidad

3.2.2 Mohr Coulomb

3.3 Espacio de Boussinesq

3.3.1 Cálculo del incremento de tensiones debido a una carga concentrada

(teoría de Boussinesq, suelos homogéneos elásticos e isótropos)

IV. EJEMPLOS APLICATIVOS

4.1 Carga puntual analítico

4.1.1 Carga puntual en el interior de un semiespacio elástico infinito

4.2 Modelamiento usando software computacional

4.2.1 Modelo constitutivo lineal elástico (SAP2000)

4.2.2 Modelamiento con PLAXIS

4.2.3 Modelo constitutivo de Mohr Coulomb

4.3 Comparación de resultados

V. CONCLUSIONES

VI. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

2

ANALISIS DEL COMPORTAMIENTO DE UN SUELO DEBIDO A UNA CARGA

APLICADA

I. INTRODUCCIÓN

La Mecánica del Suelo como parte de las ciencias físicas que tratan de explicar el mundo

real, estudia o debe estudiar su comportamiento mediante la creación de modelos

matemáticos que sea capaces de predecir las reacciones del terreno frente a unas

determinadas solicitaciones. Debido a la complejidad de la realidad física del terreno se

han elaborado diferentes modelos matemáticos que puedan explicar los variados

comportamientos que presenta el terreno.

Para los primeros estudios de la Mecánica de Suelo se creó un modelo matemático

llamado la teoría de la elasticidad, este modelo fue aplicable para un extenso grupo de

fenómenos presentados en el suelo.

Cuando un esfuerzo es aplicado a un suelo produce en éste un cierto nivel de

deformación, la magnitud de la deformación una vez superado este nivel no está ligado

al esfuerzo aplicado, sino que crece con el tiempo sin precisar para ello ningún

incremento e dicha fuerza. Se dice entonces que el suelo se halla en rotura y no es

aplicable el método elástico. Sin embargo en muchos suelos antes de llegar a este punto

presenta estados en donde se puede suponer la existencia de una correspondencia

entre las deformaciones y las fuerzas aplicadas, esta hipótesis permite establecer una

relación biunívoca entre las tensiones del terreno y las deformaciones producidas,

permitiendo la aplicación de una de las definiciones del comportamiento elástico.

Para aplicar la teoría de la elasticidad se necesitan distintos modelos que se ciñan a las

condiciones particulares de cada problema real.

En la figura 1.1 se muestra la clasificación de los modelos elásticos:

3

Fig. 1.- Clasificación de los modelos elásticos

Dentro de la elasticidad isotrópica, el modelo más desarrollado ha sido el modelo más

simple llamado espacio de Boussinesq.

Recibe el nombre de espacio de Boussinesq un ente que sustituye en primera

aproximación al terreno. Para las aplicaciones prácticas dicho espacio está limitado

únicamente por un plano horizontal, constituyendo entonces el semiespacio de

Boussinesq. Este es elástico, homogéneo e isótropo. Al decir elástico lo entendemos en

el sentido restringido, es decir, se supone que se cumpla la ley de Hooke y que el

coeficiente de elasticidad es el mismo en tracción que en compresión. Se supone

también que la materia que constituye el semiespacio tiene resistencia suficiente para

seguir respondiendo elásticamente bajo las tensiones que se produzca en todos y en

cada uno de los puntos del semiespacio.

4

II. OBJETIVOS

Obtención y análisis de la deformación, desplazamiento y esfuerzo en un punto

del suelo sometido a una carga aplicada.

Ilustrar modelos constitutivos que puedan idealizar el problema tratado, haciendo

uso de la mecánica de medios continuos.

Simular la cimentación de una estructura que ejerce una carga puntual sobre el

terreno mediante programas computacionales como el sap2000 y Plaxis.

Comparar y analizar los resultados obtenidos analíticamente con los obtenidos

mediante software.

5

III. MARCO TEORICO

3.1 Teoría del medio continuo

Un medio continuo es aquel material que puede ser subdividido continuamente

en elementos infinitesimales que conserven las mismas propiedades del

conjunto.

