MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL: MEDIA, MEDIANA, MODASupngase que un determinado alumno obtiene 35 puntos en una prueba de matemtica. Este puntaje, por s mismo tiene muy poco significado a menos que podamos conocer el total de puntos que obtiene una persona promedio al participar en esa prueba, saber cul es la calificacin menor y mayor que se obtiene, y cun variadas son esas calificaciones.En otras palabras, para que una calificacin tenga significado hay que contar con elementos de referencia generalmente relacionados con ciertos criterios estadsticos.Lasmedidas de tendencia central (media, mediana y moda)sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba.Volviendo a nuestro ejemplo, digamos que la calificacin promedio en la prueba que hizo el alumno fue de 20 puntos. Con este dato podemos decir que la calificacin del alumno se ubica notablemente sobre el promedio. Pero si la calificacin promedio fue de 65 puntos, entonces la conclusin sera muy diferente, debido a que se ubicara muy por debajo del promedio de la clase.En resumen, el propsito de las medidas de tendencia central es:Mostrar en qu lugar se ubica la persona promedio o tpica del grupo.Sirve como un mtodo para comparar o interpretar cualquier puntaje en relacin con el puntaje central o tpico.Sirve como un mtodo para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos diferentes ocasiones.Sirve como un mtodo para comparar los resultados medios obtenidos por dos o ms grupos.Las medidas de tendencia central ms comunes son:Lamedia aritmtica: comnmente conocida comomedia o promedio. Se representa por medio de una letraMo por unaXcon una lnea en la parte superior.Lamediana: la cual es el puntaje que se ubica en el centro de una distribucin. Se representa comoMd.Lamoda: que es el puntaje que se presenta con mayor frecuencia en una distribucin. Se representaMo.De estas tres medidas de tendencia central, lamediaes reconocida como la mejor y ms til. Sin embargo, cuando en una distribucin se presentan casos cuyos puntajes son muy bajos o muy altos respecto al resto del grupo, es recomendable utilizar la mediana o la moda. (Porque dadas las caractersticas de la media, esta es afectada por los valores extremos).La media es considerada como la mejor medida de tendencia central, por las siguientes razones:Los puntajes contribuyen de manera proporcional al hacer el cmputo de la media.Es la medida de tendencia central ms conocida y utilizada.Las medias de dos o ms distribuciones pueden ser fcilmente promediadas mientras que las medianas y las modas de las distribuciones no se promedian.La media se utiliza en procesos y tcnicas estadsticas ms complejas mientras que la mediana y la moda en muy pocos casos.Cmo calcular, la media, la moda y la mediana Media aritmticao promedio

Ejemplo 1:En matemticas, un alumno tiene las siguientes notas:4, 7, 7, 2, 5, 3n = 6(nmero total de datos)

Lamedia aritmticade las notas de esa asignatura es 4,8. Este nmero representa elpromedio.Ejemplo 2:Cuando se tienen muchos datos es ms conveniente agruparlos en una tabla de frecuencias y luego calcular la media aritmtica. El siguiente cuadro con las medidas de 63 varas de pino lo ilustra.Largo (en m)Frecuencia absolutaLargo por Frecuencia absoluta

5105 . 10 = 50

6156 . 15 = 90

7207 . 20 = 140

8128 . 12 = 96

969 . 6 = 54

Frecuencia total = 63430

Se debe recordar que lafrecuencia absolutaindica cuntas veces se repite cada valor, por lo tanto, la tabla es una manera ms corta de anotar los datos (si la frecuencia absoluta es 10, significa que el valor a que corresponde se repite 10 veces). Moda (Mo)Es la medida que indica cual dato tiene lamayor frecuenciaen un conjunto de datos; o sea, cual se repite ms.Ejemplo 1:Determinar la moda en el siguiente conjunto de datos que corresponden a las edades de nias de un Jardn Infantil. 5, 7,3, 3, 7, 8,3, 5, 9, 5,3, 4,3La edad que ms se repite es 3, por lo tanto, laModaes 3 (Mo = 3)

Ejemplo 2: 20, 12, 14, 23, 78, 56, 96En este conjunto de datosnoexiste ningn valor que se repita, por lo tanto, este conjunto de valoresno tienemoda. Mediana (Med)Para reconocer la mediana, es necesario tener ordenados los valores sea de mayor a menor o lo contrario. Usted divide el total de casos (N) entre dos, y el valor resultante corresponde al nmero del caso que representa la mediana de la distribucin.Es elvalor centralde un conjunto de valoresordenadosen forma creciente o decreciente. Dicho en otras palabras, la Mediana corresponde al valor que deja igual nmero de valores antes y despus de l en un conjunto de datos agrupados.Segn el nmero de valores que se tengan se pueden presentar dos casos:Si el nmero de valores es impar, la Mediana corresponder alvalor centralde dicho conjunto de datos.Si el nmero de valores es par, la Mediana corresponder al promedio de los dos valores centrales (los valores centrales se suman y se dividen por 2).

