Regla de tres simple directa e inversa.

Regla de tres compuesta.

Tanto por ciento, atendiendo los casos:

- Calculo del porcentaje de un nmero.

- Hallar un nmero conociendo un porcentaje de l.

- Ver que porcentaje es un nmero de otro.

- Tanto por ciento ms.

- Tanto por ciento menos.

APLICACIONES DE LAS PROPORCIONES:

Regla de tres:

Es un procedimiento que a partir de datos

conocidos, permite obtener datos desconocidos en base a proporciones a formar.

Sabemos que cantidades directamente proporciona-les son las que varan de igual forma; es decir ms de una implica ms de la otra o menos de una implica menos de la otra, cumplindose que los cuocientes entre estas son constantes; as si x1 , x2 son directamente proporcionales con y1 , y2 ; se cumple que:

2y2x

1y1x = alternando medios

2y1y

2x1x =

deducindose que si las cantidades son directamente proporcionales, la razn de los valores de una de ellas es igual a la razn directa de los valores correspondientes de la otra.

Sabemos que cantidades inversamente proporciona-les son las que varan en forma contraria; es decir ms de una implica menos de la otra o menos de una implica ms de la otra, cumplindose que los productos entre estas son constantes; as si x1 , x2son inversamente proporcionales con y1 , y2 ; se cumple que:

2y2x1y1x = dando forma de proporcin 1y2y

2x1x =

deducindose que si las cantidades son inversamente proporcionales, la razn de los valores de una de ellas es igual a la razn invertida de los valores correspondientes de la otra.

Ejercicios:(a) Si una llave entrega 32 litros en 5 minutos. En cunto tiempo tal llave llena un estanque de 288 litros?

32 litros...............5 minutos288 litros...............x minutos

Ms litros ms minutos; C.D.P.; igualando directamente las razones:

x5

28832

=

325288

x

=

1

9

x = 45

Se completar los 288 litros en 45 minutos.

(b) Un grupo de personas hace una obra en 20 das trabajando 6 horas diarias. En cuntos das hubieran hecho la obra trabajando 8 horas diarias?

20 das...............6 horasx das...............8 horas

Ms horas menos das; C.I.P.; igualando la primera razn con la segunda invertida:

68

x20

=

8620

x

=

1

x = 15

Trabajando 8 horas se terminara en 15 das.

2

5 3

(c) Unaguarnicintiene vverespara20dasa3 raciones diarias. Cuntas raciones diarias le corresponder a cada hombre si se quiere que los vveres duren 5 das ms? 20 das ...............3 raciones

25 das ...............x raciones

Ms das menos raciones; C.I.P.; igualando la primera razn con la segunda invertida:

3x

2520

=

x = 2,4

A cada hombre le corresponden 2,4 raciones diarias.

5

4

512

25320

x =

=

(d) Si los 2/5 de la capacidad de un estanque son 480 litros. Cul ser la los 3/8 de la capacidad del mismo estanque?

52 ..................... 480 litros

83 ..................... x litros

Como > ; menos capacidad menos litros; C.D.P.;

se igualan directamente las razones.52

83

x480

8352

=

48083

x52

=

81440

5x2

=

16x =7.200

16200.7

x = x = 450 litros

Mtodo prctico:

Colocar siempre + sobre la razn con la incgnita; donde para las razones con que se est comparando si estas son:

i) Directamente proporcionales; colocar sobre esta - ; bajo esta +.

ii) Inversamente proporcionales; colocar sobre esta +;bajo esta -.

El valor de la incgnita queda determinado por el producto de los + dividido por el producto de los - .

(a) Si en 12 metros se ocupan 5 postes para hacer un cerco. Cuntos postes se ocupan para cercar 180 metros?

12 metros ...............5 postes180 metros ...............x postes

C.D.P.

+

+

125180

x

=

1

15

x = 155

x = 75 postes.

_

(b) Si 4 personas hacen una obra en 14 das. En cuntos das podran hacer la misma obra 7 personas?

4 personas ............... 14 das7 personas ............... x das

C.I.P.

++

7144

x=

_

1

2

x = 42

x = 8 das

(c) Si 3 hombres trabajando 8 horas diarias han hecho 80 metros de una obra en 10 das. Cuntos das necesitan 5 hombres trabajando 6 horas diarias para hacer 60 metros de la misma obra?

3 hombres ....... 8 horas ....... 80 metros ....... 10 das5 hombres ....... 6 horas ....... 60 metros ..........x das

C.D.P.C.I.P.

C.I.P.

