METODO DE AJUSTE POR CUADRADOS MINIMOS · 2017. 6. 12. · METODO DE AJUSTE POR CUADRADOS MINIMOS...

METODO DE AJUSTE POR CUADRADOS MINIMOS


CONSIDERACIONES:• ESTUDIO DE VINCULACION DE VARIABLES DE UN EVENTO.• PARA ARMAR LA INTERDEPENDENCIA SE DEBE EVALUAR EL

COMPORTAMIENTO.• LA RELACION DE VARIABLES A VECES PUEDE SER LINEAL, CUADRATICA,

EXPONENCIAL, ETC.

DIBUJAR LA RELACION DE PUNTOS QUE DEFINEN EL ESTUDIO


CONSIDERACIONES:• EXCEL PREVEE INTERFASE DE ANALISIS CON EL USUARIO


• LA FUNCION QUE MEJOR APROXIMA ES UNA RECTA

Y(X)=A . X + B

Yi - (A . Xi + B) = 0Yi - (A . Xi + B) = ei ei


CONSIDERACIONES CON EL ERROR:• Búsqueda de error cero

𝜓" =$𝑒&"'

&()

Nuestro análisis busca que 𝜓" → 0

𝜕𝜓"

𝜕𝐴 = 0 𝜕𝜓"

𝜕𝐵 = 0



𝜕𝜓"

𝜕𝐴 ⇒$

𝜕 𝑦& − (𝐴𝑥& + 𝐵) "

𝜕𝐴

'

&()

= 2.$ 𝑦& − (𝐴𝑥& + 𝐵) . 𝑥&

'

&()

𝜕𝜓"

𝜕𝐵 ⇒$

𝜕 𝑦& − (𝐴𝑥& + 𝐵) "

𝜕𝐵

'

&()

= 2.$ 𝑦& − (𝐴𝑥& + 𝐵) . −1'

&()



𝐴.$ 𝑥& " + 𝐵.'

&()

$ 𝑥& −'

&()

$ 𝑥&.𝑦& = 0'

&()

𝐴.$(𝑥&)+ 𝐵.'

&()

𝑁 −$ 𝑦& = 0'

&()

𝐴.𝑥" + 𝐵�̅� − 𝑥. 𝑦 = 0𝐴�̅� + 𝐵 − 𝑦< = 0

𝜕𝜓"

𝜕𝐴 ⇒$𝜕 𝑦& − (𝐴𝑥& +𝐵) "

𝜕𝐴

'

&()

= 2.$ 𝑦& − (𝐴𝑥& +𝐵) . 𝑥&

'

&()

𝜕𝜓"

𝜕𝐵 ⇒$𝜕 𝑦& − (𝐴𝑥& + 𝐵) "

𝜕𝐵

'

&()

= 2.$ 𝑦& − (𝐴𝑥& + 𝐵) . −1'

&()



𝝏𝝍𝟐

𝝏𝑨 ⇒$𝝏 𝒚𝒊− (𝑨𝒙𝒊 + 𝑩) 𝟐

𝝏𝑨

𝑵

𝒊(𝟏

= 𝟐.$ 𝒚𝒊 − (𝑨𝒙𝒊 +𝑩) . 𝒙𝒊

𝑵

𝒊(𝟏

𝝏𝝍𝟐

𝝏𝑩 ⇒ $𝝏 𝒚𝒊− (𝑨𝒙𝒊 + 𝑩) 𝟐

𝝏𝑩

𝑵

𝒊(𝟏

= 𝟐.$ 𝒚𝒊− (𝑨𝒙𝒊 + 𝑩) . −𝟏𝑵

𝒊(𝟏

𝑨.$ 𝒙𝒊 𝟐 + 𝑩.𝑵

𝒊(𝟏

$ 𝒙𝒊 −𝑵

𝒊(𝟏

$ 𝒙𝒊. 𝒚𝒊 = 𝟎𝑵

𝒊(𝟏

𝑨.$ 𝒙𝒊 + 𝑩.𝑵

𝒊(𝟏

𝑵 −$ 𝒚𝒊 = 𝟎𝑵

𝒊(𝟏

𝑨.𝒙𝟐 + 𝑩.𝒙H − 𝒙.𝒚 = 𝟎

𝑨. 𝒙H +𝑩 − 𝒚H = 𝟎

𝐴 =𝑥. 𝑦 − �̅�𝑦<𝑥" − �̅�"

𝐵 =𝑥".𝑦< − �̅� . 𝑥. 𝑦𝑥" − �̅�"


CONSIDERACIONES CON LOS COEFICIENTES:

¿¿SE TERMINARON LAS CUENTAS??

