metodo de newton - Raphson.pdf

Universidad Nacional de Trujillo

Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas Dr. Wilson Maco Vsquez

Departamento de Matemticas Mg. Lucy Salazar Rojas

MTODO DE NEWTON-RAPHSON

El mtodo de Newton (conocido tambin como el mtodo de Newton-Raphson) es un

algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o races de una funcin

real. El mtodo de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su

frmula en un proceso iterativo.

La idea de este mtodo es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente

cercano al cero (denominado punto de arranque), entonces se reemplaza la funcin por

la recta tangente en ese valor, se iguala a cero y se despeja (fcilmente, por ser una

ecuacin lineal). Este cero ser, generalmente, una aproximacin mejor a la raz de la

funcin. Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen.

Supongamos que tenemos la aproximacin a la raz de ()

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto ( , ()) ; sta cruza al eje X en un

punto +1 que ser nuestra siguiente aproximacin a la raz .

Para calcular el punto +1 calculamos primero la ecuacin de la recta tangente.

Sabemos que tiene pendiente

= ()

Y por lo tanto la ecuacin de la recta tangente es:

() = ()( )

Hacemos = 0 :

() = ()( )

Xr

Xi Xi+1

f(x)

tangente

X

Y




y despejamos :

= ()

()

Que es la frmula iterativa de Newton-Raphson, para calcular la siguiente

aproximacin:

+1 = ()

() si () 0

Notar que el mtodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure

que encontraremos la raz, y de hecho no tenemos ninguna garanta de que nos

aproximaremos a dicha raz. Desde luego, existen ejemplos donde este mtodo no

converge a la raz, en cuyo caso se dice que el mtodo diverge. Sin embargo, en los

casos donde si converge a la raz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es

uno de los mtodos preferidos por excelencia.

Tambin observe que en el caso de que () = 0 , el mtodo no se puede aplicar. De

hecho, vemos geomtricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y

por lo tanto no intercepta al eje X en ningn punto, a menos que coincida con ste, en

cuyo caso mismo es una raz de ().

Ejemplo 1

Usar el mtodo de Newton-Raphson, para aproximar la raz de () = ln ,

comenzando con 0 = 1 y hasta que || < 1% .

Solucin

En este caso, tenemos que

() = 1

De aqu tenemos que:

+1 = ln

1

= + ln

+1




Comenzamos con 0 = 1 y obtenemos:

1 = 0 + 0 ln 0

0 +10

= 1.268941421

En este caso, el error aproximado es,

|| = |1 0

1 100%|

|| = |1.268941421 1

1.268941421 100%| = 21.19 %

Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidi.

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raz Error aprox.

1

1.268941421 21.19%

1.309108403 3.06%

1.309799389 0.052%

De lo cual concluimos que la aproximacin obtenida es:

3 = 1.309799389

Ejemplo

Usar el mtodo de Newton-Raphson para aproximar la raz de () = +

1 comenzando con 0 = 0 y hasta que || < 1% .

Solucin




En este caso, tenemos que

() =1

1 + 2+ 1

La cual sustituimos en la frmula de Newton-Raphson para obtener:

+1 = + 1

11 + 2

+ 1)

Comenzamos sustituyendo 0 = 0 para obtener:

1 = 0 0 + 0 1

11 + 02

+ 1)= 0.5

En este caso tenemos un error aproximado de

|| = |0.5 0

0.5 100%| = 100%

Continuamos con el proceso hasta lograr el objetivo. Resumimos los resultados en la

siguiente tabla:

Aprox. a la raz Error

aprox.

0

0.5 100%

0.5201957728 3.88%

0.5202689918 0.01%

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1




De lo cual concluimos que la aproximacin obtenida es:

3 = 0.5202689918

Ejemplo 3

Usar el mtodo de Newton-Raphson para aproximar races cuadradas de nmeros reales

positivos.

Solucin

Sea > 0 . Queremos calcular tal que = ; elevando al cuadrado 2 = , o

bien 2 = 0

Esto nos sugiere definir la funcin () = 2 de donde () = 2 . Al

sustituir estos datos en la frmula de Newton-Raphson obtenemos:

+1 =

2

2

obteniendo:

+1 =1

2[ +

]

Esta frmula era conocida por los antiguos griegos (Hern).

Para fijar un ejemplo de su uso, pongamos R=26 y apliquemos la frmula obtenida,

comenzando con 0 = 5. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raz Error aprox.

5

5.1 1.96%

5.099019608 0.019%

5.099019514 0.0000018%

De lo cual concluimos que 26 5.099019514 , la cual es correcta en todos sus

dgitos.