Ejemplo 1:Se tienen los siguientes datos: 5, 4, 8, 10, 9, 1, 2Al ordenarlos en forma creciente, es decir de menor a mayor, se tiene: 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10El 5 corresponde a la Med, porque es el valor central en este conjunto de datos impares.

Ejemplo 2:El siguiente conjunto de datos est ordenado en forma decreciente, de mayor a menor, y corresponde a un conjunto de valores pares, por lo tanto, la Med ser el promedio de los valores centrales. 21, 19, 18, 15, 13, 11, 10, 9, 5, 3Interpretando el grfico de barras podemos deducir que:5 alumnos obtienen puntaje de 625 alumnos obtienen puntaje de 678 alumnos obtienen puntaje de 7212 alumnos obtienen puntaje de 7716 alumnos obtienen puntaje de 824 alumnos obtienen puntaje de 87lo que hace un total de 50 alumnosSabemos que la mediana se obtiene haciendo

Lo cual significa que la mediana se ubica en la posicin intermedia entre los alumnos 25 y 26 (cuyo promedio es 25,5), lo cual vemos en el siguiente cuadro:puntajealumnos

621

622

623

624

625

676

677

678

679

6710

7211

7212

7213

7214

7215

7216

7217

7218

7719

7720

7721

7722

7723

7724

7725

7726

7727

7728

7729

7730

8231

8232

8233

8234

8235

8236

8237

8238

8239

8240

8241

8242

8243

8244

8245

8246

8747

8748

8749

8750

El alumno 25 obtuvo puntaje de 77El alumno 26 obtuvo puntaje de 77Entonces, como el total de alumnos es par debemos promediar esos puntajes:

La mediana es 77, lo cual significa que 25 alumnos obtuvieron puntaje desde 77 hacia abajo (alumnos 25 hasta el 1 en el cuadro) y 25 alumnos obtuvieron puntaje de 77 hacia arriba (alumnos 26 hasta el 50 en el cuadro).

MEDIDAS DE DISPERSIONLasmedidas de dispersinnos informan sobre cunto se alejan del centro los valores de la distribucin.Lasmedidas de dispersinson:Rango o recorridoElrangoes ladiferenciaentre elmayory elmenorde losdatosde una distribucin estadstica.

Desviacin mediaLadesviacin respecto a la mediaes ladiferenciaentre cadavalorde la variable estadstica y lamedia aritmtica.EjemploCalcular ladesviacin mediade la distribucin:9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

DESVIACION ESTANDARLadesviacin estndar o desviacin tpicaes laraz cuadrada de la varianza.Es decir, la raz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviacin.Ladesviacin estndarse representa por.

COEFICIENTE DE VARIACINLas medidas de dispersin anteriores son todas medidas de variacin absolutas. Una medida de dispersin relativa de los datos, que toma en cuenta su magnitud, est dada por el coeficiente de variacin.El Coeficiente de variacin (CV) es una medida de la dispersin relativa de un conjunto de datos, que se obtiene dividiendo la desviacin estndar del conjunto entre su media aritmtica y se expresa comopara una muestra ypara la poblacin.Los coeficientes de variacin tienen las siguientes caractersticas: Puesto que tanto la desviacin estndar como la media se miden en las unidades originales, elCVes una medida independiente de las unidades de medicin. Debido a la propiedad anterior elCVes la cantidad ms adecuada para comparar la variabilidad de dos conjuntos de datos. En reas de investigacin donde se tienen datos de experimentos previos, elCVes muy usado para evaluar la precisin de un experimento, comparando enCVdel experimento en cuestin con los valores del mismo en experiencias anteriores.Ejemplo:En seis sbados consecutivos un operador de taxis recibi 9, 7, 11, 10, 13 y 7 llamadas a su sitio para su servicio. Calcule:a. Amplitud.b. Media.c. Desviacin media.d. Desviacin estndar.e. Varianza.f. Coeficiente de variacin.a)Para calcular la amplitud.Valor mximo 13Valor mnimo 7A= 137 = 6b)Para calcular la media.

c)Para calcular la desviacin media

d)Para calcular la desviacin estndar

Se puede utilizar la siguiente tabla:

Al sustituir los valores se obtiene:ce)Para calcular la varianza:

f)Para calcular el coeficiente de variacin:

FRECUENCIA DE HISTOGRAMASLos histogramas de frecuencias son diagramas de barras empleados para resumir e Ilustrar la variacin que se presenta en un conjunto de datos. Sirven para investigar cmo se puede solucionar un problema o mejorar un proceso.Ejemplo: Una empresa se interesa en el ancho de bloques de madera y ha tomado 100 muestras de la operacin de corte. Los datos han sido agrupados en intervalos o rangos y se muestran en el siguiente cuadro:

Del cuadro se puede apreciar que de las 100 muestras de bloques de madera 5 miden de 2 a 13 centsimas de pulgada, 10 miden de 14 a 25 centsimas de pulgada, etc. El mayor nmero de bloques de madera (34) miden de 28 49 centsimas de pulgada. Podemos representar grficamente esta informacin a travs del siguiente histograma de frecuencia en el cual la altura de cada barra indica la frecuencia de las observaciones en ese intervalo.