Se asume que el material se distribuye uniformemente y rellena completamente

el espacio que ocupa.

Habrá continuidad durante la deformación o el movimiento de un cuerpo continuo

si:

Todos los puntos del material que en un momento dado forman una curva

cerrada también la formarán en cualquier momento posterior.

Todos los puntos del material que en un momento dado forman una superficie

cerrada también la formarán en cualquier momento posterior, y la materia que

allí estaba incluida, también continuará estando incluida.

La hipótesis de los medios continuos consiste a considerar que las propiedades

características que nos interesan contínuas.

Densidad: (x,t) 1 incógnita

Deformación/velocidad: (x,t) 3 incógnitas 13 incógnitas

Tensiones: (x,t) 9 incógnitas

En un problema mecánico, las ecuaciones de conservación-balance de las leyes

físicas fundamentales proporcionan:

- Conservación de la masa (ecuación de continuidad): 1 ecuación

- Balance de la cuantidad de movimiento (eq. de Cauchy): 3 ecuaciones

- Balance del momento angular (simetría del tensor de tensiones): 3 ecuaciones

Teniendo así 7 ecuaciones, faltando 6 ecuaciones para completar la solución de

un problema.

6

3.2 Modelos Constitutivos

Las ecuaciones que son específicas para determinar materiales reciben el

nombre de ecuaciones constitutivas:

Los suelos están formados por partículas sólidas, agua y gas.

Las hipótesis de medio continuo con ecuaciones constitutivas para suelos, y

valores de parámetros obtenidos empíricamente, permiten calcular gran parte de

los problemas de ingeniería geotécnica con tiempos de cálculo razonables.

La mecánica de suelos clásica y las ecuaciones para obtener soluciones

analíticas han asumido siempre estas hipótesis.

3.2.1 Elasticidad

Las leyes de comportamiento son ecuaciones constitutivas que relacionan

tensiones con deformaciones.

Una ley de comportamiento sencillo que caracteriza en primera aproximación el

comportamiento de muchos sólidos deformables es la teoría de la elasticidad.

En un material Isótropo:

7

E = módulo de elasticidad (N/m2)

Solo 2

Parámetros

v = coeficiente de Poisson

A veces se utiliza el módulo de corte: 𝐺 =𝐸

2(1+𝑣)

Las ecuaciones constitutivas se pueden invertir, dando lugar a la Ley de Hooke

inversa:

𝜀𝑥 =1

𝐸∗ [𝜎𝑥 − 𝑣 ∗ (𝜎𝑦 + 𝜎𝑧)] 𝛾𝑥𝑦 =

1

𝐺∗ 𝜏𝑥𝑦

𝜀𝑦 =1

𝐸∗ [𝜎𝑦 − 𝑣 ∗ (𝜎𝑥 + 𝜎𝑧)] 𝛾𝑥𝑧 =

1

𝐺∗ 𝜏𝑥𝑧

𝜀𝑧 =1

𝐸∗ [𝜎𝑧 − 𝑣 ∗ (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦)] 𝛾𝑦𝑧 =

1

𝐺∗ 𝜏𝑦𝑧

Significado de los parámetros elásticos E y v:

𝜎𝑦 = 𝜎𝑧 = 0

Si estiramos la pieza en la dirección ‘x’ con una tensión σx observamos

contradicciones en las direcciones ‘y’ y ‘z’

𝜀𝑥 =𝜎𝑥

𝐸

𝜀𝑦 = −𝑣 ∗𝜎𝑥

𝐸 0 ≤ v ≤ 0.5

8

Algunos modelos geotécnicos se pueden simplificar a 2d mediante la hipótesis

de deformación plana:

Otras formas de pares de parámetros elásticos:

