Facultad de Geolgica, Minas y Metalrgica

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERAFacultad de Geolgica, Minas y Metalrgica

1. MEDICIN Y ERROR EXPERIMENTAL (INCERTIDUMBRE)

OBJETO Determinar la curva de distribucin normal en un proceso de medicin, correspondiente al nmero de frijoles que caben en un puado normal. Determinar la incertidumbre

MATERIALES Un tazn de frijoles Dos hojas de papel milimetrado Un tazn mediano de plstico

FUNDAMENTO TERICO

1. MEDICIN

Es determinar la dimensin de la magnitud de una variable en relacin con una unidad de medida prestablecida y convencional. Se conocen algunos sistemas convencionales para establecer las unidades de medida: El Sistema Internacional y el Sistema Ingls.Es comparar la cantidad desconocida que queremos determinar y una cantidad conocida de la misma magnitud, que elegimos como unidad. Teniendo como punto de referencia dos cosas: un objeto lo que se quiere medir y una unidad de medida ya establecida ya sea en Sistema Ingls, Sistema Internacional, o una unidad arbitraria.

2. MEDIA ARITMTICA

La media aritmtica (por lo general llamada media) es la medida ms comn de la tendencia central. La media es la medida en la que todos los valores desempean el mismo papel. La media sirve como punto de equilibrio del conjunto de datos. La media se calcula sumando todos los valores del conjunto de datos y dividindolo el resultado por el nmero de valores considerados.

3. DESVIACIN ESTANDAR

La desviacin estndar es una medida del grado de proximidad de los datos en torno al valor de la media aritmtica.

CLCULO Y RESULTADOS N 1

FRECUENCIA DE CLASENmero de casos que presenta una cierta caracterstica, dentro de un nmero total de individuos observados.

Donde: = Probabilidad que Nk se encuentre entre r y s. = Frecuencia de clase. N = Tamao de la muestra.

PROCEDIMIENTO

Coja un puado de frijoles del recipiente una y otra ves hasta lograr un puado normal (no apretado, no suelto). Coja un puado normal y cuente el nmero de frijoles obtenidos. Apuntar el resultado y repetir 120 veces, anotando los nmeros obtenidos.

I. Determinar la media aritmtica de los 120 nmeros obtenidos.

II. Determinar la incertidumbre normal o desviacin estndar de la medicin.

III. Dibuje un plano de frecuencia versus nmero de frijoles; trace a su criterio, la mejor curva normal. A 2/3 de la altura mxima trace una recta horizontal, generndose el segmento AB.

CUESTIONARIO N1

1. En vez de medir puados, podra medirse el nmero de frjoles que caben en un vaso, en una cuchara, etc.?

Claro que si se podra porque tambin seria aleatorio aunque con menos error al sacar la varianza entre los nmeros de frjoles que tendra, ya que es fijo (siempre y cuando el recipiente tenga un lmite, en el caso del vaso, que se cierre con una tapa) y la variacin del numero de frjoles que llenaran su volumen estara en la variacin de tamao que tienen los frjoles.

1. Segn usted, a qu se debe la diferencia entre su puado normal y el de sus compaeros?

Esto se debe al tamao de nuestras manos, de esto depende la cantidad promedio de frejoles que sacaramos en la experiencia.

1. Despus de realizar los experimentos qu ventaja le ve a la representacin de [r, r+2) frente a la de [r, r+1)?

En la siguiente representacin de [r, r+2) la probabilidad de obtener un valor en un determinado intervalo es mayor que en la representacin de [r, r+1)

1. Qu sucedera si los frjoles fuesen de tamaos apreciablemente diferentes?

Existira una diferencia entre el nmero de frjoles cogidos en una muestra seria mayor que en otra muestra, habra una mayor variacin de frjoles en este caso.

1. En el ejemplo mostrado se deba contra alrededor de 60 frjoles por puado, sera ventajoso colocar solo 100 frjoles en el recipiente, y de esta manera calcular el nmero de frjoles en un puado, contando los frjoles que quedan en el recipiente?

