Agosto 2010

Tiene por misin, la formacin de la persona humana, y el fortalecimiento de la identidad cultural de la

nacin, fundado con el conocimiento cientfico y

tecnolgico, en correspondencia con el desarrollo

humano sostenible.

Sesin 3

Medidas de

Tendencia Central

Mg. Miriam Mattos

Definicin Las medidas de tendencia central

son los valores que representan un

conjunto de datos de forma tal que

nos ayudan a saber dnde estn

acumulados los datos pero sin

indicar como se distribuyen.

Se llaman as porque tienden a ubicarse en la parte central del

conjunto de datos.

Para cualquier conjunto de datos estudiados es importante tener

informacin resumida de sus

caractersticas. Esta informacin

nos indica cmo se comporta la

poblacin de datos que tenemos.

Fines

Mostrar en qu lugar se ubica la persona promedio o tpica del

grupo.

Como mtodo para comparar o interpretar cualquier puntaje en

relacin con el puntaje central o

tpico.

Como mtodo para comparar el puntaje obtenido por una misma

persona en dos diferentes

ocasiones.

Como un mtodo para comparar los resultados medios obtenidos

por dos o ms grupos.

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Medidas de Tendencia

Central Generales

nxxxx

nx n

n

i

i

...1 21

1

1. Media Aritmtica para Datos no Agrupados

Se define media aritmtica de una serie de valores como el

resultado producido al sumar

todos ellos y dividir la suma por el

nmero total de valores.

Nos ayuda a comparar, por ejemplo, el salario de los

empleados de una empresa cuya

media sea de S/.1500 contra el de

otra empresa con una media de

S/. 1650 y nos dar una idea de

que la segunda empresa paga

mejor a sus empleados. Su

formula de clculo es:

Ejemplo1: Sea el nmero de derrumbes en cinco semanas en

Pozuso: 8 , 3, 7, 12 y 10. Hallar el promedio de derrumbes:

Ejemplo2: : Sea el numero de asaltos en diez meses: 73, 68, 59, 40,

81, 72, 40, 70, 59 y 72. Hallar el promedio de asaltos:

1.1 Ejemplos

8 3 7 12 10 408

5 5X

El promedio de derrumbes en Pozuso es de 8.

6310

72...6873

x

El promedio de asaltos es de 63.

1.2 Observaciones:

La media se puede hallar solo para variables cuantitativas.

La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.

La media es muy sensible a las puntuaciones extremas.

La media no se puede calcular si hay un intervalo o clase abierto

(con una amplitud indeterminada)

La media es un estadstico suficiente porque usa toda la informacin de la muestra.

4, 5, 7, 8, 8 , 10, 12, 15 El numero comn de obesos es 8 4, 7, 12,12 , 16, 20, 20 , 27 El numero comn de obesos es 12 o 20 7, 12, 15, 18, 25, 30, 31, 38

Ejemplo:

2. Moda para datos no agrupados:

En una serie de valores a

los que se asocia una

frecuencia, se

define moda como el

valor de la variable que

posee una frecuencia

mayor que los restantes.

La moda se simboliza

normalmente por Mo.

Un grupo de valores

puede tener varias

modas. Una serie de

valores con slo una

moda se denomina

unimodal; si tiene dos

modas, es bimodal, y as

sucesivamente.

Ejemplos: Sean los siguientes datos el

numero de alumnos obesos en colegios de

tres localidades de la Sierra:

3. Mediana para datos no agrupados:

La media aritmtica no siempre es representativa de

una serie estadstica. Para

complementarla, se utiliza un

valor numrico conocido

como mediana o valor central.

Dado un conjunto de valores ordenados, su mediana se

define como un valor numrico

tal que se encuentra en el

centro de la serie, con igual

nmero de valores superiores

a l que inferiores.

Normalmente, la mediana se

expresa como Me.

Paso 1.- Ordenar de menor a mayor los valores xi del conjunto

de datos individuales, i = 1,2,,n Paso 2.- Identificar si n es impar o

par

La mediana es nica para cada

grupo de valores. Cuando el nmero

de valores ordenados (de mayor a

menor, o de menor a mayor) de la

serie es impar, la mediana

corresponder al valor que ocupe la

posicin (n + 1)/2 de la serie.

Si el nmero de valores es par,

ninguno de ellos ocupar la posicin

central. Entonces, se tomar como

mediana la media aritmtica entre

los dos valores centrales.

3.1 Calculo de la Mediana para datos no agrupados:

3.2 Ejemplo cuando n es Impar

Ejemplo1

En 9 hospitales en el rea de pediatra se ha observado el nmero de nios con anemia, siendo los sgtes:

35, 24, 38, 40, 42, 39, 25, 41, 37

Hallar la mediana de este conjunto de datos.

Solucin:

valo

r ce

ntr

al

Posicin 1 2 3 4 5 6 7 8 9

datos ordenados 24 25 35 37 38 39 40 41 42

1 9 15

2 2

n

En el 50% de los hospitales el numero de nios con anemia es

menor o igual que 38.

3.3 Ejemplo cuando n es Par

Ejemplo2.

En 10 das se ha observado el nmero de viajes de los camiones de Yanacocha que transporta combustible, siendo los sgtes:

35, 24, 38, 40, 42, 39, 25, 41, 37,28

Hallar la mediana de este conjunto de datos.