Módulo confinado (o módulo edométrico): 𝑀 = 𝜎11

𝜀11 𝑎𝑚𝑏 𝜀22 = 𝜀33 = 0

Módulo volumétrico: 𝐾 =𝑝

𝜀11+𝜀22+𝜀33 𝑎𝑚𝑏 𝜎11 = 𝜎22 = 𝜎33 = 𝑝

Constante de Lamé: 𝜆 𝜎 = 𝜆 ∗ (𝜀11 + 𝜀22 + 𝜀33) ∗ 𝐼𝑑 + 2𝜇 ∗ 𝜀 𝑎𝑚𝑏 𝜇 = 𝐺

Otras formas de pares de parámetros elásticos:

Módulo de Módulo de Módulo Módulo Constante de Coeficiente de

Corte Young confinado volumétrico Lamé Poisson

G = µ E M K λ v

G,E G E 𝐺(4𝐺−𝐸)

3𝐺−𝐸

𝐺𝐸

9𝐺−3𝐸

𝐺(𝐸−2𝐺)

3𝐺−𝐸

𝐸−2𝐺

2𝐺

G,M G 𝐺(3𝑀−4𝐺)

𝑀−𝐺 M 𝑀 −

4

3𝐺 𝑀 − 2𝐺

𝑀−2𝐺

2(𝑀−𝐺)

G,K G 9𝐺𝐾

3𝐾+𝐺 𝐾 +

4

3𝐺 K 𝐾 −

2

3𝐺

3𝐾−2𝐺

2(3𝐾+𝐺)

G,λ G 𝐺(3𝜆+2𝐺)

𝜆+𝐺 𝜆 + 2𝐺 𝜆 +

2

3𝐺 λ

𝜆

2(𝜆+𝐺)

G,v G 2𝐺(1 + 𝑣) 2𝐺(1−𝑣)

1−2𝑣

2𝐺(1+𝑣)

3(1−2𝑣)

2𝐺𝑣

1−2𝑣 v

E,K 3𝐾𝐸

9𝐾−𝐸 E

𝐾(9𝐾+3𝐸)

9𝐾−𝐸 K

𝐾(9𝐾−𝐸)

9𝐾−𝐸

3𝐾−𝐸

6𝐾

E,v 𝐸

2(1+𝑣) E

𝐸(1−𝑣)

(1+𝑣)(1−2𝑣)

𝐸

3(1−2𝑣)

𝑣𝐸

(1+𝑣)(1−2𝑣) v

K,λ 3(𝐾−𝜆)

2

9𝐾(𝐾−𝜆)

3𝐾−𝜆 3𝐾 − 2𝜆 K λ

𝜆

3𝐾−𝜆

K,M 3(𝑀−𝐾)

4

9𝐾(𝑀−𝐾)

3𝐾+𝑀 M K

3𝐾−𝑀

2 3𝐾(2𝑀 − 1) + 𝑀

K,v 3𝐾(1−2𝑣)

2(1+𝑣) 3𝐾(1 − 2𝑣)

3𝐾(1−𝑣)

1+𝑣 K

3𝐾𝑣

1+𝑣 v

9

3.2.2 Mohr Coulomb El primer concepto a definir en un modelo elastoplástico es la superficie de

fluencia (F):

Se dice que un material elastoplástico presenta plasticidad perfecta si sea cual

sea el valor de las tensiones en un punto, la superficie de fluencia no cambia ni

de forma ni de posición en el espacio abstracto de tensiones.

En suelos es apropiado utilizar la superficie de fluencia de Mohr-Coulomb,

porque considera que el efecto dominante que produce cambio irrecuperables

en la organización de las partículas es la friccion movilizada, y depende la

presión media p:

10

Superficie de fluencia de Mohr-Coulomb en 3D

El segundo concepto a definir en un modelo elastoplástico es el potencial

plástico: G(σ1, σ2, σ3).

Ley de fluencia: 𝑑𝜀𝑖𝑗𝑃 = 𝑑𝜆

𝜕𝐺

𝜕𝜎𝑖𝑗

En el espacio las tensiones (σ1, σ2, σ3):

La dirección de la deformación plástica es paralela a gradiente de G.

La magnitud de la deformación plástica viene dada por el escalar dλ

Determinar la dirección y magnitud

que tendrá la deformación plástica.

