Medidas de Tendencia central Medidas de Dispersión Medidas ... · Medidas de Tendencia central ......

Medidas de Tendencia central

Medidas de Dispersión

Medidas de Asimetría

1

• Intento de resumir la distribución, expresando el

valor que se puede considerar mas típico o

representativo de los datos.

• El término tendencia central implica la idea de un

“centro” identificable en la distribución. Tanto más

útil será ese valor en tanto más identificable sea

ese “centro”.

• Veremos:

- Media Aritmética

- Mediana

- Modo o moda

2

• Es el promedio de las observaciones.

• Se puede ver como un punto de equilibrio de la distribución,

o como un centro de gravedad de la misma.

Ojo: La suma de las diferencias de cada valor de la muestra con

la media es siempre cero, es decir:

N

xNi

i

i

1

3

n

i

i xx1

0)(

• Ejemplo: Para la serie de datos utilizada anteriormente:

12 15 13 12 14 16 12 14 14 12 14

= (12+15+13+12+14+16+12+14+14+12+14)/11=13.45

Interpretación: El total de individuos tienen en promedio 13.45

años de servicio; o

El total de individuos tienen alrededor de 13,45 años de servicio.

N

xNi

i

i

1

4

• Es el punto medio de una distribución ordenada de los datos.

• El 50% de los datos están por encima o debajo de este valor.

Es útil cuando se quiere reducir o eliminar el efecto

de valores extremos en un conjunto de datos (muy

grandes o muy pequeños).

5

• Ejemplo 1: Cantidad de observaciones impar (n=11)

12 15 13 12 14 16 12 14 14 12 14

• Ordenamos de menor a mayor y ubicamos el centro:

• Ejemplo 2: Cantidad de observaciones par (n=10)

5 8 8 5 9 6 8 2 9 6

Ordenamos de manera ascendente y ubicamos el centro:

12 12 12 12 13 14 14 14 14 15 16

2 5 5 6 6 8 8 8 9 9

Mediana=(6+8)/2=7

6

Se ordenan los n valores en forma creciente:

x1 < x2 < x3 < x4 < x5 < x6 < …..xn

• Si n impar:

• Si n par:

1

2

nMd X

12 2

2

n nX X

Md

7

• Valor de la variable correspondiente al 0.50 en la frecuencia relativa acumulada

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

15 20 25 30 35 40

Edad(años)

Frecu

en

cia

acu

mu

lad

a%

8

• Es el valor con mayor frecuencia en la distribución de

datos.

• Las distribuciones pueden ser unimodales, bimodales, multimodales.

9

Ej: Variable cuantitativa: Años de servicio

12 15 13 12 18 16 12 14 14 12 14

Moda:

Md=12

10

MdMeX

MdMeX

Distribución Asimétrica Positiva (+)

Distribución Asimétrica Negativa (+)

Asimetría positiva

Moda Mediana

Media

Asimetría negativa

Media Mediana

Moda

• Cuantil: valor de la variable bajo el cual se encuentra

una cierta proporción de los valores de la

distribución.

• Percentiles o centiles: C,100 partes

• Deciles: D, 10 partes

• Cuartiles: Q, 4 partes:

• Q1(25%), Q2(50%), Q3(75%)

13

Mediana: Valor de la variable que deja por debajo al

50% de las observaciones

Percentil k: Valor de la variable que deja por debajo

el k% de las observaciones(Ej: P23, P45 , P50)

Decil k: Valor de la variable que deja por debajo el

(k*10)% de las observaciones (Ej: P10=D1, P20=D2,etc.)

Cuartil k:Valor de la variable que deja por debajo el

(k*25)% de las observaciones (Ej: P50=Q2 =Me,

Medidas de Posición

14

• Cuantil: valor de la variable bajo el cual se encuentra

una cierta proporción de los valores de la

distribución.