+

+

++

_ _

_

8065106083

x

=

1

2

1

101

101

1

x = 3 1 1 2

x = 6 das

(d) Una guarnicin de 1600 hombres tiene vveres para 10 das a razn de 3 raciones diarias cada hombre. Si se refuerza con 400 hombres. Cuntos das durarn los vveres si cada hombre toma slo 2 raciones diarias?

1600 hombres ....... 10 das ....... 3 raciones2000 hombres ....... x das ....... 2 raciones

+

_C.I.P. C.I.P.

+ +

_

220003101600

x

=

1

8

1

4

x = 4 1 3

x = 12 das

(e) Si 18 obreros, trabajando 12 das durante 8 horas diarias construyen 180 metros de un muro. En cuntos das 36 obreros trabajando 12 horas diarias construirn 450 metros de tal muro?

18 obreros ...... 12 das ...... 8 horas ...... 180 metros36 obreros ...... x das ......12 horas ..... 450 metros

C.I.P. C.I.P.C.D.P.

+ +

+

+

_ _

_

180123645081218

x

=

1

1

5

14

1 2

1

x = 1125

x = 10 das

(f) Una calle de 50 metros de largo y 8 metros de ancho se halla pavimentada con 20.000 adoquines. Cuntos adoquines se ocuparn para pavimentar otra calle de doble largo y cuyo ancho es los 3/4 del ancho anterior?

50 m. largo ..... 8 m. ancho .... 20.000 adoquines100 m. largo ..... 6 m. ancho .... x adoquines

C.D.P.C.D.P.

+ +

+

850000.206100

x

=

1 1

2 2.500

x = 2 6 2.500

x = 30.000 adoquines

--

Tanto por ciento:Se llama tanto por ciento de un nmero a una o ms de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho nmero.

Ejemplos:

i) El 4% de 150 es 100150

4 = 41,5 = 6

ii) El 15% de 500 es = 155 = 75100500

15

Se deduce que el 100% de un nmero es el mismo nmero.

El tanto por ciento se sistematiza con las proporciones, dndose solucin a cinco casos de problemas distintos:

1) Hallar un tanto por ciento de un nmero:

Ejemplo: Hallar el 15% de 32:

Se tiene que 32 es el 100%; luego x ser el 15% de 32 , formndose la proporcin:

%15%100

x32

= 100

1532x

= x = 4,8

Ejercicio: Hallar el:

(a) 18% de 300: (b) 35% de 180:

%18%100

x300

=

10018300

x

=

x = 54

%35%100

x180

=

10035180

x

=

x = 631

3 7

201

9

(c) 42% de 1250: (d) de 144.5

%12

%42%100

x1250

=

100421250

x

=

x = 525

%125

%100x

144=

100125

144x

=

53

10060

100512

x ==

=

x = 0,6

21

50

25

x = 25 21

5

3

11

12

2) Hallar un nmero cuando se conoce un tanto por ciento de l:Ejemplo: De que nmero 46 es el 23%?

Si 46 es el 23% del nmero que se busca, x ser el 100% formndose la proporcin:

%100%23

x46

= 2310046

x

= x = 200

Ejercicio: De que nmero es:

(a) 12 el 60%: (b) 35 el 5%:

%100%60

x12

=

6010012

x

=

x = 20

%100%5

x35

=

510035

x

=

x = 700

1

5

20

11

7

(c) 18 el 75%: (d) 9 el .1

12 %2

%100%75

x18

=

7510018

x

=

x = 24

%225%

2112 =

%100

%2

25

x9

=

2521009

2251009

x

=

=

x = 72

4

3

6

11

4

3) Dados dos nmeros, averiguar que tanto por ciento es uno del otro:Ejercicio: Qu porcentaje de 120 es 36?

Designaremos a 120 por el 100%; luego 36 ser el x% formndose la proporcin:

%x%100

36120

= 120

10036x

= x = 30%

Ejercicio: Qu tanto por ciento de:(a) 20 es 12: (b) 32 es 24:

%x%100

1220

=

2010012

x

=

x = 60%

%x%100

2432

=

3210024

x

=

x = 75%

3

1

1

5

4

3 25

1

(c) 860 es 129: (d) es :15

125

%x%100

129860

=

860100129

x

=

x = 15%

%x%100

25151

=

%x%100

525

=

251005

x

=

x = 20%

1

4

20

3

1

5

4) Tanto por ciento ms:Ejemplo: De que nmero 265 es el 6% ms?

