REVISTA ESTUDIANTIL DE DIVULGACIÓN CIENTIFICA/ Año 1 Núm. 2 – Primavera 2015

Estudiantil

Melodías

naturales: espectroscopía

DIRECTORIO

RectorMtro. Alfonso Esparza Ortíz

Director de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas (FCFM)

Dr. José Ramón Enrique Arrazola Ramírez

Director del Instituto de Física Luis Rivera Terrazas (IFUAP)Dr. Juan Francisco Rivas Silva

Centro de Investigación en Dispositivos Semiconductores (CIDS)Dr. Héctor Juárez Santiesteban

COMITÉ EDITORIAL

M.C. Verónica Borja Macíasvero0304@gmail.com

M.C. Fernando Enrique Loranca Ramosloranca00@hotmail.com

M.C. Luis Fernando Gómez Ceballosfgoceballos@gmail.com

M.C. Jesús Alejandro Hernández Telloalheran@gmail.com

M.C. Leticia Treviño Yarcelty_tyta@yahoo.com.mx

M.C. Claudia Antonio Hernandezkalid_177@hotmail.com

M.C. Josue Ramírez Hernándezjramirez@ifuap.buap.mx

M.C. José Roberto Nicólas Carlockjnicolas@ifuap.buap.mx

AGRADECIMIENTOSLa impresión de este número ha sido posible gracias al apoyo de:

FCFM IFUAP CIDS

Año 1 Núm. 2 – Primavera 2015

Tiraje de 88 ejemplares impresos.Disponible en formato electrónico en:

http://www.fcfm.buap.mx/publicaciones/revistas.html

EDITORIAL

Después de la experiencia adquirida en laprimera edición de Con-ciencia, sale a laluz este segundo número enriquecido porcomentarios y observaciones de amigos ycompañeros, pero principalmente denuevos y entusiastas colaboradores. Cabedestacar que este número tiene laimportante característica de que incorporaen su equipo de trabajo a compañeros delas tres instituciones que nos auspician.

Con esto, creemos que el contenido deeste ejemplar será, sin duda, del agrado detodos ustedes. Pues contiene temasdestacados e interesantes de las áreasteóricas y experimentales en las que seenfoca Con-ciencia, cuyo objetivoprincipal es el de transmitirles los temas deactualidad pero en términos sencillos ypuntuales, sin tanto rollo.

Esperamos que el contenido seapresentado de tal forma que aunado a sucuriosidad por profundizar en el tema, logreampliarles el panorama acerca de lasdistintas disciplinas que dominan las tressedes que patrocinan Con-ciencia. Ya quecreemos fuertemente, que el desarrollo dela ciencia y tecnología está migrando a lamultidisciplinariedad.

Agradecemos la entusiasta participación atodos nuestros colaboradores e invitamos atoda la comunidad estudiantil de los tresorganismos , a participar en la elaboraciónde ulteriores ediciones. Para seguirhaciendo de Con-ciencia una revista detodos.

Comité Editorial

EstudiantilAno 01 Num. 02

Primavera de 2015

Contenido

Pag.

Con-Ciencia (La portada): Melodıas naturales: espectroscopıa . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Un relato conjuntista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Sergio Atayan Garcıa Balan

¿Que forma tiene la Tierra? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Tania Paulina Huerta Flores y Luis Fernando Gomez Ceballos

Con-Ciencia (Local): Dr. Jose Luis Carrillo Estrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Paradojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Armando Romero Morales

Crecimiento epitaxial en el desarrollo de dispositivos electronicos . . . . . . . . . . . . 26Erick Gastellou Hernandez y Ana Marıa Herrera Castillo

Con-Ciencia (Habla de...): 2015: El Ano Internacional de la Luz y las Tecno-logıas basadas en la Luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Leticia Trevino Yarce y Claudia Antonio Hernandez

10 tipos de numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Jonathan Julian Huerta y Munive

Con-Ciencia (Ilustrada): Una gran amistad: Einstein y Godel . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

FCFM-IFUAP-CIDS 1

La portada

Ano 01 Num. 02Primavera de 2015

Pagina 2

Melodıas naturales: espectroscopıa

1. INTRODUCCIONLa mayorıa de nosotros sabemos que la luz al

pasar por un prisma crea los colores del arco iris,pero fue Isaac Newton quien afirmo que la luzblanca estaba compuesta por estos colores y no eraun efecto agregado del prisma. La descomposicionde la luz sucede debido a que el prisma refracta conun angulo distinto a los haces con distinta longitudde onda. La dependencia del ındice de refraccioncon la longitud de onda (color) de la luz es unefecto conocido con el nombre de dispersion[1].

2. DISPERSION DE LA LUZEste fenomeno surge de la interaccion de la ma-

teria con la luz y puede darse de dos formas.Partiendo del modelo de que la materia esta com-puesta por atomos, estos pueden reaccionar a laluz dependiendo del valor de la longitud de on-da de esta. Si su valor no es suficiente para llevaral atomo a un nivel energetico mayor (excitacion),la luz simplemente hara vibrar la nube electronicacon respecto del nucleo atomico, haciendo queesta emita luz con la misma longitud de onda(esparcimiento elastico), cambiando la direcciondel haz incidente pero sin alterar su energıa. Porotra parte si la longitud de onda del foton (luz)incidente es igual a la de alguno de los estados ex-citados del atomo, este absorbera dicha energıa, lacual es muy probable que se disipe rapidamente enforma de calor, antes de que pueda emitirse algunfoton (esparcimiento inelastico), proceso llamadoabsorcion disipativa [1].

3. ESPECTROSCOPIAFue en 1814, cuando Joseph von Fraunhofer des-

cubrio las lıneas oscuras (absorcion) en el espectro

del sol e invento la retıcula de difraccion, instru-mento adecuado para medir la longitud de ondade la luz. La luz generada en laboratorio medi-ante el calentamiento de gases, metales y salesmostraba una serie de lıneas estrechas, coloreadasy brillantes sobre un fondo oscuro. La longitudde onda de cada una de estas bandas era carac-terıstica del elemento en consideracion. Por otraparte, era sabido que si se calentaba un elemen-to lo suficiente (incandescente) producıa una luzblanca continua, de todos los colores sin ningunalınea obscura en su espectro y se descubrio quesi utilizabamos esta luz para iluminar una pelıcu-la delgada hecha de algun material desconocido,la luz que lo atravesaba generaba un espectro conlıneas de absorcion, caracterısticas del elemento encuestion [2].

4. CONCLUSIONESLos elementos emiten y absorben luz de cier-

tas longitudes de onda caracterısticas. A partir deeste momento, se desarrollo el campo de la es-pectroscopıa para identificar todos los elementosy compuestos conocidos.

REFERENCIAS[1]Hetch, E., Optica (2000) Ed. Pearson Addison

Wesley.[2]Requena A., and Zuniga, J., Espectroscopıa

(2004) Ed. Pearson Prentice Hall.[3]Parker, David. Light passing through a prism.

Recuperado de www.fineartamerica.com

2 FCFM-IFUAP-CIDS

Estudiantil

Ano 01 Num. 02Primavera de 2015

Paginas 3–8

Un relato conjuntistaSergio Atayan Garcıa BalanBachillerato 5 de MayoBenemerita Universidad Autonoma de PueblaAv. del Trabajo # 6, San Juan B. Cuautlancingo, PueblaC.P. 72700 MEXICOsgarciabalan@gmail.com

RESUMENAquı se relatan de manera chusca y un tanto

exagerada los encuentros que ha tenido el au-tor con la teorıa de conjuntos a lo largo de unadecada. En la seccion uno se presenta un proble-ma mal resuelto usando diagramas de Venn y susdesastrosas consecuencias. La segunda seccionversa sobre ciertos conjuntos de igual tamano,los peligros que corre uno al creerle al internet,y un piropo cuya belleza o vulgaridad recae direc-tamente en el tamano del infinito. En la terceraseccion se habla de una jerarquıa de conjuntosinfinitos cada vez mas grandes y de los celos ex-tremos del novio de Susana. La cuarta seccion esla unica seria, y el tema lo amerita: resultados in-dependientes. Finalmente, el desenlace tiene unsabor a confesion.

1. EL FLAUTISTA EXTRAVIADOHace casi doce anos, mientras cursaba mi ter-

cer ano en una preparatoria de la UniversidadAutonoma de Campeche, mi profesor del cursode probabilidad y estadıstica de apellido Puc (elapellido ha sido modificado para mantener la pri-vacidad), nos ensenaba los famosos diagramas queel llamaba “Diagramas de Euler - Puc”. Recuer-do un ejemplo que, flautistas mas flautistas menos,decıa lo siguiente (traduccion libre del “Worked

example 8.6” pagina 245 de [4]): Hay 50 personasen una orquesta y el director quiere saber quienpuede tocar el saxofon, quien la trompeta y quienla baterıa. El descubre que: 2 personas pueden to-car los tres instrumentos, 5 personas pueden tocarel saxofon y la trompeta, 1 persona puede tocar elsaxofon y la baterıa, 3 personas pueden tocar latrompeta y la baterıa, 22 personas pueden tocarla trompeta, 15 personas pueden tocar la baterıa,18 personas pueden tocar el saxofon. ¿Cuantaspersonas no pueden tocar ninguno de estos instru-mentos?El problema fue acompanado del siguiente dibujo:

que a decir verdad, el diagrama fue siendo com-pletado en el pizarron conforme se iba leyendola informacion. Algunos ociosos, que en vez deir resolviendo el ejemplo junto con el profesor lohicimos de manera individual, nos encontramoscon la siguiente pregunta despues de haber ano-tado el 2 en la triple interseccion y haber leıdo“5 personas pueden tocar el saxofon y la trompe-ta”: ¿Si puedes tocar tres instrumentos entoncespuedes tocar dos intrumentos? La interrogante se

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Sergio A. Garcıa Balan

esfumo inmediatamente al leer la lınea que con-tinuaba “1 persona puede tocar el saxofon y labaterıa”. Claro, la respuesta es NO, de lo contrariono podrıan haber dos personas que sepan tocarlos tres instrumentos. Con esa hipotesis en mente,la resolucion del ejemplo no presento mayor difi-cultad y la camarilla de ociosos no tuvo mayorescuestionamientos filosoficos, simplemente se res-balaron por sus sillas y esperaron placidamenteque el profesor terminara de explicar. La dificul-tad vino al siguiente dıa, cuando un problemaque involucraba jugadores de basquetbol, voli-bol y futbol contenıa frases como “...12 jueganbasquetbol y volibol pero no futbol”. Fue un dıalamentable, muchos no se recuperaron jamas dedicha confusion, satanizaron a la matematica, sedecidieron por estudiar Derecho o Literatura. Cal-cular la probabilidad de que al lanzar un par dedados honestos cayeran dos numeros primos eramas temerario que describir detalladamente el Ci-clo de Krebs.

Ası fue mi primer encuentro con la teorıa deconjuntos. Y mas o menos es lo que viene a lamente de la mayorıa de las personas (que no sonmatematicos), cuando despues de haberme pre-guntado “¿Que estudiaste” (y haberles respondidoque matematicas), me hacen una segunda pregun-ta “Aja (obvio tonto), pero ¿Que rama de lasmatematicas?” y yo les respondo que teorıa deconjuntos: un rectangulo con dos o tres circulitosque se traslapan. En realidad no estoy seguro dela afirmacion anterior, no puedo leer sus mentes,pero es lo que imagino porque mas de una vezla tercera pregunta ha sido algo como “¿Cuantoscirculitos tenıa el problema mas dificil que has re-suelto?”. Lo que les platico a aquellos preguntonesque adquieren un interes por la conversacion (yque me fue explicado intuitivamente en el primersemestre de la licenciatura), motiva la siguienteseccion.

2. TIENEN UNA CORAZONADAHace casi una decada, cuando estaba en el primer

cuatrimestre (notese que no eran semestres),mi profesor de la materia geometrıa analıtica(aquı omitire el uso de apellidos falsos y ver-daderos), llego un dıa preguntandonos “¿que hayMAS? ¿Naturales o Enteros?”. La respuesta obviapara todos es por supuesto que hay mas numerosenteros que naturales. Los enteros constan de to-dos los numeros naturales y aparte esta el cero ytodos los negativos que son una infinidad. Ademas,si lo dice “Yahoo! Respuestas” debe ser cierto (eltexto del siguiente cuadro fue tomado de [7]):

Existen infinitos mas grandes queotros?es cierto que existen unos infinitos masgrandes que otros?

Mejor respuesta: CLARO QUE SIcomo un ejemplo estan los numeros? piensa enel conjunto de los numeros naturales (los quesirven para contar), el conjunto es infinito, aho-ra piensa en el conjunto de los numeros enteros,(todos los enteros positivos (naturales) y todoslos negativos, este conjunto tambien es infinito,Y ES MAS GRANDEpuedes comparar estos conjuntos con losracionales Q, o con los reales R,ASI QUESI HAY INFINITOS MAS GRANDES QUEOTROSCalificacion del solicitante: *****

pero como dice E. T. Bell (ver [1]):

“Obvio” es la palabra mas peligrosa enmatematicas.

Que parafraseando en nuestro contexto quedarıacomo “hasta la internet podrıa estar equivocada”.

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Un relato conjuntista

Ante la cara de malicia del profesor, varios em-pezamos a sospechar que esto fuera cierto. Y esque, pensandolo nuevamente, ambos conjuntosson infinitos ¿Como podrıa ser que uno tuvieraMAS elementos que otro? Los papeles se habıaninvertido, era ahora el profesor quien veıa nues-tras caras, mas no eran de malicia, sino de duda,incredulidad, asombro, hasta en algunos casosperturbacion. Tienen una corazonada, sentencio.Acto seguido en el pizarron escribio lo siguiente:

N . . . 7 5 3 1 2 4 6 . . .l l l l l l l

Z . . . -3 -2 -1 0 1 2 3 . . .

No hizo falta que dijera algo mas. Eso es algo muyelegante que tienen las matematicas. En ocasionesbastan pocos numeros y unas cuantas flechas paratrasmitirte una idea simple, y a la vez brillante, queresuelve (al menos de manera intuitiva), un proble-ma que parece imposible de decidir. No perdamosde vista, sin embargo, que ahı dentro se escondehumildemente la nocion de funcion biyectiva, unconcepto tan poderoso que permite alejarnos de losconfines “filosoficos” donde el lenguaje y sus am-biguedades nos juegan una mala pasada.

Bien, no es de mi primer cuatrimestre de lo queles platico a mis amigos preguntones que habıadejado en la seccion anterior. Mas bien les pon-go un problemita, muy conocido por cierto: elhotel de Hilbert, con sus infinitas habitaciones ysus infinitos huespedes que no cesan en llegar.Un problemita que sirve para platicar de maneraamigable que tanto el conjunto de los numeros nat-urales, como el de los enteros, y mas sorprendenteaun, el conjunto de los numeros racionales, tienenel mismo tamano. No solo eso, tambien sirve paraejemplificar que cuando se juega con conjuntosinfinitos, no siempre aplica eso de que el todosiempre es mas grande que cada una de las partes.

Despues de haber respondido la ultima preguntadel Hotel de Hilbert, muchos de los pocos pre-guntones que aun quedan, se aventuran a concluirfelices que todos los infinitos tienen igual tamano,en este punto ya manejan la terminologıa “for-mar parejas”. Se sienten satisfechos, por fin hancomprendido la teorıa de conjuntos. ¿Quien quierevolver la vista a aquellos circulitos que se trasla-paban dentro de un rectangulo? Nadie, o al menosno ellos. No mas. Antes de que se despidan y con-tinuen alegres con sus vidas les deslizo la siguientepregunta lenta y maliciosamente como mi profesorde primer cuatrimestre:¿Que sentirıas si la persona que mas quieres en el

mundo te dijera: Mi amor por ti es tan grandecomo un infinito?