11

E suelos es apropiado utilizar el potencial plástico de Mohr-Coulomb:

𝐺 =1

2(𝜎1 − 𝜎3) +

1

2(𝜎1 + 𝜎3)𝑠𝑖𝑛𝜓 + 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

La dilatancia (ψ≥0) da una resistencia al rozamiento suplementaria, provocando una

deformación más realista en suelo 𝜓 ≅ 𝜙 − 30.

Si ψ = ϕ F = G (“plasticidad asociada”)

Este es un comportamiento más propio de los metales.

Los suelos tiene plasticidad no asociada: las deformaciones volumétricas son menores

𝑑𝜀𝑖𝑗𝑝

= 𝑑𝜆𝜕𝐺

𝜕𝜎𝑖𝑗

La magnitud dλ viene dada por la condición de consistencia:

Durante la deformación plástica, el punto (σ1, σ2, σ3) debe de estar siempre sobre la

superficie de fluencia.

5 parámetros definen el modelo de comportamiento de Mohr-Coulomb:

E [KN/m2] Módulo elástico

V [-] Coeficiente de Poisson

Φ [°] Ángulo de rozamiento

Ψ [°] Ángulo de dilatancia

C [KN/m2] Cohesión

12

PRINCIPALES LIMITACIONES DEL MODELO M.C.

Tensiones de fluencia y rotura coinciden:

El modulo elástico de carga no es igual al módulo elástico de descarga, por lo tanto se

sobreestiman la ascensión de fondos de excavación y pantallas.

Sobreestimación de la resistencia a tensiones bajas.

13

3.3 Espacio de Boussinesq

Según este modelo se analiza la distribución de esfuerzos considerando que el

suelo es un espacio semi-infinito, homogéneo linealmente elástico e isotrópico.

Isótropo: Propiedad de los cuerpos que al ejercer compresión los mismos

reaccionan igual internamente en todas direcciones.

Una masa semi-infinita es la que está limitada por una superficie horizontal y se

extiende al infinito verticalmente hacia abajo, y horizontalmente en todas las

direcciones.

La teoría de la capa elástica sobre base rígida admite que la capa elástica es

homogénea en todos sus puntos, así como la base rígida. Sin embargo es

también un hecho de experiencia que las propiedades del suelo varían en

profundidad. En general cuando ésta aumenta, el terreno es más compacto más

resistente y menos deformable. Es decir, que para simularlo por un modelo

elástico habría que ir aumentando su módulo de Young con la profundidad (Fig.

3.1). Del coeficiente de Poisson no podemos decir nada, en general se le supone

constante. “La hipótesis de un coeficiente de Poisson v constante significa, que

ambos, el módulo de rigidez transversal G, y el módulo de compresibilidad K

varían en la misma proporción en profundidad, lo cual se comprende fácilmente

que en general no debe ser cierto, ya que no hay ninguna razón para que en un

medio físicamente discontinuo la rigidez a la distorsión varíe de la misma manera

que la rigidez a la variación volumétrica, siendo ambos fenómenos de naturaleza

distinta”, José A. Jiménez Salas 1976. Ese es uno de los dos inconvenientes,

que ya hemos señalado, de la desacertada y rutinaria elección de parámetros

básicos.

Fig. 3.1.- Semiespacio heterogéneo general.

14

Fig. 3.2.- Semiespacio heterogéneo lineal.

La ley que regirá el módulo de Young sería:

𝐸𝑧 = 𝐸(𝑧) (3.1)

De donde E (z) fuese una función monótona creciente.

La ley más sencilla que se puede proponer es la lineal (Fig. 3.2).

𝐸 = 𝐸0 + 𝑚𝑧 (3.2)

Que también podría escribirse en la forma:

𝐸 = 𝐸0 [1 +𝑧

𝛽] (3.3)

Con:

𝛽 =𝐸0

𝑚

Esta ley para el caso en que m = 0 o que β = ∞ nos da el ya conocido espacio de

Boussinesq.

