Las ecuaciones cuadrticas en Mesopotamia

Luis Eduardo Encinales Figueroa

Docente de matemticas Colegio Federico Garca Lorca I.E.D. Jornada tarde

Las ecuaciones cuadrticas en MesopotamiaPero al cabo de los das yo, Nabucodonosor, alc mis ojos al cielo; y me fue devuelta la razn.

Entonces bendije al Altsimo; alab y glorifiqu al que vive para siempre. NabucodonosorMesopotamia

Mesopotamia es llamada as debido a que se encontraba en una zona entre los ros Tigris y ufrates. All los sumerios construyeron sus casas, utilizando cermica artstica para las decoraciones y en las cuales detallaban formas geomtricas. Las civilizaciones mesopotmicas se designan corrientemente como babilnicas, sin embargo la ciudad de Babilonia no fue siempre el centro de la cultura de esta civilizacin. Los persas tomaron a babilonia, en el ao 538 a. C. y as llego el fin del imperio babilnico; pero su matemtica continuo desarrollndose en Siria. Otra civilizacin, de la cual se desprende otro nombre para esta regin, son los caldeos que se asentaban al sur de Mesopotamia. Este territorio era un sitio para constantes luchas, por ejemplo se establecieron all los amorritas, cassitas, elamitas, hititas, asirios, medos, persas entre otros. Aun as la cultura se mantuvo y, por lo tanto, es justificado hablar de civilizacin mesopotmica. Se conserv, por ejemplo, la escritura cuneiforme, la cual se consegua imprimiendo con una varilla sobre tablillas de arcilla blanda, las cuales eran puestas en hornos y posteriormente se secaban al sol. ColgabanLa escritura en Mesopotamia

El uso de la escritura mesopotmica data de hace aproximadamente 5000 aos. En ella se da importancia a la escritura pictogrfica, en la que se utilizaban smbolos para representar casi cualquier cosa, por ejemplo se tiene el smbolo para el agua y para ojo , al combinar estos dos smbolos se representaba al llanto. Poco a poco se fue dejando atrs el sistema pictrico y los smbolos fueron remplazados por cuas; as agua seria y para ojo.

Hoy en da utilizamos corrientemente el sistema de numeracin decimal, sin embargo los mesopotmicos usaban el sistema de base 60. Es muy probable que este sistema se adoptara por intereses de la metrologa (estudio de la medida) ya que una magnitud de 60 unidades puede dividirse fcilmente de manera exacta entre dos, tres, cuatro, cinco, seis, diez, doce, quince, veinte y treinta partes iguales, lo que permite diez posibles subdivisiones exactas. (Boyer 2007)Los babilonios usaron, hace ms de 4000 aos, en su sistema cuneiforme, la notacin posicional que da una gran eficacia a nuestro sistema de numeracin actual. Por ejemplo, para escribir el nmero 213, se anotaba en el que las separaciones indican grupos. El de la derecha representa tres unidades, el siguiente es una unidad en base y el grupo de la izquierda representa dos veces el cuadrado de sesenta, es decir . Escrito este nmero usando expresin polinmica se obtiene . De esta manera cada grupo tendr un valor dependiendo de la posicin relativa que ocupe. Es muy probable que los babilonios no hayan logrado encontrar un smbolo para el cero para su sistema posicional, aun as dejaban un espacio un poco mayor entre los grupos de smbolos para indicar, de esta manera, el lugar correspondiente al cero. Aproximadamente en la poca de Alejandro Magno, se utiliz un smbolo consistente en dos cuas oblicuas para indicar un lugar vaco. Por ejemplo el nmero 21 se escriba o entonces ya era fcil distinguir este nmero de 201 que se representaba con o . Este smbolo para un lugar vaco solo se utilizaba para posiciones intermedias, pero no para indicar una posicin vaca a la izquierda o a la derecha, y se podan entonces presentar ambigedades como con que se escribe como o o u otro nmero con dos rdenes sucesivos.Los babilonios tambin trabajaron con fracciones y llegaron incluso a calcular una aproximacin de hasta tres cifras sexagesimales. Estas cifras son que se pueden escribir de la forma , el punto y coma separa la parte entera de la fraccionaria y las comas separan los grupos de posiciones sexagesimales.