Transcribo aquı casi textualmente la respuesta dealguien:

Felicidad, naturalmente. Alegrıa ...(Se produceuna pausa y un cambio de voz)... ¿Intranquilidadtal vez?, ¿Que tal que tambien quiere a otra per-sona como al infinito?, entonces nos querrıa igual,eso no puede ser bueno. ...bien, al menos no es tanmalo, no podrıa querer mas a otra persona ya quedijimos que todos los conjuntos infinitos tienen elmismo tamano ¿Cierto?

La ultima pregunta se aleja muy despacio como noqueriendo esfumarse sin escuchar una respuesta,al igual que la voz que la engendro. Las dudas sonbien fundadas. En la siguiente seccion se justificapor que.

3. HAS ESTADO MUY RARAULTIMAMENTE

A mitad de la licenciatura tome el curso de teorıade conjuntos (en aquella epoca era una materia op-tativa). Se me hizo un curso muy bonito. En teorıade grupos a uno le presentan los cuatro axiomas degrupo y trabaja con ellos, se demuestra que ciertosconjuntos acompanados de una operacion peculiar

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Sergio A. Garcıa Balan

cumplen los cuatro axiomas y por tanto puedenser llamados grupos. Hasta cierto punto, los ax-iomas de grupo son faciles de entender (ojo, esono significa que siempre sea sencillo probar que al-go es grupo). Pero en teorıa de conjuntos, cuandoa uno le van presentando los axiomas no siemprequedan claros en el primer intento, y el hecho deque mas de un axioma sea en realidad un esquemade axioma (eso significa que algunos axiomas enrealidad no son uno solo sino una maquina de pro-ducir axiomas), viene a complicar aun mas nuestroentendimiento. Sin embargo, poco a poco empiezauno a tener cierto dominio y claridad.

Mi clase era de 4 a 6 de la tarde, justo despues detomar mis sagrados alimentos, lo cual me producıauna somnolencia terrible. Entre bostezos y brevespestaneos me fue presentado el siguiente teorema:

TEOREMA (Cantor): Para cualquier conjunto,ocurre que su conjunto potencia tiene una cantidadestrictamente mayor de elementos.

Recordemos que dado un conjunto A, su con-junto potencia es justamente el conjunto cuyoselementos son los subconjuntos de A. La de-mostracion que me presento el profesor (una de-mostracion por contradiccon y que, por cierto,supongo es la demostracion estandar), es relati-vamente corta y sencilla, pero de una eleganciaextraordinaria. Son de esas cosas que te dejan mar-cado y que hacen que uno salga inmediatamentedel sopor profundo en que se encuentra.

Es en esta parte de mi charla con los pregun-tones, despues de haberles presentado este teo-rema, y hasta haberselo demostrado a los masincredulos, cuando los mas celosos y paranoicosempiezan a hacer llamadas telefonicas: ¿Bueno?¿Susana, mi amor? Has estado muy rara ultima-mente, ¿No habras estado estudiando teorıa de

conjuntos, cierto?, ¿No iras a querer a alguienmas con el conjunto potencia de lo que me quieresa mı? Cuando la tranquilidad regresa (y despuesde que Susana colgo el telefono no sin antes in-cluir frases como “¿De que demonios me hablas”,“estas hecho un demente”), les cuento que esteteorema tiene como resultado, entre otras cosas,una jerarquıa infinita de conjuntos infinitos cadavez mas grandes: pensemos que nuestro conjuntobase son los numeros naturales N, al pensar en elconjunto potencia de los numeros naturales, P(N),obtenemos un conjunto infinito de mayor tamano.Despues podemos pensar en el conjunto potenciadel conjunto potencia de los naturales, P

(P(N)

),

y ası podemos construir una cadena de conjuntosinfinitos cada uno mas grande que el anterior.

A los conjuntos que van “midiendo el tamano”de cada conjunto (ya sea finito o infinito), seles llaman numeros cardinales. Mis preguntonessonrıen de nuevo, no se si porque instintivamentelos asocian con los puntos cardinales (ante lo de-sconocido, las asociaciones con algo conocido sonsiempre buenas), o porque estan convencidos deque sus respectivas parejas los quieren a ellos conel cardinal mas grandote (cardinal que parece noexistir, pero en este punto de la platica no tienesentido matar ilusiones).

Aprovechando que he llegado con mis pregun-tones hasta este punto, en ocasiones, cuando masbohemio me siento, les hablo de la Hipotesis delContinuo, que en palabras comunes afirma que“NO existe algun subconjunto de numeros realescuyo tamano sea mayor a los numeros naturalesy menor a los numeros reales”. Los que se ani-man a pensarlo por un minuto, llegan a la valiosaconclusion de que esta hipotesis tiene como re-sultado que el cardinal que mide a los numerosreales es el cardinal que le sigue al que mide a losnumeros naturales. No me seguire extendiendo en

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Un relato conjuntista

esta parte, pero brevemente mencionare que cuan-do se afirma la negacion de esta hipotesis ocurrencosas verdaderamente interesantes.Cuando no estoy bohemio (cuando estoy sobrio),simplemente continuo con la siguiente seccion.

4. ¿QUE ESTAS FORZANDO QUE?Georg Cantor, considerado el padre de la Teorıa

de Conjuntos, tuvo una vida muy compleja.Sufrio la perdida de un hijo. Tambien padecio unacrıtica terrible y constante a su teorıa de losnumeros transfinitos por aquellos de mente cortaque se resistıan a ver la matematica desde una nue-va perspectiva. Como resultado de estas crıticasempezo a padecer crisis mentales y estuvo interna-do en varias ocasiones en hospitales psiquiatricos.Vale la pena conocer mas de su vida (ver [3]), y esdigno de mencionarse que su fervor religioso nofue impedimento para el desarrollo de sus ideas ypensamientos.

Poco mas de un siglo ha pasado desde que Can-tor inicio con estas ideas. El desarrollo actual dela teorıa de conjuntos es enorme. Uno de sus ob-jetivos iniciales fue el de fundamentar a toda lamatematica, es decir, dar una serie de reglas o ax-iomas de los cuales toda la matematica se derivara.No paso mucho tiempo para que Kurt Godel nosindicara que esto es imposible (ver [5]). En laactualidad, gran parte del trabajo de la teorıa deconjuntos se centra en estudiar distintos modelos,o en tratar de construir modelos donde se cumplanciertas cosas en las que estemos interesados. Porejemplo, estudiar un modelo donde la hipotesisdel continuo es verdadera, o tratar de construirotro modelo donde la hipotesis del continuo seafalsa, etc. Justamente ası fue como se dio un de-sarrollo increıble en la segunda mitad del siglopasado. Paul Cohen en 1963 (ver [2]), para poderconstruir un modelo donde la hipotesis del contin-uo es falsa, desarrolla una tecnica (la tecnica de

forcing), que tiene una eficacia enorme para pro-ducir modelos al gusto del cliente. A poco mas decincuenta anos se dice facil, pero han sido mu-chos matematicos los que han ido colaborandopara voltear, torcer, desfigurar, comprimir, o hacercompletamente irreconocible (a primer vistazo), eluso de esta tecnica para ir respondiendo muchaspreguntas complejas en la misma teorıa de conjun-tos, pero tambien en topologıa y analisis.

Volvamos brevemente a la idea anterior solopara fijarla, comenta uno de mis preguntones. Enefecto, la hipotesis del continuo es independientede los axiomas ZFE (axiomas de la teorıa de con-juntos), ya que tenemos modelos de ZFE dondesı se cumple la hipotesis del continuo (ver [6]), yotros donde no (el modelo que construye Cohenen [2]). Ası como la hipotesis del continuo, surjenmuchas otras preguntas que pareciera que nuestrosaxiomas no pueden responder. Es ahı donde en-tra el forcing, intentas construir modelos dondela pregunta se responda positivamente (ahı dicesque el resultado es consistente con tus axiomas), oconstruyes modelos donde la pregunta se respondanegativamente (ahı dices que la negacion del re-sultado es consistente con tus axiomas). Si puedesconstruir modelos para ambos casos, se dice quetu resultado es independiente, es decir, con tus ax-iomas no puedes probarlo ni refutarlo, como leocurrio a la hipotesis del continuo que es indepen-diente de los axiomas de ZFE. Entonces, si quieresusar ese resultado independiente, no te queda deotra mas que axiomatizarlo y anadirlo a tu lista deaxiomas.

Tratar de entender estas cuestiones (y hacer laspases con mi profesor de teorıa de conjuntos queme decıa que hacıa justamente lo necesario paraaprobar el curso solo porque me veıa dormitar enclase y sacaba 6 en los parciales), fue lo que meentretuvo en la maestrıa.

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Sergio A. Garcıa Balan

Hasta el dıa de hoy no he pasado de este pun-to con mis preguntones. Despues de este punto lascosas se tornan un poco complicadas, hay que in-cluir muchas definiciones con cuidado, todos sequedan dormidos. Es por eso que creo que este esun buen punto para detener mi relato.

5. DESENLACENo puedo dar por terminada esta historia sin hac-

er una confesion a los amables lectores que hanllegado hasta este punto. Los preguntones no ex-isten, jamas existieron, siempre fuı yo, siemprefueron voces en mi cabeza que me inundaban condudas, ideas erroneas y, en algunas ocasiones,chispazos de luz y entendimiento. Pero han si-do estas voces las que me han empujado por estearduo camino de las matematicas y las que me con-tinuan arrastrando hasta quien sabe donde, ya lasescucho acercarse. Ahı vienen:

“Sergio, ¿Que es eso de colapsar Cardinales?”.

Bien, pues veras, tomate un modelo transitivo ynumerable de...

Este relato esta dedicado a Manuel Ibarra Contr-eras, maestro de la FCFM-BUAP, docente entusi-asta y amigo.

REFERENCIAS[1]E. T. Bell. (s.f.). Queen of the Sciences.

Recuperado el 15 de Mayo de 2015, dehttps://archive.org/details/queenofthescienc031537mbp

[2]P. J. Cohen (1963). The independence of thecontinuum hypothesis I. Proc. Natl. Acad. Sci.USA 50, 1143-1148.

[3]J. W. Dauben. (1979). GEORG CANTOR HisMathematics and Philosophy of the Infinite.

Princeton, New Jersey: Princeton UniversityPress.

[4]K. Dwamena, C. Meyrick. (2013). Mathemati-cal Studies, Standard level for the IB Diploma.Cambridge: Cambridge University Press

[5]K.Godel. (1931). Sobre sentencias formal-mente indecidibles de Principia Mathematicay Sistemas Afines.

[6]K.Godel. (1940). The consistency of the axiomof choice and of the generalized continuum hy-pothesis with the axioms of set theory. Annalsof mathematics studies 3. Princeton: princetonUniversity Press.

[7]YAHOO! RESPUESTAS (s.f.) Existen in-finitos mas grandes que otros? Recu-perado el 15 de Mayo de 2015, dehttps://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080715181321AAuNWjQ

M. C. Sergio Atayan Garcıa Balan

Nacio y crecio en la ciudad de Campeche. Realizo sus

estudios de licenciatura y maestrıa en la FCFM-BUAP,

finalizando en julio de 2014. En la actualidad es do-

cente en matematicas en el Bachillerato 5 de Mayo de

la BUAP. Esta interesado principalmente en teorıa de

conjuntos, topologıa de conjuntos y la ensenanza de las

matematicas.

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Estudiantil

Ano 01 Num. 02Primavera de 2015

Paginas 9–12

¿Que forma tiene la Tierra?Tania Paulina Huerta Flores1, Luis Fernando Gomez Ceballos2

Facultad de Ingenierıa, BUAP1, 2

Centro de Investigacion en Dispositivos Semiconductores ICUAP (CIDS-ICUAP)2C.U. 14 sur y Av. San Claudio,Colonia San Manuel, Puebla, Pue.C.P. 72570 MEXICO1taniahuerta.flores@gmail.com2fgoceballos@gmail.com

RESUMENEntender a la Tierra como un cuerpo celeste,

dinamico y con una forma geometrica sin simetrıa,no es facil. Es por ello que, en este trabajo,se analizaran los conceptos basicos para com-prender el aspecto superficial de la Tierra, en-tendiendo al geoide como su mejor aproximacion.Tambien, se dara un preambulo de la ciencia quese encarga de su estudio y de la importanciaque tiene para el desarrollo de algunas areas delconocimiento, principalmente en las Ciencias dela Tierra.

1. INTRODUCCIONDesde inicios de la humanidad el hombre se ha

preguntado: ¿que forma tiene la Tierra? En unprincipio, los griegos pensaron que la Tierra tenıaforma de una esfera ( 235 a. c) y con esta hipotesisEratostenes midio el tamano de la Tierra [1], mu-cho tiempo despues, Newton hizo publica su Leyde Gravitacion Universal en su escrito denomina-do Principia la cual manifiesta: La fuerza entredos partıculas que tienen masas m1 y m2 y queestan separadas por una distancia r es una atrac-cion que actua a lo largo de la lınea que une las

partıculas y que tiene por magnitud:

F = Gm1m2

r2(1)

donde G es la constante gravitacional [2]. Dichaley se utiliza suponiendo masas de forma esfericapues como podemos observar solo depende de ladistancia radial.

Ahora bien, si calculamos el potencial de laecuacion 1, obtenemos :

∆U = −∫

Fdr (2)

entonces, el potencial gravitacional tiene la forma:

U(r) = Gm1m2

r(3)

Si las masas son conocidas, entonces el potencialsolo dependera de la distancia, luego, graficandolas superficies equipotenciales, es decir, aquellascurvas donde el potencial tiene el mismo valor 1,(U = U0, U0 constante,) obtenemos la figura 1.

Actualmente se sabe que la gravedad y la

1 En calculo de varias variables se les conoce como curvasde nivel en dos dimensiones o superficies de nivel en tresdimensiones

FCFM-IFUAP-CIDS 9

T. P. Huerta Flores y L. Fdo. Gomez Ceballos

Fig. 1. Representacin grafica de dossuperficies equipotenciales U1 U2

rotacion de la Tierra producen achatamiento en lospolos y un ensanchamiento en el ecuador, por lotanto, la Tierra no es redonda sino es parecida a unelipsoide o esferoide oblato, podemos pensar quetiene forma de una sandıa.

2. GEOIDE O ELIPSOIDEPara las Ciencias de la Tierra es primordial el

estudio del planeta como un cuerpo celeste dondela forma y el relieve son importantes, ası se dioinicio al estudio de su esfericidad y se predijo queno es uniforme, sino que, no tiene volumen consimetrıa esferica u elipsoidal, mas bien tiene unaforma irregular [3].

En 1687, Newton introdujo el concepto degeoide, que representa una superficie de referen-cia donde la superficie equipotencial es asignada alnivel medio del mar (nmm); esto sera exacto siem-pre y cuando los oceanos fueran homogeneos, esdecir, si la densidad del agua fuera la misma entodas partes (misma salinidad, temperatura, con-tenido mineral, etc.). Ademas no todos tienen elmismo nivel (recordemos el efecto gravitacionalque ejerce la Luna sobre los oceanos). Por ende,resulta ser la forma real o teorica de la Tierra,la que tiene dificultades para su representacionmatematica. En consecuencia surge lo que es laelipsoide (figura 2); observamos que el geoidetiene forma irregular pero tendiendo al elipsoide,

entonces, aparece la cuestion sobre la verdaderaforma de la Tierra y que causa su irregularidad. Es-tas preguntas se contestan tomando en cuenta lossiguientes puntos:

1. Efectos de la topografıa (exceso o deficienciade masa).

2. Variaciones de la densidad en la litosfera.3. Probablemente las corrientes de conveccion

producidas en el manto causan variaciones enla superficie terrestre.

Fig. 2 Geoide y elipsoide

De modo que, la Tierra puede representarsegeometricamente mediante un elipsoide, tambienllamado elipsoide de referencia que es la repre-sentacion ideal (matematica) de la forma que tieneel planeta y es definida como la superficie equipo-tencial de una Tierra uniforme; este ultimo terminoha permitido facilitar los trabajos geodesicos.

