Mediciones Fundamentales

Fsica General

Unidad II: Mediciones y Unidades

La medicin es de vital importancia para todos nosotros. Es una de las formas concretas con la que nos manejamos en nuestro mundo

2010

Miguel Olalla P. ESPOCH

22/09/2010

Unidad II: Mediciones Fundamentales Juan Miguel Olalla P

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Contenido 2.1. INTRODUCCIN ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3

2.2. SISTEMAS DE UNIDADES ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 3

2.3. SISTEMA INTERNACIONAL (SI) --------------------------------------------------------------------------------------------- 4

2.3.1. MLTIPLOS Y SUBMLTIPLOS EN EL SI ----------------------------------------------------------------------------------- 6

2.4. ANLISIS DIMENSIONAL ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 6

2.5. CONVERSIN DE UNIDADES ---------------------------------------------------------------------------------------------- 10

2.6. CIFRAS SIGNIFICATIVAS Y REDONDEO --------------------------------------------------------------------------------- 12

2.7. EJERCICIOS RESUELTOS----------------------------------------------------------------------------------------------------- 14

2.8. PREGUNTAS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 18

2.9. EJERCICIOS PROPUESTOS -------------------------------------------------------------------------------------------------- 19

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS ------------------------------------------------------------------------------------------------ 21

INDICE -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 22


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2.1. Introduccin La medicin es de vital importancia para todos nosotros. Es una de las formas concretas con la que nos manejamos en nuestro mundo. Esto es muy particularmente cierto en la fsica. La fsica se refiere a la descripcin y la comprensin de la naturaleza, y la medicin es una de las herramientas ms importantes. La medicin es por tanto una operacin clave. Por lo cual la definimos como: Una tcnica por medio de la cual asignamos un nmero a una magnitud fsica;

como resultado de comparar dicha magnitud con otra similar tomada como

patrn, la cual se ha adoptado como unidad 2.2. Sistemas de Unidades

A travs de la historia, se han utilizado varios sistemas de unidades, como son el sistema ingls, tcnico o terrestre, c.g.s, MKS y Sistema Internacional (SI). En la tabla 2.1., se describen algunas unidades importantes de los sistemas ingls, tcnico y cgs. ALGUNAS UNIDADES IMPORTANTES

MAGNITUD SISTEMA INGLS SISTEMA TCNICO SISTEMA c.g.s

Longitud pie () metro () centmetro () Masa libra () unidad tcnica de masa () gramo ()

Tiempo segundo () segundo () segundo () Fuerza poundal () kilopondio () dina () Presin psi (/) / baria ()

Trabajo o Energa kilogrmetro () ergio () Potencia caballo de fuerza () / /

Tabla 2.1. Unidades importantes de los sistemas: ingls, tcnico y c.g.s.


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En 1901 el fsico italiano Giovanni Giorgi propuso el llamado sistema MKS o sistema Giorgi. A partir del MKS se origin el Systme International d'Units (SI). El SI fue adoptado y recomendado por el 11 Congreso General de Pesos y Medidas en 1960. 2.3. Sistema Internacional (SI) El SI se fundamenta en siete unidades fundamentales y dos unidades complementarias, reflejadas en la Tabla 2.2., que se consideran dimensionalmente independientes. Todas las otras unidades son derivadas, coherentemente formadas multiplicando y dividiendo unidades fundamentales, algunas de las cuales se muestran en las tablas 2.3 y 2.4.

UNIDADES FUNDAMENTALES DEL SI

MAGNITUD UNIDAD SMBOLO DIMENSION

Longitud metro Masa kilogramo Tiempo segundo Intensidad de Corriente elctrica amperio Temperatura termodinmica kelvin Intensidad luminosa candela Cantidad de sustancia mol

UNIDADES COMPLEMENTARIAS

Angulo Plano radin Angulo Slido estreo radin

Tabla 2.2. Unidades Fundamentales del Sistema Internacional (SI) con sus respectivos nombres, smbolos y dimensin.


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UNIDADES DERIVADAS

MAGNITUD UNIDAD SMBOLO

Superficie metro cuadrado Volumen metro cbico Velocidad metro por segundo Aceleracin metro por segundo cuadrado Nmero de onda Metro a la potencia menos uno Densidad kilogramo por metro cbico Velocidad angular radin por segundo Aceleracin angular radin por segundo cuadrado

Tabla 2.3. Unidades SI derivadas a partir de las fundamentales y complementarias.

UNIDADES SI DERIVADAS ESPECIALES

MAGNITUD UNIDAD SMBOLO EXPRESIN EN OTRAS

UNIDADES SI

EXPRESIN EN UNIDADES SI

FUNDAMENTALES

Frecuencia hertz ------------ Fuerza newton ------------ Energa, trabajo, cantidad de calor

joule Potencia watt carga elctrica coulomb -------------- Potencial elctrico fuerza electromotriz

voltio Resistencia elctrica ohm Capacidad elctrica faradio Tabla 2.4. Unidades SI derivadas que tienen nombres propios.


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2.3.1. Mltiplos y Submltiplos en el SI MLTIPLOS Y SUBMLTIPLOS

FACTOR PREFIJO SMBOLO FACTOR PREFIJO SMBOLO 10 yotta 10 deci 10 zetta 10 centi 10 exa 10 milli, mili 10 peta 10 micro 10 tera 10 nano 10 giga 10 pico 10 mega 10 femto 10 kilo 10 atto 10 hecto 10 zepto 10 deka, deca 10 yocto Tabla 2.5. Mltiplos y submltiplos decimales del sistema Internacional de Unidades (SI).

2.4. Anlisis Dimensional

El anlisis dimensional es un procedimiento mediante el cual se puede comprobar la consistencia dimensional de cualquier ecuacin. Usted ha utilizado ecuaciones y sabe que una ecuacin es una igualdad matemtica. Dado que las magnitudes fsicas utilizadas en las ecuaciones tienen dimensiones, los dos lados de una ecuacin deben ser iguales, no slo en magnitud numrica, sino tambin en sus dimensiones. Y las dimensiones se deben tratar como magnitudes algebraicas; es decir, pueden ser multiplicadas o divididas.


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Las siguientes son recomendaciones bsicas en el anlisis dimensional: a) Las dimensiones se escriben entre corchetes b) La suma o resta de las mismas dimensiones origina la misma dimensin, es decir: [] + [] [] + [] = [] c) Cualquiera que sea el coeficiente numrico, y cualquiera que sean las constantes, siempre se reemplazan por la unidad, es decir: 2 [] + 8 [] + [] = [] d) Las dimensiones deben seguir el orden establecido en la ecuacin 3.1. () = (Ec. 3.1) e) Se escriben siempre en forma de entero, y si es quebrado se hace entero, es decir: [][] = [] Ejemplo 2.1. Cules son las dimensiones de ,,, en la relacin dada por = + + + ? Donde representa a la longitud y representa al tiempo Solucin: Cada trmino de la suma debe tener la dimensin de una longitud, porque la ecuacin debe ser homognea. = + + + =

+

+ (1) + ()

Por tanto: = = Dimensin de una velocidad = = Dimensin de una aceleracin = 1 No tiene dimensin = Dimensin de una longitud


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Ejemplo 2.2. Hallar las ecuaciones dimensionales de: a) rapidez , b) aceleracin , c) fuerza y d) densidad , sabiendo que la rapidez es = /, la aceleracin es = /, la fuerza es = y la densidad es = /. Donde: es distancia, es tiempo, es masa y es volumen. Solucin: a) = / [] = [] b) = / [] = [] c) = [] = [] d) = / [] = []

Ejemplo 2.3. La potencia de una hlice impulsora de un barco es: = ; siendo: la velocidad angular, el radio de la hlice y la densidad del agua de mar. Hallar los valores de , , . Solucin: Calculamos en primer lugar las ecuaciones dimensionales de cada uno de los elementos de la ecuacin: Potencia: [] = [] (trabajo / tiempo) Constante : [] = [1] Velocidad angular: [] = [] (ngulo / tiempo) Radio: [] = [] Densidad: [] = [] (masa / volumen) Sustituyendo estos valores en la ecuacin propuesta: [] = [1][][][] Osea, [] = [] De donde se tiene que: = 3, = 5 y = 1 Hasta ahora hemos estado trabajando en los sistemas absolutos; sin embargo,


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podemos tambin expresar las dimensiones en otro sistema llamado Tcnico o gravitacional, en el cual simplemente debe aparecer la dimensin [] de la fuerza en lugar de la dimensin [] de la masa; por ejemplo, la dimensin de la masa es ], del trabajo es [], de la potencia es [], etc.

Ejemplo 2.4. En la siguiente expresin hallar las dimensiones de en el sistema gravitacional, donde es la masa: =

Solucin: Elevando al cuadrado y considerando la expresin dato: =

=

= Ahora, la fuerza se define por = , entonces = (/), utilizando el anlisis dimensional se observa que: [] = [] = [].


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2.5. Conversin de unidades Debido a que unidades diferentes en el mismo sistema o en sistemas diferentes pueden expresar la misma magnitud, algunas veces es necesario convertir las unidades de una magnitud a otra unidad mediante la utilizacin de los factores de conversin, por ejemplo, de pies a yardas o de pulgadas a centmetros. En la tabla 2.6 podemos observar algunas equivalencias. LONGITUD MASA 1 =10-10 m 1m = 102cm = 39.37 pulg = 6.214 x 10-4 millas 1m = 3,281 pie 1pulgada = 2,540 cm 1 ao luz = 9,46 x 1015m 1 parsec = 3,084 x 1016 m 1 m = 5,3967 x 10-4 millas nuticas 1 milla = 1609 m

1 kg = 103 g = 2,205 lb 1 lb = 453,5924g 1 uma = 1,6604 x 10-27 kg 1 utm = 9,8 kg 1 slung = 32,2 lb 1 tonelada = 1000 kg 1 g = 2,205 x 10-3 lb 1 slung = 14,59 kg FUERZA ENERGIA 1 N = 105 dina = 0,2248 lbf = 0,102 kgf 1 dina = 10-5 N = 2,248 x 10 6 lbf 1 lbf = 4,448 N = 4,448 x 105 dina 1kgf = 9,81 N 1kgf =22 lbf 1 lbf = 32,2 poundal 1 poundal = 0,1383 N

1 J = 107 erg = 0.239 cal 1 J = 6.242 x 1018 eV 1 eV = 1.60 x 10-12 erg 1 cal = 4.186 J 1BTU = 252 calorias 1 BTU = 1,0550 x 1010 erg 1 J = 9,480 x 10-4 BTU 1 erg = 9,480 x 10-11 BTU POTENCIA PRESION 1 W = 1,341 x 10-3 hp 1hp = 0,9863 kW

1 Pa = 9,265 x 106 atm 1 atm = 14,7 lbf pulg-2 = 1,013 x 105 Pa 1 bar = 106 dina cm-2 1 atm 760 mm de Hg Tabla 2.6. Algunas equivalencias de unidades entre los diferentes sistemas.


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Ejemplo 2.6. Reducir a) 42 a y b) 22 a Solucin: a) 42

= 42

= . b) 22

= 22

. . = .

Ejemplo 2.7. Cul es la densidad en el SI de un cilindro hueco cuyo dimetro exterior es de 4.0 10 , dimetro interior de 2. 0 10 y tiene una altura de 3.5 , si la masa es de 9 . Solucin: Sabemos que la densidad se define por =

, donde: =

( ) Entonces: =

() Transformamos todos los datos a unidades SI: = 8 . = 3.63 = 4.0 10

= 0.64 = 2.0 10 = 0.32 = 3.5 .

= 0.089 Reemplazando todos estos valores en la ecuacin anterior se obtiene: = () = (. )[(. )(. )](. ) = .


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2.6. Cifras Significativas y Redondeo

Se considera que las cifras significativas de un nmero son aquellas que tienen significado real o aportan alguna informacin. Las cifras significativas de un nmero vienen determinadas por su error; y son aquellas que ocupan una posicin igual o superior al orden o posicin del error. Por ejemplo, consideremos una medida de longitud cuyo valor es de 5432,4764 con un error de 0,8 . El error es por tanto del orden de dcimas de metro. Es evidente que todas las cifras del nmero que ocupan una posicin menor que las dcimas no aportan ninguna informacin. En efecto, qu sentido tiene dar el nmero con precisin de diezmilsimas si afirmamos que el error es de casi 1 ? Las cifras significativas en el nmero sern por tanto las que ocupan la posicin de las dcimas, unidades, decenas, pero no las centsimas, milsimas y diezmilsimas. Las siguientes recomendaciones son importantes en el uso de cifras significativas: 1. Los ceros al principio de un nmero no son significativos. Tan slo indican la colocacin del punto decimal; Por ejemplo, el nmero 0.0254 tiene 3 cifras significativas. 2. Los ceros dentro de un nmero s son significativos; Por ejemplo, el nmero 105.7 tiene 4 cifras significativas. 3. Los ceros al final de un nmero, despus del punto decimal son significativos; Por ejemplo, el nmero 2705.0 tiene 5 cifras significativas. 4. En nmeros enteros sin punto decimal que tienen al final uno o ms ceros (por ejemplo 500 kg), los ceros pueden o no ser significativos. En estos casos, no queda claro cules ceros sirven slo para localizar el punto decimal y cules son parte de la medicin. Es decir, si el primer cero a la izquierda (500 kg) fuera el dgito estimado en la medicin, entonces, slo se conocen confiablemente dos dgitos y slo hay dos cifras significativas. De manera similar, si el ltimo cero fue el dgito estimado (500 kg), entonces hay tres


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cifras significativas. Esta ambigedad se puede eliminar utilizando la notacin cientfica. 5.0 10 dos cifras significativas 5.00 10 tres cifras significativas Esto ayuda a expresar los resultados de los clculos con el nmero apropiado de cifras significativas. Es importante dar a conocer los resultados de las operaciones matemticas con el nmero adecuado de cifras significativas. La siguiente regla general nos dice cmo determinar el nmero de cifras significativas en el resultado de una multiplicacin o de una divisin: El resultado final de una operacin de multiplicacin o de divisin debe tener el

mismo nmero de cifras significativas que la cantidad con el menor nmero de

cifras significativas utilizadas en el clculo Lo que esto significa es que el resultado de un clculo no puede ser ms exacto que la cantidad menos exacta que se utiliz; esto es, no se puede ganar en exactitud al realizar operaciones matemticas. Por ejemplo: . . / = . El resultado de la divisin 2.79245283 se ha redondeado para dejar dos cifras significativas. Las reglas para redondear un nmero son las siguientes:

1. Si el dgito siguiente a la ltima cifra significativa es 5 o mayor, la ltima cifra significativa se aumenta en 1. 2. Si el digito siguiente a la ltima cifra significativa es menor que 5, la ltima cifra significativa se queda igual.


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2.7. Ejercicios Resueltos

Ejercicio 2.1. Convertir: a) 7.3 10 a b) 6.4 10 a Solucin: a) 7.3 10 .

. = . b) 6.4 10 = .

Ejercicio 2.2. Transformar: a) 1 a y b) 1 a Solucin:

a) 1 = 1 = 100000 = b) 1 = 1

( ) = 10000000 = Ejercicio 2.3. Una roca cae con una velocidad inicial de 28 . Cul ser la velocidad que alcanzar la roca en el SI despus de haber transcurrido 7.3 10 , si la aceleracin de la gravedad es igual a 980 . La expresin para la velocidad cuando un cuerpo cae viene dada por = + Solucin: En primer lugar transformamos las unidades al SI: = 28 . = . = 980

= . = 7.3 10 = . Reemplazando estos valores en la expresin = + se encuentra que la velocidad es: = .


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Ejercicio 2.4. Una milla nutica es equivalente a 6080.27 , y un nudo nutico es una unidad de velocidad equivalente a una milla nutica sobre hora. Un barco lleva una velocidad de 12 . Cul es su velocidad en /? Solucin: 12 = 12

. = . Ejercicio 2.5. Una partcula que se mueve por una trayectoria circular de radio 0.58 10 , gira un ngulo de 135 cada 2. 4 10 . Determine en el SI, la rapidez de la partcula y la aceleracin centrpeta , sabiendo que la expresin de la velocidad es: = ; donde = /, y de la aceleracin centrpeta es = /. Solucin: Transformando las unidades al SI se tiene: = 135

= . = 0.58 10 = . = 2.4 10

= . Si reemplazamos estos valores en las expresiones dadas se tiene: =

= . . = . La rapidez es: = 6.48

(0.58 ) = .

Mientras que, la aceleracin centrpeta es: = = . . = . Ejercicio 2.6. Sabiendo que 1 es igual a 2,54 , calclese, con cinco cifras, el nmero de pulgadas que hay en una milla y el nmero de millas que hay en 1 . Solucin: 1 = 1

. = . 1 = 1 = .


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Ejercicio 2.7. La masa de la tierra es de 5,98 10, y su radio de 6,38 10 . Calclese la densidad de la tierra utilizando la notacin en potencias de diez, sabiendo que la expresin de la densidad es: =

; donde, =

. Solucin: =

=

,

(, ) = . Ejercicio 2.8. Diga si las siguientes ecuaciones son o no homogneas: a) = + 2 b) = + + c) =

Donde: es la rapidez inicial; la rapidez final; el espacio recorrido; la aceleracin; la potencia; la fuerza y el tiempo.

Solucin: a) [] = [] + [][] [] = []; si es homognea b) [] = [] + [][] + [][] [] = []; si es homognea c) [] = [][] [] = []; si es homognea Ejercicio 2.9. Se sabe que la frmula del perodo de un pndulo es: = 2. Donde: es el perodo, la longitud y la aceleracin de la gravedad. Encontrar los valores numricos de e . Solucin: Por los datos del ejercicio: = []; 2 = [1]; = [] y = []. Sustituyendo: = [][] = [] Luego: = [] Comparando ambos miembros de la ecuacin se tiene que: + = 0 y

2 = 1, resolviendo el sistema se obtiene: =

, =


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Ejercicio 2.10. La Ley de la atraccin universal de las masas establece que: =

. Hallar la ecuacin dimensional de la constante .

Solucin: Se sabe que: [] = []; = []; , = []; entonces despejando y reemplazando las dimensiones se tiene que: =

[] = [][][] = [] Ejercicio 2.11. La frecuencia de oscilacin de una cuerda depende de su longitud , la fuerza a la cual se encuentra sometida y a su densidad lineal de masa . Usando el anlisis dimensional, encontrar esta dependencia. Solucin: Asumimos que la dependencia es de la forma: Para encontrar ,, , se debe asumir que las dimensiones en ambos miembros de la ecuacin propuesta son iguales: [] [][][] [] [][][] [] [] Esta proporcin formada es cierta siempre y cuando: 2 = 1;

+ = 0 y + = 0. Resolviendo el sistema de ecuaciones resulta que = 1, =

, = . Finalmente:

// =


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2.8. Preguntas 1. En un taller de maquinas se producen dos levas, una de aluminio y una de hierro. Ambas tienen la misma masa. Cul es la leva ms grande? (a) la de aluminio (b) la de hierro (c) ambas levas tienen la misma dimensin. 2. Verdadero o falso: El anlisis dimensional puede dar el valor numrico de constantes de proporcionalidad que aparecen en una expresin algebraica 3. La distancia entre dos ciudades es 100 millas. El nmero de kilmetros entre las dos ciudades es (a) menor a 100 (b) mayor a 100 (c) igual a 100 4. Supongamos que el lector mide la posicin de una silla con una cinta mtrica y anota que el centro del asiento mide 1.043 860 564 2 m desde una pared. Qu concluira a partir de esta medicin registrada? 5. Suponga que dos cantidades A y B tienen diferentes dimensiones. Determine cul de las siguientes operaciones aritmticas podra tener sentido fsicamente: (a) + , (b) / (c) (d) 6. Encuentre el orden de magnitud de su edad en segundos 7. Estime la masa de este texto en kilogramos. Si cuenta con una balanza, compruebe su prediccin. 8. Si usted aplica el anlisis de unidades a una ecuacin para conocer las unidades de una magnitud en particular y el resultado obtenido es /, la magnitud tendra: (a) unidades de , (b) unidades de longitud, (c) unidades de , (d) no tendra unidades 9. Debe una ecuacin ser correcta en anlisis dimensional y en anlisis de unidades? Explquelo. 10. Es correcta dimensionalmente la ecuacin = /4, donde V es el volumen y d es el dimetro de una esfera? Utilice anlisis de unidades SI para averiguarlo. Si no lo es, Cmo podra hacerse correcta, siendo el lado izquierdo correcto? 11. Cul de los siguientes tiene el mayor nmero de cifras significativas: (a) 0.254 , (b) 0.00254 10 , (c) 254 10 , (d) todos tienen el mismo nmero?


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2.9. Ejercicios Propuestos Seccin 2.4. Anlisis dimensional

1. La segunda ley de movimiento de newton se expresa por la ecuacin = , en donde representa la fuerza, la masa, y la aceleracin. (a) La unidad SI de fuerza es, apropiadamente, el newton [] Cules son las unidades SI del Newton en trminos de las magnitudes fundamentales? (b) Utilizando el resultado de la parte (a), demuestre utilizando el anlisis de unidades, que la ecuacin = , donde es la rapidez y es el tiempo, es correcta dimensionalmente. 2. Cuando un cuerpo se mueve con rozamiento, la fuerza debida a la friccin entre el cuerpo y el plano se relaciona con la fuerza normal por medio de la relacin = , donde se conoce como el coeficiente de rozamiento. Mediante el anlisis dimensional encontrar las dimensiones para . 3. Suponiendo que la aceleracin de una partcula que se mueve con rapidez uniforme en un crculo de radio es proporcional a alguna potencia de , por ejemplo , y alguna potencia de como . Determinar los valores de y y escriba la forma ms sencilla de una ecuacin para la aceleracin. 4. Se sabe que la fuerza centrpeta depende de la masa , la rapidez y del radio de giro del cuerpo en rotacin . Utilizando el anlisis dimensional, encuentre esta dependencia. 5. La posicin de una partcula que se mueve bajo aceleracin uniforme es alguna funcin del tiempo y la aceleracin. Suponiendo que la posicin es = , donde es una constante adimensional. Demostrar por medio del anlisis dimensional que esta expresin se satisface si = 1 y = 2. Puede este anlisis dar el valor de ? 6. La figura P.16 muestra un cono truncado. De las siguientes expresiones de medicin geomtricas, cul describe (a) la circunferencia total de las caras circulares planas (b) el volumen (c) el rea de la superficie curva? (i)

( + )[ + ( )]/, (ii) 2( + ), (iii) ( + + )


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Seccin 2.5. Conversin de Unidades

7. La expresin matemtica para la distancia recorrida por un objeto est dada por = + , en donde es la velocidad, el tiempo y es una constante. Cules son las unidades SI de ?

8. La ecuacin general de una parbola es = + + , en donde , y son constantes. Cules son las unidades de cada constante si y estn en metros? 9. Una esfera slida tiene un radio de 12 . Cul es el rea de su superficie en (a) centmetros cuadrados y (b) metros cuadrados? (c) Si tiene una masa de 4.0 , Cul es su densidad en /? 10. Cuando se calcula la rapidez promedio de un corredor a campo traviesa, un estudiante alcanza 25 /. Es ste un resultado razonable? Justifique su respuesta. 11. La densidad promedio de la luna es 3.3 /, y tiene un dimetro de 2160 . Cul es la masa total de la luna? 12. Un armazn metlico de paredes gruesas tiene un dimetro interno de 18.5 y un dimetro externo de 24.6 . Cul es el volumen ocupado por el armazn mismo? 13. La velocidad de la luz en el vaco es 2,9979 10 . Expresarla en millas por hora. Cuntas vueltas alrededor de la tierra podra dar un rayo de luz en un segundo? Qu distancia viajara en un ao? Esta distancia se denomina ao luz. 14. Estimar el nmero de respiraciones que el hombre realiza en una vida promedio de setenta aos. 15. Estimar el nmero de pasos que da una persona cuando camina de la ciudad de Riobamba a Ambato.

Figura P.16


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16. El radio medio de la tierra es 6.37 10 , y el de la luna es 1.74 10 . Con estos datos calcule (a) la razn entre el rea superficial de la tierra y la de la luna y (b) la razn entre el volumen de la tierra y el de la luna. Recuerde que el rea superficial de una esfera es 4 y el volumen de una esfera es .

Referencias Bibliogrficas

Fsica.- Segunda edicin Jerry D. Wilson Fsica para Ciencias e Ingeniera.- Volumen I.- Raymond A. Serway.- Sexta edicin.- Ed. Thompson Fsica Universitaria.- Undcima edicin.- Volumen I.- Sears Zemansky- Young Freedman.


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Indice

a

anlisis dimensional, 6, 7, 9, 17, 18, 19

c

cifras significativas, 12, 13, 18 conversin, 2, 10, 20

e

energa, 3, 5

f

frecuencia, 5 fuerza, 3, 5

l

longitud, 3, 4, 10

m

magnitud, 3 masa, 3, 4, 10

medicin, 3, 12, 18, 19

p

potencia, 3, 5, 8

r

redondear, 13

s

sistema ingls, 3 sistema internacional, 2, 3, 4

t

tiempo, 3, 4

u

unidades, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 14, 15, 18, 19, 20

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