NO


CONSIDERACIONES CON LOS COEFICIENTES:• Sabemos que cualquier calculo o medición siempre

tendrá un error asociado.• Debemos determinar que error asociado poseen

tanto «A» como «B»• Luego de algunas consideraciones podemos

concluir que:

𝐴 ± 𝐸K = pendiente

𝐵 ± 𝐸R = ordenada al origen


𝐴 ± 𝐸K = pendiente

𝐵 ± 𝐸R = ordenada al origen

𝜎K = 𝜎Y1

𝑁. 𝑥" − �̅�"

𝜎R = 𝜎Y𝑥"

𝑁. 𝑥" − �̅�"

𝐸K =𝜎K𝑁

𝐸R =𝜎R𝑁


CONSIDERACIONES CON LOS CALCULOS:

¿¿ESTAN BIEN DETERMINADOS??

¿¿TENEMOS ALGUNA FORMA DE SABERLO??

SI


CONSIDERACIONES CON LOS CALCULOS:

CONTAMOS CON LA POSIBILIDAD DE EVALUAR LA CALIDAD DE NUESTRO AJUSTE.

LLAMAREMOS BONDAD DEL AJUSTE A ESTA POSIBILIDAD:

𝑅 =𝑥. 𝑦 − �̅�. 𝑦<

𝑥" − �̅�" − 𝑦" − 𝑦


CONSIDERACIONES CON LA CALIDAD:

𝑅 =𝑥. 𝑦 − �̅�. 𝑦<

𝑥" − �̅�" − 𝑦" − 𝑦


CONSIDERACIONES CON RELACIONES NO LINEALES:Debemos tener en cuenta que el método de cuadrados mínimos puede ser utilizado también en relaciones de puntos de tipo no lineal, como por ejemplo:

𝑦 = 𝑏. 𝑥\ → ln 𝑦 = ln 𝑏 + 𝑎. ln 𝑥

𝑦 = 𝑏. 𝑒\.^ → ln 𝑦 = ln 𝑏 + ln 𝑒\.^ → ln 𝑦 = ln 𝑏 + 𝑎. 𝑥

𝑦 =𝑎

𝑏 + 𝑥 →1𝑦 =

𝑏𝑎 +

𝑥𝑎

𝑦 = 𝑏.𝑥\

𝑦 = 𝑏.𝑒\.^

𝑦 =𝑎

𝑏 + 𝑥

AHORA …A

TRABAJAR!!!

TRABAJO PRACTICO Nº2OBJETIVO

• DETERMINAR LA LEY DE HOOKE, CALCULANDO K:

ü POR METODO ESTATICOü POR METODO DINAMICOü CALCULAR LA PORCION DEL RESORTE QUE COLABORA CON LA

MASAü COMPARAR LA PRECISION DE AMBOS METODOS

TRABAJO PRACTICO Nº2FUNDAMENTO TEORICO

Ø RESORTE CARGADO EXPERIMENTA DEFORMACION δØ ESFUERZOS DE TORSION Y FLEXIONØ SE CONSIDERARA SOLO LA TORSION

P = K . ∆δ

DEFORMACION FUNCION DE LA MASA

FUNCION DEL RESORTE, MATERIAL, ETC


∆X

Alejar la masa generará una Fuerza:Fe = -k . (∆ δ + ∆x)

Por la 2º ley Newton:Fe + P = m . a

k . ∆ δ + k . x – m1.g = (m2 + m1) . a

m1 . g

k . ∆x = - m1 . g

soluciones: X = A . Sen (w.t)

δ0

Δδ

δ

x

TRABAJO PRACTICO Nº2

∆X

𝑘𝑚 = 𝜔 = 2. 𝜋. 𝑓

𝑇 = 2. 𝜋.𝑚𝑘

m = m + cM

𝑇 = 2. 𝜋.m + cM𝑘

Para el método estático: P = K . ∆δ

Para el método dinámico: 𝑇 = 2. 𝜋.m + cM𝑘

FUNDAMENTO TEORICO

𝒎𝒊 𝒎𝒊𝟐 𝒎𝒊2

δ𝒊H 𝑚𝑖 δi


∆X

MÉTODO ESTATICO:

Hemos visto: k . x = - m . a

x = - gh

. g

Que dará una curva:

Ensayo Nº mi ± Em Deformación(Li – L0)

12.


