Medidas de Tendencia Central

FACULTAD DE MECNICAESCUELA DE INGENIERA INDUSTRIAL

CONTROL DE LA PRODUCCIN

Nombres: GANAZHAPA JUAN CARLOS 1443

OA JEFFERSON 1162

Fecha de envo: 2015 10 19

Fecha de entrega: 2015 10 23

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL DISTRIBUCIONES:

NORMAL BINOMIAL HIPERGEOMTRICA

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ESPOCH INGENIERA INDUSTRIAL2015

CONTROL DE LA PRODUCCIN CONSULTAPgina 2


Medidas de tendencia central

Una medida de tendencia central es un valor que se encuentra en el centro o a la mitad de unconjunto de datos. Hay muchas formas distintas de determinar el centro, por lo que tenemosdiferentes definiciones de las medidas de tendencia central, que incluyen la media, lamediana, la moda y la mitad del rango, entre otras ms.

Media aritmtica o media muestral (x): La media aritmtica, media muestral osimplemente media, por lo general, es la medida numrica ms importante que se utilizapara describir datos; comnmente se le conoce como promedio. En un conjunto de valoreses la medida de tendencia central que se calcula al sumar los valores de la muestra y dividirel total entre el nmero de valores.

x= xn

=sumade todoslos valores de lamuestranmero devaloresmuestrales

Donde: suma de un conjunto de valores.x variable que generalmente se usa para representar los datos individuales.n nmero de valores en una muestra.

Media poblacional (): Es la medida numrica de un conjunto de valores que se calcula alsumar los datos de toda la muestra y dividirlos para el total de datos de una poblacinseleccionada.

= xN

=sumade todoslos valores de lamuestranmero devalores enuna poblacin

Donde: suma de un conjunto de valores.x variable que generalmente se usa para representar los datos individuales.N nmero de valores en una poblacin.(Triola 2009)

La Media Geomtrica (G): La media geomtrica G de un conjunto de N nmerospositivos X1,X2, X3,....... , X N es la raz N-sima del producto de estos nmeros.

G=NX1 X2 X3.... X N



Ejemplo: La media geomtrica G de 2, 4 y 8 es G=3(2)(4)(8)= 364=4

La media armnica (H): La media armnica H de un conjunto de nmerosX1,X2,X 3,....... , X N es el recproco de la media aritmtica de los recprocos de esos

nmeros.

H= 11Nj=1

N 1X j

=N

1X

Enla prctica esms fcilrecordar que

1H= 1XN

= 1N

1X

Ejemplo: La media armnica H de los nmeros 2, 4 y 8 es

H= 312+14+18

=378

=247 =3.4285

Relacin entre las medias Aritmtica, Geomtrica y Armnica

La media geomtrica de una coleccin de nmeros positivos X1,X2, X 3,....... , X N es menor o igual que su media aritmtica, pero mayor o igual que su media armnica. Es decir:

La igualdad ocurre y sol s todos los nmeros X1,X2, X 3,....... , X N son idnticos.

HG x

Ejemplo: El conjunto2, 4, 8 tiene media aritmtica 4.67, media geomtrica 4 y media armnica 3.43.

La media cuadrtica (MQ): La media cuadrtica (MQ) de un conjunto de nmerosX1,X2,X 3,....... , X N se suele denotar por x2 y se define como:



MQ= x2=j=1N

X j2

N= X N

Este tipo de promedio se utiliza con frecuencia en las aplicaciones fsicas.(Murray R. 1991)

Ejemplo: La media cuadrtica del conjunto 1, 3, 4, 5, y 7 es:

MQ=1+3+4+5+75 =20=4.47Mediana: Una desventaja de la media es su sensibilidad a cada valor, de tal forma que unapuntuacin excepcional puede afectarla de manera drstica. La mediana resuelve, en granmedida, esa desventaja. La mediana es un valor intermedio, ya que la mitad de los valoresde los datos estn por debajo de la mediana y la otra mitad por arriba de ella. La siguientedefinicin es ms precisa.

La mediana de un conjunto de datos es la medida de tendencia central que implica el valorintermedio, cuando los valores de los datos originales se presentan en orden de magnitudcreciente (o decreciente). La mediana suele denotarse con ~x (y se lee x con tilde).

Para calcular la mediana, primero se ordenan los valores (se acomodan en orden) y luego sesigue uno de los siguientes dos procedimientos:

1. Si el nmero de valores es impar, la mediana es el nmero que se localizaexactamente a la mitad de la lista.

2. Si el nmero de valores es par, la mediana se obtiene calculando la media de los dosnmeros que estn a la mitad.

Moda: La moda de un conjunto de datos es el valor que se presenta con mayor frecuencia.

Cuando dos valores se presentan con la misma frecuencia y sta es la ms alta,ambos valores son modas, por lo que el conjunto de datos es bimodal.

Cuando ms de dos valores se presentan con la misma frecuencia y sta es la msalta, todos los valores son modas, por lo que el conjunto de datos es multimodal.

Cuando ningn valor se repite, se dice que no hay moda.

