MÉTODO D

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LIC. A

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MÉTODO DE ELIMINACIÓN

El método de eliminación es un procedimiento para resolver ecuaciones lineales simultaneas de un sistema 2x2.(dos ecuaciones – dos incógnitas)

La esencia del método consiste en obtener dos ecuaciones equivalentes a las originales, que presente en una de sus variables el mismo valor del coeficiente pero con signos contrarios de tal forma que al sumar dichas ecuaciones de manera ordenada se cancele esa variable y así obtener una nueva ecuación en una variable y resolver fácilmente.

MÉTODO DE ELIMINACIÓN

¿Qué son ecuaciones lineales equivalentes?

Son ecuaciones cuyos coeficientes en las variables «x» e «y» son distintos pero representan en el plano la misma recta

Generalmente las ecuaciones lineales equivalentes tienen coeficientes proporcionales. Por ejemplo.

2x +2y = 4 es equivalente con 4x + 4y = 8 , como puedes observar la segunda ecuación tiene como coeficientes el doble de los coeficientes de la primera ecuación

Si despejamos en ambas ecuaciones obtenemos

Y= 4 -2x Y= 8 - 4x

2 4

Donde al realizar la división en ambas ecuaciones Se obtiene Y= 2 – xPor tanto las ecuaciones si son equivalentes

MÉTODO DE ELIMINACIÓN

Determine ecuaciones equivalentes a:

3x + 2y = 3.

Solución:

Es equivalente

6x + 4y = 6 << multiplicamos cada coeficiente por 2

Otra ecuación equivalente es :

-9x – 6y = -9 << multiplicamos cada coeficiente por -3.

Ahora, la cantidad de ecuaciones equivalentes a la anterior ecuación es infinita, solo basta multiplicar los coeficientes de la ecuación por cualquier numero real y así obtener una nueva ecuación

MÉTODO DE ELIMINACIÓN

Resolvamos el siguiente sistema usando el método de eliminación.

2x – 5y = 2

3x - 6y = 5

Inicialmente lo que queremos es cancelar una de las variables y esto lo podemos hacer cuando tengamos un sistema equivalente en el cual la variable a cancelar tenga el mismo valor en el coeficiente pero signos contrarios.

MÉTODO DE ELIMINACIÓN

2x – 5y = 2 (ec.1) << *3

3x - 6y = 5 (ec.2) << *(-2)

Vamos a cancelar la variable «x». Así debemos obtener un nuevo sistema . El sistema será:

6 x– 15y = 6 << multiplicamos la (ec.1) por 3

– 6x + 12y = -10 << multiplicamos la (ec.2) por (-2)

Observa que en este nuevo sistema la variable «X» tiene el mismo valor en los coeficientes , pero, signos contrarios.

MÉTODO DE ELIMINACIÓN

Pero , ¿cómo se obtuvo el nuevo sistema? ¿ porque se multiplicó por 3 y (-2)?Mira que los números con los que se multiplico las ecuaciones son los coeficiente s que tiene la variable «x» : (2 y 3)simplemente se multiplico la primera Ecuación por el coeficiente de «x» de la segunda ecuación y viceversa, ahora el signo del (-2) se colocó para que la Variable tenga el signo contrario al de la otra ecuación.

<< la (ec.1) por 3>> 6 x– 15y = 6<< la (ec.2) por -2 – 6x +12y = -10

Sistema original

Sistema equivalente

2 x– 5y = 2 << (ec.1)

3 x – 6y = 5 << (ec.2)

MÉTODO DE ELIMINACIÓN 6 x– 15y = 6– 6x + 12y = -10

Cuando sumamos ordenadamente en nuestros sistema equivalente tenemos:

6 x– 15y = 6– 6x + 12y = -10

0 – 3y = -4

De donde: y = -4-3

Sistema original

2 x– 5y = 2 << (ec.1) * 3 ->

3 x – 6y = 5 << (ec.2) *( -2) ->

Sistema equivalente

MÉTODO DE ELIMINACIÓNRepitamos el proceso para eliminar la variable «y»

Sistema original

2 x– 5y = 2 << (ec.1)

3 x – 6y = 5 << (ec.2)

12x – 30y = 12

Sistema equivalente

<< multiplico por 6 >>

<< multiplico por (- 5 )>>

NotaNota : ten en cuenta que el número con el que multiplico es quien me «arregla» los : ten en cuenta que el número con el que multiplico es quien me «arregla» losSignos en una de las ecuaciones de tal manera que me queda con signos contrariosSignos en una de las ecuaciones de tal manera que me queda con signos contrarios

Sumando ordenadamente: 12x – 30y = 12 -15x + 30y = - 25

- 3 x + 0 = -13De donde:

X= -13-3

-15x + 30y = - 25

MÉTODO DE ELIMINACIÓN

Luego nuestras soluciones son:

X= -13-3

y = -4-3

Es decir la pareja:

43

133

,

Una vez más, espero que te haya servido este ejemplo

EJERCICIOS

Resuelve usando el método de eliminación:

1. 4x – 2y = 3

5x + 3y = 4

2. 3x – 3y = 7

4x – 7y = -3

3. -5y + 3x = - 4

3x – y = -1

4. 5x – 4y + 3= 0

3x – 4y -2 = -3

5. 3x + 3y + 3= 1 6y = - 6y +3