El nmero que buscamos ser el 100%. Si 265 es el 6% ms que ese nmero, 265 ser el 100%+6% = 106% del nmero buscado, formndose la proporcin:

%106%100

265x

= 106

100265x

= x = 250

luego 265 es el 6% ms de 250.Ejercicio: De qu nmero:(a) 208 es el 4% ms:

%104%100

208x

=

104100208

x

=

x = 200

(b) 345 es el 15% ms:

%115%100

345x

=

115100345

x

=

x = 300

2

1

3

1

(c) 258 es el 20% ms: (d) 264 es el ms:35 %5

%120%100

258x

=

120100258

x

=

x = 215

%6,5%528

%53

5 ==

%6,105%100

264x

=

6,105100264

x

=

x = 250

10561000264

x

=250

4

6

5

1

1

1

43

5) Tanto por ciento menos:Ejemplo: De qu nmero 168 es el 4% menos?El nmero que buscamos "x" ser el 100%. Si 168 es el 4% menos que ese nmero buscado, 168 es el 100%-4% = 96% del nmero buscado, formndose la proporcin:

%96%100

168x

= 96

100168x

= x = 175

luego 168 es el 4% menos de 175.Ejercicio: De qu nmero:(a) 276 es el 8% menos:

%92%100

276x

=

92100276

x

=

x = 300

(b) 91 es el 35% menos:

%65%100

91x

=

6510091

x

=

x = 1405

7 20

11

3

(c) 246 es el 60% menos: (d) 248 es el menos:4 %5

%40%100

246x

=

40100246

x

=

x = 615

%8,0%54

=

%2,99%100

248x

=

2,99100248

x

=

x = 250

9921000248

x

=

5123

1

2501

4

201

Ejercicios Complementarios:

1) Un comerciante invierte $18.000, obteniendo una utilidad de $5.000. Cunto debi haber invertido para tener $6.000 de utilidad?

A) $15.000

B)$21.000

C) $21.600

D) $24.000

E) $24.600

$18.000 (invierte)..........$5.000 (utilidad)$x (invierte).........$6.000 (utilidad)

C.D.P.

+

+

000.5000.6000.18

x

=1

3.600

x = 3.600 6

x = $ 21.600

_

2) Un grupo de trabajadores emplea 24 das trabajando 8 horas diarias en realizar cierta obra. Si hubieran trabajado dos horas menos al da. En cuntos das habran terminado la obra?

A) 18 das

B) 28 das

C) 32 das

D) 64 das

E) 96 das

24 das ...................... 8 horasx das ...................... 6 horas

C.I.P.

++

24 8x

6

=

x = 32 das.

_

1

4

x = 4 8

3) Si 10 hombres trabajando en la construccin de un puente hacen 3/5 de la obra en 9 das. Si se retiran 9 hombres. Cunto tiempo emplearn los restantes en terminar la obra?

10 hombres ...... Obra ...... 9 das35

1 hombres ...... Obra ...... x das25

C.D.P.C.I.P.

++

+_

_A) 30 das

B) 36 das

C) 45 das

D) 60 das

E) Otra cantidad. 2 18010 9 180 55 5x3 3 5 315 5

= = = =

1

1

1

6060

601

=

A) 2,4 m.

B) 9,6 m.

C) 27 m.

D) 18 m.

E) 15 m.

4) Un poste tiene enterrado el 20% de su longitud total. Si la parte no enterrada mide 12m. Cul es la longitud total del poste?

La parte enterrada del poste es el 20%

La parte no enterrada es el 80%La parte no enterrada mide 12 m.

12m. 80%

x 100%=

12 100x

80

= =

4

5

1

3

15 m.

5) En un lote de 1000 artculos 100 son blancos y de estos 30 son redondos. Qu porcentaje del lote de artculos son blancos y redondos?

A) 3%

B) 10%

C) 13%

D) 30%

E) 130%

1000 artculos

100 blancos30 redondos

hay 30 blancos y redondos

1000 100%30 x%

=30 100

x1.000

= =

1

10

3% 3

1

6) Se puede determinar el nmero de alumnos de un curso si:

(1) Hay 36 alumnos presentes que corresponden al 80% del curso.

(2) Hay 9 alumnos ausentes que corresponden al 20% del curso.

A) (1) por s sola

B) (2) por s sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por si sola, (1) (2)

E) Se requiere informacin adicional.

36 80%x 100%

= x = 45

9 20%x 100%

= x = 45

Respuestas de Ejercicios Propuestos Clase-16

9) B 10) D

11) C 12) E

13) B 14) D

15) E 16) C

17) B 18) C

1) C 2) B

3) C 4) B

5) B 6) C

7) A 8) A