3. GEODESIAPara saber con precision la curvatura que tiene

la Tierra, se necesita conocer el campo gravita-cional, la distribucion de su masa, ası como ladeformacion que presenta, por lo que se originala Geodesia, como un area que se apoya de laFısica, teniendo como objetivo determinar la figu-ra y magnitud del globo terrestre, al igual que larepresentacion de zonas menores de la Tierra lla-mados mapas. Entonces, vemos que entender laforma que tiene el planeta no es tan sencillo.

De manera didactica, se puede representar el

10

¿Que forma tiene la Tierra?

aspecto de la Tierra si se toma un pedazo de plas-tilina, se forma un tipo pelota y en seguida semanipula con las manos de manera que no se sep-are mucho de su forma esferica pero si su simetrıaresultando una apariencia similar al de la Tierra(figura 3).

Fig. 3 Representacion de la Tierra.Imagenes tomadas con giros de 600

Fig. 4 Geoide. Forma real de la tierra [4]

Anteriormente se explico la diferencia en-tre geoide y elipsoide pero, ¿como se ob-tienen? El elipsoide es obtenido mediante modelosmatematicos, es decir, esta definido por ecua-ciones y el geoide resulta ser la tarea difıcil de losgeodestas, ya que este puede ser medido, mediantealtımetros, GPS’s o gravımetros.

Principalmente se realiza con gravımetros, me-diante mediciones en la superficie terrestre con ungravımetro, obteniendo la variacion de la fuerzagravitacional vertical del punto H. (figura 5); de

modo que utilizando metodos numericos se pro-cede a eliminar las anomalıas locales producidaspor cambios de la densidad y, finalmente, se ob-tiene la variacion de la masa en dicho punto.

Fig. 5. Superficies de nivel Geoide y elipsoide [5]

4. CONCLUSIONESEl geoide es la verdadera forma de la Tierra,

su definicion es puramente fısica y se asemeja alelipsoide.

Los sistemas de referencia estan basados en elip-soides de referencia como son: GWS84 (WorldGeodetic System 84), ETRS89 (European Terres-trial Reference System 1989), ED50 (EuropeanDatum 1950).

Con la ayuda de la Geodesia se han podido es-tablecer los medios de posicionamiento como esel Sistema de Posicionamiento Global GPS.

REFERENCIAS[1]Hewitt, Paul G. (2004) Fısica conceptual.

(Novena edicion) Mexico: Pearson.[2]Resnic R., Halliday D, y Krane K. S. (2013)

Fısica Vol. 1. (quinta edicion) Mexico: Patria.[3]Vanicek P. (1984) Geodesia Fısica Aplicada,

Tomo 1. Mexico: INEGI.[4]Jet Propulsion Laboratory, NASA,

California Institute of Technology.

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T. P. Huerta Flores y L. Fdo. Gomez Ceballos

http://www.jpl.nasa.gov/spaceimages/details.php?id=PIA12104.

[5]Hofmann-Wellenhof B. and moritz H. (2006)Physical Geodesy( Second edition) springer.New York.

[6]Telford W. M., Geldart, L. P. and Sheriff R.E. (2004) Applied Geophysics (Second edition)New York. Cambridge University Press.

[7]Blakely, Richard J. (1996)Potential Theory ingravity and Magnetic Applications.New York:Cambridge University Press.

Ing. Tania Paulina HuertaEstudio la Licenciatura en Ingenierıa Geofısica en laFI-BUAP; actualmente esta realizando su tesis.

M. C. Luis Fernando Gomez CeballosRealizo la Licenciatura en Fısica en la FCFM. laMaestrıa en Matematicas en la FCFM-BUAP. ProfesorMedio Tiempo en la Facultad de Ingenierıa (FI-BUAP).Actualmente estudia el Doctorado en DispositivosSemiconductores en el CIDS-ICUAP.

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Local

Ano 01 Num. 02Primavera de 2015

Paginas 13–20

Dr. Jose Luis Carrillo Estrada

El Doctor Jose Luis Carrillo Estrada nacio en la ciudad de Puebla

en los anos 50. Es fısico egresado de la escuela de ciencias

Fısico-Matematicas de la Universidad Autonoma de Puebla en 1976.

Obtuvo sus grados de maestrıa y doctorado en ciencias (Fısica)

en la Universidad Nacional Autonoma de Mexico en 1980 y 1984

respectivamente. Actualmente es profesor investigador de tiempo

completo en la Universidad Autonoma de Puebla (BUAP), Institu-

to de Fısica. Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores

desde 1985 (actualmente es SNI II). Sus areas de investigacion

incluyen: Fısica de sistemas mesoscopicos y de dimensionalidad re-

ducida; Fluidos coulombianos; Mecanica Estadıstica de Sistemas

Complejos. Ha dirigido 5 tesis de licenciatura, 15 tesis de maestrıa,

9 tesis de Doctorado y 5 postdoctorados. Ha obtenido diversas dis-

tinciones: Premio estatal de Fısica Puebla, en los anos 1984 y 1987

otorgado por el Consejo Estatal de Ciencia y Tecnologıa del estado

de Puebla. Premio estatal de ciencia y tecnologıa 2004 otorgado por

el gobierno de Puebla. Fue nombrado Ciudadano Distinguido por el

cabildo del Municipio de Puebla en 1990. Premio al saber otorgado

por la Asociacion Mexicana de Ingenieros Mecanicos y Electricistas

AMIME (1976) entre otras distinciones.

¿Que lo motivo a estudiar una carrera cientıfi-ca?Tengo que decir que nunca fue una decision con-sciente. Creo que fue un conjunto de circunstan-cias porque, en la epoca cuando yo tuve que tomarla decision de estudiar fısica, la informacion conla que se contaba era muy limitada y si bien, laescuela de fısica era una de las mas desarrolladasdentro de la universidad no era muy conocida alexterior. El acercamiento hacia la fısica fue unpoco casual, como respuesta de un afan mıo desepararme un poco de mi hermano, porque des-de muy nino estuve con el en la misma escuela,desde el kınder hasta la secundaria y despues de

muchos anos se creo un afan de querer una propiapersonalidad, una etiqueta diferente a la del her-mano pequeno de Fausto Antonio. Cuando salimosde la secundaria tuvimos que enfrentar la cuestion¿que van a hacer?, el dijo - yo voy a estudiarla preparatoria - y yo dije de inmediato - voy aestudiar la vocacional. Entonces surge el primerencuentro con algo mas tecnico. La formacion dela vocacional era mas enfocada hacia la ingenierıay ahı oı hablar de la escuela de fısica, no de laescuela de fısica de la Universidad Autonoma dePuebla sino de la escuela de fısica del Politecni-co. Durante la etapa de primaria a vocacional noera buen estudiante en las materias que no fueran

FCFM-IFUAP-CIDS 13

fısica y matematicas, entonces surgio como posi-bilidad el estudiar fısica. Cuando decidı entrar a laFacultad de Fısico-Matematicas simultaneamenteme inscribı a ingenierıa quımica, despues de ciertotiempo me convencı de que me atraıa mas la fısicay abandone la otra carrera. La decision de estudi-ar fısica no fue muy consciente, fue mas casual elasunto.¿Hay alguna anecdota que recuerde con gustosobre su epoca de estudiante?Pues muchas. Con particular gusto recuerdo queen una ocasion, en el que estabamos probable-mente en el septimo semestre y eramos muy pocos,tomabamos el curso de filosofıa de la ciencia conel entonces rector de la universidad, el ingenieroLuıs Rivera Terrazas. Ibamos a tomar clase en rec-torıa y entramos cuatro o cinco en la sala previaa su oficina, estabamos esperando y vimos queel estaba discutiendo intensamente con una per-sona, lo estaba reganando, entonces sale este senory entramos nosotros muy cohibidos pensando queestaba enojado, pero nos recibio con muchısimogusto y como si no hubiese pasado nada. Era unapersona con una capacidad increıble para separarsus asuntos y sus emociones, he visto muy pocagente que tiene la capacidad para estar discutiendocon alguien y en tres segundos pasar a otra cosacon un estado de animo diferente. Fue impresion-ante e interesante.Fuimos una generacion muy activa, porque desdemuy jovenes comenzamos a dar clases y esa es larazon por la que todos los de mi generacion ten-emos tantısimos anos de antiguedad en la univer-sidad. Yo acabo de cumplir 42 anos de antiguedad.Comence a dar clases en la universidad cuandotenıa 18 anos en la preparatoria Benito Juarez, es-taba iniciando el tercer semestre, una epoca enla que hubo un necesario recambio de profesoresporque por ejemplo, medicos daban fısica o in-genieros estaban dando probablemente filosofıa.

Era mas bien como una escuela un poco descuida-da, la universidad estaba en esas condiciones. Fuepues necesario un cambio no del todo suave en laplanta de profesores y ahı entramos, pues era nece-sario que ayudasemos porque no habıa profesorespara la preparatoria y era mejor que un estudiantede tercer semestre de la facultad iniciara dandoclases ahı que dejar eso desierto. Ası comen-zamos muchos. Es obvio que en esas condicionesvivimos epocas turbulentas, complicadas, algunasveces muy emocionantes y gratificantes y otras ve-ces deprimentes. Tengo muchısimas anecdotas quecontar.¿Es verdad que el estudio de la ciencia esta des-tinado solo a unos pocos?Yo dirıa que hay gente con actitudes para difer-entes areas del conocimiento, que no tiene muchoque ver con la inteligencia. Existen predisposi-ciones, a lo mejor de origen social o familiar queinfluyen muchısimo, pero tambien creo que al-gunos nacen con cierto gusto para dedicarse a laciencia. Me parece que la ciencia como muchasotras actividades requiere de una gran voluntad,esfuerzo y una consistencia. Cuando ya hablamosde un grupo de cientıficos necesariamente hablam-os de una elite, en el buen sentido de la palabra,porque el constituirse como el grupo avanzado deesa actividad siempre requiere un esfuerzo y con-sistencia. Entonces la respuesta a esta pregunta esque no. No en el sentido de que esta predetermina-do para cierta gente que tiene ciertas cualidadesespecıficas. Quien quiera estudiar ciencia y de-see alcanzar ciertos niveles, necesariamente debeprepararse.¿Cual es su area de investigacion y en que con-siste?Una manera de describir lo que hago, no muydetallada, serıa: Estudiar las metodologıas que cor-responden al area de la mecanica estadıstica de sis-temas complejos, fundamentalmente de sistemas

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Con ciencia local

complejos en materia condensada. Tambien ha-go algunas aplicaciones de la mecanica estadısticaa sistemas no muy ortodoxos dentro de la fısicatradicional, como podrıa ser lo que se conoce co-mo econofısica o ecolofısica. Este tipo de areas dela ciencia que son emergentes y que en ellas con-curren especialistas de diferentes disciplinas. Enlos ultimos tiempos he puesto especial atencionhacia los fluidos complejos y hacia las propiedadescolectivas de sistemas mesoscopicos.¿Como decidio especializarse en esta area?Bueno, quisiera pensar en que mi area no es tanespecializada. Tengo muchos anos trabajando enfısica y he tenido la fortuna de poder cultivar variascosas que han sido de mi interes. Ciertamente,he hecho trabajo en cuestiones de estado solido,sobre teorıa de los fundamentos de la mecanica es-tadıstica (mas matematico el asunto), sistemas noortodoxos en problemas interdisciplinarios. Tengoalgunas colaboraciones en las que he comenzadoa utilizar las tecnicas de la fısica para tratar deentender algunos fenomenos demograficos. Creoque no he tratado de especializarme, de hecho,mi consejo hacia mis estudiantes es que no se ul-tra especialicen. La ciencia de aquı hacia adelantecambiara notoriamente y rapidamente. Se van acombinar diversas areas de la ciencia y se van adefinir nuevos campos emergentes.Hay campos que surgen como moda, como algourgente, como algo necesario y que rapidamentecrecen y luego decaen. Actualmente oımos la pal-abra nanociencia o nanotecnologıa, pero yo lespues asegurar que en diez anos casi no vamos aoır de eso, pero sı vamos a oır de algunas otrascosas. Vamos a oır de algunos campos emergentesdonde se combina la biologıa, la fısica, la quımicay probablemente alguna disciplina como medici-na. Por ejemplo, se hablara de cosas que tienen quever con el funcionamiento del cerebro: ¿Que es elpensamiento? ¿Que es la memoria? ¿Como la us-amos?, porque en ese tipo de cuestiones nuestro

cerebro es muy eficiente. Eso es lo que creo queva a dominar en nuestras areas del conocimien-to en el futuro. Las otras que son mas de interestecnologico crecen, pero rapidamente desapare-cen cuando ya se tiene conocimiento acumulado yaplicaciones tecnologicas abundantes. Por alla delos fines de los ochenta se descubrieron los su-perconductores de alta temperatura critica, en eseentonces se desato un boom sobre esa area, seinvirtio mucho dinero, se hizo investigacion ydespues de unos 15 anos decayo. De la mismamanera podemos ver muchas areas que son de mo-da o de interes pasajero, aunque hay otras areasque se mantienen durante muchos anos, pero latendencia es definitivamente la multidisciplinaria.¿Que aspectos de su trabajo son los que mas leagradan y cuales no?Me agrada muchısimo la etapa de trabajo con miscolaboradores y mis estudiantes, cuando uno yasobrepaso este preambulo que significa el explo-rar la literatura y la metodologıa existente, ya lapregunta que uno se hizo comienza a abordarsecreativamente. Esa etapa en la que cada sesion detrabajo se convierte en descubrimiento de cosasy de nuevas ideas. Eso es de lo mas gratificante,probablemente lo que mantiene la ilusion de llegara eso y lo que mantiene al cientıfico activo.Me gusta ver como se han desarrollado mis estudi-antes despues de un periodo de clases en un curso.Cuando uno comienza a trabajar con un grupo, eltratar de hacerles ver que no solo es aprender dealgo de lo que viene en un libro, es intentar creceruna estructura mental en la que uno pueda crecerlos conceptos. Esas estructuras es necesario quelos estudiantes las desarrollen por sı mismos. Noque el profesor le imponga la forma de pensar alestudiante, sino que lo anime y le de la guıa paraque el mismo vaya armando su propia forma de en-tender las cosas. Entonces la evolucion que se da,de cuando uno comienza un curso hasta que unotermina, en algunos casos es fabulosa. Me gusta