Sera una buena forma de ahorrar tiempo y averiguar los datos de nuestras muestras con mayor facilidad; sin embargo estaramos limitndolas variaciones que existen entre los tamaos de los frjoles, nos estaramos limitando a los tamaos que existe entre estos 100 frjoles.

1. Qu suceder si en el caso anterior colocara solo digamos75 frjoles en el recipiente?

Al igual que el caso anterior es una menor cantidad de frjoles, si tomamos a estos 75 frjoles como una poblacin, diramos con ms exactitud que el promedio de nmeros de frjoles sacados sera la ms cercana y con poca variacin, sin embargo 75 frjoles es muy pequeo para ser una poblacin y estaramos limitados a nuestras respuestas obteniendo un promedio no muy aceptable para una poblacin mayor de frjoles.

1. La parte de este experimento que exige ms paciencia es el proceso de contar. Para distribuir esta tarea entre tres personas Cul de las sugerencias propondra usted? Por qu?

1. Cada participante realiza 33 o 34 extracciones y cuenta los correspondientes frijoles.1. Uno de los participantes realiza las 100 extracciones pero cada participante cuenta 33 o 34 puados.

Respuesta:

b) Uno de los participantes realiza las 100 extracciones pero cada participante cuenta 33 o 34 puadosLa razn de nuestra respuesta est en la diferencia de tamao de nuestros puos de las tres personas, estaramos agregndole un error al promedio, y la variacin entre el nmero de frjoles sacados por cada uno de nuestro grupo.

1. Mencione tres posibles hechos que se observaran si en vez de 100 puados extrajeran 1000 puados.

Al ser ms grande el numero de la muestra las probabilidades quedaran mejor definidas. El experimento requerira mayor tiempo. Queda asegurado que la cota de incerteza contiene al valor real de la medicin.

1. Cul es el promedio aritmtico de las desviaciones?

La sumatoria de nk-nmp es cero. Si tomamos este valor el promedio es cero; pero si tomamos los valores absolutos de las diferencias (|nk-nmp|) el promedio aritmtico de las desviaciones es 2.834.

1. Cul cree es la razn para haber definido en vez de tomar simplemente el promedio de las desviaciones?

En estadstica la desviacin media (promedio aritmtico de los valores absolutos de las desviaciones) no es muy utilizada porque su manipulacin no es fcil al no ser derivable.

1. Despus de realizar el experimento coja un puado de frijoles. Qu puede afirmar sobre el nmero de frijoles contenido en el puado (antes de contar)?

El nmero de frijoles del puado es muy probable que se encuentre en el intervalo [58.79-3.497, 58.79+3.497].

1.

Si considera necesario, compare los valores obtenidos por UD para y para , con los resultados obtenidos por sus compaeros Qu conclusin importante puede obtener de tal comparacin?

Los valores que lograron obtener mis compaeros son totalmente diferentes, por tanto se puede concluir que el error vara de acuerdo a la mano de cada persona, que en este caso representa el instrumento de medicin.

1. Mencione alguna ventaja o desventaja de emplear pallares en vez de frijoles en el presente experimento.

Sabemos que los pallares son de mayor tamao que los frijoles entonces en un puado cabran menos, demorara menos tiempo contarlos. Pero a su vez los pallares son menos manejables que los frijoles por la forma plana que tienen, en cambio los frijoles se amoldan mejor a la

CONCLUCIONES Y RECOMENDACIONES

La media aritmtica es el valor ms probable de frjoles que salgan en un puado normal, la cual es una medida de tendencia central, pues entorno a ellas se disponen los elementos de las distribuciones. La incertidumbre normal o desviacin estndar representa el alejamiento de una serie de nmeros de su valor medio. Ninguna medicin es absolutamente exacta, presenta limitaciones instrumentales y humanas. El instrumento de medida utilizado en este experimento es el puo, el cual vara en cada persona resultando as una unidad no estndar de medida. Se recomienda que la persona que extrae los frijoles del tazn mantenga el mismo nimo y ritmo de trabajo durante las 100 o ms extracciones; as como que se familiarice antes con el tamao del puo y la forma de coger los frijoles para evitar grandes desviaciones de la tendencia central.

