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Método de Máxima Pendiente Pag. 1 de 8

INTRODUCCIÓN

Los métodos de superficie de respuesta (MSR) son un conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas empleadas para la modelación y análisis de problemas en los que una variable de interés (Y) es influenciada por otras (x1, x2, … xk). El objetivo de esta metodología es optimizar la variable de interés, lo cual se logra determinando las condiciones óptimas de operación del proceso o sistema.

Por ejemplo, un ingeniero industrial necesita encontrar los niveles de corriente eléctrica (x1) y voltaje (x2) que maximicen el rendimiento (y) de un proceso:

y = f (x1, x2) + ε

Donde: y representa la respuesta del proceso, x1 la corriente eléctrica, x2 el voltaje y ε el ruido o error observado la respuesta.

Si la respuesta esperada se denota por:

E(y) = f (x1, x2) = η, entonces a la superficie representada por:

η = f (x1, x2), se le llama superficie de respuesta.

Fig. 1. Gráfica de superficie de respuesta tridimensional, indicando el rendimiento esperado como una función de la

corriente eléctrica y el voltaje η = f (x1, x2).

La representación gráfica habitual de la superficie red de respuesta se muestra en la figura 1, donde se puede apreciar la figura tridimensional con sus contornos y la gráfica de contorno bidimensional con las líneas de respuesta constante en la parte inferior, en esta última, cada contorno se corresponde con una altura particular de la superficie respuesta.

Al inicio de cada investigación, en la mayoría de los casos, se desconoce la forma de la superficie de respuesta, por lo que el investigador debe encontrar una aproximación adecuada que represente la verdadera relación funcional entre Y y el conjunto de variables independientes X.

Alumno: José Luis Hernández HernándezCuenta No. 1680084


Si la respuesta queda bien definida por una función lineal, la función de aproximación es un modelo de primer orden:

y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + … βk xk + ε

Si el sistema tiene curvatura, el modelo debe ser de orden superior, como por ejemplo de segundo orden:

Los dos modelos anteriores son utilizados en casi en todos los problemas relacionados con superficie respuesta, sin embargo, es probable que el modelo por binomial sea la aproximación más razonable para representar la verdadera relación funcional en todo el espectro de influencia de las variables independientes, solo que, para regiones relativamente pequeñas suelen funcionar razonablemente.

Las Etapas para la estructuración del MSR son:

1. Los parámetros de los polinomios de aproximación se estiman por medio del método de mínimos cuadrados estudiado anteriormente. Estos parámetros pueden estimarse de manera más eficiente empleando los diseños experimentales apropiados para la recolección de datos.

2. Realizar el análisis de superficie respuesta por medio de los métodos de superficie ajustada. Si el resultado es una aproximación adecuada de la verdadera función de respuesta, entonces el análisis de la superficie de respuesta determinada será un equivalente aproximado al análisis del sistema real. A los diseños para ajustar la superficie de respuesta se denominan diseños de superficie respuesta.

3. Determinar las condiciones de operación óptima del sistema, por medio de la identificación de una región del espacio de la superficie de respuesta, donde los factores satisfagan los requerimientos de operación de mejor forma.

Esta última etapa es la que analizaremos a continuación, apoyados en el método del ascenso más pronunciado o también denominado, de máxima pendiente en ascenso.

MÉTODO DE MÁXIMA PENDIENTE EN ASCENSO

La metodología de superficie de respuesta es un procedimiento secuencial, dado que, en muchas ocasiones, cuando se está en un punto específico de la superficie de respuesta, éste puede estar apartado del óptimo, como en el caso de la figura 2.



En la figura, aparentemente, el sistema presenta una curvatura moderada y se está lejos de la región óptima; un modelo de primer orden pudiera ser apropiado. El objetivo para el experimentador es, en cualquier caso, encontrar de manera rápida y eficiente la trayectoria del mejoramiento hasta el punto óptimo.

Una vez encontrada la región óptima, se puede emplear un modelo más elaborado, como lo es el de segundo orden y llevar a cabo un análisis específico para localizar el punto óptimo.

Fig. 2. El carácter secuencial del MSR

El procedimiento para moverse, de manera secuenciada, sobre la trayectoria de máximo ascenso, es el método de máxima pendiente en ascenso o del ascenso más pronunciado, esto es, dirigirse lo más rápidamente posible hacia el nivel de incremento máximo de la respuesta. En algunos casos, lo que se busca es una minimización en la respuesta, a este enfoque de la técnica se le denomina método del descenso más pronunciado.

El modelo ajustado de primer orden es:

Cuya superficie de respuesta es una serie de líneas paralelas como los que se muestran en la figura tres.

La dirección donde y se incrementa con mayor rapidez, corresponde al ascenso más pronunciado, la cual es paralela a la normal de la superficie de respuesta ajustada.

En este caso, los escalones o pasos sobre la trayectoria son proporcionales a los coeficientes de regresión βi.

Fig. 3. Gráfica de superficie de respuesta de primer orden con la trayectoria de ascenso más pronunciado.



El tamaño del escalón el experimentador lo determina con base en el conocimiento del proceso o de otras consideraciones de carácter práctico. Se realizan experimentos sobre la trayectoria de ascenso hasta que dejan de observarse incrementos adicionales en la respuesta. En ese momento, se puede emplear un nuevo modelo de primer orden para determinar una nueva trayectoria de ascenso más pronunciado y así sucesivamente. En un momento dado, el experimentador llegará hasta la vecindad del punto óptimo; la falta de ajuste del modelo de primer orden indicará que se ha llegado al objetivo.