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ver mucho eso.Me gusta el hecho de que tenemos la posibilidadde relacionarnos de inmediato con cualquier otroinvestigador en cualquier otra parte del mundo.Nuestro lenguaje tan comun de la ciencia es in-creıble. Si estamos estudiando problemas fısicossemejantes o cercanos entonces nos entendemosde inmediato y sin ambiguedades. Creo que esa ex-periencia no es comparable con ninguna otra areadel conocimiento. Podemos hablar con gente demuy diferente origen, culturas, en fin, eso es muysatisfactorio.¿Que no me gusta? A lo mejor, al sentirnos unaespecie de elite, mucha gente lo confunde como sifuera solamente la ciencia una tarea de iniciados ya veces suelen sentirse superiores en algun sentido.Eso causa una ruptura, fricciones o rompimien-to en el tejido social entre los cientıficos. Esaspersonalidades disfuncionales no se notan muchasveces, pero en otras ocasiones son capaces de ob-staculizar un desarrollo importante. No me gustamucho cuando estoy en un grupo de cientıficosdonde hay personas de este tipo.No me gusta la precariedad en el medio nacionalcientıfico y en algunas universidades de provin-cia. No estoy describiendo la situacion propiadel instituto, que tiene una infraestructura acept-able y algunas cosas muy buenas. La precariedadeconomica que se manifiesta en el medio na-cional cientıfico, como la falta de infraestructuraque ocasiona que nuestra formacion como cientıfi-cos se enfoque basicamente hacia la parte teorica(y debemos ser conscientes de que la fısica esuna ciencia experimental, la parte teorica sin lacontrapartida experimental le cuesta mas trabajodesarrollarse), es la situacion con nuestro paıs ymuchos otros paıses no desarrollados. Es una limi-tante importante, sin embargo, no quiere decir queno seamos capaces alcanzar una condicion com-petitiva. Lo que si quiere decir es que, aunque en

numero son muy pocos cientıficos para las necesi-dades del paıs (comparados con paıses muy desar-rollados tenemos un factor de cien en el numero decientıficos vıa la proporcion optima con respectoa la poblacion, la diferencia es enorme), son bas-tante buenos, la mayorıa son muy competitivos.¿Cuales son sus proyectos actuales?Sobre mis proyectos en cuanto a ciencia, es-toy muy interesado a comenzar a abordar al-gunos problemas que tiene que ver con la auto-organizacion en sistemas biologicos. Un problemade la fısica que quisiera llevar adelante en losproximos anos es estudiar los sistemas fuera deequilibrio donde las preguntas que me hago ten-drıan relevancia para explicar fenomenos biologi-cos. Por otro lado pretendo avanzar en conjuntocon dos de mis estudiantes con dos temas queserıan el antecedente de lo que quiero hacer. Ac-tualmente hemos llegado a una condicion en laque tenemos muchas preguntas interesantes y lasposibilidades de dar respuestas satisfactorias, muybonitas y muy gratificantes. Los dos temas a losque me refiero son dos grandes areas. Por un lado,fenomenos colectivos en sistemas mesoscopicos ypor otro lado, fenomenos de auto-organizacion ensistemas formados por partıculas que dan origen afenomenos de agregacion y auto-ensamblado.Otro proyecto es contribuir, como lo he hechodesde muchos anos, con el progreso de nuestroinstituto, de nuestra sociedad y participar en algu-nas comisiones en las que tengo alguna opinion.En CONACYT participe durante muchos anos ytuve la oportunidad de dejar plantadas ideas queeventualmente se desarrollaron. En las organiza-ciones en las que he participado, como la academiamexicana de ciencias o la academia poblana deciencias, se tienen planes para posibilitar una pe-netracion mayor de la ciencia en la cultura en nues-tro medio, para que deje de verse a los cientıficoso la inversion en ciencia como un mal necesario.No solamente es una inversion sino que es parte

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Con ciencia local

del desarrollo de la cultura, de las tradiciones, dela identidad, de lo que le da una cimentacion anuestra sociedad para sentirse a sı misma duenade su futuro. Suena muy ambicioso pero en algose puede contribuir.¿Cuales son las posibles aplicaciones de su lıneade investigacion?Entre los sistemas que estudio que tienen que vercon materia condensada compleja, estamos es-tudiando unos sistemas compuestos por laminas(se les llaman compositos laminares) donde po-drıamos predecir como habrıa que crecer laminasdelgadas (que contienen ciertos materiales que unopudiera modelar mediante la aplicacion de cam-pos) para modular su conductividad termica en unamplio rango, disminuir la termodifusividad y eltransporte termico.Una teorıa mas general que puede tener aplica-ciones en nuestra concepcion de la estructura dediversos sistemas, tiene que ver con como es queuna estructura que no es ordenada, en el sen-tido cristalino de la palabra, sino que tiene unorden no trivial (estructura multifractal), se refle-ja en las propiedades fısicas del sistema, comode transporte, mecanicas, opticas y muchas otras.Las aplicaciones serıan muy diversas, desde hacerpropuestas para mejorar la extraccion de petroleoresidual en pozos aparentemente ya terminados,hacer filtros, hacer sistemas de tratamiento deaguas contaminadas, se me ocurren muchas mascosas que tienen que ver con el control y compren-sion de estructuras con orden no trivial.¿Solo la ciencia que se aplica sirve?Por supuesto que no, mucho menos actualmente ymucho menos en el futuro. La ciencia es una. Lasaplicaciones surgen a veces de donde uno menospiensa. Hay gente que se dedica a hacer desarro-llo cientıfico pero completamente aplicado y esoesta muy bien, pero la mayorıa de esos desarrolloscientıficos, fuera de los que realmente causan ungran efecto en la sociedad y en la industria, siguen

una secuencia de cosas que son de menor valıa oimpacto, entonces para que se posibiliten nuevasaplicaciones que realmente revolucionen las cosas,es necesario que se desarrolle otro aspecto de laciencia y eso es el aspecto fundamental. Hace ra-to hablabamos de la interdisciplina. Una preguntamuy relevante serıa por ejemplo ¿Como nosotrosen nuestro cerebro somos capaces de manejar tan-tos niveles de memoria? Tenemos para comenzaruna concepcion bastante equivocada de lo quees la memoria, si entendiesemos nosotros comofunciona nuestro cerebro para guardar informa-cion, recobrarla y procesarla, entonces nuestrascomputadoras podrıan ser disenadas de maneramas eficiente. Nuestras preguntas que hacemosy que tendran relevancia en el futuro e impactoen lo aplicado ahora tienen que ver con la cien-cia basica, preguntarnos desde el mero fondoporque los fenomenos son como son, porque to-davıa no entendemos como en el ribosoma se vanensamblando aminoacidos de una manera tan pre-cisa, esas cosas tan complejas requieren de unavance en lo fundamental, cuando entendamoseso, tambien haremos aplicaciones. En el futurono habra ciencia aplicada si no hay ciencia basica.¿Por que es importante hacer ciencia en Mexi-co?Porque el conocimiento en todos los aspectos enlos que tiene que ver el ser humano es parte dela cultura, la cultura no es la musica clasica, noes nuestra identidad, no es nuestras tradiciones,es como concebimos el universo y como se mo-difica, como nos sentimos como pueblo, comonacion, como semejantes de otras naciones y deotros pueblos, como contribuimos al desarrollode la humanidad, como absorbemos tambien elconocimiento ajeno, como lo incorporamos al nu-estro y creamos nuevas cosas. En la actualidad,un paıs que no tenga investigacion en todas lasareas del conocimiento tiene un serio problema,tenderıa a desaparecer porque simplemente las

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condiciones economicas serıan muy adversas, hayque comprar todo, la mercancıa mas cara en la ac-tualidad es el conocimiento, entonces si no tienesese conocimiento desarrollado y es propio, tienesque comprarlo y te lo venden cuando quieren ycomo quieren. Si nosotros hubiesemos seguido ha-ciendo investigacion en cuanto el petroleo desdeque se crea el Instituto Mexicano del Petroleo,ahora Mexico serıa una potencia tecnologica encuanto a petroleo. No le pusieron importancia aeso y al contrario frenaron ese desarrollo, ahoranos encontramos con muchas cosas que podrıamosestar haciendo y eso pasa. La falta de desarro-llo de la ciencia se refleja en una precariedadeconomica, en infraestructura, entonces una so-ciedad en esas condiciones se va deprimiendo, nodesaparece nuestro orgullo y nuestro cultura an-tigua, eso esta ahı y va a estar ahı, pero cada vezserıamos menos capaces de mantenerla y acrecen-tarla, porque la cultura no son recuerdos, es algovivo es con lo que uno se relaciona y transformacosas. Entonces esa es la razon, no es ni un lujo, nitampoco una inversion con un sentido puramenteeconomico.¿Cual es su perspectiva del desarrollo cientıfi-co en la BUAP y en el estado? ¿Cuales son losprincipales desafıos que se deben enfrentar?Es una pregunta compleja e interesante. Piensoque la BUAP esta pasando por una etapa de tran-sicion. De unos 17 anos para aca, el sistema de in-vestigacion de la BUAP se ha consolidado bastantebien. Las medidas que tomaron las autoridades,en general, han permitido un buen desarrollo. LaBUAP ya concibe a su sistema de investigadorescomo algo bien establecido, como algo que merececuidado. En ese sentido lo que se consiguio en lospasados 18 anos es importante. Hay algunas cosasque han estado evolucionando desde entonces, notodas la areas de la universidad han crecido de lamisma manera, la dinamica de una poblacion uni-versitaria ahora refleja nuevos retos que no se hasta

que punto seamos capaces de abordarlos con exi-to. Me refiero a algo como lo siguiente: podemosdecir que el desarrollo de la BUAP esta razonable-mente bien, sobre todo en el aspecto cientıfico,habrıa que dar un paso que tiene que ver condarle mayor visibilidad real a los grupos desarro-llados de la BUAP, a los grupos de investigacionen todas las areas, internacionalizarnos a la buena,no con publicidad sino con acciones, inversionescon actividad rica, con actividad de esa que re-quiere una gran dedicacion, de un gran esfuerzopor parte de muchas personas y cuyos beneficiosse notan despues de varios anos. Estamos en esaetapa, estamos en una etapa de transicion, si hace-mos las cosas bien podrıamos dar un paso muysignificativo hacia adelante, en caso de no darlo bi-en nos estancarıamos. Algunas otras institucionesya estan dando ese paso, lo estan haciendo puesbastante bien. En ese sentido mi perspectiva tienecierto grado de incertidumbre.La perspectiva en el paıs es mas complicada. Yocreo que siempre hemos estado en una condicionen la que si se hicieran las cosas bien, si hu-biese un grupo mayor de cientıficos planeandoel desarrollo cientıfico, con posibilidades de de-cidir, si hubiese un grupo de intelectuales parahacer planes de desarrollo para diferentes aspec-tos de lo que pueden hacer las universidades (elmedio educado del paıs), entonces tendrıamos porsupuesto mejores perspectivas. No necesariamentenuestras autoridades, federales y estatales, tomanlas mejores decisiones. La mayorıa de las veces noestan preparadas para ver las caracterısticas com-plejas de un medio educativo o cientıfico.En cuanto a la educacion, ahı todavıa lo veocon mayor pesimismo. Necesitamos mejorar lainfraestructura desde muy abajo, recobrar el em-puje que tenıa la educacion mexicana hace unos50 anos, era de avanzada en muchos aspectos, seha ido corrompiendo, se ha ido cambiado lo im-portante y lo fundamental porque nos ha ganado el

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Con ciencia local

aumento poblacional, entonces la inversion se hacesolamente en lo urgente y no en lo importante. Lascosas no las veo muy faciles de cambiar. Ası escomo veo el desarrollo de la ciencia en nuestro es-tado, en nuestra institucion, en nuestro paıs.¿Cual es su mayor satisfaccion a nivel profe-sional?Tendrıa que ver con algunas cosas que creo que losque nos dedicamos a esto siempre tenemos pre-sente. Siento que lo que he hecho con relacion amis colaboradores y estudiantes, ha sido muy im-portante para mı. He aprendido mucho de ellosy creo que he tenido la enorme suerte de encon-trarme con excelentes personas, todos ellos desdemuy chavitos comenzaron a crecer cerca de mı ymuchos de ellos son ahora excelentes cientıficosindependientes. Tuve el gusto de contribuir a lafundacion del Doctorado en Fısica del instituto,dirigı la primera tesis doctoral en fısica del esta-do, no solo de la BUAP. La primera doctora enfısica egresada de una institucion del estado fueuna de mis alumnas, en una epoca en la que habıaque hacer todo con respecto a los posgrados, ha-cer reglamentos, conseguir infraestructura, some-ter proyectos, tratar de que nos comprendieran alinterior de la universidad, de que no podıamosvivir aislados, de que tenıamos que exponernos alexterior para poder aspirar a un desarrollo mas in-ternacional en el sentido cientıfico, hubo que hacermuchas cosas pero salieron bien. A los pocos anosde la fundacion del instituto se comenzo a hacer elanalisis de los posgrados en el paıs y me toco par-ticipar en la primera comision del CONACYT,estaba recien graduado, uno de mis profesores erael encargado por CONACYT del area de fısica yme invito a participar en la comision. Hicimosun analisis del estado de todos los posgrados defısica en el paıs y habıa cuatro posgrados consi-derados como consolidados, el posgrado en fısicade la UNAM, CINVESTAV, Politecnico y Puebla.Desde entonces, el posgrado no ha salido de esa

consideracion. Creo que pudimos habernos desa-rrollado mas rapidamente en los ultimos anos, perolo cierto esta en que el posgrado en fısica siguesiendo un referente. Junto con mis companerospropusimos la creacion del posgrado en cienciasde materiales, ahora tambien un muy buen pos-grado. Una de mis grandes satisfacciones es habercontribuido en ese sentido.¿Cuales son sus proyectos a futuro?Es difıcil, no me quiero ver como predicador, ennuestro medio eso es muy peligroso. La experien-cia me dice que la ciencia cambia cada vez, cambiamas rapido, crece de forma rapida, es el ultimo pe-riodo de unas cuantas decenas de anos donde elcrecimiento es increıblemente rapido, pero eso im-plica que las areas cambian extraordinariamenterapido y cada vez mas. Uno puede incorporarsea esa tendencia siempre que este preparado paraesto. No es mala idea el tener una formacion ge-neral basica muy bien cimentada, pues de ahı paraadelante eso posibilita abordar cualquier tema defısica. Cuando nuestros estudiantes terminan conuna buena formacion basica pueden dedicarse a loque quieran. Se pueden dedicar en su doctoradoy su postdoctorado a hacer cierto tipo de inves-tigacion, pero si les aburre o las cosas cambian,podrıan sin mucho problema abordar otros temaso abordar estos campos que son muy diversifica-dos, con participacion de otras disciplinas. Estancapacitados para eso, eso es lo que yo verıa comodeseable. Mi experiencia indica que los que hanhecho eso bien, tienen una libertad enorme paraincorporarse en lo que ellos quieren y eso es unade las cosas que los profesionales de la investi-gacion mas valoran, yo dirıa, esa libertad, porqueuno tiene la capacidad de hacer lo que a uno leatrae y no sentirse atado por desarrollar una lıneaestrecha de la investigacion.Uno disfruta que los estudiantes sean activos yorganicen seminarios, como el Seminario de Es-tudiantes del IFUAP, el oırse, el tambien asistir al

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seminario Jesus Reyes Corona, les va a desarrollarel gusto por oır conferencias de muy diversos cam-pos del conocimiento. Para eso se requiere ciertacapacidad y cierta apertura, una mentalidad abier-ta, como uno no es especialista en los temas quese dan en los seminarios, uno va a entender los e-lementos mas importantes, lo basico de la platicay apreciar la importancia, la relevancia, el impactode esa investigacion sin ser especialista.

El comite editorial agradece al Dr. Jose Luis Carrillo Estrada la

amabilidad que ha tenido al dedicar parte de su valioso tiempo

a esta entrevista y a los Maestros en Ciencias Josue Ramırez

Hernandez y Jose Roberto Nicolas Carlock quienes realizaron

esta entrevista.

TALLER DE CRISTALOGRAFÍA15 – 19 de junio, 2015

• Dr. Sylvain Bernès – Instituto de Física-BUAP

o “Minería de datos con la “Cambridge Structural Database”

• Dr. José Antonio Gavira – CSIC+Univ. Granada, España

o “Crecimiento de cristales de proteínas por contradifusión”o “Cristales de enzimas reticuladas para aplicaciones en biotecnología”

• Dra. María Eugenia Mendoza – Instituto de Física-BUAP

o “Elementos de Cristalografía General”

• Dr. Abel Moreno – Instituto de Química-UNAM

o “Fisicoquímica de la cristalización de proteínas”o “Electrocristalización de proteínas”

Lugar: Auditorio del Instituto de Física.

Informes e inscripciones:

http://www.ifuap.buap.mx/eventos/Cristalografia2015/

Cristales de Riboflavina Sintasa

Blanco terapéutico de la Brucella

El Centro Mesoamericano de Física Teórica (MCTP) La Universidad Autónoma de Chiapas (UNACH)

La Universidad Politécnica de Chiapas (UPChiapas) El Seminario de Física y Cómputo de la Facultad de Ciencias (UNAM)

La Universidad Autónoma Chapingo (UACh) La Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa (UAM-I)

CONVOCAN

a investigadores, profesores, estudiantes y a las personas interesadas en los problemas relativos al uso de la energía a participar en el:

3er. COLOQUIO DE ENERGÍA USO ACTUAL DE LA ENERGÍA Y ENERGÍAS

RENOVABLES DEL 2 AL 5 DE SEPTIEMBRE DE 2015

CENTRO MESOAMERICANO DE FÍSICA TEÓRICA (MCTP) Tuxtla Gutiérrez, Chiapas

Horario de 10:00 a 18:30 hrs.