15

Cuando se transmite un esfuerzo al suelo por medio de la cimentación, este se distribuye

en todas direcciones, pero conforme se aleja de la cimentación, el incremento de

esfuerzo tiende a cero.

El primer análisis que realiza Boussinesq es considerar la acción de una carga

puntual, con lo anterior obtuvo las ecuaciones siguientes:

∆𝜎 = 𝑃

𝑍2 𝐼 𝐼 = 3

2𝜋(

1

1+(𝑟

𝑧))

3/2

Donde:

Δσ: Incremento de esfuerzo

P: carga puntual

I: Valor de influencia

z: Profundidad a la cual se desea conocer el incremento de esfuerzo

r: Tiene el mismo concepto que z pero se mide en un plano horizontal

P

Δσ = 0

16

3.3.1 Cálculo del incremento de tensiones debido a una carga concentrada

(teoría de Boussinesq, suelos homogéneos elásticos e isótropos)

Distribución de presiones aproximadas:

Valores aproximados:

Una primera aproximación de las tensiones inducidas, es suponer que las mismas se

propagan en el sentido de “z” con la forma de una pirámide trunca con una pendiente

de sus planos laterales intermedios entre 0 y “z” las tensiones son constantes.

Otro dato importante a considerar en el momento de evaluar fundaciones, es que si

tenemos una base de ancho “B”, que soporta una carga “Q” y transfiere al terreno una

tensión “q”, se puede estimar que el 10% de ésta tensión “q” se transmite hasta una

profundidad de aproximadamente 2.B, si el suelo es elástico isótropo y homogéneo.

17

18

Para el cálculo del incremento de tensiones debido a una carga concentrada (teoría de

Boussinesq, suelos homogéneos elásticos e isótropos)

Podemos hacer:

Se puede entonces representar el valor de I1 para distintos valores de r/z y obtenemos

los siguientes valores:

19

r/z I1 r/z I1

0 0.4775 0.75 0.1565

0.02 0.4770 0.80 0.1386

0.04 0.4765 0.85 0.1226

0.06 0.4723 0.90 0.1083

0.08 0.4699 0.95 0.0956

0.10 0.4657 1.00 0.0844

0.12 0.4607 1.20 0.0513

0.14 0.4548 1.40 0.0317

0.16 0.4482 1.60 0.0200

0.18 0.4409 1.80 0.0129

0.20 0.4329 2.00 0.0085

0.22 0.4242 2.20 0.0058

0.24 0.4151 2.40 0.0040

0.26 0.4050 2.60 0.0029

0.28 0.3954 2.80 0.0021

0.30 0.3849 3.00 0.0015

0.32 0.3742 3.20 0.0011

0.34 0.3632 3.40 0.00085

0.36 0.3521 3.60 0.00066

0.38 0.3408 3.80 0.00051

0.40 0.3294 4.00 0.00040

0.45 0.3011 4.20 0.00032

0.50 0.2733 4.40 0.00026

0.55 0.2466 4.60 0.00021

0.60 0.2214 4.80 0.00017

0.65 0.1978 5.00 0.00014

0.70 0.1762

20

IV. EJEMPLOS APLICATIVOS

4.1 Carga puntual analítico

4.1.1 Carga puntual en el interior de un Semiespacio elástico infinito

El caso de cargas verticales o inclinadas sobre la superficie del semiespacio es

el que se presenta más frecuentemente, correspondiendo a la forma de actuar

de las cimentaciones superficiales. Sin embargo, existen otras maneras de

aplicar las cargas, entre las cuales están, por ejemplo, situar fuerzas en el interior

del Semiespacio, como puede ser el caso de las cimentaciones profundas y,

especialmente, de los pilotes.

El problema de las cargas concentradas en el interior del Semiespacio, pero lo

suficientemente próxima a la superficie para que se note la influencia de ésta, no

fue resuelto hasta el año 1936 por Mindlin. Las formulas resultantes pueden

verse en la figura 3.3, donde queda indicada la notación empleada. En la figura

3.4 se incluye un gráfico que indica la variación de la tensión vertical σz para tres

valores de z/c, suponiendo que el módulo de Poisson es igual a 0.3. Las

tensiones de tracción se consideran positivas.