En realidad, la moda no se utiliza mucho con los datos numricos. Sin embargo, entre lasdiferentes medidas de tendencia central que se considera, la moda es la nica que puede



usarse con datos de nivel de medicin nominal. (el nivel de medicin nominal se refiere adatos que consisten nicamente en nombres, etiquetas o categoras).

MEDIDAS DE POSICIN NO CENTRAL

Las medidas de posicin no centrales permiten conocer otros puntos caractersticos de ladistribucin que no son los valores centrales.

Los cuantiles son aquellos valores de la variable, que ordenados de menor a mayor, dividen a la distribucin en partes, de tal manera que cada una de ellas contiene el mismo nmero defrecuencias1.

Los cuantiles ms conocidos son:

Cuartiles (Qi): Son 3 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma crecienteo decreciente, en cuatro tramos iguales, cada una de las cuales engloba el 25 % de lasmismas. Se denotan de la siguiente forma: Q1 es el primer cuartil que deja a su izquierda el25 % de los datos; Q2 es el segundo cuartil que deja a su izquierda el 50% de los datos, y Q3es el tercer cuartil que deja a su izquierda el 75% de los datos. (Q2 = Me).

Evidentemente el segundo cuartil coincide con la mediana. Como puede comprobarse, notendra ninguna utilidad definir el cuarto cuartil. El clculo de los cuartiles se realiza por elmismo procedimiento que el clculo de la mediana, pues hay nicamente una diferenciacuantitativa entre ambas medidas, pero tienen significados paralelos.

As, el primer cuartil se hallar aplicando la siguiente frmula:

Q1=l+If(N4f i)

y el tercer cuartil:

Q3=l+If(3N4

f i)

1 http://www.aulafacil.com/cursos/l11217/ciencia/estadisticas/estadisticas/medidas-de-posicion-no-central



Donde:l: lmite inferior de la clase a la que pertenece el cuartil, que es la clase que deja por debajo de ella el 25% de las observaciones (o el 75% en el caso de Q3)I: amplitud del intervalo.f: frecuencia de la clase cuartlica.N: total de elementos de la muestra.fi: frecuencia acumulada de todos los valores inferiores a la clase quecontiene el cuartil.

Deciles (Di): Son los valores de la variable que dividen a la distribucin en las partesiguales, cada una de las cuales engloba el 10 % de los datos. En total habr 9 deciles. (Q2 =D5 = Me ).

D1, el decil 1, deja el 10% de los valores de la serie por debajo de l.Anlogamente ocurre con los deciles D2, D3,.......D9. El decil 8, por ejemplo, deja el 80% dela masa de datos investigada por debajo de l.Las frmulas para calcularlos son tambin anlogas a las de la mediana.

Por ejemplo:

D1=l+If(N10

f i)

D9=l+If(9N10

f i )

Centiles o Percentiles (Pi): Son los valores que dividen a la distribucin en 100 partesiguales, cada una de las cuales engloba el 1 % de las observaciones. En total habr 99percentiles. (Q2 = D5 = Me = P50).2

As P90, por ejemplo, deja por debajo de l el 90% de los elementos.

La frmula para realizar el clculo del percentil 45, por ejemplo sera:

P45=l+If(45N100

f i)

Rango: El rango de un conjunto de nmeros es la diferencia entre el mayor y el menornmero de ellos.Ejemplo: El rango del conjunto 2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10, 12 es R= 12 2 = 10

2 http://www.eumed.net/cursecon/libreria/drm/1d.htm



Mitad del rango: La mitad del rango es la medida de tendencia central que constituye elvalor que est a la mitad, entre la puntuacin ms alta y la ms baja, en el conjunto originalde datos. Se calcula sumando el valor mximo con el valor mnimo y luego dividiendo lasuma entre 2, de acuerdo con la siguiente frmula:

mitad del rango=valor mximovalor mnimo

La mitad del rango se emplea pocas veces. Puesto que utiliza slo los valores mximo ymnimo, es demasiado sensible a esos extremos. Sin embargo, la mitad del rango posee trescaractersticas valiosas:

1. Es fcil de calcular;2. Ayuda a reforzar la importante idea de que hay varias maneras de definir el centro de

un conjunto de datos;3. En ocasiones se le utiliza incorrectamente en vez de la mediana, de manera que la

confusin se reduce si se define claramente tanto la mitad del rango como la mediana.(Triola 2009)

Varianza V(x): se llama varianza al promedio de los cuadrados de las desviaciones y lafrmula ser la siguiente:

Vx=i=1

n

(x i x)2

NVx=

i=1

n

(x i x)2 . f i

NVx=

i=1

n

(z i x)2 . f i

N

Desviacin Standar (Sx): La raz cuadrada positiva de la varianza se llama desviacinstandar y desviacin tpica, y la frmula es la siguiente:

Sx=Vx

Sx=i=1

n

( xi x)2

N

Para trabajar con frecuencias la frmula es la siguiente:



Sx=i=1

n

( xi x)2 . f i

N

Para trabajar con intervalos de clase la frmula ser la siguiente:

Sx=i=1

n

( zi x)2 . f i

N



Histograma: Un histograma es una grfica de barras donde la escala horizontal representaclases de valores de datos y la escala vertical representa frecuencias. Las alturas de las barrascorresponden a los valores de frecuencia; en tanto que las barras se dibujan de maneraadyacente (sin huecos entre s).