TEMAS

I.- Energías:

Solar

Eólica

Geotérmica

Mareomotriz

Biomasa

Renovables en general

II.- Experimentos, Prototipos y Aplicaciones III.- Energía y Sociedad:

Uso Actual y Futuro de la Energía en México y el Mundo

Impacto Ambiental

Política Energética

Crisis Energética

ACTIVIDADES Conferencias Magistrales, Mesas Redondas, Simultáneas, Murales

Exposiciones de Experimentos y Prototipos Conferencias y Talleres de Divulgación

FECHAS

Periodo de Inscripción: del 4 de mayo al 4 se septiembre de 2015. Fecha límite de envío de resúmenes (simultáneas, murales, experimentos, prototipos y aplicaciones): 10 de julio de 2015. Aviso del resultado de la evaluación de resúmenes: 20 de julio de 2015.

Mayor información en:

coloquio@champagn.fciencias.unam.mx o al teléfono: (01 55) 562-24843

Página de Inscripción: http://champagn.fciencias.unam.mx/coloquio

o http://coloquiodeenergia.com

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Estudiantil

Ano 01 Num. 02Primavera de 2015

Paginas 21–25

ParadojasArmando Romero MoralesFacultad de Ciencias Fısico-MatematicasBenemerita Universidad Autonoma de PueblaC.U. Avenida San Claudio y 18 Sur,Colonia San Manuel, Puebla, Pue.C.P. 72570 MEXICO.romero2013@gmail.com

RESUMENEn este escrito hacemos una breve recopilacion

de la informacion existente en la literatura referen-te a paradojas, mencionaremos algunas de ellasy una aplicacion.

1. INTRODUCCIONEn el lenguaje coloquial, el concepto de paradoja

puede tener diversos significados: enigma, mis-terio, ambiguedad, absurdo y por que no, tam-bien disparate, pero en todos los casos con ciertosentido enfocado al analisis del tema en cuestion.

En ocasiones, invertir tiempo en resolver unaparadoja, nos incita a buscar resolver una conmayor complejidad aceptando un reto mayor anuestro razonamiento o bien por simple curiosi-dad natural. En la historia de la Matematica lasmentes brillantes de sus protagonistas han estadoconstantemente ejercitandose en la resolucion deparadojas de varios tipos y niveles, como actividadinseparable de las crisis y revoluciones cientıficaso bien como lecturas de ocio.

Las paradojas siempre han constituido un im-portante reto desestabilizador para concepcionesvigentes, convirtiendose ası en un incentivo in-mejorable para el esclarecimiento de las nocionesy resultados basicos. De esta forma las parado-jas son una de las mayores fuentes de estimu-

lacion para el surgimiento de nuevos conceptos,proposiciones e incluso teorıas matematicas. Unabuena parte de las ideas mas revolucionarias enla Matematica han nacido de situaciones profun-damente ambiguas, en la confrontacion de nu-merosas contradicciones y paradojas.

A continuacion presentamos algunos ejemplosde paradojas. La lista no es exhaustiva, es tan so-lo una pequena muestra, que pretende estimular lacuriosidad del lector.

2. ALGUNAS PARADOJASLos universitarios de ciencias exactas deben es-

tudiar Analisis Matematico y su primer encuentroen esta area se da en los cursos de Calculo. Espor eso que tomamos algunos ejemplos de estadisciplina matematica, no obstante, ideas seme-jantes sin duda podran elaborarse en otras ramasde la Matematica. En el proceso del aprendizajede conceptos matematicos, nos encontramos queno se trata de un proceso de sustitucion de signifi-cados, sino mas bien de adecuacion, de reconoceren el enunciado matematico las distintas particu-laridades, el porque es necesario y el porque esmas preciso; en la mayorıa de los estudiantes estatarea no es inmediata y para muchos es com-pletamente imposible. Por tanto, consideramosindispensable una introduccion gradual del rigor y

FCFM-IFUAP-CIDS 21

Armando Romero Morales

abstraccion, preparando previamente al estudiantepara enfrentarse a un concepto nuevo.

A menudo se llegan a paradojas cuando se con-tradice el denominado principio del tercero exclu-ido que afirma:

Cualquier enunciado proposicional es verdaderoo es falso, pero no se pueden dar ambas cosassimultaneamente.

Uno de los obstaculos fundamentales en laasimilacion del analisis esta relacionado con lanocion de lımite, en un principio esta nocion escompleja y una causa radica en su estrecho vıncu-lo con la nocion de infinito, mas precisamente,con cantidades infinitamente grandes e infinita-mente pequenas. Segun Galileo los razonamientoscon estas magnitudes conducen a paradojas porquenuestra mente finita no puede entenderlos debido ala inmensidad de unos y la pequenez de los otros.

La nocion de proceso infinito en los razonamien-tos matematicos se remonta al menos a la famosaparadoja de Zenon de Elea (486 a. C.). Se puededemostrar que un corredor muy veloz es incapazde rebasar a otro mas lento y que de hecho elmovimiento mismo es imposible.

La paradoja de ZenonSupongamos que queremos ir desde el punto Ahasta el B, por tanto antes debemos pasar por el

punto medio(A+B)

2= A1 , y despues ten-

dremos que pasar por el punto medio del segmento

restante(A1 +B)

2= A2 y ası sucesivamente. Co-

mo para todoAn, An < B y existe el punto medio

del segmento que los une An+1 =An +B

2< B,

entonces nunca llegaremos a B, cualesquiera seanA y B. Luego ¡el movimiento es imposible! Sinembargo, la experiencia fısica nos dice que si elcaminante se desplaza con velocidad uniforme,entonces recorrera la distancia total en el dobledel tiempo que necesito para la primera mitad delcamino. La esencia de este absurdo radica en que,

para recorrer cada uno de los infinitos segmentosen que se ha dividido AB, se necesitara un tiem-po finito y la suma de infinitas cantidades finitasnuestra intuicion nos sugiere que debe ser infinita.

Algo debe ser falso en este argumento, la parado-ja aparece debido a la nocion equivocada de quecualquier sucesion infinita de intervalos de tiempodebe sumar toda la eternidad.

La discusion de esta paradoja contribuye a que seexterioricen las ideas intuitivas de los estudiantesacerca de los procesos infinitos, ofrece la posi-bilidad de explicar, con razonamientos heurısti-cos sencillos, que una suma de infinitos numerospuede conducir a un valor finito.

Paradoja de Russell

Manos que dibujan

Obra creada por M. C. Escher en 1948, proporciona una

analogıa visual de la paradoja de Russell, ası llamada

en recuerdo al matematico britanico Bertrand Russell

quien planteo a sus contemporaneos de principios del

siglo XX este problema logico, que mas tarde inspirarıa

los trabajos de Kurt Godel, de Alan Turing y del autor

sobre los lımites de las matematicas.

Una de las formas que toma la paradoja de Rus-sell es el par de enunciados: “La oracion siguientees falsa. La oracion anterior es verdadera”. Cadaproposicion, por separado, parece razonable; encambio no es posible evaluar su verdad o falsedad

22

Paradojas

al tomarlos conjuntamente. Es su combinacion laque origina la paradoja, lo mismo que las dosmanos del dibujo de Escher.

Las paradojas que Russell descubrio, atrajeronla atencion de varios matematicos, pero curiosa-mente solo una de ellas acabo llevando su nombre.No se puede postular la existencia de un conjuntoque contenga a todos los conjuntos. Preguntemosentonces: ¿Es este conjunto elemento de sı mis-mo? Si fuera elemento de sı mismo, no lo serıa,y recıprocamente. Esto se puede explicar rapida-mente de este modo: observemos que los conjun-tos mas usuales en los que podemos pensar no sonelementos de sı mismos. Por ejemplo, el conjun-to de todos los numeros naturales no es ningunode los numeros naturales. El conjunto de todos losarboles no es un arbol. Pero pensemos ahora porun momento en el conjunto de todos los concep-tos. El conjunto de todos los conceptos sı es ensı mismo un concepto. O sea que, aunque un pocomas rara, cabe la posibilidad de que un conjuntosea elemento de sı mismo. Si yo postulo la exis-tencia del conjunto de todos los conjuntos, este,por ser en sı mismo un conjunto, tendrıa que serelemento de sı mismo. En definitiva, hay conjun-tos que son elementos de sı mismos, y otros queno. Consideremos ahora el conjunto de todos losconjuntos que no son elementos de sı mismos. SiΩ fuese este conjunto entonces el conjunto P(Ω)de todos los subconjuntos de Ω serıa un elemen-to de Ω, es decir: P(Ω) ∈ Ω y tambien P(Ω) esun subconjunto de Ω. Entonces existe m tal que2m ≤ m, lo cual es una contradiccion.

El conjunto de todos los conjuntos mencionadosen la paradoja de Russell encuentra un sımil en laparadoja del Barbero.

Paradoja del BarberoEl barbero de un pueblo pequeno y apartado, pre-sumiendo de no tener competencia se anunciadiciendo: que el afeita a aquellos hombres que no

se afeitan a sı mismos. Tal descripcion parece fran-camente razonable hasta que un buen dıa alguienle pregunta si el deberıa afeitarse a sı mismo.

Se afeita a sı mismo si, y solamente si, no se afei-ta a sı mismo, entonces por la primera parte de suafirmacion, no deberıa afeitarse a sı mismo; perosi no se afeita a sı mismo, entonces por la segundaparte, deberıa afeitarse a sı mismo. Desde luego, sepodrıa decir: ¿Y a quien le importa ese hipoteticobarbero? ¡Todo eso no es mas que un absurdojuego de palabras! Pero cuando lo que se esta dilu-cidando es el concepto matematico de conjunto noresulta tan facil dejar de lado un problema logico.

Paradoja de Burali-FortiSe sabe en teorıa intuitiva de conjuntos, que todoconjunto bien ordenado tiene un numero ordinal;en particular, como el conjunto de todos los or-dinales es bien ordenado, entonces debe tener unordinal, digamos σ, pero el conjunto formado portodos los ordinales agregandole σ, tiene ordinalσ + 1, que es mayor que σ, por lo tanto no puedeser el numero ordinal del conjunto de todos los or-dinales ya que σ y σ + 1, no cumplen la ley detricotomıa.

La paradoja del AbueloLa paradoja del abuelo es una paradoja fısica muyutilizada en la ciencia ficcion, ya que tiene subase en los viajes en el tiempo. Es muy conoci-da y se ha utilizado en muchas obras, como porejemplo Terminator, Volver al futuro o Futurama.Suponiendo el caso de que una persona pudieraviajar hacia atras en el tiempo, retrocediera variosanos y matase a su abuelo antes de que tuviera des-cendencia (concretamente al padre del viajero deltiempo), este no habrıa nacido ni hubiera tenidohijos, por lo cual el viajero del tiempo tampoconacerıa ni le serıa posible viajar en el tiempo paramatar a su abuelo. Es curioso como se han idea-do ciertas soluciones a esta paradoja para hacerposible el suceso, como la existencia de universos

23

Armando Romero Morales

paralelos, lıneas temporales alternativas, etcetera.Las paradojas siguientes puede entenderse una

como variante de la otra, y ambas son variantes dela conocida paradoja del mentiroso. En ambos ca-sos, si la aseveracion es falsa, ha de ser verdadera.Pero, si es verdadera, es falsa. Ası que, cualquieraque sea la hipotesis de la veracidad estamos en unconflicto.

Paradoja de Platon y SocratesPlaton: La proxima declaracion de Socratessera falsa. Socrates: ¡Platon ha dicho la verdad!

Paradoja de EpimenidesEpimenides: ¡Todos los cretenses son mentirosos!Sabemos que Epimenides es cretense. ¿DecıaEpimenides la verdad?

Paradoja del QuijoteSancho Panza se convierte en gobernador de laInsula Barataria, en donde por ley, toda personaque llega a esta Insula, debe explicar el motivo desu viaje. Si la persona dice la verdad, es puestaen libertad; si la persona miente, debera ser colga-da. Una persona llega a Barataria y afirma: “Estoyaquı para que me cuelguen”. ¿Sera o no colgadaesta persona?

No se puede tomar una decision, ya que si lafrase es falsa, entonces debe ser colgado, lo cualimplica que la frase es cierta. Por otra parte, si lafrase es cierta entonces debera ser colgado, peroesto solo sucede si la frase es falsa, lo cual es unacontradiccion.

Paradoja de ProtagorasUn estudiante, Euatlo, querıa asistir a las leccionesde retorica de Protagoras en orden a poder ejercerde abogado pero, desgraciadamente, no disponıade recursos economicos. Protagoras hablo con el yobservo que era un chico muy listo. Lo acepto ensus clases estableciendo la condicion de que cuan-do ganara su primer pleito, le pagarıa todos loshonorarios. El estudiante, encantado, estuvo total-

mente de acuerdo con ello.El espabilado Euatlo asistio a las lecciones de

Protagoras hasta acabar su formacion; despues,decidio no dedicarse a la abogacıa y, consecuente-mente, no pagarıa. Protagoras reclamo los hono-rarios, pero el estudiante no se veıa en la obli-gacion de pagar: aun no habıa ganado su primercaso. Frente a la amenaza de un pleito judicial,el brillante Euatlo, que el mismo querıa hacersecargo de la defensa, argumentaba:

-Si vamos a juicio, Protagoras, y yo gano, poreste mandamiento judicial, no te tendre que pa-gar; si pierdo, dado que aun no habre ganado miprimer pleito, y esta era nuestra condicion, tam-poco tendre que pagar. Ası, pues, Protagoras, note conviene ir a juicio: seguro que lo perderas.-Pero Protagoras, experto en ver las dos caras de to-do, argumentaba: -Si vamos a juicio, Euatlo, y yogano, por este mandamiento judicial, me habras depagar; si pierdo, tu habras ganado tu primer pleitoy por razon de nuestro antiguo pacto, me habras depagar.-

3. APLICACIONActualmente la ensenanza de las Matematicas

propone cambiar la idea de que el profesor esun recurso humano que transmite un conocimien-to cultural unico y preestablecido. Para que elprofesor se sienta participe de este cambio tieneel mismo que afrontar un cambio de actitud enrelacion al conocimiento matematico y en relaciona la ensenanza. En este escrito proponemos el usode paradojas matematicas para provocar conflictoscognitivos en el sujeto con el objetivo de que seinterese en revisar de manera crıtica su paradigmade ensenaza y adoptar nuevas soluciones

El proceder fundamental en el quehacer mate-matico, para algunos autores es: la resolucionde problemas. Es por ello que se analiza laproblematizacion del contenido, un instrumentoimprescindible en este proceso de inmersion en

24

Paradojas

el ambiente matematico. Concebimos la proble-matizacion del contenido en un sentido amplio,pretendemos que la presentacion de las diversaspartes del curso se realice, en la medida de loposible, en la busqueda de la respuesta a algunproblema adecuado a los objetivos, cuando seanecesario disenar por el docente con un objetivoespecıfico. De esta forma, no solo se explotan lasbondades del metodo heurıstico, sino tambien seamplıa la cultura matematica y la comprension delos mecanismos de progreso de la ciencia, en re-sumen, se procura contribuir de modo mas efectivoal desarrollo integral de los alumnos.

Para lograr este objetivo podemos aplicar elenfoque deductivo ya que, durante las ultimasdecadas se han encontrado nuevos caminos inex-plorados en la educacion matematica, uno de talescaminos es el uso de las paradojas que aparecen enel desarrollo de cualquier teorıa matematica.

Nos adheriremos al principio elemental de queuna nueva cuestion de estudio debe presentarseformalmente al educando solo cuando este se en-cuentre suficientemente motivado, cuando hayapercibido la necesidad de esta introduccion y paraaproximarnos a este nivel de motivacion tambienutilizaremos la historia de la Matematica comoconsejera. Pero entre estas situaciones proble-maticas destacan aquellas que se han convertidoen espinosas paradojas y controversias, algunas delas cuales se resistieron durante largos anos a sersometidas.