Ejemplo: Un experimentador desea determinar las condiciones de operación que optimicen el rendimiento de un proceso químico. Se ha determinado que son dos las variables controlables que influyen en el rendimiento del proceso:

el tiempo de reacción (x1) y la temperatura de reacción (x2).

Actualmente el proceso opera con un tiempo de reacción de 35 minutos y una temperatura de 155° F, lo que produce un rendimiento del 40%. El experimentador decide que la región de exploración sea de (30, 40) minutos de reacción y de (150, 160)° F. Con el fin de simplificar los cálculos las variables independientes se codifican (-1, 1).

Las variables codificadas son:

x1 = (ξ1 – 35)/5, donde: ξ1 es la variable natural tiempo. x2 = (ξ – 155)/5, donde: ξ2 es la variable natural temperatura.

Los datos de diseño experimental se muestran en la siguiente tabla.

Se utiliza un diseño factorial 22, aumentado con cinco center points, lo cual permite estimar el error experimental, verificar las interacciones y probar la adecuación del modelo de primer orden con respecto a la posibilidad de contener efectos cuadráticos (curvatura). Por su parte, el diseño está configurado alrededor de las condiciones de operación actuales del proceso.



Previo a la exploración a lo largo de la trayectoria del ascenso más pronunciado, se debe investigar adecuación del modelo de primer orden.

Por medio del método de mínimos cuadrados obtiene los resultados de la Fig. 4.

Donde puede advertirse:

1. La ecuación de regresión, la cual supone que las variables x1 y x2 tienen un efecto adictivo sobre la respuesta. El pvalue de la regresión global nos indica que es significativa.

2. Ambas variables son significativas, especialmente x2.

3. El efecto de la interacción no es significativo.

4. El valor alto de la R2 que es igual a 94.1%.

5. Por el pvalue de la regresión se observa que esta es significativa.

6. El modelo indica que hay que desplazarse 0.775 unidades en dirección de x1 por cada 0.325 unidades en dirección de x2, para incrementar 1 unidad en la respuesta.

7. La curvatura no resulta significativa.

De acuerdo a las conclusiones anteriores, no existe razón alguna para cuestionar la adecuación del modelo de primer orden.

La trayectoria del ascenso más pronunciado pasa por el punto (x1 = 0, x2 = 0) con una pendiente de 0.325/0.775.

Fig. 4. Análisis de regresión y ANOVA del ejemplo

El experimentador para separarse del centro del diseño, sobre la trayectoria del ascenso más pronunciado, decide usar 5 minutos para el tiempo reacción cómo tamaño básico de cada paso, lo que es equivalente en la variable codificada a un incremento de Δx1 = 1. Para el caso de la temperatura, el incremento es, por consecuencia de: Δx2 = 0.0325/0.775 = 0.42.

El experimentador calcula puntos a lo largo de esta trayectoria y observa los rendimientos en cada uno, hasta notar un decremento en la respuesta. Los resultados se muestran en la figura 5,



donde los incrementos se muestran tanto para las variables codificadas como para las variables naturales. Es importante mencionar que aun cuando la manipulación matemática de las variables codificadas es más simple, deben utilizarse las variables naturales cuando el proceso se corre.

Fig. 5. Experimento del ascenso más pronunciado.

Fig. 6. Gráfica de rendimientos para cada paso en la trayectoria del acceso más pronunciado

En la figura 6 se muestra la gráfica de rendimientos para cada paso en la trayectoria del acceso más pronunciado, donde se observan los incrementos en la respuesta hasta el paso número 10; los pasos posteriores este evidencia un decremento en el rendimiento.

Como conclusión, debe ajustarse otro modelo de primer orden en la vecindad del punto:

(ξ1 = 85, ξ2 = 175) o sea (x1 = 10, x2 = 4.2)

y la región de exploración es para:

ξ1 (80, 90) ξ2 (170, 180)

Las variables nuevamente codificadas son:

x1 = (ξ1 – 85)/5, donde: ξ1 es la variable natural tiempo. x2 = (ξ – 175)/5, donde: ξ2 es la variable natural temperatura.



Fig. 7. Datos para el segundo modelo

Nuevamente se utilizará un diseño de primer orden, 22 con 5 puntos centrales, cuyos datos se muestran en la figura 7.

Fig. 8. Regresión para el segundo modelo

La figura 8 muestra el ajuste del modelo de primer orden para las variables codificadas de la figura siete.

La figura 9 presenta el ANOVA de este segundo modelo, de la que podemos concluir lo

Fig. 9. ANOVA del segundo modelo de primer orden



siguiente:

1. Las dos variables siguen siendo significativas en este modelo, especialmente x1.

2. La interacción ya no es significativa.

3. La curvatura (término cuadrático puro) es altamente significativa.

4. El coeficiente determinación r2 sigue siendo muy alto.

Lo anterior indica que el modelo de primer orden no es la aproximación más adecuada; la curvatura en la superficie puede estar indicándole al investigador que se encuentra muy cerca del punto óptimo.

A estas alturas, será necesario realizar análisis adicionales para localizar con mayor precisión el punto óptimo.


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