INTRODUCCIN

El principal objetivo de nuestro trabajo es dar a conocer los conceptos de los diferentes mtodos matemticos aplicados en el programa Matlab, su funcionamiento, su aplicacin en las ramas de la ingeniera, su ayuda en la solucin de los clculos matemticos.Al inicio de nuestra vida universitaria encontramos conceptos interesantes sobre este programa (Matlab), pero estos conocimientos no solamente quedan ah, como todo conocimiento que llega abarcar amplios campos de la ingeniera, el clculo avanzo progresivamente hasta no solamente tener una teora, sino varias.Al estudiar los diferentes mtodos aplicados en el programa (Matlab) encontramos diferentes algoritmos, comandos, que nos ayud a programar en Matlab que nos servirn mas adelante en nuestra vida profesional. En este trabajo, hablaremos de los diferentes mtodos como: trapecios, Romberg, Simpson 1/3, Simpson 3/8, Funciones de cuadratura, Euler, Euler modificado, ruge Kutta, Funciones Ode, Solucin de ecuaciones diferenciales de orden superior.

CLCULO DE REAS Uno de los problemas matemticos ms frecuentes en el clculo del rea que se forma entre una funcin f(x), el eje x y los lmites de a y b. por ejemplo, se necesita calcular el rea de A que aparece en la fig. 1, reiterando que dicha rea est por debajo de la funcin f(x) entre los lmites de a y b

Partiendo del hecho que la funcin f(x) y los valores de a y b son conocidos. a se considera como el lmite inferior y b se considera como lmite superior.En este tipo de problemas se puede obtener dos tipos de soluciones: Soluciones algebraicas: se obtiene una formula precisa y exacta para el rea solicitada. Soluciones numricas: se calcula numricamente una estimacin del rea.Desde luego, las soluciones algebraicas son mejores que las numricas, porque son exactas. Pero a veces, la complejidad de las funciones hace imposible (o difcil) obtener la solucin algebraica, por lo que una solucin numrica permite ahorrar tiempo.

MTODO DE SIMPSON 1/3

Sea donde f(x) es la funcin. El valor del rea se puede determinar aproximadamente donde , n= par, entonces: Una forma de obtener una aproximacin adecuada de una integral es usar polinomios de grado superior para unir los puntos y aproximar la funcin real.

El mtodo de Simpson, a diferencia de la Regla trapezoidal, intenta no incurrir en un mayor nmero de subdivisiones; se trata de ajustar una curva de orden superior en lugar de una lnea recta como en la Regla Trapezoidal.Sea una funcin f(x), si entre f(a) y f(b) existe un tercer punto, entonces ser posible ajustar por ellos una parbola, en la misma forma, si existe dos puntos entre f (a) y f(b), entonces por esos cuatro puntos se podr ajustar una curva de grado tres, y as sucesivamente. En la figura. 2, se muestra la funcin que es una parbola que aproxima a la funcin real. En este caso se calcula el rea o la integral bajo la parbola que une los tres puntos. Note que hay tres puntos y dos segmentos, por lo que se ver ms adelante que esta integral se resuelve con regla de Simpson 1/3. Por lo tanto las frmulas que resultan de tomar integrales bajo estos polinomios se conocen como regla de Simpson.

Figura 2 Descripcin de la grfica de la regla de Simpson 1/3Ejemplo.Se la integral , donde n=6Solucin.Sabemos que la frmula de Simpson es:, donde

x33.544.555.56

f(x)0.230760.215380.20.185560.172410.160580.15

k1424241

K*f(x)0.230760.861520.40.742240.344820.642320.15

Donde tenemos

EN MATLABSea y para j= 0, 1,, n. existe tal que la regla compuesta de Simpson para n intervalos con su trmino de error es:

El algoritmo de la regla de Simpson compuesta para calcular 1. Ingresar [a;b], n(nmero par de intervalos)2. Haciendo 3. Si tomamos SO= f(a)+f(b)S1= 0; (suma de los ) S2= 0; (suma de los )4. Desde i=1 hasta n-1a) Haciendo x = a +ihb) Si i es par, tome S2= S2 +f(x)c) Sino si i es impar, tome S1= S1+f(x)

Fin-desde 5. Haciendo 6. Mostrar S

Ejemplo en Matlab

clear; clc; fprintf('Calculo de la integral por el metodo de Simpson de 1/3\n\n'); f=input('introduce la funcion:','s'); a=input('lime inferior:'); b=input('limite superior:'); c=input('numero de segmentos a dividir (numero par):'); h=(b-a)/c; %***************************************************************** %** En la siguiente seccion se realiza la sumatoria ** %** de cada una de las evaluaciones impares de la funcion ** %*****************************************************************z=0; x=a; for i=1:c;if (-1)^i==1k=eval(f);z=z+k;endx=h*i;end %***************************************************************** %** En la siguiente seccion se realiza la sumatoria ** %** de cada una de las evaluaciones pares de la funcion ** %***************************************************************** zz=0; x=a; for i=2:c;if (-1)^i==-1k=eval(f);zz=zz+k;endx=h*i;end %***************************************************************** %** En la siguiente seccion se realiza la evaluacion de ** %** el primero y el ultimo valor a evaluar en la funcion ** %***************************************************************** x=a; if x==ad=eval(f);endx=b;if x==be=eval(f);end %***************************************************************** %** una vez que se tienen los datos de areas bajo la curva ** %** se realizan las operaciones directamente en la formula de ** %** integracion por el metodo de simpson de 1/3. ** %***************************************************************** z=z*4; v=zz*2; z=z+v+d+e; z=z/(3*c); z=z*(b-a) fprintf('Resultado ');

Ejemplo de metodo de simpson compuesto

clc; clear;fprintf('\t\tFORMULA DE SIMPSON COMPUESTO\n')funcion=input('ingrese la funcion \n f(x)=','s');b=input('ingrese el limite superior de la integral\n');a=input('ingrese el limite inferior de la integral\n');n=input('ingrese el numero de intervalos\n');h=(b-a)/(2*n);f=0;for k=1:n-1x=a+h*(2*k);f=f+eval(funcion);endf1=0;for k=1:nx=a+h*(2*k-1);f1=f1+eval(funcion);endf=2*f+4*f1;x=a; f=f+eval(funcion); x=b; f=f+eval(funcion);f=(h/3)*f;fprintf('el valor aproximado de la integral es: %10.15f\n\n',f)

MTODO DE RUNGE KUTTA.