2. PROPAGACIN DEL ERROR EXPERIMENTAL

OBJETIVOS

Expresar las incertidumbres al realizar una medicin. Determinar la propagacin de la incertidumbre.

MATERIALES

Una regla graduada en milmetros Una pie de rey Un paraleleppedo de metal

FUNDAMENTO TERICO

MEDIR

Comparar una magnitud con una unidad prestablecida. Actualmente se usa el metro como medida base para cuestiones de medidas longitudinales, est condicionado por el sistema internacional.

PIE DE REY

Instrumento para medir dimensiones de objetos relativamente pequeos, desde centmetros hasta fracciones de milmetros (1/10 de milmetro o hasta 1/20 de milmetro).

Pie de rey

CRITERIO FUNDAMENTAL.

La incertidumbre o tambin llamado errores, si designa o nombra como la mitad de la menor unidad del instrumento de medicin, es decir: si el instrumento es una regla donde la menor unidad de medida es 1 mm, entonces se proceder a tomar como incertidumbre a 0,5 mm de esta menor medida. Esto conlleva a dar una respuesta con cierta peculiaridad, si medimos 15 mm tendramos que aadir 0,5 mm es decir que la medida sera a 15 mm 0,5 mm.

PROCEDIMIENTO

Se mide el ancho, largo y alto de la pieza proporcionada con la regla. Se mide el ancho, largo y alto de la pieza proporcionada con el pie de rey. Se elabora una tabla con los resultados de clculos de rea, volumen para 1 y 100 paraleleppedos. Se debe calcular tanto para los valores obtenidos de la medicin con la regla como los valores con el pie de rey.

CLCULOS Y RESULTADOS N2

Objeto tratado

MEDICIONES DEL PARALELEPPIDO

Con la reglaCon el pie de rey Porcentaje de incertidumbre

Con la regla Con el pie de rey

Largo a31 mm 0.5 mm31.30 mm 0.05 mm3.225%0.15%

Ancho b31 mm0.5 mm31.35 mm 0.05 mm3.225%0.15%

Alto H12.5 mm0.5 mm12.35 mm 0.05 mm8.33%0.4%

H7 mm0.5 mm7.4 mm 0.05 mm14.28%0.675%

h4.5 mm 0.5 mm4.95mm 0.05 mm22.22%1.0%

D14 mm0.5 mm14.35mm 0.05 mm7.14 %0.348%

d6 mm0.5 mm6.2mm 0.05 mm16.66%0.806%

Determinar el rea total y el volumen del paraleleppedo

rea del paraleleppedo.1. Con la regla.

AT= 2ab +2Hb + 2Ha /4(D2) - /4(d2)AT= 3289.78 mm2.

Incertidumbre:

a= b=H= 0.5 mm

A=2(b+H) a +2(a+h) b +2(a+b) H + /2(D) D + /2(d) dA= 167.35 mm2.Porcentaje de incertidumbre:A/A x100%= 5%1. Con Vernier.

AT= 2ab +2Hb + 2Ha /4(D2) - /4(d2)AT= 3387.82 mm2.

Incertidumbre:

a= b=H= 0.05 mmA=2(b+H) a +2(a+h) b +2(a+b) H + /2(D) D + /2(d) dA=14.90 mm2.Porcentaje de incertidumbre:A/A x100%= 0.44%

Volumen del paraleleppedo:1. Con el vernier.

V= axbxH /4(D2)h - /4(d2)HV= 11094.51mm3

Incertidumbre:

a= b=H= 0.05 mmV= (V/a)a +(V/b )b +(V/H )H +(V/D) D +(V/d) d + (V/d)d +(V/H)H +(V/H)H +(V/h) h +(V/h) hV= bxH a + axHa+ axba +(/4)x2(D)hD + (/4)x2(D2)h+ (/4)x2(d)Hd +(/4)(d)hd + /4(d2)h+ /4(d2)HV=99.85 mm3Porcentaje de incertidumbre:(V/V)X100%=0.9%

1. Con la regla:

V=axbxHV= 12012.5 mm3Incertidumbre:a= b=H= 0.5 mmV= a(axb+bxH+axH)V=156.16 mm3Porcentaje de incertidumbre:(V/V)x100%=1.3%

DETERMINAR EL AREA TOTAL A100 Y EL VOLUMEN TOTAL V100REA TOTAL DE A1001. Con Vernier.