• Percentiles o centiles: C,100 partes

• Deciles: D, 10 partes

• Cuartiles: Q, 4 partes:

• Q1(25%), Q2(50%), Q3(75%)

15

• D1=P10

• Q1=P25

• Q2=Me=P50

16

Se tienen los siguientes datos que corresponden a los salarios

mensuales de un Ingeniero con experiencia laboral de tres años:

(los salarios están en miles)

2350 2450 2550 2380 2255 2210 2390 2630 2440 2825 2420 2380

Calcular la Media

Calcular la Mediana

Calcular la Moda

Calcular el primer y el tercer cuartil

17

19

2440

12

2825......238022552210

1

X

X

n

X

X

n

i

i

La moda es el valor que más se repite; en este ejemplo la moda es:

Md=2380

20

238024052440 Distribución Asimétrica Positiva (+)

Primer Cuartil

21

3

12*100

25

*100

i

i

np

i

Como i es entero y es igual a 3 el cuartil 1 es el promedio

de los valores ubicados en las posiciones 3 y 4

Nota: Es de anotar que el valor i se refiere es a la posición del valor dentro de

la distribución de datos.

Si el valor no hubiese sido entero, entonces se aproximaba al entero que

sigue y el valor en esa posición correspondería al cuartil

2365

2

23802350

1

1

Q

Q

Tercer Cuartil

22

9

12*100

75

*100

i

i

np

i







2500

2

25502450

3

3

Q

Q

Es un diagrama que resume gráficamente en cinco puntos todos los datos

23

1.5*RIC 1.5*RIC

Me Q3

Q1

RIC=Q3 – Q1 LI=Q1-1,5*RIC

LS=Q3+1,5*RIC

Límite

Inferior

Límite

Superior

SOLUCIÓN EJEMPLO ANTERIOR

24

202,5 202,5

Me=2405 Q3=2500 Q1=2365

RIC=Q3 – Q1

RIC=2500-2365

RIC=135

LI=2365-1,5*135=2162,5

LS=2500+1,5*135=2702,5

2825

Los siguiente datos corresponden a las toneladas

de carga que movilizó la empresa FedEx durante

el año 2010.

Calcular la media

Calcular la mediana

Calcular el cuartil 1 y el cuartil 3

Elaborar el diagrama de caja y bigotes

25

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic

34,5 35,5 36,5 34,8 33,55 33,10 35 37,3 35,4 39,25 35,20 34,80

26

408,35

12

80,34......50,3650,3510,33

1

X

X

n

X

X

n

i

i

Primer Cuartil

28

3

12*100

25

*100

i

i

np

i







65,34

2

80,3450,34

1

1

Q

Q

Tercer Cuartil

29

9

12*100

75

*100

i

i

np

i







36

2

50,3650,35

3

3

Q

Q

30

2,025 2,025

Me=35,1 Q3=36 Q1=34,65

RIC=Q3 – Q1

RIC=36-34,65

RIC=1,35

LI=34,65-1,5*1,35=32,625

LS=36+1,5*1,35=38,025

39,25

32,625 38,025

• Resume la magnitud con la cual los diferentes datos

difieren entre sí.

• Sirven como medida de homogeneidad.

• Entre ellas tenemos:

- Rango - Desviación estándar

- Varianza - Coeficiente de variación

- Error Estándar - Valor Z

31

• Rango= Xmax-Xmin

• Se utiliza para variables cuantitativas

• Inestable (muy afectada por los valores extremos).

• No aprovecha los datos.

• Fácil de calcular.

32

• Nos informan sobre la magnitud de la variación en

los datos, la magnitud con la cual las observaciones

se agrupan en torno a la media.

• Sólo se aplica a variables cuantitativas Para una

población, la varianza es:

2

2

1

( )i ni

i

x

N

33

• Poblacional

• Muestral

2

2

1

( )

1

i ni

i

x xs

n

2

2

1

( )i ni

i

x

N

34

Varianza Desviación estándar

2

2s s

Ej: 5 8 8 5 9

Media=(5+8+8+5+9)/5=7

87.15,3

5,34

41144

4

)79()78()78()75()75( 222222

s

s

2

2

1

( )

1

i ni

i

x xs

n

35

Proporciona los elementos para comparar la

variabilidad en distintos conjuntos de datos que

pueden tener distintas medias.

Una desviación estándar de 500 en una distribución

con una media de 5000, sugiere una variabilidad

mayor que una desviación de 500 en una distribución

de media 50000

Generalmente se expresa en porcentaje:

36

sCV

x * 100%

yi hace referencia a la marca de clase

ni hace referencia a las frecuencias absolutas

ii

ii

hyY

n

nyY

*

Las calificaciones del examen final de 30 alumnos en la

asignatura de estadística fueron las siguientes.

Elaborar una tabla de frecuencias

Calcular la media, la mediana, la moda

38

56 77 84 82 44 61

44 95 98 84 93 62

96 78 88 58 62 79

85 89 89 97 53 76

75 58 80 64 90 82

Yi-1 Yi ni hi Ni Hi yi

44 53 3 0,1 3 0,1 48,5

53,1 62 6 0,2 9 0,3 57,5

62,1 71 1 0,033 10 0,333 66,5

71,1 80 6 0,2 16 0,533 75,5

80,1 89 8 0,266 24 0,8 84,5

89,1 98 6 0,2 30 1,00 93,5

9,74

2,0*5,93266,0*5,842,0*5,75033,0*5,662,0*5,571,0*5,48

9,74

30

6*5,938*5,846*5,751*5,666*5,573*5,48

Y

Y

Y

Y

40

Yi-1 Yi ni Ni

44 – 53 3 3

53,1 – 62 6 9

62,1 – 71 1 10

71,1 – 80 6 16

80,1 – 89 8 24

89,1 – 98 6 30

6,786

1015*91,71

Me

nj

Nj-1

nj=6 c=9

Nj-1=10

n/2 = 15

Yi-1=71.1

j

j

in

NncYMe

1'

12

Nj

Yi-1 Yi ni Ni

44 – 53 3 3

53,1 – 162 6 9

62,1 – 71 1 10

71,1 – 80 6 16

80,1 – 89 8 24

89,1 - 98 6 30

6,84

66

6*91,80

*11

1'

1

Md

Md

nn

ncYMd

jj

j

i

nj

nj-1

nj+1

42

31,878

165,22*91,803

Q

Nj

Nj-1

j

j

in

NncYQ

1'

134

3

Yi-1 Yi ni Ni

44 – 53 3 3

53,1 – 62 6 9

62,1 – 71 1 10

71,1 – 80 6 16

80,1 – 89 8 24

89,1 - 98 6 30

nj=8 c=9

Nj-1=16

3n/4 = 22,5

Yi-1=80,1

nj

43

j

j

in

Nn

cYP1'

130100

30

1,5330 P

30n/100 = 9

P30=Yi-1=53,1

Yi-1 Yi ni Ni

44 – 53 3 3

53,1 – 62 6 9

62,1 – 71 1 10

71,1 – 80 6 16

80,1 – 89 8 24

89,1 - 98 6 30

Nj-1

44

j

j

in

Nn

cYP1'

160100

60

35,828

1618*91,8060

P

Yi-1 Yi ni Ni

44 – 53 3 3

53,1 – 62 6 9

62,1 – 71 1 10

71,1 – 80 6 16

80,1 – 89 8 24

89,1 - 98 6 30

Nj-1

nj=8 c=9

Nj-1=16

60n/100 = 18

Yi-1=80,1

Nj nj

45

Ubicación gráfica de los cuartiles

Proporciona los elementos para comparar la

variabilidad en distintos conjuntos de datos que

pueden tener distintas medias.

Una desviación estándar de 500 en una distribución

con una media de 5000, sugiere una variabilidad

mayor que una desviación de 500 en una distribución

de media 50000

Generalmente se expresa en porcentaje:

47

sCV

x * 100%

48

sCV

x * 100%

• Se refiere a la simetría respecto a la media.

Distribución simétrica

0

2

4

6

8

10

12

m-a m

m+

a

De

ns

ida

d

Asimetría negativa

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

De

ns

ida

d

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

De

ns

ida

d

Asimetría positiva

Simétrica: media=mediana=moda

Asimetría negativa media>mediana>moda

Asimetría positiva media<mediana<moda

50

53

Valores atípicos

Medidas de Tendencia central Medidas de Dispersión Medidas ... · Medidas de Tendencia central ......

Documents

Transcript of Medidas de Tendencia central Medidas de Dispersión Medidas ... · Medidas de Tendencia central ......