∆X

MÉTODO ESTATICO:

mi

δi

A partir de los pares (mi, δi) podemos armar la ecuación

Y(Xi) = A . Xi + B

δ(mi) = A . mi + B

δ (mi) = ih .𝑚& + δ0

𝐴 = ik . 𝑚&


∆X

MÉTODO ESTATICO:

mi

δi

𝐴 = ik . 𝑚&

Por un lado tenemos Por otro lado tenemos

𝐴 =𝑥. 𝑦 − �̅�𝑦<𝑥" − �̅�"

Podemos concluir1. De A tenemos su valor.2. Podemos determinar el valor de k a partir de A.

k = iA .𝑚&


∆X

MÉTODO ESTATICO:

k = iA .𝑚&

El valor que obtengamos de k, presentara un error que dependerá de dos factores1. El error del método por tratarse de una medición indirecta2. El error estadístico por cuanto esta medición fue obtenida de una serie de repeticiones

𝐸jkj\l = 𝐸mnj\o&nj&pk + 𝐸gmjkok

𝐸mnj\o&nj&pk =𝜎h𝑁 𝐸gmjkok =

𝜕𝑘𝜕𝑚 . ∆𝑚 +

𝜕𝑘𝜕𝐴 . 𝐸K


MÉTODO ESTATICO:

k = iA . 𝑚& ± E

Por otro lado también podemos armar la ecuación que rige la deformación en función de la masa

δ(mi)=(A ± EA). mi + (B ± EB)


MÉTODO DINAMICO:

La base para armar la memoria de calculo de este método responde a lo ya visto en la parte de regresión lineal

Yi - (A . Xi + B) = e

𝐴 =𝑥. 𝑦 − �̅�𝑦<𝑥" − �̅�"

𝐵 =𝑥".𝑦< − �̅� . 𝑥. 𝑦𝑥" − �̅�"

𝜎K = 𝜎Y1

𝑁. 𝑥" − �̅�"

𝜎R = 𝜎Y𝑥"

𝑁. 𝑥" − �̅�"

𝐸K =𝜎K𝑁

𝐸R =𝜎R𝑁


MÉTODO DINAMICO:A la canasta vinculada al resorte, se le irán incorporando pesas, midiendo para cada una, el periodo promedio de 10 oscilaciones:

- k . ∆x = m . asoluciones: x = A . sen (w.t)v = A . w . cos (w.t)a = - A . w2 . sen (w.t)

𝝎 =𝒌𝒎

𝝎 = 𝟐.𝝅. 𝒇 𝒇 =𝝎𝟐.𝝅

𝑻 =𝟐. 𝝅𝝎 𝑻 = 𝟐. 𝝅 .

𝒎𝒌

𝑻 = 𝟐.𝝅.𝒎 + 𝒄𝑴

𝒌


MÉTODO DINAMICO:

𝑇" = 4. 𝜋".𝑚 + 𝑐𝑀

𝑘

Ahora podemos linealizar la expresión:

Armamos la tabla:

Nº ENSAYO Mi +/-E Tiempo de 10 oscilacionesT= 10t +/- Et


MÉTODO DINAMICO:

𝑇" = 4. 𝜋".𝑚 + 𝑐𝑀

𝑘

Ahora podemos linealizar la expresión:

Obtenemos los coeficientes A y B, quedando:𝑇" (mi) = A . Mi + B

𝑇" =4. 𝜋"

𝑘 .𝑚& +4. 𝜋"

𝑘 . 𝑐𝑀

A B

A


MÉTODO DINAMICO:

De los valores obtenidos podemos hallar “k”

𝑇" =4. 𝜋"

𝑘 .𝑚& 𝑘 =4. 𝜋"

𝑇" .𝑚&

Y ahora el error de K

estadístico

método 𝜕k 𝜕𝑚 . ∆𝑚 +

𝜕𝑘𝜕𝑇 .

𝑑𝑇𝑑𝑡 . ∆𝑡

PREGUNTAS

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