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8/16/2019 Metodo-de-Rayleigh-Ritz-ejercicios.doc

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Análisis SismoResistente

SISTEMA CON N GRADOS DE LIBERTAD – MÉTODO DE

RAYLEIGH RITZ

INTRODUCCIÓN

Cuando los sistemas son complejos, es muy difícil o imposile en la p!ácticaencont!a! soluciones pa!a el p!olema de encont!a! las !espuestas delsistema a un conjunto "p!oalemente complejo# de e$citaciones% Como unmedio p!actico de !esoluci&n, 'o!d Raylei() p!opuso inicialmente sustitui! elp!olema inicial de * (!ados de lie!tad con uno de * (!ado de lie!tad%+oste!io!mente Rit e$tendi& el m-todo pa!a utilia! .a!ios (!ados delie!tad%

+oste!io!mente "a/os 012# se comen& a e$plo!a! el m-todo de loselementos 3nitos, 4ue puede se! conside!ado como una aplicaci&n pa!ticula!

del m-todo de Raylei()5Rit% 6n t-!minos muy ásicos consiste en sudi.idi!el sistema en un nume!o finito de elementos de (eomet!ía simple, y 4uetienen un compo!tamiento est!uctu!al ien conocido "a!!as, .i(as,placas,%%#% 6n cada elemento se dispone de un set pe4ue/o de funciones defo!ma 4ue dependen de los .alo!es en cie!tos puntos del elemento"nodos#% Al impone! condiciones de continuidad ent!e los elementos selle(a a una soluci&n 4ue puede se! muy ce!cana al .alo! e$acto%

Facultad Ingenie!a Ci"il


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RAYLEIGH RITZ

SISTEMAS CON ƞ GRADOS DE LIBERTAD

MÉTODO DE RAYLEIGH – RITZ

Un método muy aceptado por los códigos de construcción actuales es el Método de Rayleigh, el

cual permite calcular con buena aproximación la frecuencia fundamental de un sistema de

grados de libertad mediante un proceso relativamente sencillo.

Este método fue desarrollado utilizando la ley de la conservación de la energa, permitiendoanalizar sistemas de m!ltiples grados de libertad como un sistema e"uivalente de un grado delibertad, en función de una sola coordenada generalizada.

6ste m-todo e$p!esa el desplaamiento de cual4uie! punto $ como unacominaci&n de funciones dependientes de $ 4ue son ponde!adas po! unaamplitud dependiente del tiempo7

#a mayora de las estructuras pueden ser idealizadas como un voladizo vertical, cuyosdesplazamientos se relacionan con las coordenadas generalizadas mediante

Donde es la coordenada generalizada dependiente del tiempo que corresponde al

desplazamiento del extremo libre del voladizo y es la función de forma para cualquier punto

N&tese 4ue las ne(!illas indican cantidades .ecto!iales% 'a ecuaci&n ante!io!puede se! con.enientemente esc!ita como7



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a lo largo del mismo. En los sistemas con m!ltiples grados de libertad se hace necesario

expresar las fuerzas el$sticas y amortiguadoras en función de los desplazamientos relativos

y velocidades relativas a los extremos de cada elemento

%ara formular la ecuación de movimiento en términos de una coordenada generalizada esnecesario "ue las masas estén concentradas al nivel de los pisos y se encuentren acopladassimplemente. &plicando el principio del traba'o virtual, en las cuales dado un desplazamiento

virtual, el traba'o de las fuerzas en e"uilibrio din$mico es igual a cero

El desplazamiento virtual puede ser escrito como

(ónde)

#as fuerzas de inercia, amortiguamiento y el$stica pueden ser expresadas como

*ue siendo sustituidas en la aplicación del traba'o virtual, resulta la siguiente ecuación demovimiento en términos de las coordenadas generalizadas

(onde , , y son los par$metros generalizados +masa generalizada, amortiguamiento

generalizado, rigidez generalizada y fuerza generalizada, respectivamente, definidos por



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%ara una aceleración en la base dependiente del tiempo, la fuerza generalizada se convierte en

(onde # es el factor de participación del terremoto

%uede resultar conveniente expresar el amortiguamiento generalizado en términos del porcenta'e

de amortiguamiento crtico de la siguiente manera

(onde representa la frecuencia circular del sistema generalizado y est$ dada por

El Método de Rayleigh

(ado un sistema el$stico sin amortiguamiento, la m$xima energa potencial en términos de lacoordenada generalizada puede escribirse como

- la energa cinética

(e acuerdo con el principio de conservación de la energa, estos valores m$ximos deben ser iguales entre s e iguales a la energa total del sistema. %or tanto, el método de Rayleigh consisteen determinar la frecuencia natural del sistema mediante la igualación de ambas energas m$ximas

- el perodo es



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Multiplicando y dividiendo por y utilizando ,

#a cual aparece en el artculo / del R01234.

