MÉTODO DE LA REGLA FALSA

En cálculo numérico, el método de regula falsi (regla falsa) o falsa posición es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones no lineales. El método combina el método de bisección y el método de la secante.

El método

Como en el método de bisección, el método parte de un intervalo inicial [a0,b0] que contiene al menos una solución de la ecuación f(x) = 0, a la cual se llama raíz de f. Es decir, parte de un intervalo con f(a0) y f(b0) de signos contrarios (véase el teorema de Bolzano). El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo [ak, bk] más pequeño que incluye una raíz de la función f.

Para determinar a partir de un intervalo [ak, bk] el siguiente intervalo [ak+1, bk+1], lo que se hace es obtener el punto del interior del intervalo dado por la fórmula:

(a=k)

El punto se obtiene al hallar la intersección de la recta que pasa por los puntos (a,f(ak)) y (b,f(bk)) con el eje de abscisas (igual a como se hace en el método de la secante).

Una vez hallado este punto, se toma como siguiente intervalo al intervalo que tiene de extremo al punto obtenido ck y uno de los extremos del anterior intervalo de forma que en el nuevo intervalo siga estando una de las raíces de la función f (Es decir, con el valor de la función en los extremos del nuevo intervalo de signo contrario).

Se puede demostrar que bajo ciertas condiciones el método de la falsa posición tiene orden de convergencia lineal, por lo que suele converger más lentamente a la solución de la ecuación que el método de la secante, aunque a diferencia de en el método de la secante el método de la falsa posición siempre converge a una solución de la ecuación.

El algoritmo tiene el inconveniente de que si la función es convexa o cóncava cerca de la solución, el extremo del intervalo más alejado de la solución queda fijo varíando únicamente el más cercano, convergiendo muy lentamente. Para solucionarlo, se suele utilizar una variante del algoritmo, conocida como método de regula falsi modificado, consistente en el caso de que el intervalo quede fijo por un extremo en ir dividiendo por dos el valor de la función en dicho extremo hasta que el nuevo intervalo no contenga al extremo que se había quedado fijado.

Ejemplo:

Lo primero que debemos efectuar es después de la ecuación a analizar por el método de la regla falsa es definir nuestros límites donde analizaremos la grafica definidos por"xi" y "xd" antes de tener estos puntos ya definidos se recomienda que uno sean de signos opuestos ya que con esto tendremos mayor certeza de llegar a los puntos donde la grafica toca el eje de las x.

y = m(x − xi) + yi

Sustituimos “m” en la ecuación

Despejamos “X” para obtener la ecuación

Simplificando obtemos lo siguiente

Para obtener “yi” y “yd” solo basta con sustituir los valores de “xi” en la ecuación que nos piden para obtener “yi” y respectivamente para “yd” los valores de “xd”.

Después de haber realizado obtenido estos valores solo resta sustituirlos en la ecuación para de ahí obtener “XM” después sustituimos este valor en la ecuación para obtener la siguiente “yd” la cual con las iteraciones tiende a “0”.

Ahora bien este método funciona por medio de iteraciones entonces para obtener los siguientes datos hacemos lo siguiente el valor obtenido en “xm” lo pasamos al siguiente valor de “xd” y el valor de “xi” lo volvemos a pasar igual evaluamos nuevamente variables de “yi” y “yd” y continuamos igual si en este caso nos quedaran signos iguales en las variables “yi” y “yd” lo que hacemos es pasar el valor de “xm” a “xi” y el valor de “xd” ahora lo bajamos igual. En el siguiente ejercicio se ve explicado este suceso.

DIFERENCIA METODO REGLA FALSA, BISECCION Y SECANTE

La diferencia entre una y otra es que mientras el método de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados, el método de la secante es un proceso abierto y por lo mismo, encuentra la aproximación casi con la misma rapidez que el método de Newton-Raphson. Aunque corre el mismo riesgo de éste último de no converger a la raíz, mientras que el método de la regla falsa lo hace de manera segura.

Usa el método de la regla falsa para aproximar la raíz de comenzando en el intervalo, el método regla falsa como se mencionó anteriormente, sería bueno considerar si la raíz de una ecuación está localizada más cerca de alguno de los extremos del intervalo. Consideremos nuevamente una gráfica como la anterior. Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto donde cruza al eje esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y ésta es realmente la única diferencia con el método de bisección, puesto que en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos.