UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE MATEMATICASANALISIS REAL III

Practica Dirigida 09

1. Sea (X,A, ) un espacio de medida con signo, sea f L1R(X,) y sea f : A ],+] definidapor f (A) =

A

fd. Pruebe que

+f (A) =

A

f+d, f (A) =A

fd y |f |(A) =A

|f |d

2. Sea (X,A, ) un espacio de medida con signo. Un conjunto A A es llamado positivo (resp.negativo) si y solo si (A) > 0 (resp. (A) < 0). La clase de los conjuntos positivos (resp. de losconjuntos negativos) es una -algebra? Justifique su respuesta.

3. Sea una medida con signo finita y {Ak}kN una sucesion de conjuntos medibles tales que existelim{Ek}. Pruebe que lim

k(Ek) = ( lim

k{Ek}).

4. Pruebe que una funcion definida en una -algebra A no puede ser aditiva si existen dos elementosP y Q de A tales que (P ) = + y (Q) = .

5. Sean y dos medidas con signo definidas en (X,A) y finita. Pruebe que es continua conrespecto de si y solo si para cada > 0 existe un > 0 tal que ||(E) < implica que ||(E) < .

6. Sea (X,A, ) un espacio de medida -finita y sea f L1R(X,). Pruebe que para cada > 0 existe > 0 tal que si A A y (A) < entonces

A

|f |d < .

7. Sean y dos medidas -finitas tal que es continua respecto de . Pruebe que las dos afirmacionessiguientes son equivalentes:

(a) f es integrable respecto de .

(b) Existe una funcion medible g tal que fg es integrable respecto de .

En caso afirmativo, pruebe que

A

fd =

A

fgd, A medible.

8. Sea X = [0, 1] y la medida de Lebesgue correspondiente. Calcule

X

fd en cada uno de los casos

siguientes: f(x) = x y g es la medida asociada a g(x) = x2.

9. Sea (X,A) un espacio medible y denotemos

Mb(X,A) = {; es una medida con signo y acotada sobre (X,A)}

(a) Con las operaciones usuales, pruebe que Mb(X,A) es un R-espacio vectorial.(b) Dado Mb(X,A) defina = ||(X). Pruebe que . es una norma sobre Mb(X,A).

(c) Pruebe que = sup{

X

fd; |f | 1}, Mb(X,A).

10. Sea (X,A, ) un espacio de medida, el supremo esencial de una funcion medible f : X [0,+]se define como

supess(f) = inf{M > 0;([f > M ]) = 0}Si supess(f) < + pruebe que(a) M supess(f), ([f > M ]) = 0(b) M < supess(f), ([f > M ]) > 0

11. Sea (X,A, ) un espacio de medida y f : X K (donde K = R,R o C) una funcion medibleessencialmente acotada. Pruebe que f = supess(|f |).

12. Sea (X,A, ) un espacio de medida y f : X K una funcion medible. Pruebe que f LK (X,)si y solo si existe g : X K medible y acotada tal que f = g c.t.p. de X y g sup= f

13. considere el espacio de medida (N,B(N), ) donde es la medida de conteo.(a) Cuales son los subconjuntos de N que tiene -medida cero?(b) Caracterize los elementos de LpK(N, )(1 p

17. Sea (X,A, ) un espacio de medida, 1 p + y f, g LpK(X,). Establezca condicionesnecesarias y suficientes sobre f y g para que se cumpla f + g p= f p + g p

18. Sea (X,A, ) un espacio de medida, 1 p +, p, q exponentes conjugados, f LpK(X,)y g LqK(X,). Establezca condiciones necesarias y suficientes sobre f y g para que se cumpla fg 1= f p g q

19. El objetivo de los siguientes es probar las desigualdades de Clarkson

(a) Si 1 p < + y a, b 0, pruebe que (a+ b)p 2p1(ap + bp).(b) Si 0 < s < 1, pruebe que la funcion f(x) =

1 sxx

es decreciente en el intervalo ]0,+[.(c) Si 1 < p 2, 0 t 1 y q es el conjugado de p, pruebe que(

1 + t

2

)q+

(1 t

2

)q(

1 + tp

2

) 1p1

(d) Si a, b R, 1 < p 2 y q es el conjungado de p, pruebe quea+ b2q + a+ b2

q ( |a|p + |b|p2) 1

p1

(e) Si a, b R, 2 p < +, pruebe quea+ b2p + a+ b2

p |a|p + |b|p2(f) Sea (X,A, ) espacio de medida y f, g LpK(X,). Pruebe las desigualdades de Clarkson

i. Si 2 p < + entoncesf + g2pp

+

f g2pp

12fpp +

1

2gpp

ii. Si 1 < p 2 y q es el conjugado de p, entoncesf + g2qp

+

f g2qp

(

1

2fpp +

1

2gpp

)q1

20. Para f, g L2C(X,) definimos f, g =X

fgd.

(a) Pruebe que f, g C,f, g L2C(X,)(b) Es la funcion , : L2C(X,) L2C(X,) C un producto interno? Justifique su respuesta.(c) En caso que si la respuesta al tem anterior fuera negativa, que cambios debe hacerse para

tener un producto interno?

21. Sea (X,A, ) espacio de medida y f, g : X [0,+] medibles tales que fg 1.

(a) Pruebe que

(X

fd

)(X

gd

) (X)2

(b) Que puede decir de la medida si es que existe f : X ]0,+] medible tal que f y 1f

son

integrables?

22. Sea (X,A, ) espacio de medida, f : X C medible y defina :]0,+[ [0,+] como

(p) =

X

|f |pd

Sea E = {p ]0,+[, (p) 0.(a) Si r < p < s, r E y s E, demuestre que p E.(b) Demuestre que ln es convexa en el interior de E y que es continua en E.

(c) Pruebe que E es convexo. Es E necesariamente abierto? Es necesariamente cerrado? puedeconstar solo de un punto? Puede ser un subconjunto conexo cualquiera de ]0,+[?

(d) Si r < p < s, pruebe que f p max{ f s, f r}(e) Si r < p < s, pruebe que LrC(X,) LsC(X,) LpC(X,).(f) Suponiendo que f LrC(X,) para algun r