AT100= 200axb +200Hb + 200Ha /4(D2) - /4(d2)AT100= 351410.83 mm2

Incertidumbre

a= b=H= 0.05 mmAT100=2(b+100H) a +2(a+100h) b +2(a+b) H + /2(D) D + /2(d) dAT100=4779.17 mm2

Porcentaje de incertidumbre:

(AT100/AT100)x100%=1.36%

1. Con la regla:

AT100= 200axb +200Hb + 200Ha /4(D2) - /4(d2)AT100= 347074.33mm2

Incertidumbre:

a= b=H= 0.5 mmAT100=2(b+100H) a +2(a+100h) b +2(a+b) H + /2(D) D + /2(d) dAT100=3331.91 mm2

Porcentaje de incertidumbre:

(AT100/AT100)x100%=0.96%

VOLUMEN TOTAL DE V100.

1. Con el Vernier:

V100= axbx100H /4(D2)100h - /4(d2)100H

V100=1109451.88 mm3

Incertidumbre

a= b=H= 0.05 mmV100= (V/a)a +(V/b )b +(V/H )H +(V/D) D +(V/d) d + (V/d)d +(V/H)H +(V/H)H +(V/h) h +(V/h) h

V100= bx100H a + ax100Ha+ axba +(/4)x2(D)100hD + (/4)x2(D2)h+ (/4)x2(d)100Hd +(/4)(d)100hd + /4(d2)h+ /4(d2)HV100=4770.64 mm3

Porcentaje de Incertidumbre

(V100 / V100)x100%=0.43%

1. Con la regla

V100=axbxHV100= 12012.5 mm3Incertidumbre:a= b=H= 0.5 mmV100= a(axb+bxH+axH)V100=816.85 mm3Porcentaje de incertidumbre:(V100/V)x100%= 6.8%

Clculos y errores

Con la reglaCon el VernierPorcentaje de incertidumbre

Con ReglaCon el Vernier

A3289.78 mm2 167.35 mm23387.82 mm214.9 mm2.0.03%0.0014%

V12012.5 mm3156.16 mm311094 mm399.85 mm30.83%0.00045%

A100347074.33 mm2 3331.91 mm2351410.83 mm24779.17 mm20.00028%0.000014%

V10012012.5mm3816.81 mm31109451.88mm34770.64 mm30.83%0.000045%

Mediciones del paraleleppedo

CUESTIONARIO N 2

1. Las dimensiones de un paraleleppedo se pueden determinar con una sola medicin?

Generalmente no se puede obtener las dimensiones con una sola medicin, ya que la medida que se obtenga depende de la precisin de la escala en la que este el instrumento que se est empleando.

1. Qu es ms conveniente para calcular el volumen del paraleleppedo una regla en milmetros o un pie de rey?

En los trabajos el pie de rey o vernier es ms conveniente, ya que el error o incertidumbre es mucho menor que para el caso de una regla milimetrada.

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Todo resultado experimental o medida realizada en el laboratorio debe ir acompaada del valor estimado de su incertidumbre o error de las unidades empleadas. Todas las medidas estn afectadas de manera alguna por una incertidumbre e debido a las imperfecciones inevitables del instrumento de medida, y tambin por las limitaciones impuestas por nuestros sentidos. Es recomendable usar una unidad de medida pequea para poder ser ms precisos. Por ejemplo usar el micrmetro para realizar medias a una lmina de aluminio en vez de usar en vernier.

3 GRAFICA DE RESULTADOS DE UNA MEDICIN

OBJETIVOS: Determinar las condiciones para que un pndulo simple tenga su periodo independiente de su amplitud Determinar la relacin entre el periodo y la longitud l del pndulo Construir funciones polinmicas que representen a dicha funcinFUNDAMENTO TERICO:CICLO

Se refiere al movimiento completo de ida y vuelta desde algn punto inicial y de regreso a ese mismo punto.