4. CONCLUSIONESEn el ambito formal, estamos de acuerdo en que

las paradojas crean un ambiente efectivo para lareflexion, estimulan el examen apasionado de lashipotesis, promueven la actitud de toda persona in-teresada en su formacion matematica y de manera

informal ayudan a adentrarse al fantastico mundodel razonamiento.

REFERENCIAS[1]Castro Chadid, I., Perez, J. H. (2003). Las

Paradojas en Matematicas. Universitas Scien-tiarum, 8, 25-37.

[2]Chaitin, G. J. (2003). Ordenadores, paradojas yfundamentos de las matematicas. Investigacion yciencia, 29.

[3]Valdes Castro, C. (2011). Paradojas en la prob-lematizacion del calculo. XIII Conferencia Inter-americana de Educacion Matematica.

[4]Martınez, P. F. (1999). Paradojas matematicaspara la formacion de profesores.

[5]Angel Rodrıguez Kahut (2003). Las paradojasde la vida. Revista de divulgacion cientıfica ytecnologica, Universidad Veracruzana. 16-2

MC. Armando Romero Morales

Egresado de la FCFM-BUAP. Actualmente se encuen-

tra inscrito en el programa de doctorado en la misma

facultad. Areas de interes. Topologıa General y Teorıa

de Conjuntos.

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Estudiantil

Ano 01 Num. 02Primavera de 2015

Paginas 26–31

Crecimiento epitaxial en el desarrollo de dispositivoselectronicosErick Gastellou Hernandez, Ana Marıa Herrera CastilloCentro de Investigaciones en Dispositivos Semiconductores ICUAP (CIDS-ICUAP)C.U. 14 sur y Av. San Claudio,Col. San Manuel, Puebla, Pue.C.P. 72570 MEXICO

RESUMENActualmente, los dispositivos semiconductores

juegan un papel transcedental, mejorando la cal-idad de vida y nuestra productividad. En losultimos anos, el microprocesador no ha deja-do de evolucionar, segun la Ley de Moore [1],el blue laser (blu-ray) pronto invadira los hoga-res mostrandonos la alta definicion. Ante estosacontecimientos poca gente se imagina lo quehay detras de estos dispositivos semiconductores,los diferentes metodos de crecimiento epitaxialcobran importancia segun su aplicacion.

1. INTRODUCCIONEl constante crecimiento y mejora de la tec-

nologıa sigue motivando a los investigadores enla busqueda de nuevos materiales semiconductoresque permitan las altas exigencias y complejidad delos circuitos integrados (CI) actuales, o bien deldesarrollo de heteroestructuras laser que emitan enel azul (rango de 455 a 492 nm), con aplicacionen el video digital [2] (figura 1). Los metodos deobtencion o crecimiento de estos nuevos materi-ales pueden ser mediante la epitaxia en fase vapor(VPE), la epitaxia por haz molecular (MBE) y epi-taxia desde fase lıquida (LPE). Cada metodo decrecimiento de pelıculas tiene su aplicacion segunel proposito de cada dispositivo.

Fig. 1. a) Oblea de silicio con componentes integrados, b)

Fotoemision del blue laser

2. DESARROLLOEn los ultimos anos, la investigacion en el de-

sarrollo de nuevos materiales semiconductores hacrecido notoriamente, con el objetivo de ampliarlas posibilidades que ofrecen estos. Sin embar-go, existen problemas fısicos que pueden impedirque la Ley de Moore se siga cumpliendo. Segunesta, cada dos anos el numero de transistores porcentımetro cuadrado en un circuito integrado seduplica, y si bien se trata de una ley empırica, seha podido constatar hasta ahora [2] (figura 2).

Uno de los principales problemas es la inha-bilidad del silicio para actuar como un materialcon aplicaciones en fotonica o bien la rupturadel SiO2 (dioxido de silicio) como aislante en laestructura MOS (Metal Oxido Semiconductor) de-bido a las altas capacidades de integracion. Otraproblematica a resolver es la fabricacion de hete-roestructuras laser sintonizadas para fotoemitir en

26 FCFM-IFUAP-CIDS

Crecimiento epitaxial

el rango de longitud de onda de 455 a 492 nm delespectro visible en el azul [3] (figura 3). Por toda laproblematica anterior, los metodos de deposiciono epitaxia cobran un valor increıble, al conver-tirse en la forma de obtencion de dichas estructurassemiconductoras.

Fig. 2. Comportamiento de la Ley de Moore

Fig. 3. Estructura laser semiconductora

El crecimiento epitaxial (del griego epi, so-bre, taxis, orden) consiste en la obtencion de unapelıcula de material solido que crece sobre unsustrato (solido monocristalino). Dicha pelıculapuede ser semiconductora (Si, Ge, GaAs, etc.),metalica (Cu, Ag, Au, etc.) o bien aislante (SiO2,MnO, etc.)[4]. El hecho de que sea una pelıculade tan solo micrometros o nanometros representa

una gran ventaja para su aplicacion en la fabri-cacion de dispositivos semiconductores. Ademas,los dispositivos basados en semiconductores com-puestos III-IV, con aplicaciones en optoelectronicason realizados generalmente por procesos epitax-iales, donde la pelıcula crece con la misma ori-entacion cristalina del sustrato y su composiciondetermina el ancho de banda prohibida, el ındicede refraccion y otros parametros importantes[5].

Los principales metodos utilizados para el cre-cimiento de pelıculas cristalinas de materialessemiconductores son: Epitaxia desde Fase Vapor(VPE siglas de Vapor Phase Epitaxial) Expitaxiadesde Fase Lıquida (LPE siglas de Liquid PhaseEpitaxy) Epitaxia por haz Molecular (MBE siglasde Molecular Beam Epitaxy) y el Deposito Quımi-co desde Fase Vapor utilizando Organo-Metali-cos (MOCVD siglas de Metal Organic ChemicalVapor Deposition)[6].

Actualmente LPE es un metodo sencillo y esmuy utilizado para la obtencion de semiconduc-tores compuestos III-V, ası como para realizar lasestructuras de dispositivos optoelectronicos [7]. Acontinuacion se presenta una breve descripcion delos metodos de epitaxia mas utilizados segun suaplicacion a dispositivos electronicos semiconduc-tores.

2.1. Epitaxia en Fase Vapor (VPE)

Esta tecnica consiste basicamente en el creci-miento de una pelıcula epitaxial a partir de compo-nentes en fase gaseosa, cuya composicion quımicaes diferente, es decir, los componentes gaseososreaccionan entre sı produciendo el material que sedeposita formando la pelıcula, o bien reaccionacon el sustrato para formar la pelıcula epitaxial.

Existen diferentes gases que se utilizan en pro-cesos de VPE, los cuales se clasifican segun suoperacion en precursores y portadores. Los pre-cursores contienen en sus moleculas los elementosque se han de incorporar a la pelıcula, mientras

27

E. Gastellou Hernandez y A. M. Herrera Castillo

los portadores como el Ar o el H2, tienen la doblemision de permitir el control efectivo del proceso yde facilitar el transporte del gas o mezcla de gasesprecursores hasta el sustrato.

Hay multiples clasificaciones de las tecnicas deVPE dependiendo la presion en el reactor: ultraalto vacıo (UHV-VPE), baja presion (LP-VPE) ypresion atmosferica normal (APVPE)[8]. La tabla1 muestra las principales ventajas y desventajas:

ventajas desventajas

- Se aplica a materiales que

se descomponen al fundir o

evaporarse (a la temperatura

de operacion).

- Hay tantas pelıculas posi-

bles como combinaciones de

la composicion de los gases.

- Se pueden utilizar sustratos

metalicos, aislantes y semi-

conductores.

- Son muchas las variables a

controlar.

- La atmosfera de reaccion

puede atacar al sustrato o a

la camara de reaccion, como

sucede con compuestos III-

V que contienen Al.

- Los aparatos son comple-

jos.

Tabla 1.- Ventajas y desventajas de VPE

Fig. 4. Oblea de silicio para memoria RAM, b) Sistema de

Epitaxia en Fase Vapor (Cortesıa Material Sciencie Laboratory

SungkyunkwN)

La epitaxia desde fase vapor es uno de los meto-dos de crecimiento de pelıculas mas utilizado enel desarrollo de materiales que puedan ampliar elcrecimiento de integracion de transistores, favore-ciendo la Ley de Moore, un ejemplo es el desarro-llo de oxinitruros, nitruros de silicio y oxidos desilicio rico en silicio (SRO)[9]. Estos materialesson variantes del SiO2, los cuales evitan la ruptura

del aislante permitiendo la alta integracion de tran-sistores. Por lo tanto, la VPE es uno de los metodosde crecimiento mas utilizados en microelectronica(figura 4).

2.2. Epitaxia desde fase lıquida (LPE)

Esencialmente la LPE implica el crecimientode capas monocristalinas sobre un sustrato porprecipitacion directa desde una solucion lıquidasaturada. La solucion esta compuesta por lo menosde dos elementos, uno de los cuales actua comosolvente y el otro como soluto. De esta formacuando la solucion saturada se desequilibra ligera-mente mediante la disminucion de la temperatura(∆T ) se sobresatura causando la precipitacion demateria compuesta sobre la superficie del sustrato[6].

En general, el metodo de LPE requiere de unhorno con camara al vacıo libre de fugas o en sucaso de una atmosfera reductora, que tenga unazona termica lo suficientemente plana para que lasolucion quede comprendida en ella; es necesariotener tambien un buen control en la velocidad deenfriamiento y considerar que el material a crecertenga un punto de fusion menor al del sustrato.

En la epitaxia desde LPE existen diferentestecnicas de crecimiento, cuyas diferencias se venreflejadas en el tipo de pelıcula obtenida, tantoen su espesor como en su morfologıa superficial[4]. Estas tecnicas se dividen en: enfriamiento enequilibrio (Equilibrium cooling), enfriamiento porescalon (Step cooling), superenfriamiento (Supercooling) y el enfriamiento de la solucion en dosfases (Two phase solution cooling) (figura 5).

Los aparatos para crecimiento en LPE sonbasicamente de tres tipos [10]: el de ladeo (tip-ping), el vertical (dipping) y el deslizante (sliding).Todos ellos usan un horno como calefactor, al cualse le puede controlar su temperatura de operacion,la diferencia entre ellos es el accesorio que se in-troduce en el horno y en el cual tiene lugar el

28

Crecimiento epitaxial

crecimiento.

Fig. 5. Dibujo esquematico de las tecnicas de crecimiento de

epitaxia desde Fase Lıquida: (a) Enfriamiento en equilibrio, (b)

Enfriamiento por escalon, (c) superenfriamiento

A este accesorio para el crecimiento se le de-nomina bote. El bote deslizante (sliding), fuedesarrollado por Nelson [10] en 1971. El hornoy el reactor tienen una forma horizontal, el reac-tor se encuentra fijo en sus dos extremos, mientrasque el calefactor descansa sobre unos rieles, parapoder mover horizontalmente y facilitar el calen-tamiento o enfriamiento del bote (ver figura 6). Elbote puede contener multiples soluciones, lo quepermite depositar secuencialmente varias capas dediferente material sobre un sustrato durante un so-lo proceso, el material mas comun para este tipode bote es el grafito.

ventajas desventajas

- El uso del bote en el sis-

tema de LPE proporciona la

capacidad de obtener multi-

capas en un solo proceso.

- Es el metodo mas eficaz

para el desarrollo de disposi-

tivos de hetereroestructura.

- Es un metodo capaz de

obtener capas en el orden de

micras (µm) y nanometros.

- El sistema de crecimien-

toes complejo debido a sus

modelos matematicos.

- La razon de crecimiento de

las capas es difıcil de contro-

lar.

- Se precisa contar con un

buen control de temperatura.

Tabla 2.- Ventajas y desventajas de LPE

Las principales aplicaciones de LPE se centran

en la obtencion de dispositivos semiconductoresoptoelectronicos como por ejemplo diodos laser,fotodiodos de avalancha o ADP, laser de hete-roestructura, repetidores de senal y todos aque-llos dispositivos que presenten estructura multica-pa. La tabla 2 muestra las principales ventajas ydesventajas de la LPE.

Fig. 6. a) Sistema de epitaxia desde Fase Lıquida disenado y

construido en el CIDS-ICUAP. b) Vista del bote deslizante

(sliding) y su manipulador en su soporte de cuarzo. (cortesıa

BUAP) [5]

2.3. Epitaxia por haz molecular (MBE)

La epitaxia por haces moleculares es el proce-so tecnologico mas importante en el desarrollo decapas ultradelgadas (nanometricas) sobre sustratosmonocristalinos con precision geometrica y com-posicion quımica, realmente importantes entre losdiferentes metodos de deposicion. Se puede de-cir que MBE es el sueno de todo disenador dedispositivos semiconductores electronicos.

En el metodo de MBE se tiene una regulacionmuy cuidadosa de la coevaporacion de los cons-tituyentes en condiciones de ultravacıo (UHV,10−10 torr)[4]. Esto implica tener un control bas-tante preciso de la composicion quımica, perfec-cion cristalina y niveles de dopamiento, medianteun haz de atomos o de iones finamente enfocados

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E. Gastellou Hernandez y A. M. Herrera Castillo

(ver figura 7).

Fig. 7. a) Esquema del sistema de crecimeinto por MBE donde se

muestran los diferentes haces dopantes. b) Esquema que visualiza

la perfeccion cristalina y dopamiento perfecto de la deposicion por

MBE.

El MBE es uno de los metodos mas importantesen la actualidad debido a la creciente demanda dela nanotecnologıa, por lo tanto una de las prin-cipales aplicaciones del MBE es el desarrollo dedispositivos MEM’s, o bien la obtencion de dis-positivos en microelectronica de alta calidad ypureza. La tabla 3 presenta las ventajas y desven-tajas del sistema de epitaxia por haz molecular. Lafigura 8 muestraa un sistema de epitaxia por hazmolecular y un dispositivo sensor de gas MEM’s.

ventajas desventajas

- Uniformidad de las capas

obtenidas.

- Uniones abruptas.

- Alta pureza y monitoriza-

cion en sitio del crecimiento.

- Lentitud en la produccion

de dispositivos.

- Costo economico alto.

- Dificultad en el creci-

miento de As (Arsenico) / S

(Azufre) / P (Fosforo).

Tabla 3.- Ventajas y desventajas de MBE

Fig. 8. a) Sistema MBE (Universidad Delaware USA). b) Sensor

de gas MEM’s obtenido por el grupo E-Nose por MBE.

3. CONCLUSIONESEn la actualidad, la tecnologıa electronica jue-

ga un papel esencial en la vida diaria. El hombrese ha acostumbrado a las multiples comodidadesy beneficios que ofrecen la microelectronica, lacomputacion, la optoelectronica y la nanotec-nologıa. Sin embargo, tambien ha generado rapi-damente una barrera invisible que nos deja asom-brados y maravillados de los multiples fenomenosque existen detras de nuestros telefonos celulares,televisores LCD, reproductores Blu-Ray, Ipod’s,comunicaciones satelitales, etcetera.

Este artıculo nos ha presentado los metodos decrecimiento epitaxial que la ciencia ha utilizado,seguira utilizando y mejorando para continuar eldesarrollo evolutivo del hombre a traves de la tec-nologıa. Los metodos de crecimiento epitaxial hansido base del desarrollo de esta tecnologıa y siguentomando lugar en los avances de la misma. Losmetodos de VPE, LPE y MBE han sido las he-rramientas que avalan esa evolucion en el desarro-llo de dispositivos semiconductores electronicos yque seguiran generando una mejor calidad de vidapara las futuras generaciones.

REFERENCIAS[1]Wikipedia, Ley de Moore [con-

sulta: 30/04/2008] disponible enhttp://es.wikipedia.org/wiki/ley de moore

[2]Nakaruma Shuji and Gerthard Fasol. (1997)The Blue Laser Diode. Germany. Springer

[3]Sze S. M (1985) Semiconductor devices;Physics and technology. (second edition) USA.Wiley. pg252.