8odos p!opios, f!ecuencias natu!ales y 9R9s de una .i(a

A 3n de e$p!esa! la ene!(ía potencial se de3nen los si(uientes .ecto!es"en el caso más (ene!al#7

: el ope!ado! de dife!enciaci&n espacial D "pa!a el caso (ene!al#7

'o 4ue nos pe!mite e$p!esa! fácilmente la defo!maci&n7

'a ene!(ía cin-tica puede se! e$p!esada como7



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Usando7

Donde la mat!i de masa se define po!7

+o! su lado, la ene!(ía potencial se e$p!esa como7

Donde la densidad de ene!(ía de defo!maci&n es7

: dado 4ue pa!a7

Donde ; es la mat!i de ;oo


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'o 4ue nos pe!mite esc!ii! la ecuaci&n del mo.imiento7

9unciones de fo!ma y desplaamientos a$iales de la a!!a

Baa E#$%tada&

6$p!esemos las defo!maciones posiles como7

6ntonces7



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: la mat!i de !i(ide

Con lo 4ue el p!olema )omo(-neo 4ueda7



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RO>'68AS D6 A+'ICACIÓN

+RO>'68A N?*7+a!a la est!uctu!a most!ada en la 3(u!a, se pide7 6ncont!a! los .alo!es p!opios;alla! los modos de .i!aci&n

Soluci&n7

Ciclo *7

+a!a la aplicaci&n del m-todo de Raylei(), supon(amos 4ue ladefo!maci&n p!oduce desplaamientos7@*"t# * y @B"t# B

'a má$ima ene!(ía potencial es entonces7

: la má$ima ene!(ía cin-tica es7



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I(ualando la má$ima ene!(ía potencial con la má$ima ene!(ía cin-tica ydespejando la f!ecuencia natu!al da7

'a f!ecuencia natu!al calculada como fB%B cps es solamente unaap!o$imaci&n al .alo! e$acto, puesto 4ue la fo!ma (ene!al de ladefo!maci&n fue supuesta con el p!op&sito de aplica! el m-todo deRaylei()% +a!a mejo!a! este .alo! calculado pa!a la f!ecuencia natu!al,conside!emos el modelo matemático del sistema estudiado7

'as ecuaciones de e4uili!io otenidas i(ualando a ce!o la suma de lasfue!as en los dia(!amas de cue!pos li!es del sistema, dan7

: !esol.iendo7

O en la !a&n7

Ciclo B7Int!oduciendo estos .alo!es mejo!ados de los desplaamientos $* y $Ben las ecuaciones "a# y "#, pa!a !ecalcula! la má$ima ene!(ía potencial y lamá$ima ene!(ía cin-tica, !esulta7



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RAYLEIGH RITZ

Eue despu-s de i(uala! Fma$ y Tma$, otenemos7

6ste Gltimo .alo! calculado pa!a la f!ecuencia natu!al fB%BH cps, pod!íamejo!a!se con la aplicaci&n de una nue.a ca!(a inicial en el sistema, asadaen este Gltimo .alo! de la f!ecuencia natu!al, !epitiendo un nue.o ciclo decálculos%

Ciclo 7

Tami-n7

: !esol.iendo7

O en la !a&n7

6ne!(ías cin-tica y potencial má$imas7

9!ecuencia an(ula! y natu!al7

Ciclo J7



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RAYLEIGH RITZ

Tami-n7

: !esol.iendo7

O en la !a&n7



Ciclo K7

Tami-n7

: !esol.iendo7

O en la !a&n7



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'a tala muest!a los !esultados otenidos en cinco ciclos%Cicl% Ra'(n

deCaga inecial

FecuenciaFecuenc

ia)ei%d%

de*%#aci(n 9* 9B natual

+c$,-

angula

+ad.,eg-

+,eg-

/ *7 B%22 B%B *%J2 2%KHK

0 *7 *%1H KH% 2%2KJ B%BH *%*JK 2%11J

1 *7 *%1J K%1*J 1K%2 B%B *%*B 2%11

2 *7 *%1 K%KB 1%2K B%B *%* 2%11

3 *7 *%1 K%KJ 1B%12 B%B *%* 2%11

Cuad%c%#$aati"%

M4t%d%Ra5leig6

M4t%d% $%lin%#i%caacte!,tic%

Fecuencia *%* !adLse( *%*B !adLse(

)ei%d% 2%11 se( 2%11 se(



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+RO>'68A N?B7+a!a el sistema de B ni.eles 4ue se muest!a en la fi(u!a, dete!mina!sus pe!iodos y fo!mas de modo de .i!aci&n "( H2 cmLse(B#

Soluci&n7

Ciclo *7+a!a la aplicaci&n del m-todo de Raylei(), supon(amos 4ue la

defo!maci&n p!oduce desplaamientos7@*"t# * y @B"t# B'a má$ima ene!(ía potencial es entonces7

: la má$ima ene!(ía cin-tica es7

I(ualando la má$ima ene!(ía potencial con la má$ima ene!(ía cin-tica ydespejando la f!ecuencia natu!al da7