PERIODO: T

Es el tiempo que tarda un ciclo, y siempre es positivo. La unidad del periodo en el S.I. es el segundo, aunque a veces se expresa como segundos por ciclo.

FRECUENCIA: f

Es el nmero de ciclos en la unidad de tiempo, y siempre es positiva.La unidad de la frecuencia en el S.I. es el Hertz1 hertz = 1 Hz =1 ciclo/s = 1 FUERZA DE RESTITUCIN

Es toda aquella fuerza que tiende a llevar al sistema a la posicin de origen. Existe oscilacin solo si hay fuerza de restitucin.OSCILACIONES

Ocurre cuando un sistema va y viene sobre la misma trayectoriaM.A.S

Para cualquier sistema oscilatorio en el que la fuerza restauradora neta es directamente proporcional al negativo del desplazamiento (F=-kx) se dice que experimenta un movimiento armnico simple (MAS).PNDULO SIMPLE

Un pndulo simple es un modelo idealizado que consiste en una masa puntual (llamada en ocasiones pesa o lenteja) suspendida de un cuerda no estirable y sin masa (cuerda ideal) comparada con la masa de la lenteja. El movimiento de un pndulo simple al oscilar, con friccin despreciable, se parece al movimiento armnico simple, el pndulo oscila a lo largo del arco de un crculo con igual amplitud a cada lado de su punto de equilibrio, y al pasar por su punto de equilibrio (por la vertical) tiene su rapidez mxima.

La trayectoria de la masa puntual no es una recta, sino el arco de un crculo de radio L igual a la longitud de la cuerda. Usamos como coordenada la distancia x medida sobre el arco. Si el movimiento es armnico simple, la fuerza de restitucin debe ser directamente proporcional a x, (porque x=L), o bien a . La fuerza de restitucin F es la componente tangencial de la fuerza total

La fuerza de restitucin se debe a la gravedad; la tensin T slo acta para hacer que la masa puntual describa un arco. La fuerza de restitucin es proporcional no a sino a sen , as que el movimiento no es armnico simple. Sin embargo, si el ngulo esPequeo, Para ngulos menores de 15, sen es casi igual a en radianes. Por ejemplo, si =0.1rad (unos 6), sen=0.0998, una diferencia de slo 0.2%. Con esta aproximacin, la ecuacin se convierte en:

Como un pndulo no experimenta exactamente MAS, el periodo depende ligeramente de la amplitud, sobre todo para amplitudes grandes

MATERIALES

Un pndulo simple de 150 cm. De longitud Una regla graduada en mm. Un cronmetro 2 hojas de papel milimetrado

PROCEDIMIENTO1. Amarramos la cuerda previamente medida con una longitud de 100 cm. a la pesa2. Fijamos el pndulo a un soporte 3. Desviamos el pndulo con ngulos pequeos4. Calculamos el periodo con el cronmetro del pndulo 5. Repetimos los pasos 3, 4 disminuyendo la longitud de la cuerda en 10 cm

DATOS OBTENIDOS

CLCULOS Y RESULTADOS

1. Grafique la funcin discreta

f = {(T1, l1), (T2, l2) (T10, l10)}

2. Calcule la incertidumbre f

f=

3. Grafique una nueva funcin discreta:

4. Elija una curva de ajuste polinmicas de segundo orden y determine los coeficientes , y de la funcin g(T)= + T + de manera que pase por tres puntos convenientemente elegidos de esta segunda funcin

g(T)= + T +

= -2.049 = 61.193 = 12.592

CUESTIONARIO N 3

1. Anteriormente se le ha pedido que para medir el periodo deje caer la masa del pndulo. Qu sucede si en vez de ello Ud. Lanza la masa?

El lanzamiento de la masa originara una fuerza adicional, por ende la masa empezara con una rapidez y la amplitud aumentara y como consecuencia el periodo se distorsionara

2. Depende el periodo del tamao que tenga la masa?. Explique

Como podemos observar de ecuacin del periodo , nos damos cuenta que el periodo no depende de la masa.

