MÉTODO DE MMÉTODO DE MüüLLERLLERRaíces de PolinomiosRaíces de Polinomios

Prof. Ing. Marvin Hernández C.Prof. Ing. Marvin Hernández C.

AgendaAgenda Comparación entre el Método de MComparación entre el Método de Müüller con el Método ller con el Método

de la Secante.de la Secante.

Procedimiento para desarrollar el Método de MProcedimiento para desarrollar el Método de Müüller.ller.

Ventajas y Desventajas del método.Ventajas y Desventajas del método.

Estrategias para desarrollar el método.Estrategias para desarrollar el método.

Desarrollo de ejemplos.Desarrollo de ejemplos.

Presentación del Método MPresentación del Método Müüller en Matlab.ller en Matlab.

Método de MMétodo de Müüller vs. ller vs. Método de la Secante Método de la Secante

Método de la SecanteMétodo de la Secante: usa una línea recta hasta : usa una línea recta hasta el eje X con 2 valores de la función.el eje X con 2 valores de la función.

Método de MüllerMétodo de Müller: se hace con una parábola de : se hace con una parábola de 3 puntos. Consiste en obtener coeficientes de la 3 puntos. Consiste en obtener coeficientes de la parábola que pasa por los puntos, estos se parábola que pasa por los puntos, estos se sustituyen en la fórmula y se obtiene el valor sustituyen en la fórmula y se obtiene el valor donde la parábola interseca el eje X.donde la parábola interseca el eje X.

Método de MMétodo de Müüller vs. ller vs. Método de la Secante Método de la Secante

Método de la Secante Método de Müllerüller

ProcedimientoProcedimiento Se determina un X0, X1 y un X2.

Segundo paso :

h0 = X1 – X0

h1 = X2 – X1

Tercer paso:

δ0 = F (X1) - F (X0) h0

δ1 = F (X2) - F (X1) h1

ProcedimientoProcedimiento

acb 42

Cuarto paso:Se obtienen:

a = δ1 – δ0

h1 + h0

b = a * h1 + δ0

c = F (X2)

Quinto paso:

X3 = X2 + - 2 * c b ±

ProcedimientoProcedimiento

acb 42

acb 42

acb 42

Sexto paso:Si | b + | > | b - |

Se escoge: b +

Si no, se escoge : b -

Calculo del Error.

Єa = X3 – X2 * 100% X3

acb 42

VentajasVentajas

Por medio de este método se encuentran Por medio de este método se encuentran tanto raíces reales como complejas.tanto raíces reales como complejas.

DesventajasDesventajas

En el Método de Müller se escoge el signo que En el Método de Müller se escoge el signo que coincida en el signo de “b”, esta elección coincida en el signo de “b”, esta elección proporciona como resultado el denominador proporciona como resultado el denominador mas grande, lo que dará la raíz estimada mas mas grande, lo que dará la raíz estimada mas cercana a Xcercana a X22. Una vez q se determino X. Una vez q se determino X33 el el proceso se repite, esto trae de que un valor es proceso se repite, esto trae de que un valor es descartado.descartado.

Estrategias Comúnmente UsadasEstrategias Comúnmente Usadas

Si sólo se localizan raíces reales, elegimos los 2 Si sólo se localizan raíces reales, elegimos los 2 valores originales más cercanos a la nueva raíz.valores originales más cercanos a la nueva raíz.

Si tenemos raíces reales y complejas, se usa un Si tenemos raíces reales y complejas, se usa un método secuencial.método secuencial.

Ej. Ej. X1, X2, X3 = X0, X1, X2X1, X2, X3 = X0, X1, X2

Ejemplo 7.2Ejemplo 7.2

Iteraciones X3 Ea (%)

0 5 ---------------

1 3.9765 25.7391

2 4.0011 0.6139

3 4.0000 0.0262

4 4.0000 1.7631 * 10 ^ - 5

X0 = 4.5

X1 = 5.5

X2 = 5

F(x) = x^3 – 13x -12

Problema 7.3Problema 7.3Parte A.Parte A.

X0 = 1

X1 = 1.5

X2 = 1.75

Iteraciones X3 Ea (%)

0 1.75 ---------------

1 2.0112 12.9863

2 1.999882423 0.5648

3 1.99999997 0.0059

4 2 1.3686 * 10 ^ - 6

F(x) = x^3 + x^2 – 4x - 4

X0 = 0.4

X1 = 0.6

X2 = 0.8

Iteraciones X3 Ea (%)

0 0.8 ---------------

1 0.5007 59.7750

2 0.49999 0.141817

3 0.500000 0.00100

Problema 7.3Problema 7.3Parte B.Parte B.

F(x) = x^3 – 0.5x^2 + 4x - 2F(x) = x^3 – 0.5x^2 + 4x - 2

Problema 7.4 (Incluye raíces complejas)Problema 7.4 (Incluye raíces complejas)Parte A.Parte A.

Iteraciones X3 Ea (%)

0 0.75 ---------------

1 1.0402 27.8979

2 0.9983 4.1995

3 0.9999942 0.17249

4 0.9999999 5.7776 * 10 ^ - 4

X0 = 0.25

X1 = 0.50

X2 = 0.75

F(x) = x^3 – x^2 + 2x - 2

Iteraciones X3 Ea

0 2.25 -----------------

1 1.1778 – 0.71168i 93.51

2 0.9186 – 0.93051i 25.94

3 0.6845 – 1.1251i 23.11

4 0.5381 – 1.2720i 15.05

5 0.5030 – 1.3176i 4.03

6 0.5000 – 1.3228i 0.43

7 0.4999 – 1.3229i 0.005

8 0.4999 – 1.322876i 1.52 * 10 ^ - 6

X0 = 1.75

X1 = 2

X2 = 2.25

Problema 7.4 (Incluye raíces complejas)Problema 7.4 (Incluye raíces complejas)Parte B.Parte B.

F(x) = 2x^4 + 6x^2 + 8F(x) = 2x^4 + 6x^2 + 8

Iteraciones X3 Ea

0 2.75 -----------------

1 1.488 – 0.8219i 88.51

2 1.2052 – 1.1174i 24.92

3 0.8931 – 1.44559i 26.65

4 0.7503 – 1.9344i 24.54

5 1.0207 – 2.0602i 12.97

6 0.99658 – 1.9977i 2.996

7 0.999969 – 2.0000i 0.1819

8 0.999999 – 2.0000i 0.001366

X0 = 2

X1 = 2.5

X2 = 2.75

Problema 7.4 (Incluye raíces complejas)Problema 7.4 (Incluye raíces complejas)Parte C.Parte C.

F(x) = x^4 - 2x^3 + 6x^2 – 2x +5F(x) = x^4 - 2x^3 + 6x^2 – 2x +5

Problema 7.17Problema 7.17

ho = 0.55 – 0.53 = 0.02

d0 = 58 – 19 = 1950 0.55 – 0.53

a = d1– d0 = -55000 h1 + ho

b = a h1 + d1 = 1950

c = 44

acb 42

s 524.085.36711950

)44(254.0to

h1 = 0.54 – 0.55 = -0.01

d1 = 44 – 58 = 1400 0.54 – 0.55

= 3671.85

R/ La presión es cero en 0.524 s

Desarrollo del Método de Müller Desarrollo del Método de Müller

en Matlaben Matlab