Fig. 3.3.- Carga aislada vertical en el interior del Semiespacio de Boussinesq.

Distribución de tensiones.

21

𝜀𝑖𝑗 = (

𝜏11 𝜏12 𝜏13

𝜏21 𝜏22 𝜏23

𝜏31 𝜏32 𝜏33

)

𝜏21 = 𝜏12 𝜏32 = 𝜏23 𝜏31 = 𝜏13

𝝉𝟏𝟏 = 𝝈𝒙 =−𝑃

8𝜋(1 − 𝜈)[(1 − 2𝜈)(𝑧 − 𝑐)

𝑅13 −

3𝑥2(𝑧 − 𝑐)

𝑅15 +

+(1 − 2𝜈)[3(𝑧 − 𝑐) − 4𝜈(𝑧 + 𝑐)]

𝑅23 −

−3(3 − 4𝜈)𝑥2(𝑧 − 𝑐) − 6𝑐(𝑧 + 𝑐)[(1 − 2𝜈)𝑧 − 2𝜈𝑐]

𝑅25 −

−30𝑐𝑥2𝑧(𝑧 + 𝑐)

𝑅27 −

4(1 − 𝜈)(1 − 2𝜈)

𝑅2(𝑅2 + 𝑧 + 𝑐)∗

∗ {1 −𝑥2

𝑅2(𝑅2 + 𝑧 + 𝑐)−

𝑥2

𝑅22}]

𝝉𝟐𝟐 = 𝝈𝒚 =−𝑃

8𝜋(1 − 𝜈)[(1 − 2𝜈)(𝑧 − 𝑐)

𝑅13 −

3𝑦2(𝑧 − 𝑐)

𝑅15 +

+(1 − 2𝜈)[3(𝑧 − 𝑐) − 4𝜈(𝑧 + 𝑐)]

𝑅23 −

−3(3 − 4𝜈)𝑦2(𝑧 − 𝑐) − 6𝑐(𝑧 + 𝑐)[(1 − 2𝜈)𝑧 − 2𝜈𝑐]

𝑅25 −

−30𝑐𝑦2𝑧(𝑧 + 𝑐)

𝑅27 −

4(1 − 𝜈)(1 − 2𝜈)

𝑅2(𝑅2 + 𝑧 + 𝑐)∗

∗ {1 −𝑦2

𝑅2(𝑅2 + 𝑧 + 𝑐)−

𝑦2

𝑅22}]

𝝉𝟑𝟑 = 𝝈𝒛 =−𝑃

8𝜋(1 − 𝜈)[−

(1 − 2𝜈)(𝑧 − 𝑐)

𝑅13 +

(1 − 2𝑣)(𝑧 − 𝑐)

𝑅23 −

−3(𝑧 − 𝑐)3

𝑅15 −

3(3 − 4𝜈)𝑧(𝑧 + 𝑐)2 − 3𝑐(𝑧 + 𝑐)(5𝑧 − 𝑐)

𝑅25 −

−30𝑐𝑧(𝑧 + 𝑐)3

𝑅27 ]

3.1-a

3.1-b

3.1-c

22

𝝉𝟐𝟑 = 𝝉𝒚𝒛 =−𝑃𝑦

8𝜋(1 − 𝜈)[−

(1 − 2𝜈)

𝑅13 +

1 − 2𝑣

𝑅23 −

3(𝑧 − 𝑐)2

𝑅15 −

−3(3 − 4𝑣)𝑧(𝑧 + 𝑐) − 3𝑐(3𝑧 + 𝑐)

𝑅25 −

30𝑐𝑧(𝑧 + 𝑐)2

𝑅27 ]

𝝉𝟑𝟏 = 𝝉𝒛𝒙 =−𝑃𝑦

8𝜋(1 − 𝜈)[−

1 − 2𝑣

𝑅13 +

1 − 2𝑣

𝑅23 −

3(𝑧 − 𝑐)2

𝑅15 −

−3(3 − 4𝑣)𝑧(𝑧 + 𝑐) − 3𝑐(3𝑧 + 𝑐)

𝑅25 −

30𝑐𝑧(𝑧 + 𝑐)2

𝑅27 ]

𝝉𝟏𝟐 = 𝝉𝒙𝒚 =−𝑃𝑥𝑦

8𝜋(1 − 𝜈)[−

3(𝑧 − 𝑐)

𝑅15 −

3(3 − 4𝑣)(𝑧 − 𝑐)

𝑅25 +

+4(1 − 𝑣)(1 − 2𝑣)

𝑅22(𝑅2 + 𝑧 + 𝑐)

{1

𝑅2 + 𝑧 + 𝑐+

1

𝑅2

} −30𝑐𝑧(𝑧 + 𝑐)

𝑅27 ]

Desarrollo analítico de los parámetros en un suelo sometido a una carga puntual:

Parámetros S(r): Asentamiento que ocurre en distintos puntos de una línea horizontal

E: Módulo de elasticidad del suelo

ν: Coeficiente de Poisson

Datos para el cálculo del asentamiento según las siguientes consideraciones

Q = 10 Ton

ν= 0.3

E = 1000 Ton/m2

z = 1

3.1-d

3.1-e

3.1-f

23

Consideraciones

z = 1 (condición) ψ = 45º

r = 0.1, 0.2, ..... 10 (variación de r)

r S(z)

0.1 0.00043234

0.2 0.00042605

0.3 0.00041617

0.4 0.00040342

0.5 0.00038862

0.6 0.00037257

0.7 0.00035595

0.8 0.00033928

0.9 0.00032296

1 0.00030723

1.1 0.00029227

1.2 0.00027815

1.3 0.00026491

1.4 0.00025254

1.5 0.00024101

1.6 0.00023028

1.7 0.0002203

1.8 0.00021101

1.9 0.00020236

2 0.00019431

2.1 0.0001868

2.2 0.00017979

2.3 0.00017324

2.4 0.00016711

2.5 0.00016137

2.6 0.00015597

2.7 0.00015091

2.8 0.00014614

2.9 0.00014164

3 0.0001374

3.1 0.00013339

3.2 0.0001296

3.3 0.00012601

3.4 0.0001226

3.5 0.00011936

3.6 0.00011629

3.7 0.00011336

24

3.8 0.00011058

3.9 0.00010792

4 0.00010538

4.1 0.00010296

4.2 0.00010064

4.3 9.8418E-05

4.4 9.6293E-05

4.5 9.4255E-05

4.6 9.2299E-05

4.7 9.0421E-05

4.8 8.8616E-05

4.9 8.6881E-05

5 8.5211E-05

4.2. Modelamiento usando software computacional

En este capítulo utilizaremos el modelo planteado de una carga puntual en el interior de

un semi-espacio elástico infinito, resuelto analíticamente en el capítulo anterior, en este

caso utilizaremos 2 programas conocidos para realizar cálculos que son el programa

PLAXIS y SAP2000.

0

0.00005

0.0001

0.00015

0.0002

0.00025

0.0003

0.00035

0.0004

0.00045

0.1

0.3

0.5

0.7

0.9

1.1

1.3

1.5

1.7

1.9

2.1

2.3

2.5

2.7

2.9

3.1

3.3

3.5

3.7

3.9

4.1

4.3

4.5

4.7

4.9

Ase

nta

mie

nto

ve

rtic

al

Desplazamiento horizontal

25

4.2.1. Modelo constitutivo lineal elástico (SAP2000)

Imagen 1: interfaz de usuario del programa SAP2000, modelando solido cubo con una

carga puntual vertical en dirección “Z” negativo.

Imagen 2: Características mecánicas del solido a aplicar la carga puntual.

26

Imagen 3: Verificación de los desplazamientos en un punto a una distancia y

profundidad de1m.