3. Depende el periodo del material que constituye la masa. ( p.e: una pesa de metal, una bola de papel, etc.?

Como pudimos darnos cuenta el periodo no depende de las propiedades fsicas de la masa por lo tanto el periodo no depende del material de la masa.

4. Supongamos que se mide el periodo con =5 y con =10. En cul de los casos resulta mayor el periodo?

En el planteamiento terico dijimos que una condicin para el pndulo simple era que el ngulo 15 aproximadamente y como los ngulos que nos piden analizar son 15 los periodos seran aproximadamente iguales

5. Para determinar el periodo (duracin de una oscilacin completa), se ha pedido medir la duracin de 10 oscilaciones y de all determinar la duracin de una oscilacin. Por qu no es conveniente medir la duracin de una sola oscilacin? Qu sucedera si midiera el tiempo necesario para 50 oscilaciones?

Si midieras el periodo de una sola oscilacin el error en el clculo aumentara y es eso lo que se desea reducir. Si midiramos el tiempo para 50 oscilaciones, el periodo se volvera ms preciso.

6. Depende los coeficientes , , de la terna de puntos por donde pasa f?

S, porque , , son coeficientes de una ecuacin polinmica y cualquier variacin afectara a la grfica.

7. Para determinar , , se eligieron tres puntos. Por qu no dos? o cuatro?

Para determinar los coeficientes de una ecuacin de grado n se necesitan n ecuaciones, por lo tanto si tomamos solo dos puntos no podramos determinar los coeficientes de la ecuacin, ya que nos faltara una ecuacin. Si eligiramos 4 puntos podramos determinar los coeficientes quedando una ecuacin sin utilizar.

8. En general, segn como elija , , obtendrn cierto valor para f. Podra Ud. Elegir , , de manera que sea mnima (aunque no pase por ninguno de los puntos de la funcin discreta)? Puede elegir , , de manera que ?

S, se puede optimizar los valores , , para que sea mnima pero jams para que =0 ya que siempre en todo calculo existe cierta incertidumbre.

9. Qu puede afirmarse, en el presente experimento, con respecto al coeficiente de la funcin g(T)?

Como pudimos observar en el clculo del coeficiente es aproximadamente cero y esto nos dara aproximadamente una funcin lineal

10. Cuntos coeficientes debera tener la funcin g para estar seguros de g=0?

Solo se tendran que considerar los dos primeros coeficientes, ya que con ellos se describira una recta.

11. Opina Ud. Que, por ejemplo usando un trozo de hilo de coser y una tuerca, puede repetir estos experimentos en su casa?

S se puede realizar el experimento con los materiales indicados porque como sealamos anteriormente el periodo solo depende de la longitud de la cuerda y de la gravedad, mas no del material del cual este hecho la cuerda ni la masa.12. Tiene Ud. Idea de cuntas oscilaciones pude dar el pndulo empleado, con lk=100 cm., antes de detenerse?

Saber con precisin cuantas oscilaciones dar un pndulo antes de detenerse se vuelve un poco tedioso, ya que influira muchas otras condiciones como por ejemplo la resistencia del aire.

13. Observe que al soltar el pndulo es muy difcil de evitar que la masa rote. Modifica tal rotacin el valor del periodo? Qu propondra Ud. Para eliminar la citada rotacin?

La rotacin s modifica el periodo ya que no realizara la misma trayectoria en la ida y vuelta. Diramos que el experimento se realizara en un lugar donde exista la menor corriente de aire posible ya que eso es un factor para la rotacin.

BIBLIOGRAFA

Prctica de laboratorio de fsica, UNI , 2009 , p. 1 14.

Fsica Universitaria, Hugh D. Young, Roger A. Freedman, Editorial Addison-Wesley., Decimosegunda edicin, p. 420, 436-437

Fsica para ciencias e ingeniera, GIANCOLI, DOUGLAS C., Editorial Addison-Wesley, cuarta edicin, p. 371,379-380

1Laboratorio Fsica I

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