El histograma de frecuencias es una herramienta para la calidad, muy til porque nos permite tomar decisiones respecto al comportamiento de una determinada variable, en este caso, la variable es el ancho de los bloques de madera. La empresa tendr que determinar cmo mejorar la operacin de corte para no tener tanta variacin en las dimensiones de los bloques.

Ejemplos de tipos de representaciones grficasHistogramas:Se agrupan los datos enclases, y se cuenta cuntas observaciones (frecuencia absoluta) hay en cada una de ellas. En algunas variables (variables cualitativas) las clases estn definidas de modo natural, p.esexocon dos clases: mujer, varn ogrupo sanguneocon cuatro: A, B, AB, O. En las variables cuantitativas, las clases hay que definirlas explcitamente (intervalos de clase).

FRECUENCIA RELATIVALafrecuencia relativaes elcocienteentre la frecuencia absolutade un determinado valor y elnmero total de datos.Lafrecuencia relativase puede expresar en tantos por ciento y se representa porni.Lasumade lasfrecuencias relativases igual a1.EjemploDurante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas mximas:32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.

FRECUENCIA ABSOLUTALafrecuencia absolutaes elnmero de vecesque aparece un determinadovaloren un estudio estadstico.Se representa porfi.Lasuma de las frecuencias absolutases igual al nmero total de datos, que se representa porN.

Para indicar resumidamente estas sumas se utiliza la letra griega(sigma mayscula) que se lee suma o sumatoria.

EjemploDurante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas mximas:32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29.En la primera columna de la tabla colocamos la variable ordenada de menor a mayor y en la segunda anotamos la frecuencia absoluta.

DISTRIBUCION NORMAL (GAUSS)Unadistribucin normaldemedia ydesviacin tpica se designa porN(, ). Su grfica es lacampana de Gauss: El readel recinto determinado por la funcin y el eje de abscisases igual a la unidad.Al sersimtricarespecto al eje que pasa porx = , deja unrea igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.La probabilidad equivale al rea encerrada bajo la curva.DISTRIBUCION BINOMIALUnadistribucin binomial o de Bernoullitiene las siguientes caractersticas:1.En cada prueba del experimento slo son posiblesdos resultados:xitoyfracaso.2.Laprobabilidad de xito es constante, es decir, que no vara de una prueba a otra. Se representa porp.3.Laprobabilidad de fracasotambin esconstante, Se representa porq,q = 1 p3.Elresultadoobtenido en cada prueba esindependientede los resultados obtenidos anteriormente.5.Lavariable aleatoria binomial,X, expresa elnmero de xitos obtenidosen lasnpruebas. Por tanto, los valores que puede tomarXson:0, 1, 2, 3, 4, ..., n.Ladistribucin bimomialse expresa porB(n, p)

PERCENTILESLospercentilesson los99 valoresquedividenla serie dedatosen100 partes iguales.Lospercentilesdan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.P50coincide con lamediana.P50coincide conD5.

IMPORTANCIA DE LA CALIDAD EN LA INDUSTRIA DE ALIMENTOS

La realidad nos muestra que la calidad de los alimentos que ingerimos es la principal preocupacin para consumidores y productores. Por ello, es de gran importancia la implementacin de un sistema de calidad que garantice la seguridad del producto final.

Cuando se habla de seguridad, se debe entender por sta la certeza de que el producto que se est comprando no traer ningn problema de salud cuando sea consumido. Esto plantea un nuevo desafo para las empresas alimenticias: un proceso ordenado es imprescindible para asegurar la calidad del producto final.

Los sistemas de Aseguramiento de la Calidad tienen como principio bsico que un producto debe ser bien hecho desde la primera vez. Este concepto implica la adopcin de un criterio netamente preventivo en los procesos de produccin.

Si se desea obtener la confianza de un cliente actual o futuro es necesario demostrar que los productos o servicios ofrecidos cumplen con sus expectativas.El aseguramiento de calidad debe por lo tanto probar que la misma ha sido planeada y construida desde el principio y que es monitoreada a lo largo de todo el proceso.RESUMENEn las sociedades industrializadas del primer mundo, la demanda creciente de alimentos de calidad por los consumidores obliga a la industria agroalimentaria a producir alimentos que no solo cubran las necesidades nutritivas, sino que sean adems seguros, apetitosos y saludables. Asimismo existe una creciente preocupacin en el consumidor por el bienestar de los animales utilizados, y por el impacto que la produccin, transformacin, y distribucin de alimentos ocasiona en el medio ambiente. Estos hechos determinan que el mercado haya cambiado su fuerza impulsora y su orientacin, primando la calidad sobre la cantidad, o lo que es lo mismo, que la industria agroalimentaria pase de fijar objetivos centrados en la produccin a prestar atencin preferente a las demandas del consumidor. Las autoridades sanitarias, los consumidores y, por supuesto, la propia industria, han tomado conciencia de la influencia de las fases primarias de produccin sobre la calidad y seguridad final del alimento. Por ello, es importante definir lo que significa el concepto de calidad en relacin con los alimentos, as como su aplicacin en la industria agroalimentaria.