[4]R. H. de Gual Graciela.(1980) Crecimiento epi-taxial de semiconductores. vol. 1, No. 6, Mexico,BUAP. (233)

[5]Gastellou H. Erick. (2000) Crecimiento y car-acterizacion de pelıculas cuaternarias de Al-GaAsSb sobre GaSb por LPE a bajas temperat-

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Crecimiento epitaxial

uras. Mexico BUAP (31).[6]Martınez J Javier. (1998) Realizacion de un

laser de GaAs/AlGaAs por el metodo de LPE.Mexico. BUAP. 1992 (3)

[7]Chandvankar S. S. et al (1998). Journal CrystalGrow. Vol 186, . (329).

[8]El Felk Zakia. (2000) Estudio morfologico y es-tructural del crecimiento epitaxial de capas de Siy Si1−Y CY , Espana, UAB. (13)

[9]Luna Lopez Jose Alberto. (2007) Investigacionde las caracterısticas estructurales opticas yelectricas del SRO para su posible aplicacion adispositivos. Mexico. INAOE. (3)

[10]Nelson H. ( 1974) Jolurnal of Cristal Grow.Vol 27. (1)

M. C. Erick Gastellou HernandezRealizo la Licenciatura en Electronica, la Maestrıa en Dispositi-vos Semiconductores. CIDS-ICUAP, en la BUAP. Actualmentees estudiante de doctorado en dispositivos semiconductoresCIDS-ICUAP.M. C. Ana Marıa Herrera CastilloRealizo estudios de Ingenierıa en Tecnologıas de la Informa-cion y Comunicacion en la UTP, y la Mestrıa en DispositivosSemiconductores CIDS-ICUAP en la BUAP.

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Habla de...

Ano. 01 Num. 02Primavera de 2015

Paginas 32–33

2015: El Ano Internacional de la Luz y las Tecnologıasbasadas en la LuzLeticia Trevino Yarce1, Claudia Antonio Hernandez2

Centro de Investigacion en Dispositivos Semiconductores ICUAPBenemerita Universidad Autonoma de PueblaC.U. 14 Sur y Avenida San Claudio.Colonia San Manuel, Puebla, Pue.C.P. 72570 MEXICO1lty tyta@yahoo.com.mx2kalid 177@hotmail.com

RESUMENDe acuerdo al patrocinio de 35 paıses, entre los

cuales se encuentra Mexico, la Asamblea Gene-ral de las Naciones Unidas en su LXVIII sesion,proclamaron el presente ano como el Ano Inter-nacional de la Luz y las Tecnologıas Basadas en laLuz [1].

Estas tecnologıas se han desarrollado a partirde los estudios de Fresnel (1815), quien expuso elcaracter ondulatorio. Maxwell (1865) resumio lasecuaciones de la electricidad y magnetismo en4 expresiones que describen a la luz como unfenomeno ondulatorio. Einstein en 1915 desarro-llo la Teorıa de la Relatividad General, la cualconfirmo el papel central de luz en el espacio,entre otros.

1. INTRODUCCIONSe llama luz (del latın lux, lucis), a la parte de la

radiacion electromagnetica que puede ser percibi-da por el ojo humano. En fısica el termino esmas amplio ya que incluye todo el espectro elec-tromagnetico (desde ondas de radio hasta rayosgamma), mientras que la luz visible senala es-pecıficamente la radiacion en el espectro visible

(desde el color violeta al rojo). Figura 1.

Figura 1. Espectro electromagnetico [2]

2. TECNOLOGIAS BASADAS EN LA LUZLas tecnologıas de la luz no solo involucran el

uso que hacemos de ella para la vida cotidiana,como por ejemplo, la que usamos para iluminarnuestros hogares, la luz que se usa para alimentardiversos procesos biologicos como la fotosınte-sis que es indispensable para la vida terrestre. Laluz es el principal sustento de la vida diaria y sehan desarrollado varias aplicaciones en diferen-tes ramas de la investigacion como: la medicina,industria farmaceutica, la bioquımica, biologıa,ciencia de materiales, optica, etc.

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El Ano Internacional de la Luz

Dentro de las aplicaciones se encuentra el de-sarrollo del diodo emisor de luz o comunmenteconocido como LED, estos, se pueden encontraren diferentes colores como el rojo, verde, amarilloy recientemente el azul, los cuales estan fabrica-dos de diferentes tipos de materiales por ejem-plo el arsenuro de galio (GaAs), nitruro de galio(GaN), etc. Sus usos son diversos: en iluminaciondel hogar, aparatos electronicos, paneles publici-tarios, semaforos, iluminacion exterior; parques,edificios, entre otros. Figura 2.

Figura 2. LED Azul [4].

Otra de las aplicaciones ha sido la del laser,que comunmente se utiliza en la medicina, dichoslaseres son un tipo de LEDs con una longitud deonda especifica (λ) y un color, estan centradosen un valor especıfico dentro del espectro electro-magnetico, es por ello que tienen una alta energıacomo para cauterizar la piel e incluso cortarla.

Es tanta la relevancia que ha tenido la luz en eldesarrollo cientıfico y tecnologico que mas de unavez se ha otorgado el premio Nobel de Fısica portrabajos relacionados con ella, algunos de estosson:

Albert Einstein (1921) por el efecto fotoelectri-co. Chandrasekhara Venkata Ramman (1930) porsu trabajo de la dispersion de la luz y por eldescubrimiento del efecto que lleva su nombre.Charles K. Kao (2009) por sus logros pionerossobre la transmision de la luz a traves de fibraspara comunicacion optica. Isamu Akasaki, Hiroshi

Amano y Shuji Nakamura (2014) Por la invencionde eficientes diodos de emision de luz azules.[5]

3. CONCLUSIONComo podemos observar, la luz es fundamental

para el desarrollo humano, se han estudiado variasteorıas del comportamiento fısico de esta y gra-cias a ello hoy en dıa gozamos de tecnologıas quehacen mas comoda la vida.

REFERENCIAS[1]http://www.light2015.org/Home/About.html[2]Javier Luque Ordonez, Autores cientıficos

Tecnicos y academicos.[3]http://www.hydroenv.com.mx/catalogo/index.

php? main page=page& id=221[4]https://blogligacaohomecenter.wordpress.com/

2014/10/08/ o-led-azul-virou-noticia/[5]The Nobel Prize in Physics 1921. Nobel Fo

mundation. Consultado el 31 de octubre de 2010.

M. C. Leticia Trevino YarceRealizo sus estudios de Licenciatura en Fısica en la

FCFM-BUAP y de Maestrıa en el IFUAP. Actualmente

esta estudiando el Doctorado en el CIDS-ICUAP.

M. C. Claudia Antonio HernandezRealizo sus estudios de Ingenierıa en Electronica en el

Instituto Tecnologico de Orizaba, de Maestrıa en CIDS-

ICUAP y actualmente esta estudiando el Doctorado en

el CIDS-ICUAP.

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Estudiantil

Ano 01 Num. 02Primavera de 2015

Paginas 34–39

10 tipos de numerosJonathan Julian Huerta y MuniveFacultad de Ciencias Fısico-MatematicasBenemerita Universidad Autonoma de PueblaC.U. Avenida San Claudio y 18 Sur,Colonia San Manuel, Puebla, Pue.C.P. 72570 MEXICOjjhym@hotmail.com

RESUMENSe realiza una lista no exhaustiva de diversos

objetos matematicos comunmente denominados“numeros” y se analizan sus construcciones, lasrazones que motivaron su estudio y algunas apli-caciones de los mismos.

1. INTRODUCCIONPiensa en un numero. ¿Que clase de numero es?

¿Pensaste en el uno? ¿En el dos?. . . ¿En el cien?Entonces pensaste en un numero natural (enteropositivo). Quiza pensaste en el cero o incluso enuno de los anteriores pero negativo, en ese casopensaste en un entero. Pero tal vez pensaste enalguna fraccion porque, como todos bien saben,las fracciones son numeros racionales (¡sı, todoslo saben!).

Algunos otros mas fanaticos de las matematicashabran pensado en cosas como π o e que son lla-mados ironicamente “reales” y, los que en serioestan emocionados con los numeros habran pensa-do en i =

√−1, que es un complejo. A pesar de

que estos son los mas populares, los matematicosno han parado de inventar numeros, existen tam-bien los ordinales, los cardinales, los hiperreales ymuchos otros mas.

A continuacion estudiaremos diez clases denumeros, tambien analizaremos como “construir-las”, algunas preguntas que motivaron su estudio ylos usos que se le da a cada una.

2. LAS DISTINTAS CLASES DENUMEROS

Uno podrıa pensar que para hacer una lista denumeros es necesario saber que es un numero.Lamentablemente, muchas cosas que hoy lla-mamos ası, como los complejos, no tienen lasmismas caracterısticas que lo que inicialmente sellamaba numero y que, por convencion, podrıamosentender como un objeto matematico que se usapara enlistar, contar, medir y/o etiquetar.

Por dicha razon, lo que a continuacion descri-biremos es una lista de objetos matematicos queusualmente llevan la palabra “numero” antes desu nombre y empezaremos desde los mas basicos,avanzando por nivel de complejidad hasta llegara lo mas descabellado que hayan inventado losmatematicos:

Los numeros naturales [4], N, o enteros positi-vos son, para los matematicos, “el conjunto induc-tivo mas pequeno salvo biyeccion.” En terminossimples, esto significa que podemos llamar natu-rales a todos los objetos matematicos que cumplenlas siguientes dos caracterısticas: (i) uno de elloses inicial o “mas pequeno que todos los demas”(normalmente representado por “1”) y (ii) el restose genera a partir del inicial por medio de una fun-cion sucesor que nos da el “siguiente” numero.Se llaman naturales porque son precisamente losprimeros que “descubrimos” y tambien los masfaciles de imaginar: 1, 2, 3, . . ..

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10 tipos de numeros

Es muy probable que los utilices o veas diaria-mente pues estan en numeros de telefono, cuandohaces listas, al contar cosas, en tu matrıcula (de es-tudiante, trabajador, profesor o reo), en las fechas,en el numero de calle o kilometro de carretera y enmuchos otros lugares o situaciones.

Fıjate que si agregamos el cero, 0, al inicio de1, 2, 3, . . . , se siguen cumpliendo las propiedades(i) y (ii), es por dicha razon que los objetos dela lista 0, 1, 2, 3, . . . tambien suelen ser llamados“naturales”. No obstante, el cero no aparecio tan“naturalmente” como los otros numeros y poreso en ingles esta lista tiene un nombre especial“whole numbers”, mientras que en espanol lo masapropiado serıa llamarlos enteros no negativos: ω.

Hay una razon mas para distinguir esta nuevalista de la original y es que cuando sumamos elcero a cualquier otro numero, el resultado es esemismo numero, mientras que cuando sumamos eluno a los demas numeros, el resultado es “el sigu-iente” numero. Esta propiedad importante del ceroes uno de los axiomas que el matematico italiano,Giuseppe Peano, utilizo para caracterizar a ω y poreso se puede definir a este conjunto de numeros co-mo el modelo estandar de los axiomas de Peano.

En combinacion las propiedades (i) y (ii) per-miten definir funciones llamadas “recursivas” queson las que utilizamos diariamente al trabajar concomputadoras. Ası es, todo lo que hace una com-putadora es consecuencia de que sepamos trabajartan bien con el conjunto ω: editores de texto,presentaciones, hojas de calculo, procesamientode imagenes, edicion de video, reproduccion demusica, todos ellos son ejemplos de una com-putadora calculando funciones anidadas recursivasmuy rapidamente.

Igualmente a como agregamos el cero, po-drıamos agregar al −1 que cumple la propiedadde que −1 + 1 = 0 y aun ası el conjuntoseguirıa siendo inductivo; pero ocurre un proble-ma: cuando intentamos multiplicar, por ejemplo,

−1 × 2, su resultado ya no esta dentro de la lista−1, 0, 1, 2, 3, . . . y lo mismo pasa cuando intenta-mos sumar −1 +−1.

Esa propiedad de que “al operarse los numerosse quedaban dentro de la lista” se satisfacıa paratodos los numeros en N y ω pero por alguna razonal agregar a −1, ya no. Para arreglarlo, podrıamostratar de anadir al −2 pero facilmente puedes verque tendrıamos el mismo problema, y lo mis-mo ocurrirıa si lo intentamos con −3,−4,−5 . . ..No obstante, agregando todos estos a la vez, ob-tenemos algo distinto, algo que los matematicosllaman el anillo infinito mas pequeno salvo iso-morfismo, mas popularmente conocido como losenteros Z, [2]. Podemos seguir haciendo induc-cion con este conjunto porque tiene “inyectados”dentro de sı a ω y/o a N pero ganamos ademas lapropiedad de que cada numero a tiene un inverso−a tal que a+−a = −a+ a = 0; esto, aunado alhecho de que al operar enteros con multiplicaciony suma el resultado se queda dentro de los enteros,es lo que caracteriza a las conjuntos llamados gen-eralmente anillos1.

Bueno y ¿para que nos sirve este “anillo infinito”o los anillos en general? La primera pregunta esfacil, el anillo de los enteros es el objeto de estudiode la Teorıa de Numeros la cual, como segura-mente sabras, tiene aplicaciones en criptografıa.Por otra parte, el estudio de algunos anillos y lasmatrices que inducen son de utilidad para la teorıade codigos, que permite el procesamiento ade-cuado de senales, entre las cuales se encuentransenales de audio y video. En otras palabras, si es-cuchas musica con tus audıfonos en un dispositivomovil, conoces una de las aplicaciones de los anil-los.

Ahora, si nos seguimos fijando en las propiedadesdeseables para los numeros que vamos construyen-do, nos damos cuenta de que no solo queremos

1 En realidad tambien falta mencionar las propiedades deque: “tanto + como × son asociativas en Z”, “+ es conmu-tativa en Z” y “existe el 0 en Z que sumado con otro enteroda como resultado dicho entero”.

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Jonathan J. Huerta y Munive

tener “negativos” que neutralicen a los positivos,sino tambien queremos hacer divisiones no exac-tas, usar fracciones y tener decimales que noshablen de las partes de un todo, o sea, “partir losenteros”. Esto quiere decir que debemos seguiragregando cosas a nuestro ya, anillo infinito. Igualque con la construccion de los enteros agregamospor cada entero (distinto de 0), a, otro numero, 1

a ,y ya con eso tenemos algo llamado campo; perono cualquier campo, sino el campo arquetıpicode caracterıstica cero, mejor conocido como losracionales2 Q, [4].

No es necesario pensar mucho para encontraraplicaciones de los racionales, piensa en dineroy veras que varios productos presentan un pre-cio como $35.65, o que personas tienen deudasfacilmente expresables como racionales negativos.Las medidas de magnitudes fısicas como longi-tud, voltaje, amperaje, presion atmosferica y otrasson siempre expresadas en terminos de enteros condecimales, en otras palabras, racionales.

Al parecer los racionales son los mejoresnumeros que hemos descubierto, pero tienen unagran deficiencia y para verla estudia la siguientesituacion: Imagina una lınea y divıdela en dos.Ahı podemos facilmente asignarle a un extremo el0, a la mitad el 1

2 y al otro extremo el 1. Parteahora la lınea en tres o en cuatro, o en cien,o cualquier natural y puedes “ver” que podemosseguir asignando racionales a esos puntos; sin em-bargo, nunca tapamos toda la lınea con puntos, i.e.,siempre faltan puntos por rellenar.

Claro que esto solo pasa en nuestra mente, en lavida real si cortamos un hilo suficientes veces lle-garemos a los atomos y despues a los neutrones,protones y electrones, y finalmente a los quarks,leptones, muones y un monton de partıculas indi-visibles. No obstante esto, pensar en esa lınea sin

2 Para el lector “avanzado” e interesado: la construccionformal de los racionales consiste en obtener las clases deequivalencia del conjunto cociente Z× (Z \ 0)/ ∼ donde〈m1, n1〉 ∼ 〈m2, n2〉 (m1

n1= m2

n2) si y solo si m1 ·n2−m2 ·

n1 = 0

rellenar ha sido de utilidad para la fısica, la inge-nierıa y la economıa.