'a f!ecuencia natu!al calculada como fB%1 cps es solamente unaap!o$imaci&n al .alo! e$acto, puesto 4ue la fo!ma (ene!al de ladefo!maci&n fue supuesta con el p!op&sito de aplica! el m-todo deRaylei()% +a!a mejo!a! este .alo! calculado pa!a la f!ecuencia natu!al,

conside!emos el modelo matemático del sistema estudiado7


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'as ecuaciones de e4uili!io otenidas i(ualando a ce!o la suma de lasfue!as en los dia(!amas de cue!pos li!es del sistema, dan7

: !esol.iendo7

O en la !a&n7

Ciclo B7Int!oduciendo estos .alo!es mejo!ados de los desplaamientos $* y $Ben las ecuaciones "a# y "#, pa!a !ecalcula! la má$ima ene!(ía potencial y lamá$ima ene!(ía cin-tica, !esulta7

Eue despu-s de i(uala! Fma$ y Tma$, otenemos7

6ste Gltimo .alo! calculado pa!a la f!ecuencia natu!al fB%2B cps, pod!íamejo!a!se con la aplicaci&n de una nue.a ca!(a inicial en el sistema, asadaen este Gltimo .alo! de la f!ecuencia natu!al, !epitiendo un nue.o ciclo decálculos%Ciclo 7

Tami-n7

: !esol.iendo7


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O en la !a&n7



Ciclo J7

Tami-n7

: !esol.iendo7

O en la !a&n7



Ciclo K7

Tami-n7


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: !esol.iendo7

O en la !a&n7



'a tala muest!a los !esultados otenidos en cinco ciclos%

Cicl% Ra'(nde

Caga inecialFecuencia

Fecuencia

)ei%d%

de*%#aci(n

9* 9B natual

+c$,-

angula

+ad.,eg-

+,eg-

/ *7 B%22 B%1 *%2*H 2%J

0 *7 *%11 1%1*B %*H B%2B *%12J 2%K1H

1 *7 *%1* 12%*K 1*%HJB B%22 *%KHB 2%K*

2 *7 *%12 12%1 KH%HHK B%22 *%KH2 2%K*

3 *7 *%12 12%1*H KH%12 B%22 *%KH2 2%K*

Cuad%c%#$aati"%

M4t%d%Ra5leig6

M4t%d% $%lin%#i%caacte!,tic%


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Fecuencia *%KH2 !adLse( *%*K2 !adLse(

)ei%d% 2%K* se( 2%11 se(

. 1alcule el periodo fundamental, la configuración del primer modo y la frecuencia natural de laestructura mostrada a continuación, usando el método de Rayleigh.


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Solución

1. Selección de las fuerzas laterales

#as cargas laterales en el método de Rayleigh vienen dadas por las fuerzas de inercia, es decir, elproducto de cada masa con su respectiva aceleración. %uesto "ue solo conocemos las masas, lasfuerzas de inercia se escogen arbitrariamente, con valores descendentes desde las masassuperiores hacia las inferiores.

1omo en nuestro caso las propiedades de la estructura son similares en cada nivel, se asume "uelas aceleraciones, y por tanto las cargas inerciales, varan linealmente desde el nivel del techo.(ado "ue la magnitud de las fuerzas de inercia es irrelevante, asumimos los valores de 5, 6, 7 y /8ip para cada nivel +de las masas superiores a las inferiores por conveniencia en los c$lculos.

2. Cortante de piso

Empleando el método de las secciones, con las fuerzas de inercia como cargas externas,calculamos el cortante en cada uno de los niveles de la estructura. (icho de una manera simple, elcortante en un nivel es igual a la suma de las fuerzas laterales en las masas superiores al mismo.

3. Desplazaientos relati!os de cada ni!el

(e la ley de 9oo8e se tiene "ue el desplazamiento relativo de las masas es igual al cortantedividido por la rigidez del entrepiso.

". Desplazaiento total de cada ni!el

Es la acumulación de los desplazamientos relativos por cada nivel.


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#. $unción de fora

:e obtiene dividiendo los desplazamientos de cada nivel entre el m$ximo desplazamiento +el delnivel superior

%. Masa generalizada

&. $uerza generalizada

'. (er)odo fundaental

*. $recuencia natural


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1+. Configuración del prier odo de !i,ración

Resuen de los c-lculos

.,ser!ación/

0ótese "ue en el método de Rayleigh Ritz, el vector " corresponde solo a una

ME0D DE RE456

0ivel ; +8/


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ponderación para las funciones de forma 0. :in embargo en el método de elementos finitosel vector de desplazamientos corresponde efectivamente con los desplazamientos deciertos grados de libertad..,ser!ación/

Una matriz de masa definida por + es llamada consistente, utiliza las mismas3aproximaciones usadas para definir a la matriz de rigidez..,ser!ación/

El uso de las matrices de masa no consistentes hace perder la garanta de "ue lasfrecuencias naturales encontradas son sobre estimadas.

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