El mtodo de Runge Kutta es un mtodo numrico de resolucin de ecuaciones diferenciales que surge como una mejora del mtodo de Euler, el cual se puede considerar como un mtodo de Runge Kutta de primer orden, ste mtodo logra la exactitud de una serie de Taylor pero sin requerir el clculo de derivadas superiores. Los Runge-Kutta no es slo un mtodo sino una importante familia de mtodos iterativos tanto implcitos como explcitos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.Os), estas tcnicas fueron desarrolladas alrededor de 1900 por los matemticos alemanes Carl David Tolm Runge y Martin Wilhelm Kutta.

Pasos para la resolucin del mtodo de Runge Kutta.Definamos un problema de valor inicial como:

Entonces el mtodo RK4 para este problema est dado por la siguiente ecuacin:

Donde

As, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) ms el producto del tamao del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes:k1es la pendiente al principio del intervalo;k2es la pendiente en el punto medio del intervalo, usandok1para determinar el valor de y en el puntousando el mtodo de Eulerk3es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usandok2para determinar el valor deyk4es la pendiente al final del intervalo, con el valor de y determinado pork3Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Esta forma del mtodo de Runge-Kutta, es un mtodo de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden deO(h5), mientras que el error total acumulado tiene el ordenO(h4).

Existen variantes del mtodo de Runge-Kutta clsico, tambin llamado Runge-Kutta explcito, tales como la versin implcita del procedimiento o las parejas de mtodos Runge-Kutta (o mtodos Runge-Kutta-Fehlberg).Este ltimo consiste en ir aproximando la solucin de la ecuacin mediante dos algoritmos Runge-Kutta de rdenes diferentes, para as mantener el error acotado y hacer una buena eleccin de paso.Versin en Segundo orden del mtodo Runge-kutta es la siguiente:La versin de segundo orden de la ecuacines

Donde

Los valores de,yson evaluados al igualar el trmino de segundo orden de la ecuacin dada con la expansin de laserie de Taylor. Se desarrollan tres ecuaciones para evaluar cuatro constantes desconocidas. Las tres ecuaciones son:

Como se tienen tres ecuaciones con cuatro incgnitas se tiene que suponer el valor de una de ellas. Suponiendo que se especific un valor para a2, se puede resolver de manera simultnea el sistema de ecuaciones obtenido:

Como se puede elegir un nmero infinito de valores para, hay un nmero infinito de mtodos Runge-Kutta de segundo orden.Cada versin podra dar exactamente los mismos resultados si la solucin de laEDOfuera cuadrtica, lineal o una constante.Aplicacin de Mtodo del punto medio (Runge-Kutta de Segundo orden):

Donde

Versin en tercer orden del mtodo Runge Kutta:Parael resultado son seis ecuaciones con ocho incgnitas, por lo tanto se deben suponer dos valores con antelacin para poder desarrollar el sistema de ecuaciones. Una versin ampliamente usada es:

Donde

Ejemplo de 2 orden de Runge-kutta

Existen deferentes mtodos como:Metodo de Heun clear allclcdisp('METODO DE HEUN')char x yf=input('Ingrese la funcion en terminos de x,y = ');x1=input('Ingrese el valor inicial de x= ');x2=input('Ingrese el valor final de x= ');h=input('Ingrese h(separacion entre valores de x)= ');y0=input('Ingrese la condicion inicial de y(0)= ');x=[x1:h:x2];L1=length(x);y1(1)=y0;for i=2:L1k11=subs(f,'y',y1(i-1));k1=subs(k11,'x',x(i-1));k22=subs(f,'y',(y1(i-1)+(h*k1)));k2=subs(k22,'x',(x(i-1)+h));y1(i)=y1(i-1)+(((1/2)*k1)+((1/2)*k2))*h;endHEUN=[y1]

Ejercicio de 3er orden Runge-Kutta

Algoritmo para Matlab:clear allclcdisp('METODO RUNGE-KUTTA TERCER ORDEN')char x yf=input('Ingrese la funcion en terminos de x,y = ');x1=input('Ingrese el valor inicial de x= ');x2=input('Ingrese el valor final de x= ');h=input('Ingrese h(separacion entre valores de x)= ');y0=input('Ingrese la condicion inicial de y(0)= ');x=[x1:h:x2];L1=length(x);y1(1)=y0;for i=2:L1k11=subs(f,'y',y1(i-1));k1=subs(k11,'x',x(i-1))k22=subs(f,'y',(y1(i-1))+((1/2)*k1*h));k2=subs(k22,'x',x(i-1)+((1/2)*h))k33=subs(f,'y',y1(i-1)-(k1*h)+((2*k2*h)));k3=subs(k33,'x',(x(i-1)+h))y1(i)=y1(i-1)+((1/6)*(k1+(4*k2)+k3)*h)endTERCERORDEN=[y1]