En cuanto a las operaciones fundamentales, los babilnicos fueron hbiles inventores de algoritmos, como por ejemplo el de hallar aproximadamente la raz cuadrada de un nmero dado. Preferan utilizar tablillas de cuadrados, cubos, tablas de multiplicar, tablas de inversos escritas en forma sexagesimal. Se han encontrado algunas tablas que contienen exponenciales, tambin las potencias de un nmero o, como las llamamos hoy en da, antilogaritmos. El lgebra babilnica alcanzo un alto grado de desarrollo. As podan transponer trminos en una ecuacin sumando igualdades, y eliminar fracciones u otros factores multiplicando ambos miembros por cantidades iguales; sumando a lo podan transformar en , aprovechando los muchos tipos de factorizaciones simples con los que estaban familiarizados (Boyer, 2007)Se sabe que la resolucin de la ecuacin cuadrtica no presentaba mayores dificultades para ellos y las manejaban con gran soltura. En un problema de esa apoca se pide hallar el lado de un cuadrado si al rea se le resta el lado y da como resultado . El escriba explica la solucin de la siguiente forma.

Toma la mitad de 1, que es , y multiplica por , que es ; suma este nmero a , lo que da . Este es el cuadrado de ; ahora suma a , cuyo resultado es , que es el lado del cuadrado.

La solucin de este problema, en nuestra notacin actual, se obtiene de . La solucin que dan los babilonios es la misma que se obtendra al aplicar la formula la cual da una raz de la ecuacin . Cuando se enfrentaban a una ecuacin, cuyo coeficiente del trmino cuadrtico fuera distinto de 1, la reducan a la forma , multiplicando los dos miembros por dicho coeficiente. Por ejemplo con la ecuacin , multiplicaban ambos miembros por 11 y se obtiene , pero ahora la incgnita es , por lo tanto la solucin se obtiene aplicando la formula con la incgnita . A partir de aqu se obtiene la solucin en . La ecuacin completa solo pudo ver la solucin en la poca moderna. En la antigedad, as como a inicios de la edad moderna, las ecuaciones cuadrticas se clasificaban en las siguientes:

1.

2.

3.

Estas ecuaciones se encontraban adems en los textos babilnicos. Los dos ejemplos anteriores sirven para mostrar el planteamiento de problemas haciendo uso de las dos primeras, pero la del tercer tipo se trabaja como equivalente a , , lo cual es un sistema de ecuaciones. Normalmente los problemas sobre ecuaciones cuadrticas que trabajaban los babilonios, se enunciaban en forma de hallar dos nmeros dado su producto, su suma o su diferencia. Existe una tablilla de la coleccin de la universidad de Yale, en la que se pide resolver el sistema , . El escriba que resuelve esto hace lo siguiente (en notacin moderna): Hllese primero

Y a continuacin

Entonces

Y

Por lo tanto

Y

Y de las dos ltimas ecuaciones se obtiene fcilmente que e . (Boyer, 2007)Como hemos visto, los babilonios lograron encontrar algoritmos para resolver problemas de tipo matemtico, en este caso de ecuaciones cuadrticas. Esto es sorprendente debido a que no tenan grandes avances en la escritura pero aun as superaron a los egipcios en este aspecto, lo cual les permiti generar los smbolos adecuados para los nmeros y mediante ellos realizar clculos complejos. Hoy en da tenemos a los griegos como los hacedores de la ciencia moderna y de otras reas, pero tambin sabemos, gracias a descubrimientos recientes, que los babilonios posean ya los conocimientos que los griegos sistematizaron y formalizaron. Referencias

1. BERLINSKI, D. Ascenso infinito. Breve historia de las matemticas. Editorial Debate, Buenos Aires. 20072. BOYER,CARL B. Historia de la matemtica. Alianza editorial. Madrid. 2007

3. BURTON. D. The History of Mathematics an introduction Seventh Edition. McGraw-Hill. New York. 2007

4. KATZ. V. A History of mathematics. 3rd ed. Addison-Wesley. United States of America. 2009Escritura cuneiforme Tomada de portal sedna

Los nmeros en Mesopotamia

Tomada de amo las mates