4.2.2. Modelamiento con PLAXIS

Ingreso de datos:

MODELO

CONSTITUTIVO

E

(KN/M2)

v c (KN/M2) ᶲ (°)

ELASTICO

PERFECTO

21000000 0.2 - -

MOHR COULUMB 21000000 0.2 5 33

DIAGRAMA DEL MODELO

27

28

PROPIEDADES DEL SUELO ELÁSTICO (MODELO LINEAL ELÁSTICO)

MODELO INGRESADO EN PLAXIS

MODELO DE LA DEFORMACIÓN DEL MODELO

29

GRÁFICO QUE MUESTRA PASOS VS DESPLAZAMIENTO (Se puede apreciar

que el ordenador hace menos iteraciones para hallar el desplazamiento que es

0.361 m.m.)

4.2.3. Modelo constitutivo de Mohr Coulomb

30

31

Gráfico que muestra los desplazamientos ocasionados por la carga aplicada.

GRÁFICO QUE MUESTRA PASOS VS DESPLAZAMIENTO (Se puede apreciar

que el ordenador hace menos iteraciones para hallar el desplazamiento que es

0.693 m.m.)

.

32

Se aprecia en el gráfico los puntos plastificados, que en modelo elástico lineal

no existen, ello muestra

Se ha demostrado que modelo constitutivo de Mohr-Coulomb, para suelos que están

sometidos a presiones de confinamiento mayores a alturas de 30 metros, sufren

disminuciones en el ángulo de fricción y se puede apreciar que en casos reales (LEPS)

muestra un gráfico donde se ve cómo va disminuyendo el ángulo de fricción con

respecto a la presión de confinamiento.

33

34

4.3. Comparación de resultados

Analíticamente SAP2000 (Elástico

Lineal)

PLAXIS (Elástico

Lineal)

PLAXIS (Mohr

Coulomb)

0.307 mm. 0.349 mm. 0.361 mm. 0.639

35

V. CONCLUSIONES

1. La mecánica de medios continuos nos ayuda a calcular valores de esfuerzos,

deformaciones, desplazamientos, etc. Con cierta exactitud hasta un rango usando

algunas constantes.

2. El modelo constitutivo elástico tiene muchas limitaciones que no se acercan a la realidad

de los sólidos.

3. El modelo constitutivo plástico (Mohr Coulomb), se acerca más a la realidad aunque

sigue teniendo limitaciones, es por eso que existen otros métodos más exactos aunque

más complejos.

4. Los resultados que brindan el software computacional (SAP2000 y PLAXIS), son similares

para el rango elástico.

5. Se pudo verificar que existe una gran variación en los resultados obtenidos usando un

modelo lineal elástico y el Mohr Coulomb, puesto que el primero es un modelo ideal y

el segundo se aproxima más a la realidad.

6. Se debe investigar más acerca de otros modelos constitutivos más complejos que

modelen situaciones que se asemejen a la realidad.

36

VI. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

BRAJA M. DAS. “Fundamentos de Ingeniería Geotécnica”. Traducción del

libro Fundamentals of Geotechnical engineering. COPYRIGHT 2001 por

International Thomsons Editores.

Escuela de Ingenierías Industriales 2011. “Resistencia de Materiales”.

Universidad de Valladolid (España).

George E. Mase. “Mecánica del Medio Continuo”.

José Antonio Jiménez Salas 1975. “Geotecnia y Cimientos II”. Editorial

Rueda. Madrid (España).

Silvio Rojas 2006. “Material de apoyo de Fundaciones Parte II Teoría de la

Elasticidad para la Estimación de Asentamiento y Esfuerzos”. Universidad

Los Andes (Venezuela).

“Proceeding of the Fifth International Conference on Soil Mechanics and

Foundation Engineering” 1961. Volume I – Division 1-3A. DUNOD Paris.

Sokolnikoff. “Mathematical Theory of Elasticity”

Xavier Oliver Olivella 2000. “Mecánica de Medios Continuos para

Ingenieros”. EDICIONS UPC.