Solucin:

/2 /2 1 37 38

37.52 2

n nx x

Me x

Posicin 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

datos ordenados 24 25 28 35 37 38 39 40 41 42

va

lore

s

cen

tra

les

En el 50% de los das el numero de viajes es menor o igual que

38.

3.4 Observaciones:

Se puede utilizar para datos cualitativos ordinales y para

datos cuantitativos

La ventaja de la mediana sobre la media es que si

existe algn dato atpicos, es

decir, una observacin fuera

de serie con un valor

demasiado pequeo o

demasiado grande al resto de

los datos, la mediana no se

ve gravemente afectada, ya

que no toma en cuenta los

datos en s, sino el dato en la

posicin central en el listado.

4. Comparacin entre la Media, Mediana y Moda

Las distribuciones simtricas tienen el mismo valor para la media, la mediana y la moda.

En una distribucin con sesgo positivo, la moda se halla en el punto ms alto de la distribucin, la mediana est hacia la derecha de la moda y la

media ms a la derecha. Es decir Mo < Me < x

En una distribucin con sesgo negativo, la moda es el punto ms alto, la mediana est a la izquierda de la moda y la media est a la izquierda de la

mediana. Es decir, x < Me < Mo

1n

i i

i

n y

xn

5. Media Aritmtica para Datos Agrupados

Se Utilizar cuando los datos estn

distribuidos en una tabla de

frecuencias. Luego se calcula la

media aritmtica aplicando la

formula: Donde:

ni = frecuencia absoluta

yi = Marca de clase

n = nmero de observaciones

Ejemplo: Se esta analizando el numero de asaltos en los parques de Lima

y se ha obtenido la siguiente distribucin de frecuencias:

181422.68

80

i in x

xn

El promedio de asaltos es de 23

N de yi ni ni*yi Asaltos

Li Ls 5 12 8.5 10 85 12 19 15.5 14 217 19 26 22.5 28 630 26 33 29.5 20 590 33 40 36.5 8 292

TOTAL 80 1814

5.1 Ejemplo

Cuando se trabajan con tablas de frecuencias de intervalos, la formula

para calcular la moda es:

Donde:

LI : Lmite inferior de la clase modal

cj: Amplitud del intervalo de la clase modal

n : nmero total de observaciones o datos

1= nj nj-1 y 2= nj nj+1

nj-1: Frecuencia absoluta anterior a la clase modal.

nj+1: Frecuencia absoluta posterior a la clase modal.

1

2 1

I joM L c

6. Moda para Datos Agrupados

Ejemplo: De la tabla de distribucin de frecuencias anterior sobre el

numero de asaltos cometidos calcular la moda:

El numero de asaltos que se repite con mayor frecuencia es 22.

El numero de asaltos mas comn es de 22.

Ubicamos primero la mayor

frecuencia nj = 28

LI = 19 ; cj= 7 ; n = 80

1= nj nj-1 = 28-14= 14

2= nj nj+1 = 28- 20 =18

1419 7 22.06

14 18oM

N de yi ni Asaltos

Li Ls 5 12 8.5 10 12 19 15.5 14 19 26 22.5 28 26 33 29.5 20 33 40 36.5 8

TOTAL 80

6.1 Ejemplo

Cuando se trabajan con tablas de frecuencias de intervalos, la

formula para calcular la mediana es:

Donde:

LI : Lmite inferior de la clase mediana

cj: Amplitud del intervalo de la clase mediana

n : nmero total de observaciones o datos

Nj : Frecuencia acumulada de la clase mediana

Nj-1:Frecuencia acumulada anterior de la clase mediana.

j

I j

j j

nN

Me L cN N

1

1

2

7. Mediana para Datos Agrupados

En el 50% de los parques se cometieron un numero menor o igual a 23

asaltos.

Pasos:

i) Ubicar n/2=80/2=40 en Ni ii) n/2 se encuentra en el

intervalo 3, entonces:

Ni : 52 Ni-1: 24

LI : 19 cj: 7

40 2419 7 23

52 24Me

Ejemplo: De la tabla de distribucin de frecuencias anterior sobre el

numero de asaltos cometidos calcular la mediana:

N de yi ni Ni Asaltos

Li Ls 5 12 8.5 10 10 12 19 15.5 14 24 19 26 22.5 28 52 26 33 29.5 20 72 33 40 36.5 8 80

TOTAL 80

7.1 Ejemplo

kj j

j 1 1 1 2 2 k k

p

1 2 r

n xn x n x ... n x

xn n n ... n

k

j

j 1

n n

Donde

11. Media Ponderada

Hay ocasiones en que se quiere expresar en una sola cifra los resultados de varios grupos de datos, cada uno de los cuales ha sido resumido previamente mediante un promedio, teniendo cada grupo diferente numero de observaciones. Para hallar un promedio general de estos grupos hacemos uso de la media ponderada.

11.1 Ejemplo

Ejemplo: La nota final de la asignatura Estadstica es una media ponderada de

las notas que han obtenido los alumnos en los cuatro elementos evaluables que

determina el profesor. El responsable de la asignatura otorga un peso de 3 al

examen inicial, de 1 al trabajo entregable, 2 al trabajo final y 4 al examen final.

Las notas de un alumno han sido las siguientes:

La nota final del alumno en esta asignatura es de 6,14

Gracias