Sesgo: Se conoce como sesgo el grado de asimetra de una distribucin, es decir cunto se aparta de la simetra. Si la curva de frecuencias de una distribucin tiene una cola ms larga que a la izquierda se dice sesgada a la derecha o sesgo positivo, de lo contrario es sesgada a la izquierda o de sesgo negativo.

Para calcular una medida de sesgo se realiza el cociente de la media menos la moda sobre la desviacin tpica.

Sesgo= MediaModaDesviacinestandar=xMoS(x)

DISTRIBUCIN NORMAL

Es la ms importante de las distribuciones continuas ya que permite describir un nmeromuy grande de fenmenos aleatorios, como por ejemplo aquellos en los que intervienen unnmero elevado de factores no controlables, que actan de manera independiente y conefectos pequeos.

Se dice que una variable aleatoria X sigue una distribucin normal de parmetrosR y 2>0 , si su funcin de densidad es:

Se denota por X N ( ,2)Si X N ( ,2) entonces



La grafica de la funcin de densidad, se denomina curva normal (o campana de Gauss), esuna curva con forma de campana, la cual describe aproximadamente muchos fenmenos quese utilizan la vida cotidiana. Por ejemplo, las mediciones fsicas en reas como losexperimentos meteorolgicos, estudios de lluvia, errores en las mediciones cientficas, etc.

A continuacin se muestra la grfica de la funcin de densidad para una distribucin normalcon media 0 y desviacin tpica igual a 1.

Grficamente se observa que presenta un mximo en , tiene puntos de inflexin en y + y es simtrica respecto a . Se aproxima al eje horizontal de manera

asinttica conforme nos alejamos de la media en cualquier direccin. El rea total entre lacurva y el eje horizontal es igual a 1.

Por tanto, la funcin de distribucin de cualquier N ( ,2) se puede calcular utilizando ladistribucin N (0,1 ) de la siguiente forma

Donde Z=X es la normal tipificada. Generalmente, se denota ( z )=P [Z z ] .

Esta propiedad permite emplear ls tablas de la N (0,1 ) para obtener la funcin dedistribucin de cualquier distribucin normal.



DISTRIBUCION BINOMIAL

Consideramos n experimentos de Bernoulli independientes e idnticamente distribuidos ysea la variable aleatoria X definida con el nmero de xitos en n pruebas de Bernoulli.Diremos que X sigue una distribucin binomial de parmetros n y p,XB (n , p) ,

Donde n es el nmero de pruebas, probabilidd de xito en una prueba.

Se dice que una variable aleatoria discreta X sigue una distribucin binomial de parmetrosnN y p [0,1 ] si se verifica:rg (X )=[0,1,.n]

Y la funcin de probabilidad puede escribirse como:

DISTRIBUCIN HIPERGEOMETRICA

La diferencia entre la distribucin binomial y la distribucin hipergeometrica esta en laforma en que se realiza el muestreo. En el caso de la binomial se requiere independenciaentre las pruebas, es decir, el muestreo se realiza con reemplazamiento. Por otro lado, ladistribucin hipergeometrica no requiere independencia y el muestreo se realiza sinremplazamiento. Las aplicaciones de la distribucin hipergeometrica se encuentra en muchasreas, con gran uso en control de calidad.

Consideremos un conjunto de N elementos en el que tenemos N 1 elementos del tipo 1 yNN1 elementos de tipo 2. Extraemos n sin reemplazamiento y definimos la variable

aleatoria:X= nmero de elementos del tipo 1 en los n extraidos. El modelo de distribucin quesigue esta variable aleatoria es una hipergeometrica3.

Se dice que una variable aleatoria discreta X sigue una distribucin hipergeometrica deparmetros N ,N 1 y n con nN , si se verifica:

Y la funcin de probabilidad de X es

3 http://ocwus.us.es/estadistica-e-investigacion-operativa/estadistica/temas/apartado4.pdf



FUENTES DE INFORMACIN BIBLIOGRFICA

MURRAY R., S. 1991. ESTADSTICA. Segunda edicin. Espaa: Mc Graw Hill. ISBN 84-7615-562-X.

TRIOLA, M.F. 2009. ESTADSTICA. Dcima edicin. Mxico S.A. de C.V.: PEARSON EDUCACIN. ISBN 978-970-26-1287-2.

1.- http://www.aulafacil.com/cursos/l11217/ciencia/estadisticas/estadisticas/medidas-de-posicion-no-central

2.- http://www.eumed.net/cursecon/libreria/drm/1d.htm3.- http://ocwus.us.es/estadistica-e-investigacion-operativa/estadistica/temas/apartado4.pdf

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