La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen races n-simas de

nmeros reales positivos.

Observe que cuando el mtodo de Newton-Raphson converge a la raz, lo hace de una

forma muy rpida y de hecho, observamos que el error aproximado disminuye a pasos




agigantados en cada paso del proceso. Aunque no es nuestro objetivo

establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los mtodos que hemos

estudiado, cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor precisin la

rapidez lentitud del mtodo en estudio.

OBSERVACION :

Este mtodo es el ms seguro de todos, ya que casi nunca falla, la nica vez que puede

fallar es que se quede "oscilando" encima de la raz sin encontrarla nunca, lo que se

llama gravedad matemtica.

Por lo dems es el ms confiable y el ms fcil de usar, la nica dificultad que presenta

es que se tiene que derivar la ecuacin que se quiere encontrar la raz.

Trabaja trazando lneas tangentes a la curva original, por eso la derivada, las cuales se

van como deslizando por la misma hasta que quedan prcticamente horizontales, porque

se sabe que una lnea vertical no tiene pendiente ni recta tangente.

Para aplicar este mtodo primero definimos:

es el primer y nico punto que se le da al mtodo, porque solo trabaja con un punto.

es el valor actual de X.

+1 es el siguiente valor de X.

Lo primero que se tiene que hacer es derivar la ecuacin, una vez que ya se tiene la

derivada y es correcta, se puede empezar con el mtodo.

Aqu se ocupan 3 columnas para los datos, , () y ().

El mtodo ha aplicar es la ecuacin

+1 = ( () / () )

Ejemplo

Supngase que se tiene la ecuacin 3 22 + 8 9

Su derivada es: 32 4 + 8

y el punto con el que se quiere trabajar es 15

El mtodo termina idealmente hasta que en la columna de () quede un 0, pero

realmente eso nunca sucede, lo que se hace es fijar al principio un valor cercano a 0 al

que se desea llegar, por ejemplo 0.001, y cuando en () su valor absoluto sea menor




o igual de 0.001 entonces el mtodo termina y la raz que se busca es el ultimo

valor que haya en .

Algoritmo del Mtodo de Newton-Raphson

Para obtener una solucin a f(x)=0 dada la funcin

diferenciable f y una aproximacin inicial p0:

ENTRADA: aproximacin inicial p0; tolerancia TOL; nmero

mximo de iteraciones N0.

SALIDA: solucin aproximada p o mensaje de fracaso.

Paso 1: Para i=1;

Paso 2: Mientras i N hacer pasos 3-6

Paso 3: Hacer )('

)(

0

0

0pf

pfpp ;

Paso 4: Si | p - p0 |



Departamento de Matemticas Mg. Lucy Salazar Rojas FPo = eval(Fx);% 'FPo' contiene el valor de f(x) para x=Po

x= Po + h; FPoh = eval(Fx);% 'FPo' contiene el valor de f(x) para x=Po+h derivFPo= (FPoh - FPo)/h; % calculo de la derivada de f(x)--->

f'(x)= (f(Xo+h)-f(X0))/h P = Po - FPo/derivFPo; % calculo del punto donde corta la recta

tangente del punto Po al eje de las absisas if(abs(P - Po)< Tol)% condiciones para encontrar una raiz fprintf('\n LA RAIZ DE MEJOR APROXIMACIO ES: %.3f',P) encontrado = true; break; end i = i + 1; Po = P;%Redefinicion del valor de Po end

if(encontrado == false)% Condicin cuando no se a encontrado una

aproximacin a la raz fprintf ('\n NO SE ENCONTRO UNA RAIZ DESPUES DE %.3f',numIter) fprintf (' ITERACIONES') fprintf ('\n EL METODO FRACASO...!') end

Programa02

% Para una funcin f(x) ingresada desde el teclado function [A,B]=newtonraph(po,N,TOL,fx)

% p aproximacin inicial, a partir de este valor encontraremos los

dems % N Numero mximo de iteraciones que hace el programa para encontrar

la solucin % Tol tolerancia % fx es la funcin o ecuacin a evaluar su solucin es decir una de

sus races

fx=sym(fx);

flag=0; i=1; x=-2:0.001:4; y=subs(fx,x); plot(x,y,'b'); grid; hold on; while i



Departamento de Matemticas Mg. Lucy Salazar Rojas fp=subs(fx,p);

plot(p,fp,'.r:'); pause(0.5); if abs(p-po)> newtonraph(15,8,0.5,'x^3-2*x^2+8*x-9');

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