La manera facil de entender esto es darse cuen-ta, como los antiguos griegos, que si tienes untriangulo rectangulo de catetos de longitud 1, en-tonces, por el Teorema de Pitagoras, la longitudde la hipotenusa se aproxima calculando la raızcuadrada de 2. Si calculas esto a mano, o lo metesa una calculadora, computadora o supercomputa-dora podras observar que puedes seguir agregandoy agregando decimales eternamente pero estos noparecen tener un patron fijo, a diferencia de dividir52 que da 2.5 y ahı termina, o 1

3 cuyos decimalesson unicamente 3 repitiendose hasta la eternidad.

No obstante, para expresar “exactamente” esteresultado los fısicos, ingenieros y economistastienen la necesidad de escribir

√2 para economi-

zar espacio (y algunas otras facilidades de calculoque otorgan estas conceptualizaciones). A estosnumeros que jamas podremos escribir completa-mente y solo los podemos “vislumbrar” por mediode calcular y calcular mas decimales sin patron fi-jo, o “imaginandolos” como rellenos de los huecosocasionados al partir una lınea se llaman irra-cionales I, los cuales, junto con Q forman a losreales 3 R, [4].

De esta manera, podemos pensar en R como la“completacion” de Q, ademas, como dados dosreales cualesquiera podemos decir quien es masgrande y quien es mas chico se dice, matematica-mente hablando, que los reales son el unico campototalmente ordenado, completo y arquimedianosalvo isomorfismos.

¿Pero por que rayos se llaman reales si la mayo-rıa de ellos jamas los podremos escribir en papelcomo entero con expansion decimal? La razon es

3 El lector interesado puede buscar informacion sobre lossiguientes subconjuntos de los “reales”: los numeros com-putables, i.e., aquellos cuyos dıgitos pueden ser computadospor un algoritmo y los numeros definibles, o sea, los quepueden ser definidos con una sola formula de 1er orden conuna variable libre en el lenguaje de la Teorıa de Conjuntos.

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10 tipos de numeros

sencilla, todo lo que sigue a continuacion es masy mas imaginario que lo que hemos visto has-ta ahora. Por ejemplo, ya resolvimos como sacarraıces cuadradas de numeros racionales positivospero ¿alguna vez pensaste en como sacar la de unonegativo? En otras palabras y un poco mas concre-to que “numero” multiplicado por sı mismo nos dacomo resultado −1? Pues un numero imaginarioporque en nuestra cabeza no entra esa posibilidad,y para denotarlo, usamos la letra i. De aquı ya esfacil calcular las demas raıces de reales negativosno? Por ejemplo

√−2 es nada mas

√−1 · 2, que

se puede “partir” en√−1 ·

√2 que realmente es

i ·√2.

En general, los “numeros” z que hemos cons-truido tienen la forma z = a + ib donde a y bson reales e i es la raız cuadrada de −1 y sonllamados complejos4 C, [2]. Ası, no es apropi-ado llamar “completacion” de R a C, mas bienes una extension, y como los reales son un cam-po, los complejos para los matematicos son unaextension bidimensional de campo cerrado de losreales donde toda ecuacion polinomial tiene unaraız. ¿Que que? De acuerdo, no mas definicionesde matematicos para lo que sigue, en fin, muchaspersonas llamaban a los elementos de C numerosimaginarios precisamente porque no se los podıanimaginar, y la unica ventaja que tenıan, es que fa-cilitaban los calculos con reales o enteros. Decir“unica” es demeritar la importancia de los com-plejos, sus aplicaciones llegan hasta ingenierıa yelectronica al grado en que cada vez que usas al-go con un circuito dentro puedes estar casi segurode que los complejos participaron en los calculospara disenarlo.

¿Si antes las personas no se podıan imaginar

4 Para los amantes de la formalidad, C es el anillo cocienteR[x]/(x2 +1) entre el anillo de polinomios con coeficientesreales R[x] y el ideal bilatero de multiplos del polinomiox2 + 1. Tambien pueden ser vistos como la union de aquel-los entes que se pueden expresar como raıces de polinomiosfinitos no cero, es decir, los numeros algebraicos A, juntocon aquellos que no pueden ser expresados de dicha forma,i.e., los numeros trascendentales.

a los complejos, ahora ya pueden? Podrıas de-cir que sı. Lo que se ha hecho es ver a R comola lınea que mencionamos arriba y entender a Ccomo un plano, donde la primera dimension lamarcan los numeros “reales” a + i · 0 y la se-gunda la marcan los “imaginarios” 0 + i · b. Deeste modo se vale preguntar si se pueden exten-der a tres dimensiones. La respuesta es complicadapues tendrıamos que hablar mucho de la teorıa delas extensiones de campo donde podemos incluirotra variedad de “numeros” como los hipercom-plejos que incluyen, entre otros, a los bicomplejos,multicomplejos, cuaterniones H, cocuaterniones,bicuaterniones, tesarines y octoniones O. Ademas,extender el campo Q de una manera especialnos da los “numeros” p-adicos Qp y en gene-ral cualquier campo F puede ser extendido de talforma que haya un “numero” en el campo quemultiplicado por sı mismo de el −1 del campo.Meternos en estos temas nos desviara mucho, porlo que regresaremos a ω.

¿Para que volver al incompleto ω cuando yatenıamos a C? Bueno, hay otra forma de exten-der a ω que no analizamos. Piensa en 1 como unalista que solo tiene una cosa: el 0. Analogamente,2 es una lista que tiene dos cosas: 0 y 1. En gene-ral podemos ver a todos los numeros n + 1 comolistas 0, 1, 2, . . . , n. Con esta forma de “visualizar”podemos concluir entonces que el mismo ω es un“numero”, que representa la lista 0, 1, 2, . . . ; nosolo eso, la lista 0, 1, 2, . . . , ω es el “numero” ω+1y, mas aun, 0, 1, 2, . . . , ω, ω + 1, . . . , ω + n, . . . esel numero 2ω = ω + ω.

Con esta misma idea obtenemos 3ω, ω · ω = ω2,ω3, ωω y un infinito de infinitos numeros mas. Alprincipio estos numeros parecen representar listas,pero continuando este proceso mas y mas llegaun punto en que ya no podemos “enlistar” y solopodemos “ordenar” las cosas, precisamente poresta propiedad de ser “el arma perfecta” para or-denar, estos objetos se llaman numeros ordinalesON [4] y la coleccion de todos ellos es tan grandeque hablar de ella descuidadamente “rompe” lasmatematicas.

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Estas cosas extranamente infinitas parecen noser de ninguna utilidad, pero los matematicos hanencontrado objetos (abstractos) que se “miden”con estos numeros. Un ejemplo de esto son al-gunos sistemas formales, que son la nocion basepara todo lenguaje de programacion y que tam-bien podemos pensar como unas “matematicas enchiquito”: si requerimos saber “que tantas cosasdemuestra” nuestro sistema formal, una forma demedirlo es utilizar a los ordinales.

Los ordinales tienen ademas una propiedad muyutil para los matematicos: ayudan a medir eltamano de cualquier conjunto y para ello no re-quieres a todos los ordinales sino nada mas a unoscuantos infinitos de infinitos. Por ejemplo, es vali-do preguntarse por el tamano de ω, ω + ω y ω · ωy aunque parezca que estan ordenados en tamanoresulta que no es ası y que en realidad los tres “mi-den” lo mismo pero aun ası todos son mas chicosque R o C, que a su vez son iguales en tamano. Es-tos ordinales especiales suelen llamarse numeroscardinales CN [4] y se ordenan por medio de losmismos ON . Ası, 0, 1, 2, 3, . . . son cardinales yℵ0 = ω es el primer cardinal infinito, al que lesiguen ℵ1,ℵ2, . . . ,ℵω,ℵω+1, . . . y ası.

De la misma manera que ON , CN ayuda amedir la “consistencia de otras matematicas”: siqueremos saber que tan consistente es una teorıamatematica “grande”, solo debemos compararlacon “una Matematica” mas un numero finito de“cardinales inaccesibles”, es decir, cardinales tangrandes que su existencia representa un nuevoaxioma. Esto tiene sentido porque las matematicasya incluyen a ON , y estudiar “matematicas masgrandes y poderosas” equivale a agregar axiomasde cosas grandes y poderosas y CN nos permitemedir justamente eso y, aunque no lo creas, estas“pruebas de consistencia” tienen aplicaciones enCiencias de la Computacion.

Si pensabas que los cardinales ya eran monstru-osidades es que todavıa no conoces a los surreales,pero antes de pasar a ellos debemos visitar a los

hiperreales (o reales no estandar) R∗, [6]. Estosfueron desarrollados para poder hacer calculo “ala antigua” tal y como se hace aun hoy en dıa encarreras de fısica o ingenierıa.

Fueron inicialmente creados por metodos delogica matematica, pero despues se vio que losmetodos algebraicos eran igualmente efectivospara su construccion. ¿Recuerdas como los or-dinales extienden a ω con numeros infinitos?Analogamente, los hiperreales extienden a R connumeros mas grandes que algun real (los trans-finitos); pero a diferencia de ON , los hiperrealestambien extienden a R hacia “abajo”, i.e., existenhiperreales mas pequenos que cualquier otro realpositivo pero que aun ası son mayores que cero(los infinitesimos).

Los hiperreales siguen cumpliendo la propiedadde ser un campo infinito, cerrado y ordenado, y sumayor ventaja es que las operaciones del calculodiferencial e integral se pueden realizar por mediode ideas mas intuitivas (segun algunos) que losconceptos formales normalmente estudiados. Deesta manera, si consideramos a ON como trans-finitos de alguna clase particular de hiperreales ypor cada ordinal menor que α agregamos un in-finitesimo, construimos a un conjunto de numerossurreales Sα [1]. ¿Alguna vez has escuchado dela corriente artıstica llamada surrealismo? Bueno,pues los matematicos parecen tambien haber co-laborado con estos numeros y son precisamentetodos aquellos que esten en algun Sα con α, unordinal.

En cierto sentido cada Sα es un campo infini-to, cerrado y ordenado que contiene a los numerosreales, en terminos sencillos y exagerando grave-mente las cosas, son los “numeros” mas grandesque puedas construir o inventar sin romper lasmatematicas estandar. Ası es, el simple hecho depensar en algo como SON ya no es valido, encontraste con ON en quien sı puedes pensar perocuidadosamente; es mas, hay matematicas dondeliteralmente se puede probar que son el campo or-denado mas grande posible.

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10 tipos de numeros

Los surreales fueron desarrollados inicialmenteen la Teorıa de Juegos y, mas aun, cada numerosurreal es realmente una especie de juego. Aligual que cualquier campo, podemos extenderlospara crear los numeros surcomplejos que ya sonhistoria para otra ocasion. . .

Diagrama de contenciones tomado de [3].

3. CONCLUSIONESLos matematicos han inventado diversos objetos

abstractos a lo largo de la historia para resolversus problemas; a varios los han llamado numerosy en el artıculo hemos explorado diez de estos,estudiando sus construcciones, definiciones, apli-caciones y razones de ser.

No cabe duda, al ver tanta creatividad, que lahistoria no ha terminado ahı y, posiblemente enel futuro, habra numeros mas complejos que loscomplejos, mas completos que los reales, masmonstruosos que los ordinales y mas imposiblesque los surreales, lo mas sorprendente de todos el-los es que tendran una aplicacion que beneficie elestudio y avance del conocimiento humano..

REFERENCIAS[1]Alling N.L. (1987). Foundations of Anal-

ysis over Surreal Number Fields (p. 372).

Amsterdam, Holanda: Elsevier Science.[2]Angoa Amador, et al. (2007). Introduccion

a las Estructuras Algebraicas (1a ed., p. 97).Puebla, Puebla: Fomento Editorial BUAP.

[3]Hart, Victoria. [Vi Hart]. (2012, Mar24). 9.999...reasons that.999 · · · =1 [Video]. Recuperado dewww.youtube.com/watch?v=TINfzxSnnIEen 2015, May 18.

[4]Hrbacek, Karel & Thomas Jech (1999). In-troduction to Set Theory (3a ed., p. 289).New York: Marcel Dekker Inc.

[5]Kunen, K. (2009). The Foundations of Math-ematics (1a ed., Vol. 19, p. 251). London:King’s College London.

[6]Mendelson, E. (1997). Introduction to Math-ematical Logic (4a ed., p. 440). Bodmin,Cornwall: Chapman & Hall.

Jonathan Julian Huerta y Munive

Jonathan estudio dos anos de ingenierıa fısica en el Tec deMonterrey. Actualmente, es estudiante del 8o semestre de lalicenciatura en matematicas en la FCFM-BUAP. Su area deinteres principal son los fundamentos de las matematicas.Ha participado en diversos simposios, congresos y escuelasde verano relacionadas con fundamentos de las matematicasa nivel nacional e internacional.

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IlustradaAno. 01 Num. 02

Primavera de 2015

Una gran amistad: Einstein y Godel

A la derecha tenemos un collage de fotografıasen donde podemos encontrar a dos grandes ami-gos caminando uno junto al otro de vuelta a casaluego de un dıa de trabajo. Por un lado tenemosal cientıfico mas conocido y popular del siglo XX;Albert Einstein (1879-1955), fısico aleman de ori-gen judıo. Por otra parte tenemos a Kurt Godel(19061978), una de las 100 personas mas impor-tantes del siglo XX de acuerdo a la revista TIME,el era un matematico y logico austriaco reconocidopor sus “ teoremas de incompletez”.

Einstein llego a America en 1933 y fue reclu-tado por Princeton como el miembro estrella delInstituto de Estudios Avanzados. Su rutina diariaempezaba con una caminata desde su casa, en elnumero 115 de la calle Mercer, hacia su ofici-na. Una decada despues de que Einstein llego aPrinceton encontro un companero para sus cami-natas, un hombre mas joven que el, se trataba deKurt Godel [3].

Uno fısico y el otro matematico, los dos eranrefugiados del Tercer Reich y hablaban un alemangutural rico. Pero las diferencias entre estos ami-gos eran en realidad mayores que sus similitudes.Godel era un hombre extrano y tragico. Mientrasque Einstein era sociable y lleno de risas, Godelera solemne, solitario, y pesimista. Einstein se en-trego libremente a su apetito por la cocina alemanaa diferencia de Godel que subsistio a base de man-tequilla, comida para bebes, y laxantes. Aunquela vida privada de Einstein no estuvo exenta decomplicaciones, exteriormente era alegre. Godel,por el contrario, tenıa una tendencia a la paranoia,

creıa en fantasmas y tenıa un temor de ser envene-nado; se negaba a salir cuando ciertos matematicosdistinguidos estaban en la ciudad, al parecer de-bido a la preocupacion de que pudieran tratar dematarlo.

Pero la mayor parte de la historia de su amistadesta en el olvido. Por ejemplo pocos saben, queGodel se intereso por la Relatividad General y en-contro un tipo de soluciones a las ecuaciones deEinstein en las que es posible viajar en el tiem-po. De acuerdo a Godel, lo que demostraban sussoluciones es que, el tiempo no existe en realidad.Por otro lado tampoco es muy sabido que Einsteinacompano a Godel a su entrevista para la natu-ralizacion estadounidense y que de no ser por suayuda no hubiese pasado el examen [2].

Te invitamos a que leas mas anecdotas de estapareja de cientıficos y grandes amigos en [1].

Atentamente:Comite Editorial

REFERENCIAS[1]Yourgrau, P. (2009). A World Without Time:

The Forgotten Legacy of Godel and Einstein.Basic Books.

[2]Kurt Godel and the Institute. Recu-perado el 10 de Mayo de 2015 dewww.ias.edu/people/godel/institute.

[3]TIME BANDITS, What were Einsteinand Gdel talking about? By Jim Holt.Recuperado el 10 de Mayo de 2015 dewww.newyorker.com/magazine/2005/02/28/time-bandits-2.

40 FCFM-IFUAP-CIDS

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